Clase
Contenidos y Objetivos
Para esta sesión es necesario que sepas acerca de:
Actividades
Un conocido juego de azar utiliza 25 bolitas que son de la misma forma y tamaño, de manera que cada una de ellas tiene escrito un número del 1 al 25, sin que se repita ninguno de ellos. Estas bolitas se colocan en una tómbola transparente y se extraen 14 de ellas al azar, en forma consecutiva y sin considerar orden ni reposición. Previamente se han vendido cartones con 14 números del 1 al 25, sin que ninguno de ellos se repita en un mismo cartón, por lo que se considerará ganador del sorteo a la persona que tenga un cartón con los mismos números que se han obtenido en la tómbola, sin importar el orden en el que hayan sido extraídos al momento del sorteo.
1
Imagina que estás presenciando un sorteo de este juego, ¿es posible que se pueda predecir cuáles serán los números?No es posible, ya que se trata de un experimento aleatorio, en el cual bajo un mismo conjunto de condiciones iniciales se puede obtener resultados
Actividades
¿Es posible conocer la cantidad máxima de cartones de cartones diferentes que se pueden generar para este sorteo y los números que contiene cada uno de ellos? Justifiquen y fundamenten su respuesta.
2
¿Cuál es la probabilidad de ganar este juego de azar si se compra un cartón, considerando que la empresa pone a la venta un cartón de cada una de las combinaciones posibles?
3
Si es posible conocer la cantidad máxima de cartones diferentes, ya que se extraen 14 números de 25 disponibles, sin importan el orden de extracción, lo cual corresponde a una combinación:
25! = 4457400 cartones diferentes. 14! ·11!
La probabilidad de ganar sería
Actividades
Junto a su profesor, planteen 3 experimentos aleatorios.
4
El ejemplo anterior constituye un experimento aleatorio
1. Lanzar un dado y obtener un número par. 2. Lanzar una moneda y obtener sello.
3. Extraer una carta de una baraja de cartas y obtener un as de trébol.
EXPERIMENTO ALEATORIO
Actividades
Según concepto de espacio muestral, determinen este conjunto para los siguientes experimentos:
5
Un experimento aleatorio sencillo es el lanzamiento de un dado común (en PSU, se entiende por dado común aquel que posee seis caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir).
{(C – C – C), (C – C – S), (C – S – C), (C – S – S), (S – C – C), (S – C – S), (S – S – C), (S – S – S)}
A. Lanzamiento de una moneda tres veces consecutivas. ESPACIO MUESTRAL
Actividades
B. El lanzamiento de un dado común.
{1,2,3,4,5,6}
Actividades
A continuación, se presentan las definiciones de “Evento” y “Regla de Laplace”.
EVENTO
Conjunto de alguno(s) de los resultados posibles dentro de un experimento aleatorio. Corresponde a un subconjunto del espacio muestral.
REGLA DE LAPLACE
Método que indica la probabilidad teórica de ocurrencia de un evento dentro de un experimento aleatorio y se calcula como el cociente entre la cantidad de casos favorables a dicho evento y la cantidad de casos posibles del experimento.
P(A) =
Casos favorables de A .
Actividades
En un experimento, un evento certero es aquel que tiene probabilidad 1 de ocurrencia y un evento imposible es aquel que tiene probabilidad 0 de ocurrencia. Definan junto a su profesor un experimento y dos eventos asociados al mismo, de manera que uno de ellos sea certero y el otro imposible.
6
Experimento : Lanzar un dado común.
Evento certero : Obtener un número menor que 10.
Evento imposible : Obtener un número que sea múltiplo de 7.
Un experimento aleatorio consiste en el lanzamiento de un dado común. Determinen la probabilidad de los siguientes eventos dentro de este experimento.
A. Obtener un número par.
7
Sea A : obtener un número par.
Casos favorables: {2,4,6} = 3 Casos totales {1,2,3,4,5,6] = 6
Actividades
B. Obtener un número impar.
Sea C : obtener un número primo.
Casos favorables: {2,3,5} = 3 Casos totales {1,2,3,4,5,6] = 6
P(C) = 3 = 1 , 6 2
Sea B : obtener un número impar.
Casos favorables: {1,3,5} = 3 Casos totales {1,2,3,4,5,6] = 6
P(B) = 3 = 1 , 6 2
Actividades
D. Obtener un múltiplo de 3.
Sea E : obtener un cuadrado perfecto.
Casos favorables: {1,4} = 2 Casos totales {1,2,3,4,5,6] = 6
P(E) = 2 = 1 ,
Sea D : obtener un múltiplo de 3.
Casos favorables: {3,6} = 2 Casos totales {1,2,3,4,5,6] = 6
P(D) = 2 = 1 , 6 3
Actividades
F. Obtener un divisor de 8.
Sea G : obtener un divisor de 12..
Casos favorables: {1,2,3,4,6} = 5 Casos totales {1,2,3,4,5,6] = 6
P(G) = 5 , 6
Sea F : obtener un divisor de 8.
Casos favorables: {1,2,4} = 3 Casos totales {1,2,3,4,5,6] = 6
P(F) = 3 = 1 , 6 2
Actividades
Antes de analizar la suma de probabilidades, debemos definir dos tipos de evento: excluyente y no excluyente.
Por ejemplo, dentro del experimento de lanzar un dado común se define el evento A como obtener un número impar y el evento B como obtener un número par. Luego, los casos posibles de A son {1, 3, 5} y los casos posibles de B son {2, 4, 6}. Como puede observarse, los conjuntos de ambos eventos NO tienen elementos en común, en consecuencia, son excluyentes.
Por otra parte, dentro de este experimento se define el evento C como obtener un número primo, luego, los casos posibles de este evento son {2, 3, 5}. En este caso, se tiene que el evento C y el evento A tienen elementos en común, que en este caso son 3 y 5, en
EVENTOS EXCLUYENTES
Sean A y B dos eventos de un mismo experimento. Los eventos A y B son excluyentes si NO pueden ocurrir simultáneamente..
EVENTOS NO EXCLUYENTES
Actividades
Junto a su profesor, mencionen 2 eventos que sean excluyentes y 2 eventos que sean NO excluyentes en el lanzamiento de un dado común, justificando cada caso. Si lo estiman conveniente, pueden relacionar los eventos estudiados en la pregunta 7 de la sección 1 con este objetivo.
1
Eventos excluyentes: Obtener simultáneamente un cuadrado perfecto y un número primo.
Eventos no excluyentes: Obtener simultáneamente un número par y un úmero primo.
En la suma de probabilidades, se busca determinar la probabilidad de ocurrencia de 2 o más eventos. Para ello, es clave la disyunción “o” y la conjunción “y”, que se representan con los símbolos y ∩, respectivamente. Luego, dados los eventos ∪ A y
B de un experimento aleatorio, se tiene que:
(1) Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento A o del evento B es igual a la suma de las probabilidades individuales de dichos eventos dentro del experimento.
Actividades
Junto a su profesor, determinen la probabilidad de los siguientes eventos, poniendo especial atención a si son mutuamente excluyentes o no al momento de determinarlo.
A. Al lanzar un dado común, obtener un número que sea primo o impar.
2
Sea A : Obtener un número primo, {2,3,5}. Cardinalidad 3. B : Obtener un número impar, {1,3,5}. Cardinalidad 3.
P(A) = 1 ,; P(B)= 1 ; P(A ∩ B) = 1
,
Luego P(AUB) = 1 + 1 – 1 = 2 ,(2) Si los eventos A y B NO son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento A o del evento B es igual a la suma de las probabilidades individuales de dichos eventos dentro del experimento, menos la probabilidad de ocurrencia de ambos eventos de manera simultánea.
Actividades
B. Al lanzar un dado común, obtener un número mayor que 4 o un cuadrado perfecto.
Sea A : Obtener un número mayor que 4, {5,6}. Cardinalidad 2. B : Obtener un cuadrado perfecto, {1,4}. Cardinalidad 2.
P(A) = 1 ,; P(B)= 1 ; P(A ∩ B) = 0. Luego P(AUB) = 1 + 1 = 2 ,
3 3 3 3 3
C. En un curso compuesto por 11 hombres y 11 mujeres se les pregunta por el lugar donde preferirían pasar sus vacaciones, dándoles a escoger entre la playa o el campo. Si 6 hombres prefieren pasar sus vacaciones en la playa, y 3 mujeres prefieren el campo, ¿cuál es la probabilidad de escoger al azar a una persona que prefiera pasar sus vacaciones en el campo o que sea hombre?.
Sea A : Escogen una persona que prefiera el campo. Cardinalidad 8. B : Escoger a un hombre. Cardinalidad 11.
Actividades
De manera optativa, respondan la siguiente pregunta, aplicando lo aprendido durante la clase. Todas personas de un grupo practican fútbol, básquetbol e incluso ambos deportes. Si la probabilidad de escoger al azar a una persona de este grupo que practique fútbol es del 90% y la de que practique básquetbol es del 50%, ¿cuál es la probabilidad de que practique ambos deportes?
DESAFÍO
Sea F : A la persona escogida le gusta el fútbol.
B : A la persona escogida le gusta el básquetbol. Se tiene que P(F) + P(B) – P(F∩B) = P(F U B)
0,9 + 0,5 – P(F∩B) = 1 P(F∩B) =0,4
1
Se escoge al azar un número entre los 10 primeros números primos. La probabilidad de que el número escogido tenga solo un dígito es
A) B) C) D) E)
Modelamiento
Modelamiento
2
¿Cuál es la alternativa
correcta?
Habilidad: Aplicación
C
En una rifa se venden 10 talonarios de 50 boletos cada uno y se escogerá al azar solo uno de los boletos, el cual se considerará ganador. Si Carolina compró 30 boletos, ¿cuál es la probabilidad de que NO gane la rifa?
3
Modelamiento
La tabla adjunta muestra la oferta de una empresa inmobiliaria en una cierta ciudad. Si se escoge al azar, solo entre los departamentos, la probabilidad de que este tenga un número par de habitaciones es
A)
B)
C)
D)
E)
4
Modelamiento
Si se lanzan simultáneamente dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 3 o 10?
A)
B)
C)
D)
E) Ninguno de los anteriores.
Modelamiento
5
En una tómbola hay una determinada cantidad de bolitas que pueden ser de colorverde, rojo o amarillo, todas de la misma forma y tamaño. Se puede determinar la probabilidad de extraer de manera aleatoria una bolita de color verde de la tómbola, si se sabe que:
(1) La probabilidad de extraer una bolita de manera aleatoria de color verde o de color rojo de la tómbola es .
.
(2) La probabilidad de extraer una bolita de manera aleatoria de color amarillo o de color verde de la tómbola es .
.
A) (1) por si sola. B) (2) por si sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por si sola, (1) o (2).
E) Se requiere información adicional.
¿Cuál es la alternativa
Compruebo lo aprendido
Comprendo los distintos tipos de eventos dentro de un
experimento aleatorio y calculo su probabilidad de ocurrencia
mediante la regla de Laplace.
Determino la probabilidad de ocurrencia de dos eventos, ya sea
que pueda ocurrir uno u otro, o ambos simultáneamente, dentro
de un experimento.
Cierre de la clase
¿Cuál es la probabilidad de obtener
un número impar al extraer una
carta al azar de un naipe inglés
(52 cartas)?
Al lanzar un dado común
¿Cuál es la probabilidad
de obtener un número
primo menor que 3?
Tabla de Corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
Dificultad
1
B
Aplicación
Media
2
C
Aplicación
Fácil
3
A
Aplicación
Media
4
A
Aplicación
Media
5
C
ASE
Difícil
6
C
Aplicación
Fácil
7
A
Aplicación
Fácil
8
D
Aplicación
Fácil
9
B
Aplicación
Fácil
Tabla de Corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
Dificultad
11
A
Aplicación
Media
12
E
Aplicación
Media
13
D
Aplicación
Media
14
C
ASE
Media
15
A
ASE
Media
16
A
Aplicación
Difícil
17
B
ASE
Difícil
18
D
ASE
Difícil
19
E
Aplicación
Difícil
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