CAPÍTULO II
TRABAJANDO CON LOS DATOS Distribuciones de Frecuencias – Representaciones Gráficas
El Conjunto de valores obtenidos como resultado de una investigación aparecen generalmente desordenados motivo por el cual el primer paso para el procesamiento de los datos consiste en ordenarlos.
Para Ambrosi los datos tienen una parte cuantitativa y una cualitativa, la cuantitativa es el número, pero éste por si solo no dice nada, para entender el dato se requiere saber qué es medido y cómo. Los datos son un puente entre lo real y lo abstracto. Por ello para entender los datos necesitamos conocer su “biografía” (Ambrosi, 2008; 134) Estos datos tienen sentido dentro de un contexto; de un lugar, de un tiempo, nos permitirán conocer al grupo, comparar a éste con otros grupos, etc.
Veamos un ejemplo: Los siguientes datos representan la estatura expresada en centímetros de una muestra al azar de 50 niños del ciclo básico de una escuela suburbana de Mendoza. Datos tomados del cuadernillo distribución de frecuencias. Representaciones gráficas. Diblasi, L Romagnoli, E; 2001.
Tabla I
Estatura de un grupo de 50 niños.
95 111 110 99 108 95 111 110 100 104
105 111 120 115 97 101 97 100 100 104
105 105 117 101 1O3 102 113 113 117 107
109 102 104 104 112 114 109 112 115 106
114 116 108 107 103 109 116 107 106 100
ocurrió cada valor de la variable. Con esta tabla hemos construido una distribución de frecuencia. Hemos contado la cantidad de casos que se encuentran de cada valor de la variable.
Podemos llamar a la distribución de frecuencias como una función, la función
de frecuencias, que podemos definir de la siguiente forma: Si un universo de tamaño N está formado por k valores numéricamente diferentes, X1, X2, X3 . . . Xk (donde k < N ) con frecuencias correspondientes f1, f2, f3 , ... fk, es posible
introducir una función f (x) que para cada X = Xj es igual a la frecuencia relativa correspondiente fj, y es igual a 0 para cualquier número X que no aparece en el universo. Esta función se denomina función de frecuencias.
En la tabla II se presentan los datos ordenados, sin repetición, con sus correspondientes frecuencias.
Tabla II
Estatura en cm de 50 niños
Estatura (cm) Nº de niños (fi)
95 1
96 0
97 2
98 1
99 1
100 3
101 2
102 3
103 2
104 4
105 3
106 2
107 3
108 3
109 2
110 2
111 3
112 2
113 2
114 2
115 2
116 2
117 2
118 0
119 0
“Las tablas surgen de la necesidad de organizar los datos de una forma que facilite destilar la información que ellos contienen. Es el alambique que permite obtener la esencia de la masa de datos”.Ambrosi, Hugo
El primer análisis de los datos es de suma importancia porque nos permite detectar rápidamente aspectos: como la extensión de la variable, dónde se encuentran los valores más repetidos a lo largo de todo su recorrido, si hay algún/os valores de la variable con frecuencia 0, etc. Además cuando trabajamos con una gran cantidad de datos cargados en algún ordenador, las tablas de frecuencias, son fundamentales para detectar rápidamente errores de carga. Lo ideal es que estas tablas se acompañen con gráficos para una mejor interpretación de los datos. Al final del capítulo analizamos los gráficos apropiados según los distintos niveles de medición de las variables.
Además de las frecuencias absolutas podemos calcular otra clase de frecuencias, como las frecuencias relativas (fr) dividiendo la frecuencia absoluta (fi) de cada valor de la variable por N, donde N es el tamaño del universo, es decir el número total de unidades de análisis o casos a estudiar.
Ejemplo
Así si realizamos la operación para la estatura del niño de 95 cm, como su frecuencia absoluta es 1, quiere decir que ese valor aparece una sola vez, su frecuencia relativa al grupo de referencia, es: 1/50 = 0,02 (ver tabla Nº II); para la estatura 100 cm, como aparece 3 veces, su frecuencia relativa es 3/50 = 0,06. Si a cualquier frecuencia relativa la multiplicamos por 100, tenemos un porcentaje y podríamos decir que el 6% de los niños de ese grupo mide 100cm.
Por ello podemos decir que la frecuencia relativa puede tener como valor mínimo
0 y como valor máximo 1, o que la frecuencia relativa varía entre 0 y 1
0 = fr =1
Si para cierto valor x de una variable, se suman todas las frecuencias absolutas correspondientes a los valores de ese conjunto que son menores o iguales que ese valor x, se obtienen las frecuencias acumuladas (Fa) hasta x (un determinado valor de la variable). Se puede definir entonces la función de frecuencias acumuladas como F(x) o Fa:
Fa = F(x) = Σ f(x ≤ xi)
Ejemplo:
Si sumamos las frecuencias absolutas de las estaturas de los niños que miden hasta 100cm, tenemos el valor 8, que nos indica que hay 8 niños que miden hasta 100cm en ese grupo, lo que representa su frecuencia acumuladaFa
Si dividimos a la frecuencia acumulada de cada valor de la variable por el tamaño del universo (N) o si sumamos las frecuencias relativas hasta ese valor de la variable, obtenemos la Frecuencia relativa acumulada (Fra).
Ejemplo:
Sí sumamos todas las frecuencias relativas de las estaturas de los niños del grupo menores o iguales a 100: obtenemos la:
Fra = 0,16 que resulta de sumar: 0,02+0,04+0,02+0,02+0,06 = 0,16
En éste caso podemos llamar a esta distribución como la distribución de las frecuencias
relativas acumuladas porcentuales.
En la tabla III se presentan las frecuencias absolutas, frecuencias acumuladas, relativas y frecuencias relativas acumuladas con los datos de la tabla I
Tabla III Estatura
(cm) Nº de niños (fi) Acumulada Frec. (Fa)
Frec. Relativa
(fr) Acum. (Fra) Frec. Relat.
95 1 1 0,02 0.02
96 0 1 0,00 0,02
97 2 3 0,04 0,06
98 1 4 0,02 0,08
99 1 5 0,02 0,10
100 3 8 0,06 0,16
101 2 10 0,04 0,20
102 3 13 0,06 0,26
103 2 15 0,04 0,30
104 4 19 0,08 0,38
105 3 22 0,06 0,44
106 2 24 0,04 0,48
107 3 27 0,06 0,54
108 3 30 0,06 0,60
109 2 32 0,04 0,64
110 2 34 0,04 0,68
111 3 37 0,06 0,74
112 2 39 0,04 0,78
113 2 41 0,04 0,82
114 2 43 0,04 0,86
115 2 45 0,04 0,90
116 2 47 0,04 0,94
117 2 49 0,04 0,98
118 0 49 0,00 0,98
119 0 49 0,00 0,98
120 1 50 0,02 1,00
Serie de datos agrupados
disponible es muy numerosa, se procede a reunir valores sucesivos de la variable, formando lo que llamamos intervalos de clase. El número de veces que se repiten los valores de esa clase se lo denomina frecuencia de clase. La frecuencia de cada clase está compuesta por la suma de las frecuencias de cada uno de los valores que forman la clase:
Ejemplo: si una clase está compuesta por las siguientes edades 20 a 23 años, y las frecuencias de cada uno de esos valores son:
Xi fi
20 3
21 4
22 5
23 2
Ello significa que la frecuencia de la clase 20 – 23 es 14, que resulta de la (Σfi) sumatoria de las frecuencias individuales (absolutas) de cada valor que conforma esa clase.
Si bien con el proceso de agrupación se puede perder algo de la información que tienen los datos originales, se tiene la ventaja de presentar todos los datos de forma sencilla y resumida.
Es importante que si la variable es continua, al construir los intervalos debemos tener en cuenta que todos los valores asignados a una clase puedan ser considerados, sin grave error, como iguales al valor medio del intervalo respectivo.
Para no hacer demasiado extensa la serie se recomienda que el número de intervalos varíe aproximadamente entre 5 y 25. La cantidad de intervalos no depende solamente del tamaño de la población sino también de su heterogeneidad y de los objetivos de la investigación.
Cómo construir las clases o intervalosde clases
variable y se calcula restando al valor mayor de la variable, el valor menor. En nuestro ejemplo de la altura de los niños el valor mayor es 120 y el menor 95, por lo que el rango de la variable es 25). 2- Determinar el ancho del intervalo o módulo que se simboliza con
la letra griega ω. La raíz cuadrada de N (
√√√√
N ), el número de datos con que se está trabajando, nos da una idea de la cantidad de intervalos, y el Rango de la variable en estudio dividido la raíz cuadrada de N nos permite orientarnos sobre la amplitud de los intervalos, el módulo (ω):R
Amplitud del intervalo de clase ( ω) =
√√√√
N3- Especificar los límites del intervalo y 4- Contar las frecuencias que corresponden a cada intervalo.
El punto donde comienza cada intervalo de clase se denomina límite inferior (Li) y el punto donde termina, limite superior (Ls). Estos límites deben estar bien definidos sobre todo para las variables continuas, de modo que sepamos bien a qué intervalo pertenece una observación individual.
Siempre que sea posible conviene que la amplitud de los intervalos de clase sea la misma. Sin embargo, resulta conveniente presentar intervalos desiguales cuando la naturaleza de la variable lo exija. Así, se presentarán intervalos más pequeños cuando en alguna parte del campo de variación de la variable, la frecuencia varíe con mucha rapidez.
Por razones de secreto profesional a veces resulta obligatorio presentar intervalos abiertos, es decir intervalos para los cuales no se precisa ya el límite superior, el límite inferior, o ambos.
Cuando se trabaja con intervalos abiertos se hace difícil, cuando no imposible, la aplicación de muchos métodos estadísticos.
Variables continuas:
Cuando trabajamos con variables continuas debemos distinguir los límites reales, que corresponden a los extremos verdaderos o exactos de los cortes de la variable que hemos realizado, de los límites aparentes, que son los valores de los extremos de los intervalos que figuran en la tabla de distribución de frecuencias.
En la tabla IV se presenta la distribución de frecuencias, con los límites reales de los intervalos de clase, según los datos correspondientes a la tabla I.
Límites aparentes Límites reales
Li – 0,5 Ls + 0,5
95 – 97 94,5 – 97,5
98 – 100 97,5–100,
Tabla IV: Intervalos de clase con los datos de la tabla I: estatura de 50 niños a- límites aparentes
Estatura en cm Nº de niños
95 - 97 3
98 - 100 5
101 - 103 7
104 - 106 9
107 - 109 8
110 - 112 7
113 - 115 6
Si observamos los límites aparentes de los intervalos de una variable continua, vemos que, entre el límite superior, del primer intervalo y, el inferior del segundo se produce un salto, lo cual no da idea de continuidad. Se debe entonces sumar y restar media unidad a los límites aparentes del intervalo para obtener los límites reales. De esta manera el límite superior del primer intervalo coincidirá con el límite inferior del segundo. Tabla V
b- límites reales
Estatura en cm Nº de niños
94,5 - 97,5 3
97,5 - 100,5 5
100,5 - 103,5 7
103,5 - 106,5 9
106,5 - 109,5 8
109,5 - 112,5 7
112,5 - 115,5 6
115,5 - 118,5 4
118,5 - 121,5 1
Punto medio del intervalo de clase:
Se obtiene sumando el límite inferior y el superior y dividiendo el resultado por dos. El punto medio es el valor representativo de todos los valores que comprende el intervalo. Se realiza tanto con los límites reales como con los aparentes.
Li + Ls Punto medio ( pm) =
A los fines de evitar una mayor complejidad, es importante que, el punto medio de los intervalos de clase sea un número par, para lo cual la amplitud de los intervalos se recomienda que sea impar.
Veamos un ejemplo: con amplitud impar (a) y con amplitud par (b)
a- impar Xi pm b- par Xi pm
3 - 5 4 3 – 6 4,5
6 – 8 7 7 – 10 8,5
Distribuciones de Frecuencias para datos agrupados
Una vez formados los intervalos de clase, con su correspondiente frecuencia absoluta podemos obtener las frecuencias relativas, relativas porcentuales, acumuladas, relativas acumuladas y relativas acumuladas porcentuales de cada clase, las cuales nos permitirán graficar la variable de acuerdo a nuestro interés o el objeto de estudio.
Siempre que sea posible es importante acompañar la distribución de frecuencias absolutas con las relativas porcentuales y las relativas porcentuales acumuladas. Las distribuciones porcentuales son de más fácil interpretación ya que estamos acostumbrados, en el lenguaje diario, a usar, casi sin darnos cuenta, los porcentajes. Además, este tipo de distribución permite la comparación entre grupos, uno de los objetivos del uso de la Estadística en las Ciencias Sociales.
Tabla VI
Distribución de frecuencias absolutas, porcentuales y porcentuales acumuladas
Xi fi %
% acumulado
94,5 - 97,5 3 6 6
97,5 - 100,5 5 10 16
100,5 - 103,5 7 14 30
103,5 - 106,5 9 18 48
106,5 - 109,5 8 16 64
109,5 - 112,5 7 14 78
112,5 - 115,5 6 12 90
115,5 - 118,5 4 8 98
Observando la tabla Nº VI, podemos decir, que hay 9 niños de éste grupo que mide entre 103 y 106 centímetros (frecuencia absoluta), o que el 18 % tiene una estatura entre 103 y 106 cm (distribución porcentual) o que el 48 % del grupo de niños en estudio mide hasta 106 cm (distribución porcentual acumulada).
Elementos de una tabla
La tabla tiene una estructura compuesta por el título, el cuerpo y las notas. El título nos dice a qué se refieren los datos contenidos en la tabla, en nuestro ejemplo a la estatura de 50 niños, dónde se obtuvieron los datos, en una escuela suburbana de la Provincia de Mendoza y cuándo se obtuvieron, por ejemplo en marzo de 2009. También suele agregarse la unidad de medida de los datos, en nuestro ejemplo: estatura medida en cm.
El cuerpo es la cuadrícula que contiene los datos de la estatura de los 50 niños, donde en la primera columna van las categorías o valores de la variable que estudiamos, en nuestro caso 95cm; 96 cm, etc; en la segunda van las frecuencias con que ocurren esas categorías o valores de la variable, en nuestro ejemplo, variable numérica, con el valor 95, hay 1 sólo niño; con 100, hay 3 niños, etc. Su ocurrencia se va anotando fila por fila, según cuántas veces se presenta cada valor de la variable.
Las notas son observaciones que pueden ser de mucha utilidad para interpretar algunos datos y fundamentalmente la fuente, que se refiere al origen de los datos, que pueden ser instituciones como la Dirección de Estadísticas Económicas de la Provincia de Mendoza (DEIE), el Instituto Nacional de Estadísticas y Censos (INDEC), equipos de investigación, etc.
Tabla Nº VII
Título: Cantidad de ingresantes a la Facultad de Ciencias Políticas y Sociales de la UNCuyo, desde 2000 a 2008, Mendoza.
Nota: *Falta agregar ingresantes que ingresaron el año anterior y los que vienen por pase. Fuente: datos suministrados por Dirección de Alumnos, FCPyS, UNCuyo, Mendoza, 2008
Cuando tenemos una tabla con todos sus componentes podemos hacer un informe, una lectura de los datos.
Algo más sobre porcentajes
Los pasos más elementales, pero no por ello menos importante, para el trabajo con los datos, son la clasificación y la comparación. La forma más común de comparación es mediante porcentajes.
Los porcentajes pueden ser calculados respecto al total de una tabla, o al total de una fila o al de una columna e igualarla a 100, de manera que sus datos guarden las proporciones existentes entre los números originales.
Veamos un ejemplo
Los siguientes datos representan los aspirantes e ingresantes a las distintas carreras que se dictan en la Facultad de Ciencias Políticas y Sociales de la UNCuyo en el año 2008 para el inicio de las mismas en el ciclo lectivo 2009.
Año Ingresantes
2000 1097
2001 808
2002 822
2003 914
2004 857
2005 608
2006 531
2007 456
Tabla Nº VIII
Carrera Aspirantes Ingresantes
Sociología 81 50
Cs. Políticas y Adm. Pública 169 106
Trabajo Social 264 143
Comunicación Social 242 153
TOTAL 753 452
Fuente: datos suministrados por el Coordinador del ingreso 2008-09, Fac. Ciencias Políticas y Sociales, UNCuyo, 2009
Si queremos comparar cuántos se inscribieron e ingresaron por carrera, calculamos los porcentajes por columnas y obtenemos la siguiente tabla:
Tabla Nº IX
En cambio si lo que nos interesa es saber cuántos de los que se inscribieron ingresaron por
De la tabla IX podemos decir que de los aspirantes a la Facultad de Ciencias Políticas y Sociales, el 35 % se inscribió en Trabajo Social y el 32% en Comunicación Social. De la misma forma con los ingresantes
En cambio si queremos analizar cuántos de los inscriptos a cada carrera de la facultad, ingresaron, calculamos los porcentajes por filas.
Tabla Nº X
Carrera Ingresan % No ingresan % %
Sociología 62 38 100
Cs. Políticas y Adm. Pública 63 37 100
Trabajo Social 54 46 100
Comunicación Social 63 37 100
TOTAL 60 40 100
Carrera Aspirantes % Ingresantes %
Sociología 11 11
Cia. Política y Adm. Pública 22 23
Trabajo Social 35 32
Comunicación Social 32 34
De la tabla X podemos decir que el 62 % de los inscriptos a Sociología ingresó y que el 38 % no; que el 63 % de los inscriptos a Ciencia Política y Administración Pública ingresó y no el 37 %; etc.
Comparando las tablas VIII y IX podemos observar que la carrera de Trabajo Social es la que más aspirantes ha tenido en la inscripción para el ingreso 2009, sin embargo, la tabla X nos permite ver claramente, que en ése año en particular, esta carrera es la que menos ingresantes ha tenido, respecto a la cantidad de aspirantes. El resto de las carreras ha mantenido entre si porcentajes semejante de aspirantes e ingresantes.
La hipótesis que surge de éste análisis de los datos es: esta carrera tiene siempre mayor porcentaje de aspirantes que ingresantes, respecto a las otras carreras de la Facultad, o esto se debe sólo al azar y, esta relación varía de un año a otro.
“Una tabla, dice Ambrosi, es un mapa conceptual, que organiza los datos en forma gráfica, y nos facilita el acceso, la consulta y la comparación” (Ambrosi; 2008, 140)1 Podemos “navegar” por ella y nos va revelando lo que los datos nos dicen de la realidad con un lenguaje distinto y complementario al del texto continuo.
Volviendo a los porcentajes, García Ferrando dice al respecto, “resulta conveniente señalar que, para calcular porcentajes, el valor de N ha de ser suficientemente elevado; y cita a Blalock (1960; 28) que señala al número 50 como el mínimo aproximado de casos que ha de contar una distribución para poder calcular los porcentajes. Si el número de casos es bastante inferior a 50, resulta más adecuado ofrecer el número real de casos en cada categoría en lugar de los porcentajes” (García Ferrando, 1992; 58).
Números índices
de variables o indicadores, en una sola variable. Este tipo de índices son muy útiles para un estudio más complejo de los datos.
El que vemos ahora es un tipo especial de proporciones o de las frecuencias relativas. Está asociado con las series cronológicas ya que se calculan a partir de un valor de la variable en un momento determinado que se toma como base, que generalmente se equipara a 100. Todos los demás valores de la variable hacen referencia a él.
Veamos un ejemplo: Tabla Nº XI
Alumnos ingresantes a la facultad de Ciencias Políticas y Sociales, UNCUyo, durante el período 1993 - 2009 (año base 1993)
Año Ingresantes Nº índice
1993 351 100
1994 513 146.15
1995 624 177.77
1996 906 258.12
1997 852 242.73
1998 1040 296.3
1999 937 266.95
2000 1097 312.53
2001 808 230.2
2002 822 235.04
2003 914 260.4
2004 857 244.16
2005 608 173.22
2006 531 151.28
2007 456 129.91
2008 415 118.23
2009 452 128.77
Para calcular qué porcentaje de ingresantes, respecto al año base, hay en 1994 hacemos la siguiente operación: 513/351 *100 = 146,15. Podemos decir que en el año 1994 hubo un 46,15 % más ingresantes que en el año 1993 o que en el año 2009 hubo un 28,77 % más que en el año 1993. Cuando la diferencia es más del 200 o el 300 % conviene decir que se duplicó o triplicó la cantidad de ingresantes, como en los años 1998 o 2000.
1
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
Una representación gráfica es otra forma, a semejanza de las tablas, de visualizar los datos. Nos permite, cuando ha sido correctamente hecho, obtener en forma rápida una impresión de conjunto de la concentración o dispersión de los datos en estudio. La relación entre valores numéricos correspondiente a diversas magnitudes, puede ser a menudo mejor, y más rápidamente comprendida mediante una representación gráfica que sólo con una tabla. Hay muchas clases. Los más comunes son los diagramas de barras, los gráficos de sectores, los histogramas, los polígonos de frecuencias, las ojivas, los de cajas,etc. Otro interesante es el diagrama de tallo y hojas de Tuckey, el cual es una combinación entre tabla y gráfico ya que su representación está conformada por los números de la distribución.
Elegir una u otra representación gráfica depende de las características de la variable con que estamos trabajando y de las preferencias personales o del objetivo del análisis que realizamos.
Existen ciertas reglas generales que comúnmente son aceptadas, como por ejemplo:
- Aquel tipo de gráfico que alcance su objetivo con la máxima sencillez será el más efectivo. No debe contener más líneas o símbolos que los que el ojo pueda cómodamente seguir.
- Toda representación gráfica debe explicarse absolutamente por sí misma, por lo tanto, deben estar correctamente indicados el título, origen, escalas, claves explicativas o leyendas y fuente.
- Las líneas que corresponden al gráfico mismo deben ser más gruesas que los ejes.
- Por lo general la variable se representa en el en el eje horizontal y la frecuencia eje vertical.
- Las divisiones de la escala deben ser claramente indicadas.
Algunas representaciones gráficas: las más usadas
VARIABLES CUALITATIVAS
La representación mediante barras es el gráfico más simple y es muy útil cuando se trata de datos pertenecientes a una variable cuyo nivel de medición es una escala nominal u ordinal.
Es conveniente hacer las barras más anchas que los espacios entre ellas; y el eje que representa la escala, separado de las mismas. Las barras se pueden construir con frecuencias absolutas, relativas o bien con porcentajes que son mejores para la comparación
Gráfico Nº 1
Cantidad de alumnos presentados a las mesas examinadoras en un turno especial según carreras, Fac. Cs. Pol. y Sociales, UNCuyo, 2000
Fuente: elaboración propia con los datos suministrados por Dirección de Alumnos, año 2005
MESAS Carreras
C
an
tid
ad
d
e
al
um
no
s
26 28 30 32 34 36 38 40 42
Barras combinadas.
Mediante la utilización de barras dobles o triples se pueden representar subgrupos dentro de un mismo grupo. Cuando se usan estas barras múltiples se puede proceder de dos formas: o bien las barras que representan los subgrupos se dibujan contiguas, o van separadas por un pequeño espacio, en este último caso, el espacio entre las barras en un mismo grupo debe ser más estrecho que el espacio entre grupos de barras.
Gráfico Nº 2
“Distribución de frecuencias del sexo de los alumnos que ingresaron a la FCPyS, UNCuyo, en 2008 según Carrera”
Sexo
Varon Mujer
P
or
ce
nt
aj
e
100
80
60
40
20
0
Carrera
Sociología
Ciencias Políticas
Comunicación Social
Trabajo Social 8
92
39 61
35 65
31 69
Barras Apiladas
Este tipo de diagrama es especialmente útil cuando se trata de comparar datos que, tabulados, originan dos o más distribuciones con un número de grupos relativamente pequeño. Cada barra, que representa a un grupo, tiene apilados una serie de rectángulos dónde cada uno representa la cantidad de casos de la segunda variable en estudio.
Veamos un ejemplo: en el siguiente gráfico hay dos grupos conformados por el nivel de ingreso del jefe de hogar y a su vez estos están clasificados por su nivel educativo. El primer grupo representa a todos los jefes de hogar que tienen un ingreso menor o igual a la mediana (valor medio de los ingresos) y a su vez cada división de la barra representa a los jefes de hogar de ése nivel de ingreso con los distintos niveles educativos (señalando con distinto color la cantidad de casos).
Gráfico Nº 3
Nivel educativo del jefe de hogar según su nivel de ingreso
Nivel de ingreso
mayor Me hasta Me
F
re
cu
en
ci
a
30
20
10
0
Nivel educativo
h/unv. compl.
h/univ. incompl.
h/terc.incomp.
h/secund. compl.
h/prim. incomp.
Representación sectorial
En este caso se analizan los datos comparando sectores de un círculo en vez de longitudes de rectángulos.
Este tipo de gráfico es eficaz mientras el número de sectores sea pequeño y cada sector tenga un tamaño que permita designarlo fácilmente y la comparación resulte sencilla.
Veamos un ejemplo:
Los siguientes gráficos de sectores circulares nos permiten comparar la distribución por sexo de los alumnos cursantes del primer año de dos carreras. Cada sector representa la frecuencia correspondiente a cada modalidad de la variable sexo.
Gráfico Nº 4
Distribución por SEXO de los alumnos de primer año de COMUNICACIÓN SOCIAL y TRABAJO SOCIAL de la Facultad de Ciencias Políticas y Sociales, Universidad
Nacional de Cuyo, año 2008
COMUNICACIÓN SOCIAL TRABAJO SOCIAL
Sexo
37.5%
59.4% 3.1% Varon
Mujer Omitido
Sexo
7.7%
92.3% Varon
Mujer
Esta representación permite visualizar rápidamente la diferencia, que hay, entre las dos carreras respecto a la distribución del sexo. La suma de las frecuencias de cada carrera corresponde al 100% de los casos lo que equivale a los 360 grados de la circunferencia. Cada 1 % le corresponde 3,6 grados (360/100= 3,6). Si los varones en Trabajo Social representan el 7,7 % el sector circular correspondiente en la circunferencia es de 27,7 grados y al 92,3 % de las mujeres, le corresponden un sector circular de 332,3 grados.
VARIABLES CUANTITATIVAS Gráfico de bastones
Cuando la variable es discreta conviene representar los datos mediante un gráfico de bastones o “barras” una para cada categoría o valor de la variable. El alto del bastón corresponde a la frecuencia de cada valor de la variable.
Gráfico Nº 5
Cantidad de personas por hogar de 14 a 65 años correspondiente a una muestra aleatoria de familias del Gran Mendoza, Mendoza, 2006
Personas por hogar
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
F
re
cu
en
ci
a
12
10
8
6
4
2
0
Al ser un gráfico para variables discretas debe quedar claro que entre dos valores no existen valores intermedios. En nuestro ejemplo hay familias con 1 ó 2 ó 3…etc. personas. En caso de trabajar con intervalos de clase cada bastón se dibuja en el punto medio de la clase.
VARIABLES CONTIMUAS Histogramas
Cuando la variable es continua conviene usar rectángulos o barras unidas, en lugar de líneas o barras separadas, para representar las frecuencias o la función de frecuencias. Este gráfico se denomina histograma y se usa para variables medidas en escalas de intervalos y de razón o proporción.
Para poder realizar este gráfico previamente debemos agrupar los valores de la variable en clases o intervalos de clase. Si los intervalos tienen todos la misma amplitud se puede realizar directamente la representación por histograma. Cuando los intervalos de clase no tengan el mismo tamaño resulta necesario previamente homogeneizar las frecuencias, esto significa que las frecuencias absolutas correspondientes a cada intervalo de clase deben ser divididas por la amplitud del intervalo de clase.
En el eje horizontal del gráfico se colocan los intervalos y en el vertical las frecuencias absolutas o relativas porcentuales. Los límites de las clases deben estar perfectamente definidos para evitar duplicar datos. Debemos tomar un criterio y seguirlo en todos los intervalos.
La altura de cada barra corresponde a la frecuencia de cada clase o intervalo de clase. Este gráfico es muy útil para representar una gran cantidad de datos y muy importante para detectar valores típicos o atípicos o extremos en una distribución. Los valores atípicos deben verificarse. Si existen realmente en la distribución, nos informan de la dispersión de la variable. Puede que no existan y sean errores involuntarios que han ocurrido: al registrar el dato cuando se efectúa la medición o bien cuando se realiza la carga para armar la base de datos.
Gráfico Nº 6
Promedio sin aplazo de los alumnos de una cohorte de las cuatro carreras de la Facultad de Ciencias Políticas y Sociales, UNCuyo, Mendoza, 2004
Promedios sin aplazos
9.50 9.00 8.50 8.00 7.50 7.00 6.50 6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 30
20
10
0
Fuente: elaboración propia con datos suministrados por Dirección de Alumnos para la investigación “Perspectivas de egreso de los estudiantes de la Facultad de Cs. Políticas y Sociales, UNCuyo” de Lidia Diblasi, en Mendoza, entre los años 2002-2004.
En este histograma se pueden detectar perfectamente valores extremos que fueron revisados, son reales y corresponden a un estudiante con muy pocas materias aprobadas y con la nota mínima. También se puede detectar que el intervalo cuyo punto medio es 7.50, es el que tiene mayor cantidad de casos.
Polígono de frecuencias
Veamos un ejemplo: Gráfico Nº 7
El gráfico representa la estatura de los 50 niños que vimos en la tabla Nº 5 de éste capítulo con los datos agrupados en clases de amplitud 3cm, en el podemos observar la forma de la distribución y el intervalo donde se encuentra la mayor cantidad de frecuencias: 103.5 a 106.5 cm.
Gráfico Nº 8
Estatura de 50 niños, en cm, Mendoza, 2001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 91,5 -94,5 94,5 -97,5 97,5 -100,5 100,5 -103,5 103,5 -106,5 106,5 -109,5 109,5 -112,5 112,5 -115,5 115,5 -118,5 118,5 -121,5 121,5 -124,5
Estatura en cm de dos grupos de niños de la misma edad de distintos Dptos de Mza, 2001
En el gráfico número ocho se han dibujado dos polígonos superpuestos lo que nos permite comparar dos grupos de unidades de análisis en los cuales se está estudiando la misma variable.
Rápidamente se pueden observar las diferencias y similitudes entre los conjuntos que se están comparando. La ventaja del polígono de frecuencias respecto al histograma es que el polígono, al ser una línea, permite la superposición.
Ojivas
Este es un gráfico específico para representar las frecuenciasacumuladas o la función de frecuencias relativas acumulada porcentuales.
Al igual que el histograma y el polígono de frecuencias se utilizan para representar las variables cuantitativas continuas medidas en escala de intervalos o de razón. En el eje horizontal se representa los límites reales de los intervalos de clase y en el eje vertical las frecuencias acumuladas o las acumuladas porcentuales que permiten una más rápida comprensión del tema. Sirve para leer la cantidad de casos que están por debajo de un determinado valor. En nuestro ejemplo podríamos decir
Estatura, en cm, de un grupo de niños, frecuencias acumuladas, Mendoza 2001
0 10 20 30 40 50 60
91,5 -94,5
94,5 -97,5
97,5 -100,5
100,5 -103,5
103,5 -106,5
106,5 -109,5
109,5 -112,5
112,5 -115,5
115,5 -118,5
que hay 30 niños que miden hasta 108cm aproximadamente.
También la ojiva nos sirve para comparar dos o más grupos en un mismo gráfico al igual que el polígono.
Veamos un ejemplo
Gráfico Nº 8
Ojiva de frecuencias acumuladas de la variable Edad de los alumnos de primer año, de las carreras de Trabajo Social y Sociología, Fac. Ciencias Políticas y Sociales, UNCuyo
Mendoza, 2008 Edad 50 44 43 42 40 36 33 28 27 24 23 22 21 20 19 18 17 P or ce n ta je a cu m u la d o 120 100 80 60 40 20 0 Carrera Sociología Trabajo Social
Fuente: Datos suministrados por la cátedra “Técnicas Estadísticas para la Investigación Social”, Facultad de Ciencias Políticas y Sociales, UNCuyo, Mendoza, 2008. Gráfico elaborado por los alumnos Juan Ignacio Román y Octavio Stacchiola en su informe final.
Diagrama de tallos y hojas de Tukey
El diagrama de tallos y hojas es una representación muy útil para variables cuantitativas discretas, aunque también es posible realizarlo con las variables continuas cuando están registradas como discretas.
En la columna de la izquierda (tallo) se coloca la primera o la primera y la segunda, etc. y en las de la derecha el último dígito. Veamos un ejemplo con los datos de la estatura de los 50 niños. Como el valor menor es 95 cm y el máximo o valor mayor es 120, en el tallo ponemos en la primera columna: 09; 10; 11; 12 y en las filas correspondiente al 09 todas las estaturas que comienzan en 90 como 5; 7; 7; 8; 9, y así con las que comienzan con 10; 11 y 12:
Estatura de 50 niños.
95 111 110 99 108 95 111 110 100 104
105 111 120 115 97 101 97 100 100 104
105 105 117 101 1O3 102 113 113 117 107
109 102 104 104 112 114 109 112 115 106
114 116 108 107 103 109 116 107 106 100
El diagrama resultante es: del valor 95, el número 9, se coloca en el tallo y el cinco en la hoja; del valor 100: el número diez se coloca en el tallo y el segundo 0 en las hojas y se repite tantas veces como aparezca el número 100. En el ejemplo el 100 aparece 3 veces por eso en la hoja correspondiente al tallo 10 hay tres 0.
Una vez terminado el diagrama podemos observar cuáles son los valores más repetidos y cuáles los menos.
9 5 7 7 8 9
10 0 0 0 1 1 2 2 2 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 11 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
Cajas y patillas
El gráfico de cajas y patillas, llamados así por su forma, son útiles para interpretar los puntajes en cada variable. Los límites de la caja marcan el primer 25 % de la distribución de los datos y el límite superior de la caja, el 75 % de los datos ordenados de menor a mayor. Por su parte la caja representa el 50 % central de la distribución, o dicho de otra forma, los valores medios incluyendo al promedio. Los extremos de las patillas representan el valor mínimo y el valor máximo del recorrido de la variable. Si la caja está en el centro del recorrido de la patilla y también lo está la marca o línea trazada dentro de la caja (que representa el valor de la mediana) nos indica que la distribución de la variable es simétrica. Estos gráfico son muy importantes cuando queremos comparar una variable en distintos grupos o bien más de una variable en un mismo grupo. El gráfico siguiente es un ejemplo de los puntajes obtenidos en las distintas áreas del nivel medio de una muestra de 547 alumnos, de los colegios de jurisdicción de la UNCuyo, Mendoza, 1999.
Gráfico Nº 10
Puntajes de las distintas variables de 8º y 9º año de alumnos de colegios de jurisdicción provincial, Mendoza, 2001.
Min-Max 25%-75% Median value Box & Whisker Plot
-20 0 20 40 60 80 100 120
MATEM
Fuente: elaboración propia sobre la base de encuestas realizadas para el proyecto:
“Cómo orientar la elección de una modalidad”. Morchio, Ida Lucía y Diblasi, Lidia, Publicado por AIQUE grupo editor S.A., Bs. As.,1999.
En el gráfico Nº 10 se han representado una serie de áreas del nivel medio de educación mediante los puntajes obtenidos como resultados de la aplicación de un test el IEP (inventario de Experiencias y Proyectos). Si observamos las distintas cajas podemos apreciar que la mayoría de las variables tienen una distribución simétrica. Salvo Matemática y Música que presentan una leve asimetría en la posición de la mediana. En éste caso se han comparado 13 variables de un mismo grupo.
Veamos otro ejemplo: donde una misma variable se analiza en varios grupos Gráfico Nº 11
Proporción de materias rendidas aprobadas sobre el total de materias de cada carrera y sexo, de la
Facultad de Ciencias Políticas y Sociales, UNCuyo, 2004
Fuente: elaboración propia con los datos suministrados por Dirección de Alumnos para el Proyecto: “Perspectivas de egreso de los estudiantes de las cuatro carreras de la facultad de Ciencias Políticas y Sociales, UNCuyo” tesis de maestría de Lidia Diblasi, FLACSO, 2004
4 33
12
18 22 53 55
Para la confección de este gráfico se realizó un indicador, para medir el rendimiento académico, teniendo en cuenta la cantidad de materias aprobadas por cada alumno sobre el total de materias de cada carrera. En cada grupo que representa una carrera se subdividió a su vez en dos subgrupos según el sexo.
Esta forma de representar los datos cuantitativos es muy buena para la comparación porque permite visualizar muy rápidamente las diferencias o semejanzas entre los grupos.
En ellos suelen aparecer por debajo o por arriba de las patillas asteriscos o círculos que nos están diciendo de la existencia de valores extremos (“autliers”) que son aquellos que debemos revisar ya que suelen ser errores de medición o de carga de datos.
OTRAS REPRESENTACIONES GRÁFICAS Gráfico de líneas o curvas
Generalmente se utilizan cuando se quiere mostrar las variaciones que experimenta una variable con el transcurso del tiempo. Se las suele denominar gráficas de series de tiempo. No está implicado el concepto de área. Esta es una gráfica en la que la línea base (eje X) representa el tiempo. Este puede ser medido en años, meses, semanas, días, etcétera. Nos muestra la tendencia de una variable en un período de tiempo dado.
Proporcionan información relacionada con los cambios que se han producido en dicho período. Son muy usados para mostrar las variaciones de los índices de precios, de empleo y desempleo, de producción de determinados productos, etcétera.
Gráfico Nª 12
Alumnos ingresantes a la facultad de Ciencias Políticas y Sociales de la UNCuyo, período 1993 – 2008, Mendoza, 2009
Fuente: Elaboración propia en base a los datos suministrados por Dirección Alumnos de la Fac. de Ciencias Políticas y Sociales; UNCuyo
FORMAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Los gráficos pueden ayudarnos a visualizar la variedad de formas que toman las distribuciones de frecuencias. Algunas son simétricas: si doblamos la curva por el centro creamos dos mitades idénticas. Tienen el mismo número de valores en ambas direcciones. Otras distribuciones son sesgadas: tienen más casos extremos en una dirección que en otra.
0 50 100 150 200 250 300 350 400
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Año Cantidad de ingresante
Las distribuciones asimétricas o sesgadas tienen una “cola” pronunciada, ya que los puntajes se apilan en una sola dirección. La posición de esta cola indica dónde están localizados los relativamente pocos puntajes extremos y determinan la dirección del sesgo.
Si la cola está a la derecha, decimos que la distribución está positivamente sesgada. La mayoría tiene una puntuación baja y sólo unos pocos una puntuación alta.
Si ambas colas son idénticas, existe casi el mismo número de puntaje en ambas direcciones. La distribución es perfectamente simétrica
Una distribución está negativamente sesgada cuando tiene una cola mucho más larga a la izquierda que a la derecha. Ello implica que la mayoría de los entrevistados tienen una puntuación alta y sólo unos pocos tienen una puntuación baja.
.
Dentro de las distribuciones simétricas existen algunas diferencias en cuanto al grado de "agrupamiento" distribución (o curtosis) de los datos alrededor de un punto en la distribución. Algunas son bastante puntiagudas, cuando el grado de concentración de los casos es bastante alto (leptocúrticas); otras son bastante planas debido a que la distribución es más uniforme (platicúrticas), y otras, no son ni muy puntiagudas ni muy planas (mesocúrticas). Un ejemplo de distribución simétrica mesocúrtica de especial importancia para la investigación social es la curva normal, tiene curvas más suaves y forma de campana.
Figura Nª 1
. Figura Nº 2
Figura Nº 3
EJERCICIOS PROPUESTOS
1- Con la información que posee al final del ejercicio:
a- Diga cuál es el nivel de medición en el cuál está expresada esta variable.
b- Haga dos tabla con los datos agrupados en intervalos de clase. Obtenga: frecuencias absolutas y absolutas acumuladas
c- Construya los histogramas correspondientes con los datos de los cuadro y diga qué diferencia hay entre ambas distribuciones de acuerdo a su forma
Puntajes del C.I. de 50 estudiantes en dos grupos de 25 Grupo A
85 119 93 99 106
91 91 89 120 106
104 106 124 101 97
113 120 96 108 104
125 129 105 118 105
Grupo B
102 108 109 114 108
127 100 104 106 114
121 108 113 105 125
116 114 118 115 121
100 102 110 108 122
2- Los datos que tiene a continuación representan las edades de dos grupos de niños que concurren a distintos comedores comunitarios de zonas periféricas (datos suministrados por personal municipal, institución responsable de los comedores, en diciembre de 1999). Construir:
a- Diga cuál es el nivel de medición en el cuál está expresada esta variable.
b- Haga dos tabla con los datos agrupados en intervalos de clase. Obtenga: frecuencias absolutas y absolutas acumuladas
c- Construya los polígonos correspondientes con los datos de los cuadro y diga qué diferencia hay entre ambas distribuciones de acuerdo a su forma.
d- Póngales título y fuente a los gráficos.
Edades de dos grupos de niños que concurren a comedores comunitarios
Grupo 1
3 5 6 3 2 4
6 7 3 6 4 5
4 5 6 2 6 8
6 7 4 5 3 4
7 2 9 10 8 2
Grupo 2
3 5 6 1 2 4
4 2 3 5 4 5
3 5 4 2 4 5
6 2 4 5 3 4
7 2 9 10 3 2
6 2 1 2 3 4
3- Los datos que tiene a continuación representan la cantidad de materias rendidas por un grupo de alumnos de tercer año de la carrera de Sociología (datos suministrados por los integrantes de un equipo de investigación de la facultad de Cs. Pol. y Sociales de la UNCuyo, Mza, 1999). Construir:
a- Un cuadro con los datos agrupados en intervalos con frecuencias absolutas y acumuladas
b- Decir que tipo de variable es en cuanto a su nivel de medición y construir un gráfico apropiado, ponerle título y fuente al gráfico (de considerarlo necesario puede agregar alguna información).
c- Hacer un diagrama de tallos y hojas
d- Un gráfico transformando la variable en cualitativa.
e- Una lectura con cada gráfico y decir qué forma tiene la distribución con la que está trabajando.
3 5 6 1 12 4 3 5 6 1 2 4
4 5 3 6 4 5 4 5 13 6 4 5
4 5 11 2 6 7 4 11 4 2 6 7
6 7 4 5 3 4 6 7 4 5 3 4
7 2 9 10 3 2 7 2 9 10 3 12
6 7 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4
4- Los datos que tiene a continuación representan las edades de dos grupos de alumnos de distintos años que han cursado tercer año de la carrera de Sociología (datos suministrados por personal de la cátedra Técnicas Estadísticas, de la Fac. de Cs. Pol. Y Sociales). Con ellos deberá:
a- Decir cuál es el nivel de medición en el cuál está expresada la variable. b- Hacer dos tabla con los datos agrupados en intervalos de clase. Obtener:
frecuencias absolutas y absolutas acumuladas porcentuales
c- Construir los polígonos de frecuencias correspondientes y decir qué diferencia hay entre ambas distribuciones de acuerdo a su forma.
Grupo 1
19 20 22 31 20 40
20 20 21 27 23 20
20 19 26 21 24 20
22 22 24 19 25 20
22 22 29 20 52 20
53 37 37 20 31 19
Grupo 2
18 19 19 21 25 34
24 21 30 25 19 26
20 25 24 22 24 23
20 23 19 20 23 21
21 21 24 20 23 22
20 28 21 22 30 24
5- Los siguientes datos representan la cantidad de páginas que poseen los informes presentados por dos grupos de concejales de partidos opositores sobre una problemática de una zona periférica (datos suministrados por personal municipal, de la Comuna "XX" en Mza ). Construir:
a- Diga cuál es el nivel de medición en el cuál está expresada esta variable
b--Dos cuadros con los datos agrupados en intervalos con frecuencias absolutas y acumuladas porcentuales.(usar módulos iguales para ambos grupos)
c- Construir un gráfico apropiado a la variable, para cada grupo y ponerle título y fuente (de considerarlo necesario puede agregar alguna información).
Grupo A
13 15 16 11 22
14 15 13 16 14
10 20 24 12 16
16 27 14 15 13
17 12 19 9 23
16 17 11 12 13
Grupo B
14 13 15 16 11
15 14 15 13 16
17 14 25 14 12
14 16 17 14 15
22 17 12 19 10
14 16 17 11 12
a- Diga cuál es el nivel de medición en el cuál está expresada esta variable
b- Realice un cuadro con los datos agrupados en intervalos con frecuencias absolutas y relativas
c- Transformar la variable en cualitativa y construir un gráfico apropiado; ponerle título y fuente (de considerarlo necesario puede agregar alguna información).
10 15 16 11 22 14 13 15 16 11
14 15 13 16 14 15 14 15 13 26
10 20 24 12 16 17 14 25 14 12
16 27 14 15 13 14 16 17 30 15
17 12 29 9 23 22 17 12 19 10
16 17 11 12 13 14 16 17 11 12
7- Los datos que tiene a continuación representan las edades de un grupo de jóvenes que concurren a distintos eventos culturales (datos suministrados por el personal de la Institución organizadora, Mza,2009).
a- Diga cuál es el nivel de medición en el cuál está expresada esta variable.
b-Haga una tabla con los datos agrupados en intervalos de clase. Obtenga: frecuencias absolutas, relativas y acumuladas
c-Construya una ojiva con los datos de los cuadro, póngale título y fuente, y realice dos lecturas apropiadas para este tipo de gráficos.
23 25 26 33 30 24
16 28 23 26 24 35
34 15 16 19 16 28
26 17 24 15 23 15
17 22 19 20 28 19
16 27 31 22 23 24
Bibliografía:
Ambrosi, Hugo Oscar, “La verdad de las Estadísticas. Aprender con los datos” Lumiere, Buenos. Aires, 2008
Bancroft, Huldah, "Introducción a la Bioestadística", EUDEBA.
Box, G.E.P.; Hunter, William; Stuart Hunter, J. “Estadística para investigadores.
Introducción al diseño de experimentos, análisis de datos y construcción de modelos” Ed. Reverté, México, 2005.
Cea D`Ancona, María Ángeles, “Metodología Cuantitativa. Estrategias y Técnicas de
Investigación Social” Ed. Síntesis Sociología, Madrid, 2001.
Baranger, Denis, “Construcción y análisis de datos” Ed. Universitaria, UNM, Posadas, 1999.
Daniel, Wayne, “Estadística con aplicaciones a las Ciencias Sociales y de la
Conducta” Mc. Graw Hill, 1981
García Ferrando, Manuel; "Socioestadística. Introducción a la Estadística en Sociología" Ed. Alianza, 1992.
Hernandez Sampieri, R.; Fernandez Collado, C.; Baptista Lucio, P. “Metodología de la
Investigación” Mc Graw Hill, Colombia 1994
Hokins, K; Hopkins, B.R.; Glass, G. “Estadística Básica para las Ciencias Sociales y del
Comportamiento”, Prentice Hall, 1997
Sentis,J.; Pardell,H.; Cobo,E., Canela,J. “Bioestadística” Masson.S.A. España, 1995. Spiegel, Murray, "Teoría y Problemas de Estadística", Serie de Compendios Shaum,. Instituto Nacional de Estadísticas y Censos, Encuesta Permanente de Hogares,
Ministerio de Economía, Gran Buenos Aires Octubre de 1997. Diblasi, Lidia y Romagnoli, Ricardo, "Distribuciones de frecuencias y representaciones
