Tema 9 Cuerpos geométricos

Tema 9 Cuerpos geométricos

9.1 Prismas

PÁGINA 196 ACTIVIDADES

1. Dí de que tipo es cada uno de los siguientes prismas:

a) Prisma recto triangular. Es regular pues la base es un triángulo equilátero.

b) Prisma recto cuadrangular. No es regular.

c) Prisma recto pentagonal. No regular.

d) Prisma recto hexagonal. Es regular pues su base es un hexágono regular.

PÁGINA 197 ACTIVIDADES

2 La altura de un prisma recto es de 20 cm. Sus bases son trapecios

rectángulos con las siguientes características: las bases mdien 11 cm y 16 cm, y la altura 12 cm. Halla el área total del prisma.

El área total será la suma de las áreas de las tapas (superior e inferior) junto con la suma de las áreas de las caras laterales.

Área de las tapas:

Área trapecio (base mayor base menor)x altura 11 16 12 2

2 162cm²

Área lateral: hemos de distinguir las que son de los lados que forma ángulo recto los lados del trapecio frente a la que se corresponde con el otro lado.

Área lateral de lados en ángulo recto del trapecio:

Como se trata de rectángulos será:

11 20 16 20 12 20 780cm²

Área lateral del lado no en ángulo recto del trapecio.

En primer lugar, tenemos que calcular la medida de ese lado, por lo que aplicaremos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo NOM :

NM² ON² OM²

NM² 12² 5² 144 25 169 NM 169 13cm

Área lateral 13 20 260cm²

Finalmente, el área total será162 780 260 162 1364cm² 3 Halla el área total de un cubo de arista 10 cm.

Área total del cubo 6 área de un cuadrado 6 10² 600cm²

4 Las dimensiones de un ortoedro son 4 cm, 3 cm y 12 cm. Halla el área total y la longitud de la diagonal.

Área total

2 12 3 12 4 3 4 2 36 48 12 2 96 192cm² Longitud de la diagonal.

Para poderla calcular, vamos a trabajar sobre dos triángulos rectángulos:

Triángulo rectánguloACD

Aquí aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa.

AC² AD² DC²

AC² 12² 3² 144 9 153 AC 153 12. 369 12. 4 cm

Triángulo rectánguloACG

Aquí aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa.

AG² GC² CA²

AG² 4² 12. 4² 16 153. 76 169. 76

AG 169. 76 13. 029 13cm que es la longitud de la diagonal.

5 La base de un ortoedro es un rectángulo de lados 9 cm y 12 cm. La diagonal del ortoedro mide 17 cm. Calcula la medida de la altura del ortoedro y su área.

Vamos a calcular en primer lugar la altura.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BDC.

BD² BC² CD²

BD² 12² 9² 144 81 225 BD 225 15cm

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BDG

BG² BD² GD² 17² 15² GD²

GD² 17² 15² 289 225 64 GD 64 8cm

Área total 2 12 9 12 8 8 9 552cm²

9.2 Pirámides

PÁGINA 199 ACTIVIDADES

1. Halla el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de lado 10 cm de lado y cuya altura es de 12 cm.

Área total área de la base 4xárea de los triángulos laterales.

Por ahora, área de la base 10² 100cm². área de un triángulo lateral base x altura

2

En esta última fórmula, no conocemos la altura; hemos de calcularla. Para ello trabajamos en el triángulo rectánguloEFG, donde aplicamos el Teorema de Pitágoras:

EG² EF² FG²

EG² 12² 5² 144 25 169 EG 169 13cm

Ahora, área de un triángulo lateral base x altura 2

10 13

2 65cm² Área total 100 4 65 360cm²

2. La base de una pirámide regular es un pentágono de 16 dm de lado y 11 dm de apotema. La altura de la pirámide es de 26.4 dm. Halla su área total.

Área total área de la base 5xárea de los triángulos laterales.

área de la base 5 área de un triángulo 5 16 11

2 440dm²

Por ahora no conocemos la altura de una cara triangular lateral. Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectánguloFGH :

FH² GH² FG² 11² 26. 4² 817. 96 FH 817. 96 28. 6dm

área de un triángulo lateral base x altura 2

16 28. 6

2 228. 8dm² Finalmente área total 440 5 228. 8 1584. 0dm²

9.3 Troncos de pirámide

ACTIVIDADES PÁGINA 200

1. Halla el área lateral de un tronco de pirámide hexagonal regular cuyas dimensiones son las del dibujo.

Trabajando en el triángulo rectánguloMNQ, vamos a calcular la apotema del tronco de pirámide. Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que:

MN² NQ² MQ² 41² 9² MQ²

MQ² 1681 81 1600 MQ 1600 40cm

Área lateral 6 área trapecio 6 38 20 40

2 6960cm²

2. Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado y arista lateral de 13 cm es cortada por un plano a mitad de su altura. Halla el área total del tronco de pirámide resultante.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectánguloQRS : QS² QR² RS²

13² QR² 5²

QR² 169 25 144 QR 144 12cm

Por otro lado, los triángulosQRSyQUVestán en posición de Tales (tienen un ángulo común y sus lados son paralelos), por lo tanto son semejantes, siendo la razón de semejanza

QR QU

QS QV

RS UV 12

6

13 6. 5

5 UV

2 2 5

UV

En particular seráUV 5

2 2. 5cm

Finalmente, el área total será5² 10² 4 10 5

2 6 305cm²

9.4 Poliedros regulares

PÁGINA 201 ACTIVIDADES

1. Considerando la suma de los ángulos que coinciden en cada vértice, justifica por qué no se puede construir un poliedro en los siguientes casos.

a) Con seis triángulos equiláteros en cada vértice.

Si tuviesemos seis triángulos equiláteros en cada vértice, tendríamos un ángulo de 6 60 360 °y esto no se puede "doblar" para hacer un vértice de un figura tridimensional.

En un triángulo equilátero, todos sus ángulos son iguales de ahí que midan 180 3 60 °

b) Con cuatro cuadrados en cada vértice.

Si tuviesemos cuatro cuadrados en cada vértice, tendríamos un ángulo de

4 90 360 °y esto no se puede "doblar" para hacer un vértice de un figura tridimensional.

Recordamos que en cada vértice de un cuadrado tenemos un ángulo recto.

c) Con cuatro pentágonos regulares en cada vértice.

Tenemos el pentágono regular dividido en tres triángulos, por lo que las suma de los ángulo interiores del pentágono regular coincidirán con la suma de todos los ángulos interiores de los tres triángulos. De ahí que un ángulo interior del pentágono regular mida 3 180

5 108 °

Si tuviesemos cuatro pentágonos regulares en un vértice la suma de los ángulos sería 4 108 432 °que es más que360 °siendo imposible por tanto crear un "vértice" de un figura tridimensional.

d) Con hexágonos regulares o polígonos regulares de más lados.

hexágonos regulares

Tenemos el hexágono regular dividido en cuatro triángulos, por lo que la suma de los ángulos interiores del hexágono regular coincidirá con la suma de todos los ángulos interiores de los cuatro triángulos. De ahí que un ángulo interior del hexágono regular mida 4 180

6 120 ° Si tuviesemos tres hexágonos regulares en un vértice la suma de los

ángulos sería 3 120 360 °siendo imposible por tanto crear un

"vértice" de un figura tridimensional.

Vemos por otro lado, que si el polígono regular tiene n lados, entonces lo podemos dividir enn 2triángulos. Así, el ángulo interior de un polígono regular de n lados mide n 2 180

n

Por ejemplo, en el caso del polígono regular de 7 lados tendríamos que cada uno de sus ángulos mide 7 2 180

7

5 180

7 128. 57.

Por lo tanto, si juntasemos en un mismo vértice tres heptágonos, nos quedaría un ángulo de128. 57 3 385. 71 ° 360 °. De ahí que no se pueda construir un poliedro regular a partir del heptágono.

DESARROLLO POLIEDROS REGULARES

Tetraedro

Cubo o hexaedro

Octoedro

Dodecaedro

Icosaedro