Lógica - FCE
APUNTE COMPLEMENTARIO
EL LENGUAJE LÓGICO
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Este apunte complementa los capítulos 2 y 3 del libro
Deducción y
Representación
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1. Introducción: palabras lógicas y deducción
Cuando, en breve, se analice un método para determinar la validez de razonamientos deductivos desde la perspectiva de la lógica matemática, se pondrá de
relieve la importancia de ciertas frases o palabras. Estas son las expresiones lógicas o
términos lógicos, y representan lo que se llamará “constantes lógicas”. En lo que sigue vamos a enumerar y clasificar estas expresiones lógicas y sentar las bases de un
simbolismo para representarlas, con el que se puede desarrollar un lenguaje lógico. Si se retoman los ejemplos ya analizados al presentar el concepto de razonamiento, se pueden encontrar en ellos expresiones lógicas. Así, en
Todos los planetas giran alrededor del sol Marte es un planeta
Marte gira alrededor del sol
aparece la palabra “todos” en la primera premisa. En el siguiente ejemplo
Si la temperatura de la superficie terrestre aumenta, entonces la precipitación pluvial aumenta y el nivel de los mares se eleva.
La temperatura de la superficie terrestre está aumentando.
El nivel de los mares se eleva.
se expresa en la primera premisa una condición con el término “si”. La segunda
premisa afirma que se da la condición indicada en la primera premisa. De aquí que se
pueda inferir lo que está condicionado. Esta frase “si ..., entonces..”, también cumple
La lengua estonia pertenece al grupo indoeuropeo o pertenece al grupo fino-ugrio
La lengua estonia no pertenece al grupo indoeuropeo. La lengua estonia pertenece al grupo fino-ugrio
la primera premisa se refiere a una situación en la que se presentan dos alternativas,
indicada por “o”, y la segunda premisa excluye la primera alternativa al incluir un “no”.
La palabra “o” es también una expresión lógica. “Todos”, “si ..., entonces ”, “o”, “no”
cumplen un papel extremadamente importante en la consideración de esos razonamientos como válidos.
Nótese que estas palabras son muy diferentes en su significado de otras que aparecen en el lenguaje cotidiano. Piénsese en nombres como “Juan” o “Argentina”, en expresiones como “estudiante”, “número primo”, “rojo”, “alegre”, “substancia”, “núcleo atómico”, “planilla de asistencia”. Todas estas palabras o frases se refieren a cosas de diferentes ámbitos de la realidad. En cambio, las palabras lógicas del párrafo anterior no tienen esa característica; ¿de qué habla la palabra “o”? Las expresiones lógicas parecen pertenecer a otra categoría, pues cumplen con una función distinta.
Se puede comparar el papel que desempeñan las palabras lógicas con el de las operaciones de suma, resta, multiplicación, etc. en aritmética. Estas operaciones son imprescindibles para hacer cuentas en aritmética: uno suma, resta o multiplica cantidades y las características de estas operaciones se fundan en leyes o principios propios de la aritmética, que garantizan, en definitiva, que las cuentas sean correctas. Así como la aritmética estudia estas operaciones, la lógica estudia aquello a lo que se refieren las palabras lógicas (y sus versiones en los diferentes idiomas, por cierto). Frente a este hecho, uno tiende a pensar que tendrá que ocuparse de problemas gramaticales, y en este caso de la gramática del castellano, pues se habla de “palabras” y su función. Pues bien, esto es así, pero sólo hasta cierto punto. Es cierto, en primer lugar, que nos ocuparemos de entidades lingüísticas, pero no de un idioma concreto (como el castellano, el chino, el árabe, etc.), sino de lo que esas palabras significan. En segundo lugar, tendremos que ver problemas que se pueden considerar
gramaticales, pero de una gramática en un sentido más general: una gramática lógica,
que no está ligada a ningún idioma o lengua histórica en particular.
Se distinguirá dos tipos de expresiones lógicas: las conectivas y los
cuantificadores.
2. Conectivas
Tómese el ejemplo siguiente:
(*) Si Buenos Aires está en Colombia, entonces está próxima al Ecuador y no está sobre el Río de la Plata.
Si Buenos Aires está en Brasil, entonces no está sobre el Río de la Plata. Buenos Aires está sobre el Río de la Plata.
Tanto en las premisas como en la conclusión de este razonamiento aparecen expresiones lógicas que pertenecen al tipo de las conectivas. Las conectivas del castellano que figuran aquí son: “si, ...entonces”, “y”, “no”, “no se da que”. Se las llama “conectivas” porque conectan enunciados. Estas son palabras del castellano que cumplen una función lógica; se refieren a operaciones lógicas. Veremos ahora cada una de ellas.
2.1. La negación
Considérese el razonamiento
A partir de suponer que Mar del Plata está a orillas del Mediterráneo, se sigue que Mar del Plata está en el hemisferio Norte.
Pero Mar del Plata está en el hemisferio Sur.
No es cierto que Mar del Plata esté a orillas del Mediterráneo
Su conclusión dice
No es cierto que Mar del Plata esté a orillas del Mediterráneo.
La frase “no es cierto que” está expresando la negación. Emplear la palabra “no” es
la forma estándar para negar que se dé un hecho o situación determinada. En castellano tenemos otras formas sinónimas, tales como:
Mar del Plata no está a orillas del Mediterráneo,
No se da que Mar del Plata esté a orillas del Mediterráneo
2.2. La conjunción
Tenemos aquí otro ejemplo muy elemental de razonamiento:
Estados Unidos es un país industrial. Estados Unidos exporta trigo.
Estados Unidos es un país industrial y Estados Unidos exporta trigo.
En la conclusión de este razonamiento se afirma una conjunción entre dos enunciados:
Estados Unidos es un país industrial y Estados Unidos exporta trigo.
La palabra “y” expresa de manera estándar la conjunción. La conjunción sirve
para indicar que se dan conjuntamente dos hechos, es decir, brinda información
conjuntiva.
Formas sinónimas, desde el punto de vista lógico, son:
Estados Unidos es un país industrial y exporta trigo.
Estados Unidos es un país industrial aunque exporta trigo.
Estados Unidos tanto es un país industrial como exporta trigo.
Estados Unidos es a la vez un país industrial y exporta trigo.
Las palabras “pero”, “no obstante”, “aunque” (y otras semejantes) expresan un matiz adversativo: se dan conjuntamente dos hechos, pero con una cierta oposición. Sin embargo, no tomaremos en cuenta este matiz adversativo ya que, desde el punto de vista lógico, lo importante es que estas expresiones indican que dos hechos se dan
conjuntamente.
2.3 La disyunción
Véase el siguiente ejemplo de razonamiento:
Bolivia le vende gas a Brasil o Paraguay le vende electricidad a Brasil.
Bajo el supuesto que se dé cualquiera de estos dos casos, Brasil soluciona su problema energético.
Brasil soluciona su problema energético
La primera premisa del razonamiento dice:
Bolivia le vende gas a Brasil o Paraguay le vende electricidad a Brasil.
Aquí tenemos una disyunción. La palabra “o” expresa de manera estándar la
disyunción. La disyunción sirve para expresar información alternativa: indicar
situaciones que pueden darse, pero no se sabe cuál de ellas sucederá (o, incluso, si ocurrirán las dos conjuntamente, lo cual será también posible).
Algunas formas sinónimas, desde el punto de vista lógico, son:
Ya Bolivia le vende gas a Brasil, ya Paraguay le vende electricidad a Brasil.
Se da el caso de que Bolivia le vende gas a Brasil o el caso de que Paraguay le vende electricidad a Brasil.
O bien Bolivia le vende gas a Brasil o bien Paraguay le vende electricidad a Brasil.
Bolivia le vende gas a Brasil a menos que Paraguay le venda electricidad a Brasil.
2.4. El condicional
Préstese atención al razonamiento
Si Argentina exporta software, entonces exporta tecnología informática.
Argentina exporta software.
Argentina exporta tecnología informática.
La primera premisa dice:
La expresión “si ..., entonces” expresa de manera estándar el condicional. En un enunciado condicional se afirma que la ocurrencia de un hecho (que Argentina exporte
tecnología informática, en este ejemplo) está condicionada o depende de que suceda
otro acontecimiento, la condición (que Argentina exporte software). Por eso, el
condicional transmite información hipotética, es decir, indica qué condiciones deben
cumplirse para que ocurra el evento condicionado. La condición se indica en el
antecedente del condicional (“Argentina exporta software”). Lo condicionado se
describe en el consecuente del condicional (“Argentina exporta tecnología
informática”).
Otras formas de expresar información condicional, además de la estándar, son:
Suponiendo que Argentina exporte software, Argentina exporta tecnología informática.
Argentina exporta software, sólo si Argentina exporta tecnología informática.
Argentina exporta tecnología informática, si exporta software. (Inversión de
antecedente y consecuente)
Argentina exporta tecnología informática, a condición de que exporte software.
Argentina exporta tecnología informática, en caso de que exporte software.
El hecho de que Argentina exporta software implica que exporta tecnología
informática.
2.4.1. Condiciones necesarias y suficientes
El antecedente de un condicional expresa las condiciones suficientes para que suceda lo afirmado en el consecuente: basta que ocurra el hecho indicado en el antecedente para que tenga lugar lo descripto en el consecuente. Así, en el ejemplo precedente, que Argentina exporte software es condición suficiente para afirmar que exporta tecnología informática.
El consecuente de un condicional expresa condiciones necesarias del antecedente. Toda vez que ocurra lo indicado en el antecedente, entonces necesariamente sucederá lo descripto en el consecuente. En el ejemplo anterior, el hecho de que Argentina exporte tecnología informática es condición necesaria para que exporte software.
3. Símbolos especiales para las conectivas
Como se ha visto, en castellano existen diferentes palabras y frases que se pueden emplear para referirse a las conectivas. En cuanto a su uso exclusivamente en razonamientos deductivos, las expresiones sinónimas hacen referencia a la misma
conectiva, entendida como una operación lógica o constante lógica. Esta variedad de
frases y palabras puede llevar a confusiones, pueden presentarse situaciones en que no quede claro a cuál conectiva se está refiriendo una frase o palabra determinadas. Evitar estas situaciones es importante, pues establecer qué conectivas aparecen en un razonamiento es un paso imprescindible para determinar la validez de muchos razonamientos deductivos.
Con el fin de resolver este problema se introducen símbolos especiales para las
Esto es algo usual en la historia de la ciencia y de la técnica. Un ejemplo sencillo está dado por la numeración arábiga, tal como la empleamos en diferentes aspectos de la vida. Los numerales “1”, “2”, “3”, etc. se refieren a números y significan respectivamente lo mismo que las palabras “uno”, “dos”, “tres”, etc. del castellano. No obstante, sus ventajas posicionales y composicionales son obvias. Así, con nuestro sistema decimal, agrupar los dígitos del “0” al “9” en un orden, da lugar a nuevas expresiones que designan otros números. Así, “256” se refiere al número que se designa en castellano con la frase “doscientos cincuenta y seis”, y está claro que este número es diferente de nombrado con el numeral “562”, pese a contener los mismos dígitos.
Piénsese ahora en los símbolos para las operaciones aritméticas de suma y de resta “+” y “-”, que expresan lo mismo que las palabras “más” y “menos”, eliminando sus ambigüedades y dándole un carácter universal: compárese la expresión numérica “7+5” con la frase “siete más cinco”. Mientras que la segunda requiere comprender la lengua castellana, la primera únicamente exige conocimiento de la simbología aritmética, conocimiento que posee cualquier persona que conozca aritmética, independientemente de la lengua histórica que hable. El uso de símbolos, además de ofrecer ventajas visuales, permite alcanzar un nivel de abstracción mayor. Fácilmente,
pueden introducirse variables para los individuos del dominio en consideración (es
decir, expresiones que sirven para referirse de manera indeterminada a cualquier elemento de un cierto conjunto) y así expresar generalidades, como la propiedad conmutativa de la suma: “x + y = y + x”, que es mucho más engorroso y complicado de formular en palabras del castellano (u otra lengua histórica).
El ejemplo de los numerales y el de los símbolos de operaciones aritméticas
muestran lo que puede denominarse un lenguaje técnico (o simbología técnica), que
aparece en el contexto de una lengua histórica (tómese, por ejemplo, cualquier manual de álgebra escrito en castellano). Otro caso muy conocido es el de los símbolos para los elementos de la tabla periódica (“H” para el hidrógeno, “Fe” para el hierro, etc.) y la manera de hacer referencia a otras sustancias empleando combinaciones de los
mismos (como “H2O” para el agua). Lo característico de este lenguaje técnico es que
es específico de una disciplina o un área del conocimiento y lo emplean los expertos
en ella. Estos simbolismos especiales tienen un carácter convencional, es decir
resultan de una cierta decisión o acuerdo entre los que trabajan en la disciplina concreta (álgebra, química o lógica). Se toman decisiones acerca de los símbolos a emplear y la manera de componerlos.
Se pueden resumir las ventajas de introducir símbolos especiales para las expresiones específicas de una disciplina en los siguientes tres puntos:
(a) universalidad de la simbología,
(b) estandarización (o unificación) de las expresiones, (c) construcción de un método formal o un cálculo.
Se indican, a continuación, los símbolos correspondientes a cada conectiva
3.1. Negación: ¬ (que se lee simplemente “no”)
La conclusión del razonamiento visto en 2.1. se representa así:
Se entiende que este enunciado afirma “Mar del Plata no está a orillas del Mediterráneo”, o cualquiera de sus expresiones sinónimas.
3.2. Conjunción: ∧ (que se lee “y”)
La conclusión del razonamiento que figura en 2.2. se reescribe como
Estados Unidos es un país industrial ∧ Estados Unidos exporta trigo.
Se entiende que este enunciado dice “Estados Unidos es un país industrial y
Estados Unidos exporta trigo”, o cualquiera de sus sinónimos.
3.3. Disyunción: ∨ (que se lee “o”)
La primera premisa del razonamiento de 2.3. se expresa del siguiente modo:
Bolivia le vende gas a Brasil ∨ Paraguay le vende electricidad a Brasil.
Este enunciado dice, mediante el simbolismo lógico, lo mismo que “Bolivia le
vende gas a Brasil o Paraguay le vende electricidad a Brasil”, o cualquiera de sus
sinónimos.
3.4. Condicional: → (que se lee “si ..., entonces”)
La premisa analizada en ejemplo de 2.4. se representa ahora como
Argentina exporta software → exporta tecnología informática
que quiere decir: “Si Argentina exporta software, entonces exporta tecnología
informática”, o cualquiera de sus sinónimos.
3.5. Lenguaje regimentado
El lenguaje que estamos usando, el castellano en este caso, queda entonces
regimentado o normalizado respecto de las conectivas: Las expresiones lógicas del lenguaje quedan normalizadas en estos símbolos, que tendrán un significado
específico -como se verá más adelante-. Adviértase que, como sucede en aritmética, el símbolo es independiente de cualquier idioma concreto (puede usarse en textos
escritos en diferentes idiomas). Para dar un ejemplo, en química “H2O” designa la
3.6. El caso del bicondicional
Introducimos una nueva conectiva que se define por medio del condicional y la
conjunción, que es el bicondicional. Se lo expresa de manera estándar en castellano
empleando la frase “si y sólo si”. Considérese el ejemplo:
(1) Laura vive en Buenos Aires si y sólo si vive en la ciudad capital de
la República Argentina.
Resulta evidente que este enunciado puede inferirse de los dos enunciados siguientes tomados conjuntamente:
(1a) Si Laura vive en Buenos Aires, entonces vive en la ciudad capital de la República Argentina.
(1b) Si Laura vive en la ciudad capital de la República Argentina, entonces Laura vive en Buenos Aires.
Asimismo, de (1) se infieren deductivamente (1a) y (1b). El enunciado (1) dirá, por lo tanto, lo mismo que el enunciado
(1c) Si Laura vive en Buenos Aires, entonces vive en la ciudad capital de la República Argentina y si Laura vive en la ciudad capital de la República Argentina, entonces Laura vive en Buenos Aires.
El bicondicional es un condicional para ambos lados y por ello se simboliza con
una doble flecha ↔. Así, la forma regimentada de expresar (1) será
(1d) Laura vive en Buenos Aires ↔ Laura vive en la ciudad capital de
la República Argentina.
3.7. Tabla de resumen de las conectivas
Conectiva símbolo expresiones en castellano
Negación ¬ no, no se da que, etc.
Conjunción ∧ y, tanto ... como, pero, aunque, si bien, etc.
Disyunción ∨ o, o bien ... o bien, ya ... ya, etc..
Condicional → si ..., entonces, sólo si, en caso de que, etc.
3.8. Símbolos para enunciados
Se puede observar que, mientras la negación afecta a un único enunciado, las
demás conectivas vinculan dos. La negación es una conectiva unaria, mientras que las
demás, conjunción, disyunción y condicional, son binarias.
A fin de concentrar la atención en las conectivas y destacar la estructura lógica de los enunciados, podemos introducir letras del alfabeto latino, que estarán en lugar de los enunciados afectados por las conectivas. Para eso se usarán las letras A, B, C, D y E para indicar enunciados cualesquiera. Funcionarán como abreviaturas de los enunciados que representan. Así se ve claramente que la negación es unaria, pues si se representa “Mar del Plata está a orillas del Mediterráneo” con la letra A, el enunciado “Mar del Plata no está a orillas del Mediterráneo” se reescribirá “¬ A. En cambio, si se sustituyen “Estados Unidos es un país industrial” por la letra B, y “Estados Unidos exporta trigo” por la C, entonces “Estados Unidos es un país
industrial y Estados Unidos exporta trigo” se representara “B ∧ C”. Análogamente, si se
reemplazan “Bolivia le vende gas a Brasil” por la letra D y “Paraguay le vende electricidad a Brasil” por la D, entonces “Bolivia le vende gas a Brasil o Paraguay le vende
electricidad a Brasil” se rescribirá “D ∨ E”. Similarmente, si representamos “Argentina
exporta software” con la letra D y “Argentina exporta tecnología informática” con la C, expresaremos el enunciado “Si Argentina exporta software, entonces exporta tecnología
informática” mediante “D → C”, etc.
3.9. Composición de enunciados.
Si se toma el razonamiento formulado al comienzo de la sección 2 y se desea simbolizar la primera premisa:
Si Buenos Aires está en Colombia, entonces está próxima al Ecuador y no está sobre el Río de la Plata
se tiene la impresión de que hay dificultades para representar adecuadamente cómo las conectivas afectan a los enunciados que son, a su vez, parte de este enunciado. Por ejemplo, en esta premisa aparecen el condicional, la conjunción y la negación, así que debe aclararse cuáles son los enunciados directamente vinculados mediante cada
una de estas conectivas. Lo que hay aquí es una composición de enunciados en un
grado creciente de complejidad, y esta complejidad debe ser analizada. La conjunción y el condicional son conectivas binarias, así que sólo pueden conectar dos enunciados. Queda claro que aquí la negación afecta sólo a “Buenos Aires está sobre el Río de la Plata”. La conjunción “y” está vinculando dos enunciados “Buenos Aires está próxima al Ecuador” y “Buenos Aires no está sobre el Río de la Plata”, que constituyen el consecuente de un condicional. El enunciado “Buenos Aires está en Colombia” es el antecedente de ese condicional. Vemos una complejidad creciente que va de enunciados más simples a otros más complejos. A fin de indicar esta complejidad creciente generada por sucesivas composiciones de enunciados emplearemos los paréntesis “(“ y “ )”.
Así, podemos representar en lenguaje regimentado estos enunciados como (1) (¬ Buenos Aires está sobre el Río de la Plata)
(2) (Buenos Aires está próximo al Ecuador ∧ (¬ Buenos Aires está sobre el Río de la Plata))
Finalmente, se tendrá
(3) (Buenos Aires está en Colombia → (Buenos Aires está próximo al Ecuador ∧
(¬ Buenos Aires está sobre el Río de la Plata)))
Los tres pasos muestran la manera en que los enunciados se van componiendo hasta llegar a la premisa que se deseaba representar. El enunciado (3) refleja de
manera precisa la lectura lógica del enunciado original en castellano.
A su vez, si representamos “Buenos Aires está en Colombia” con A, “Buenos Aires está próximo al Ecuador” con B y “Buenos Aires está sobre el Río de la Plata” con C, se obtiene la expresión:
(3’) ( A →( B ∧ (¬ C) ) )
Por cuestiones prácticas, se pueden obviar los paréntesis externos, dándolos por sobreentendidos, sin que esto cree problema alguno en su lectura e interpretación. Lo mismo puede hacerse con los paréntesis que encierran una negación, que es una conectiva unaria.
El esquema destaca con precisión cuál es la estructura del enunciado respecto de
las conectivas, esta será su estructura lógica. La posibilidad de representar estas
estructuras será muy importante en la unidad 3, cuando se pretenda llegar a una definición satisfactoria de validez.
3.9.1. Enunciados atómicos y moleculares
Acabamos de ver cómo se componen enunciados más complejos a partir de enunciados más simples por medio de conectivas. En la terminología de la lógica se
llamarán “atómicos” a los enunciados que no tengan conectivas (y, en general, que no
tengan expresiones lógicas), y a los enunciados que tienen al menos una conectiva se
los llamará “moleculares”. Debe subrayarse una vez más la importancia de los
paréntesis para indicar la molecularidad del enunciado.
4. ¿Qué expresan las conectivas?
4.1. Introducción. Condiciones de verdad
las expresiones lógicas, considerando que no tienen este aspecto descriptivo? Piénsese qué ocurriría si en el lenguaje cotidiano no tuviéramos expresiones lógicas, qué situaciones seríamos incapaces de describir en ese caso. No podríamos decir, por ejemplo, “Si el lunes es feriado, entonces no tendremos clase”, “Después del examen, me tomo una cerveza o me voy a ver una película”, etc. Hay miles de afirmaciones más que no podríamos formular.
Antes que nada, las constantes lógicas se emplean en contextos en los que se hacen inferencias deductivas: las usamos cuando queremos hacer deducciones, extraer conclusiones, encontrar una inconsistencia. Es por eso que las constantes lógicas son útiles en relación con la obtención de conocimiento. Así pues, un punto de partida para estudiar el problema del significado de las constantes lógicas es buscar una respuesta a la pregunta: ¿qué podemos deducir en forma más directa o inmediata de un enunciado que contenga una constante lógica determinada? Esta cuestión, a su vez, sugiere la otra pregunta: ¿en qué circunstancias (o bajo qué condiciones) podemos deducir un enunciado con una constante lógica determinada? En lo que
sigue se verá el caso de las conectivas en particular.
Los símbolos especiales que se han introducido para las conectivas regimentan o normalizan las expresiones usadas en cualquier lengua histórica para expresar ciertos
conceptos lógicos. De este modo, son tratadas con total independencia del idioma en el que se empleen. Este hecho será de particular importancia para el estudio de la lógica. Los símbolos especiales introducidos para las conectivas tienen un significado que hasta ahora estuvo implícito en nuestro uso del lenguaje cotidiano. Pero este significado ahora debe hacerse explícito: debemos desarrollar, aunque sea aproximadamente, las características de las conectivas.
Ahora bien, al brindar una primera idea de la noción de validez, resultó fundamental el hecho de que en un razonamiento válido nunca puede tener premisas verdaderas y conclusión falsa. La verdad se transmite de las premisas a la conclusión.
Esta manera de caracterizar la validez da por supuesto que una propiedad de los
enunciados es que tienen un valor de verdad: cada uno de ellos es verdadero o falso.
Las razones por las cuales un enunciado es rotulado como verdadero o falso pueden ser, obviamente, externas a la lógica. Los motivos que nos llevan a considerar verdaderos o falsos enunciados como “El índice de inflación en Argentina durante el mes de noviembre de 2005 fue superior al 1%”, “Hay vida en alguna luna de Júpiter” o “Todos los argentinos son hinchas de algún club de fútbol” son de diversa naturaleza y eso no entra en cuestión aquí. Conviene reiterar que verdad y falsedad se consideran propiedades de enunciados. Estas propiedades pueden verse como meras
etiquetas que se les aplica a los enunciados: desde el punto de vista de la lógica, todos los enunciados se consideran como ya etiquetados con la verdad o la falsedad. El hecho de que lleven una u otra etiqueta es independiente de la lógica. Pero es de suma importancia la relación que tienen verdad y falsedad con la caracterización de validez: en los razonamientos válidos no podrá darse que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. También debe recordarse que en un conjunto consistente de enunciados no puede ocurrir que un enunciado aparezca una vez con el valor verdadero y otra vez con el valor falso.
Más específicamente, se supondrá que todo enunciado es verdadero o es falso. El
principio de que para todo enunciado hay dos valores de verdad:verdadero y falso, y
todo enunciado tiene exactamente uno de ellos (o sea, no hay enunciados que
carezcan de valor de verdad) se denomina “principio de bivalencia”. Este supuesto
partición del conjunto de todos los enunciados en dos conjuntos: el de los que son verdaderos y el de los que son falsos.
Los enunciados con constantes lógicas son también verdaderos o falsos. Una
forma de fijar qué entendemos por una conectiva es estableciendo las condiciones que hacen verdaderos o falsos los enunciados en los que estas aparecen. Esta manera refleja con bastante aproximación las ideas implícitas en el uso de las expresiones correspondientes en el lenguaje cotidiano, al menos en un número importante de contextos y situaciones. Se ofrece a continuación las condiciones de verdad para cada una de las conectivas vistas.
4.2. Conjunción
El caso de la conjunción puede presentarse en los siguientes términos: el hecho
de que una conjunción sea verdadera significa que ambos miembros de la conjunción
son verdaderos. Así, “Laura estudia Administración y Damián estudia Educación” es verdadero cuando y únicamente en el caso de que sean verdaderos los dos enunciados “Laura estudia Administración” y “Damián estudia Educación”. En otras
palabras, A ∧ B es verdadero si y sólo si tanto A como B son verdaderos. Si uno de los
dos es falso, la conjunción no podrá ser verdadera.
4.3. Disyunción
La disyunción puede entenderse del siguiente modo: una disyunción es verdadera
cuando y únicamente cuando alguno de los dos miembros de la disyunción es
verdadero. Nuevamente, se advierte la indeterminación que expresa la disyunción. De
aquí, si un enunciado A ∨ B es verdadero, entonces A es verdadero o B es verdadero,
pero no puede determinarse cuál de los dos casos se da. Así, si es verdadero el enunciado “Damián estudia Administración o estudia Educación”, es verdadero “Damián estudia Administración” o es verdadero “Damián estudia Educación”, pero no se sabe cuál de las dos alternativas se da (incluso podrían darse conjuntamente). Lo
que no puede ocurrir si aquella disyunción es verdadera, es que ambos miembros
sean falsos. Esta posibilidad queda excluida.
4.3.1. Nota sobre la disyunción
Obsérvese en el ejemplo precedente que, de la verdad del enunciado “Damián estudia Administración”, se sigue el enunciado “Damián es estudiante universitario”, entre otros muchos enunciados posibles. Pero también de “Damián estudia Educación” se sigue “Damián es estudiante universitario”. Por lo tanto, resulta evidente que si es verdadero “Damián estudia Administración” o es verdadero “Damián estudia Educación”, entonces, en cualquiera de los dos casos, será verdadero que “Damián es estudiante universitario”. Esto quiere decir que de una disyunción podrá deducirse todo aquello que se deduzca de suponer ambos miembros de la disyunción. Este es un ejemplo del tipo de casos en los que se usan enunciados disyuntivos, y está vinculado
con la idea de dilema. Una disyunción sirve para expresar dilemas.
4.4. Negación
4.4.1. Nota sobre negación y contradicción
Una manera de afirmar la verdad de un enunciado negado es mostrar que la suposición del enunciado (sin la negación) conduce a una contradicción. En efecto, si un enunciado permite deducir una contradicción, el enunciado es falso, y por lo tanto su negación es verdadera. Un ejemplo ilustrará esta idea. Recuérdese el caso visto en relación con el concepto de consistencia en la Unidad 1. Si se afirma que Puerto Madryn está al sur de Río Gallegos, entonces se llega a contradicciones tales como la expresada en “Puerto Madryn está al norte del paralelo 50 y no está al norte del
paralelo 50”. Luego, es falso que Puerto Madryn esté al sur de Río Gallegos, y por lo
tanto es verdadero que Puerto Madryn no está al sur de Río Gallegos. Otro hecho
evidente es que una contradicción (un enunciado que nunca puede ser verdadero) se deduce de afirmar un enunciado cualquiera y su negación (ya que ambos no pueden ser verdaderos conjuntamente). Esta relación entre negación y contradicción será de gran importancia más adelante, al presentar el método de deducción natural.
4.5. Condicional
El condicional requiere alguna reflexión preliminar. La verdad del enunciado “Si Laura estudia Administración, entonces Laura es estudiante universitaria” debe interpretarse en el sentido de que nunca puede ser verdadero su antecedente “Laura estudia administración” y falso el consecuente “Laura es estudiante universitaria”. O sea, un condicional es falso si y sólo si el antecedente es verdadero y el consecuente
falso. En símbolos: A → B es falso, si A es verdadero y B falso. En los restantes casos
el condicional no será falso, de modo que, por el principio de bivalencia, A → B deberá
ser verdadero. Esto lleva a situaciones paradójicas como las siguientes:
(a) Un condicional con el antecedente falso es verdadero.
(b) Basta que el consecuente de un condicional sea verdadero para que el condicional sea verdadero.
Así, el enunciado “Si Buenos Aires está en Colombia, entonces Buenos Aires tiene clima templado húmedo” es, en la situación actual, verdadero. Este es el sentido
usual que tiene el condicional en lógica, llamado “condicional material”, que no cubre
todos los usos del condicional propios del lenguaje cotidiano. No obstante, debe quedar claro que la interpretación básica del condicional lleva a considerar falso un condicional con antecedente verdadero y consecuente falso. Por lo tanto, un condicional que tenga antecedente verdadero, deberá tener consecuente también
verdadero, si el condicional es verdadero. En símbolos: si A → B es verdadero y A es
verdadero, entonces B es verdadero.
4.5.1. Nota sobre el condicional y la relación de deducción
Existe un paralelismo entre el condicional y la relación de deducción. Un razonamiento es válido (según la definición provisional formulada en la Unidad 1), si siempre que tiene premisas verdaderas, la conclusión también lo es. En el caso de un razonamiento que tenga una única premisa, el razonamiento es válido si siempre que esa única premisa es verdadera la conclusión también lo es (en ese caso la conclusión
premisa como antecedente y la conclusión como consecuente será verdadero. En suma:
Un condicional A → B es verdadero si B se deduce de A.
Por ejemplo, la verdad del enunciado “Laura estudia Administración → Laura es
estudiante universitaria” se sigue de que “Laura es estudiante universitaria” puede deducirse (seguramente junto con otros enunciados) de “Laura estudia Administración”. Por lo tanto, el condicional verdadero puede verse como una manera de expresar la relación de deducción entre dos enunciados.
4.6. Bicondicional
El bicondicional es la conjunción de dos condicionales: un condicional y la
conversión de antecedente y consecuente en el mismo. En símbolos: A ↔ B es la
conjunción de A → B y B → A. Así pues, sus condiciones de verdad resultan de
combinar las condiciones de verdad del condicional y la conjunción. De aquí se sigue que un bicondicional es verdadero si sus dos enunciados componentes tienen el mismo valor de verdad.
4.7. Resumen de las condiciones de verdad para las conectivas
(∧) Un enunciado A ∧ B es verdadero si y sólo si tanto A como B son verdaderos.
(∨) Un enunciado A ∨B es verdadero si y sólo si A es verdadero o B es verdadero.
(¬) Un enunciado ¬A es verdadero si y sólo si A es falso.
(→) Un enunciado A →B es verdadero si y sólo si no se da que A sea verdadero y B
sea falso (es decir que, si A es verdadero, entonces B es verdadero).
(↔) Un enunciado A ↔ B es verdadero si y sólo si se da que A y B son ambos
verdaderos o A y B son ambos falsos (en suma, si A y B tienen ambos el mismo valor de verdad)
4.8. Tablas de verdad
A B ¬ A A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B
v v f v v v v
f v v f v v f
v f f f v f f
f f v f f v v
Nótense algunas de las conclusiones que pueden extraerse de la tabla.
(1) Para que una conjunción sea falsa es suficiente que uno de sus miembros sea falso.
(2) Para que una disyunción sea verdadera basta con que uno de sus miembros sea verdadero.
(3) Para que un condicional sea verdadero es suficiente que el antecedente sea falso o el consecuente verdadero.
4.9. Código de simbolización
Al simbolizar con letras el enunciado (3) de la sección anterior, se estableció una correspondencia entre los enunciados atómicos en castellano que integraban (3) y letras mayúsculas para enunciados. Esta correspondencia puede indicarse así
A: Buenos Aires está en Colombia B: Buenos Aires está próximo al Ecuador C: Buenos Aires está sobre el Río de la Plata
Llamaremos a esta correlación o correspondencia “código de representación en el
simbolismo lógico” o “código de simbolización”.
4.10. Ejemplo de aplicación:
Si Tagore nació en Calcuta, entonces hablaba bengalí, pero esta lengua está emparentada con el hindi o con el punjabí.
(Tagore nació en Calcuta → Tagore hablaba bengalí) ∧ (la lengua bengalí está
emparentada con el hindi ∨ la lengua bengalí está emparentada con el punjabí).
enemos 4 enunciados atómicos a los que les asignaremos, respectivamente, las
letras A, B, C y D, es decir, emplearemos el siguiente
Código:
A: Tagore nació en Calcuta
B: Tagore hablaba bengalí
C: la lengua bengalí está emparentada con el hindi
D: la lengua bengalí está emparentada con el punjabí
La simbolización queda como
(A → B) ∧ (C ∨ D)
4.11. Simbolización de razonamientos.
Si consideramos nuevamente el ejemplo formulado al comienzo de la sección 2, y se agrega al código propuesto en 4.9. la siguiente representación
D: Buenos Aires está en Brasil
se puede simbolizar el razonamiento (*) como
A → (B ∧ ¬ C)
D → ¬ C
C
¬ (A ∨ D)
Esta simbolización nos permite destacar las conectivas y concentrarnos en la
estructura lógica del razonamiento. Lo que se obtiene es la representación lógica del
razonamiento original formulado en castellano.
4.12. Ejemplos ulteriores de aplicación
1. Malinzin fue intérprete de Hernán Cortés, sólo si hablaba castellano y también
náhuatl o quiché. Por lo tanto, Malinzin hablaba castellano y náhuatl; pues era la intérprete de Hernán Cortés pero no hablaba quiché.
Código de simbolización:
A: Malinzin era intérprete de Hernán Cortés
B: Malinzin hablaba castellano
C: Malinzin hablaba náhuatl
De acuerdo con el código se obtiene la simbolización siguiente
A → (B ∧ (C ∨ D)) A ∧¬D
B ∧ C
2. Si el japonés está emparentado con el coreano, entonces no pertenece a la familia
lingüística del chino clásico. Pero si no pertenece a esta familia, entonces tampoco está vinculado con el tibetano. En consecuencia, el japonés está emparentado con el coreano, sólo si no lo está con el tibetano.
Código:
A: el japonés está emparentado con el coreano.
B: el japonés pertenece a la familia lingüística del chino clásico
C: el japonés está vinculado con el tibetano.
Simbolización
A → ¬B
¬B → ¬C A → ¬C
5. Cuantificadores
Las conectivas no capturan todas las expresiones lógicas de los razonamientos deductivos. Piénsese en el siguiente ejemplo, que bien podría ser extraído de alguna información sobre la organización administrativa de la Provincia de Buenos Aires.
Todas las cabeceras de partido tienen adjudicada al menos una oficina de correos
Hay al menos una oficina de correos que Puán tiene adjudicada, si Puán es cabecera de partido
Cuesta pensar que la estructura lógica de este razonamiento pueda analizarse exclusivamente en términos de conectivas. En la conclusión, está claro que se habla
de Puán: se dice de Puán que es cabecera de partido y que tiene adjudicada al menos
una oficina de correos. Por lo tanto, hay una conjunción implícita aquí. Pero esto no es lo más importante en este razonamiento; en él aparecen las palabras “todos” y “hay al menos uno” como imprescindibles.
Las palabras “todos” (tal como sus sinónimos: “cualquier”, “cada”, etc.) y “alguno” (así como sus sinónimos: “existe al menos uno”, “hay”, etc.) se llaman “cuantificadores” y son expresiones lógicas, del mismo modo que las conectivas. Pero tienen características distintas. Cuando en un enunciado se dice “todos los ...” o “algún ...” se hace referencia a una cantidad no precisada de objetos o individuos de cierto tipo. Por lo tanto, se presupone que hay un cierto conjunto de cosas (las de ese tipo,
cualquiera sea). En el lenguaje técnico de la lógica se denomina “universo de discurso”
Así, cuando nos referimos a una cantidad de entidades de un dominio sin indicar cuántos son ni enumerarlos, sino empleando las expresiones “todos los ...” o “algún
...”, estamos cuantificando con respecto a los individuos de ese dominio o universo.
Para aclarar estas ideas, tómese el ejemplo siguiente.
Todo es perecedero
Aquí se está expresando que cualquiera sea la entidad que se considere, esa entidad es perecedera. El enunciado hace una afirmación acerca de todo lo que hay.
Sencillamente llamamos “dominio de cuantificación” a ese conjunto universal integrado
por todo lo que hay. En cambio, mediante el enunciado
Algo es perecedero
se indica que hay alguna entidad que es perecedera. Así, el enunciado hace una afirmación acerca de al menos un objeto del dominio de cuantificación. Una vez más, las palabras “todo” y “algo” presuponen un conjunto de entidades (a las que llamamos
“individuos”) al cual se aplican estas expresiones lógicas.
Se parte, entonces, de un dominio de objetos (o universo de discurso), a cuyos
miembros (los individuos del dominio) se adscriben propiedades o atributos, o se los
relaciona con otras entidades. En general, se dirá que se predica de estos individuos.
Se considerarán los dos cuantificadores que se indican a continuación.
5.1. Cuantificador universal
Supóngase que, en un texto referido a países o estados nacionales del mundo, aparece el siguiente razonamiento:
Todos tienen gobiernos autónomos
Chipre tiene un gobierno autónomo
El enunciado con el cuantificador universal es la premisa
Todos tienen gobiernos autónomos.
Este enunciado contiene la palabra “todos”, que expresa la cuantificación universal.
Hay variados recursos en castellano para expresar la cuantificación universal. Estas son algunas expresiones que tomaremos como sinónimos (desde el punto de vista lógico) de la premisa que estamos analizando:
Cada uno tiene gobierno autónomo.
Cualquiera tiene gobierno autónomo.
queriendo decir: “Cualquier cosa (del dominio) tiene gobierno autónomo”. La expresión
“todo” cuantifica sobre el dominio y por ello es un cuantificador. Esas cosas o
individuos del dominio no están necesariamente especificados: no se indica cuáles son o que características tienen, sino que se supone únicamente que son elementos del dominio de cuantificación. Al hablar de “individuo del dominio” se hace un uso implícito de variables para las entidades del dominio, que podemos representar (como es habitual en matemática) mediante las letras x, y o z. Así resulta que la premisa del razonamiento se reescribe como
Para todo objeto x (del dominio), x tiene gobierno autónomo.
Es decir, las frases lógicas son “para todo x”, “cada x”, “cualquier x”, etc.
5.2. Cuantificador existencial
Siguiendo con el mismo tema de países del mundo, tómese el ejemplo:
Holanda es una monarquía
Hay una monarquía
La cuantificación existencial está expresada en la conclusión de este razonamiento: “Hay una monarquía”. Sinónimos, desde el punto de vista lógico, son, entre otros:
Existe una monarquía.
Algo es una monarquía.
Alguno es monarquía.
Al menos hay una monarquía.
En el razonamiento se concluye que hay al menos un individuo del dominio de
cuantificación que es una monarquía (por eso es una cuantificación existencial). Este
enunciado no afirma que sea un individuo en particular, ni que sea uno solo; podrían ser más de uno. La cuantificación existencial expresa una indeterminación: hay al menos uno, pero no se especifica cuál o cuáles son. También se cuantifica aquí sobre todo el dominio, pero se dice que hay al menos un individuo del que se afirma algo (en este caso, que es una monarquía). Para indicar que se hace referencia a los elementos del dominio de manera indeterminada, nuevamente se puede hacer uso de las variables x, y, z, etc., de modo que el enunciado queda como:
Existe al menos un x tal que x es monarquía.
Debe subrayarse que los cuantificadores incluyen variables de individuo, las que pueden considerarse también como expresiones lógicas.
5.3. Símbolos especiales para los cuantificadores.
lógica a frases del castellano como “para todo x”, “cualquier x” y otros sinónimos, regimentando el uso de estas expresiones. En el caso de la cuantificación universal el
símbolo especial será “∀x” (llamado “cuantificador universal”). De este modo, la
premisa del razonamiento visto en 3.3.3 se escribirá del siguiente modo:
∀x ( x tiene gobierno autónomo)
Para la cuantificación existencial, usaremos el signo “∃x”, indicando en el
simbolismo de la lógica lo que en castellano se dice con las expresiones “hay al menos un x”, y sus sinónimos. La conclusión del razonamiento visto en 3.3.2. se representa como
∃x ( x es monarquía)
5.4. Tabla de resumen de los cuantificadores
Cuantificador Símbolo expresiones en castellano
Universal ∀x todo, cualquiera, cada uno, todos los, los, etc.
Existencial ∃x existe, hay al menos uno, algún, algunos, etc.
5.5. Composición de cuantificadores
En un enunciado puede aparecer más de un cuantificador. Un caso típico, en un contexto que trata de seres humanos, es:
(1) Todos aman a alguien.
En este enunciado figuran dos palabras que expresan cuantificación, de carácter universal la primera y de índole existencial la segunda, así que debe interpretarse del siguiente modo:
(1a) Para todo x (del dominio), existe un y (del dominio), tal que x ama a y,
Usando los símbolos lógicos respectivos, se puede representar este enunciado como
(1b) ∀x ∃y ( x ama a y )
La situación aquí descripta es la siguiente: imagínese el dominio como un conjunto. Se dice de cualquiera que se tome de ese conjunto, que para ese cualquiera hay al menos un elemento del conjunto (puede ser él mismo, puede ser otro, o muchos otros) tal que aquel (el cualquiera, cada uno) ama a este (alguno).
Un ejemplo adicional, referido a un dominio mucho más general es: (2) Algo es causa de todo
que debe entenderse como
Usando los símbolos para cuantificadores, el enunciado se reescribe así:
(2b) ∃x ∀y (x es causa de y)
Se advierte que en ambos ejemplos se usan diferentes variables. Cada variable está ligada a un cuantificador distinto, y es para evitar confusiones que se emplean
diferentes letras para las variables de individuo. Esto es lo que se llama “cuantificación
múltiple”.
Si empleamos los símbolos para cuantificadores, el razonamiento
Todos aman a alguien
Laura ama a alguien
se representa así
∀x ∃y ( x ama a y )
∃y ( Laura ama a y )
Nótese las diferencias con la formulación en castellano, sobre todo en el orden de las palabras
6. Predicados y constantes de individuo
Los cuantificadores, tal como se acaba de decir, presuponen un dominio de cuantificación, integrado por los individuos sobre los que se cuantifica. Cuando no se hace especificación alguna, este dominio está integrado por entidades de cualquier tipo (el tipo de entidad no es relevante desde el punto de vista lógico). Más aún, el dominio estará integrado por todo lo que haya o se pueda tomar en consideración; es el universo entero, en el sentido más general. Al dominio de cuantificación se lo llama,
entonces, “universo de discurso”.
Ahora bien, en el análisis de los enunciados en los que se detectan cuantificadores debe quedar claro que está implícita la referencia a un dominio de cuantificación, a cuyos elementos son los individuos. Los cuantificadores cuantifican respecto del dominio. Pero además, en estos enunciados se atribuyen ciertas propiedades a esos individuos, o se indica que mantienen determinadas relaciones entre sí.
En los ejemplos dados en 3.2.1. y 3.2.2. aparecen enunciados como (a) “Puán es cabecera de partido”, (b) “Chipre tiene gobierno autónomo” y (c) “Holanda es una monarquía”. En cada caso, “Puán”, “Chipre” y “Holanda” son palabras que se usan
para referirse a elementos del dominio: funcionan como nombres. (En la gramática del
castellano, los tres integran la categoría de sustantivos propios, pero eso no es importante aquí, sino más bien cada uno de ellos designa algún individuo del dominio). La forma que tienen de referirse a un individuo está determinada, es siempre la misma
(nombran siempre al mismo individuo), es constante. Por eso, estas palabras son
casos en castellano de lo que llamaremos “constantes de individuo”. En el enunciado
del país que “Chipre” designa, que tiene un gobierno autónomo; finalmente, en (c) se asevera del país al que la palabra “Holanda” se refiere, que es una monarquía. Una
forma equivalente es decir que en (a) ser cabecera de partido se predica de Puán, en
(b) tener un gobierno autónomo se predica de Chipre, y en (c) ser monarquía se
predica de Holanda.
Así, se dirá, en general, en la terminología técnica de la lógica, que de los
individuos se predica algo. Hay expresiones que sirven para predicar de los individuos,
como “es una monarquía”, “tener gobierno autónomo”, “ser cabecera de partido”, “ser oficina de correos de”. Otros ejemplos de predicados son “ser argentino”, “ser mujer”, “ser número primo”, “ser más alto que”, etc.
Obsérvese que la introducción de los cuantificadores como constantes lógicas nos
ha conducido a un análisis de los enunciados que considerábamos atómicos. En el
caso de las conectivas, no importaba cómo era un enunciado atómico; era, justamente, la unidad última a partir de la cual se construían los enunciados con conectivas (enunciados moleculares). Ahora la situación es distinta. Para expresar adecuadamente enunciados que incluyen cuantificadores, debemos distinguir en el enunciado qué es individuo y qué es un predicado.
6.1. Grado de predicados
Ahora bien, los predicados “es una monarquía”, “es argentino”, “es metal” se atribuyen a sólo un individuo por vez. Así, se predica “es una monarquía” de España, “es argentino” de Diego Maradona y “es metal” del hierro. Una situación diferente es la de predicados como “ama a”, “está al sur de”, “es estudiante de”, “es más extenso que”, etc. En estos casos, asignamos el predicado a dos individuos (o a un par de individuos) en cada oportunidad. El predicado “ama a” se atribuye, por ejemplo, a Laura y Damián, obteniéndose el enunciado “Laura ama a Damián”; el predicado “está al sur de” se aplica a La Plata y Buenos Aires, para formular el enunciado “La Plata está al sur de Buenos Aires”; el predicado “ser estudiante de” se predica de Laura y la Carrera de Comunicación, dando lugar al enunciado “Laura es estudiante de la Carrera de Comunicación”; el predicado “es más extenso que” vincula a Brasil y Uruguay, diciéndose entonces “Brasil es más extenso que Uruguay”. En el grupo de
ejemplos, empleamos predicados de grado uno o monádicos; en el segundo usamos
predicados de grado dos o diádicos.
Continuando esta idea, tómese el predicado “está entre ... y ...”, y piénsese en un contexto en el que se habla de las edades de la historia, por ejemplo, La Edad Antigua, La Edad Media y La Edad Moderna. Puede formularse, entonces, el enunciado “La Edad Media está entre La Edad Antigua y La Edad Moderna. Otro caso es el de “regala ... a ..”, con el que es posible construir el enunciado “Laura regala el último CD de Robby Williams a Damián”. Análogamente, el predicado “traduce a ... al...”, que permite formar el enunciado “Damián traduce a Shakespeare al castellano”.
En estos tres ejemplos empleamos predicados de grado tres o triádicos. Por supuesto,
puede encontrarse predicados de grado incluso mayor, que se denominan, en general,
“predicados poliádicos”.
Para indicar de manera explícita y sin ambigüedades el grado de un predicado puede recurrirse a las variables de individuo, simplemente como indicadores del grado. Por ejemplo, “x es un estado autónomo”, “z es cabecera de departamento” son predicados de grado 1, “x ama a y”, “z es más extenso que x” son predicados de grado 2, “y está entre z y x”, “x traduce y al z” son predicados de grado 3. El número de variables diferentes en el predicado determina el grado.
• PREDICADOS DE GRADO 1 (PREDICADOS MONÁDICOS)
• PREDICADOS DE GRADO MAYOR QUE 1 (PREDICADOS POLIÁDICOS)
6.2. Símbolos para predicados y constantes de individuo
Del mismo modo que sucedía en el caso de las conectivas, se pueden simbolizar predicados y constantes de individuo. Se logra, así, destacar la estructura puramente lógica de un enunciado, un conjunto de enunciados o un razonamiento, por medio de letras para predicados y constantes de individuo. Para los predicados vamos a usar las letras mayúsculas P, Q, R, S, T, etc., y para las constantes de individuo las letras minúsculas, a, b, c, d, e, etc. Nótese que, para simbolizar predicados empleamos letras mayúsculas del alfabeto latino diferentes de las usadas para simbolizar enunciados. Las letras para constantes de individuos pueden considerarse como
meras etiquetas para indicar individuos del dominio. Ambos tipos de signos sirven para
representar los aspectos de los enunciados que no son lógicos, y por ello no son
símbolos lógicos, sino símbolos descriptivos. Su uso se entenderá mejor al ver
ejemplos concretos. Veamos cómo se representan los razonamientos de las secciones 3.1. y siguientes.
Todos tienen gobiernos autónomos
Chipre tiene un gobierno autónomo
Aquí el predicado es “x tiene gobierno autónomo”, que puede simbolizarse como “Px”, y al nombre “Chipre” le asignaremos la constante de individuo “c”. Siguiendo la idea vista en la sección 2.4.1 en relación con las conectivas, conviene establecer aquí también un código de simbolización, pero ahora relativa a predicados y constantes de individuo, que en este caso sería:
Px: x tiene gobierno autónomo c: Chipre
El razonamiento queda simbolizado así:
∀x Px
Pc
El segundo caso era
Holanda es una monarquía
Hay una monarquía
Aquí, el predicado es “x es una monarquía”, que puede simbolizarse como “Qx”, y podemos referirnos a Holanda con la constante de individuo “a”. El código resultante es:
a: Holanda
De este modo, obtenemos Qa
∃z Qz
Finalmente, en el tercer ejemplo
Todos aman a alguien
Laura ama a alguien
figura el predicado “x ama a y” que podemos simbolizar como “Rxy”. Designando a Laura con la constante de individuo “b”, el código será:
Rxy: x ama a y b: Laura
Así, se obtiene la simbolización
∀x∃y Rxy
∃y Rby
7. ¿Qué expresan los cuantificadores?
7.1. Introducción
El problema general de caracterizar las constantes lógicas se aplica también al caso de los cuantificadores. Como las conectivas, los cuantificadores se emplean en contextos en los que se hacen inferencias deductivas. Los usamos cuando queremos hacer deducciones, extraer conclusiones, encontrar una inconsistencia. Los símbolos especiales que se han introducido para los cuantificadores regimentan o normalizan las expresiones que se usan en cualquier lengua histórica para expresar ciertos
conceptos lógicos. De este modo, son tratados, tal como sucedía con las conectivas,
con total independencia del idioma en el que se están usando. Los símbolos especiales introducidos para los cuantificadores tienen un significado implícito en nuestro uso del lenguaje cotidiano, que ahora debe hacerse explícito: debemos desarrollar, aunque sea aproximadamente, las características de los cuantificadores, que hemos destacado por medio de los símbolos especiales.
Este análisis se hará sobre la misma base que en el caso ya visto de las
conectivas. Se tendrá, así, que una forma de fijar qué entendemos por un cuantificador
consiste en determinar las condiciones que hacen verdaderos o falsos enunciados en los que estos aparecen. A diferencia del caso de las conectivas, será necesario
considerar, además, la idea de un dominio de cuantificación. También haremos otra
particular. Asumiremos, además, que para todo individuo del dominio de cuantificación hay una constante que sirve para nombrarlo. Se ofrece a continuación las condiciones de verdad para cada uno de los cuantificadores.
7.2. Cuantificador universal
¿Bajo qué condiciones un enunciado que tiene un cuantificador universal será verdadero? Tómese, por ejemplo, “Todos son profesionales”, representable en el
simbolismo lógico como “∀x Px”. Debería ser evidente que la condición para que este
enunciado sea verdadero es que todos los individuos del dominio cumplan con el
predicado “x es profesional”. (No basta con que sean algunos, un número grande, muchos o casi todos los elementos del dominio los que tengan la propiedad de ser
estudiantes, todos tienen que serlo). De este modo, “∀x Px” será verdadero, a
condición de que el predicado “Px” se atribuya a todo individuo del dominio. Si esto es
así, entonces será verdadero todo enunciado “Pc”, donde “c” es una constante que designa un individuo cualquiera del dominio (recordemos que se ha supuesto que todas las constantes nombran al menos un individuo). Asimismo, si “Px” se predica de
todo individuo, entonces “Pc” será verdadero, para cualquier constante “c”, y “∀xPx”
será un enunciado verdadero.
7.3. Cuantificador existencial
Un enunciado “∃x Px” será verdadero, a condición de que “Px” se predique de
algún individuo del dominio de cuantificación (aunque queda indeterminado de cuál
individuo se trata). Y si “∃x Px” es verdadero, entonces sucederá igualmente que “Px”
se predica de algún individuo del dominio. Así, “Hay un millonario” es verdadero si y sólo si de algún individuo puedo afirmar que es millonario. Por eso, decir que un
enunciado “∃x Px“ es verdadero, es lo mismo que aseverar que “Pc” es verdadero para
alguna constante de individuo “c” (quedando indeterminado para cuál).
7.4. Resumen de las condiciones de verdad para los cuantificadores
(∀x) Un enunciado “∀x Px” es verdadero si y sólo si al reemplazar “x” en “Px” por
cualquier constante de individuo se obtiene un enunciado verdadero (es decir, “Pa”, “Pb”, “Pc”, “Pd”, etc. son todos enunciados verdaderos).
(∃x) Un enunciado “∃x Px” es verdadero si y sólo si al reemplazar “x” en “Px” por
alguna constante de individuo se obtiene un enunciado verdadero (es decir, al menos uno de los enunciados “Pa”, “Pb”, “Pc”, “Pd”, etc. será verdadero).
7.5. Nota. Cuantificadores como conectivas generalizadas:
Si “∀x Px” es verdadero, entonces “Pa” es verdadero y “Pb” es verdadero y “Pc” es verdadero (y así siguiendo).
Si ∃x Px es verdadero, entonces Pa es verdadero o Pb es verdadero o Pc es
verdadero (y así siguiendo).
Estas afirmaciones sugieren la idea de ver el cuantificador universal como una
conjunción generalizada (con un número indeterminado, e incluso infinito, de
miembros) y el cuantificador existencial como una disyunción generalizada (con un
número indeterminado, e incluso infinito, de miembros). Sobre esta base la cuantificación universal
∀x Px
puede leerse como una abreviatura de la cadena de conjunciones
Pa ∧ Pb ∧ Pc ∧ ...
y, a su vez, la cuantificación existencial
∃x Px
puede interpretarse como
Pa ∨ Pb ∨ Pc ∨ ...
Claro que, como estas cadenas pueden ser infinitas, es imposible tratarlas análogamente a la conjunción y disyunción tales como las hemos presentado. Así, por ejemplo, no es podemos elaborar tablas para los cuantificadores similares a las empleadas en el caso de las conectivas.
8.1. Resumen: El simbolismo lógico
CONECTIVAS:
negación: ¬
conjunción: ∧
disyunción: ∨
condicional: →
bicondicional: ↔
PARA
CONSTANTES LÓGICAS:
CUANTIFICADORES:
universal: ∀x
existencial: ∃x
SÍMBOLOS LÓGICOS
PARA
VARIABLES DE INDIVIDUO: x, y, z, etc. .
PARA
PREDICADOS: P, Q, R, S, T, etc.
SÍMBOLOS
DESCRIPTIVOS PARA
CONSTANTES DE INDIVIDUO: a, b, c, etc.
PARÉNTESIS: (, )
8.2. Casos con conectivas y cuantificadores
Hasta ahora conectivas y cuantificadores se han presentado de manera separada,
pero ambos tipos de símbolos lógicos aparecen entremezclados en enunciados y
razonamientos del lenguaje cotidiano. Véase el caso siguiente.
23 es mayor que 17 y ambos son números primos
Existe un número primo mayor que 17
Como predicados tenemos: “x es número primo” (de grado uno o monádico) y “x es mayor que y” (de grado dos o diádico). La premisa contiene conjunciones, de modo que, regimentándola con símbolos lógicos, queda como:
y la conclusión es:
∃x (x es primo ∧ x es mayor que 17 ).
Nótese que en esta simbolización de la conclusión hay una conjunción que no está expresada de manera explícita en su formulación en castellano.
Véase el siguiente ejemplo de razonamiento, muy común en los manuales de lógica:
Todos los seres humanos son mortales Sócrates es un ser humano
Sócrates es mortal
Su validez salta a la vista: de la verdad de las premisas se sigue forzosamente la verdad de la conclusión. Los predicados en cuestión son “x es ser humano”, “x es mortal”, y “Sócrates” es la única constante de individuo. La primera premisa es el único enunciado donde aparece al menos un símbolo lógico: “todos”. Sin embargo, ¿cómo debe interpretarse? El enunciado no está diciendo “Todo es mortal”, sino “Todo lo que cumple con la condición de ser humano, es mortal”, o, en otras palabras, “Cualquier cosa es mortal a condición de que sea ser humano”. Así pues, la forma regimentada de este enunciado con símbolos lógicos dice:
∀x (x es ser humano → x es mortal).
Así, la estructura lógica del enunciado “Todos los hombres son mortales” contiene no sólo el cuantificador universal, sino también un condicional.
Si se emplean letras para predicados y constantes de individuo, se puede formular el código:
Qx: x es ser humano Px: x es mortal a: Sócrates
y el razonamiento se representa en el simbolismo lógico como
∀x (Qx→ Px)
Qa
Pa
Todas las cabeceras de partido tienen adjudicada al menos una oficina de correos
Hay al menos una oficina de correos que tiene adjudicada Puán, si Puán es cabecera de partido
Si empleamos el código:
Px: x es cabecera de partido Txy: x tiene adjudicado y Sx: x es oficina de correos a: Puán
la representación del razonamiento en el simbolismo lógico es
∀z (Pz →∃y (Tzy ∧ Sy))
Pa →∃x (Tax ∧ Sx)
Obsérvese el empleo de los paréntesis tanto para agrupar enunciados con conectivas como para indicar el alcance de los cuantificadores.
8.2.1.Nota. Variables y aparición de variables
Dentro de un enunciado formulado en el simbolismo lógico, una variable puede
aparecer repetidas veces. Por ejemplo, en el enunciado “∀x (Qx→ Px)” la variable x
aparece tres veces, una con el cuantificador y las dos restantes dentro de los
paréntesis. La variable es siempre la misma (es decir, “x”), pero tiene tres apariciones.
En el enunciado “∀z (Pz →∃y (Tzy ∧ Sy))”, las variables “z” e “y” aparecen tres veces.
Cuando se habla de la variable en un enunciado no importan las apariciones, pero si se habla de sus apariciones debe indicarse cuál específicamente. Por ejemplo, puede decirse en el caso del segundo enunciado que la variable “y” aparece en el consecuente del condicional, pero no en el antecedente.
8.2.2. Alcance de los cuantificadores
Los paréntesis sirven para indicar también el alcance del cuantificador, es decir,
hasta dónde, en el enunciado, abarca el cuantificador. Todas las veces que figure dentro de los paréntesis la misma variable de individuo que aparece en el cuantificador se considerará que ésta está dentro del alcance del cuantificador. Esto está ligado con la aparición de variables y requiere una mayor aclaración posterior a través de los ejemplos. En el esquema de enunciado
el paréntesis que precede a “Pz” y el que está al final de la expresión no sólo
componen el condicional, sino que indican el alcance del cuantificador universal “∀z”.
Si se los eliminara, se obtendría
∀z Pz →∃y (Tzy ∧ Sy)
y no quedaría claro que “∀z” está afectando a todas la apariciones de la variable z en
la expresión dada. Por lo demás, esta expresión recibiría una interpretación totalmente distinta y no sería una representación correcta en el simbolismo lógico del enunciado original:
Todas las cabeceras de partido tienen adjudicada al menos una oficina de correos.
8.2.3. Nota. Condicional y cuantificación universal.
En el contexto de cuantificaciones universales, el condicional sirve para expresar
regularidades que se dan en ámbitos de la realidad, y que reciben el nombre de leyes
o enunciados legaliformes. Por ejemplo, los enunciados “Todos los metales conducen el calor”, “Todos los hombres son mortales” expresan una regularidad, y se simbolizan asI:
∀x (Px → Qx)
Este enunciado es verdadero si nunca puede darse que “Pa” sea verdadero y “Qa” falso, “Pb” sea verdadero y “Qb” falso, “Pc” sea verdadero y “Qc” falso, y así siguiendo con todas las constantes de individuo.
8.3. Ejemplos ulteriores de aplicación
Código:
Px: evoluciona. Qx: x es sociedad Rx: x se transforma
1.
Todo evoluciona
∀x (x evoluciona) ∀x Px
Algo evoluciona
∃x (x evoluciona) ∃x Px
Toda sociedad evoluciona Las sociedades evolucionan Cualquier sociedad evoluciona
∀x (x es sociedad → x evoluciona)
∀x (Qx →Px)
Algunas sociedades evolucionan Hay sociedades que evolucionan Existe una sociedad que evoluciona
∃x (x es sociedad ∧ x evoluciona)
∃x (Qx ∧ Px )
Toda sociedad evoluciona y se transforma
∀x (x es sociedad → (x evoluciona ∧ x se
transforma) )
∀x (Qx →(Px ∧ Rx) )
Algunas sociedades evolucionan y se transforman
∃x (x es sociedad ∧ (x evoluciona ∧ x se
2.
Nada evoluciona
∀x ¬(x evoluciona) ∀x ¬Px
Algo no evoluciona
∃x ¬(x evoluciona) ∃x ¬Px
Ninguna sociedad evoluciona
∀x (x es sociedad →¬ x evoluciona)
∀x (Qx →¬ Px)
Algunas sociedades no evolucionan Hay sociedades que no evolucionan
∃x (Qx ∧¬ Px)
Ninguna sociedad evoluciona y se transforma
∀x (x es sociedad → ¬ (x evoluciona ∧ x se
transforma) )
∀x (Qx →¬ (Px ∧ Rx) )
Hay sociedades que no evolucionan ni se transforman
∃x (x es sociedad ∧ (¬ x evoluciona ∧¬ x se
transforma) ) ∃x (Qx ∧ (¬ Px ∧¬ Rx) )
3.
Si Cuauhtémoc era azteca, entonces no todos los aztecas eran cobardes o supersticiosos.
en lenguaje regimentado
Cuauhtémoc era azteca →¬∀x (x es azteca → ( x es cobarde ∨ x es supersticioso))
Código:
Px: x es azteca Qx x es cobarde Rx: x es supersticioso a: Cuauhtémoc
Simbolización:
Pa →¬∀x (Px → ( Qx ∨ Rx) )
4.
Ningún azteca era cobarde; sin embargo algunos de ellos eran supersticiosos y Moctezuma era supersticioso.
∀z (z es azteca →¬ z es cobarde ) ∧ ( ∃z (z es azteca ∧ z es supersticioso) ∧ Moctezuma
era supersticioso) )
Código:
Px: x es azteca Qx x es cobarde Rx: x es supersticioso a: Moctezuma
∀z (Pz →¬Qz) ∧ ( ∃z ( Pz ∧ Rz ) ∧ Ra )
1. Los alanos y los cimbrios eran germanos. En consecuencia, los cimbrios no eran
musulmanes y los alanos tampoco; pues ningún germano era musulmán.
Código:
