193
ISS L 2415-0940
LA FUNCIÓN DE CANTOR
Daniel Vásquez S.1, Edilma Judith Díaz B.1, Jorge E. Hernández U.2, Angela J. Franco2
1Universidad de Panamá, Facultad de Ciencias Naturales Exactas y Tecnología, Departamento de Matemática. [email protected] [email protected]
2Universidad de Panamá, Centro Regional Universitario de Veraguas, Departamento de Matemática. [email protected] [email protected]
Fecha de recepción: 4 de octubre de 2022 Fecha de aceptación: 15 de noviembre de 2022
RESUMEN
Este trabajo está dirigido a estudiar el conjunto y la función de Cantor. El conjunto de Cantor posee propiedades que desafían la intuición geométrica. Se prueba que la función de Cantor es continua en todo punto del intervalo [0,1], a pesar de que su gráfica no está compuesta de un solo trozo. El conjunto de Cantor toma su nombre de George F. L. P Cantor que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo.
PALABRAS CLAVES
Desarrollo decimal ternario, conjunto de Cantor, función de Cantor
THE CANTOR FUNCTION ABSTRACT
This work is aimed at studying the set and the Cantor function. The Cantor set has properties that defy geometric intuition. It is proved that the Cantor function is continuous at every point in the interval [0,1], even though its graph is not composed of a single piece. The Cantor set takes its name from George F. L. P Cantor, who in 1883 used it as a research tool for one of his major concerns: the continuum.
10
Tecnociencia, Vol. 25, N°1: 193-208
194
KEYWORDS
Ternary decimal expansion, Cantor set, Cantor function.
INTRODUCCIÓN
Hay muy pocos datos referentes a la historia del conjunto y la función de Cantor. En lo particular, Cantor no fue el primero en descubrir el conjunto de Cantor. Más aún, a pesar de que el descubrimiento original del conjunto de Cantor tenía un enfoque geométrico, el descubrimiento de Cantor del conjunto y la función de Cantor no estaba motivado por la geometría, ni involucraba la geometría, aunque es así como estos elementos son frecuentemente introducidos. De hecho, Cantor posiblemente dio con ellos mediante un razonamiento puramente aritmético.
Durante los años 1879-1884 Cantor escribió una serie de artículos titulados "Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten" que contenían el primer estudio sistemático de la topología del conjunto de puntos de la recta real. Después de introducir el término perfecto en el quinto artículo, Cantor estableció que los conjuntos perfectos no necesariamente son densos en todas partes. En la nota de pie de página de este documento Cantor introduce el conjunto que ha llegado a conocerse como el conjunto temario de Cantor. El conjunto de números reales de la forma
𝑥 =𝑐1
3 + ⋯ + 𝑐𝑣 3𝑣+ ⋯ donde 𝑐𝑣 es 0 ó 2.
Durante el tiempo en que Cantor estuvo trabajando en los apuntes de
"Punktmannichfaltigkeiten", otros trabajaban en la extensión del teorema fundamental del cálculo para funciones discontinuas. Cantor cita este aspecto en una carta fechada en noviembre de 1883, en la cual él define el conjunto de Cantor tal como lo definió en el documento mencionado anteriormente. No obstante, en la carta él pasa a definir la función de Cantor, la primera aparición conocida de esta función. Esta función es primero definida en el complemento del conjunto de Cantor como la función cuyos valores son
195
1 2(𝑐1
2 + ⋯ + 𝑐𝑢−1 2𝑢−1+𝑐𝑢
2𝑢) 1. DESARROLLO DECIMAL TERNARIO
Un número en el intervalo [0,1] se escribe en base 3 de la siguiente manera:
∑𝑎𝑛 3𝑛
∞
𝑛=1
= 0. 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛, ⋯
donde cada 𝑎𝑛 = 0, 1 ó 2.
Por ejemplo
1
9= 0,01000 ⋯
2
3= 0,2000 ⋯
7 9= 2
3+1
9= 0,21000 ⋯
Mostremos que todo número del intervalo [0,1[ posee una expansión ternaria. En efecto, sean 𝑥 ∈ [0,1[ y 𝐴 = {0,1,2}. Dividamos [0,1[ en tres intervalos disjuntos de longitud 1
3
𝐼1,0= [0,1
3[ ; 𝐼1,1= [1
3,2
3[ ; 𝐼1,2= [2
3, 1[
es decir:
𝐼1,𝑘 = [𝑘
3,𝑘+1
3 [ 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝐴
Entonces existe un único 𝑘1 ∈ 𝐴 tal que 𝑥 ∈ 𝐼1,𝑘1, por consiguiente
196
𝑘1
3 ≤ 𝑥 <𝑘1+ 1 3
Dividamos 𝐼1,𝑘1 en tres intervalos disjuntos, de longitud 1
32:
es decir,
𝐼2,𝑘 = [𝑘1
3 + 𝑘
32,𝑘1
3 + 𝑘
32+ 1
32[ 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝐴
Luego, existe un único 𝑘2 ∈ 𝐴 tal que 𝑥 ∈ 𝐼2,𝑘2, por lo tanto 𝑘1
3 +𝑘2
32 ≤ 𝑥 <𝑘1 3 +𝑘2
32+ 1 32
Repitiendo este proceso n veces encontramos n números 𝑘1, 𝑘2, ⋯ , 𝑘𝑛 ∈ 𝐴 tales que:
𝑘1 3 +𝑘2
32+ ⋯ +𝑘𝑛
3𝑛≤ 𝑥 < 𝑘1
3 +𝑘2
32+ ⋯ +𝑘𝑛
3𝑛+ 1
3𝑛
Observemos ahora que, evidentemente, la sucesión
𝑆𝑛 = ∑𝑘𝑗 3𝑗
𝑛
𝑗=1
es monótona, creciente y acotada superiormente por x, luego lim
𝑛→∞𝑆𝑛 existe y, además
𝑛→∞lim 𝑆𝑛 ≤ 𝑥 no obstante
0 ≤ 𝑥 − 𝑆𝑛≤ (𝑘1
3 +𝑘2
32+ ⋯ +𝑘𝑛
3𝑛+ 1
3𝑛) − 𝑆𝑛= (𝑆𝑛+ 1
3𝑛) − 𝑆𝑛= 1
3𝑛
por lo tanto,
𝐼2,0= 𝑘1 3,𝑘1
3+ 1
32 ; 𝐼2,1= 𝑘1 3+ 1
32,𝑘1 3+ 2
32 ; 𝐼2,2= 𝑘1 3+ 2
32,𝑘1+ 1 3
197 𝑛→∞lim(𝑥 − 𝑆𝑛) = 0
y, en consecuencia
Se ha probado así que cada 𝑥 ∈ [0,1] admite un desarrollo decimal ternario:
𝑥 = ∑𝑎𝑛 3𝑛
∞
𝑗=1
, 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑛 ∈ 𝐴.
2. EL CONJUNTO DE CANTOR
El conjunto de Cantor y las funciones definidas sobre él son muy útiles, particularmente para la construcción de contraejemplos. El conjunto termario de Cantor o simplemente el conjunto de Cantor fue exhibido por G. Cantor (1845-1918) como una ilustración de ciertas cosas curiosas que pueden ocurrir con conjuntos de puntos sobre la recta real.
Algunas de las propiedades de este conjunto desafían la intuición geométrica.
Se presenta a continuación la construcción y propiedades del conjunto de Cantor. Sea 𝐹 = [0,1], entonces:
1) Se retira de 𝐹 el intervalo abierto 𝐼1,1= ]1
3,2
3[, correspondiente al segundo tercio. Quedarán dos intervalos cerrados disjuntos
𝐽1,1 = [0,1
3] 𝑦 𝐽1,2 = [2
3, 1]
Pongamos
𝑃1 = 0,1 3] ∪ 2
3, 1] = ⋃ 𝐽1,𝑘
21
𝑘=1
𝑦 𝑉1 = ]1 3,2
3 = ⋃ 𝐼1,𝑘
21−1
𝑘=1
es claro que 𝑃1 es cerrado y 𝑉1 es abierto.
𝑥 = lim
𝑛→∞𝑆𝑛= ∑𝑘𝑗 3𝑗
∞
𝑗 =1
𝑐𝑜𝑛 𝑘𝑗 ∈ 𝐴, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑗
198
2) De cada uno de los dos (21 = 2) intervalos 𝐽1,1 𝑦 𝐽1,2 se retira el intervalo abierto correspondiente al segundo tercio. Quedarán cuatro (22 = 4) intervalos cerrados disjuntos al retirarse los intervalos abiertos
𝐼2,1 = ]1 32, 2
32 𝑦 𝐼2,2 = ]7 32, 8
32 Pongamos
Es evidente que 𝑃2 es cerrado 𝑉2 es abierto.
3) En la n-ésima operación, en cada uno de los 2𝑛−1 intervalos cerrados de la operación anterior
𝐽𝑛−1,1, ⋯ , 𝐽𝑛−1,2𝑛−1
se retira el intervalo abierto correspondiente al segundo tercio:
𝐼𝑛,1, ⋯ , 𝐼𝑛,2𝑛−1 (2𝑛−1 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠) Subsisten 2𝑛−1∙ 2 = 2𝑛 intervalos cerrados
𝐽𝑛,1, ⋯ , 𝐽𝑛,2𝑛 Pongamos
Es evidente que 𝑃𝑛 es cerrado y 𝑉𝑛 es abierto (Phills, 1984).
Por definición, el conjunto de Cantor es 𝐶 = ⋂ 𝑃𝑛
∞
𝑛=1 𝑃2= ⋃ 𝐽2,𝑘
22
𝑘=1
𝑦 𝑉2= ⋃ 𝐼2,𝑘
22−1
𝑘=1
⋃ 𝑉1
𝑃𝑛= ⋃ 𝐽𝑛,𝑘 2𝑛
𝑘=1
𝑦 𝑉𝑛= ⋃ 𝐼𝑛,𝑘 2𝑛 −1
𝑘=1
⋃ 𝑉𝑛−1
199
Gráficamente el proceso de construcción del conjunto C queda descrito como muestra la Figura 1.
Figura 1. Descripción de la construcción del conjunto C.
Es claro que C contiene los puntos extremos de los intervalos 𝐽𝑛,𝑘 que componen 𝑃𝑛
0, 1,1 3,2
3, 1 32, 2
32, 7 32, ⋯
Sin embargo, C contiene muchísimos más puntos que los indicados, como veremos en lo que sigue. En efecto, probaremos que
Examinemos el complemento de 𝑃𝑛: Sea 𝑥 = 0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ (escrito en base 3) un elemento de [0,1]. Entonces,
𝑥 ∈ 𝐼1,1 ⇔ 1
3< 𝑥 <2
⇔ 0,022 ⋯ < 0, 𝑎3 1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ < 0,122 ⋯
⇔ 𝑎1 = 1
𝐶 = 𝑥 ∈ [0,1]: 𝑥 = ∑𝑎𝑛 3𝑛
∞
𝑛=1
= 0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑛∈ {0,2} 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ≥ 1
200
Del mismo modo 𝑥 ∈ ⋃ 𝐼2,𝑘
2
𝑘=1
⇔ 𝑥 ∈ 𝐼2,1 ó 𝑥 ∈ 𝐼2,2 ⇔ 1
32 < 𝑥 < 2
32 ó 7
32 < 𝑥 < 8 32
⇔
0,0100 ⋯ < 0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ < 0,0200 ⋯ ó
0,2100 ⋯ < 0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ < 0,2200 ⋯ ⇔
𝑎1 = 0 𝑦 𝑎2 = 1 ó
𝑎1 = 2 𝑦 𝑎2 = 1 ⇔ 𝑎1 ≠ 1 𝑦 𝑎2 = 1 En general,
Por otro lado, si x es un punto extremo de algún 𝐽𝑛,𝑘 y por lo tanto un elemento de C, entonces x se escribe en la forma
por lo tanto,
ya que ningún 𝛼𝑖, 𝑖 = 0, 1, ⋯ , 𝑛 − 1 puede ser igual a 1 pues, en ese caso x pertenecería a algún 𝐼𝑚,𝑘 y en consecuencia 𝑥 ∉ 𝐶. Por lo tanto,
𝑥 ∈ ⋃ 𝐼𝑛,𝑘
2𝑛 −1
𝑘=1
⇔ 𝑎1≠ 1, 𝑎2 ≠ 1, ⋯ , 𝑎𝑛−1≠ 1 𝑦 𝑎𝑛= 1
𝑥 = 𝑎
3𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑎 ∈ {0, 1, ⋯ , 3𝑛− 1 }
𝑥 =𝛼1 3 +𝛼2
32+ ⋯ +𝛼𝑛−1 3𝑛−1+𝛼𝑛
3𝑛, 𝑐𝑜𝑛 𝛼𝑛∈ {0,2}
𝑥 = 0, 𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛000 =
0, 𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛−1000 0, 𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛−1200
201
De todo lo anterior resulta que para todo 𝑥 ∈ [0,1], 𝑥 = 0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯
por lo tanto
en consecuencia
Así pues,
En particular resulta que 1
4= 0,020202 ⋯ es un elemento del conjunto de Cantor y que no es un punto extremo de algún 𝐽𝑛,𝑘 (pues no es de la
forma 𝑎
3𝑛).
En particular resulta que 1
4= 0,020202 ⋯ es un elemento del conjunto de Cantor y que no es un punto extremo de algún 𝐽𝑛,𝑘 (pues no es de la forma 𝑎
3𝑛).
También pertenecen a C los siguientes números 𝑥 ∈ 𝑉𝑛 ⇔ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑗, 𝑗 ≤ 𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑗= 1
𝑥 ∈ 𝑃𝑛⇔ 𝑎1≠ 1, 𝑎2 ≠ 1, ⋯ , 𝑎𝑛≠ 1
𝑥 ∈ 𝐶 ⇔ 𝑎𝑛≠ 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ≥ 1
𝐶 = 𝑥 ∈ [0,1]: 𝑥 = ∑𝑎𝑛 3𝑛
∞
𝑛=1
= 0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑛∈ {0,2} 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ≥ 1
𝑥 = 1
13= ∑ 2 33𝑛
∞
𝑛=1
= 0,002002 ⋯
𝑥 = 1
39= ∑ 2 33𝑛+1
∞
𝑛=1
= 0,00020002 ⋯
𝑥 = 1 39+2
3= 9
13= 0,20020002 ⋯
202
y muchísimos números más (Wheeden, 1977).
Se está ahora en condiciones de examinar otras propiedades del conjunto C.
Teorema 2.1: C es un subconjunto compacto de ℝ.
Demostración: Por construcción 𝐶 = ⋂∞𝑛=1𝑃𝑛 luego C es cerrado por ser intersección de cerrados; pero C también es acotado pues es un subconjunto de [0,1] y en consecuencia, C es un conjunto compacto Teorema 2.2: El interior de C es vacío
Demostración: Supongamos lo contrario, es decir, que el interior de C no es vacío. Luego existe 𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 𝜀 > 0 tal que 𝐼 = ]𝑥 −𝜀
2, 𝑥 +𝜀
2[ ⊂ 𝐶.
Por lo tanto, 𝐼 ⊂ 𝑃𝑛 para todo 𝑛 ≥ 1. Por la propiedad arquimedeana, existe 𝑛0 ∈ ℕ tal que 𝜀 = |𝐼| > 1
2𝑛0+1. Luego para todo 𝑛 ≥ 𝑛0 se tiene que 𝐼𝑛 = ]𝑥 − 1
2𝑛, 𝑥 + 1
2𝑛[ ⊂ 𝐼 con |𝐼𝑛| > 1
2𝑛 ; pero esto es una contradicción, pues 𝑃𝑛 no puede tener intervalos con longitud mayor que
1
2𝑛 . Así pues, se concluye que el interior de C es vacío.
Teorema 2.3: El conjunto de Cantor C es no enumerable.
Demostración. Supongamos que C es enumerable, luego 𝐶 = {𝑐1, 𝑐2, ⋯ }. Consideremos el número 𝑐 = 𝑎1, 𝑎2, ⋯ en forma ternaria, de la siguiente manera:
𝑎1=
2 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐1 , 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑒𝑠 0 0 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐1 , 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑒𝑠 2
𝑎2=
2 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐2 , 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑒𝑠 0 0 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐2 , 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑒𝑠 2
𝑎𝑛=
2 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑛 , 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑒𝑠 0 0 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑛 , 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑒𝑠 2
203
Se tiene que 𝑐 ∈ 𝐶 𝑦 𝑐 ≠ 𝑎𝑛 para todo 𝑛 ≥ 1, o cual es una contradicción. Así pues, C es un conjunto no enumerable.
Teorema 2.4: Todos los puntos del conjunto de Cantor C son puntos de acumulación de C
Demostración: Sea 𝑥 ∈ 𝐶 y V una vecindad de x, entonces existe 𝜀 > 0 tal que
]𝑥 − 𝜀, 𝑥 + 𝜀[ ⊆ 𝑉.
Tome 𝑛0 ≥ 1 de modo que 1
3𝑛0< 𝜀
2 y considere
Como 𝑥 ∈ 𝐶 se tiene que 𝑥 ∈ 𝑃𝑛0, por lo tanto, existe un 𝑘𝑛0 tal que 𝑥 ∈ 𝐽𝑛0,𝑘𝑛0. Luego,
Mas aun, los puntos extremos de 𝐽𝑛0,𝑘𝑛0 que son elementos de C, también pertenecen a V y, en consecuencia:
(𝑉 − {𝑥}) ∩ 𝐶 ≠ 𝜙
para toda vecindad V de x, es decir, x es un punto de acumulación de C.
Por los teoremas 2.1 y 2.4, se tiene que el conjunto de Cantor es un conjunto perfecto.
𝑃𝑛0= ⋃ 𝐽𝑛0,𝑘 2𝑛 0
𝑘=1
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐽𝑛0,𝑘 = 1 3𝑛0
𝑥 ∈ 𝐽𝑛0,𝑘
𝑛 0
𝐽𝑛0,𝑘
𝑛 0 = 1 3𝑛0 <𝜀
2
⇒ 𝑥 ∈ 𝐽𝑛0,𝑘𝑛 0⊆ ]𝑥 − 𝜀, 𝑥 + 𝜀[ ⊆ 𝑉
204
3. LA FUNCIÓN DE CANTOR.
Se define la función 𝑓: 𝐶 → [0,1], llamada la función de Cantor, por la regla:
Es decir, si x es un elemento de C teniendo expansión ternaria 𝑥 = 0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ donde 𝑎𝑖 = 0 ó 2, entonces 𝑓(𝑥) es el numero cuya expansión binaria (base 2) es 0, 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, ⋯ donde 𝑟𝑖 =1
2𝑎𝑖 Características de 𝑓.
1. 𝑓 es suryectiva.
En efecto, sea
𝑦 = ∑𝑟𝑖 2𝑖
∞
𝑖=1
un elemento de [0,1] con 𝑟𝑖 ∈ {0,1} y sea 𝑥 = ∑𝑎𝑖
3𝑖
∞
𝑖=1
donde 𝑎𝑖 = 2𝑟𝑖. Entonces 𝑎𝑖 = {0,2}, por lo tanto, 𝑥 ∈ 𝐶 𝑦 𝑓(𝑥) = ∑𝑟𝑖
2𝑖
∞
𝑖=1
= 𝑦 lo cual prueba la suryectividad de 𝑓.
2. Si 𝐼 = (𝑥, 𝑦), con 𝑥 < 𝑦, es uno de los intervalos abiertos extraídos en el n-ésimo paso, en la construcción geométrica del conjunto de Cantor, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦).
En el primer paso se extrae el intervalo ]1
3,2
3[ 𝑓 ∑𝑎𝑖
3𝑖
∞
𝑖=1
= ∑𝑟𝑖 2𝑖
∞
𝑖=1
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟𝑖=1 2𝑎𝑖
205
En el segundo paso se extraen los intervalos ]1
9,2
9[ 𝑦 ]7
9,8
9[, los cuales se pueden expresar como
]1 32+𝑏1
3 , 2 32+𝑏1
3 𝑐𝑜𝑛 𝑏1 = 0 ó 2
Los intervalos que se extraen en el tercer paso se pueden expresar en la forma
]1 33+𝑏1
3 +𝑏2 32, 2
33+𝑏1 3 +𝑏2
32 𝑐𝑜𝑛 𝑏1, 𝑏2 = 0 ó 2
En el n-ésimo paso se extraen 2𝑛−1 intervalos los cuales se pueden escribir como
es decir,
]1
3𝑛+ ∑𝑏𝑖 3𝑖
𝑛−1
𝑖=1
, 2
3𝑛+ ∑𝑏𝑖 3𝑖
𝑛−1
𝑖=1
[ 𝑐𝑜𝑛 𝑏𝑖 = 0 ó 2 Mostremos que
𝑓 1
3𝑛+ ∑𝑏𝑖 3𝑖
𝑛−1
𝑖=1
= 𝑓 2
3𝑛 + ∑𝑏𝑖 3𝑖
𝑛−1
𝑖=1
𝑐𝑜𝑛 𝑏𝑖 = 0 ó 2
En efecto, si 2
3𝑛 + ∑𝑏𝑖 3𝑖
𝑛−1
𝑖=1
= 0, 𝑏1𝑏2⋯ 𝑏𝑛−12000 ⋯ entonces
𝑓 2
3𝑛+ ∑𝑏𝑖 3𝑖
𝑛−1
𝑖=1
= 0,𝑏1 2
𝑏2
2 ⋯𝑏𝑛−1
2 1000 ⋯
= 0,𝑏1 2
𝑏2
2 ⋯𝑏𝑛−1
2 + 0, 00 ⋯ 00⏟
𝑛−1 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
100 ⋯
]1 3𝑛+𝑏1
3 +𝑏2
32+ ⋯ +𝑏𝑛−1 3𝑛−1,2
3𝑛+𝑏1 3+𝑏2
32+ ⋯ +𝑏𝑛−1
3𝑛−1 𝑐𝑜𝑛 𝑏𝑖= 0 ó 2
206
= 0,𝑏1 2
𝑏2
2 ⋯𝑏𝑛−1
2 + 1
2𝑛 Por otro lado, si
1
3𝑛 + ∑𝑏𝑖 3𝑖
𝑛−1
𝑖=1
= 0, 𝑏1𝑏2⋯ 𝑏𝑛−1022 ⋯
entonces
𝑓 1
3𝑛+ ∑𝑏𝑖 3𝑖
𝑛−1
𝑖=1
= 0,𝑏1 2
𝑏2
2 ⋯𝑏𝑛−1
2 011 ⋯ = 0,𝑏1
2 𝑏2
2 ⋯𝑏𝑛−1
2 + 0, 00 ⋯ 00⏟
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
111 ⋯
= 0,𝑏1 2
𝑏2
2 ⋯𝑏𝑛−1
2 + 1
2𝑛+1+ 1
2𝑛+2+ ⋯ = 0,𝑏1
2 𝑏2
2 ⋯𝑏𝑛−1
2 + 1
2𝑛(1 2+ 1
22 + ⋯ ) = 0,𝑏1
2 𝑏2
2 ⋯𝑏𝑛−1
2 + 1
2𝑛 Por lo tanto
𝑓 1
3𝑛+ ∑𝑏𝑖 3𝑖
𝑛−1
𝑖=1
= 𝑓 2
3𝑛+ ∑𝑏𝑖 3𝑖
𝑛−1
𝑖=1
3. 𝑓 es creciente sobre C; es decir, si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶, con 𝑥 < 𝑦, entonces 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦).
En efecto, sean 𝑥 = 0, 𝑥1𝑥2⋯ ; 𝑦 = 0, 𝑦1𝑦2⋯ dos elementos de C y supongamos que 𝑥 < 𝑦.
Se probó anteriormente que, si x, y son extremos de los intervalos extraídos en la construcción del conjunto de Cantor, entonces, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦).
207
Si este no es el caso, entonces existe un entero positivo k tal que 𝑥1 = 𝑦1, 𝑥2 = 𝑦2, ⋯ , 𝑥𝑛−1 = 𝑦𝑛−1 𝑦 𝑥𝑘 = 0 < 𝑦𝑘 = 2
Por consiguiente
𝑓(𝑥) = 0,𝑥1 2
𝑥1
2 ⋯ 𝑦 𝑓(𝑦) = 0,𝑦1 2
𝑦2 2 ⋯ de donde
𝑥1 2 =𝑦1
2 ,𝑥2 2 =𝑦2
2 , ⋯ ,𝑥𝑛−1
2 = 𝑦𝑛−1
2 𝑦 𝑥𝑘
2 = 0 <𝑦𝑘 2 = 1 Por lo tanto, 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦). En conclusión, se tiene que 𝑓 es creciente.
Anteriormente se probó que la función de Cantor tiene el mismo valor en los dos extremos de cada intervalo suprimido en la construcción del conjunto de Cantor. Como muestra la Figura 2, si tomamos este valor común como valor constante de la función 𝑓 en este intervalo, podemos extender la función de Cantor a todo el intervalo [0,1]. De esta manera, 𝑓 será creciente sobre [0,1].
Figura 2. Extensión de la función de Cantor.
208
El siguiente teorema, referente a las funciones crecientes, es de vital importancia para el estudio de la función de Cantor (Bartle, 1999), (Rudin, 1980).
Teorema 3.1: Sea 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función creciente. Si g es suryectiva sobre [𝑔(𝑎), 𝑔(𝑏)] entonces es continua en [𝑎, 𝑏].
Como la función de Cantor es creciente y suryectiva en [0,1], por el teorema anterior, es continua en [0,1].
Con la función de Cantor se muestra cuánto se ha avanzado en el desarrollo del concepto de función a partir de la idea elemental de que una función continua "es aquella cuya gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel".
REFERENCIAS
Bartle, R.G. (1999). Introducción al Análisis Matemático. Editorial Limusa, S.A. México.
Fleron, J. (1994). A Note on the History of the Cantor Set and Cantor Function. Mathematics Magazine. An Official Publication of The Mathematical Association of America. Vol. 67. Washington, D.C. pags 136-140.
Phillps, E. (1984). An Introduction to Analysis and Integration Theory.
Dover Edition U.S.A.
Rudin, W. (1980). Principios de Análisis Matemático. McGraw-Hill Book. México.
Wheeden, RL. (1977). Measure and Integral an Introduction to Real Analysis. Marcel Dekker,lnc. New York.
