ii) El doble de la diferencia de cierto número menos tres.

Trabajo Práctico Módulo 1 - Introducción al Cálculo

1) a) Escriba las siguientes expresiones en términos de x:

i) El doble de cierto número menos tres.

ii) El doble de la diferencia de cierto número menos tres.

iii) La mitad del cubo de cierto número.

iv) La tercera parte del cuadrado de la suma de cierto número más cuatro.

v) La tercera parte de la suma de cierto número más cuatro, elevada al cuadrado.

vi) El doble de cierto número más su cuarta parte.

vii) El producto entre el cubo de la suma de cierto número más cinco.y la décima parte de dicho número.

viii) El valor absoluto de la diferencia entre 10 y el triple de cierto número.

ix) El valor absoluto del triple de la diferencia entre 10 y cierto número.

x) La diferencia de la quinta parte de cierto número con 9, elevada a la sexta.

xi) La quinta parte de la diferencia de cierto número con 9, elevada a la sexta.

xii) El producto entre un número entero y el quíntuple de su siguiente.

xiii) El cociente entre el cubo del doble de cierto número entero distinto de uno y el anterior de dicho número.

xiv) La suma de dos números pares consecutivos.

b) Exprese coloquialmente, tomando como modelo los enunciados anteriores:

i) ^(x+1) _5x

ii) ^x+1 _5x ² iii) 5 ^x+1 _x ²

2) Plantee las ecuaciones necesarias para resolver los siguientes problemas. Re- suelva aquellos en los que la ecuación obtenida sea de primer grado ó con valor absoluto

i- Si al doble de un número se le resta su tercera parte resulta 1665. ¿Cuál es el número?

ii- Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre triplicará la edad del hijo?

iii- Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.

iv- Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda.

Se pide:

a) Litros de gasolina que tenía en el depósito.

b) Litros consumidos en cada etapa.

v- En una librería, Ana compra un cómic con la tercera parte de su dinero

y una novela con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la

librería tenía $90. ¿Cuánto dinero tenía Ana al entrar a la librería? ¿Cuánto salían el cómic y la novela?

vi- La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?

vii- Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.

viii- Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas.

¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro? (Ayuda: relacione la parte del trabajo que realizan en un hora juntos y c/u por separado)

ix- Halle el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40 más que C y que A mide 40 más que B.

x- El perímetro de un terreno rectangular es de 750 m. Sabiendo que el largo del terreno es el quíntuple de su ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela? ¿Cuál es el área del terreno?

3) a) Halle el dominio de la variable y el conjunto de soluciones en cada caso:

i) 5 j10x 1j = ^x 2 + 3 ii) ¹

jx 1j = _x+4 ² iii) j5x 4j + 10 = 0

iv) 15 j x 7 j 4 = 10 j x 7 j v) 2 = ^{10(x 1)+5}

jx 1j

vi) 3 = ^j2x+2j _x+1

b) Un quinto del valor absoluto de la suma entre cierto número y -10 es igual a la suma de seis veces dicho número y 3. ¿Qué valores puede tomar el mismo?

c) ¿ Existe algún número entero tal que la distancia numérica entre la mitad de dicho número y 73 es igual a tres veces su siguiente? Justi…que su respuesta.

d) La distancia numérica entre la mitad de un número y el opuesto aditivo de dicho número es igual a su triple disminuido en 169. Halle dicho número

¿Hay más de una respuesta posible?¿Por qué?

4) Halle el dominio de la variable y el conjunto de soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones:

i) 2x ² x ¹ ₈ = 0 ii) 5x ² + 8x + 3 = 0 iii) (x 1) ² + 4 = 0 iv) x ^{4 47} ₃ x ² + 44 = 0 v) 4x ⁶ + 30x ³ 50 = 0 vi) _x+5 ¹⁰ = ^x _x+5

^+3x vii) ¹ _x = jx + 3j

5) a) Demuestre las siguientes propiedades de las soluciones x 1 y x 2 de una ecuación de segundo grado ax ² + bx + c = 0:

i) x 1 + x 2 = _a ^b ii) x 1 :x 2 = ^c _a

b) Utilice las propiedaes anteriores para encontrar rápidamente una ecuación

de segundo grado cuyas soluciones sean x = 3 y x = 2? Escriba los cálculos

que realice.

6) Resuelva los siguientes problemas planteando las ecuaciones de segundo grado apropiadas. Escriba todas las respuestas posibles para cada problema.

En caso de descartar alguna solución, explique por qué lo hizo agregando un comentario luego de resolver el problema.

i) Determine k de modo que las dos raíces de la ecuación 2x ² + kx + 338 = 0 ii) Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad actual de Pedro.

iii) Para cerrar una quinta rectangular de 880 m ² se han utilizado 124 m de cerca. Calcule las dimensiones de la …nca.

iv) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 578,56 m ² .

v) Un rectángulo de cartón es 4 cm más larga que ancha. Con ella se con- struye una caja de 576 cm ³ cortando un cuadrado de 3 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halle el ancho de la caja.y el largo original del rectángulo.

vi) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halle la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 1944 m ² .

Ayuda: veri…car que el triángulo es rectángulo.

vii) Calcule las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

viii) a) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímet- ros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

b) ¿Existirá algún triángulo rectángulo que tenga por medidas en centímetros de sus lados tres números impares consecutivos? Halle los valores de dichos lados ó justi…que por qué no existe.

ix) La distancia numérica entre dos números enteros es 2 y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

7) Considere los puntos P ( 5; 1) ; Q (2; 0) y R ( 4; 3) :

a) Ubique los tres puntos en el plano. Indique si cada uno de ellos pertenece a algún cuadrante ó a algún eje.

b) Determine las coordenadas del punto medio entre P y Q; del punto medio entre P y R; y del punto medio entre Q y R:

c) Calcule dist(P; Q); dist(P; R) y dist(Q; R).

d) ¿Es P QR un triángulo rectángulo? Justi…que su respuesta utilizando el Teo- rema de Pitágoras. ¹

e) Trace una mediana del triángulo P QR y veri…que el cumplimiento del Teo- rema de la Mediana. ² .

1

Teorema de Pitágoras: Un triángulo es rectángulo si y sólo si el cuadrado de su lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados (catetos).

2

Teorema de la Mediana (Apolonio): Para todo triángulo, la suma de los cuadrados de dos

de sus lados es igual a la mitad del cuadrado de su tercer lado más el doble del cuadrado de

su mediana correspondiente (la mediana del lado de un triángulo es el segmento que une su

8) Considere las ecuaciones dadas en el ejercicio 22 de este práctico. Halle una a cuyo grá…co pertenezca el punto P ( 1; 2) y otra a cuyo grá…co no pertenezca dicho punto. Justi…que sus respuestas analíticamente (es decir mediante cuen- tas, sin dibujar).

9) Dados los puntos A( 4; 2) y B(0; 5); y la recta l ₀ de ecuación 2x 3y +6 = 0: Determine:

i) La ecuación de la recta que pasa por A y B:

ii) La ecuación de la recta vertical que pasa por A:

iii) La ecuación de la recta horizontal que pasa por B:

iv) La ecuación de la recta que pasa por A y es paralela a l 0 :

v) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por B y es perpendicular a l 0 : vi) La distancia entre A y l 0 :

vii) La ecuación de la mediatriz ³ del segmento de extremos A y B:

10) Sea l 1 la recta de ecuación x + 4y 1 = 0

i) Determine si las siguientes rectas son paralelas, perpendiculares ó ninguna de las dos cosas con respecto a l ₁ .

a)20x 5y + 10 = 0 b) 3x 12y + 50 = 0 c) 2x y + 1 = 0 ii) Determine la distancia entre l ₁ y cada una de las rectas dadas en (i).

11) Sea l ₀ la recta de ecuación 8x 6y 1 = 0: Encuentre la ecuación de una recta cuya distancia a l ₀ sea 3:unidades ¿Cuántas son las respuestas posibles?

Gra…que.

12) Encuentre la ecuación canónica y la ecuación general de cada una de las siguientes circunferencias. Gra…que:

a) Centro en C(4; 1) radio 5: b) Centro en P ( 3; 0) radio 4

13) Averigüe si las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias. En cada caso, encuentre el centro y el radio completando cadrados ó explique por qué la ecuación no corresponde a una circunferencia.

i) 4x ² + 4y ² y = 0 ii) 3x ² + 3y ² + 6x 5y + 100 = 0 iii) 2x ² + 3y ² = 6x + 5y + 1 iv) 2x ² 2y ² + 12x 4y + 12 = 0

14) Encuentre:

a) el conjunto de todos los puntos sobre el eje y que estén a 5 unidades del punto P ( 2; 3): Gra…que.

b) el conjunto de todos los puntos que tengan ordenada igual a 4 y cuya distancia al punto Q(2; 6) sea 8. Gra…que.

c) el conjunto de todos los puntos que disten 4 unidades de R(3; 5) y 3 unidades de S( 2; 5). Gra…que.

punto medio con el vértice opuesto).

3

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa por su punto medio.

15) i) ¿Para qué valor/es de b la recta y = 2x + b es tangente ⁴ a la circun- ferencia x ² + y ² = 20? (Ayuda: utilice la fórmula de distancia entre punto y recta). Gra…que.y determine el/los puntos de tangencia.

ii) Halle el/los valor/es de p para que la recta x + y + p = 0 sea tangente a la circunferencia x ² + y ² 8y 1 = 0: Gra…que.

16) Considere las siguientes elipses:

a) (x + 5) ²

12 + y ³ ₂ ²

25 = 1 b) 25y ² + (x + 8) ²

4 = 4

i) Grafíquelas y determine las coordenadas sus focos y de sus vértices.

ii) Encuentre la constante de la elipse para cada una de ellas.

iii) Obtenga la ecuación general de cada una.

17) Encuentre una ecuación canónica y luego una general para cada elipse y trace su grá…ca, incluyendo los focos, a partir de los datos proporcionados:

a) Centro en (0,0), longintud del semieje vertical 6; longitud del eje horizontal 10.

b) Vértices en (-10,-2) y (-2, -2); foco en (-5,-2).

c) Centro en (3,5), foco en (2,5); vértice en (3,-4).

d) Focos en (1,6) y (1,-6); Longitud del semieje mayor 10.

e) Centro en (2,1); vértices en (-1,1) y en (2,4).

18) Considere las siguientes hipérbolas:

a) (y + 6) ² (x 2) ²

9 = 4 b) (x + 2) ²

9

8y ² 2 = 1

i) Grafíquelas y determine las coordenadas de sus focos, de sus vértices reales y de sus vértices imaginarios; indique las ecuaciones de sus asíntotas..

ii) Encuentre la constante de la hipérbola para cada una de ellas.

iii) Obtenga la ecuación general de cada una.

19) Determine una ecuación canónica y una general para cada hipérbola y trace su grá…ca, incluyendo los focos y las asíntotas, a partir los datos propor- cionados:

a) Centro en (0,0), longintud del semieje real 4; longitud del eje horizontal 10.

b) Centro en (5,-1), vértice en (5,2); foco en (10,-1).

c) Focos en (0,10) y (0,-10); Longitud del semieje real 6.

d) Vértices en (-1,-2) y (-1, -5); Longitud del eje imaginario 2.

e) Vértices reales (2,-2) y (6, -2); asíntota y = 2x 10.

20) Para cada una de las siguientes parábolas indique las coordenadas de su foco y de su vértice; determine las ecuaciones de su directriz y de su eje de simetría; gra…que; determine su ecuación general.

4

Una recta es tangente a una circunferencia si ambas se intersecan en un sólo punto.

a) 2(y 3) ² + 6 (x 2) = 0 b) (x 1) ² + 4 (y + 2) = 0

21) Encuentre una ecuación canónica y una general para cada parábola y trace su grá…ca, incluyendo directriz y foco, a partir de los datos proporcionados:

a) Vértice en (0,0), foco (0; ⁷ ₂ ).

b) Foco en ( 2; 5), directriz x = 1.

c) Vértice (2; 3): Pasa por (1; 1): Directriz horizontal.

d) Vértice en (1; 4) ; directriz y = 5 22) Una según corresponda:

a) y ² 10 = x ²

b) y ² = x + 3y parábola con eje de simetría horizontal

c) y ² = x ² 9y + 2x 17 parábola con eje de simetría vertical

d) x ² + 3y + x 3 = 0 hipérbola

e) x ² = 2y ² + 6 elipse

f ) 4x ² + y x + 1 = 0 circunferencia

g) 2x ² y ² + x 9 = 0 recta

h) 3x ² 5y ² x + 6y + 10 = 0 i) 2x y 5 = 0

23) Identi…que las siguientes cónicas, grafíquelas y halle sus elementos.

i) Conjunto de todos los puntos del plano xy que equidistan del punto ( 1; 2) y de la recta x = 3:

ii) Cónica de ecuación general: x ² + y ² 2y 3 = 0:

iii) Conjunto de todos los puntos del plano xy tales que la suma de sus distancias a los puntos (6; 1) y (6; 7) es igual a 10:

iv) Conjunto de todos los puntos del plano xy tales que la distancia numérica entre sus distancias a los puntos (4; 3) y (0; 3) es igual a 2:

v) Conjunto de todos los puntos del plano xy que se encuentran a distancia

5

4 del punto ( 2; 0):

vi) Cónica de ecuación general: 5x ² + 10y + 15x 4 = 0:

Algunas soluciones - Módulo 1

1a) i) 2x 3; ii) 2(x 3); iii) ¹ ₂ x ³ iv) ¹ ₃ (x + 4) ² ; v) ¹ ₃ (x + 4) ² ; vi) 2x + ¹ ₄ x;

vii) (x + 5) ³ : ₁₀ ¹ x; viii) j10 3xj ; ix) j3 (10 x)j; ¹ 5 x 9 ⁶ ; xi) ¹ ₅ (x 9) ⁶ ; xii) x:(5 (x + 1)); xiii) ^(2x) _{x 1}

; xiv) x + (x + 2); x par: ó bien 2x + (2x + 2); x 2 Z:

2) i) 999; ii) 10; iii) 80 lts;. iv a) 24 lts; v) Tenía 405 pesos; vi) 54; vii) 68 y 36; viii) 21 y 42 hs; ix) b C = 20 ^o ; b B = 60 ^o ..., b A = 100 ^o ...; x) dimensiones:

62.5m 312.5m

3a) i) DV = R; Sol = ₁₀₁ ⁴ ; ¹⁶ ₉₉ ; ii) DV = fx 2 R=x 6= 1 ^ x 6= 4g ; Sol = 6; ² ₃ ; iii) DV = R; Sol = ? iv) DV = R; Sol = f39=5; 31=5g; v) DV = ( 1; 1) [ (1; 1) ; Sol = ₁₂ ⁷ ; vi) DV = ( 1; 1) [ ( 1; 1) ; Sol = ?;

3b) ₂₉ ⁵ y ₃₁ ⁵ ; 3c) No; 3d) ³³⁸ ₃

4) i) DV = R, Sol = ¹ ₄ ii) DV = R, Sol = 1; ³ ₅ iii) DV = R, Sol = Sin sol. reales iv) DV = R, Sol = 2 p

3; 2 p 3; ¹ ₃ p

3 p 11; ¹ ₃ p

3 p 11 v) DV = R, Sol = n

p

5; ¹ ₂ 2

p

5 o

vi) DV = fx 2 R=x 6= 5g, Sol = f2g vii) DV = fx 2 R=x 6= 0g Sol = ¹ ₂ p

13 ³ ₂

6 i) 52; ii) 21; iii) 22m 40m; iv) 3; 2 m; v) 12 cm, 22 cm; vi) 54, 72 y 90 cm; vii) 45m 60m; viii) a) 6, 8 y 10 b) No existe; ix) 18 y 16 ó bien 16 y

18:

9) i) y = ³ ₄ x + 5; ii) x = 4; iii) y = 5; iv) ² ₃ x + ¹⁴ ₃ ; v) ₂ ³ x + 5; vii) ⁴ ₃ x + ⁵ ₆ : 10) i) a) perpendiculares; b) paralelas; c) ninguna

ii) a) 0; b) 3,7997; c) 0

11) 8x 6y = 31 y 8x 6y = 29

12) a) (x 4) ² + (y + 1) ² = 5 ² ; x ² + y ² 8x + 2y + 17 25 = 0 13 a) Centro: (0; ¹ ₈ )radio: ¹ ₈ ; b) Centro: (3; 1) radio:4

14) a) 0; p

21 + 3 ; 0; 3 p

21 ; b) ? c) ¹ 5 ; ³⁷ ₅ ; ¹ ₅ ; ¹³ ₅ 15) i) b = 10 int. (4; 2) y b = 10 int. ( 4; 2); ii) p = p

34 4 y p = p

34 4:

16) b) i)

centro: ( 8; 0) vértices: ( 4; 0), ( 12; 0), ( 8; ² ₅ ) y ( 8; ₅ ² ); focos: ( 8 + q 396

25 ; 0) y ( 8 q

396

25 ; 0); ii) constante de la elipse: 8; iii) ¹ ₄ x ² +25y ² +4x+12 = 0:

17)

b) c)

15x ² + 16y ² + 180x + 64y + 364 = 0 81x ² + 82y ² 486x 820y 3863 = 0

d)

25x ² + 16y ² 50x 1575 = 0

18 a) i)

centro: (2; 6) vértices: (2; 4), (2; 8), (8; 6) y ( 4; 6); focos: (2; 6 + p 40), (2; 6 p

40); asíntotas: x + 3y = 20 y x 3y = 16:; ii) constante de la hipérbola: 4; iii) ¹ ₉ x ² + ⁴ ₉ x + y ² + 12y + ²⁸⁴ ₉ = 0:

19) b) 9x ² 16y ² 90x 32y + 65 = 0; d) 9x ² + 4y ² 18x + 28y + 31 = 0;

e) 4x y ² 32x 4y + 44 = 0

20 a)

vértice: (2,3); eje de simetría: y = 3; directriz: x = ¹¹ ₄ ; foco: ( ⁵ ₄ ; 3)

Ec. general: 2y ² 12y + 6x + 6 = 0:

21)

b) y ² + 2x 10y + 28 = 0 c) x ² 4x + ¹ ₂ y + ⁵ ₂ = 0 d) x ² 2x 4y 15 = 0 22)

parábola con eje de simetría horizontal: b parábola con eje de simetría vertical: d, f hipérbola: c, g

elipse: e, h circunferencia:a recta: i

23) Sólo las grá…cas:

i) ii)

iii) iv) v)