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Sucesiones ortonormales en espacios de Hilbert

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Academic year: 2022

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Sucesiones ortonormales en espacios de Hilbert

En este tema suponemos que H es un espacio de Hilbert.

1 Proposici´on (criterio de convergencia de una serie cuyos sumandos son ortogonales a pares). Sea (xk)k∈N una sucesi´on ortogonal en H. Entonces la serie P

k=1xk converge si, y solo si, la serie P

k=1kxkk2 converge.

2 Corolario. Sea (ak)k∈N una sucesi´on ortonormal en H y sea (λk)k∈N una sucesi´on en C. Entonces la serie P

k=1λkak converge si, y solo si, la serie P

k=1k|2 converge.

3 Proposici´on (desigualdad de Bessel). Sea (ak)k∈N una sucesi´on ortonormal en H y sea v ∈ H. Entonces

X

k=1

|hv, aki|2 < +∞.

4 Proposici´on (sobre el subespacio cerrado generado por un conjunto de vectores). Sean X un subconjunto de H, S el subespacio vectorial generado por X, W la cerradura de S.

Entonces W es el m´ınimo entre los subespacios cerrados que contienen a X.

Demostraci´on. Primero mostremos que W es un subespacio vectorial de H. En efectro, si x, y ∈ W , ε > 0, entonces existen a, b ∈ S tales que kx − ak < ε/2, ky − bk < ε/2, luego k(x + y) − (a + b)k < ε y a + b ∈ S. Como ε es arbitrario, x + y ∈ clos(S) = W .

Sea Y un subespacio cerrado de H tal que X ⊆ Y . Entonces S ⊆ Y y W ⊆ Y .

5 Proposici´on (proyecci´on ortogonal de un vector sobre el subespacio cerrado generado por una sucesi´on ortonormal). Sea (ak)k∈N una sucesi´on ortonormal en H. Denotemos por S al subespacio ceerrado generado por {ak: k ∈ N}. Pongamos

λk:= hv, aki, u :=

X

k=1

λkak, w := v − u.

Entonces v = u + w, u ∈ S y w ∈ S.

Demostraci´on. Por la desigualdad de Bessel (Proposici´on 3), P

k=1k|2 < +∞. Por el Corolario2, la serieP

k=1λkakconverge. Pongamos sm := P

k=1λkak. Entonces para cada m en N tenemos sm ∈ S, luego u ∈ S. Adem´as, si j ∈ N y m ≥ j, entonces

hsm, aji =

m

X

k=1

λkδk,j = λj = hv, aji.

Sucesiones ortonormales en espacios de Hilbert, p´agina 1 de 2

(2)

Pasamos al l´ımite cuando m → ∞ y concluimos que hu, aji = hv, aji, esto es, hw, aji = 0.

Como j es arbitrario, obtenemos que w ∈ S.

6 Corolario. En las condiciones de la Proposici´on 5, kvk2 = kuk2+ kwk2 =

X

k=1

|hv, aki|2+ kwk2.

7 Corolario. En las condiciones de la Proposici´on 5, las siguientes condiciones son equi- valentes:

(a) v ∈ S;

(b) existe una sucesi´on (ξk)k∈N en C tal que v =

X

k=1

ξkak;

(c) v =

X

k=1

hv, akiak;

(d) kvk2 =

X

k=1

|hv, aki|2.

8 Teorema (criterio para que una sucesi´on ortonormal sea una base del espacio de Hilbert). Sea (ak)k∈N una sucesi´on ortonormal en H. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) clos(`{ak: k ∈ N}) = H;

(b) para cada v en H existe una sucesi´on (ξk)k∈N en C tal que v =

X

k=1

ξkak;

(c) para cada v en H, v =

X

k=1

hv, akiak;

(d) para cada v en H, kvk2 =

X

k=1

|hv, aki|2.

(e) {ak: k ∈ N}= {0H}.

Sucesiones ortonormales en espacios de Hilbert, p´agina 2 de 2

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