Introducción 2
1 Clases de conjuntos 3
1.1 Límites de sucesiones de conjuntos . . . 10
2 La medida y sus propiedades 20 2.1 Propiedades de la medida . . . 21
2.2 Extensión de medida . . . 24
2.2.1 La medida exterior . . . 24
2.2.2 El Teorema de extensión . . . 28
2.2.3 Ejemplo: Medida de Lebesgue . . . 32
2.2.4 Invariancia bajo traslaciones de la medida de Lebesgue . . . 32
2.2.5 Un conjunto no Boreliano . . . 35
2.3 Medida de Lebesgue-Stieltjes . . . 37
3 Funciones medibles y variables aleatorias 42 3.1 Espacios de medida y espacios medibles . . . 42
3.2 Transformaciones y funciones medibles . . . 43
3.3 Variables aleatorias . . . 52
4 Integración 53
5 Medidas con signo 69
5.1 Continuidad absoluta y equivalencia de medidas . . . 74
6 Espacios Lp 80
Consideremos = (0;1]; Ii = (ai; bi]; ai < bi y sea A = n S i=1 Ii :Ii ajenos, n 1 : P :A ![0;1]; A2A )A =Sni=1Ii: De…namos P (A) = n X i=1 jIij= n X i=1 (bi ai): Proposición.
a) La función P ( )está bien de…nida en A:
b) Si A; B 2A y A\B =?)P (A[B) = P(A) +P (B): c)P ( ) = 1:
Observación. P (A) = R011A(x)dx; 1A(x) =Pni=11(ai;bi](x):
Clases de conjuntos
De…nición 1 Una colección D no vacía de subconjuntos de es un -sistema (clase de Dynkin) si cumple:
i) ?2D
ii) Si A; B 2D; entonces A\B 2D:
De…nición 2 Una colecciónS no vacía de subconjuntos de se llama semi-anillosi cumple con las siguientes condiciones:
i) S es un -sistema de
ii) Si A; B 2 S y A B; existen Ai 2 S; i = 1;2; :::; n para algún n tal que Ai’s son
mutuamente ajenos y BnA = A1 + +An = n
[
i=1
Ai (unión de conjuntos mutuamente
ajenos).
De…nición 3 Una colección no-vacía S de subconjuntos de es una semi-álgebra si
i) S es un -sistema.
ii) 2S:
iii) Si A 2 S; existen conjuntos ajenos A1; :::; An 2 S, para algún n; tal que Ac = A1 +
+An:
Observación 4 Una semi-álgebra es un semi-anillo con 2S.
Ejemplos.
a) Sea un conjunto no vacío.
C =f?; g clase trivial.
C = 2 conjunto potencia es -sistema, semi-anillo, semi-álgebra.
b) Sea un conjunto no vacío.
C =fA : #A <1ó #Ac <1g
C es un -sistema. Esto es cierto ya que: i) ?2C ii)A; B 2C )A\B 2C: Supongamos que #A <1: A\B A)# (A\B) #A Supongamos que#Ac < 1 y#Bc < 1:Entonces (A\B)c =Ac [Bc y que# (Ac [Bc) #Ac+ #Bc < 1: Entonces A\B 2C:
Además, C es semi-álgebra. SiA2C implica que Ac 2C ) 2C:
Para entender el siguiente ejemplo se requiere del conocimieno básico de la teoría de la probabilidad. El estudiante lo puede omitir si no ha visto lo que es el espacio de probabilidad. c) Sea( ;F; P) un espacio de probabilidad y sea
C =fA2F :P (A) = 0 óP (A) = 1g
C se llama la colección 0-1 (P-0-1)
C es -sistema.
Demostración. ?2C ya que P (?) = 0 (P ( ) = 1) 2C): SiA; B 2C tenemos varios casos:
i) P(A) = 0; A\B A )P(A\B) P (A) = 0)P (A\B) = 0: ii)P (A) = P(B) = 1
P ((A\B)c) =P (Ac
[Bc) P (Ac) +P (Bc) = 0
)P ((A\B)c) = 0)P (A\B) = 1)A\B 2C: Observemos que si A2C )Ac 2C )C es semi-álgebra. d) Sea =R: La clase
C =f(a; b] :a; b2R; a bg; es un -sistema que no es semi-álgebra
i) ?2C; ((a; a])
ii) Si A1; A2 2C; A1 = (a1; b1]; A2 = (a2; b2] (hacer los detalles).
La clase C sí es semi-anillo: A; B 2C; A B A= (a1; a2]; B = (b1; b2]: (a1; a2] (b1; b2])BnA= (b1; a1][(a2; b2] La clase C no es semi-álgebra: (a; b]c = ( 1; a][(b;1) e) Consideremos =R:La clase
S =f(a; b];(c;1);( 1; d];R:a; b; c; d2Rg;R= ( 1;1); es semi-álgebra: i) S es -sistema ii) Caso I: (a; b]c = ( 1; a][(b;1)2S Caso II: (c;1)c = ( 1; c]2S Caso III: ( 1; a]c = (a; 1)2S Caso IV: ( 1;1) =?2S
Ejercicio 5 Considere = R2; S1 como en el ejemplo anterior. S2 = S1 S1 =
fA B :A; B 2Sg:
Probar que S2 es una semi-álgebra de : (Hacer el caso similar paraRn): La clase S2 se llama semi-álgebra producto.
Más generalmente, si S1 y S2 son semi-álgebras de 1 y 2 respectivamente, entonces
S =S1 S2 =fA1 A2 :Ai 2Si; i= 1;2g es una semi-álgebra de 1 2:
De…nición 6 Una colección no-vacía R de subconjuntos de es un anillo si
i) A; B 2R )A[B 2R
ii)A; B 2R y A B )BnA 2R:
De…nición 7 Una colección A no vacía de subconjuntos de es álgebrasi
i) ?2A
ii)A; B 2A )A[B 2A iii)A2A )Ac
Observación 8 Un álgebra A es un anillo tal que 2A y viceversa.
Ejemplos.
Omitir este ejemplo hasta el momento que veamos la de…nición de medida.
f ) = R y la medida de Lebesgue y considere la clase C =fA R: (A)<1g: C es un anillo que no es álgebra de R:
Veamos que es anillo: i) ?2R ya que (?) = 0 ii) Si A; B 2R (A[B) (A) + (B)<1: iii) Si A; B 2C; A B BnA=B\Ac B ) (BnA) (B)<1 )BnA2C: g) C =fA2R3 :volumen(A)< 1g: Ejemplo (b) (continuación). La clase
C =fA : #A <1 o #Ac <1g;
es un álgebra.
Demostración.
ii)A 2C )Ac 2C
iii) Si A; B 2C; hay varios casos:
1)#A <1; #B <1 )# (A[B)<1
2)#Ac <1; #Bc <1 )# (Ac\Bc)<1 )A[B 2C 3)#A <1; #Bc <
1: Ya vimos queC es -sistema y con iii) se obtiene ii). Lema 9 Un -sistema cerrado bajo complementos es un álgebra.
Lema 10 Sea R un anillo de : entonces
i) ?2R:
ii)R es cerrado bajo diferencias simétricas e intersecciones.
iii)R es cerrado bajo uniones e intersecciones …nitas.
Lema 11 Un álgebraA de es un anillo de tal que es un elemento deA; i.e., 2A y viceversa.
Ejemplos a) =R
S =f(a; b];( 1; a];(b;1);( 1;1) :a; b2Rg es una semi-álgebra.
Observación. Sean 1 y 2 conjuntos arbitrarios. Sea A 1 y B 2: A B =
(A 2)\( 1 B): (Demostrarlo). b) Semi-álgebra de rectángulos
Sean 1; 2 dos conjuntos no vacíos con álgebrasA1;A2;respectivamente. Sea A1 A2 =
Observación 12 a). Se tiene la misma conclusión siA1 y A2 son semi-álgebras. c) Más generalmente, si Ai es un álgebra de i; i= 1; :::; n;entonces
A1 An =fA1 An:Ai Ai; i= 1; :::; ng; es una semi-álgebra de 1 n:
Ejemplo*. Sea R1 el conjunto de todas las sucesiones reales:
R1 = (an)n 1 :an2R; n 1 :
SeaA un álgebra deR:Un conjunto de la forma
C(i1; :::; in;A1; :::; An) = fx2R1 :xi1 2A1; :::; xin 2Ang;
i1; :::; in enteros yAi 2A;se llama cilindro de índices i1; :::; in y baseA1; :::; An: Observación 13 a) Un cilindro no tiene una única representación.
Proposición 14 La colección C (R1) de todos los cilindros de R1 es una semi-álgebra
(Kolmogorov).
Ejemplo. (Cilindros de funciones continuas).
Sea =C[0;1]y A un álgebra deR: Un conjunto de la forma
C(t1; :::; tn;A1; :::; An) = ff 2C[0;1] :f(ti)2Ai; i= 1; :::; ng;
donde ti 2[0;1]; Ai 2A se llama cilindro.
Ejercicio 15 La colección de cilindros de es una semi-álgebra.
1.1
Límites de sucesiones de conjuntos
De…nición 17 Sea fEn :n= 1;2; :::g una sucesión de subconjuntos de : Entonces
limEn= 1 T n=1 1 S m=n Em; límite superior. límEn= 1 S n=1 1 T m=n Em; límite inferior.
Decimos que la sucesión fEngn 1 esconvergente si límEn=límEn =lím n En: :
Observación 18 Se cumple que límEn límEn: Por lo tanto, para probar que el límite
existe, basta veri…car que
límEn límEn:
Decimos que fEngn 1 es monótona creciente si En En+1; 8n 1 y que es monótona
decreciente si En+1 En 8n 1: Notación. Monótona creciente: En" Monótona decreciente: En #
Proposición 19 Una sucesión monótona creciente (decreciente) de conjuntos es conver-gente. Corolario 20 a) Si En"; lím n En= 1 S n=1 En: b) Si En# lím n En= 1 T n=1 En:
Lema 21 Sea fEngn 1 una sucesión de conjuntos en un anillo R y sea E =
S1
n=1En:
Entonces
i) E =S1n=1Fn con Fn2R; Fn ";
ii) E =S1n=1Gn con Gn 2R; conjuntos ajenos y Gn En 8n:
Notemos que E no necesariamente está en el anillo. Demostración. i) Tenemos que Fn =
n [ i=1 Ei; Fn "; Fn2R: ii)G1 =E1 =F1 G2 =E2nE1 =F2nF1 2R; G2 E2 .. . Gn=FnnFn 1 2R:
Los conjuntos Gn son ajenos, ya queFn": Además, Gn= n [ i=1 Ei !-n 1 [ i=1 Ei En y 1 S n=1 Gn= 1 S n=1 Fn:
Lema 22 Sea R un anillo de para cada en un conjunto arbitrario. Sea R = T
2
R :
Entonces R es un anillo de :
)E[F 2R y EnF 2R 8 2
)E[F 2R y EnF 2R
)R es anillo.
Corolario 23 La intersección arbitraria de álgebras es álgebra.
Teorema 24 Sea E una clase arbitraria de conjuntos de :Entonces existe un único anillo, R0; tal que E R0 y tal que si R es otro anillo con la propiedad de que R E; entonces
R0 R:
Observación 25 a) R0 es el anillo más pequeño que contiene a E; llamado el anillo gen-erado porE; denotado por R(E):
b) Se tiene un resultado similar para álgebras: existe una única álgebra A0 tal que E A0
y si A es álgebra con E A; entonces A0 A: La denotamos por A (E):
c) R(E) A (E): No siempre R(E) = A (E):
Ejemplo 26 SeaAun subconjunto de :E =fAg;R(E) = f?; Ag;A (E) =f?; A; ; Ac
g: Teorema 27 Sea E una clase no-vacía de subconjuntos de : Entonces cualquier elemento enR(E)puede ser cubierto por una unión …nita de conjuntos enE:(8E 2R(E)9E1; :::; En2
E t.q. E Sni=1Ei)
Demostración (Principio de los buenos conjuntos). SeaG la colección de todos los conjuntos « buenos» , es decir, los subconjuntos de que pueden ser cubiertos por una unión …nita de elementos en E:
Si demostramos que G es un anillo, (E G); entonces R(E) G y, por lo tanto, R(E)
cumple la propiedad. Vemos queG es un anillo.
Si E; F 2 G; trivialmente E [E 2 G y EnF E; lo cual implica que EnF 2 G: Por lo tanto, G es un anillo.
Teorema 28 Sea P un semi-anillo de : EntoncesR(P) coincide con la clase de conjun-tos de la forma
n
S
i=1
Ei; Ei 2P; i= 1; :::; n, para algún n 1 y los conjuntos E1; :::; En son
ajenos. Demostración. Sea L = ( E :E = n [ i=1 Ei; Ei 2P; Ei’s ajenos ) :
Tenemos queL R(P); pues Ei 2P R(P) y n
[
i=1
Ei 2R(P): Además P L:
Basta probar queL es anillo, en cuyo casoR(P) L;de lo cual se sigue queR(P) =L: i) Si E; F 2L; trivialmenteE[F 2L:
ii) Veamos que L es un -sistema. Si E; F 2 L; se sigue que E = n [ i=1 Ei; F = m [ j=1 Fj; E1; :::; En;2 P ajenos y F1; :::; Fm 2P ajenos. Entonces E\F = n [ i=1 m [ j=1 (Ei\Fj); Ei\Fj 2P;ya que P es -sistema. Entonces E\F 2L;ya que Aij =Ei\Fj son ajenos.
ii) Ahora EjF = n [ i=1 Ei m [ j=1 Fj ! = n [ i=1 m \ j=1 (EijFj):
Observemos que m
\
j=1
(EijFj) Ei son ajenos,i= 1; :::; n:
Si probamos que EinFj son ajenos y están en L; por (i) tendremos que la intersección m
\
j=1
(EijFj) está enL, i= 1; :::; n y por (i) EnF 2L:
EinFj 2P; ya que P es semi-anillo y como Ei; Fj 2P; EinFj = q
[
k=1
Hk ajenos y están en
P:
De…nición 29 a) conjunto. S es -anillo si i) E; F 2S; EnF 2S: ii) Si Ei 2S )S1i=1Ei 2S: b) F es -álgebra si i) 2F: ii) A2F )Ac 2F: iii) Ai 2F; i= 1; :::; n; ::: S1 i=1Ai 2F:
Proposición 30 Una -álgebraF es un -anillo con 2F.
Observación 31 1) Un -anillo es un anillo y una -álgebra es un álgebra, ya queA[B =
A[B[?[ [?:
2) Los -anillos y las -álgebras son cerrados bajo intersecciones numerables.
Teorema 32 Si E es una clase de subconjuntos de ; entonces
i) Existe un único -anillo S0 tal que E S0 y si S es un -anillo con E S; entonces
S0 S; S0 se llama el mínimo -anillo generado por E y escribimos S (E) =S0:
Demostración. Proponemos
S0 =
T
fS :S es -anillo de y E Sg;
S0 es -anillo. (concluir demostración).
Observación 33 En general, no es posible describir completamente a S (E) ni a (E): Lema 34 i) Si E y F son dos clases de subconjuntos de y E F; entonces S (E)
S (F) y (E) (F):
ii) S (R(E)) =S (E) y (A (E)) = (E);
en donde R(E) y A (E) son el anillo generado por E y el álgebra generada por E; respecti-vamente.
De…nición 35 Sea un espacio métrico (topológico) con colección de abiertos O: La -álgebra (O) se llama la -álgebra de Borel de y se denota por B( ):
Ejercicio 36 Mostrar que una -álgebra in…nita es no-numerable.
Ejemplo.
I) B(R);II) B(Rn); III) B(C[0;1]): IV) =R:
P =f(a; b] :a; b2Rg:P es semi-anillo. Veamos queR(P) = (P) =B(R)(F)
Ejercicio 37 Sea
Pn=f(a1; b1] (an; bn] :ai; bi 2Rg:
Mostrar que
Demostración de Ejemplo IV (F). S (P) = (P) ya que R 2S (P)puesto que
R= S1
n=1
( n; n];
( n; n]2P S (P): (de Proposición 30).
Teorema 38 Los siguientes conjuntos están en (P) :
i) fag; a2R
ii) A; A numerable
iii) Los intervalos: abiertos, cerrados, semi-cerrados, …nito o in…nito. iv) A; A es abierto.
v) A; A es cerrado.
Lema 39 Sea PO =f(a; b) :a < b; a; b2Rg: Entonces (PO) = (P):
Ejemplos. Sea un conjunto no-vacío fFn; n 1g una sucesión de -álgebras de tal que Fn Fn+1; n 1: Entonces i) S1 n=1 Fn es un álgebra. ii) S1 n=1
Fn no necesariamente es -álgebra. (dar ejemplo de que no es -álgebra).
F1=
1
S
n=1
Fn es la -álgebra generada por fFng:
De…nición 40 Una colección D de subconjuntos de es una D-clase si es cerrada bajo diferencias propias y uniones numerables de ajenos:
i) E; F 2D; E F )FnE 2D
ii) Si En2D; n 1 y son ajenos, entonces
1
S
n=1
De…nición 41 Una colección M de subconjuntos de es una clase monótona si es cerrada bajo límites monótonos:
SiEn2M; n 1yEn En+1 (En+1 En)8n 1;entonces 1 S n=1 En2M 1 T n=1 En 2M : Observación 42 a) Dada una clase E de subconjuntos de siempre existe una mínima D-clase que contiene aE; denotada por D(E); D-clase generada por E:
b) Igualmente, existe una mínima clase monótona M que contiene a E; denotada por M (E); la clase monótona generada por E:
c) -anillo y -álgebra son ejemplos de D-clases monótonas.
Teorema 43 Si E es un -sistema, entonces D(E) es también un -sistema. Demostración. (Técnica de los buenos conjuntos).
E es un -sistema. SeaE y
DE =fF :F \E 2D(E)g: Observemos que, si F 2DE; entonces E 2DF.
Para todoE ; DE es una D-clase: Sean F; G2DE; F G:
Observemos que FnG = (F \E)n(G\E); dado que E; F 2 DE se sigue que (F \E) 2
D(E)y (G\E)2D(E):
D(E)es unaD-clase y siF G)F\E G\E:Por lo tanto(F \E)n(G\E)2D(E): O sea, DE es cerrado bajo diferencias propias.
Lo que implica que 1 S n=1 Fn \E = 1 S n=1 (Fn\E)2D(E);
ya queD(E)es cerrado bajo uniones numerables de ajenos. Por lo tantoDE es unaD-clase
8 E :
Ahora, si E 2E; entonces E DE ya que F \E 2E D(E); 8F 2E: Así, DE es una D-clase que contiene a E:
D(E) DE;8E 2E: (1.1) Si E 2 E y F 2 D(E) se sigue que F 2 DE: En consecuencia E 2 DF; o sea, E DF si F 2D(E): Por lo tanto D(E) DF siF 2D(E):
Finalmente, siF; E 2D(E); F \E 2D(E); i.e., D(E) es -sistema.
Teorema 44 Si E es un -sistema, entonces D(E) = S (E):
Demostración. Por la demostración anterior, S (E)esD-clase (que contiene aE):Entonces
D(E) S (E):
Por el Teorema 43 D(E)es cerrado bajo diferencias propias, uniones numerables de ajenos y bajo intersecciones, por lo que el resultado se sigue del siguiente lema:
Lema 45 Si E es un -sistema que es una D-clase, entonces E es un -anillo. Demostración. i)A; B 2E:
AnB =An(A\B); A (A\B))AnB 2E pues E esD-clase. ii)A; B 2E
iii) Por el Lema 21 ii), Si An 2 E; n 1 y E es anillo, entonces 1 [ n=1 An = [ n=1 Gn, Gn 2 E; n 1son ajenos. Por lo tanto 1 [ n=1 An2E:
Corolario 46 a) Si E es un -sistema y 2 E; entonces D(E) coincide con (E); i.e., D(E) = (E):
b) Si E es un álgebra, M (E) = (E):
Teorema 47 Si E es un anillo, entonces M (E) =S (E):
La medida y sus propiedades
SeaC una clase de conjuntos cualquiera.Consideraremos sólo funciones de la siguiente forma:
:C !R; donde R=R[ f 1;1g (reales extendidos). De…nición 48 La función :C !R es:
a) Aditiva, si (A[B) = (A) + (B) siempre que A; B 2C son ajenos.
b) Aditiva …nita si n S j=1 Aj ! = n X j=1 (Aj);
siempre que Aj 2C; j = 1; :::; n y sean ajenos (por pares).
c) -aditiva si 1 S j=1 Aj ! = 1 X j=1 (Aj);
siempre que Aj 2C; j = 1;2; :::y sean ajenos (por pares). 20
De…nición 49 La función :C !R es:
a) Finita si
j (A)j<1; A 2C:
b) -…nita si para cada A2C existe fAngn 1 2C tal que A S1
j=1
Aj y j (Aj)j<1; j 1:
Observación 50 Es necesario que la función sea …nita para que sea -…nita.
De…nición 51 Sea R un anillo. Una medida es una función : R ! [0;1] que es -aditiva y (?) = 0:
Observación 52 i) -aditiva implica (?) = 0; excepto en el único caso donde (A) =1;
8A 2 R; esto porque si (A) < 1; entonces A = A[?[ [?[ 2 R ) (A) = (A) + (?) + ) (?) = 0:
ii) La medida es aditiva …nita. En efecto
n
S
j=1
Aj =A1[ [An[?[?[ 2R;
lo que implica que
n S j=1 Aj ! = 1 X j=1 (Aj) = n X j=1 (Aj):
2.1
Propiedades de la medida
Teorema 53 Sea una medida sobre R: Entonces es
a) Monótona; i.e., (A) (B); siempre que A; B 2R y A B:
b) Sustractiva; i.e., (BnA) = (B) (A); siempre que A; B 2R; A B y (A)<1:
Teorema 54 Sea una medida sobreR:Si A2R yfAngn 1 R es tal queA
S1 n=1An; entonces (A) 1 X n=1 (An):
Observación 55 No es necesario que S1n=1An 2R: Teorema 56 Sea una medida sobre R: Entonces
1
X
n=1
(An) (A);
siempre que A2R; fAngn 1; An elementos deR; n 1; con S1n=1An A yAn\Am =?
8n6=m:
Teorema 57 Sea una medida sobre R: Entonces
1
S
n=1
An = lím
n!1 (An);
para toda sucesión fAngn 1 de R; monótona creciente y tal que
S1
n=1An2R: Teorema 58 Sea una medida sobre R: Entonces
1
T
n=1
An = lím
n!1 (An);
siempre que fAngn 1; An elementos de R; n 1; monótona decreciente, tal que T1n=1An2
Observación 59 Si para una sucesión fAngn 1 monótona. (An") o (An #) denotamos
De esta manera los teoremas anteriores nos dicen que lím
n!1An =nlím!1 (An):
Entonces es continua por abajo y por arriba en A2R en el sentido de la siguiente:
De…nición 60 Una función :C !R es:
a) Continua por abajo en A 2 C si para toda sucesión fAngn 1 de C tal que An " A se
tiene que
lím
n!1 (An) = (A):
b) Continua por arriba en A 2 C si para toda sucesión fAngn 1 de C tal que An # A y
j (Am)j<1 para algún m; se tiene que lím
n!1 (An) = (A):
Teorema 61 Sea una función …nita, no-negativa y aditiva sobre el anillo R: Si
a) la función es continua por abajo para toda A2R o
b) la función es continua por arriba al ?;
entonces es medida sobre R:
2.2
Extensión de medida
Consideremos :C !R y :D !R funciones cualesquiera.SiC D y (A) = (A)para toda A2C se dice que es unaextensión de aD: Ejemplo 63 P =f(a; b] :a < bges un semianillo y la función ((a; b]) = b a(la longitud de (a,b]) es …nita y -aditiva. Más adelante veremos que tiene una única extensión a una medida sobre S (P) ( -anillo). resulta que S (P) son los conjuntos de Borel.
Objetivo: Extender la función :P !R a una medida sobre el -anillo S (P): El método. Extender la función de P (semianillo) a R(P) (anillo) y luego de R(P)
(anillo) a S (P) ( -anillo).
Teorema 64 SeaP un semianillo y :P ![0;1]una función -aditiva tal que (?) = 0: Entonces se extiende a una única medida sobre el anillo R =R(P):
Ejercicio: Si la función es …nita, entonces la medida lo es también. Si la función es -…nita, entonces también lo es.
2.2.1
La medida exterior
Usaremos la medida exterior para construir medidas con el …n de extender una medida en un anillo a una en un -anillo.
De…nición 65 Sea : 2X ![0;1] con (?) = 0 y X cualquier conjunto. La función se llama medida exterior si:
a) Es monótona como función, i.e., (A) (B); 8A B:
b) Es -subaditiva, i.e., 1 S n=1 En 1 X n=1 (En);
para toda colección de subconjuntos, fEngn 1 de 2 X:
Ejemplo 66 Si es medida en 2X; entonces es medida exterior.
De…nición 67 Un conjunto E se llama -medible si para todo A X;
(A) = (A\E) + (A\Ec): (2.1)
Sea
S = E 22X :E satisface (2.1) : Para probar que E 2S ; basta probar que
(A) (A\E) + (A\Ec); 8A X:
La colección S será una -álgebra y :S ![0;1] una medida.
Lema 68 Para todoE; F 2S y A22X; se tiene que
a)
(A) = (A\E\F) + (A\Ec\F) + (A\E\Fc) + (A\Ec\Fc):
b)
(A\(E[F)) = (A\E\F) + (A\Ec\F) + (A\E\Fc):
c)
(A\(E[F)) = (A\E) + (A\F);
siempre que E y F sean ajenos.
Demostración. ComoF 2S ; entonces
(A\E) = (A\E\F) + (A\E\Fc)
y
(A\Ec) = (A\Ec\F) + (A\Ec\Fc);
y como E 2S ; sustituimos ambas ecuaciones en (2.1) y obtenemos (a). Al sustituirA\(E[F) porA en (a) se obtiene (b).
Por último si E\F =?;entonces E Fc y F Ec: Entonces (b)
)(c):
Teorema 69 La colección S es una -álgebra y la restricción de a S es una medida. Demostración. Probaremos primero que S es álgebra.
i) Por propiedad de simetría de la de…nición de S ; tenemos que si E 2 S se sigue que Ec
2S :
ii). Si E; F 2S y A22X; del Lema 68 (a) y (b) tenemos que
(A) = (A\(E[F)) + (A\(E[F)c):
Luego S es álgebra.
Ahora probaremos queS es una -álgebra. Por demostrar que sifEng1n=1 S se cumple que E = 1 [ n=1 En 2S :
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad que los En’s son ajenos, esto porque S es anillo y se puede particionar.
Por inducción sobre n e inciso (c) del Lema 68
A\ n [ i=1 Ei ! = n X i=1 (A\Ei): SeaFn= n [ i=1
Ei: es claro que Fn 2S ; pues S es álgebra. Entonces (A) = (A\Fn) + (A[Fnc); n 1 = n X i=1 (A\Ei) + (A\Fnc) n X i=1 (A\Ei) + (A\Ec) (por monotonía),
haciendo n ! 1se sigue que
(A) 1 X i=1 (A\Ei) + (A\Ec) (A\E) + (A\Ec) (por -subaditividad). Por lo tanto E 2S :
SeaE =
1
[
i=1
Ei; Ei’s conjuntos ajenos que pertenecen a S : Entonces
(A) =
1
X
i=1
(A\Ei) + (A[Ec); 8A:
la prueba termina tomando A=E; pues el segundo término se hace cero y
(E) = 1 X i=1 (Ei):
2.2.2
El Teorema de extensión
De…nición 70 Sea :R ![0;1] medida y E 22X: De…nimos : 2X
![0;1] como (E) = 8 > > < > > : ínf ( 1 P n=1 (En) :E 1 [ n=1 En; En2R )
+1; cuando no se puede cubrir a E:
Teorema 71 La función es una medida exterior y es una extensión de :
Demostración.
Dividiremos la demostración en tres pasos:
i) es una extensión.
SeaE 2R; E =E[?[?[ ;entonces (E) (E) + (?) + (por de…nición de
) Ahora, si E 2R; E 1 [ n=1 En; En2R;se tiene que (E) 1 X n=1 (En) (Teorema 56)
(E) (E) (por de…nición de ) (E) = (E) 8E 2R:
En particular (?) = 0:
ii) es monótona. SeaE F:Cualquier sucesión fFng1n=1 F que cubre aF;cubre a E: Entonces (E) (F):
SiF no se puede cubrir, entonces (F) = 1 y la desigualdad es clara.
iii) es -subaditiva. SeafEng1n=1 2
X con (E
n)<1:
Por de…nición de ; dado " >0; para cada n existe fEmng1m=1 R tal que
En 1 [ m=1 Emn y 1 X m=1 (Emn) (En) + " 2n: Notemos que[fEmn :n= 1;2; :::;m= 1;2; :::g E := 1 [ n=1 En: Entonces (E) 1 X n=1 1 X m=1 (Emn) 1 X n=1 (En) +":
Haciendo "!0; se prueba lo deseado.
Lema 72 Probar queS (R) S ; donde S es la -álgebra de los conjuntos -medibles respecto a la medida exterior de la De…nición 70.
Demostración. Ejercicio.
Teorema 73 Sea :R ![0;1] una medida. Entonces existe una medida :S (R) ! [0;1] tal que se extiende a sobre S (R):
Demostración. Suponga que es -…nita en R: Sean 1; 2 : R ! [0;1] medidas tales que extienden a ; i.e.,
1(E) = 2(E) = (E); 8E 2R: Fijar A2R tal que (A)<1 y sea
D =fE 2S (R) : 1(A\E) = 2(A\E)g: i) E; F 2D; F E; entonces
1((EjF)\A) = 1(E\A) 1(F \A)
= 2(E\A) 2(F \A) = 2((EjF)\A):
ii) Si fEng1n=1 D y ajenos, entonces
1 1 [ n=1 En\A ! = 1 X n=1 1(En\A) = 1 X n=1 2(En\A) = 2 1 [ n=1 En\A ! :
En consecuenciaD es cerrado bajo diferencias propias y unión numerable de ajenos, esto es,
D es una D-clase.
Obsérvese que R D:Entonces D(R) D:
Por otra parte, D(R) = S (R) (ver Teorema 44). Entonces D S (R); así
Dado queD(R) =S (R)y por la -…nitud de en R: SiE 2S (R); entonces existen En 2R; E 1 [ n=1 En y (En)<1: (2.2)
Podemos tomar los En’s ajenos, E = S1
n=1
(E\En); y los (E\En)’s son ajenos.
1(E\En) = 2(E\En); n 1 Entonces 1(E) = 1 X n=1 1(E\En) = 1 X n=1 2(E\En) = 2(E): Luego, la extensión es única.
Que es -…nita es precisamente (2.2).
Teorema 74 (Teorema de extensión de Carathéodory). Sea P un semianillo y :P ! [0;1] una función -aditiva y (?) = 0: Entonces existe una medida :S (P) ![0;1]
que es una extensión de sobre P:
Si es -…nita en P; entonces la extensión es única y -…nita en S (P):
Demostración. Paso I: se extiende a sobre R(P) y por paso II: se extiende a sobre
S (R(P)) =S (P):
La extensión es única pero no. Como es -…nita, por ejercicio es -…nita sobre
2.2.3
Ejemplo: Medida de Lebesgue
Teorema 75 Existe una única medida en la -álgebra de Borel B(R) tal que
((a; b]) = b a; 8a < b:
La medida es -…nita y se llama la medida de Lebesgue en B(R): Observación 76 Sea la medida de Lebesgue enB(R):
(a) (fag) = 0: Sea An = (a n1; a]; (An) = n1 < 1; An # fag ) (An) ! (fag) )
1
n !0) (fag) = 0:
(b) Si A2B(R)es numerable, entonces (A) = 0;por -aditividad. En particular (Q) = 0 y (I) = 1:
(c) La medida de lebesgue de un intervalo acotado es su longitud.
((a; b]) = b a:
([a; b]) = (fag [(a; b]) =b a:
(a; b] = (a; b)[ fbg ) ((a; b]) = ((a; b)) + (fbg)
) ((a; b)) =b a:
(d) La medida es -…nita en P; R(P) y S (P) yS :
2.2.4
Invariancia bajo traslaciones de la medida de Lebesgue
De…nición 77 Si A R y x 2 R; entonces la traslación de A por x se de…ne como el conjunto
Ejemplo 78 Sea la medida de Lebesgue. Entonces (x I) = (I); I = (a; b];(a; b);[a; b);[a; b]:
Teorema 79 Si E R y x2R; entonces (x E) = (E):
Demostración. Si E S1i=1Ei; Ei 2 S; entonces x E
S1
i=1(x Ei): Además, debido a que 1 X i=1 (Ei) = 1 X i=1 (x Ei);
lo que implica que
(x E) inf ( 1 X i=1 (x Ei) :x E S1 i=1 Ei; Ei 2S ) = inf ( 1 X i=1 (Ei) :x E 1 S i=1 Ei; Ei 2S ) = inf ( 1 X i=1 (Ei) :E 1 S i=1 Ki; Ki 2S ) = (E): (Ki = ( x) Ei; Ki 2S:) Ahora (E) inf ( 1 X i=1 (Ei) :E 1 S i=1 Ei; Ei 2S ) = inf ( 1 X i=1 (x Ei) :x E x 1 S i=1 Ei; Ei 2S ) = inf ( 1 X i=1 (x Ei) :x E 1 S i=1 (x Ei); Ei 2S ) = inf ( 1 X i=1 (x Ei) :x E 1 S i=1 Ii; Ii 2S ) = (x E):
(Ii =x Ei; Ii 2S:) Por lo tanto
(x E) = (E):
Ejercicio 80 Sean A y B subconjuntos de R y z 2R: Entonces
(z A)\B =z fA\[( z) B]g
y
x Bc = (x B)c:
Teorema 81 Si E 2B(R) y x2R; entonces x E 2B(R) y (x E) = (E):
Demostración. Dado que es invariante bajo traslaciones, tenemos
([( x) A]\B) = (( x) [A\(x B)])
= (A\(x B)): (2.3)
Ahora, seaE 2B(R);sustituyendoB por E y porEc en (2.3), respectivamente,se obtiene que
(A) = (( x) A)
= ([( x) A]\E) + ([( x) A]\Ec) = (A\(x E)) + (A\(x Ec))
para todoA 22R:Por lo tanto x E 2B(R)y por lo anterior
(x E) = (E) = (E):
Ejercicio 82 Para un subconjuntoE de R y a; b2R; a 6= 0; de…namos
T (E) =aE+b=fax+b:x2Eg: 1)T (E)2B(R)si, y sólo si, E es de Borel.
2) Si es la medida de Lebesgue enB(R); entonces
(T(E)) =jaj (E):
2.2.5
Un conjunto no Boreliano
Teorema 83 Existe un subconjunto en R que no pertenece a B(R).
De…namos una relación de equivalencia “ ” en R por x y()x y2Q: Esta relación particiona aR en clases de equivalencia
[x] = fx+q:q 2Qg:
Claramente cada clase de equivalencia contiene a un punto de[0;1]:
Sea V [0;1] un conjunto con exactamente un punto de cada clase de equivalencia (dicho conjunto existe, por el axioma de elección).
Para todoqi 2Q\[ 1;1]; de…namos Vi =qi V: Observemos que
[0;1] S
i2N
Vi [ 1;2]: (2.4)
Para ver que la primera inclusión es válida, notemos que si x2[0;1]; debe de existir y2V tal que x2 [y]~: (debido a que x debe de pertenecer a alguna clase de equivalencia y de la de…nición deV éste contiene un elemento de cada clase de equivalencia). Entoncesx y =qi; para algún qi 2Q\[ 1;1]y así x2qi V:
Observemos también que
Vi\Vj =? si i6=j; (2.5) de no ser así para algúny; z 2V; y 6=z implica que y+qi =z+qj
!
lo cual es imposible por la elección deV:Demostración del Teorema 83. Supongamos que V es medible. Entonces también lo es Vn; n= 1;2; :::y Si2NVi: Por (2.4) y la monoticidad de la medida de Lebesgue tendremos
1 = ([0;1]) S
i2N
Vi ([ 1;2]) = 3: (2.6) Por invariancia bajo traslaciones de tenemos que
0< (Vi) = (V): (2.7) Por lo tanto, debido a que los Vi son ajenos y por -aditividad tenemos que
S i2N Vi = X i2N (Vi) = X i2N (V) = +1
!
; lo cual es una contradicción de (2.6).2.3
Medida de Lebesgue-Stieltjes
De…nición 84 Una función F : R ! R se llama función de distribución si es no-decreciente y continua por la derecha.
Teorema 85 (Caracterización de medidas enB(R)):a) SeaF una función de distribución. Entonces existe una única medida ( -…nita) F en la -álgebra de Borel B(R) tal que
F ((a; b]) =F (b) F (a); 1< a < b <1:
b) Recíprocamente si es una medida en B(R) tal que ((a; b])<1 para todo 1< a < b <1; entonces existe una función de distribución F tal que = F:
c) La función F es única módulo una constante aditiva. Demostración. Sea
S =f(a; b];(c;1);( 1; d];( 1;1) :a < b2Rg: La colección S es una semi-álgebra.
Por el Teorema de Carathéodory (Teorema 74) para demostrar (a) tenemos que probar que F es -aditiva en la semi-álgebraS: si (ai; bi]; i 1son ajenos
F S i=1 (ai; bi] = 1 X i=1 F((ai; bi]):
Lema 86 Sea E0 2S yfEngn 1 una sucesión de intervalos ajenos enS tal que Ei E0;
para todo i 1: Entonces
1
X
i=1
Demostración. Si F (E0) = 1; la demostración termina. Supongamos que F(E0) < 1: Sean …jo, entonces
n X i=1 F ((ai; bi]) = n X i=1 [F(bi) F (ai)] F (b0) F (a0) = F (E0):
Así, tomando el límite tenemos
1 X i=1 F ((ai; bi]) F (E0): Lema 87 Si [a0; b0] n S i=1 (ai; bi); entonces F (b0) F (a0) n X i=1 [F (bi) F (ai)]:
Demostración. Ejercicio (utilizar -subadtividad de F).
Lema 88 Si E0 2S; Ei 2S; i 1 y E0 S1 i=1Ei; entonces F (E0) 1 X i=1 F (Ei):
Demostración. Supongamos que F (E0) < 1: Siempre podemos tomar Ei’s de longitud …nita (Ei = (ai; bi]; 1 < ai < bi < 1). Sea " > 0, tal que, 0 < " < F(b0) F (a0): Por serF continua por la derecha, elegimos i tal que
F(bi+ i)< F(bi) + "
Entonces [a0+"; b0] 1 S i=1 (ai; bi+ i):
Por el Teorema de Heine-Borel existe un n tal que
[a0+"; b0] n
S
i=1
(ai; bi+ i):
Entonces por el Lema 87.
F (b0) F (a0+") n X i=1 [F (bi+ i) F (ai)] (F es no decreciente) 1 X i=1 [F (bi+ i) F (ai)] = 1 X i=1 [F (bi+ i) F (bi) +F(bi) F(ai)] 1 X i=1 F((ai; bi]) + 1 X i=1 " 2i: Por lo tanto F(b0) +F (a0+") 1 X i=1 F ((ai; bi]) +": Si" #0y por continuidad por la derecha de F
F ((a0; b0]) = F(b0) F(a0)
1
X
i=1
F((ai; bi]):
Volviendo a la demostración del Teorema 85-(a): Si Ei 2 S; i 1 son ajenos y
S1
i=1Ei = E0 2S; por los Lemas 86 y 88 tenemos que
F(E0) =
1
X
i=1
es decir, F es -aditiva en S:
Ahora, F es -…nita enS ya que todo E 2S
F (E) =
1
X
i=1
F (Ei); F(Ei)<1;
Ei ajenos, Ei = (ai; bi]; 1 < ai < bi < 1: Por Carathéodory (Teorema 74) se desprende que existe una única medida F en (S) = B(R) tal que
F ((a; b]) =F (b) F (a):
Demostración Teorema 85-(b): Sea una medida en B(R) tal que (E) < 1; para todo E 2S: De…namos F (x) = 8 < : ((0; x]); x 0 ((x;0]); x < 0:
La función es una medida, lo que implica que F es no decreciente.
Además, F es continua por la derecha: Seax 0 yhn#0:Entonces (0; x+hn]#(0; x]: Por el Teorema de continuidad de medida (Teorema 58)
((0; x]) = lím
n!1 ((0; x+hn]);
es decir
F(x) = lím
n!1F (x+hn):
Por otro lado
F((a; b]) =F (b) F (a) = ((a; b]): ( es -…nita en S).
La unicidad se sigue por Carathéodory (Teorema 74)
F = enB(R):
Demostración Teorema 85-(c): SiGes otra función de distribución tal que G = ;entonces para todox2R G(x) G(0) =F (x) F (0): En consecuencia F =G+C: Observación 89 a) F(fag) = F(a) F (a ); pues F(fag) = nlím !1 F (a 1 n; a] = lím n !1 F (a) F a 1 n = F (a) F (a ):
b)Si F es continua en a2R; entonces F (fag) = 0:
c)
F ((a; b)) =F (b ) F (a);
F ([a; b)) =F (b ) F (a ):
d) F (x) =x nos da la medida de Lebesgue (única enB(R) que a cada intervalo acotado le asigna su longitud)
Funciones medibles y variables
aleatorias
3.1
Espacios de medida y espacios medibles
(X;S)es un espacio medible si X es un conjunto no-vacío y S es una -álgebra.
(X;S; ) es un espacio de medida si (X;S) es un espacio medible y es una medida en
S:
(X;S; ) es un espacio de probabilidad si es un espacio de medida y (X) = 1: Denotemos porB R la -álgebra que contiene a
a) B(R)
b) f 1g; f+1g
Ejercicio. Prueba que
B R = B; B[ f+1g; B[ f 1g; B[ f+1g [ f 1g:B 2B R : 42
Convenciones algebraicas Si 1< a < 1 1 a= 1 1 a=1 (1) (0) = 0 (1) = 0: Sia >0; a(1) =1; a( 1) = 1 Sia <0; a(1) = 1; a( 1) = 1: 1+1=1; 1 1= 1: No permitiremos 1 1 ni 1+ ( 1):
3.2
Transformaciones y funciones medibles
Imagen inversa
T :X !Y (T x2Y; x2X)
“transforma conjuntos”
T 1G=fx2X :T x2Gg; G Y:
Lema 90 Sea T una transformación de X en Y y G; H; Gi; i = 1;2; ::: subconjuntos de Y:
i) T 1(GnH) =T 1GnT 1H (T 1(?) =?) ii)T 1 1 [ i=1 Gi ! = 1 [ i=1 T 1G i iii)T 1 1 \ i=1 Gi ! = 1 \ i=1 T 1G i iv) T 1Gc = (T 1G)c
Lema 91 Sea T :X !Y y sea T un -anillo de Y: Entonces
T 1T = T 1G:G2T :
es un -anillo de X: T 1T es una -álgebra si T es una -álgebra y si T está de…nida en todo X:
Demostración. Use Lema 90 i), ii).
Lema 92 Sea (X;S) un espacio medible y T :X !Y una transformación. Entonces T = G:T 1G2S ;
es un -anillo.
Demostración. Trivial.
De…nición 93 Sean (X;S) y (Y;T) espacios medibles y T : X ! Y: Se dice que T es SjT -medible si T 1T S; es decir, T 1G
2 S; para todo G 2 T ; es decir “la imagen inversa de un medible es medible”.
De…nición 95 Si (X;S; ) es un espacio de probabilidad las funciones medibles se llaman
variables aleatorias.
Teorema 96 Sean (X;S); (Y;T ) espacios medibles y T una transformación de X en Y:
Sea G una clase de subconjuntos de Y tal que S (G) = T ( -anillo generado por G):
Entonces T es SjT-medible si, y sólo si, T 1G
2S; para todo G2G:
Demostración. Si T es SjT-medible, claramente
T 1G2S; 8G2G: (3.1) Recíprocamente. Supongamos que se cumple (3.1) y queS (G) = T y sea
D = G Y :T 1G2S :
Por el Lema 92, D es un -anillo y, por hipótesis, G D; por lo tanto S (G) = T D: Entonces T 1G2S; 8G2T:
Luego T esSjT -medible.
Teorema 97 Sea (X;S) un espacio medible y f : X ! R: Entonces f es una función medible si, y sólo si,
a) f 1(f 1g)2S; f 1(f1g)2S y a1) f 1(B)2S; para todo B 2B(R); o a2) fx2X : 1< f(x) ag=f 1(( 1; a])2S; para todoa real.
Observación 98 La condición (a2) se puede sustituir por f 1( 1; a)2S; para todo a2R; o f 1([a;1))2S; para todo a2R; o f 1(a;1)2S; para todo a 2R;
y a2R se puede sustituir por a 2Q:
Demostración. Ejercicio.
Ejemplos de funciones medibles
(X;S)espacio medible.
1)f(x) =k; para todox2X es medible. Sia k; f 1(a;1) = ?2S:
Sia < k; f 1(a;
1) = X 2S:
2) La función indicadora o característica de un conjunto E X:
E(x) = 1E(x) = 8 < : 1; x2E; 0; x =2E: 1E1(a;1) = 8 > > > < > > > : ?; a >1; E; 0< a <1; X; a 0:
Esto nos permite construir una función no medible, tomando1E :R !R; dondeE Res no-medible.
3) Sif :X !Res continua, entoncesf es medible. f 1(a;
1)es un abierto ya que(a;1)
es abierto yf es continua. En general f 1(O
X) OY si f es continua,f :X !Y:
4) Si X =R; S =B(R); entonces cualquier función monótona es medible. Supongamos que f es monótona creciente
f 1(a;1) = 8 < : (b;1)2B(R); [b;1)2B(R); para algún b2R:
Lema 99 Sea (X;S) un espacio medible y f; g : X ! R funciones SjB(R)-medibles. Entonces las siguientes funciones son medibles:
(a) cf; para todoc2R; (b) f2; (c) f+g; (d) f g; fn para todo n 1; (e) jfj:
Demostración. (a) Sic= 0; es trivial. Sic > 0; fx2X :cf(x)> ag= n x2X :f(x)> c a o 2S; ya que f es medible. El caso c <0 es similar. (b). Si a <0; x2X :f2(x)> a =X 2S: Sia 0 x2X :f2(x)> a = x2X :f(x)>pa [ x2X :f(x)< pa ;
dado que f es medible se tiene que fx2X :f(x)>pag 2 S y fx2X :f(x)< pag 2
S y así se sigue que f2 es medible. (c) Para r2Q;
Sr =fx2X :f(x)> rg \ fx2X :g(x)> a rg 2S; dado que f y g son medibles.
Además
fx2X :f(x) +g(x)> ag= S
r2Q
Sr 2S; por lo tanto f+g es medible.
(d) En virtud de que
f g = 14 (f+g)2 (f g)2 ;
y utilizando (a), (b) y (c) se tiene que f g es medible. Asimismo, fn es medible para todo n 1:
(e) Si a <0;
fx2X :jf(x)j> ag=X 2S: Sia >0;
fx2X :jf(x)j> ag=fx2X :f(x)> ag [ fx2X :f(x)< ag 2S; lo anterior es porquef es medible.
Observación 100 i) Puede ser que jfj sea medible y f no lo sea. e.g. seaE =2B(R):
f(x) = 8 < : 1; x 2E; 1; x =2E;
ii) Si f; g:X !R entonces (a);(b)y (e) en el lema anterior se cumplen. (ejercicio) iii)f g también es medible
Af =fx:f(x) = +1g 2S Bf =fx:f(x) = 1g 2S Cf =Af [Bf:
iv) f+g puede estar no de…nida. Sin embargo la función
h(x) = 8 < : f(x) +g(x); x =2Cf [Cg; 0; x2Cf [Cg; es medible y Cf [Cg 2S:
Proposición 101 Seaf :X !Ryf+(x) = max
ff(x);0g 0yf (x) = maxf f(x);0g 0: Entonces
a)f =f+ f : b)jfj=f++f :
c)f+ = 12(jfj+f)y f = 12(jfj f):
d)f+ y f son medibles si, y sólo si, f es medible.
Demostración. Los incisos (a), (b) y (c) son triviales.
(d). Sif es medible, entoncesjfj es medible; por (c)f+ y f son medibles. Si f+ y f son medibles, por (a), f es medible.
Observación. La proposición anterior es cierta si f :X !R: Lema 102 Sea fn:X !R una sucesión de funciones medibles y
f(x) = ínf
n
fn(x); F (x) = sup n
f (x) = lím
n
fn(x); F (x) = lím
n fn(x): Entonces f; F; f ; F :X !R son medibles.
Demostración. La demostración se sigue de las siguientes observaciones
fx2X :f(x) ag= T1 n=1f x2X :fn(x) ag; fx2X :F (x)> ag= S1 n=1f x2X :fn(x)> ag; f (x) = sup n 1 ínf m nfn(x) ; F (x) =nínf1 m nsupfn(x) :
Corolario 103 Sea fn : X ! R una sucesión de funciones medibles tal que1 fn ! f:
Entonces f es medible.
Corolario 104 Sean f; g :X !R medibles, entonces f g es medible.
Demostración. Sea fn(x) = 8 > > > < > > > : f(x); jf(x)j n; n; f(x)> n; n; f(x)< n; gm(x) = 8 > > > < > > > : g(x); jg(x)j m; m; g(x)> m; m; f(x)< m:
Entonces para todo n 1; fn; gn : X ! R y es fácil ver que son medibles y fn ! f y gm !g: Además, por el Lema 99 (d), fngm son funciones medibles. Por el Corolario 103,
1 lím
para todon 1; fng =fn lím
m!1gm es medible, y de nuevo, por el Corolario 103f g =nlím!1fng
es medible.
Observación 105 Se dice que una función g : X ! R es simple si existen k; Ai 2 S; ai 2R; i= 1;2; :::; k: Los Ai’s son ajenos tales que X =
k [ i=1 Ai y g(x) = Pk i=1ai1Ai(x):
Teorema 106 (Teorema de aproximación) Sea f una función medible no-negativa. En-tonces existe una sucesión fn de funciones simples reales no-negativas medibles tal que2 fn"f:
Demostración. Sean …jo. Para k= 0;1; :::; n2n 1 sean
Ek;n = x2X :k2 n f(x)<(k+ 1) 2 n ;
y para k =n2n
Ek;n =fx2X :f(x) ng:
Ek;n 2S para todok; ya que f es medible, además los Ek;n son ajenos
X = n2n S k=0 Ek;n: Sea fn(x) = 1 2n n2n X k=0 k1Ek;n(x): Observemos quefn:X !R:
Entonces fn cumple lo deseado (ejercicio).
2Para todon 1,f
n(x) fn+1(x);para todox2Ry lím
3.3
Variables aleatorias
Sea( ;F; P)un espacio de probabilidad.
Una funciónX : !R esvariable aleatoria si es una función medible. Sea
F(x) = P(X x) = P(f! :X(!) xg):
Entonces F (x) es una función de distribución y F(+1) = 1; F( 1) = 0 (Función de distribución de probabilidad).
Teorema 107 Dada una función de distribución de probabilidad F; existe un espacio de probabilidad ( ;F; P) y una variable aleatoria X en ( ;F; P) tal que X tiene distribución
F; es decir
F (x) = P (X x); para todox2R:
Demostración. Sea =R; F =B(R) y F la medida en(R;B(R))tal que
F ((a; b]) =F (b) F (a):
SeaP = F y X : !R de…nida por X(!) = !:
Integración
Sea(X;A; )un espacio de medida.
:X ![0;1]; f :X ![ 1;1]; A-medible. De…namos Z X f d = Z f d : Nos preguntamos Z X f d ¿?! Z f d :
De…nición 108 Una función ':X !R es simple si toma un número …nito de valores.
Representación estándard: '(x) = n X j=1 aj1Aj(x); (4.1) donde los a0
js son distintos yAj 2A son ajenos y X =Snj=1Aj: 53
Observación 109 Existen muchas representaciones para ':
Ejemplo 110
'(x) = 3 1[1;3](x) + 2 1[2;4](x)
= 3 1[1;2)(x) + 5 1[2;3](x) + 2 1[3;4](x):
La integral con respecto de de ' 0 se de…ne por
Z 'd = n X j=1 aj (Aj): Nota: R 'd 2[0;1]:
Lema 111 (Linealidad). Sean '; funciones simples no negativas y c 0;
a)R c'd =cR 'd ; R ('+ )d =R 'd +R d : b) :A ![0;1] de…nida por (A) = Z '1Ad ; es medida enX: Notación. R '1Ad = R A'd :
Demostración. El caso c= 0 es obvio. Seac >0: Entonces c =
n
X
j=1
c j1Aj (r.e. = representación estándard).
Luego, Z c d = n X j=1 c j (Aj) = c Z d :
Sea (x) =Pnj=1 j1Bj(x)su r.e. dada por (4.1). Podemos representar ( + ) (x) = n X j=1 m X k=1 j + k 1Aj\Bk(x):
Sean ci; i= 1; :::; p los distintos números del conjunto j + k :j = 1; :::; n;k = 1; :::; m : Ii = (j; k) : j+ k =ci; Aj\Bk6=? Di = S (j;k) (Aj\Bk); i= 1; :::; p: (Di) = P (j;k)2Ii (Aj\Bk) y + = p X i=1
ci1Di es la r.e. dada por (4.1).
Z ( + )d = p X i=1 ci (Di) = p X i=1 X (j;k) ci (Aj \Bk) = n X j=1 m X k=1 j+ k (Aj \Bk) = n X j=1 j (Aj) + m X k=1 k (Bk) r.e. de ; : = Z d + Z d : b) 1A= Pn j=1 j1Aj\A: (Aj \A)\(Ak\A) = ?; j 6=k:
Por linealidad e inducción …nita Z 1Ad = n X j=1 j Z 1Aj\Ad = n X j=1 j (A\Aj) = n X j=1 j j(A);
es una combinación lineal …nita de medidas.
Consideremos una funciónf medible no negativa.
De…nición 112 Sea f :X ![0;1] medible. De…nimos
Z f d = sup Z 'd : 0 ' f; ' simple : Nota. R f d 2[0;1]: R f1Ad = R Af d : Lema 113 a) 0 f g; entonces R f d R gd : b) Si A B; A; B 2A; entonces RAf d RBf d : Demostración. (a)0 ' f ) 0 ' g: (b) Aplicar inciso (a) a f1A f1B:
Teorema 114 (Teorema de convergencia monótona). Suponga que 0 fn"f: Entonces
Z f d = lím n!1 Z fnd : (i.e., R fnd " R f d ):
Nota. No se pide convergencia en ambos lados.
Demostración. Tenemos que f es medible, ya que fn(x) !f(x)8x2X: Como fn f; para toda n; se sigue que
Z fnd Z f d ; así lím Z fnd Z f d : Sea0< " <1; y sea0 ' f simple.
De…namos An =fx2X :"'(x) fn(x)g: Luego, An2A; An An+1; 1 S n=1 An=X:
Si x 2 X entonces "'(x) < '(x) f(x): Lo que implica que existe n tal que "'(x)
fn(x): Así Z An "'d Z An fn Z fnd :
Por otro lado
Z 'd = Z '1Xd = Z '1S1 n=1 An d (monotonía de la medida) = lím n!1 Z An 'd : Entonces " Z 'd lím n!1 Z fnd ;
haciendo " !1 se obtiene que Z 'd lím n!1 Z fnd :
Corolario 115 Sean f; g :X ![0;1] y c 0: Entonces a) Z cf d =c Z f d : b) Z (f +g)d = Z f d + Z gd :
Demostración. a) el casoc= 0es obvio. Si c >0;sean 0 'n f; tal que'n 'n+1; 'n’s simples y 'n %f: ( Teorema de aproximación 106)
Tenemos quec'n %cf; c'n’s simples. Entonces Z cf d = lím n!1 Z c'nd =c Z f d :
Para la primera igualdad se utilizó el Teorema de convergencia monótona (T.C.M. 114) y para obtener la segunda igualdad se utilizó la linealidad de la integral, Lema 111.
b) Si 0 n%g; n’s simples Z (f+g)d = lím n!1 Z ('n+ n)d (T.C.M. 114) = lím n!1 Z 'nd + lím n!1 Z nd (linealidad, Lema 111) = Z f d + Z gd (T.C.M. 114).
Corolario 116 Sean gn 0: Entonces Z X1 n=1 gnd = 1 X n=1 Z gnd : Demostración. Aplicar T.C.M. a fn= n X j=1 gj % 1 X j=1 gj:
Lema 117 (Lema de Fatou) Sean fn 0; n 1: Entonces
Z límínffn límínf Z fnd : Demostración. Sea gn =ínf ffn; fn+1; :::g: Notemos quegn%liminf fn:Entonces, por el T.C.M. 114
Z
gnd %
Z
liminffnd : (4.2)
Por otro lado,
gn fm; 8m n; entonces Z gnd Z fmd ; 8m n; Z gnd ínf m n Z fmd : (4.3)
Por (4.2) y (4.3) se sigue que
Z
liminffnd liminf
Z
Corolario 118 Sea f :X ![0;1]: a) (A) = Z A f d es medida en A: b)
f(x) = 0; -c.t.p1. si, y sólo si,
Z
f d = 0:
Demostración. a) (A) 0;pues f lo es. (?) = R f1?d = 0: Para probar -aditividad, considerar A1; A2; :::; enA conA=
1
S
j=1
Aj y Ai\Aj =?; j 6=k: De…namos la sucesión monótona-creciente a f1A por fn=Pnj=1f1Aj:
Dado quefn%f1A; por el TCM 114
(A) = Z f1Ad = lím n!1 Z fnd = lím n!1 n X j=1 Z f1Ajd = 1 X j=1 (Aj): b) De…namos A=fx:f(x)>0g; An = x:f(x)> n1 : Observemos queA = S1 n=1 An y f(x) 1n1An(x)8x2X: SiR f d = 0 ) 0 n1 (An);8n:
Entonces (A) = 0;lo cual implica que f(x) = 0 -c.t.p.. Si (A) = 0; de…nimos fn=n1A: liminffn(x) = sup n 1 inf m nm1A(x) f(x); 8x2X: 0 Z f d Z liminffnd liminf Z fnd (Fatou, Lema 117). = liminfn (A) = 0; pues (A) = 0:
Corolario 119 El T.C.M. (Teorema 114) sigue siendo válido si reemplazamos 0 fn " f
(puntualmente) por 0 fn"f -c.t.p.
Ejemplo 120 (Desigualdad estricta en el Lema de Fatou: Lema 117). Sea = (la medida de Lebesgue). fn(x) = 1[n;n+1](x) !f(x) = 0; 8x2R; y observe que Z fnd = 1> Z f d = 0:
Ejemplo 121 (No se aplica el Lema de Fatou) Sea = (la medida de Lebesgue).
fn(x) = 1n1[0;n](x) !f(x) = 0 (uniformemente).
R
f d = 0 > 1 = R fnd ; 8n
= límínfR fnd :
Ejemplo 122 (No se aplica el T.C.M. Teorema 114). Consideremos
fn(x) = 1[n;1](x)"f(x) = 0: Pero Z fnd = 1< Z f d = 0:
Ejemplo 123 El T.C.M. (Teorema 114) y el Lema de Fatou (Lema 117) es válido para funciones negativas
1<
Z
De…nición 124 Una función f :X !R medible es integrable con respecto a si
Z
f+d <1 y
Z
f d <1:
Y en este caso de…nimos R f d =R f+d R f d : Notación. Cuandof es (Lebesgue) integrable, escribimos
f 2L =L (X;A; ): Z A f d = Z f1Ad ; 8A2A: Observación 125 a) f+; f :X !R+: b) R f d <1 c) Si f =f1 f2; f1; f2 :X !R+ y R f1d <1; R f2d <1: Entonces f+ f =f1 f2 )f++f1 =f2+f ) R f+d +R f1d =R f2d +R f d (linealidad) R f d =R f2d R f1d (…nitud). d) :A !R de…nida por (A) = Z A f d ; (f 2L); es una medida signada.
i) (?) = Z f+1?d Z f 1?d = 0: ii) 1 S j=1 Aj ! = + S1 j=1 Aj ! 1 S j=1 Aj ! ;
donde Aj 2A; Aj’s son mutuamente ajenos y +(A) = Z f+1Ad ; (A) = Z f 1Ad : Así 1 S j=1 Aj ! = 1 X j=1 +(A j) 1 X j=1 (Aj) = 1 X j=1 +(A j) (Aj) = 1 X j=1 Z f+1Ad Z f 1Ad = 1 X j=1 (Aj): e) Z A f d = 1 X j=1 1Ajf d ; 8A= 1 S j=1 Aj;
Aj 2A; Aj’s son mutuamente ajenos.
Teorema 126 La función f es integrable si, y sólo si, jfj es integrable.
Demostración. La funciónf es integrable si, y sólo si,
Z
f+d <1 y
Z
f d <1; lo anterior es cierto si, y sólo si,
f+ y f son integrables, de nuevo si, y sólo si,
jfj+=jfj= f++f
| {z }
integrables
y
jfj = 0:
Corolario 127 Supongamos que f es medible y que g es integrable. si jfj jgj; entonces
Z
jfjd
Z
jgjd :
Demostración. Observemos que0 jfj=f++f
jgj=g++g : Entonces R f+d +R f d <
1:
Teorema 128 Si f y g son integrables y c2R, entonces i) Z cf d =c Z f d ; ii) Z (f +g)d = Z f d + Z gd :
Demostración. i) Si c= 0; tenemos que cf = 0: Entonces (cf)+= (cf) = 0: Luego R cf d = 0 =cR f d :
Sic < 0; tenemos que
(cf)+=cf(x); sif(x) 0;
(cf) =cf(x); si f(x)>0 (cf)+ = cf (x)
y (cf) = cf+(x): Entonces Z f d = Z cf d Z cf+d = c Z f d Z f+d = c Z f d : Sic > 0; tenemos que (cf)+ =cf+(x) y (cf) =cf (x):
ii) Seanf; g 2L: Entonces jfj;jgj 2L: Tenemos que jf+gj jfj+jgj 2L: Entonces f+g = f++g+ f +g : Entonces Z (f+g)d = Z f++g+ d Z f +g d (por linealidad) = Z f+d Z f d + Z g+d + Z g d = Z f d + Z gd :
Teorema 129 (Teorema de convergencia dominada de Lebesgue). Sean fn; n 1funciones
integrables y f una función medible tales que a) jfnj g; para todon 1; siendog integrable,
b) lím n!1fn(x) =f(x); para todo x2X: Entonces f es integrable y Z f d = lím n!1 Z fnd :
Demostración. Tenemos quejf(x)j jg(x)j; 8x2X: Se sigue que f es integrable. Luego, aplicando el Lema de Fatou (Lema 117), comog+fn 0;
Z gd + Z f d = Z (f +g)d liminf Z (g+fn)d = Z gd +liminf Z fnd : Entonces R f d = liminfR fnd : Por otra parte, como g fn 0
Z gd Z f d = Z (g f)d liminf Z (g fn)d = Z gd +liminf Z fnd = Z gd limsup Z fnd : Entonces Z f d =limsup Z fnd :
Por lo tanto Z f d = limsup Z fnd liminf Z fnd = Z f d :
Ejemplo 130 (No se aplica el Teorema de convergencia dominada, Teorema 129). Sea
X =R; A =B(R); = : Tomemos fn(x) = 1[n;2n](x) !f(x) = 0; 8x2X: Observe que Z fnd =n 90 = Z f d ; y no se cumple que 1[n;2n](x) g:
Aplicación a funciones parametrizadas Sea
f :X [a; b] !R (x; t)7 !f(x; t)
Para t2[a; b] …jo, supongamos que
x7 !f(x; t) esA-medible, 8t2[a; b]: I) Supongamos que para algúnt 2[a; b];
f(x; t0) = lím t!t0
y que jf(x; t)j g(x); g integrable, (4.5) entonces Z f(x; t0) (dx) = lím t!t0 Z f(x; t) (dx):
II) Se cumple (4.4) para todo t2[a; b] y (4.5). Entonces F (t) =
Z
f(x; t) (dx);
es continua para todot 2[a; b]; pues F (t0) = lím
t!t0
F(t); para todot 2[a; b]: III) supongamos que:
i) R f(x; t0) (dx)<1; para algúnt0 2[a; b]: ii) @ @tf(x; t) g(x); g integrable; entonces F0(x)existe y d dtF (t) = R @ @tf(x; t) (dx):
Ejemplo 131 Sean X = [a; b]; A =B([a; b]); = : Si consideramos f : [a; b] 