Capitulo IV MCII EDO Condiciones borde pdf

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(1)1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON CONDICIONES DE BORDE Universidad Simón Bolívar.

(2) 2. Capítulo IV Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones de borde Método del Disparo para problemas lineales Método del Disparo para problemas no-lineales Aplicación con MATLAB Referencias.

(3) Método del Disparo para problemas lineales En algunas ocasiones, las condiciones sobre la EDO se conocen en puntos distintos. En este caso tratamos con lo que se denomina un problema de valor de la frontera. En el caso de ecuaciones de 2do orden estos problemas pueden escribirse como. d y dy   = f  x, y ,  2 dx dx   2. a≤ x≤b.  y (a ) = α   y (b ) = β. La solución numérica de ésta EDO dependerá de la garantía de existencia de una solución única.. 3.

(4) Método del Disparo para problemas lineales Esa existencia esta garantizada siempre y cuando (a) f y sus derivadas parciales ∂f ∂f , ∂y ∂y′ sean continuas en. D = {( x, y, y′) / a ≤ x ≤ b,−∞ < y < ∞,−∞ < y′ < ∞} (b) se verifique que, en el dominio D ∂f ( x, y , y ′ ) > 0 ∂y. ∂f ( x, y , y ′ ) ≤ M ∂y. M=constante. 4.

(5) Método del Disparo para problemas lineales En el caso que f se puede expresar como. f ( x, y , y ′ ) = p ( x ) y ′ + q ( x ) y + r ( x ) se tiene que la EDO es lineal y, una solución única existe si (a) p(x),q(x) y r(x) son continuas en [a,b] (b) q(x)>0 En el caso del problema lineal, la solución puede ser hallada resolviendo los problemas de valor inicial. y′′ = p(x ) y′ + q(x ) y + r ( x ). a≤ x≤b. y′′ = p(x ) y′ + q(x ) y a ≤ x ≤ b. y (a ) = α ; y′(a ) = 0 y (a ) = 0; y′(a ) = 1. 5.

(6) Método del Disparo para problemas lineales Si las soluciones a cada uno de esos problemas son y1(x) y y2(x) tendremos que la solución al problema de valor en la frontera es dado por. y (x ) = y1 ( x ) +. β − y1 (b ) y2 (b ). y2 ( x ). siempre y cuando y2(b)≠0. Esto puede verse sustituyendo y(x) en la EDO original. y′′ = p(x ) y′ + q(x ) y + r ( x ). 6.

(7) 7. Método del Disparo para problemas lineales Tenemos.     β − y1 (b ) β − y1 (b )  y1 (x ) + y (b ) y2 (x ) = p( x ) y1 (x ) + y (b ) y2 (x ) + 2 2       β − y1 (b ) y2 (x ) + r (x ) + q( x ) y1 (x ) + y2 (b )   ''. Reagrupando comprobamos que 0. [y. 1. ''. (x ) − p(x ) y1 (x ) − q(x ) y1 (x ) − r (x )]+ 0  β − y1 (b )  '' '  y (b ) [y2 (x ) − p (x ) y2 ( x ) − q( x ) y2 ( x )] = 0  2  '. '.

(8) Método del Disparo para problemas lineales Sobre los extremos tenemos. y (a ) = y1 (a ) + y (b ) = y1 (b ) +. β − y1 (b ) y2 (b ). β − y1 (b ). y2 (a ) = α +. β − y1 (b ) y2 (b ). (0) = α. y2 (b ) = β. y2 (b ) El método del disparo se basa en la solución de los problemas de valor inicial ′ ″ ′ ( ) y a = α ; y 1 1 (a ) = 0 y1 = p (x ) y1 + q( x ) y1 + r ( x ) a ≤ x ≤ b ′ ″ ′ ( ) y a = 0 ; y y2 = p ( x ) y2 + q( x ) y2 a ≤ x ≤ b 2 2 (a ) = 1 utilizando cualquiera de los métodos ya estudiados para luego aplicar la relación y (x ) = y ( x ) + β − y1 (b ) y ( x ) 1. y2 (b ). 2. 8.

(9) Método del Disparo para problemas lineales Aplicación: El problema de valor en la frontera 2 2 sen(ln x ) y′′ = − y′ + 2 y + ; 2 x x x. 1 ≤ x ≤ 2;. y(1) = 1, y(2) = 2. tiene la solución exacta 3 1 c2 y = c1 x + 2 y′ − sen(ln x) − cos(ln x) x 10 10 donde 1 c2 = [8 − 12 sen(ln 2 ) − 4 cos(ln 2 )] 70 11 c1 = − c2 10 Encuentre la solución numérica y compárela con la solución exacta.. 9.

(10) Método del Disparo para problemas lineales Verifiquemos que este problema tiene solución única. (a) La función 2 2 sen(ln x ) f ( x, y , y ′ ) = − y ′ + 2 y + x x x2 es continua en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ . (b) Las derivadas ∑f/∑y y ∑f/∑y´ ∂ 2 f ( x, y , y ′ ) = 2 ∂y x. ∂ 2 f ( x, y , y ′ ) = − ∂y′ x. son continuas en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ . (c) ∂ 2 f ( x, y , y ′ ) = 2 > 0 ∂y x en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ .. 10.

(11) Método del Disparo para problemas lineales (d) Existe M=2 tal que ∂ 2 f ( x, y , y ′ ) = 2 ≤ M ∂y x. en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ . Verifiquemos ahora que el problema es lineal. Entonces f(x,y,y´) se expresa como. f ( x, y , y ′ ) = p ( x ) y ′ + q ( x ) y + r ( x ) donde 2 p( x) = − ; x. 2 q( x) = 2 ; x. sen(ln x ) r ( x) = x2. 11.

(12) Método del Disparo para problemas lineales. 12. Aún cuando no hace falta verificar que el problema lineal tiene solución única (ya fue verificado para la ecuación de 2do orden), con fines didácticos podemos verificar que: (e) p(x), q(x) y r(x) son continuas en [a,b] (f) q(x)>0 en [a,b] por lo que el problema tiene solución única. Los problemas de valor inicial a resolver son: 2 ′ 2 sen(ln x ) y1 = − y1 + 2 y1 + ; 2 x x x ″. y2. ″. 2 ″ 2 = − y2 + 2 y2 ; x x. 1 ≤ x ≤ 2;. 1 ≤ x ≤ 2;. ′. y1 (1) = 1, y1 (1) = 0 ′. y2 (1) = 0, y2 (1) = 1.

(13) Método del Disparo para problemas lineales Un programa en Matlab que permite resolver ambas ecuaciones de 2do orden es mostrado a continuación. 13.

(14) Método del Disparo para problemas lineales. 14.

(15) Método del Disparo para problemas lineales. 15.

(16) Método del Disparo para problemas lineales La solución se presenta a continuación: x 1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500 1.600 1.700 1.800 1.900 2.000. y1 1.00000000 1.00896058 1.03245472 1.06674375 1.10928795 1.15830000 1.21248371 1.27087454 1.33273851 1.39750618 1.46472815. y2 0.00000000 0.09117986 0.16851175 0.23608704 0.29659067 0.35184379 0.40311695 0.45131840 0.49711137 0.54098928 0.58332538. y_num 1.00000000 1.09262916 1.18708471 1.28338227 1.38144589 1.48115939 1.58239245 1.68501396 1.78889854 1.89392951 2.00000000. y_exacta 1.00000000 1.09262930 1.18708484 1.28338236 1.38144595 1.48115942 1.58239246 1.68501396 1.78889853 1.89392951 2.00000000. Error 0.00000000000 0.00000013435 0.00000013367 0.00000009780 0.00000006016 0.00000003063 0.00000001077 0.00000000054 0.00000000505 0.00000000441 0.00000000000. 16.

(17) Capítulo IV Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias Método del Disparo para problemas lineales Método del Disparo para problemas no-lineales Aplicación con MATLAB Referencias. 17.

(18) Método del Disparo para problemas no-lineales Cuando el problema a resolver no es lineal, su solución no puede expresarse como una combinación lineal de soluciones. Una opción para resolver el problema  y (a ) = α d2y dy   = f  x, y ,  a≤ x≤b  2 dx dx    y (b ) = β consiste en resolver la sucesión de problemas de valor inicial  y (a ) = α d2y dy   = f  x, y ,  a≤ x≤b  2 dx dx    y′(a ) = t hasta encontrar t de manera que lim y (b, t k ) = y (b ) = β k →∞. 18.

(19) Método del Disparo para problemas no-lineales El método se basa en aproximar sucesivamente la solución de la EDO no lineal cambiando la pendiente (“disparando”) hasta llegar, con una tolerancia dada a “acertar” la condición de frontera en el punto x=b. Para determinar los parámetros tk debemos resolver la ecuación. y (b, t ) − β = 0 para lo cual podemos utilizar un método iterativo como el de la secante y (b, t k −1 ) − β t k = t k −1 − y (b, t k −1 ) − y (b, t k − 2 ) t k −1 − t k − 2. 19.

(20) Método del Disparo para problemas no-lineales Dos valores iniciales de t hacen falta para iniciar el proceso iterativo. Ellos pueden ser construidos a partir de: β −α β −α t 0= t 1= 0.9 b−a b−a Los pasos a seguir son los siguientes: 0.- Determinamos t0 y t1 con las expresiones anteriores 1.- Con el valor de t0 determine la solución del problema. d2y dy   = f  x, y ,  a≤ x≤b 2 dx dx   y (b, t0 ) = y (b ) Obtenga.  y (a ) = α   y′(a ) = t0. 20.

(21) Método del Disparo para problemas no-lineales 2.- Con el valor de t1 determine la solución del. problema. d2y dy   = f  x, y ,  2 dx dx   Obtenga. a≤ x≤b. y (b, t1 ) = y (b ). 3.- Determine el valor de t2 a partir de y (b, t1 ) − β t 2 = t1 − y (b, t1 ) − y (b, t0 ) t1 − t0.  y (a ) = α   y′(a ) = t1. 21.

(22) Método del Disparo para problemas no-lineales 4.- Con el valor de t2 determine la solución del. problema. d2y dy   = f  x, y ,  2 dx dx   Obtenga. a≤ x≤b.  y (a ) = α   y′(a ) = t 2. y (b, t 2 ) = y (b ). 5.- Si y (b,t 2 ) − β es menor a cierta tolerancia, la solución y obtenida es la solución numérica sino haga. t0 = t1 ;. y (b, t0 ) = y (b, t1 );. t1 = t 2. y (b, t1 ) = y (b, t 2 ). y repita los pasos 3 al 5 hasta la convergencia.. 22.

(23) Método del Disparo para problemas no-lineales Ejemplo: Encontrar la solución del problema de valor en la frontera  y (1) = 17 1 3 y′′ = 32 + 2 x − yy′ 1≤ x ≤ 3  8  y (3) = 43 / 3. (. ). Para resolver este problema, debemos resolver de manera sucesiva los problemas:  y (1) = 17 d2y 1 3 1≤ x ≤ 3 = 32 + 2 x − yy′  2 dx 8  y′(1) = t. (. ). El procedimiento seguido es el siguiente: 0.- Determinamos t0 y t1 43 − 17 β −α t 0= = 3 = −1.33333 b−a 3 −1. 17 − 43  3  = −1 .2 t 1 = 0 .9   3 −1   . 23.

(24) Método del Disparo para problemas no-lineales 1.- Con el valor de t0=1.3333 determinamos la solución del problema.  y (1) = 17 1 3 y′′ = 32 + 2 x − yy′ 1 ≤ x ≤ 3  y′(1) = −1.33333 8  Obtenga y (3,1.33333....) = y (3) = 20.4792..... (. ). 2.- Con el valor de t1= 1.2 determine la solución del problema  y (1) = 17 1 3 y′′ = 32 + 2 x − yy′  1≤ x ≤ 3 8  y′(1) = −1.2. (. Obtenga. ). y (3,1.2) = y (3) = 20.5338.... 24.

(25) Método del Disparo para problemas no-lineales 3.- Determine el valor de t2 a partir de. 25. y (b, t1 ) − β 20.5338... − 43 / 3 t 2 = t1 − = −1.2 − = - 16.3389.... y (b, t1 ) − y (b, t0 ) 20.5338... − 20.4792... − 1.2 + 1.3333... t1 − t0. (se utilizaron todos los decimales en la operación) 4.- Con el valor de t2 =-16.3389.. determine la solución. del problema. (. 1 3 ′ ′ y = 32 + 2 x − yy′ 8. ). 1≤ x ≤ 3.  y (1) = 17   y′(1) = −16.3389. Obtenga y (3,−16.3389) = y (3) = 12.8919.

(26) Método del Disparo para problemas no-lineales 5.- Si y (b, t 2 ) − β = 12.8919 − 43 / 3 = 1.4415 es menor a cierta tolerancia, la solución y obtenida es la solución numérica sino haga. t0 = t1 = −1.2;. y (b, t0 ) = y (b, t1 ) = 20.5338;. t1 = t 2 = -16.3389. y (b, t1 ) = y (b, t 2 ) = 12.8919. y repita los pasos 3 al 5 hasta la convergencia. La gráfica del proceso de convergencia es mostrada en la figura siguiente:. 26.

(27) Método del Disparo para problemas no-lineales EDO 2do Orden no lineal 22. 20. y. 18. 16. 14. 12. 10. 1. 1.5. 2. 2.5 x. 3. 3.5. t 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00. y 17.00000000 15.75547517 14.77335271 13.99770094 13.38856550 12.91664509 12.55996299 12.30171308 12.12882377 12.03097526 11.99991165 12.02894955 12.11262071 12.24640787 12.42654662 12.64987487 12.91371697 13.21579366 13.55415128 13.92710562 14.33319703. 27.

(28) Método del Disparo para problemas no-lineales. 28.




(32) Aplicación en MATLAB En MATLAB escribimos nuestra ecuación diferencial ordinaria original  y (1) = 17 1 3 y′′ = 32 + 2 x − yy′ 1≤ x ≤ 3  8  y (3) = 43 / 3. (. ). como un sistema de EDO de primer orden dy y' = dx dy ' 1 y '' = = 32 + 2 x3 − yy′ dx 8 con las condiciones de borde y (1) = 17 y (3) = 43 / 3. (. ). 32.

(33) Aplicación en MATLAB Luego, definimos las funciones. y1 = y dy1 y2 = y ' = dx y el sistema se escribe como. y ' = y2 d 2 y1 1 3 y2 ' = y '' = = ( 32 + 2 x − y1 y2 ) 2 8 dx con las condiciones de borde y1 (1) = 17 y1 (3) = 43 / 3. 33.

(34) Aplicación en MATLAB Se generan los archivos .m que incluyen a las EDO: function dydx = twoode(x,y) dydx = [ y(2) (1/8)*(32+2*(x.^3)-y(1).*y(2))];. y a las condiciones de borde function res = twobc(ya,yb) res = [ ya(1)-17 yb(1) - 43/3];. > solinit = bvpinit(linspace(1,3,5),[1 0]); solinit define la malla (5 puntos igualmente espaciados entre 1 y 3; y una suposición inicial para los valores de las funciones y1(x)=1 e y2(x)=0 (constantes en este ejemplo).. 34.

(35) Aplicación en MATLAB Luego, para calcular, evaluar y graficar la solución podemos hacer >> sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit); >> x = linspace(1,3); >> y = deval(sol,x); >> plot(x,y(1,:));. 17 16.5 16 15.5 15 14.5 14 13.5 13 12.5 12. 1. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2. 2.2. 2.4. 2.6. 2.8. 3. 35.

(36) Aplicación en MATLAB Todos los archivos pueden escribirse en uno solo:. 36.


(38) Referencias 1. Análisis Numérico, Burden R., Faires J. D., 6ta Edición, International Thomson Editores, 1998 2. Applied Numerical Methods, Carnahan B., Luther H. A., Wilkes J. O., John Wiley and Sons, Inc, 1969. 38.

(39) 39. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON CONDICIONES INICIALES Universidad Simón Bolívar.

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