PRÁCTICA Nº 8. FUERZA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO

(1)

Laboratorio de Física II

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 1 PRÁCTICA Nº 8. FUERZA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO

OBJETIVOS

Describir la trayectoria seguida por un rayo de electrones en presencia de campos eléctricos generados por potenciales continuos y alternos.

Analizar el comportamiento de una carga eléctrica en movimiento, bajo la influencia de un campo magnético uniforme y determinar cuantitativamente la carga específica (q

m) de los electrones.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Campo Eléctrico

Un campo es una magnitud física que se puede asociar a cada región del espacio. El modelo de campo supone que el espacio que rodea una carga está lleno de algo llamado Campo Eléctrico E, que no ocupa sólo un punto individual sino que existe en todos los puntos del espacio de manera simultánea. El campo eléctrico se visualiza como una característica del espacio debida a la presencia de una distribución de carga. El vector campo eléctrico en un punto del espacio se define como la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga de prueba situada en ese punto dividida por la magnitud de dicha carga. Sus unidades son

_E



.

0 F E q    (1)

(2)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 2 Figura 8.1. Sentido de la fuerza producida por un campo eléctrico sobre una carga

positiva y sobre una carga negativa.

Figura 8.2. Campo Eléctrico generado por cargas puntuales positivas y negativas. + + + + + + + + E Fq E Fq E + - +q

E



F



v0

E



F



-q

E



F



S

E



F



(3)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 3 Observe que tanto en la figura 8.1 como en la figura 8.2, la dirección de la fuerza sobre una carga positiva en presencia de un campo eléctrico es siempre igual a la dirección del campo, mientras que el sentido de la fuerza sobre una carga negativa es siempre opuesto a la dirección del campo. Esto se cumple siempre sin importar el signo de la carga que genere el campo eléctrico en esa región del espacio.

Ley de Coulomb

Los experimentos realizados por Charles Coulomb (1736-1806) utilizando la balanza de torsión demostraron que la fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas es:

12 1 2 12 2 12

ˆ

e c

q q

F

k

r





(2)

La ecuación (2) nos permite calcular la fuerza eléctrica que la carga q1 produce sobre 2

q . Esta fuerza eléctrica puede ser de atracción o de repulsión, dependiendo del signo de las cargas.

Figura 8.3. Relación entre el vector fuerza eléctrica y el vector posición unitario.

De acuerdo a la Ley de Coulomb, si deseamos calcular el campo eléctrico en un punto del espacio a una distancia rde una carga puntual q, la ecuación (1) quedaría como:

12 F



12 ˆ

r

12 F



q

2

q

1

12 ˆ

r

_

q

2

q

1

_

+

(4)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 4

2

ˆ

c

q

E k

r





(3)

Donde kc es la constante de Coulomb, cuyo valor es

2 9 2 9 10 c N m k C    o en función de la permitividad del espacio libre 12 2

2 0 0 1 ; 8.85 10 4 c C k N m         ; y rˆes el vector

unitario radial que define la dirección del campo, cuya dirección dependerá del signo de la carga que genere el campo eléctrico (alejandose de la carga si ésta es positiva o acercandose a la carga si ésta es negativa).

Retomando la reelación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico E V

(práctica N° 3), se obtiene:

V

E

r



(4)

En la ecuación (4), V representa el potencial eléctrico producido por una carga puntual. Relaciones Energéticas en un Campo Eléctrico

Considere un electrón que se mueve en un campo eléctrico como el producido en un tubo de rayo electrónico filiforme con una diferencia de potencial entre ánodo y cátodo V como el mostado en la figura 8.4.

Figura 8.4. Conjunto cátodo-ánodo o cañón electrónico. 6.3VAC 0-300 V filamento ánodo cátodo ˜

q

2 ˜

(5)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 5 El electrón al hacer el recorrido del cátodo (placa negativa) al ánodo (placa positiva) adquiere una energía cinética igual a:

2 0

1

2 mv



qV

(5) Donde: V = Voltaje anódico. 0

v

=Velocidad del electrón.

q= Carga del electrón.

m= Masa del electrón.

Despejando la velocidad del electrón se obtiene:

0

2 q

v

V

m



(6)

En esta ecuación q_m representa la carga especifica del electrón, la cual tiene un valor de 1.76 1011C

kg

 . Por lo tanto, conociendo esta relación y midiendo el voltaje anódico se puede determinar la velocidad del electrón a partir de la ecuación (6)

Movimiento de una Carga Eléctrica en un Campo Eléctrico Uniforme

De la ecuación (1) se obtiene que la fuerza eléctrica es

F

_e



q E



.

La segunda Ley de Newton nos dice



Fm a. En presencia del campo eléctrico la única fuerza que actúa sobre una carga en movimiento es la fuerza eléctrica, ya que la fuerza gravitatoria (peso) es despreciable por los valores tan pequeños de masa que tienen las partículas cargadas. De esta forma se obtiene:

(6)

q E

q E m a

o a

m





_

(7)

Resulta interesante estudiar el movimiento de una carga positiva a través del campo eléctrico que ocupa una región limitada del espacio .Disparemos la partícula en la dirección perpendicular al campo eléctrico, con velocidad inicial

v

₀.

Figura 8.5. Trayectoria de una carga positiva por un campo eléctrico uniforme.

Si el campo eléctrico es uniforme la aceleración experimentada por la carga será constante, así que aplicamos las ecuaciones de cinemática en dos dimensiones. La trayectoria descrita por la partícula positiva a través del campo es una parábola. Después de cruzar el campo la partícula readquiere un movimiento rectilíneo uniforme, pero con una velocidad v diferente en módulo y dirección. Decimos entonces que el campo eléctrico ha producido una desviación medida por el ángulo  .

Para el movimiento de la partícula dentro del campo, las ecuaciones serán: + + + + + + + +

- - - - - - - -

y O v0 A b L v S x B C d α

(7)

0 0 2 0 0 0

2

x y y y

x x

v t

a t

y

v t

v

a t

 









(8)

Fuerza Magnética sobre una Carga Eléctrica

Cuando una partícula cargada se desplaza dentro de la región donde existe un campo magnético uniforme, sobre ella actúa una fuerza magnética de la forma mostrada en la ecuación (9) y el movimiento está determinado por las Leyes de Newton.

m

F





q v B







(9)

La magnitud de esta fuerza será:

m

F



q v B sen



(10)

_{representa el menor ángulo comprendido entre el ventor velocidad}

 

v y el vector campo magnético

 

B . La unidad del campo magnético en el SI es el weber por metro

cuadrado

 

wb 2

m , también denominado tesla

 

T .

La dirección de la fuerza magnética se obtiene por la regla de la mano derecha, para una carga positiva será el obtenido al multiplicar v B , y sobre una carga negativa su dirección será opuesta a la obtenida multiplicando v B .

(8)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 8 Figura 8.6. Dirección de la fuerza magnética sobre una carga positiva.

Si una carga positiva se mueve con una velocidad perpendicular a un campo magnético uniforme, debido a que la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, su efecto sobre la carga es cambiar la dirección de la velocidad pero no su módulo, resultando así un movimiento circular uniforme como se muestra en la figura 8.7.

Figura 8.7. Trayectoria circular de una carga que se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme.

La carga mostrada en el figura 8.7, me mueve en el sentido contrario a las agujas del reloj. Si la carga fuese negativa, moviéndose con la misma velocidad y en presencia del mismo campo, su movimiento sería en el sentido de las agujas del reloj.

m

F



B



m

(9)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 9 La fuerza que actúa sobre la carga es

F

m



q v B





_



, en todo momento la fuerza y la velocidad son perpendiculares, por lo que sólo existirá fuerza normal, razón por la cual la trayectoria descrita es una circunferencia de radio R.

Como la aceleración normal es 2

n

v a

R

 , aplicando la segunda Ley de Newton resulta:

2

;

n

v

q v B m a

q v B m

R



Despejando el radio de la trayectoria circular:

m v

R

q B



(11)

Puesto que

v w R



, tenemos que w v R

 , sustituyendo la ecuación (11) en esta relación nos queda que la velocidad angular de la partícula es:

q B

w

m



(12)

La ecuación (12) nos indica que la velocidad angular es independiente de la velocidad lineal y depende solamente del cociente q_m y del campo B. Esta expresión da el módulo de wpero no su sentido, si queremos hallarlo, utilizaremos las ecuaciones:

n

a



 

W V



y

F





m a















m w

v

q v B

q

w

v

v B

m







 





(10)





q

w

v

B v

m

  







Lo que implica que:

q

w

B

m

 

   

 



(13)

El signo menos indica que el vector velocidad angular tiene sentido opuesto a B cuando la carga en movimiento es positiva y el mismo sentido cuando la carga es negativa.

Figura 8.8. Trayectorias circulares para cargas positivas y negativas en un campo magnético uniforme.

Si la carga se mueve inicialmente en una dirección que no es perpendicular al campo magnético, podemos descomponer la velocidad en sus componentes paralela y perpendicular al campo magnético; la componente paralela permanece constante y la perpendicular cambia continuamente de dirección a la velocidad pero no de magnitud. El movimiento es entonces la resultante de un movimiento circular uniforme en la dirección del campo con velocidad angular dada por la ecuación (13).

La trayectoria descrita por la carga será una hélice como se muestra en la figura 8.9.

+

B



w



(11)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 11 Figura 8.9. Trayectoria helicoidal de un electrón que se mueve oblicuamente respecto a

un campo magnético uniforme.

Se define el paso de la hélice como la distancia que ella avanza cuando la partícula ha girado 360°. Puesto que el campo es uniforme, la partícula no experimenta cambios de energía y el movimiento es uniforme en la dirección del campo. El paso será:

Paso



V T

 (14)

Donde:

V = Componente de la velocidad paralela al campo T = Período. El cual se puede hallar de

W T  2 .

El radio de la trayectoria circular dependerá ahora sólo de la componente de la velocidad perpendicular al campo, por lo que la ecuación (11) quedará como:

m v

R

q B





(15)

(12)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 12 Tubo de Rayos Filiforme con Bobinas de Helmholtz

Este aparato permite medir la relación carga/masa (e/m) del electrón. Un esquema del aparato se muestra en la figura 8.10. Los electrones se aceleran mediante un voltaje acelerador conocido. Un par de bobinas de Helmholtz producen un campo magnético aproximadamente uniforme en la zona central, que forma un ángulo recto con el haz de electrones. Este campo magnético hace que el haz de electrones siga una trayectoria circular.

Figura 8.10. Tubo de Rayos Filiforme con Bobinas de Helmholtz.

En la figura 8.11 se muestra un esquema básico del aparato.

(13)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 13 El aparato consta de:

1. Tubo a baja presión: lleno con helio (He) a una presión de 10-2 mmHg. Contiene en su interior un cañón de electrones que origina el haz de electrones. El haz de electrones deja una traza visible en el tubo, porque algunos de los electrones colisionan con los átomos de He, que son excitados y entonces radian luz visible. 2. Cañón de electrones: que emite un haz fino de electrones al calentar su cátodo. Los

electrones son acelerados por un potencial aplicado entre el cátodo y el ánodo. La grilla es mantenida positiva con respecto al cátodo y negativa con respecto al ánodo. Esto ayuda a enfocar el haz de electrones. Nota: El voltaje del calentador del cañón de electrones nunca debe exceder 6.3 voltios. Voltajes altos quemaran el filamento y destruirán el tubo.

Figura 8.12. Tubo de baja presión y cañón de electrones.

3. Bobinas de Helmoltz: que consiste en una pareja de bobinas idénticas colocadas paralelamente con una distancia entre ellas igual al radio de cada una. De esta manera se consigue un campo magnético muy uniforme en la zona central. Las bobinas de Helmhotz de este dispositivo tienen un radio y separación de 15 cm y 130 vueltas cada una. El campo magnético producido por las bobinas es proporcional a la corriente que circula por ellas.

4. Panel de control del dispositivo: formado por las fuentes de voltaje detalladas a continuación:

(14)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 14 Fuente de bajo voltaje de 6 a 9 VDC (voltios de corriente directa) y 3 A de corriente máxima. La oscilación en el valor de V debe ser <1%, para que las bobinas de Helmholtz proporcionen un campo magnético constante en el tiempo. Fuente calentadora de 6.3 VDC o VAC (voltios de corriente alterna) para calentar

el filamento.

Fuente de alto voltaje de 150 a 300 VDC para el potencial acelerador.

5. Espejo con escala métrica: situada en la parte de atrás de las bobinas de Helmholtz. Es iluminada por la luz radiada desde el haz de electrones. Sirve para medir el radio de la trayectoria del haz sin error de paralaje.

Tubo de Desviación

Con este tubo se estudiará el efecto de un campo eléctrico producido por dos placas paralelas sobre una carga en movimiento, dejando claro que con este tubo también se puede estudiar el efecto de un campo magnético sobre una partícula en movimiento, pero los resultados son más imprecisos, llegando a cometerse errores por encima del 20%, por este motivo utilizaremos el tubo de rayo filiforme para la parte de campo magnético, el cual es mucho más preciso.

El tubo de desviación está formado por un matraz de vidrio de 140mm de diámetro aproximadamente en cuyo interior se encuentran los siguientes elementos:

Un cañón electrónico formado por un cátodo (K) calentado directamente con 6,3V (AC), el cual al calentarse por efecto Joule, emite electrones, los cuales son acelerados por el ánodo ( A) como se muestra en la figura 8.13, con voltajes comprendidos entre 1500 y 5000V.

Una pantalla luminiscente cuadriculada dividida en cm, la cual hace visible el haz y con su escala calibrada se pueden hacer mediciones de posición.

Dos placas paralelas para producir un campo eléctrico. El voltaje entre las placas se variará entre 1500 y 5000V. Para alimentar este tubo necesitamos dos fuentes de alto voltaje las cuales se detallan más adelante.

(15)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 15 Figura 8.13. Tubo de Desviación.

Fuente de Alta Tensión

Esta fuente se muestra en la figura 8.14. Tiene dos salidas, una que va desde 0V hasta 3000V y otra que va desde 0V hasta 3000V variados con la perilla P.

Figura 14. Fuente de alta tensión.

Fuente de Alimentación Universal

Esta fuente produce los voltajes necesarios para alimentar los diferentes circuitos. En la parte inferior hay dos salidas de 6.3V (AC) las cuales quedan activadas al poner la fuente en funcionamiento con el interruptor (1). Encima de éstas salidas, se observa una salida fija de 300V (DC) y sobre ella, observamos dos salidas variables: Una va de

Placas paralelas Pantalla luminiscente P P A K

(16)

0V hasta 300V (DC), variada con la perilla P₁ y la otra va desde 0V hasta 25V

(DC), variada con la perilla P2.

Figura 8.15. Fuente de alimentación universal.

MATERIALES Y EQUIPOS REQUERIDOS

Tubo de rayos filiforme con bobinas de Helmoltz. Fuente de alimentación universal.

Multímetro digital. Interruptor monopolar. Fuente de alta tensión.

Tubo de desviación con placas paralelas incorporadas. Cables para conexiones.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Campo Eléctrico

1. Monte el tubo de desviación y aliméntelo como se indica en la figura 8.16. Mantenga las fuentes apagadas.

P1 1 2

P

1

P

(17)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 17 Figura 8.16. Tubo de desviación con fuentes de alimentación.

2. Encienda la fuente de 6.3V y espere hasta que el tubo adquiera la temperatura de trabajo.

3. Incremente el voltaje del ánodo con la fuente A hasta que se haga visible el haz de electrones. ¿Qué trayectoria describe el haz?

4. Encienda la fuente P e incremente el voltaje entre las placas

 

VP hasta que el haz de electrones adquiera una desviación apreciable. ¿Qué trayectoria describe el haz?, ¿Puede reconocer la placa positiva? Explique.

5. Invierta la polaridad de las placas de desviación, ¿qué observa? 6. Realice las mediciones indicadas en la tabla 8.1.

Tabla 8.1. Voltaje entre las placas de

desviación

( )

P

V V

Separación entre placas ( ) d m Longitud de las placas ( ) b m Voltaje anódico

( )

A

V V

A K

˜



0 5000



P DC

V





0 5000



A DC

V



6.3

K AC

V



V

(18)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 18 7. Con los datos de la tabla 8.1 y las ecuaciones teóricas, determine la velocidad inicial

y final del haz de electrones.

8. Desconecte la fuente P y conecte en su lugar una fuente de tensión alterna. Encienda la fuente F, encienda e incremente el V_A hasta que observe claramente el haz de electrones. Incremente VF hasta que el haz de electrones se desvíe. ¿Cómo es la desviación? Explique lo observado.

Campo Magnético

1. Realice el montaje indicado en la figura 8.10.

2. Determine la relación carga-masa del electrón manteniendo el voltaje anódico constante y variando la corriente en las bobinas de Helmholtz. Utilice la ecuación (17). Complete la tabla 8.2.

3. Determine la relación carga-masa del electrón manteniendo la corriente en las bobinas de Helmholtz constante y el voltaje anódico variable. Complete la tabla 8.3.

 

a I N B 2 3 0 4 5   (16)

 





3 2 2 2 0 5 2 4 V a q m _N_ _Ir (17) Donde: q

m: Relación carga masa del electrón (C/Kg)





11

1.759 10 C

Kg 

B: Densidad de flujo magnético (T) V : Voltaje anódico (V)

I: Corriente en las bobinas de Helmholtz (A)

r: Radio de la trayectoria circular

(19)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 19 N : Numero de espiras = 130

2 7

0 4 10 T m _A

 _   

4. Determine para cada caso el margen de error entre la relación carga-masa promedio y el valor teórico.

Tabla 8.2. Voltaje anódico constante

Voltaje Anódico: ( ) V voltios Corriente en las Bobinas: ( ) I A Radio de la Trayectoria Circular: r (cm) (m) Radio Promedio ( ) p r m Densidad de Flujo Magnético: ( ) B T Relación Carga – Masa:

 

q _C m kg promedio

q

m



%

error



(20)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 20 Tabla 8.3. Corriente en las bobinas constante.

Corriente en las Bobinas: ( ) I A Voltaje Anódico: ( ) V voltios Radio de la Trayectoria Circular: r (cm) (m) Radio Promedio ( ) p r m Densidad de Flujo Magnético: ( ) B T Relación Carga – Masa:

 

q _C m kg promedio

q

m



%

error



Nota: Al momento de efectuar las mediciones debe considerar las recomendaciones del fabricante al fijar los parámetros de operación:

Bobinas Helmholtz Voltaje 6 – 9 Voltios Corriente 0 – 2 Amperios Electrodos

Voltaje Anódico: 150 – 300 Voltios

Trabajo de grupo

Elabore un diseño de investigación experimental, describiendo cada una de las etapas de investigación.

(21)

Etapa Descripción Título Preguntas de investigación Objetivos Fundamentación teórica Variables

Independientes Dependientes Variables excluidas Hipótesis Tipo de investigación Procedimiento experimental Técnicas e instrumentos de recolección de datos Técnicas Instrumentos Transformación e interpretación de datos Análisis de resultados Conclusiones Referencias bibliográficas Anexos y Apéndices