Mecatrónica
Módulo 1 - 4
Fundamentos,
Competencia intercultural y
administración de proyectos,
Técnica de fluidos,
Accionamiento y mandos
eléctricos
Libro de Texto
(Concepto)
Proyecto ampliado de transferencia del concepto europeo para la
calificación agregada de la Mecatrónica las fuerzas especializadas en la
producción industrial globalizada
Proyecto EU Nr. 2005-146319 „MINOS“, Plazo: 2005 hasta 2007
Proyecto EU Nr. DE/08/LLP-LdV/TOI/147110 „MINOS**“,
Plazo: 2008 hasta 2010
El presente proyecto ha sido financiado con el apoyo de la Comisión Europea. Esta publicación
(comunicación) es responsabilidad exclusiva de su autor. La Comisión no es responsable del uso que pueda hacerse da la información aquí difundida.
Technische Universität Chemnitz, Institut für Werkzeugmaschinen und Produktionsprozesse, Deutschland – Projektleitung
Corvinus Universität Budapest, Institut für Informationstechnologien, Ungarn Universität Stockholm, Institut für Soziologie, Schweden
Technische Universität Wroclaw, Institut für Produktionstechnik und Automatisierung, Polen
Henschke Consulting Dresden, Deutschland
Christian Stöhr Unternehmensberatung, Deutschland Neugebauer und Partner OHG Dresden, Deutschland Korff Isomatic sp.z.o.o. Wroclaw, Polen
Euroregionale Industrie- und Handelskammer Jelenia Gora, Polen Dunaferr Metallwerke Dunajvaros, Ungarn
Knorr-Bremse Kft. Kecskemet, Ungarn
Nationales Institut für berufliche Bildung Budapest, Ungarn
IMH, Spanien
VUT Brno, Tschechische Republik
CICmargune, Spanien
University of Naples, Italien Unis, Tschechische Republik
Blumenbecker, Tschechische Republik Tower Automotive, Italien
Bildungs-Werkstatt gGmbH, Deutschland
VEMAS, Deutschland
Concepto conjunto de enseñanza:
Libro de texto, libro de ejercicios y libro de soluciones
Módulo 1-8: Fundamentos / Competencia intercultural y administración de proyectos /
Técnica de fluidos / Accionamiento y mandos eléctricos / Componentes mecatrónicos / Sistemas y funciones de la mecatrónica / La puesta en marcha, seguridad y teleservicio / Mantenimiento y diagnóstico
Módulo 9-12: Prototipado Rápido/ Robótica/ Migración Europea/ Interfaces
Todos los módulos están disponibles en los siguientes idiomas: Alemán, Inglés, español, italiano, polaco, checo, húngaro
Más Información
Dr.-Ing. Andreas Hirsch
Technische Universität Chemnitz
Reichenhainer Straße 70, 09107 Chemnitz, Deutschland Tel: + 49(0)371 531-23500
Fax: + 49(0)371 531-23509 Email: [email protected]
Mecatrónica
Módulo 1: Fundamentos
Libro de Texto
(Concepto)
Matthias Römer
Universidad Técnica de Chemnitz,
Alemania
Proyecto ampliado de transferencia del concepto europeo para la
calificación agregada de la Mecatrónica las fuerzas especializadas en la
producción industrial globalizada
Proyecto EU Nr. 2005-146319 „MINOS“, Plazo: 2005 hasta 2007
Proyecto EU Nr. DE/08/LLP-LdV/TOI/147110 „MINOS**“,
Plazo: 2008 hasta 2010
El presente proyecto ha sido financiado con el apoyo de la Comisión Europea. Esta publicación
(comunicación) es responsabilidad exclusiva de su autor. La Comisión no es responsable del uso que pueda hacerse da la información aquí difundida.
1 Matemática técnica
1.1 Reglas aritméticas 1.2 Cálculo con fracciones
1.3 Operaciones aritméticas avanzadas 1.4 Números binarios
1.4.1 Números binarios en el ordenador 1.5 Cálculo con variables
1.6 Cálculo porcentual 1.6.1 Cálculo de intereses 1.7 Geometría 1.7.1 Ángulos 1.7.2 Cuadriláteros 1.7.3 Triángulos 1.7.4 Funciones trigonométricas 1.7.5 Círculo 1.7.6 Cuerpos 2 Ingeniería física 2.1 Fundamentos de la física
2.1.1 Magnitudes y unidades físicas 2.1.2 Ecuaciones físicas 2.2 Fuerza 2.2.1 Suma de fuerzas 2.2.2 División de fuerzas 2.3 Momento de rotación
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Índice
2.4 Equilibrio de fuerzas y movimiento acelerado 2.5 La ley de la palanca
2.6 Presión
2.6.1 Transmisión de fuerzas 2.6.2 Transmisión de presión 2.6.3 Ley de los gases ideales 2.6.4 Medios en movimiento 2.7 Tensión
2.8 Fricción
2.9 Distancia, velocidad y aceleración 2.9.1 Movimiento uniforme 2.9.2 Movimiento acelerado
2.9.3 Fuerzas de cuerpos en movimiento 2.10 Rotación
2.10.1 Velocidad angular 2.10.2 Aceleración angular 2.11 Trabajo, energía y potencia
2.11.1 Trabajo 2.11.2 Energía
2.11.3 Ley de conservación de energía 2.11.4 Potencia
2.11.5 Eficiencia energética 2.12 Termología
2.12.1 Temperatura
2.12.2 Dilatación de cuerpos sólidos 2.12.3 Dilatación de los gases
2.12.4 Energía y térmica y capacidad calorítica
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3. Dibujo técnico
3.1 Fundamentos del dibujo técnico
3.1.1 El dibujo técnico como medio de comunicación de la técnica 3.1.2 Tipos de planos
3.1.3 Formato de papel
3.1.4 Campos de escritura y lista de piezas 3.1.5 Escalas
3.2 Representaciones de planos 3.2.1 Vistas
3.2.2 Tipos y espesores de linea 3.2.3 Acotamientos
3.3 Inscripciones de medidas en dibujos
3.3.1 Lineas de medida, lineas adicionales y cotas 3.3.2 Peculiaridades de la medición
3.4 Acabados de superficies
3.4.1 Mención de las características de la superficie en el dibujo 3.5 Tolerancia de forma y posición
3.5.1 Tolerancias dimensionales 3.5.2 Ajustes
3.6 Dibujo técnico e informática 3.6.1 CAD
3.6.2 Máquinas de control numérico
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1.1
Reglas aritméticas
1
Matemática técnica
Las operaciones básicas de la Aritmética son: la adición, la sustracción, la multiplicación y la división.
En la adición se suman los números. En la sustracción, la operación inversa a la adición, se van restando. Estas dos operaciones se deno-minan de suma y resta debido a los signos + y – .
Multiplicar es hacer algo repetidas veces mayor. La división, la operación inversa a la multiplicación, consiste en separar un número en partes iguales. Estas operaciones se denominan así porque constan de uno o de dos puntos, y tienen prioridad a las de suma y resta, por lo que deben calcularse con anterioridad.
En el orden de operaciones la multiplicación y la división preceden a la suma y a la resta.
Multiplicar dos números consiste en sumar reiteradamente el primero. Así, 3 + 3 + 3 + 3 tiene el mismo resultado que 4 • 3. En algunas publicacio-nes se utiliza también el signo * en lugar del punto para la multiplicación. La potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. Así, 3 • 3 • 3 • 3 tiene el mismo resultado que 34.
Las potencias tienen prioridad sobre la multiplicación y división. Por eso deben calcularse anteriormente.
El cálculo de las potencias preceden a la multiplicación y división. El cálculo de paréntesis tiene el nivel de prioridad más alto.
En primer lugar se resuelven siempre los paréntesis. 3 + 5 = 8 12 – 5 = 7 3 · 5 = 15 20 : 4 = 5 4 + 2 · 3 = 4 + 6 = 10 (4 + 2) · 3 = 6 · 3 = 18 Importante Importante Importante Ejemplo
Las operaciones sencillas se pueden calcular mentalmente. Sin embargo, se usa muchas veces la calculadora. Es importante tener en cuenta que muchas calculadoras simples realizan las operaciones por separado una tras de otra. Otras calculadoras dan la posibilidad de calcular fórmulas completas. Se puede introducir la fórmula y así la calculadora tiene en cuenta las prioridades de cálculo. Sin embargo, de nosotros depende cumplir las reglas matemáticas. Si se usa una calculadora ajena es mejor comprobar primero si obedece ciertas reglas.
¡Solucione el ejercicio número 1 del libro de ejercicios!
En la sustracción el segundo valor puede ser mayor que el primero. El resultado es un número negativo, que tiene un menos como signo. Normalmente el signo más puede suprimirse. Para evitar que un signo de cálculo esté detrás de un signo algebraico, se pone el número con el signo algebraico en paréntesis.
En la suma y en la resta, cuando dos son iguales, se convierten en un +, y si son diferentes, cambian a un -. Así se calcula cada paréntesis de forma individual 8 – 14 = – 6 4 + ( + 5 ) = 4 + 5 = 9 4 – ( – 5 ) = 4 + 5 = 9 5 – ( + 4 ) = 5 – 4 = 1 5 + ( – 4 ) = 5 – 4 = 1
¡Solucione el ejercicio número 2 del libro de ejercicios!
Cuando hay más sumandos entre paréntesis cada signo tiene que cal-cularse por separado para poder quitar los paréntesis.
– ( 5 + 6 ) = – 5 + ( – 6 ) = – 5 – 6 = – 11 – ( 5 – 6 ) = – 5 + ( + 6 ) = – 5 + 6 = 1
– ( a + b + c ) = – a + ( – b ) + ( - c ) = – a – b – c – ( – a + b – c ) = + a + ( – b ) + ( + c ) = a – b + c ¡Solucione el ejercicio número 3 del libro de ejercicios!
Observación Ejercicio Ejemplo Ejercicio Ejercicio Ejemplo
En la multiplicación y en la división también se aplica la regla de los signos, cuando dos son iguales se convierten en un + y si son diferentes cambian a un -. ( + 5 ) · ( + 6 ) = + 30 ( – 5 ) · ( – 6 ) = + 30 ( + 5 ) · ( – 6 ) = – 30 ( – 18 ) : ( – 6 ) = + 3 ( – 18 ) : ( + 6 ) = – 3
¡Solucione el ejercicio número 4 del libro de ejercicios!
En la adición y multiplicación se puede cambiar el orden de los suman-dos o factores respectivamente. A esta regla se la conoce como Ley de conmutativa. Generalmente se puede escribir de la siguiente manera: a + b = b + a
a · b = b · a
La segunda norma se llama ley de asociación. Significa que cuando hay más operaciones iguales en la adición o multiplicación el orden de los sumandos o factores no importa. Además, en este caso, se pueden quitar los paréntesis.
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a · ( b · c ) = ( a · b ) · c
La tercera norma es la propiedad distributiva. La suma de dos o más números, multiplicada por otro número, es igual a la suma del producto de cada número con su factor correspondiente.
a · ( b + c ) = a · b + a · c
Cuando hay más sumandos entre paréntesis, se tiene que multiplicar cada sumando. Si se calcula con variables se puede quitar el signo de multiplicación.
( a + b ) · ( c + d ) = a · ( c + d ) + b · ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Este cálculo también se puede representar de forma gráfica (Figura 1). La multiplicación de dos elementos (a + b ) y ( c + d ) produce el área de un rectángulo. Cuando se unen los segmentos a y b, así como c y d, se produce de nuevo el rectángulo, que tiene la misma área que el primero.
Ejemplo
Figura 1: Representación gráfica de la multiplicación
Ejercicio
Si aplicamos la ley distributiva al revés, realizamos una exclusión. Cuando varios sumandos tienen el mismo factor, se pueden dejar fuera del paréntesis.
ab + ac = a ( b + c ) 15x – 5y = 5 ( 3x – y )
¡Solucione el ejercicio número 5 del libro de ejercicios!
1.2
Cálculo con fracciones
1:3 = 1 3
Cuando se divide un número determinado en partes iguales no es siem-pre posible obtener una solución en números enteros. Por ejemplo, si repartimos seis manzanas entre tres personas, cada una recibe dos. Pero cuando tenemos tres personas y una manzana, tenemos que cortarla. Este ejemplo se puede describir de la manera siguiente:
El numerador representa el número de partes congruentes que se han considerado después de dividir la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador Ejemplo a b a + b c+ d c d a ·c a ·d b ·c b ·d
Existe la posibilidad de cortar una manzana en seis partes y dar a cada uno de los tres grupos dos trozos. Aritméticamente hemos multiplicado el numerador y el denominador por dos. A esta manera de multiplicar se le llama ampliar fracciones: cuando se multiplican el numerador y el denominador con el mismo número. La amplificación de fracciones es útil para la adición y sustracción de quebrados.
Simplificar fracciones significa dividir el numerador y denominador por un mismo número. Al igual que en la amplificación, el valor de la frac-ción no cambia. Mediante esta simplificación las cifras de la fracción se disminuyen y la fracción es mucho más clara. Además el cálculo de la fracción se simplifica.
¡Con el número 0 no se puede simplificar fracciones! ¡Solucione el ejercicio número 6 del libro de ejercicios!
La adición y sustracción de fracciones solo es posible cuando las frac-ciones tienen el mismo denominador. Para sumar o restar fracfrac-ciones con denominadores diferentes se deben ampliar las fracciones para obtener los mismos denominadores. Esta manera de proceder se denomina hallar el común denominador. Los números enteros se transforman en fracciones si colocamos el valor del número como numerador y el 1 como denominador.
A continuación se suman o restan los numeradores. El denominador no varia. Ejemplo Importante Ejercicio 1 3 2 6 3 9 10 30 = = =
Si el denominador común no se puede obviar, se calcula mediante la multiplicación de los denominadores. para poder multiplicar los dos de-nominadores. El denominador común no es expresamente el menor, sin embargo el resultado es el mismo.
En el primer caso la fracción se multiplicó por 2, por lo que el denomi-nador común es 4. En el segundo ejemplo, sin embargo, se aplicó 8 como denominador común, resultante de la multiplicación de ambos denominadores, 2 por 4, y se asignó a las dos fracciones. A continua-ción el significado se simplificó. . Los dos cálculos demuestran que por ejemplo cuando se suma una media manzana y un cuarto de manzana, el resultado es tres cuartos de manzana.
¡Solucione el ejercicio número 7 del libro de ejercicios!
La multiplicación y división de fracciones es más fácil que la adición, porque no se debe determinar un común denominador.
Cuando realizamos este cálculo se multiplican simplemente los dos numeradores y los dos denominadores. Además podemos unir la línea divisoria de las dos fracciones. Antes de multiplicar se puede comprobar si se puede simplificar las fracciones resultantes, porque es mucho más fácil operar con números inferiores.
¡Solucione el ejercicio número 8 del libro de ejercicios!
La división se transforma en multiplicación. Para ello se calcula el valor recíproco del divisor. Esto sucede cuando se cambia el nominador por denominador y viceversa. Así, en la división se multiplica con el valor recíproco de la fracción.
¡Solucione el ejercicio número 9 del libro de ejercicios! 1 2+ 14 = 1 22 2+ 14 = 24+ 14 = 2+14 = 34 1 2+ 14 = 1 442 4+ 1 24 2 = 48+ 28 = 68 = 34 Ejemplo Ejercicio 1 3 34 = 1 33 4 = 14 Ejemplo Ejercicio 1 3:34 = 13 4 3 = 1 43 3 = 49 Ejemplo Ejercicio
Cuando se calculan fracciones con la calculadora se tiene que tener en cuenta que los modelos más simples no ofrecen la posibilidad de introducir las fracciones directamente. Por eso los cálculos tienen que realizarse uno tras otro.
Si se introduce la fracción de la siguiente manera, se obtiene un resul- tado falso:
3 : 2 · 5 = 7,5
Este cálculo se podría representar de diferente manera como fracción
Para calcular el ejemplo correctamente con la calculadora, se deben introducir los cálculos como sigue:
3 : 2 : 5 = 0,3
Al dividir entre 5 nos encontraremos también esta cifra en el denominador. También es posible calcular primero el denominador entero y después realizar la división del numerador entre el denominador. Este modo de operación también es necesario cuando existe una adición en el deno-minador:
En este caso se debe considerar la suma como en un cálculo entre pa-réntesis. Para ello se debe calcular la suma antes de la división: 3 : ( 2 + 5 ) = 0,428571...
La forma calculada de una fracción se denomina fracción decimal. El valor de la fracción decimal se determina por la posición de las cifras por separado. Las cifras a la izquierda de la coma son las unidades, las decenas, las centenas. En cambio a la derecha de la coma están las décimas, las centésimas, las milésimas partes. etc.
En el caso de algunas fracciones, como en nuestro ejemplo solo se pueden ver tantos decimales como permite la pantalla de la calculadora. Si se calculan más decimales se ve que los primeros seis decimales se repiten infinitamente tras la coma. 3 2 5= 0,3 3 2 5 = 7,5 Ejemplo Ejemplo 3 2 5+ = 0,428571...
Para la representación de estas fracciones decimales periódicas se es-cribe una línea encima de los números periódicos repetidos.
Dependiendo de la precisión que se exija también se puede redondear la fracción. La última cifra que queda no cambia si se trata de un 0, 1, 2, 3 ó 4. Pero cuando el siguiente número es un 5, 6, 7, 8 ó 9, entonces la última cifra se aumenta en 1.
El redondeo de una fracción, por ejemplo a dos o tres decimales, tiene el siguiente resultado:
El resultado del redondeo no es tan correcto. Por lo general, los números redondeados deberían tener uno o dos decimales más que los números de cálculo. Este redondeo a más decimales dificulta el cálculo inútilmente. 3 7= 0,428571 3 7 0,43 3 7 0,429 ≈ ≈
1.3
Operaciones aritméticas avanzadas
En las cuatro reglas aritméticas la repetición de la suma de un número concreto conduce a la multiplicación. La multiplicación repetida con el mismo factor conduce al cálculo de potencia.
La base o número básico de la potencia es el número por el que se multi-plica. Las veces que haya que se deba multiplicar este número depende del exponente, el número escrito detrás la base.
En la geometría se calcula el área A de un cuadrado multiplicando los lados a, que tienen la misma longitud, uno con otro. En el cubo se mul-tiplica la base del cubo por la altura para calcular el volumen v.
A = a · a = a2
V = a · a · a = a3
Analógicamente se multiplican también las unidades, el área se indica en m2, y el volumen en m3.
Un cubo tiene una longitud lateral de 3 m. ¿Qué volumen tiene? V = 3 m · 3 m · 3 m = 33 m3 = 27 m3
El exponente puede ser también una fracción. Este tema se tratará de forma más detallada en el apartado de raíces. Cuando un exponente es negativo, se puede transformar en un exponente positivo poniendo la potencia en el denominador de una fracción 3-2 = 1/32 = 1/9
El resultado de cualquier número con exponente 0 es 1.
El resultado de cualquier número con exponente 1 es exactamente ese número, dado que solo existe un factor.
26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
62 = 6 · 6
60 = 1
61 = 6
6–2 = 1/62 = 1/36
¡Solucione el ejercicio número 10 del libro de ejercicios!
Ejemplo
Importante Importante
Ejemplo
Una importancia especial tienen las potencias en base a 10. Se llaman potencias de diez y se usan en especial para representar números muy pequeños o muy grandes.
El cálculo de potencias de diez es muy fácil. El exponente muestra cuan-tos ceros se colocan detrás del 1. También se puede cambiar la posición de la coma a partir del 1 hacia la derecha, según lo indique el exponente. SIn embargo, con los exponentes negativos la coma se coloca hacia la izquierda. 106 = 1000000 102 = 100 100 = 1 10–2 = 0,01 10–3 = 0,001
Para representar mejor un número pequeño, se hace uso de la potencia diez. El número se muestra con un dígito con más o menos decimales y la potencia de diez indica en cuántos decimales se coloca la coma. También existe la posibilidad de utilizar potencias de base 10 con ex-ponentes divisibles por 3, por ejemplo 3, 6 y 9, al igual que –3, –6 y –9 y se pueden sustituir por estas unidades. Otras unidades por las que se puede utilizar son kilo, mega y giga, al igual que mili, micro y nano.
125000 = 1,25 · 105 = 125 · 103
0,000125 = 1,25 · 10–4 = 125 · 10–6
1 km = 103 m = 1000 m
1 nm = 10–9 m = 0,000000001 m
Ejercicio ¡Solucione los ejercicios número 11 y 12 del libro de ejercicios!
No todas las calculadoras disponen de la función para cálculo de po-tencias. Los dispositivos que realizan operaciones más avanzadas se denominan calculadoras científicas.
Para realizar cálculos con potencias con los exponentes comunes 2 y 3 se utilizan, normalmente, las teclas x2 y x3. Para introducir otros
ex-ponentes se usa la tecla xy.
Para las potencias en base a 10 se dispone de la tecla EXP. Dependien-do del modelo de la calculaDependien-dora, la potencia en base a 10 se muestra o en una pantalla aparte, o con el número de delante de la potencia con menos decimales.
¡Familiarícese con las operaciones avanzadas de su calculadora e in-troduzca los números de los ejercicios anteriores!
Solo se pueden sumar potencias cuando las bases y el exponente de las potencias en los sumandos son iguales. Este aspecto se debe tener en cuenta sobre todo cuando la base de una potencia es una variable. 2x2 + 5x2 = 7x2
1,5a7 + 3,6a7 = 5,1a7
La multiplicación de las potencias solo es posible cuando la base o el exponente son iguales. Con la misma base se suman los exponentes, en cambio con el mismo exponente se multiplican los valores de la base. an · am = a(n+m)
an · bn = (a · b)n
Al igual que en la multiplicación, en la división de potencias con la misma base se restan los exponentes uno de otro. Cuando los exponentes son iguales se dividen los valores de la base.
A la hora de elevar las potencias se multiplican los exponentes uno con el otro. De esta forma también se pueden expresar números extrema-damente grandes o pequeños.
(am)n = am•n x2 · x3 = (x · x) · (x · x · x) = x(2+3) = x5 x5 · x–2 = x(5–2) = x3 x5 · y5 = (x · y)5 Ejemplo a a = a m n (m –n) a b = ab n n n a a = a = a 12 –8 12–(–8) 20
Ejercicio ¡Solucione el ejercicio número 13 del libro de ejercicios!
Cuando se quiere calcular la longitud del lado de un cuadrado, del cuál se conoce solo su área, se debe extraer la raíz. Este cálculo se denomina también extracción de la raíz o radicación. Por ejemplo, si el cuadrado tiene un área de 4 m2, la longitud de uno de sus lados es de 2m. En
este caso se ha calculado la raíz cuadrada. El cálculo se representa de la siguiente manera:
Por tanto, para calcular la raíz de un número se tiene que determinar qué número resulta de su propia multiplicación. Este cálculo no es tan fácil, por eso la calculadora dispone de una tecla de extracción de raíz. Una raíz también se puede representar como potencia. En lugar del signo radical se escribe el exponente de la potencia como fracción. El exponente también puede tener la forma de otras fracciones. La raíz cúbica juega un papel muy importante . Con ella se calcula la longitud del lado de un cubo con un volumen conocido.
¡Solucione el ejercicio número 14 del libro de ejercicios!
Ejercicio
4 = 2
27
En nuestro sistema numérico usamos las diez cifras del 0 al 9. Los nú-meros mayores se componen de más cifras. Lo más importante en este proceso es el orden de las cifras.
Los números se califican, de izquierda a derecha, de unidades, decenas, centenas, etc. Las cifras correspondientes a centenas se multiplican por 100, las de decenas por 10. Si se representa con una unidad resulta en un número entero.
325 = 3 · 100 + 2 · 10 + 5 = 3 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100
Este modus operandi es evidente para nosotros porque tenemos diez dedos a las manos, con los que también podemos sumar. Además del sistema decimal, hay también otros sistemas numéricos. Por ejemplo, una docena consta de 12 unidades individuales. Un día consta de 12 horas por 2 y una hora de 60 minutos, al igual que un minuto tiene 60 segundos. Antes de que comience un minuto, tendrán que haber pasado 60 segundos.
Los ordenadores utilizan el sistema binario para realizar sus operacio-nes. En este sistema nos encontramos con solo dos cifras o estados, el 0 y el 1. Para evitar errores, el 1 se suele representar también como L. Este sistema numérico tiene la ventaja de que los dos estados pueden describir con una corriente eléctrica, que circula o no circula. También si una memoria está activa o no. No existen más posibilidades.
Dado que los números binarios constan solo de dos cifras, sus com-binaciones son muchos más largas que las del sistema decimal. Si comparamos los dos sistemas, nos encontraremos con la siguiente representación: Decimal Dual 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111
1.4
Números binarios
También en los números binarios el lugar de las cifras determina su valor. Sin embargo, en este sistema se utiliza una potencia de base 2, por eso se llaman números binarios.
En vez del número decimal 6 en el sistema binario se escribe: 110 = 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1
Como podemos ver, las posiciones de derecha a izquierda tienen las valencias 1, 2, 4, 8, 16 etc. Si se desea transformar un número decimal a un número binario, se divide el número entre 2 y se apunta el resto. Se continúa con el proceso hasta que el resultado de la división sea 0. Los números anotados del resto constituyen el número binario de forma invertida.
Transformación del número decimal 29 en un número binario: 29 dividido entre 2 14 resto 1
14 dividido entre 2 7 resto 0 7 dividido entre 2 3 resto 1 3 dividido entre 2 1 resto 1 1 dividido entre 2 0 resto 1
Para la determinación del número binario se escribe el resto al final del cálculo y se obtiene el resultado 11101.
Como vemos, las cifras decimales impares tienen siempre un 1 al final de la transformación a números binarios. Esto se debe a que los números impares divididos entre 2 cuentan siempre con el 1 de resto.
¡Solucione el ejercicio número 15 del libro de ejercicios!
Para transformar un número binario en un número decimal, se debe determinar el valor de cada posición. Se suman los valores con la cifra 1 y los demás se ignoran por el momento. Como ya hemos mencionado, estos son los valores con base 2. El valor que se encuentra más a la derecha es el 20, es decir 1.
Para la transformación del número binario 11001 se procede de la si-guiente manera: 1 24 = 16 16 1 23 = 8 8 0 22 = 4 0 0 21 = 2 0 1 20 = 1 1 Total: 25
¡Solucione el ejercicio número 16 del libro de ejercicios!
Ejercicio
Durante el uso de ordenadores normalmente no se entra en contacto con los números binarios. A menos que se quiera hacer un programa o o programar un controlador lógico programable, un PLC.
Por supuesto siempre es mucho mejor si estamos al tanto del modo de trabajar de los ordenadores.
Un número binario con un valor se califica de bit. . Un bit puede tener el valor 0 ó 1. Ocho bits forman un byte. Con estos ocho números se pueden describir valores de 0 hasta 255. En el sistema binario esto re-presenta 8 ceros y 8 unos respectivamente.
Cada letra y cada cifra del sistema decimal se representa en el ordena-dor en forma de bytes. El código ASCII (American Standard Code for Information Interchange) decide qué número binario corresponde a las diferentes letras. Por ejemplo la A mayúscula corresponde al número binario 01000001 o al número decimal 65.
Dado que los números binarios pueden ser muy largos, en la informática se utiliza otro sistema más avanzado. Un byte se representa en dos gru-pos de cuatro bits. Estos grugru-pos de cuatro bits se denominan nibbles. Con un nibble o con cuatro bits se pueden representar 16 valores diferentes. Para describir un nibble en un signo se usa el sistema hexadecimal. En el sistema hexadecimal, el número 16 es la base, al contrario del sistema decimal, en el que el 10 es la base. A causa de que el sistema hexadecimal necesita 16 signos distintos, se utiliza además de las cifras 0 hasta el 9, las letras A hasta la F. Para evitar confusiones se escribe muchas veces una h minúscula detrás del número.
Las cifras representadas mediante un Byte se utilizan en los siguientes sistemas numéricos de la forma que vemos a continuación:
Sistema binario 0000 0000 hasta 1111 1111
Sistema hexadecimal 00 hasta FF
Sistema decimal 0 hasta 255
En la informática se originan ciertas cifras mediante el uso de números binarios que resultan de potencias con base a 2. Así tenemos por ejemplo:
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
Estos valores se pueden encontrar especialmente en un módulo de memoria. Este es el motivo por el cual una tarjeta de memoria tiene 512 MByte y no 500.
Las unidades constituyen una particularidad para número de cantidades grandes. En el sistema decimal se utiliza el valor 1000 para expresar un kilo. Así tenemos 1000 metros, que es igual a 1 kilómetro. En el proce-samiento de datos 1024 byte es igual a 1 kilobyte.
Para evitar confusiones se puede usar, en el procesamiento de datos, las unidades kibi y mebi para el kilo binario y el mega binario. Pero en la práctica estas unidades casi no se utilizan. En caso de duda se debe comprobar si una unidad, por ejemplo, kilo significa 1000 ó 1024. Normalmente la unidad kilo de bits significa 100 y de bytes, 1024. .
La tasa de bits de un RDSI conexión de teléfono equivale a 64 kbit/s, que es exactamente 64.000 bit/s, y no 65.536 bit/s, el resultado de la multiplicación 64 • 1024. Un disco duro moderno, por el contrario, con 400 gigabyte cuenta con 400 mil millones de bytes. Dado que el orde-nador utiliza internamente el sistema binario muestra una capacidad de 372,5 GiB. Sin embargo, los fabricantes de discos duros prefieren el valor 400 en vez de 372,5.
1.5
Cálculo con variables
Con variables se pueden representar leyes universales mediante fór-mulas. Para las variables se utilizan letras. Si sustituimos las variables con valores concretos se pueden calcular un resultado concreto para muchos casos individuales.
Por ejemplo, la fórmula para calcular el área de un rectángulo es: A = a · b
A sustituye el área y a y b representan las longitudes de los lados del rectángulo. Si sustituimos a y b por ciertos valores podremos hallas la superficie del rectángulo.
Con las variables a y b se procede exactamente igual que con los nú-meros. De la misma manera se aplican la reglas de cálculo, como la multiplicación y división preceden a la suma y a la resta; o las pautas para poner paréntesis. Solamente podremos calcular un resultado si sustituimos las variables por valores concretos.
Si resolvemos una ecuación, solamente un valor debe ser conocido y así obtener un resultado concreto. Por ejemplo, para calcular el área con una ecuación se conocen las longitudes de los lados y así calculamos dicha dimensión.
También puede suceder que solamente se conozca el área y la longitud de un lado, y la del otro es desconocida, por lo que se debe calcular esta última. En este caso cambiamos el orden de la fórmula para que la magnitud que se calcula se encuentre aislada a un lado de la ecuación. La combinación de números, variables y los signos aritméticos en un lado de ecuación se denominan términos.
El valor desconocido se introduce con una x. El proceso de trasposición de la ecuación también es conocido como despejar la x. Se consigue haciendo la misma operación aritmética a los dos lados de ecuación, así a con los dos términos. Esta operación se escribe a la derecha de la ecuación y se separa de la ecuación con una línea vertical
Al final del proceso el valor desconocido x tiene que estar a la izquierda del signo de igualdad.
Ejemplo
Ejejrcicio
1.6
Cálculo porcentual
En el día a día nos topamos con muchos valores que están indicados en porcentajes. Vemos como se indica en porcentajes la subida o caída de los precios o la densidad de población de una edad determinada. El valor, al que se refiere el por ciento, indica la parte de esta cifra dentro de 100. No se hace una referencia al valor absoluto.
Una botella con una capacidad de un litro tiene un contenido de 60 %. Otra botella con una capacidad de 2 litros contiene 40 %. Sin embargo, la segunda botella tiene más líquido que la primera.
La capacidad de un litro de la botella corresponde a 100 %, por eso el 60 % del líquido son 0,6 litros.
1 litro : 100 % = 0,6 litros : 60 %
La botella de dos litros contiene 40 %. Los dos litros representan el 100 %, por eso 40 % son 0,8 litros.
2 litros : 100 % = 0,8 litros : 40 %
En el cálculo porcentual siempre se toma el valor 100 %. Según el tipo de tarea uno de los tres valores es desconocido, que se puede calcular después de la correcta trasposición de la ecuación.
¡Solucione el ejercicio número 18 del libro de ejercicios!
a = b + x | – b a – b = x x = a – b a = b – x | + x a + x = b | – a x = b – a x : a = b | · a x = b · a a : x = b | · x a = b · x | : b a : b = x x = b
¡Solucione el ejercicio número 17 del libro de ejercicios!
Ejemplo
Cuando se presta dinero, normalmente se debe pagar por este préstamo ciertos intereses. Los intereses se indican en porcentaje. Este porcentaje determina, cuántos intereses se deben pagar en un año por el valor de 100€.
Si se paga 12.000 euros de intereses por un crédito de 100.000 euros, ¿cuál es el porcentaje de los intereses? El 100 % de la suma prestada son los 100.000 euros. Se debe de calcular el porcentaje de los 12.000 euros 100 % : 100000 Euro = x % : 12000 Euro
Después de la trasposición de la ecuación se puede calcular el valor de los intereses del 12 %
Para simplificar el cálculo se puede suprimir el 100%. Entonces se calcula el porcentaje de los intereses dividido entre el total del crédito.
x = 12000 Euro : 100000 Euro = 0,12
EL resultado se debe multiplicar finalmente por el 100% que hemos dejado atrás, lo que es igual al 12 %.
Si realizamos este cálculo con la calculadora se realizará la multiplicación por 100% si, después de dividir, pulsamos la tecla del tanto pro ciento en vez del igual. Antes de usar una calculadora desconocida debemos comprobarla con un ejemplo simple.
Con el cálculo de los intereses compuestos se tiene en cuenta los inte-reses durante de más de un año.
Si tenemos en una cartilla de ahorro 1000 Euro durante 5 años con un tipo de interés del 3 %, así tendríamos, después de haber multiplicado por 5 años, un crédito de tan sólo 1150.
1.6.1
Cálculo de intereses
Ejemplo
Sin embargo sucede que después del primer año tenemos 1030 euros en nuestra cartilla a los que se le aplicará el segundo año el 3 %. El cálculo se realiza normalmente según la siguiente fórmula, donde G0 supone el capital inicial y Gn es el capital después de n años. Z representa el interés y n el número de años.
Gn = G0 (1 + z/100)n
EN cinco años con el 3 %, después de haber introducido los valores, obtenemos el siguiente resultado:
G5 = 1000 Euro · (1 + 3/100)5
G5 = 1000 Euro · (1 + 0,03)5
G5 = 1000 Euro · 1,035
G5 = 1159,27 Euro
La diferencia en comparación con el resultado anterior no es tan grande, con un plazo de vencimiento más largo e intereses más altos se notaría una diferencia mayor.
Con una tasa de interés del 3 % dura aproximadamente 24 años hasta que la cantidad se ha doblado. Sin embargo, si no se le añaden los in-tereses acumulados, se tardaría 33 años.
Si se devuelve un crédito con la misma cuota, se necesitaría al principio una gran parte de esta tasa para pagar los intereses. Con el resto se disminuiría el crédito. Solamente con el plazo del tiempo se disminuirán los intereses y con cada reembolso se pagará una gran parte del crédito.
¡Solucione el ejercicio número 19 del libro de ejercicios!
1.7
Geometría
Para la introducción a la geometría tenemos que explicar algunas defi-niciones.
Un cuerpo experimenta una dilatación en tres direcciones. Tiene longitud, ancho y altura y, por lo tanto, es tridimensional. Una superficie se dilata solamente en dos dimensiones. La superficie de un cubo, por ejemplo, consta de varias áreas. Una línea es una arista del cubo. Experimenta una dilatación en una sola dirección. Un punto no tiene dilatación, es infinitamente pequeño. Se puede entender como intersección entre dos líneas.
La recta es además del punto un concepto básico de la geometría. Se define a través se una línea que pasa por dos puntos, sin principio ni fin. Dos rectas en un mismo plano pueden cruzarse como mucho en un solo punto. Una excepción sería si las dos rectas se encuentran solapadas. Sin embargo, si estas dos rectas no se cruzan, entonces se llaman paralelas. Un rayo es también una línea infinita. Al contrario que una línea infinita el rayo tiene un punto de partida. El otro extremo es infinito.
Un tramo, al igual que una recta, transcurre sobre dos puntos, sin em-bargo estos dos puntos delimitan la longitud de la recta. Un tramo es además la distancia más corta entre dos puntos.
Si dos rayos empiezan en un punto común, forman así un ángulo. Si un rayo se gira alrededor de un punto común hasta que está encima del otro rayo, la medida de esta vuelta indica el ángulo. Los dos rayos son llamados también lados del ángulo.
Se subdivide un círculo en 360 partes, que se llaman grados. Un ángulo de 360° es un ángulo completo.
Un ángulo entre 0° y 90° es ángulo agudo. Un ángulo obtuso tiene entre 90 y 180 grados.
Si los dos lados se encuentran perpendiculares uno sobre otro se deno-mina ángulo recto. Tiene un valor de 90°.
Si los dos lados están directamente en frente, se crea un ángulo llano de 180°. Ángulos con un valor entre 180° y 360° son ángulos cóncavos
spitzer Winkel rechter Winkel stum pfer Winkel
gestreckter Winkel überstum pfer Winkel Vollwinkel
Imagen 2: Clasificación de los ángulos
Si dos rectas se cortan, se forman cuatro ángulos independientes. Los dos ángulos, que están situados uno enfrente del otro, tienen el mismo tamaño y forman 180°.
Si una recta cruza entre dos paralelas, se forman en total ocho ángulos distintos. Tanto el ángulo ... como los opuestos son siempre iguales. Los ángulos opuestos forman conjuntamente siempre 180°.
Imagen 3: Ángulos en rectas cruzadas
Winkel an sich schneidenden Gerad
Stufenwinkel
W echselwinkel
entgegengesetzt liegende W inke
ángulo agudo
ángulo recto
ángulo obtuso
ángulo llano
ángulo cóncavo
ángulo completo
ángulos de lineas
cruzadas
Ángulo de paso
Ángulo alterno
Ángulos
horizonta-les
1.7.2
Cuadriláteros
Un cuadrilátero está determinado por cuatro puntos, de los que solo dos pueden encontrarse en una misma recta. Los cuadriláteros se diferencian según la posición y de la longitud de los lados .
El cuadrado tiene sus cuatro lados iguales. Los lados que están uno enfrente del otro son paralelos. Todos los ángulos de un cuadrado com-prenden 90°.
El área del cuadrado se calcula según la longitud de sus lados. A es la superficie y a la longitud lateral.
A = a2
Para calcular el perímetro se suman los cuatro lados. Dado que dos la-dos tienen la misma longitud, se puede calcular de la siguiente manera: U = 4 · a
La diferencia entre el rectángulo y el cuadrado es que en el rectángulo solamente los lados opuestos son iguales. Para calcular la superficie se multiplican estos dos lados.
A = a · b
Para calcular perímetro se suman las longitudes de los cuatro lados. Dado que hay dos lados iguales se podría proceder de la siguiente manera: U = 2a + 2b
Se debe cubrir una habitación con revestimiento de suelo. La habitación mide 6 m de largo por 4 m de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados se necesita? ¿Cuántos metros de arista para los bordes de la moqueta se necesitan para toda la habitación, sin tener en cuenta las puertas? A = a · b A = 6 m · 4 m A = 24 m2 U = 2a + 2b U = 2 · 6 m + 2 · 4 m U = 12 m + 8 m U = 20 m
Se necesitarán 24 m2 de revestimiento y 20 m de arista para la moqueta.
Además de los cuadrados y rectángulos hay otros cuadriláteros. Los paralelogramos son en general cuadriláteros cuyos lados son para-lelos. El cuadrado y el rectángulos pertenecen también a este grupo. Los lados del rombo, al igual que los del cuadrado, son exactamente iguales. Sin embargo, los ángulos del rombo no son ángulos rectos, tienen un valor diferente a 90°.
En un trapecio solamente los lados opuestos son paralelos. Los cuatro lados pueden tener una longitud diferente. Por el contrario el deltoideo tiene los lados vecinos de la misma longitud. Ningún lado es paralelo a otro. Es la forma típica de cometas clásicas para niños.
Además un cuadrilátero puede ser cóncavo. Significa que un vértice se encuentra hundido dentro del cuadrilátero.
La mejor posibilidad de calcular la superficie de estos cuadriláteros es separarlos en triángulos y calcular el área de estos triángulos. Para calcular el perímetro se suman los cuatro lados.
¡Solucione el ejercicio número 20 del libro de ejercicios!
Imagen 4: Tipos de cuadriláteros
Quadrat Rechteck Rhombus Rhomboid
Trapez Drachenviereck konkaves Viereck
Ejercicio
cuadrado rectángulo
rombo
paralelogramo
1.7.3
Triángulos
Tres puntos, que no están en una recta, determinan un triángulo. Estos tres puntos se califican de A, B y C, a los lados opuestos al correspon-diente punto se les asigna la letra minúscula a, b y c. Los ángulos del triángulo reciben las letras griegas: α (alpha), β (beta) y γ (gamma). La suma de los tres ángulos internos es igual a 180°.
Los triángulos se clasifican según su forma. El triángulo acutángulos tiene todos sus ángulos menores a 90°. Por el contrario, un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. Para estos triángulos se cuentan con reglas matemáticas especiales.
Si un triángulo tiene dos lados de la misma longitud, es un triángulo isósceles. Si un triángulo tiene tres lados de la misma longitud, es un triángulo equilátero. También sus ángulos interiores tienen la misma abertura, es decir 60°.
Una línea que sale de un punto anguloso perpendicularmente hasta el lado opuesto se denomina altura h. Dado que se pueden medir tres alturas a partir de tres puntos anguloso, se les asigna la letra del lado en el que estén, es decir ha, hb y hc.
spitzwinkligrechtwinkligstum pfwinklig gleichschenklig gleichseitig B A C a b c α γ β
Imagen 5: Formas de triángulos
Importante
En un triángulo isósceles la altura separa los dos lados del triángulo en dos partes iguales.
La superficie de un triángulo comprende la mitad del producto de la altura y del lado en el que se encuentre la altura:
Un triángulo tiene un lado c de 5 cm. Su altura hc comprende 4 cm. ¿Cuál es el área del triángulo?
Dado que la altura siempre se encuentra perpendicular a un lado, la altura separa el triángulo en dos triángulos rectos. Hemos mencionado que hay ciertas reglas matemáticas para estos triángulos, por lo que supone siempre una ventaja separar el área en dos triángulos rectos. En un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se califica de hipotenusa. Los otros dos son los catetos.
En el triángulo rectángulo se aplica el teorema de Pitágoras. Esta regla indica que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cua-drados de los dos catetos. Se puede representar de la manera siguiente: c2 = a2 + b2
En un triángulo rectángulo, un cateto tiene 3 cm y el otro 4 cm. ¿Qué longitud tiene la hipotenusa?
c2 = a2 + b2 c2 = 32 cm2 + 42 cm2 c2 = 9 cm2 + 16 cm2 c2 = 25 cm2 c = 5 cm La hipotenusa comprende 5 cm.
¡Solucione el ejercicio número 21 del libro de ejercicios! A = 12 h a = 1a 2 h b = 1b 2 h cc Importante Ejemplo Ejemplo A = 12 h c A = 12 4 cm 5 cm A = 10 cm 2 c Ejercicio
a b c
a2 b
2
c2
Imagen 6: teorema de Pitágoras
Ejemplo Un triángulo isósceles tiene dos lados a y b con una longitud de 13 cm. El lado c mide 10 cm. ¿Qué superficie tiene?
Al principio se tiene que calcular la altura. Para eso, se separa el trián-gulo isósceles en dos triántrián-gulos rectántrián-gulos. La hipotenusa del triántrián-gulo rectángulo tiene una longitud de 13 cm y un cateto tiene la mitad del lado c, así 5 cm. Esta parte se califica de d. Por medio del teorema de Pitágoras se puede calcular la altura.
a2 = h c 2 + d2 hc2 = a2 – d2 hc2 = 132 cm2 – 52 cm2 hc2 = 169 cm2 – 25 cm2 hc2 = 144 cm2 hc = 12 cm
Con la altura y la longitud del lado c se puede calcular el área.
A = 12 h c A = 1 2 12 cm 10 cm A = 60 cm c 2
1.7.4
Funciones trigonométricas
Para los cálculos de triángulos rectángulos se pueden usar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. A la hora de calcular otras funciones trigonométricas debemos separar los triángulos en triángulos rectángulos.
Al igual que la hipotenusa, los catetos se denominan de forma diferente. El cateto adyacente es cateto, que junto con la hipotenusa se utiliza para calcular el ángulo. El cateto es el cateto que se forma para el cálculo considerando el ángulo. El cateto opuesto está en el lado opuesto a este ángulo.
El seno de un ángulo se calcula con el cateto opuesto dicidido por la hipotenusa.
Para calcular de nuevo el ángulo del seno de éste se utilizaba antes una tablas a modo de consulta. Hoy en día este proceso se realiza mucho más rápido con la calculadora. Sin embargo, las funciones trigonométricas solo se encuentran en calculadoras científicas.
Para calcular el seno de un ángulo de 30° se tiene que introducir primero el valor 30 y después pulsar la tecla SIN. El resultado es correcto si la calculadora muestra 0,5. A la hora de realizar el cálculo inverso del seno al ángulo tenemos diferentes opciones. Normalmente se debe pulsar ARC SIN o ARC SIN o SIN–1. Después de haber introducido el valor 0,5
y pulsar la tecla correspondiente el resultado será 30°.
α Ankathete G eg enkathet e Hypotenus e
Imagen 7: Funciones trigonométricas de triángulos
sin = G egenkathete Hypotenuse α cateto opuestohipotenusa
hipotenusa
cateto
ca
tet
o opuest
Ejemplo Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 5 cm. El cateto opuesto al ángulo mide 3 cm de largo. ¿Qué abertura tiene el ángulo?
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 50°. El cateto opuesto es de 8 cm. ¿Qué longitud tiene la hipotenusa?
Además podemos realizar otro cálculo trigonométrico del cateto adya-cente y la hipotenusa.Esta función trigonométrica se denomina coseno.
La tercera función trigonométrica más importante es la tangente. La tangente de un ángulo se calcula de la división del cateto opuesto y de la adyacente.
¡Solucione el ejercicio número 22 del libro de ejercicios!
Ejercicio sin = Gegenkathete Hypothenuse sin = 3 cm 5 cm si α α n n = 0,6 36,9 α α ≈ ° sin = Gegenkathete Hypothenuse sin 50 = 8 cm c c = α ° 88 cm sin 50 c 10,44 cm ° ≈
cos = Ankatheteα Hypotenuse
tan = G egenkatheteα Ankathete
cateto opuesto
hipotenusa
cateto opuesto
hipotenusa
cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente1.7.5
Círculo
El radio determina el círculo. El radio va directamente desde el centro del círculo a la circunferencia. El diámetro es exactamente el doble del radio. El número π se obtiene de la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro. Esta letra se pronuncia como P. Es un número irracional, lo que significa que decimales infinitos después de la coma, en los que no se encuentra ninguna regularidad. Las primeras cifras del número π son: 3,1415926535. Para realizar cálculos de una forma más práctica se toman 2 ó 4 decimales.
La fórmula para calcular la circunferencia de un círculo es:
El número π se utiliza también para hallar el área de un círculo. La fórmula para calcular este área es:
La longitud de la circunferencia de un círculo es 20 cm. ¿Qué longitud tiene el diámetro? ¿De qué tamaño es el área del círculo? Redondee el decimal después de la coma en dos cifras.
¡Solucione el ejercicio número 23 del libro de ejercicios! A = 1 4 π d =2 π r2 U = π d = 2 π r Ejemplo U = d d = U d = 20 cm3,1416 d 6,37 cm A = 1 4 d A = 14 2 π π π ≈ 33,1416 6,37 cm A 31,87 cm 2 2 2 ≈ Ejercicio
1.7.6
Cuerpos
Un cuerpo se extiende en tres dimensiones. Está además rodeado por una superficie. La capacidad del cuerpo es su volumen.
Un cubo está delimitado por seis cuadrados del mismo tamaño. La su-perficie del cubo comprende:
A = 6 · a2
Dado que los lados del cubo tienen la misma longitud, el volumen se calcula de la siguiente manera :
V = a3
El cubo es una forma especial de paralelepípedo rectangular. En un paralelepípedo rectangular los respectivamente dos áreas enfrente son rectángulos iguales. En un paralelepípedo rectangular las áreas apuestas son rectángulos de igual tamaño. Por eso la superficie del exterior es la suma de las seis áreas en total.
A = 2 (a · b + a · c + b · c)
Para calcular el volumen se multiplican las tres superficies de los lados. V = a · b · c
En un cilindro las dos áreas opuestas son círculos. Los dos círculos se conectan mediante el área de la superficie. La superficie del cilindro se calcula por medio de las áreas de los dos círculos. Los círculos y la su-perficie lateral se pueden calcular a través del perímetro del círculo y la altura del cilindro. El volumen de un cilindro se calcula, también desde el área del círculo y la altura del cilindro.
Un cilindro tiene un diámetro de 5 cm y una altura de 20 cm. ¿Qué su-perficie y volumen tiene el cilindro? En primer lugar se calculan el área y el perímetro del círculo.
Ejemplo A = 14 d A = 1 4 3,1416 5 cm A = 19,635 cm U = d U 2 2 2 2 π π == 3,1416 5 cm U = 15,708 cm
Del cálculo del perímetro del círculo y de la altura del cilindro se calculará la superficie lateral. AM = U · h AM = 15,708 cm · 20 cm AM = 314,16 cm2 El área total se obtiene de la suma de los dos círculos y la superficie lateral. AZyl = 2 · AKr + AM AZyl = 2 · 19,635 cm2 + 314,16 cm2 AZyl = 353,43 cm2
El volumen se determina con la multiplicación del círculo con la altura. VZyl = A · h
VZyl = 19,635 cm2 · 20 cm
VZyl = 392,7 cm3
Al contrario que el cilindro, la prisma no tiene área con forma de círculo, sino superficies de tres, cuatro o más esquinas. Por lo tanto, es el oc-taedro con ángulos rectos cono áreas, un caso excepcional del prisma.
La bola, es un cuerpo en el que todo el área tiene la misma distancia desde el centro. A la distancia del área desde el punto medio se le llama radio. El área del círculo se calcula con la siguiente fórmula:
A = 4 · π · r2
El volumen de una esfera es:
¡Solucione el ejercicio número 24 del libro de ejercicios!
Además de estos podemos encontrar otros tipos de cuerpos. Sin embargo no podemos tratarlos todos en este tema.
Ejercicio
V = 4 3 π r3
2.1
Fundamentos de la Física
2
Ingeniería física
Se denomina magnitud física a la propiedad conmensurable de un objeto físico. Estas magnitudes físicas se pueden relacionar mediante opera-ciones de física. Además, dichas magnitudes están compuestas de una medida y una unidad.
El Sistema Internacional de Unidades Básicas ha determinado siete magnitudes para la Física. Estas unidades SI (del francés: Système International d‘ Unités)se encuentran en el siguiente recuadro:
Basisgröße Basiseinheit Einheitszeichen
Länge Masse Zeit Stromstärke Temperatur Stoffmenge Lichtstärke Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol Candela m kg s A K mol cd
2.1.1
Magnitudes y unidades físicas
Ejemplo
Cuadro 1: Unidades SI
A partir de estas unidades básicas se pueden formar otras magnitudes. La velocidad se compone de distancia y tiempo. En un determinado espacio de tiempo se recorre cierta distancia. Es por esto que su unidad es m/s.
La aceleración es el cambio de velocidad en un determinado espacio de tiempo. La unidad que la describe es m/s2.
Magnitud básica
Unidad básica
Símbolo de la unidad
Longitud Masa Tiempo Intensidad Temperatura Cantidad de sustancia intensidad luminosa Metro Kilogramo Segundo Amperio Kelvin Mol Candelaz t a s r o V Vorsatzzeichen Faktor o n a N n 0,000000 001 o r k i M µ 0,000001 il li M m 0,001 o li K k 1000 a g e M M 1000000 a g i G G 1000000000
Cuadro 2: Prefijos de las unidades SI
Dado que los valores de los números pueden ser muchas veces muy altos o muy bajos se utilizan ciertos prefijos. Estos prefijos se colocan delante de las unidades de medida y se utilizan, sobre todo, en cantidades de mil. Los prefijos más importantes se encuentran en la siguiente tabla:
Ejemplo Una carretera se extiende a lo largo de una distancia de 5,8 km. Un kilómetro corresponde a 1000 m. Por consiguiente, la carretera tiene una longitud de 5800 m.
Se recomienda que estas magnitides físicas se representen con la menor cantidad de cifras posibles después de la coma.
¡Solucione el ejercicio número 25 del libro de ejercicios!
Para obtener otras magnitudes físicas, las diferentes unidades básicas se combinan con fórmulas matemáticas. Para que estas fórmulas tengan validez general se sustituyen las magnitudes por letras.
La letra F se utiliza para la fuerza y la M para la masa. Aunque no debe-mos confundir esta unidad con los metros, que se representan mediante una m minúscula.
El término dimension establece la referencia a la magnitud básica. El ancho o el radio tiene la dimensión de longitud y se les asigna la unidad metro.
Además, hay magnitudes físicas que no tienen dimensión porque sus unidades han ido desaparenciendo por medio de la simplificación y así se utiliza el 1. Por ejemplo, una magnitud sin dimensión es el coeficiente de la resistencia al aire.
Ejercicio
2.1.2
Ecuaciones físicas
A las ecuaciones matemáticas en las que se utilizan magnitudes físicas se las denomina ecuaciones de magnitudes. Por ejemplo, la fuerza se calcula según la fórmula Fuerza = Masa · Aceleración.
Una vez hayamos sustituido las magnitudes por letras obtendremos la siguiente ecuación
F = m · a
Si sustituimos a continuación las letras por valores podremos calcular la fuerza. Las unidades se deben anotar siempre e incluirlas siempre en el cálculo. Así podemos comprobar nuestras operaciones, ya que conocemos la unidad del resultado.
F = m · a
F = 1 kg · 10 m/s2
F = 10 kg · m/s2
F = 10 N
En la física no se pueden realizar operaciones sin unidades. En este caso el resultado es solamente un valor y no está claro qué unidad se representa realmente. En una fuerza 10 no podemos saber si hablamos de Newton o de Kilonewton.
2.2
Fuerza
La fuerza se representa mediante la F. La unidad es Newton, abreviado N. La fuerza se necesita para acelerar una masa determinada. En una fórmula se puede representar de la siguiente manera:
F = m · a
Se necesita un Newton para acelerar una masa de un kilogramo con una velocidad de un metro por segundo cuadrado.
F = m · a
F = 1 kg · 1 m/s2
F = 1 N
¿Qué masa ejerce/tiene una fuerza un Newton hacia abajo, si tenemos esta masa en la mano? La aceleración de gravedad que influye en la masa es de 9,81 m/s2.
m = F / a
m = 1 N / 9,81 m/s2
m = 0,1019 kg
Para describir una fuerza de forma completa, se necesitan todos los valores, es decir, el tamaño, la situación y la dirección.
Ejemplo
Imagen 8: Representación gráfica de fuerzas
F1 F2
F3 F1 = F2
F1 ≠ F3
Normalmente la fuerza se representa de forma gráfica mediante una flecha. El largo de la flecha simboliza el valor de dicha fuerza. La si-tuación de la fuerza en el espacio se determina según la dirección y el origen de ésta.
A la hora de representar una fuerza como un vector normalmente se coloca una flecha sobre la letra F. En inglés, sin embargo, encontramos una raya debajo de esta letra.
Los vectores de fuerza se pueden extender a lo largo de su línea de efecto. La flecha representa la dirección en la que se ejerce la fuerza. Sin embargo, no pueden desplazarse de forma paralela ya que el origen de éstos cambiaría.
La fuerza F1 que vemos en la imagen corresponde a la fuerza F2, en su acción, ya que ambas fuerzas guiadas a una dirección común. Por otro lado, la fuerza F3 actua de forma diferente a la F1, ya que esta es aplicada a otro punto de ataque.
2.2.1
Suma de fuerzas
Se puede dar el caso en el un cuerpo es sometido a diferentes fuerzas. Todas ellas pueden resultar en una sola. Esta fuerza se denomina fuerza resultante.
Cuando las fuerzas se encuentran en la misma línea de efecto, es muy fácil unirlas. Simplemente sumando sus valores. La flecha resultante tiene la longitud de ambas fuerzas juntas.
Si la dirección de las fuerzas es opuesta se resta la fuerza menor de la fuerza mayor. La flecha resultante es menor que la flecha mayor en un principio.
Imagen 9: Suma de fuerzas
F1 F2
F3
F3 = F1 + F2
F1 F2
En lo que concierne a los vectores, estos siempre se suman unos con otros, incluso si las dos flechas representan sentidos opuestos. Esto sucede porque la forma gráfica de los vectores contiene no solo el valor sino también la dirección.
Gráficamente hay dos posibilidades para describir la suma de varias fuerzas que parten de un punto común.
Una de ellas consiste en unir los vectores. Colocamos en extremo inicial del segundo vector en la punta del primer vector. Si unimos el extremo inicial del primer vector con la punta del segundo obtenemos otro vector de fuerza como resultado.
En la segunda posibilidad se forma un paralelograma de fuerzas mediante los vectores. Los lados nuevos se encuentran paralelos a cada uno de los vectores de fuerza.
El punto de partida de la fuerza resultante está en el mismo origen de fuerza que los dos vectores, el punto final se obtiene del punto de inter-sección de los dos lados unevos del paralelogramo. De nuevo en este caso la longitud del vector representa la fuerza resultante.
Imagen 10: Suma gráfica de fuerzas
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F3 F3 F3 = F1 + F2
Si se ejercen diferentes tipos de fuerza en puntos distintos de un cuer-po, entonces, antes de realizar la suma, se tiene que alargar la línea de efecto hasta que se encuentre un punto de intersección común. Después realizaremos la suma como ya hemos visto.
Si tenemos dos tipos de fuerzas que no se encuentran paralelas hay siempre un punto de intersección. sin embargo, esto no sucede con tres o más fuerzas. Para sumar todas estas fuerzas se alargan primero dos vectores hasta que encuentren un punto en común y finalmente se suman. La fuerza que resulta de dicha operación se hace coincidir con una ter-cera fuerza, y, después, se suman.Si se da el caso volveremos a sumar este resultado con otra fuerza.
Tenemos que tener en cuenta que la fuerza resultante contiene además las dos fuerzas que resultan del paralelogramo. Además, no se pueden formar otros paralelogramos con ellas.
Imagen 11: Representación gráfica de muchas fuerzas
F1 F2 F3 F1 F2 F3 F1,2 F3 F1,2 F1,2,3 F1,2 = F1 + F2 F1, F2, F3 F1,2,3 = F1 + F2 + F3
Esta foma de suma no se puede aplicar en fuerzas paralelas, ya que las líneas de efectos no tiene un punto en común.
Si queremos sumar fuerzas que se encuentran paralelas tenemos que hacer uso de dos fuerzas auxiliares. Estas fuerzas deben ser igual de largas pero sus sentidos deben ser opuestos. Además, deben tener su origen en el punto de partida de ambas fuerzas paralelas. Ya que tienen la misma longitud, se compensan a causa de sus sentidos opuestos. Por eso su suma siempre es cero.
Ahora se suman la fuerza normal y la adicional. Ya que las fuerzas re-sultantes no son paralelas, tienen un punto de intersección común y se pueden sumar.
Si se tienen que sumar más fuerzas paralelas, se realizará la operación de dos en dos.El resultado se sumará luego a una tercera fuerza. Además podemos utilizar la fuerza adicional hacer estos cálculos, que se anulan mutuamente.
La suma de más fuerzas se realiza siempre según este principio.
Imagen 12: Suma gráfica de fuerzas paralelas
F1 F2,h F2 F1 F2 Fh Fh F1,h F1,2
2.2.2
División de fuerzas
La operación inversa a la suma de fuerzas es la división de fuerzas. Esta operación se utiliza para saber proporción de fuerza se encuentra en una determinada dirección. Al contrario que en la suma, en la división se sabe en qué direcciones tienen que actuar las fuerzas.
Un vestor de fuerza está representado en un sistema de coordenadas con un eje X y un eje Y. Debemos determinar la magnitud de las fuerzas en dirección X y en dirección Y.
Para calcular estas fuerzas, se alargan los ejes X e Y hasta que se cru-zan con el principio y el final del vector de fuerza. De esta forma se crea un cuadrado en que el vector se cruza en las dos esquinas opuestas. Los dos lados del cuadrado que parten del origen del vector representan la proporción de fuerza en dirección X y en dirección Y. La longitud de varias líneas determina la magnitud de las fuerzas en ambas direcciones.
¡Solucione los ejercicios número 26 y 27 del libro de ejercicios!
Imagen 13: División gráfica de fuerzas
Ejercicio F1 FY FX Y-Achse X-Achse F1 Y-Achse X-Achse
eje Y
eje X
eje Y
eje X
2.3
Momento de rotación
Una fuerza puede actuar sobre un cuerpo móvil exactamente en el centro de gravedad. En este caso el cuerpo experimentará una aceleración. Si la línea de acción de una fuerza no cruza sobre el centro de gravedad de un cuerpo móvil libre, entonces girará, debido a la fuerza ejercida. Ese giro viene ocasionado por el momento de rotación que se crea por el efecto de la fuerza ejercida.
El momento de rotación es el producto de una fuerza y de la distancia de la línea de efecto de esa fuerza hasta el punto de gravedad de un cuerpo. La línea de fuerza se encuentra perpenticular respecto a la distancia del centro de rotación.
La unidad del momento de rotación se calcula a partir de la multiplicación de la fuerza y la distancia y viene dada en newtonmetro. El momento de rotación se calcula mediante la siguiente ecuación:
Momento de rotación = Fuerza · Brazo de palanca M = F · l
Imagen 14: Momento de rotación
F
l M
Un tornillo tiene que apretarse con un momento de torción de 40 Nm. El destornillador mide 200 mm. ¿Con qué fuerza se tiene que apretar el destornillador para conseguir el momento de rotación que se necesita? M = F · l
F = M / l
F = 40 Nm / 0,2 m F = 200 N
Con el destornillador tiene que ejercerse una fuerza de 200 N.
Si se utiliza otro destornillador con un largo de 400mm, solamente se necesitaría una fuerza de 200 N. Sin embargo, serían necesarios 400 N si el destornillador tuviera solo 100 mm de largo.
El momento de rotación se consigue aplicando no solo una fuerza. Sin embargo estas fuerzas tienen que encontrarse todas en el mismo plano. Por ejemplo, imaginemos que en vez de usar un destornillador usamos una llave de cruz para apretar o aflojar tuercas. Mientras se tira de una de las palancas, se ejerce presión en el otro lado.
De esta forma podemos ver que si se producen varios momentos de rotación el momento de rotación resultante es igual a la suma de estos.
¡Solucione los ejercicios número 28 hasta 30 del libro de ejercicios!
Ejercicio Ejemplo
Imagen 15: Suma de momentos de rotación
F M
2.4
Equilibrio de fuerzas y movimiento acelerado
Sobre un cuerpo se pueden ejercer distintas fuerzas y momentos de torsión al mismo tiempo. Sin embargo, el cuerpo se quedará quieto si todas las fuerzas y momentos de rotación se compensan.
Esta condición de equilibrio la podemos representar de la siguiente manera:
El resultado de todas las fuerzas en conjunto debe ser 0. F1 + F2 + ... = 0
La suma de todos los momentos de rotación debe ser también 0. M1 + M2 + ... = 0
Cuando la fuerza ascensional y la fuerza de la masa de un globo se compensan la una a la otra, este globo si subirá ni bajará. Tampoco se moverá hacia un lado si no hay viento que lo empuje.
Imagen16: Equilibrio de fuerzas
FG FA
2.5
La ley de palanca
Una palanca es un cuerpo fijo que puede girar sobre su propio eje.Con una palanca se puede cambiar la dirección o la magnitud de una fuerza. para que la palanca se encuentre en equilibrio si como mínimo actúan dos fuerzas sobre ella. Mediante cada una de esas fuerzas se ejerce un momento de rotación alrededor de un punto de rotación.
La palanca solamente está en equilibrio si la suma de los momentos de rotación ejercidos por las fuerzas es igual a 0.
En una balanza hay un peso que se encuentra a una distancia de 20 cm del punto de rotación. Al otro lado de la balanza se encuentra un peso que ejerce una fuerza de 5 N. Éste último se encuentra a 50 cm del punto de rotación. ¿Qué fuerza ejerce la carga?
FL · lL = FG · lG FL = FG · lG / lL
FL = 5 N · 0,5 m / 0,2 m FL = 12,5 N
La carga ejerce una fuerza de 12,5 N.
¡Solucione el ejercicio número 31 del libro de ejercicios!
Ejercicio Ejemplo
Imagen 17: Palanca de una balanza
FG FL
lG lL
