CURSO INTEGRADO DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

CURSO INTEGRADO DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

Camou, Colucci, García y Graña

1^ra clase

Se pide como tarea a los alumnos que construyan con instrumentos geométricos :

1) un triángulo equilátero de lado 8 cm

2) un cuadrado de lado 7 cm

3) un pentágono regular de lado 6 cm

4) un hexágono regular de lado 5 cm

Se comenta las construcciones. La gran mayoría construye correctamente con regla y compás 1) 2) y 4) en tanto que el pentágono regular presenta

dificultades.

Dos procedimientos fueron usados por los alumnos, ambos usando el semicírculo:

a)

b)

Se les enseña entonces a los alumnos a construir el pentágono regular usando tan sólo la regla y el compás.

CÓMO CONSTRUIR UN CON REGLA Y COMPÁS

1) Trazar un segmento [AB] en el centro de la hoja

2) Trazar la semirrecta [Br) ; Br ^ AB , [Br) en el semiplano inferior de borde AB Trazando en primer lugar la

circunferencia y midiendo luego el ángulo al centro de 72⁰ .

Este procedimiento, correcto, tiene sin embargo el problema que no sabemos a priori cuál debe ser el radio de la cfa para que el lado del pentágono sea 6 cm

72

72

Se traza primero el lado de 6 cm, se mide el ángulo externo de 72⁰ y se mide nuevamente 6 cm para el segundo lado.

Así sucesivamente se completa el pentágono.

3) Tomar P en [Br) de modo que [BP] = [AB]

2

4) Trazar la hipotenusa [AP] del triángulo ABP y la prolongo para el lado de P

5) Tomo Q en la prolongación de [AP] de modo que [PQ] = [BP]

6)

C

( A , AQ ) Ç

C

( B , AQ ) determina D ( tomar D en el semiplano superior de borde AB)

7) E Î

C

( A , AB ) Ç

C

( D , AB ) 8)

C Î

C

( B , AB ) Ç

C

( D , AB )

C D

E

A B

P

Q

A B

P

Q

9) Ya tenemos los 5 vértices , los unimos y tenemos el pentágono regular ABCDE

10) Si en lugar de trazar los lados trazamos las diagonales tenemos una estrella regular de 5 puntas ; la mítica estrella!

C D

E

A B

Hemos enseñado aquí el algoritmo de la construcción del pentágono regular (y de la estrella) .

Falta por supuesto la justificación paso a paso de por qué este procedimiento construye efectivamente el pentágono regular y la estrella.

La propuesta es que los propios alumnos promediando el curso logren deducir ellos mismos las razones por las cuáles este procedimiento de construcción es cierto y exacto.

2^da clase

Los alumnos han construído los 4 primeros polígonos regulares.

¿Cómo construir un heptágono y un octógono?

Para el caso del heptágono habrá que necesariamente habrá que usar un semicírculo.

Las tareas que se plantean son :

¿Cuál es la medida de los ángulos interiores de cada polígono regular?

¿Cuál es el área de cada uno de los polígonos construídos?

El ángulo interior del triángulo equilátero es 60⁰ conocidos por todos y el del cuadrado es 90⁰.

Surge aquí la Propiedad 1 : “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180⁰” Esta propiedad es bien conocida por los alumnos por lo que no se consideró necesario su demostración.

Vayamos a los ángulos interiores del pentágono.

Surgen dos procedimientos:

I )

72

Si dividimos el ángulo completo 360⁰ entre 5 nos da el ángulo al centro 72⁰ .

Pero cada uno de los 5 triángulos de la figura es isósceles y por lo tanto es isoángulo.

Propiedad 2 : “Si un triángulo es isósceles es isoángulo y recíprocamente”

II) Si trazamos dos diagonales en el pentágono quedan determinados tres triángulos.

72 72

72 72 72 54

54 54

54

Como cada uno de los cinco triángulos es isósceles y tiene un ángulo de 72⁰ entonces los otros dos ángulos (aplicando la Prop 2) se calcula 180-72 = 54 2

Cada uno de los ángulos interiores del pentágono se calcula entonces:

54x2 = 108⁰

180

180 180

La suma de los 5 ángulos interiores del pentágono es igual a la suma de los ángulos interiores de los tres triángulos es decir 180x3 = 540

Pero como el pentágono regular tiene sus 5 ángulos iguales implica que cada ángulo vale :

540 = 108⁰ 5

Tenemos dos triángulos isósceles que tienen un ángulo de 108⁰ aplicando la Prop 2 los otros dos ángulos los calculamos :

180-108 = 36⁰ 2

Los ángulos del triángulo central se calculan : 108 - 36 = 72⁰

y 108- 36 -36 = 36⁰

108 108

36

36

36

36 72

72 36

36

36 36

36

36

Además de los ángulos interiores del pentágono hemos hallado el ángulo de la punta de la estrella de 5 puntas.

Esta estrella tan usada en las banderas de muchos países, en los logos de empresas y

compañías de todo tipo, que vemos por decenas a diario cuando se acerca Navidad.

¡El ángulo de sus puntas es de 36⁰!

Pasamos a la estimación y el cálculo de las áreas de los polígonos.

La estimación de los valores de las áreas fue pedida ; en el caso que no supieran hacer el cálculo exacto, la estimación sería el único valor que tendrían y en el caso que supieran obtener el valor exacto ésta sería una comprobación de los cálculos.

Es esencial para poder estimar, el hecho de tener las figuras construidas en verdadera magnitud.

La mayoría de los alumnos para hallar el área del triángulo equilátero de lado 8 cm , midieron la altura, que a la mayoría le dio 7 cm y calcularon

Base x Altura = 8x7 = 28 cm² y se quedaron satisfechos con el resultado.

2 2

Pocos encararon el cálculo exacto que implicaba el uso de Pitágoras para hallar la altura.

Es importante destacar aquí lo valioso del cálculo estimado, naturalmente más accesible a la estructura cognitiva del alumno y puente a través del cual el alumno puede llegar al cálculo exacto.

Otra función del cálculo estimado es “controlar” el cálculo exacto. ¿Cómo?

Por más que usemos métodos exactos (usando números irracionales y sin medir segmentos que puedan ser calculados) nada nos asegura que no hayamos cometido errores operatorios o de razonamiento . La “congruencia” entre el valor exacto y el valor aproximado nos da un grado alto de seguridad en lo correcto de los resultados obtenidos y esta seguridad del individuo en su trabajo, resulta ser fundamental en el quehacer matemático. Cabe agregar que esta validación es de naturaleza muy distinta de la que le da un profesor a un alumno cuando le dice que su resultado es correcto.

Esta validación es intrínseca de la matemática; no es el profesor limitado y falible quien aprueba su trabajo sino que es la propia matemática que lo aprueba.

El alumno descubre que él puede establecer una relación directa y personal con la matemática y que no debe pasar siempre por la mediación del profesor.

8

4

x

x

²

+ 4

²

= 8

²

x = Ö48 = 4Ö3

A = 8x4Ö3 = 16Ö3 @ 27,713 cm

²

2

Pasemos al área del pentágono regular.

Quienes miden la apotema obtienen un valor de 4 cm y para el área:

A = 5x6x4 = 60 cm² 2

Para calcular la apotema en lugar de medirla, debemos usar trigonometría elemental:

tg 54 = a a = 3 x tg 54 @ 4, 129 A = 5 x 6 x 4, 129 @ 61,936 cm² 3 2

Sin aproximaciones decimales : A = 5 x 6 x 3 x tg54 = 45. tg 54⁰ cm² 2

Queda por último el área del hexágono regular que como puede descomponerse en 6 triángulos equiláteros no plantea nuevos desafíos pero que es un buen repaso de lo anterior.

72

54 72

3 36

54 36 6

6

3

a

Varios alumnos usan la fórmula:

A = Perímetro x Apotema 2

es decir pero algunos no saben lo que es la apotema y la confunden con el radio de la circunferencia circunscrita.

La anterior fórmula equivale a : A = 5 lados x Apotema 2

que escrito así :

A = 5 x lado x Apotema 2

equivale a calcular el área de unos de los triángulos y multiplicarla por 5 .

El área es entonces : 6 x 5 x 5Ö3

A = 2 = 75Ö3 @ 64,952 cm² 2 2

¿Cuántos polígonos regulares hay?

Infinitos.

¿Cuántos poliedros regulares hay?

Aunque parezca increíble hay 5 y sólo 5 poliedros regulares.

Para comenzar a conocerlos debemos construirlos haciendo modelos en 3D y lo más accesible es el dibujar sus caras en cartulina, recortarlo y pegarlo.

Se les pide por lo tanto a los alumnos que traigan para la próxima clase cartulina, tijera y pegamento además de instrumentos geométricos.

5 5

5 5

5

5 2

x

Aplicando Pitágoras :

x

²

+

25 = 25 4

x

²= 25 - 25 = 75 4 4

x

= Ö75 = 5Ö3 2 2

3^da clase

La tarea es construir un tetraedro regular de arista 12 cm , un octaedro de arista 10 cm, un cubo de 8, un icosaedro regular de 6 y un dodecaedro regular de 4 cm de arista.

(Estas medidas fueron escogidas para que los cinco queden de tamaños similares)

DESARROLLO DEL TETRAEDRO

DESARROLLO DEL CUBO

DESARROLLO DEL OCTAEDRO

DESARROLLO DEL ICOSAEDRO

DESARROLLO DEL DODECAEDRO

Es de destacar que con dos compases se simplifica notablemente la construcción de estos 12 pentágonos.

Si abrimos un compás con la medida AB del lado del pentágono regular y el otro compás con la medida AQ de la diagonal , mediante intersecciones de circunferencias de radio AB y de radio AQ determinamos rápidamente y precisamente los vértices de todos los pentágonos del desarrollo del dodecaedro regular.

AB 2

A B

P

Q

Se dedica toda una clase a la construcción de los 5 poliedros y se comienza generalmente por los de caras triangulares es decir : el octaedro, el icosaedro o el tetraedro dejando el elemental cubo y el dodecaedro que es el más complejo de todos como tarea domiciliaria.

Resulta fascinante para cualquiera, construir estos cuerpos regulares por primera vez, tenerlos entre las manos y maravillarse de su regularidad y simetrías.

Cada alumno debe construir los 5 poliedros y se califica este trabajo tanto por la precisión, por lo prolijo y hasta la estética de los cuerpos.

4^ta clase En sala de informática con CABRI 3D

Cada alumno tiene construido sus 5 poliedros regulares .

Se observa la sorprendente regularidad de estos cuerpos . Una de estas regularidades es la igualdad de los ángulo diedros de dos caras cualesquiera secantes.

Se plantea la siguiente pregunta :

¿Cuál es la medida de los ángulos diedros de cada uno de los poliedros regulares?

El ángulo diedro del cubo mide evidentemente 90⁰ ¿ Pero los ángulos de los otros 4?

Primero se intentará estimar estos ángulos y se obtendrá un valor aproximado para luego calcularlos y obtener el valor exacto (o un valor decimal con varias cifras decimales correctas) .

¿Qué procedimiento usaremos para estimar estos ángulos?

Mediante un instrumento de este tipo (dos maderitas unidas por una mariposa) o con dos reglas, ajustamos la abertura de las dos maderitas (o las dos reglas) al ángulo diedro del cuerpo (como vemos en la foto) .

Luego llevamos el instrumento y lo ponemos sobre una hoja de papel , dibujamos el ángulo que hemos determinado y lo medimos con un semicírculo (o transportador) y obtenemos así una buena aproximación del ángulo buscado.

Llamémosle

a, b, c, d y e

a los ángulos diedros respectivamente del tetra, el cubo , el octa, el dode y el icosa.

a

b

es evidentemente 90⁰

para

c

dieron valores como 108 y 110 o 112⁰ para

d

115 , 116 118⁰ y

para e 136 , 138 o 140⁰

La clase se organiza en grupos de a tres y cada grupo dispone de una computadora con el programa CABRI 3D y CABRI II PLUS .

Se abre el programa CABRI 3D y con la herramienta “Poliedro regular” con tan sólo tres “ clics” logramos construir cualquiera de los 5 poliedros.

Hacemos un tetraedro regular ; si trazamos desde el punto medio de una arista dos alturas de cara , la medida del ángulo plano que forman es la medida del ángulo diedro entre dos caras.

El valor obtenido con el programa concuerda con las estimaciones y las supera en precisión.

Análogamente podemos hacer con los otros tres poliedros :

Luego de tener una primera aproximación y un cálculo casi exacto mediante CABRI 3D queremos obtener este último valor dado por el software usando herramientas

matemáticas tradicionales como la trigonometría.

Haremos esto en primera instancia solamente para el tetraedro y el octaedro regular dejando para más adelante en el curso el caso del dodecaedro y el icosaedro regular.

CÁLCULO EXACTO DEL DIEDRO DEL TETREDRO REGULAR

Los alumnos tienen su modelo de tetraedro regular de 12 cm de arista.

Como se ha trabajado intensamente con cálculos con números irracionales y el Teorema de Pitágoras, los estudiantes no tienen dificultad en hallar que la altura de un triángulo equilátero de lado 12 cm, mide 6Ö3 cm .

Se les pide que el triángulo pintado de la figura anterior se lo construya en verdadera magnitud.

Para ello empezamos construyendo un triángulo equilátero donde trazamos la altura.

Nos queda trazar ahora un triángulo isósceles de base 12 y de lados iguales 6Ö3 .

El ángulo a calcular es M . Si trazamos la altura desde M nos quedan dos triángulos rectángulos donde podemos aplicar trigonometría elemental.

12

12 12

6Ö3

A

B M

12

6Ö3 6Ö3

A

M

6Ö3

6Ö3

6

( )

( )

2

1 1

2

0 0

6 1

6 3 3

1 3

35, 264 70,53

2

M

M

sen

sen sen sen

M M

- -

= =

æ ö

= ç è ÷ ø

@ Þ @

El triángulo construido en Verdadera Magnitud tiene al menos tres funciones:

- Aprender a construir segmentos irracionales usando regla y compás

- Construir un triángulo obtenido a partir de un cuerpo del espacio, dados sus tres lados

- Controlar que la amplitud del ángulo calculado sea coherente con el ángulo dibujado en el triángulo.

Se hace un trabajo análogo con el octaedro regular

Vemos en la figura anterior el triángulo a construir.

a = 70,53⁰ y c = 109,47⁰ a + c = 180 ⁰

Este hecho es totalmente sorprendente, cabe ser registrado como conocimiento teórico y da posibilidades inéditas para construir nuevos poliedros.

Si juntamos un tetraedro con un octaedro regular haciendo coincidir una cara nos queda un nuevo poliedro de 7 caras como vemos en las dos siguientes figuras.

5^ta clase RELACIÓN DE EULER

Con los modelos como éstos, construidos por los alumnos en cartulina .

El alumno contará las caras, los vértices y las aristas de los poliedros regulares deberá completar la siguiente tabla :

CARAS VERTICES ARISTAS

TETRAEDRO

CUBO 6 8 12

OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

O con modelos estructurales aportados por el docente

Se pedirá a los alumnos que busquen una relación sencilla entre el número de Caras, de vértices y de aristas de cada poliedro.

Se llegará así a descubrir que :

C + V = A + 2

llamada relación de Euler

por ser Euler no quien descubriera esta relación sino por ser quién primero dio una demostración consistente y valiosa de esta fórmula.

¿Pero esta relación será válida sólo para los poliedros regulares?

Investiguemos si algunos poliedros no regulares la cumplen.

pirámide de base prisma triangular pirámide de base cuadrada pentagonal

prisma de base pentagonal

| bipirámide

Como vimos en la página 20 juntando un octaedro y un tetraedro obtenemos un heptaedro al cuál podemos también contarle caras, vértices y aristas .

Si a un octaedro le “pegamos” dos tetraedros, obtenemos :

Si a un octa le pegamos ahora 3 tetraedros :

¿Y si arriba de un cubo le ponemos un cubito?

¿Cumplen todos estos cuerpos la relación de Euler?

6^ta clase ¿Por qué existen solamente 5 poliedros regulares?

Los polígonos regulares son un conjunto de infinitos elementos; sin embargo el conjunto de poliedros regulares , es finito y de cardinal 5.

Cuesta creerlo que podamos contarlos tan sólo con los dedos de una mano:

Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.

¿No es esto asombroso?

Y existe una justificación tan sencilla ...

Veamos :

Si dibujo 3 cuadrados con un vértice común

Si recorto y armo el ángulo, tengo el ángulo poliédrico de un cubo

El ángulo interior de un cuadrado es 90°; en cada vértice concurren tres cuadrados Þ 90 x 3 = 270° es la suma de los tres ángulos

Intentemos formar un ángulo poliédrico con cuatro cuadrados

¿Qué sucede?

No puedo recortar de modo de poder formar un ángulo poliédrico; tengo una superficie plana como los innumerables pisos de baldosas cuadradas sobre los que caminamos todos los días.

90 x 4 = 360° , o sea que para poder formar un ángulo poliédrico la suma de los ángulos de sus caras debe ser estrictamente menor a 360° .

Entonces no puede existir ningún poliedro regular con 4 caras cuadradas concurriendo en un vértice.

Quiere decir, que el único poliedro regular con caras cuadradas es el cubo.

Veamos ahora los poliedros que podemos construir cuyas caras sean triángulos equiláteros.

60°

60°

60°

Si concurren tres triángulos en un vértice , la suma de los ángulos vale 60 x 3 = 180° y 180° < 360°

por lo que tenemos un ángulo poliédrico que corresponde al del un tetraedro regular

Si concurren 4 triángulos en un vértice

60 x 4 = 240° < 360°

tenemos el ángulo poliédrico del octaedro regular

del cuál vemos a continuación 2 representaciones planas diferentes

60°

60°

60°

60°

Si concurren 5 triángulos en cada vértice

Fig 45

60 x 5 = 300° < 360°

tenemos el ángulo poliédrico del icosaedro

Si concurren 6 triángulos en un vértice

Vayamos a los pentágonos

60 x 6 = 360°

Tengo un piso de baldosas triangulares o un recubrimiento plano (o pavimento) .

Por lo tanto no existe ningún cuerpo poliédrico en cuyo vértice concurran 6 triángulos equiláteros .

108° 108°

108°

180 x 3 = 324° < 360°

Con 3 pentágonos regulares en cada vértice tenemos …

El Dodecaedro regular

Con 4 pentágonos

Pasemos a los hexágonos regulares

El ángulo interior del hepágono regular es mayor que 120° que multiplicado por tres supera 360° por lo que no podremos construir ningún poliedro con todas sus caras heptagonales.

Si pasamos al octágono regular su ángulo interior supera al del heptágono y no podremos por la misma razón construir un poliedro; y así sucesivamente ni con nonógonos, decágonos y ningún otro polígono regular de mayor número de lados.

180 x 4 = 432° > 360°

Tenemos dos pentágonos superpuestos

No tenemos ángulo poliédrico alguno

120°

120°

120°

3 hexágonos alrededor de un vértice

120 x 3 = 360°

Se forma un piso de baldosas hexagonales o un panal de abejas pero ningún poliedro

Por lo tanto existe la posibilidad de construir únicamente 5 ángulos poliédricos regulares ; si cada uno de dichos ángulos corresponde a un único cuerpo tenemos entonces que existen solamente 5 poliedros regulares.

Los 5 poliedros regulares han causado fascinación a pensadores y científicos a lo largo de la historia.

Platón estableció una correspondencia biunívoca entre la materia y ellos.

Los tetraedros constituían el fuego.

El cubo se lo asociaba con la Tierra.

Al octaedro le correspondía el viento.

Los icosaedros formaban el agua El dodecaedro representaba al universo.

Kepler creyó encontrarlos entre las órbitas de los planetas y al haber 5 poliedros dedujo que sólo podía haber 6 planetas (Mercurio, Venus, Tierra, Marte , Júpiter y Saturno).

Más de 100 años después de su muerte se descubrió el séptimo planeta: Urano que tiró por tierra la relación entre los planetas y los poliedros.

Pero esta relación si bien falsa no fue estéril: la fascinación que estos casi mágicos cuerpos produjeron en Johan Kepler, inspiraron de tal manera al gran astrónomo en el estudio de las órbitas de los planetas, que lo llevaron a descubrir

sus famosas 3 leyes del movimiento planetario.

Pero más allá de la historia, de la fascinación, de lo estético y de la magia, existen poderosas razones matemáticas, didácticas y epistemológicas para abordar en nuestros cursos el estudio de estos 5 cuerpos.

7^ta clase EL PUZZLE Y EL VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

Se les pide a los alumnos que como tarea domiciliaria construyan en cartulina una pirámide cuyo desarrollo sea :

Se debe por supuesto dibujar alternativamente en cada borde externo una aleta sí y una no ; en este desarrollo se deberán dibujar 4 para poder pegarlo.

Una vez armada la pirámide podrá verse (entre otras vistas) así :

7

7

7 7

7

7 cm 7Ö2

7Ö2

Se le pide a los alumnos que trabajen en parejas y que con 2 pirámides (una de cada alumno) formen nuevos poliedros , que determinaremos contándoles el número de caras, vértices y aristas.

Aquí se muestran todos los posibles poliedros convexos que podemos obtener:

1) un pentaedro (pirámide de base rectangular)

Juntamos dos pirámides

Aquí tenemos una posible representación del nuevo poliedro obtenido.

(se puede obtener en Cabri 3D haciendo una reflexión de la pirámide respecto a la cara que se hizo coincidir en la primera figura y que luego se eliminó)

Eliminamos caras, aristas y vértices interiores al poliedro

2) otro pentaedro (haremos los tres tipos de representaciones como en 1)

3) un hexaedro (una bipirámide)

(cuerpo obtenido en Cabri 3D haciendo una reflexión de una pirámide con el plano de la base cuadrada de ella)

4) un heptaedro

5) un octaedro

( Se puede obtener efectuando una simetría central de la pirámide cuyo centro es el centro del cuadrado)

Un heptaedro no convexo

Se podrá investigar si en todos los casos se cumple o no la Relación de Euler.

Se pide a continuación que se formen ternas de alumnos y se les pide que formen un nuevo cuerpo pero esta vez con 3 pirámides.

Rápidamente los alumnos juntan sus tres pirámides de esta forma:

Y forman :

Un cubo de arista 7 cm .

Visualizan y se convencen rápidamente que las tres pirámides forman un cubo y que por lo tanto el volumen de cada una de ellas es la tercera parte del volumen del cubo.

Puesto que el volumen de un cubo de arista “

a

” es :

V

cubo =

a.a.a

=

a

³

Þ V

pirámide

= a

³

3

y de esta forma sin haber hecho

una demostración formal , pero habiendo hecho una construcción significativa, descubren que funciona la fórmula :

} } . . 3

area base altura

piramide

a a a

V =

. 3

Base piramide

piramide

Area Altura

V =

8^va clase Volumen aproximado de los 5 poliedros regulares

Abordaremos ahora la cuestión de los volúmenes de los cuerpos construidos en cartulina; revalorizando el valor de las aproximaciones como:

· lo naturalmente más accesible para quienes aprendemos

· es lo que le hará resaltar luego, el valor del cálculo exacto

· permite comprobar resultados al comparar resultado exacto con aproximado y evaluar su concordancia

El cálculo de los volúmenes se hará en esta instancia “midiendo” todo lo que sea necesario ; el cálculo exacto se efectuará más adelante en el curso cuando se disponga de más elementos teóricos y se cotejarán por supuesto dichos resultados con éstos.

Se pide a los alumnos que formen (o los forma el profesor) grupos de 3 alumnos.

Cada grupo dispone de tres poliedros regulares de cada tipo (construidos en la 3^erclase) Se anuncia la actividad y se promete una nota de excelente al grupo que obtenga los valores de los volúmenes más precisos.

Volumen del Tetraedro

Una vez medida la altura del tetraedro pueden calcular su volumen con la fórmula anterior .

Volumen del Cubo

Unico que calculamos aquí en forma exacta Vcubo = 8.8.8 = 512 cm³

El tetraedro es una pirámide de base triangular por lo que podemos usar la fórmula de la página 38 .

La arista del tetraedro es 12 cm y el área de la base pueden calcularla en forma exacta ya que se trata de un triángulo equilátero (visto en clase 2).

La altura del tetraedro es la distancia entre el plano de la base y un plano paralelo a éste por el vértice superior.

Volumen del Octaedro

Volumen del Dodecaedro

Para calcular este volumen nos enfrentamos a una dificultad mayor pero la increíble simetría tanto del dodecaedro como del icosaedro nos dan una mano

Un plano como el que vemos en la figura divide al octaedro en dos pirámides congruentes o iguales.

Bastará medir la altura de cada pirámide (es la mitad de la distancia entre dos vértices opuestos) para

calcular el volumen de cada una; luego multiplicando por 2 tenemos el

volumen del octaedro de arista 10 cm.

El dodecaedro puede ser descompuesto en 12 pirámides congruentes!!

La base de cada pirámide es una cara del poliedro y su vértice el centro del dodecaedro.

Si podemos calcular el volumen de una pirámide, simplemente multiplicando por 12 tendremos el volumen del dode.

Midiendo la distancia entre dos caras opuestas tendremos dos alturas de dichas pirámides de bases pentagonales ; es decir que dividiendo entre dos la distancia entre dos caras opuestas tenemos la altura de la pirámide ; el área del pentágono podemos calcularlo como en la clase 2 y así tenemos todos los datos para poder calcular el volumen del dode de arista 4 cm.

Volumen del Icosaedro

Con el mismo razonamiento que para el dodecaedro podemos descomponer el

icosaedro en 20 pirámides congruentes de base triangular , cuyo vértice es el centro del poliedro.

Midiendo la distancia entre dos caras opuestas tendremos dos alturas de pirámides es decir que como en el caso del Dode podemos hallar el volumen de una de dichas pirámides y luego multiplicando por 20 tenemos el volumen del Icosa.

Veamos los resultados que produjeron midiendo y calculando nuestros alumnos:

TETRA CUBO OCTA DODE ICOSA GRUPO 1 205,4 512 cm³ 471,4 505,6 493,6 GRUPO 2 204,8 512 cm³ 471,4 467,5 447,2 GRUPO 3 201,6 512 cm³ 490 602,0 493,3 GRUPO 4 207,8 512 cm³ 460 506 416 GRUPO 5 203,7 512 cm³ 471,4 440,4 587,2

Observamos que tres grupos hallaron la manera de calcular en forma exacta el volumen del octaedro, única forma en que los resultados pueden coincidir .

¿ Pero cómo determinar en esta fase quienes estuvieron más cerca del valor exacto para los otros poliedros?

Recurriremos nuevamente a CABRI 3D que nos permite medir el volumen de poliedros.

Observamos que para el

volumen del Tetra quien estuvo más cerca fue el Grupo 5 que en realidad encontró la forma de calcularlo en forma exacta.

Pero cabe destacar también, la precisión de los otros grupos que cometieron errores menores al 2%

Como ya se dijo el Grupo 1, 2 y 5 encontraron la forma de efectuar el cálculo exacto que con

aproximaciones a una cifra decimal les dio 471,4 cm³ Los otros grupos obtuvieron valores con errores en el entorno de 2% y 8 %

Vemos aquí que los errores

aumentaron. Los errores estuvieron entre el 4,7% (Grupo 2) hasta un 22,7% .

El valor que nos da CABRI 3D es mucho más preciso que el de

cualquiera de los equipos pero como la arista la ajustamos con el ratón es imposible hacerla exactamente 4 cm, lo que hace que haya un pequeño error de menos de 0.5 %.

Cuando obtengamos el valor exacto con radicales, veremos como

podemos, también con CABRI 3D obtener este valor exacto.

En este caso los errores van en un rango similar al caso del Dode. Los Grupos 1 y 3 fueron quienes estuvieron más cerca del valor exacto.

La medida de los volúmenes de los poliedros regulares de arista entera o racional es un número irracional (a excepción del cubo) cuadrático de expresión sencilla.

Encontraremos estos valores exactos más adelante como también la manera que CABRI 3D nos los proporcione.

Con un valor aproximado y dos exactos, se habrá hecho un aprendizaje significativo y perdurable de este tema.

9^na clase DESCUBRIENDO EL TEOREMA DE THALES

El teorema de Thales junto al Teorema de Pitágoras constituyen los dos pilares sobre los cuales se apoyan los cálculos en geometría ; saber emplearlos por separado permite obtener resultados importantes pero si los empleamos conjuntamente nuestra capacidad de efectuar cálculos se multiplica considerablemente.

Si bien el Teorema de Pitágoras es bien conocido y ampliamente empleado por nuestros alumnos no sucede así con el Teorema de Thales.

¿Por qué?

Seguramente esto responde a múltiples razones que merecerían un profundo trabajo de investigación ; yo simplemente haré referencia a una posible causa.

En lugar de enunciar este teorema como la propiedad que dos triángulos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes tienen entonces sus lados respectivamente

proporcionales, se prefiere enunciar una generalización con un haz de rectas paralelas (donde hay en lugar de dos, varios triángulos semejantes) , cuya demostración hace uso de conceptos extravagantes para los alumnos (como los isomorfismos) , no utiliza

herramientas válidas para ellos y por lo tanto no convence a nadie.

Tal es el grado de inutilidad de dicha demostración que incluso en los mismos

programas se recomienda no darla, cayendo así en una nueva contradicción: que en un curso de geometría donde se intenta enseñar al alumno a demostrar proposiciones y a valorar el proceso de validación, se deja sin demostración uno de los pilares de la geometría y de la matemática.

Este enfoque erróneo del Teorema de Thales (en cuánto a su enunciado y su

demostración) hace que al carecer los docentes de elementos teóricos para convencer a sus alumnos de su validez, abandonen su aplicación y uso (restringiéndolo tan sólo a casos elementales) , desperdiciando así toda la potencia que nos puede brindar como herramienta de cálculo, de descubrimiento de propiedades y validación de ellas.

El descubrimiento de este Teorema se inicia en la sala de Informática con CABRI II PLUS

Veamos paso a paso las figuras que les pedimos a los alumnos que construyan

Les pedimos que construyan un triángulo ABC escaleno (que se perciba claramente que los tres lados miden diferente) . Se les pide que tracen la semirrecta AB y la semirrecta AC .

Sobre la semirrecta AC tomamos un punto E y por dicho punto trazamos una recta paralela a BC . Esta recta corta a AB en el punto F .

De este modo EF ïï BC .

Se ocultan las semirrectas AC , AB y la recta paralela a BC.

Se construye el triángulo AEF.

Se define un punto O y un ángulo -100⁰ .

Se efectúa la rotación del triángulo AEF con centro O y ángulo -100⁰ (sentido horario) y obtenemos el triángulo PQR

Se oculta el triángulo F y el triángulo EFA y se miden los lados de ABC y PQR como puede verse en la figura.

C

A B

E

P

R

Q

5,19 cm 6,67 cm

7,50 cm

13,21 cm

11,75 cm 9,14 cm

C

A B

E

P

R

Q

5,19 cm 6,67 cm

7,50 cm

13,21 cm

11,75 cm 9,14 cm

Resultado: 1,76 Resultado: 1,76

Resultado: 1,76

Se efectúan los cocientes PR / AC , PQ / AB y QR / BC y se comprueba que son iguales , en el caso de nuestra figura 1,76 .

Muevo el punto E y vemos que sucede .

El triángulo de la izquierda no varía en sus dimensiones mientras que el de la derecha sí varía ; los tres cocientes varían pero siguen siendo iguales entre sí ; pasan de valer 1,76 a valer 1,59 .

Podemos hacer variar E obteniendo infinitos triángulos PQR diferentes, pero todos semejantes al ABC ; en todos los casos podremos comprobar la conservación de la razón entre lados correspondientes ; los alumnos pueden descubrir de este modo la proporcionalidad entre lados correspondientes de triángulos semejantes de una forma categórica y convincente . Cada alumno comprueba esta trascendental propiedad en su propia computadora con su propia figura y el hecho que en cada computadora haya triángulos diferentes, pero que en todas se cumpla lo mismo refuerza aún más la validez de la propiedad.

Se procede a continuación a plantear la siguiente cuestión :

El profesor oculta el valor de la razón , de QR y de AC ; se mueve E y se le les pregunta a los alumnos si podrían calcular la medida de QR y de AC .

C

A B

E

P

R

Q

5,19 cm 6,67 cm

7,50 cm

11,93 cm

10,61 cm 8,25 cm

Resultado: 1,59 Resultado: 1,59

Resultado: 1,59

Trabajamos en este momento con 1 sola computadora (la del profesor o la de algún alumno) para que todos los alumnos puedan obtener exactamente los mismo valores para QR y AC .

Los alumnos encuentran rápidamente diferentes estrategias para hallar QR y AC ; una vez que tienen los resultados chequeamos su validez “desocultando” las medidas de QR y AC que nos da la computadora.

Es de destacar que la gran mayoría consigue, por diferentes procedimientos, calcular correctamente la medida de ambos segmentos.

Algunos simplemente plantean una regla de 3 , otros hallan primero el coeficiente de proporcionalidad y luego la medida de los lados , otros pueden plantear la igualdad de razones.

Independientemente de la formalización, que en esta etapa no es importante, lo que realmente cuenta es que los alumnos descubren en forma significativa la

proporcionalidad entre lados de triángulos semejantes y elaboran un procedimiento para calcular lados de triángulos , aplicando esta propiedad.

C

A B

E

P

R

Q 6,67 cm

7,50 cm

12,63 cm

8,74 cm

Clase 10 DEMOSTRANDO EL TEOREMA DE THALES

La demostración de un teorema es indudablemente un aspecto muy importante de la actividad matemática; nadie pone en duda esto.

El tema que hay que aclarar sin embargo es que primeramente viene el descubrimiento, luego la aplicación y en tercer lugar la demostración.

Esto no es un orden jerárquico que pretende valorar más un aspecto que el otro ; es tan sólo un orden cronológico.

Es decir naturalmente luego de diversas experiencias y reflexiones sobre ellas, surge una propiedad desconocida hasta entonces o sea aparece el descubrimiento (o la invención) ; como medio de probar su utilidad y su veracidad se la aplica a determinadas situaciones o problemas ; una vez que se adquiere a través de las aplicaciones el convencimiento de la veracidad de la propiedad se intenta dar una validación más general que trascienda los ejemplos, es decir la demostración .

La demostración será el vehículo necesario para pasar de una certeza personal sobre la veracidad de una propiedad, a una certeza colectiva compartida por muchos.

En la clase anterior se ha descubierto el Teorema de Thales y con el Práctico “Cálculos aplicando Thales” se aplica, se comprueba y se consolida este descubrimiento sobre la proporcionalidad de triángulos semejantes .

Nos queda pues intentar dar una justificación teórica (demostración) que dé respuesta a ¿Por qué esta maravillosa propiedad es cierta?

Un por qué que busca causas, es decir razones hacia atrás .

Si un alumno pregunta “¿Por qué el Teorema de Thales es cierto?” puede que esté buscando una demostración pero con mayor probabilidad (en un primer contacto con el teorema) simplemente quiere saber “por qué decimos que el teorema funciona” o sea quiere entender las consecuencias del teorema , darse cuenta por qué las aplicaciones concuerdan con el enunciado de la propiedad.

Tampoco es necesario presionar demasiado a los alumnos ya que la necesidad de buscar razones para atrás y la necesidad de la demostración surge naturalmente en el

estudiante; eso sí, si los dejamos recorrer (y los acompañamos) las etapas necesarias paso a paso, sin saltos y sin anteponer nuestra necesidad de demostrar a sus procesos cognitivos.

La demostración que intentaremos aquí se basa en la que figura en “Los Elementos” de Euclides y que aparece en la página 103 del libro de Matemática Nuevo Gauss de 3 ^ro de Belcredi, Zambra , editado en Montevideo en el año 2000.

Partimos de la definición : si dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes decimos que dichos triángulos son semejantes.

Efectuando alguna isometría podemos hacer coincidir el ángulo de vértice P con el de vértice A o el de vértice Q con el B o el R con el C .

Veamos como quedaría : ÐA = Ð P

C

B PA

R

Q

C

B A

P

R

Q

ÐC = Ð R

ÐB = Ð Q

Como Ð R = Ð C implica por recíproco de ángulos correspondientes AC ççPR C

A B

P

R

Q

C

B P A

R

Q

y de la misma forma tenemos en los otros dibujos que AB ççPQ y BC ççQR

Dos triángulos con sus tres ángulos respectivamente congruentes siempre los podemos llevar a cualquiera de estas tres configuraciones.

TEOREMA DE THALES

Si dos triángulos son semejantes entonces los lados de uno de ellos son respectivamente proporcionales a los lados del otro triángulo.

Puesto que dos triángulos semejantes pueden siempre ser llevados a alguna de las tres posiciones anteriores haremos la demostración en una de dichas figuras

Hipótesis Tesis

ABC » PQR RP = RQ = PQ CA CB AB

Demostración

Apliquemos una isometría al triángulo PQR de modo que C=R .

Como ÐC = Ð R tenemos que C , B y Q alineados y C , A y P alineados Como Ð A = Ð B por recíproco de alternos internos AB ççPQ

C

B

A

P

R

Q

Observemos los triángulos ABP y ABQ . Dichos triángulos tienen la misma segmento AB como base . La altura pues de ABP es la distancia de P a la recta AB y la altura de ABQ es la distancia de Q a AB . Puesto que PQ ççAB podemos afirmar que el área de ambos triángulos son iguales.

Esto es

A

ABP =

A

ABQ

Si a cada de los antedichos triángulos le agregamos el triángulo ABC tendremos entonces que :

A

CBP =

A

CAQ

Que ilustramos en la siguiente figura C

B

A

P

R

Q

Tracemos la altura de A (h1) y la altura de B (h2) en el triángulo ABC

C

B

A

P

Q

C

B

A

P

Q h1

h2

Dijimos que

A

CBP =

A

CAQ CP x h2 = CQ x h1 2 2 El área de ABC podemos CA x h2 = CB x h2 escribirla de dos formas 2 2

Si dividimos miembro a miembro estas dos

Igualdades se eliminan los 2 , h2 y h1 y obtenemos CP = CQ CA CB

Pero C = R

RP = RQ

que constituye la primera parte de la tesis

CA CB

Pero si hacemos coincidir el punto B con el punto Q , de una forma análoga obtenemos :

RP = RQ = PQ

CA CB AB

lo que constituye la tesis.

C

B P A

R

Q

RQ = PQ

CB AB

En la clase 1 se enseñó a construir el pentágono regular usando regla y compás y se dijo que la justificación vendría más adelante en el curso.

En este punto cabe señalar que están dados todos los elementos para producir esta justificación : por un lado ya se calcularon los ángulos del pentágono regular , luego en el ejercicio 7 del práctico de Cálculos con Pitágoras se trabaja con la construcción

auxiliar que se usa para hallar el número de oro del lado del pentágono y finalmente con el ejercicio 9 del práctico cálculos aplicando Thales se concluye que la medida de la diagonal del pentágono regular en función de su lado es precisamente el número de oro.

Toda la construcción del pentágono paso a paso tanto en el algoritmo del procedimiento como en su justificación y también su valor epistemológico, se encuentran desarrollados al detalle en el libro “Diario de un Profesor de Matemática” de Bernardo Camou,

editado en Montevideo en agosto de 2006.

Clase 11 APORTES DEL PENTÁGONO REGULAR A LA TRIGONOMETRÍA

En la clase 2 calculamos la medida de los ángulos interiores del pentágono regular y de los triángulos que quedan determinados al trazarle dos diagonales.

Aparecen allí dos triángulos isósceles diferentes : uno acutángulo con ángulos de 72⁰, 72⁰ y 36⁰ y otro obtusángulo con ángulos de 36⁰, 36⁰ y 108⁰ .

Es bastante conocido como los valores exactos (con radicales) de sen 30⁰ , cos 30⁰ , tg 60⁰, sen 60⁰ , cos 60⁰ , tg 60⁰ se obtienen con un triángulo equilátero y sen 45⁰ , cos 45⁰ y tg 45⁰ con un cuadrado por lo que no se entrará en detalles aquí de ello (aunque forma parte del curso) , pero es poco conocido cómo se pueden obtener utilizando radicales el seno, coseno y tangente de 18⁰, 36⁰ , 54⁰ y 72⁰ , ángulos que provienen del pentágono regular.

Repetiremos aquí una parte de la justificación de la construcción del pentágono (la que utiliza el Teo de Thales) para aplicarla a la trigonometría.

Trabajemos ahora con el triángulo central en verde

He aquí la figura de la página 7

A E

O

J 36°

36°

36° 72°

Dibujamos la bisectriz de  que corta OE en el punto J .

Fácilmente notamos que tenemos tres triángulos isósceles : AEO , AOJ y AEJ . Además AEJ es semejante con AEO ya que tienen ángulos congruentes o iguales.

Por lo tanto sus lados son proporcionales . Supongamos que AE = 1 (el lado del pentágono)

y el lado desconcido AO =

x

(la diagonal del pentágono)

En función de

x

y 1 ¿Cuál es la longitud AJ y JE ?

108 108

36

36

36

36 72

72 36

Como AEJ es isósceles AJ =AE =1

y como AO= OE = x y OJ=1 entonces JE = x-1

El triángulo AEO es semejante con el AEJ ,por lo que podemos escribir la siguiente ecuación :

1

1 1

x

= x

-

que es equivalente a:

x

²

- x - 1 = 0

Esta ecuación cuadrática tiene dos raíces que son :

₁

1 5

₂

1 5

2 y 2

x = + x = -

La segunda raíz, siendo un número negativo no puede ser la medida de la diagonal por lo que se debe descartar, pero la primera raíz es la solución a nuestro problema.

Lo que quiere decir que la diagonal de un pentágono regular de lado 1 es:

1 5 2 +

Si la longitud del lado del pentágono es

c

en lugar de 1 entonces la longitud de de la diagonal será simplemente :

1 5 2 æ + ö

ç ÷

è ø ^c

A E

O

J x

1 1

1

x-1

Este número es famoso no sólo en matemática sino también en arte, en arquitectura e incluso en biología.

Se le designa por la letra griega f (phi) y también es conocido como el número de oro o la proporción aúrea.

f =

1 5 2

+

puede ser definido de muchas maneras pero la más fundante, científica y significativa es que f es la longitud de la diagonal de un pentágono regular en función de su lado.

He aquí los tres triángulos en que se puede descomponer todo pentágono regular de lado 1 ; conocemos pues la medida de sus ángulos y de sus lados en forma exacta.

1 1

36⁰ 36⁰

108⁰ 108⁰ 36⁰

1

1

36⁰

360

72⁰ 72⁰

1

1+ 5 2

1+ 5

2

Tomemos en primer lugar el triángulo isósceles obtusángulo :

Para poder calcular sen 36⁰ debemos calcular el otro cateto del triángulo rectángulo de 36⁰ y 54⁰.

Aplicamos para ello el teorema de Pitágoras

Trazamos la altura del triángulo isósceles que lo divide en dos triángulos congruentes.

Como el lado mayor era

j

, entonces cada porción queda

=^{1+ 5}

2 4

j

⁰

1 5

cos 36 4

1 +

=

⁰ 1 5 cos 36

4

= +

⁰ 1 5 sen 54

4

= +

²

16 6 2 5

x = - - 16 Þ

²

10 2 5 10 2 5

16 4

x = - Þ x = -

0

10-2 5 sen 36 = 4

Þ 1 Þ ⁰

10 2 5

sen 36 =

4

-

⁰

10 2 5

cos54

4

= -

Calculemos ahora la tangente :

( )

10-2 5

0 4

1+ 5 2

4

10 2 5 10 2 5 10 2 5 10 2 5

tg 36 = = = = =

1+ 5 1+ 5 6+2 5 6+2 5

- - - -

multipliquemos por la conjugada del denominador:

0

10 2 5 5 5 (5 5)(3 5) 20 8 5

tg 36 = 5 2 5

6+2 5 3+ 5 (3 5)(3 5) 4

- = - = - - = - = -

+ -

( ( ) ) ( )

2 2 1 5 2

4 1 5 2 5 2

16 6 2 5 2

16

1 1 1 x

x x

+

+ +

+

= - Þ

= - Þ

= -

tg 36

⁰

= 5 2 5 -

⁰

1+ 5 4 1+ 5

tg 54 = =

10-2 5 10-2 5 4

y con un trabajo análogo

llegaremos a que ⁰

25 10 5 tg 54 =

5 +

Tomemos ahora el triángulo isósceles acutángulo y tracemos la altura que lo divide en dos triángulos congruentes :

0 12

1 5

4

1 1 5 1 5 1

cos 72

1 5 1 5 5 1 4

+

- -

= = = ´ =

+ + -

⁰

5 1 cos 72

4

= -

Þ

⁰

5 1 sen 18 =

4 -

Calculando la altura del triángulo isósceles como lo hicimos para el otro triángulo podremos obtener los siguientes valores para el sen 72⁰ y el cos 18⁰

⁰

10+2 5 sen 72 =

4

⁰

10+2 5 cos18 =

4

y luego los valores de las tangentes

⁰

25 10 5

tan18 =

5

-

tan 72 =

⁰

5 + 2 5

Hemos hallado así seno, coseno y tangente de 4 ángulos notables que provienen simplemente de la construcción con regla y compás del pentágono regular!!

Clase 12 DE LA TRIGONOMETRÍA A LA FÓRMULA DE HERÓN

Antes de conocer la trigonometría , para calcular el área de un triángulo cualquiera el alumno debía medir una base y su altura correspondiente.

El disponer de las funciones trigonométricas nos permite “calcular” las alturas si se conocen la medida de los lados y de los ángulos del triángulo.

En efecto el Area de este triángulo ABC puede calcularse con la operación BC .

x

2 siendo “

x

” la altura del vértice A .

sen C = x x = b . sen C b

BC =

a ,

por lo que sustituyendo BC y

x

por estas otras expresiones se obtiene:

A

B C

c b

a x

A =

a. b.senC

que podemos escribir también como A = 1

ab senC

2 2

Evidentemente si trabajamos con otra base y otra altura el resultado será similar por lo que podemos escribir que el área de un triángulo puede calcularse siempre como:

A = ab senC = ac senB = bc senA 2 2 2

Este resultado es muy práctico y útil para calcular el área de un triángulo y podemos con él obtener una aproximación decimal del área tan exacta como nos permitan los instumentos que utilicemos llámese calculadora o computadora.

Pero avancemos un poco más .

Supongamos que tenemos un triángulo de lados 7, 9 y 12 cm.

El triángulo está perfectamente determinado por lo que podemos calcular su área.

¿Cómo? Un procedimiento es calculando algún ángulo con el Teo del Coseno y luego aplicar la fórmula que está en esta página más arriba.

Otro procedimiento sin calcular ningún ángulo es :

Trabajar con dos incógnitas “x” e “y” y plantear Pitágoras en cada uno de los triángulos rectángulos ; se obtiene así un sistema donde se calcula la altura “y” del triángulo y como la base es conocida (12 cm) podemos calcular su área.

9

7

12

y

x

12-x

Pero hay un tercer procedimiento que es más efectivo que estos dos anteriores, ya que rápida y fácilmente nos proporciona el área y además pone en evidencia (en el caso que la medida de los lados sean números enteros como en nuestro ejemplo o racionales) que el área se puede expresar siempre, como la raíz cuadrada de un número racional.

Este procedimiento es la llamada Fórmula de Herón.

Esta dice lo siguiente :

Llamemos “p” al semiperímetro del triángulo ABC . O sea p = a+ b+ c

2

Entonces el área puede calcularse :

A = p p a p b p c ( - )( - )( - )

Apliquemos esta fórmula al triángulo ABC de nuestro ejemplo p = 12 + 9 + 7 = 14 p - a = 14 - 12 = 2 2

p - b = 14 - 9 = 5 p - c = 14 - 7 = 7

A = 14.2.5.7

Þ

A = 14.14.5

Þ A = 14 5 cm

²

Vemos con qué simplicidad obtenemos el valor exacto del área del triángulo!!

Esta expresión podemos corroborarla incluso usando CABRI 3D v2 . Veamos cómo :

Mediante el útil “calculadora” escribimos la medida de los lados: 12, 9 y 7 cm.

Sobre una semirrecta transferimos el valor 12 cm ; así el segmento que se observa en la figura mide 12 cm.

Con la herramienta “circunferencia” trazamos una circunferencia de centro uno de los puntos y radio 9 cm y otra de centro el otro punto y radio 7 cm ; hallamos entonces los puntos de intersección de ambas circunferencias como se puede ver en la figura .

Finalmente utilizando la herramienta “triángulo” lo trazamos , ocultamos todo lo que ya no necesitamos y con la herramienta correspondiente , hallamos el área del triángulo.

Comprobamos cómo el programa nos da exactamente el mismo valor que habíamos ya obtenido con la fórmula de Herón.

¿Cómo podemos deducir esta fórmula que parece un tanto mágica?

Escribamos p-a , p-b y p-c de otra forma :

2

2 2 2

a b c a b c a b c a

p - = a + + - = a + + - = + -

análogamente podemos deducir que:

2 a c b

p - = b + -

y que

2 a b c p - = c + -

Partamos ahora de la formula de la página 68 : A =

bc senA

2

2 2 2 2 2 2

(1 cos )

4 4

b c sen A b c A

A A -

Þ = Þ = Þ

2 2

(1 cos )(1 cos ) (1 cos ) (1 cos )

4 2 2

b c A A bc A bc A

A = + - Þ A = + × -

Por Teo de Coseno :

2 2 2 2 2 2

cos 1 cos 2

2 2

b c a bc b c a

A A

bc bc

+ - + + -

= Þ + =

2 2

( ) ( )( )

1 cos 1 cos

2 2

b c a b c a b c a

A A

bc bc

+ - + - + +

+ = Þ + =

Trabajando análogamente con “1-cosA” podremos llegar a que :

2 2

( ) ( )( )

1 cos 1 cos

2 2

a b c a b c a c b

A A

bc bc

- - + - + -

- = Þ - =

Sustituimos ahora las expresiones obtenidas de “1+cosA” y “1-cosA” en la fórmula de área de la página anterior :

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

b c a b c a a b c a c b

bc bc

bc bc

A

+ - + + + - + -

= ×

cancelamos “bc”

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

b c a b c a a b c a c b

bc bc

bc bc

A

+ - + + + - + -

= ×

esto lo podemos escribir :

2 2 2 2

a b c b c a a c b a b c A æ + + öæ + - öæ + - öæ + - ö

= ç è ÷ç øè ÷ç øè ÷ç øè ÷ ø

pero de acuerdo a lo visto anteriormente (pág 70) cada paréntesis lo podemos expresar usando el semiperímetro “p” por lo que obtenemos :

A = p p a p b p c ( - )( - )( - )

Clase 13 EL CÁLCULO EXACTO DEL VOLUMEN DEL TETRAEDRO Y DEL OCTAEDRO REGULAR

Curiosamente el volumen del tetraedro regular plantea más desafíos que el del octaedro que es extremadamente sencillo.

De todos modos comenzaremos con el volumen del tetraedro intentando además de efectuar el cálculo propiamente dicho de justificar dichos cálculos de modo de tener más elementos para luego, poder abordar el problema de calcular el volumen de un tetraedro no regular, es decir un tetraedro cualquiera.

DEFINICIÓN

“Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de intersección de dicha recta con el plano”