Matriz de Gram
Objetivos. Definir la matriz de Gram de una lista de vectores en un espacio con producto interno. Conocer sus propiedades b´asicas.
Requisitos. Espacios con producto interno, listas ortogonales y ortonormales de vectores, bases ortonormales, matriz adjunta.
1. Definici´on (matriz de Gram de una lista de vectores en un espacio con producto interno). Sean V un espacio vectorial con producto interno, A = (a1, . . . , am) una lista de vectores en V . La matriz de Gram de la lista A es la matriz de todos los productos internos de los vectores de esta lista:
G(a1, . . . , an) :=hai, ajim i,j=1. 2. Ejemplo. En el espacio P(R) con el producto interno
hf, gi = 1 2
1
Z
−1
f (x)g(x) dx
consideremos la lista de los monomios e0, e1, e2:
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2. Calculemos todos los productos internos:
he0, e0i = 1, he0, e1i = 0, he0, e2i = 1 3, he1, e0i = 0, he1, e1i = 1
3, he1, e2i = 0, he2, e0i = 1
3, he2, e1i = 0, he2, e2i = 1 5. De all´ı
G(e0, e1, e2) =
1 0 13 0 13 0
1 3 0 15
.
3. Ejercicio. En el caso real, la matriz de Gram es sim´etrica:
G(a1, . . . , am)> = G(a1, . . . , am).
4. Ejercicio. En el caso complejo, la matriz de Gram es hermitiana (en otras palabras, autoadjunta), es decir,
G(a1, . . . , am)> = G(a1, . . . , am).
Matriz de Gram, p´agina 1 de 3
5. Observaci´on. Una lista de vectores es ortogonal ⇐⇒ su matriz de Gram es dia- gonal.
6. Observaci´on. Una lista de vectores es ortonormal ⇐⇒ su matriz de Gram es la matriz identidad.
7. Proposici´on (c´alculo de la matriz de Gram en el caso de dimensi´on finita).
Sean V un EV de dimensi´on finita n, B una base ortonormal de V , A = (a1, . . . , am) una lista de vectores en V . Denotemos por C a la matriz de la lista A respecto la base B:
C = AB =(a1)B, . . . , (am)B,
as´ı que la j-´esima columna de C consta de las coordenadas del vector aj con respecto a la base B:
aj =
n
X
i=1
Ci,jbi. Entonces
G(A) = C∗C,
donde C∗ es la matriz adjunta (transpuesta conjugada) de la matriz C.
8. Ejemplo. En el espacio R4 consideremos la lista de vectores
a1 =
1
−2 2 3
, a2 =
3
−1 0 2
, a3 =
4 5
−2
−4
.
En este caso la matriz de la lista A = (a1, a2, a3) con respecto a la base can´onica E es
AE =
1 3 4
−2 −1 5
2 0 −2
3 2 −4
,
y la matriz de Gram es
G(A) =
1 −2 2 3
3 −1 0 2
4 5 −2 −4
1 3 4
−2 −1 5
2 0 −2
3 2 −4
=
18 11 −22 11 14 −1
−22 −1 61
.
Matriz de Gram, p´agina 2 de 3
9. Proposici´on (rango de la matriz de Gram). Sean V un EV de dimensi´on finita n, B una base ortonormal de V , A = (a1, . . . , am) una lista de vectores en V . Denotemos por C = AB a la matriz de la lista A en la base B. Entonces
r(G(a1, . . . , am)) = r(C).
10. Tarea adicional. Demuestre el teorema despu´es de estudiar la ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt (v´ease las siguientes clases).
11. Proposici´on (matriz de Gram y volumen de un paralelep´ıpedo). Sea V un espacio vectorial real con producto interno, dim(V ) = n, y sea a1, . . . , an una lista de vectores en V . Entonces
det G(a1, . . . , an) = x2,
donde x es el volumen del paralelep´ıpedo generado por a1, . . . , an.
Demostraci´on. Sea B = (b1, . . . , bn) una base ortonormal en V . Denotemos por C a la matriz de la lista a1, . . . , an en la base B. Entonces det(C) es el volumen orientado del paralelep´ıpedo generado por a1, . . . , an, y x = | det(A)|. De all´ı
det G(a1, . . . , an) = det(C>C) = det(C)2 = x2.
Matriz de Gram, p´agina 3 de 3
