Funcions reals de vàries variables reals

Funcions reals de v`aries variables

reals

Recordatori notacions b`asiques

=⇒ implica 6= diferent

⇐⇒ si i nom´es si ⊂ subconjunt, incl`os

∀ per a tot ∪ uni´o

∃ existeix ∩ intersecci´o

@ no existeix ≈ aproximadament

! unic (∃!)´ ∼ equivalent

∈ pertany ∝ proporcional

6∈ no pertany

P sumatori P⁴

i=1

i² = 1² + 2² + 3² + 4² Q producte Q⁴

i=1

i = 1 · 2 · 3 · 4

Lletres gregues

α alfa κ kappa τ tau

β beta λ lambda φ, ϕ fi

γ gamma µ mu χ khi

δ delta ν nu ψ psi

², ε `epsilon ξ csi ω omega

ζ zeta π pi

η eta ρ ro

θ theta σ sigma

Introducci´o.

Recordatori funcions d’una variable.

Definici´o 1. Una funci´o d’una variable ´es una correspond`encia entre dos conjunts

f : A −→ B

x −→ f (x) = y tal que la imatge ´es ´unica.

B Si B ⊂ R es diu que f ´es real.

B Si A ⊂ R es diu que f ´es de variable real.

4 2,5

1,5

2 0 1

0,5

x 10

6 8

2

Exemple de funció

y

0

-1 2

-2 1

1

0 0,5

-0,5 -1

Exemple de no funció

Nosaltres nom´es estudiarem f : A ⊂ R −→ R.

B A s’anomena domini de la funci´o.

El domini d’una funci´o s´on tots els nombres reals que tenen per imatge un nombre real.

f (x) = 4x² + 2x Dom(f ) = R

f (x) = 2x³ + 2

4x − 3 Dom(f ) = R − {x | 4x − 3 = 0}

f (x) = ²ⁿp

g(x) Dom(f ) = {x | g(x) ≥ 0}

f (x) = ²ⁿ⁺¹p

g(x) Dom(f ) = R

f (x) = log(g(x)) Dom(f ) = {x | g(x) > 0}

f (x) = sin(g(x)) Dom(f ) = Dom(g) f (x) = e^g(x) Dom(f ) = R

B f (A) = {y ∈ B | y = f (x), x ∈ A} ´es la imatge de f .

–15 –10 –5 5

y

–3 –2 –1 1 2 3

x

Nota 1. Sovint quan tractem amb funcions d’una variable s’utilitza la notaci´o,

y = f (x)

% var. dependent

-

var. independent i la seva representaci´o gr`afica ´es una corba.

ex. Per representar la funci´o f (x) = x² sovint s’utilitza la notaci´o y = x². La seva representaci´o gr`afica ser`a:

3

2

1

0

3 2 1 0 -1 -2 -3

7

6

5

4

X Y

Funcions de dues variables.

Definici´o 2. Una funci´o real de dues variables reals

´es una correspond`encia entre un subconjunt de R² i un subconjunt de R

f : A ⊂ R² −→ B ⊂ R

(x, y) −→ f (x, y) = z tal que la imatge ´es ´unica.

Exemple funci´o f (x, y) = x² + y²:

-2 -1 0 -1 -2 0

0 z

0,5 1 1,5

2

1 1 2

X 2 Y

Z

B A s’anomena domini de la funci´o.

El domini d’una funci´o s´on els (x, y) ∈ R² que tenen per imatge un nombre real.

f (x, y) = 4x² + 2y Dom(f ) = R²

f (x, y) = 2x³ + y

x + y Dom(f ) = R² − {(x, y) | x + y = 0}

f (x, y) = ²ⁿp

g(x, y) Dom(f ) = {(x, y) | g(x, y) ≥ 0}

f (x, y) = ²ⁿ⁺¹p

g(x, y) Dom(f ) = R²

f (x, y) = log(g(x, y)) Dom(f ) = {(x, y) | g(x, y) > 0}

f (x, y) = sin(g(x, y)) Dom(f ) = Dom(g) f (x, y) = e^g(x,y) Dom(f ) = R²

B f (A) = {z ∈ B | z = f (x, y), (x, y) ∈ A} ´es la imatge de f .

Exercici Proposat 1. Determina el domini i imatge de la funci´o f (x, y) = x² + y².

Nota 2. Sovint quan tractem amb funcions de dues variables s’utilitza la notaci´o,

z = f (x, y)

% var. dependent

--

var. independents i la seva representaci´o gr`afica ´es una superf´ıcie.

ex. Per representar la funci´o f (x, y) = x² + y² sovint s’utilitza la notaci´o z = x² + y². La seva representaci´o gr`afica ser`a:

-2 -1 0 -1 -2 0

0 z

0,5 1 1,5

2

1 1 2

X 2 Y

Z

Usualment no ´es f`acil dibuixar la gr`afica d’una funci´o de dues variables. Una manera de con`eixer millor la

superf´ıcie ´es tallar-la amb plans del tipus z = C.

Definici´o 3. S’anomena corba de nivell de la funci´o f en z = C al conjunt dels punts del pla XY que verifiquen l’equaci´o

f (x, y) = C

ex. Determinem la corba de nivell de la funci´o f (x, y) = x² + y² en z = 3.

La corba de nivell de x² + y² en z = 3 ser`a la corba donada per l’equaci´o x² + y² = 3. ´Es a dir una

circumfer`encia de radi √ 3.

La representaci´o gr`afica corrobora el resultat obtingut i mostra moltes altres corbes de nivell:

-2

-2 -1

-1 0 00

1 1

1

2 z 2

3

2 4

X Y

pla z=3

Nota 3. Dibuixant les diferents corbes de nivell en el pla XY obtenim un pla topogr`afic de la superf´ıcie z = f (x, y).

ex. Trobem les corbes de nivell en C = −1, 0, 1 de la funci´o f (x, y) = x² − y².

. Si C = 0 la corba ve donada per x² − y² = 0 =⇒ y = ±x.

. Si C = 1 la corba ´es x² − y² = 1 =⇒ y = ±√

x² − 1.

. Si C = −1 la corba ´es x² − y² = −1 =⇒ y = ±√

x² + 1.

Dibuixem el mapa topogr`afic de la superf´ıcie:

2

0 1

-1

2 1

-2 -1

-2

0 X

Y

Exercici Proposat 2. A partir de les corbes de nivell obtingues dibuixa la superf´ıcie f (x, y) = x² − y².

L’espai R

.

Fins ara hem treballat amb funcions de dues variables, ´es a dir, funcions que el seu domini ´es un

subconjunt de R². En general, podem definir funcions de n variables, ´es a dir, funcions que el seu domini ´es un subconjunt de Rⁿ. Per aix`o necessitem

con`eixer millor l’espai Rⁿ

La geometria euclidea de l’espai Rⁿ. Definici´o 4. Es defineix el conjunt Rⁿ com

Rⁿ := {x := (x₁, x₂, ..., x_n) | x_i ∈ R}.

Els elements de Rⁿ es denominen vectors.

Propietat 1. Rⁿ amb les operacions de suma i multiplicaci´o per un escalar definides com:

i) (x₁, x₂, ..., x_n) + (y₁, y₂, ..., y_n) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_n + y_n) ii) λ(x₁, x₂, ..., x_n) = (λx₁, λx₂, ..., λx_n) ∀λ ∈ R

´es un espai vectorial.

Per a dotar l’espai Rⁿ d’una estructura geom`etrica cal introduir els concepte de producte escalar, norma

i dist`ancia.

Definici´o 5. Un producte escalar en Rⁿ ´es una

funci´o (que notarem < ·, · >) de Rⁿ × Rⁿ en R que a cada parella de vectors x, y els hi associa el n´umero real < x, y >, ´es a dir,

< ·, · >: Rⁿ × Rⁿ −→ R x , y −→ < x, y >

i que a m´es satisf`a les seg¨uents propietats:

• < x, x >> 0 si x 6= 0

• < x, y >=< y, x >

• < λx, y >= λ < x, y > ∀λ ∈ R

• < x + y, z >=< x, z > + < y, z >

Exercici Proposat 3. Comproveu que l’expressi´o

< x, y >:=

Xn i=1

x_iy_i defineix un producte escalar en Rⁿ.

Definici´o 6. Una norma en Rⁿ ´es una funci´o (que notarem k · k) de Rⁿ en R que a cada vector x l’hi associa el n´umero real positiu kxk, ´es a dir,

k · k : Rⁿ −→ R

x −→ kxk

i que a m´es satisf`a les seg¨uents propietats:

•• kxk = 0 ⇔ x = 0

• kλxk = |λ|kxk ∀λ ∈ R

• kx + yk 6 kxk + kyk (Desigualtat triangular)

Propietat 2. Es pot comprovar que l’expressi´o kxk := √

< x, x >

defineix una norma en Rⁿ.

Definici´o 7. Una dist`ancia en Rⁿ ´es una funci´o (que notarem d(·, ·)) de Rⁿ × Rⁿ en R que a cada parella de vectors x, y els hi associa el n´umero real positiu d(x, y), ´es a dir,

d(·, ·) : Rⁿ × Rⁿ −→ R⁺

x , y −→ d(x, y)

i que a m´es satisf`a les seg¨uents propietats:

•• d(x, y) = 0 ⇔ x = y

• d(x, y) = d(y, x)

• d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) (Desigualtat triangular)

Exercici Proposat 4. Comproveu que l’expressi´o d(x, y) := kx − yk

defineix una dist`ancia en Rⁿ.

Definici´o 8. Al parell (Rⁿ, d) se’l denomina espai m`etric.

Un cop dotat l’espai Rⁿ d’una estructura geom`etrica nom´es queda introduir uns conceptes b`asics (entorns,

funcions escalars i funcions vectorials) necessaris per despr´es endinsar-nos ja en el c`alcul de l´ımits de

funcions de v`aries variables.

Entorns.

Definici´o 9. Sigui (Rⁿ, d) un espai m`etric, aleshores donat x ∈ Rⁿ i ε > 0 es defineix la bola oberta de

centre x i radi ε com el conjunt,

B(x, ε) := {y ∈ Rⁿ | d(x, y) < ε}

i es defineix la bola tancada de centre x i radi ε com el conjunt,

B(x, ε) := {y ∈ Rⁿ | d(x, y) 6 ε}

Definici´o 10. Un subconjunt V ⊂ Rⁿ ´es un entorn del punt x si existeix un ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ V . Definici´o 11. La fam´ılia de tots els entorns d’un punt x es denota per ε_x

Definici´o 12. Un punt x ∈ Rⁿ ´es punt d’acumulaci´o d’un conjunt A ⊂ Rⁿ si cada entorn del punt x talla al conjunt A en algun punt diferent de x, ´es a dir,

si donat V ∈ ε_x existeix y ∈ V ∩ A amb y 6= x.

ex. Donat A = {_n¹ | n ∈ N} ⊂ R vegem que el 0 ∈ R

´es punt d’acumulaci´o del conjunt A.

Agafem un entorn qualsevol del 0, ´es a dir V ∈ ε₀. Al ser V un entorn del punt 0 existeix un ε > 0 tal que B(0, ε) ⊂ V . Al estar treballant en R,

B(0, ε) = (−ε, ε).

Per tal que el 0 sigui punt d’acumulaci´o de A, ha d’existir y ∈ (−ε, ε) ∩ A amb y 6= 0.

Aix´ı doncs, si trobem un element de A (per tant del tipus _n¹ amb n natural) tal que,

−ε < 1

n < ε ja estarem.

Multiplicant per n l’anterior desigualtat tenim:

−εn < 1 < εn

i aix`o ho compliran tots els elements de A tals que n > ¹_ε.

Funcions escalars.

Definici´o 13. Una funci´o o camp escalar ´es una correspond`encia entre un subconjunt de Rⁿ i un subconjunt de R

f : A ⊂ Rⁿ −→ B ⊂ R x −→ f (x) tal que la imatge ´es ´unica.

Observaci´o 1. Si n = 1 podem representar la

gr`afica de la funci´o en el pla XY obtenint una corba.

Observaci´o 2. Si n = 2 podem representar la gr`afica de la funci´o en l’espai XY Z obtenint una superf´ıcie.

Observaci´o 3. Si n > 3 no podem representar la gr`afica.

ex. Per a especificar la temperatura T d’una regi´o de l’espai A necessitem una funci´o escalar del tipus,

T : A ⊂ R³ −→ R

(x, y, z) −→ T (x, y, z)

Funcions vectorials.

Definici´o 14. Una funci´o vectorial ´es una

correspond`encia entre un subconjunt de Rⁿ i un subconjunt de R^m

F : A ⊂ Rⁿ −→ B ⊂ R^m

x −→ F(x) = (f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x)) tal que la imatge ´es ´unica i f₁, f₂, ..., f_m s´on funcions escalars.

ex. Suposem tenim un fluid movent-se en l’espai.

Per a especificar la seva velocitat es necessita una funci´o vectorial del tipus,

v : R³ × R⁺ ⊂ R⁴ −→ R³

(x, y, z, t) −→ v(x, y, z, t)

on v(x, y, z, t) representa el vector velocitat del fluid en el punt (x, y, z) en el temps t.

1.3 L´ımits de funcions.

L’objectiu ´es con´eixer el comportament de la funci´o en un entorn d’un cert punt sense importar el que fa la funci´o en el

propi punt.

L´ımits en funcions d’una variable.

Considerem per exemple la funci´o f (x) = ^{(x2−x+4)(5−x)}₆

6

4

0 5

3

1

2

0 3

-1 1 4

x 2

5

Si prenem punts propers a 2 per l’esquerra i per la dreta i mirem les imatges:

x f (x)

1.99 2.995 1.999 2.9995 1.9999 2.99995 1.99999 2.999995

x f (x)

2.01 3.005 2.001 3.0005 2.0001 3.00005 2.00001 3.000005 Per tant, quan x → 2, f (x) → 3 i es denota per

x→2lim f (x) = 3

Considerem ara en canvi el punt x = 1 i la funci´o

f (x) = 8>

<

>:

−1 , x < 1 1 , x ≥ 1

1

0 0,5

4

-0,5

-1

0 2

x 1

-1 3

-2

Si prenem punts propers a 1 per l’esquerra i per la dreta i mirem les imatges dels punts tenim que:

x f (x)

0.99 −1

0.999 −1

0.9999 −1

0.99999 −1 0.999999 −1

x f (x)

1.01 1

1.001 1

1.0001 1 1.00001 1 1.000001 1

En aquest cas en prendre x → 1, les imatges no tendeixen a un

´

unic valor, i per tant no existeix el l´ımit.

Definici´o 15 (L´ımit d’una funci´o en punt). Si f : A ⊂ R → R

´es una funci´o real i a ∈ A, es diu que la funci´o f t´e l´ımit L ∈ R en el punt a, si ∀ε > 0 arbitrari, ∃δ > 0 de tal manera que ∀x ∈ A, tal que 0 < |x − a| < δ, aleshores es compleix

|f (x) − L| < ε.

Es fa servir la notaci´o seg¨uent:

x→alim f (x) = L.

Donat ε > 0 ∃δ > 0

L-ε L+ε L

a

-1 0 1 2 3 4

-1 1 2 3 4

L-ε L+ε L

a-δ a+δ a

-1 0 1 2 3 4

-1 1 2 3 4

si |x − a| < δ → |f (x) − L| < ²

L-ε L+ε L

a-δ a+δ a

-1 0 1 2 3 4

-1 1 2 3 4

L´ımits de funcions vectorials.

Definici´o 16 (L´ımit d’una funci´o vectorial en punt). Si

F : A ⊂ Rⁿ → R^m ´es una funci´o real i a ´es punt d’acumulaci´o de A, es diu que la funci´o F t´e l´ımit L ∈ R^m en el punt a, si ∀ε > 0 arbitrari, ∃δ > 0 de tal manera que ∀x ∈ A, tal que x ∈ B(a, δ), aleshores es compleix F(x) ∈ B(L, ε).

Es fa servir la notaci´o seg¨uent:

x→alim F(x) = L.

Exercici Proposat 5. Dibuixa la funci´o z=x² + y² i representa gr`aficament que ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que si x ∈ B(a, δ), aleshores F(x) ∈ B(L, ε) prenent a = (1, 2) i comprovant que L = 5.

Quan fem el l´ımit d’una funci´o d’una variable considerem les dues ´uniques direccions possibles per acostar-nos al punt. Si

ara considerem per exemple dues variables tenim infinites maneres per acostar-nos a un punt:

Si el valor al que es tendeix no ´es el mateix per tots els camins aleshores el l´ımit no existeix.

ex. Vegem visualment que la funci´o f (x, y) = 1 + 3

1 + x² + y² t´e l´ımit en el punt (0,0).

-4 -2

y 0

2

4 -2 -1

0x 1

2 0 1 z2

3 4

ex. Vegem visualment que la funci´o f (x, y) = xy

x² + y² NO t´e l´ımit en el punt (0,0).

-4 -2

y 0

2

4 -2 -1 0t=x 1

2 -0,4 -0,2 z 0

0,2 0,4

ex. Comprovem anal´ıticament que lim

(x,y)→(0,0)

xy x² + y² no existeix.

•• Si ens aproximem al punt (0, 0) sobre l’eix de les X vol dir que y = 0 per tant tenim,

x→0lim

x 0

x² + 0² = 0

• Si ens aproximem al punt (0, 0) sobre l’eix de les Y vol dir que x = 0 per tant tenim,

y→0lim

0y

0² + y² = 0

• Si ens aproximem al punt (0, 0) al llarg de la recta y = x tenim,

x→0lim x²

2x² = 1

26= 0

Com que el valor no ´es el mateix per tots els camins podem assegurar que el l´ımit no existeix.

Eines pr`actiques pel c`alcul de l´ımits.

•• Canvi a coordenades polars. Al resoldre l´ımits que tendeixin a l’origen amb funcions de dues variables una bona opci´o ´es fer el canvi a coordenades polars.

(x,y)

q

r

r cos

r sin

Ens permet passar un l´ımit de dues variables (x, y) en un l´ımit d’una variable r.

Si el l´ımit NO depen de l’angle θ aquest existeix, altrament el l´ımit no existeix.

Observaci´o 4. Si es vol resoldre un l´ımit que no tendeixi a l’origen sempre es pot fer una translaci´o i despr´es fer el canvi a polars.

ex. Anem a resoldre lim

(x,y)→(0,0)

x² − y² x² + y².

(x,y)→(0,0)lim

x² − y²

x² + y² = lim

r→0

6 r²(cos² θ − sin² θ) 6 r²

Per tant aquest l´ımit NO existeix al dependre de l’angle θ.

ex. Anem a resoldre lim

(x,y)→(0,0)

3xy² x² + y².

(x,y)→(0,0)lim

3xy²

x² + y² = lim

r→0

3r⁶³ cos θ sin² θ

6 r² = 0 ex. Anem a resoldre lim

(x,y)→(1,2)

(x − 1)(x + 1) (x − 1)² + (y − 2)².

(x,y)→(1,2)lim

(x − 1)(x + 1)

(x − 1)² + (y − 2)² = lim

(ex,ey)→(0,0)

e

x(ex + 2) e

x² + ey² =

r→0lim

r⁶² cos² θ + 2 6 r cos θ r⁶²

Aquest l´ımit NO existeix ja que depenent de l’angle tendeix cap a m´es o menys infinit.

•• Infinit`essims equivalents.

• Criteri de compressi´o.

Exercici No Presencialitat 1. 1). Troba la definici´o formal d’infinit`essims equivalents, com es poden utilitzar en el c`alcul de l´ımits i d´ona almenys quatre exemples d’infinit`essims.

2). Troba la definici´o formal del criteri de compressi´o per a la resoluci´o de l´ımits amb

funcions de v`aries variables i posa dos exemples.

• Criteri de fitaci´o.

Definici´o 17. Donada una funci´o vectorial G(x) es diu que est`a fitada en A si,

kG(x)k 6 C ∀x ∈ A.

El criteri de fitaci´o diu que si G(x) est`a fitada en un entorn de a i lim

x→aF(x) = 0 aleshores,

x→alim F(x)G(x) = 0.

Propietats dels l´ımits de funcions vectorials.

Proposici´o 1. Sigui la funci´o vectorial, F : A ⊂ Rⁿ −→ B ⊂ R^m

x −→ F(x) = (f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x)) i sigui a un punt d’acumulaci´o de A. Aleshores,

x→alim F(x) = L := (l₁, l₂, ..., l_m) ⇔ lim

x→af_i(x) = l_i ∀i = 1, ..., m.

Dem:

⇒ Sabem que lim

x→aF(x) = L, ´es a dir sabem que:

∀ε > 0 ∃δ > 0 t.q. si x ∈ B(a, δ) ⇒ F(x) ∈ B(L, ε).

Volem veure que lim

x→af_i(x) = l_i ∀i = 1, ..., m, ´es a dir que:

∀ε > 0 ∃δ > 0 t.q. si |x_i−a_i| < δ ⇒ |f_i(x)−l_i| < ε ∀i.

Donat ε > 0 sabem que

∃δ > 0 t.q. si x ∈ B(a, δ) ⇒ F(x) ∈ B(L, ε). Per altra banda tenim que:

|x_i − a_i| 6 kx − ak < δ

|f_i(x) − l_i| 6 kF(x) − Lk < ε que demostra el que vol´ıem.

Exercici Proposat 6. Demostra l’altre implicaci´o.

Proposici´o 2 ( `Algebra de l´ımits). Siguin F i G dues funcions vectorials de A ⊂ Rⁿ en R^m i sigui a un punt d’acumulaci´o de A. Suposem que

x→alim F(x) = L₁ lim

x→aG(x) = L₂ Aleshores es t´e:

i) lim

x→aF(x) + G(x) = L₁ + L₂. ii) lim

x→aλF(x) = λL₁ ∀λ ∈ R.

iii) lim

x→a < F(x), G(x) >=< L₁, L₂ > . iv) lim

x→akF(x)k = kL₁k.

1.4 Continu¨ıtat funcions v`aries variables.

Definici´o 18. Una funci´o vectorial

F : A ⊂ Rⁿ → R^m ´es cont´ınua en un punt a ∈ A si:

i) F(a) est`a definit.

ii) lim

x→aF(x) existeix.

iii) lim

x→aF(x) = F(a).

Una funci´o que no ´es cont´ınua en a es diu que t´e una discontinu¨ıtat en aquell punt.

Definici´o 19. Es diu que F : A ⊂ Rⁿ → R^m ´es cont´ınua en A si ho ´es en tot punt a ∈ A.

Definici´o 20. El major subconjunt B ⊂ A en el qual F ´es cont´ınua s’anomena camp de continu¨ıtat de la funci´o F i es denota F ∈ C⁰(B).

Proposici´o 3 ( `Algebra de funcions cont´ınues).

Siguin F, G : A ⊂ Rⁿ → R^m funcions cont´ınues en a ∈ A. Aleshores,

i) αF + βG ´es cont´ınua en a ∀α, β ∈ R.

ii) F · G ´es cont´ınua en a.

iii) Si m = 1 i G(a) 6= 0 la funci´o F(x)

G(x) ´es cont´ınua en a.

1.5 Diferenciabilitat funcions v`aries variables.

Recordatori amb funcions d’una variable.

La derivada d’una funci´o donada f (x) en un punt x₀ ´es el pendent de la recta tangent.

x0

–0.5 0.5 1 1.5

–1 1 2 3

Com que la recta tangent passa pel punt (x0, f (x0)), ´es de la forma

y = m(x − x0) + f (x0)

Si conegu´essim un altre punt (x1, y1) sobre la recta tangent:

y1 = m(x1 − x0) + f (x0) m = y1 − f (x0)

x1 − x0

Dx

Dy y1

x1 f(x0)

x0

–0.5 0.5 1 1.5

–1 1 2 3

El problema ´es que no coneixem la recta tangent i per tant no coneixem (x₁, y₁).

ALTERNATIVA:

I Podem considerar un punt proper, x₀ + h, i calcular la recta secant que passa per aquests dos punts.

Com que la recta secant ha de passar pel punt (x₀, f (x₀)), ´es de la forma

y = m_h(x − x₀) + f (x₀)

Imposem que passi per (x₀ + h, f (x₀ + h))

f (x₀+h) = m_h(x₀+h−x₀)+f (x₀)

x0+h x0

–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

–1 1 2 3 4

I El pendent d’aquesta recta secant ´es mh = f (x₀ + h) − f (x₀)

h

aproxima millor la recta tangent, i per tant, el pendent de la recta secant aproxima millor el pendent de la recta tangent.

x0+h

–0.2 x0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

I En el l´ımit, ´es a dir, quan h → 0, trobarem el pendent de la recta tangent a la funci´o en el punt x₀. ´Es a dir, si y = mx + n ´es la recta tangent a f (x) en el punt , aleshores

m = lim

h→0m_h = lim

h→0

f (x₀ + h) − f (x₀) h

Definici´o 21. Es diu que la funci´o f : A ⊂ R → R

´es derivable en a si existeix el l´ımit

h→0lim

f (a + h) − f (a)

h .

Aquest l´ımit s’anomena derivada de f en el punt a, i es representa per f⁰(a), o Df (a), o b´e df

dx(a).

Definici´o equivalent:

Definici´o 22. Es diu que la funci´o f ´es derivable en a si existeix el l´ımit

x→alim

f (x) − f (a) x − a .

Aquesta definici´o ´es equivalent a l’anterior si considereu el canvi de variable

h = x − a

Definici´o 23. S’anomena derivada lateral per la dreta de la funci´o f en a el l´ımit

f₊⁰ (a) = lim

h→0⁺

f (a + h) − f (a)

h .

Definici´o 24. S’anomena derivada lateral per l’esquerra de la funci´o f en a el l´ımit

f₋⁰ (a) = lim

h→0⁻

f (a + h) − f (a)

h .

Propietat 3. Una funci´o f ´es derivable en a si i nom´es si existeixen les dues derivades laterals i coincideixen.

Exemple funci´o no derivable en el 0

10

6

-2 8

4

x

2

-2 1

0 2

-1 0

Dues tangents en un mateix punt

tangent per la dreta tangent per l'esquerra

Derivades direccionals en funcions vectorials.

Definici´o 25. Sigui F : A ⊂ Rⁿ → R^m, i a ∈ A. Es defineix la derivada direccional de F en el punt a i en la direcci´o u (amb u ∈ Rⁿ, kuk = 1) com

D_uF(a) := lim

h→0

F(a + hu) − F(a)

h .

-1 -2 1 0

2

x

-2 -1 0 1 2 0 y

2 4 6 8

z

a u

Especial inter`es tenen les derivades direccionals en les direccions donades pels eixos. ´Es a dir, en les

direccions donades pels vectors del tipus e_i = (0, ...0, 1|{z}

i

, 0, ...0)

Definici´o 26. Les derivades direccionals en les direccions donades pels vectors de la base can`onica {e_i} s’anomenen derivades parcials i se les denota per

D_eiF(a) := D_iF(a) := ∂F

∂x_i(a).

Utilitzant la definici´o de derivada direccional trobem que les derivades parcials venen donades per

D_eiF(a)= lim

h→0

F(a + he_i) − F(a)

h =

= lim

h→0

F(a₁, ...,a_i + h, ..., a_n) − F(a₁, ...,a_i, ..., a_n) h

Aix`o indica que per a calcular la derivada parcial i-`essima considerem la derivada respecte la variable x_i i considerem la resta de variables com a constants.

ex. Donada f (x, y) = 5x − x²y² + 3xy³ tenim

∂f

∂x = 5 − 2xy² + 3y³

∂f

∂y = −2x²y + 9xy²

Exercici Proposat 7. Calcula les derivades parcials de la funci´o f (x, y) = xe^x2y + xcos(xy) + ln(y) i

despr´es avalua-les en el punt a = (1, 1/2).

Derivades parcials d’ordre superior.

An`alogament a les funcions d’una variable, ´es possible trobar derivades parcials d’ordre dos, tres i superior suposant que tals derivades existeixin. Per exemple, donada una funci´o de dues variables f (x, y) hi ha quatre

derivades parcials d’ordre dos

∂

∂x

„∂f

∂x

«

= ∂²f

∂x²

∂

∂y

„∂f

∂y

«

= ∂²f

∂y²

∂

∂y

„∂f

∂x

«

= ∂²f

∂y∂x

∂

∂x

„∂f

∂y

«

= ∂²f

∂x∂y

ex. Donada f (x, y) = 5x − x²y² + 3xy³ tenim

∂²f

∂x² = −2y² ∂²f

∂y∂x = −4xy + 9y²

∂²f

∂y² = −2x² + 18xy ∂²f

∂x∂y = −4xy + 9y²

derivades parcials creuades s´on iguals. Aix`o succeeix freq¨uentment tal i com s’indica en el teorema seg¨uent

que enunciem sense demostraci´o.

Teorema 1. Si f ´es una funci´o definida en un

entorn de a ∈ Rⁿ, on t´e derivades parcials de segon ordre cont´ınues, es compleix

∂²f

∂x_j∂x_i(a) = ∂²f

∂x_i∂x_j (a).

Diferencial total. Funci´o diferenciable.

En aquesta secci´o comencem veient que les derivades direccionals (pel cas de funcions de v`aries variables)

no s´on una extensi´o satisfact`oria de la derivada de funcions d’una variable.

Proposici´o 4 (Funcions d’una variable). Si f : A ⊂ R → R ´es derivable en a, aleshores f ´es cont´ınua en a.

!

totes les direccions per`o no ser cont´ınua.

ex. Sigui la funci´o

f (x, y) = 8>

<

>:

xy²

x² + y⁴ si x 6= 0

0 si x = 0

Vegem que a l’origen existeixen totes les derivades direccionals.

Donat u (amb u = (u₁, u₂) ∈ R², kuk = 1) tenim,

D_uf (0, 0) = lim

h→0

f ((0,0)+hu)−f (0,0)

h = lim

h→0

(hu1)(h2u22) h2u21+h4u42

h =

= lim

h→0

6h³u₁u²₂

6h³(u²₁+h²u⁴₂) = 8>

<

>:

u²₂

u₁ si u₁ 6= 0 0 si u₁ = 0 Aix´ı hem vist que D_uf (0, 0) existeix ∀u ∈ R², u 6= 0. Per`o ara veurem que f no ´es cont´ınua a l’origen.

Recordem que per tal que f sigui cont´ınua a l’origen cal que:

(x,y)→(0,0)lim f (x, y) = f (0, 0).

Sabem que f (0, 0) = 0, ara b´e,

(x,y)→(0,0)lim f (x, y) = lim

(y²,y)→(0,0)

y⁴

y⁴ + y⁴ = 1

2 6= 0.

Per tant la funci´o no ´es cont´ınua a l’origen.

Les derivades direccionals no s´on, doncs, una extensi´o satisfact`oria de la derivada de funcions d’una variable al cas

de v`aries variables. Anem a donar una generalitzaci´o de la derivada que impliqui la continu¨ıtat.

Definici´o 27 (Funci´o diferenciable). Sigui

F : A ⊂ Rⁿ → R^m i un punt a ∈ A. Es diu que F ´es diferenciable en a si existeix una aplicaci´o lineal T de Rⁿ en R^m tal que

h→0lim

kF(a + h) − F(a) − T (h)k

khk = 0 (1)

Si l’aplicaci´o lineal T complint (1) existeix, aleshores

´es ´unica i es denota per DF(a) i a la matriu que la defineix respecte les bases can`oniques de Rⁿ i R^m l’anomenarem matriu jacobiana de la funci´o F en el punt a i la notarem per F⁰(a).

Proposici´o 5. Direm que F : A ⊂ Rⁿ → R^m ´es diferenciable en B ⊂ A quan ho sigui en tot b ∈ B.

Proposici´o 6. Sigui F : A ⊂ Rⁿ → R^m diferenciable en a ∈ A. Aleshores existeixen totes les derivades direccionals de F en a i a m´es per a tot u (amb u ∈ Rⁿ, kuk = 1) es t´e

DF(a)(u) = D_uF(a)

Exercici No Presencialitat 2. Demostra aquesta

´ultima proposici´o. (Ajuda: Utilitza la definici´o de funci´o diferenciable i pren h = tu.)

ex (Exemple matriu jacobiana). Prenem la funci´o F(x, y) = (x, x² + y² + 1, x³ + y² + y + 2) que ens diuen que ´es diferencibale en (x₀, y₀) ∈ R². Aleshores per a trobar la seva matriu jacobiana al (x₀, y₀)

nom´es cal calcular:

DF(x₀, y₀)(e₁) = D_e1F(x₀, y₀) = ∂F

∂x (x₀, y₀) =

= (1, 2x, 3x²)_|(x0,y0) = (1, 2x₀, 3x²₀) DF(x₀, y₀)(e₂) = D_e2F(x₀, y₀) = ∂F

∂y (x₀, y₀) =

= (0, 2y, 2y + 1)_|(x0,y0) = (0, 2y₀, 2y₀ + 1)

ja que la matriu jacobiana ser`a doncs,

DF(x₀, y₀)(e₁) DF(x₀, y₀)(e₂)

& .

F⁰(x₀, y₀) =







1 0

2x₀ 2y₀ 3x²₀ 2y₀ + 1





 .

Proposici´o 7. Si F : A ⊂ Rⁿ → R^m ´es diferenciable en a ∈ A, aleshores F ´es cont´ınua en a.

! Diferenciable ⇒ Cont´ınua

!

Exist`encia derivades direccionals 6⇒ Cont´ınua

!

Exist`encia derivades direccionals 6⇒ Diferenciable

! Exist`encia derivades parcials 6⇒ Diferenciable

Vegem un exemple d’una funci´o amb derivades

parcials per`o que no ´es diferenciable.

ex (Funci´o no diferenciable amb derivades parcials).

Sigui la funci´o

f (x, y) =





1 si x > 0 i y > 0 0 altrament

Veurem que les derivades parcials a l’origen

existeixen per`o que f no ´es diferenciable en aquest punt.

D_e1f (0, 0) = ∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f (0 + he₁) − f (0)

h = 0

D_e2f (0, 0) = ∂f

∂y (0, 0) = lim

h→0

f (0 + he₂) − f (0)

h = 0

Ara b´e,

(x,y)→(0,0)lim f (x, y) =





sobre la recta y=x en el 1r quadrant



 = 1 Per`o f (0, 0) = 0. Aix´ı, doncs, f no ´es cont´ınua a l’origen i per tant no ´es diferenciable.

Proposici´o 8 (Condici´o suficient de

diferenciabilitat). Si F : A ⊂ Rⁿ → R^m ´es tal que les seves derivades parcials s´on funcions cont´ınues en un entorn del punt a aleshores F ´es diferenciable en

aquest punt, a.

Vegem un exemple d’aplicaci´o.

ex. Vegem que f (x, y) = x²y + xy³ ´es diferenciable per a tot (x, y) ∈ R².

Calculem les derivades parcials,

∂f

∂x(x, y) = 2xy + y³ ∂f

∂y (x, y) = x² + 3xy² Les derivades parcials s´on funcions polin`omiques en x, y i per tant funcions cont´ınues. Aix´ı, com les

derivades parcials s´on cont´ınues en (x, y) aleshores f

´es diferenciable en (x, y).

! Derivades parcials cont´ınues ⇒ Diferenciable

!

Derivades parcials no cont´ınues 6⇒ No Diferenc.

Proposici´o 9. Sigui la funci´o vectorial F : A ⊂ Rⁿ −→ B ⊂ R^m

x −→ F(x) = (f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x))

i a ∈ A. Aleshores, F ´es diferenciable en a si i nom´es si cada f_i(x) ´es diferenciable en a. A m´es, la matriu jacobiana F⁰(a)

´es una matriu que la seva fila i-`essima ´es la matriu jacobiana f_i⁰(a), ´es a dir,

F⁰(a) = 0 BB B@

f₁⁰(a) ... f_m⁰ (a)

1 CC CA =

0 BB B@

D₁f₁(x, y, z) · · · D_nf₁(x, y, z)

... ...

D₁f_m(x, y, z) · · · D_nf_m(x, y, z) 1 CC CA.

ex. Sigui la funci´o vectorial F : A ⊂ R³ −→ B ⊂ R²

(x, y, z) −→ F(x, y, z) = (sin(xy + z), exp(x + y)) i volem estudiar la seva diferenciabilitat en el punt (0, 0, 0).

Per la proposici´o anterior sabem que F ´es diferenciable en (0, 0, 0) si i nom´es si ho s´on les seves dues components, f₁(x, y, z) = sin(xy + z), f₂(x, y, z) = exp(x + y).

La funci´o f₁(x, y, z) ´es diferenciable en tot punt (x, y, z) ja que les seves derivades parcials,

D₁f₁(x, y, z) = y cos(xy + z) D₂f₁(x, y, z) = x cos(xy + z) D₃f₁(x, y, z) = cos(xy + z),

existeixen per a cada (x, y, z) i s´on cont´ınues (condici´o