Predicción de correlación de variables basado en el análisis dimensional

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(1)Predicción de correlación de variables basado en el análisis demensional. Prediction of variable correlation based on dimensional analysis Recibido: marzo de 2016 | Revisado: mayo de 2016 | Aceptado: junio de 2016. William F. Villarreal Albitres1. A b s t r ac t The objective of this investigation was to demonstrate the use of the Dimensional Analysis as a tool for predicting relevant correlation variables of a phenomenon to conduct experimental research. The friction interface between a rough-grooved surface and bagasse compacted by rollers used in the sugar industry is presented as a case study. Within existing techniques to correlate variables, dimensional analysis was selected to solve problems involving many variables including assumed ones. Fourteen variables were selected for determining the influence on the friction interface. The results based on the Dimensional Analysis showed ten dimensionless relationships. Six variables with strong correlation were found using the heuristic analysis. The correlation found using Dimensional Analysis was validated by the experimental correlation. It is concluded that the prediction of dimensional analysis was reliable and that also applies to cases of solid substances. Keywords: dimensional analysis, bagasse, crushing unit, correlation, interface friction, compaction, Heuristic Resumen El objetivo del trabajo fue demostrar el uso del Análisis Dimensional como herramienta para predecir variables relevantes de correlación de un fenómeno para llevar a cabo una investigación experimental. Se presenta como caso de estudio la interface de fricción entre una superficie rugosa-ranurada y bagazo de caña compactado por rodillos usados en la industria del azúcar. Dentro de las técnicas existentes para correlacionar variables, el Análisis Dimensional fue seleccionado para resolver problemas que involucran muchas variables incluso asumidas. Catorce variables se seleccionaron para determinar la influencia sobre la interface de fricción. Los resultados obtenidos basados en el Análisis Dimensional mostraron diez relaciones adimensionales. Se hallaron seis variables con fuerte correlación usando el análisis heurístico. La correlación hallada por Análisis Dimensional fue validada por correlación experimental. Se concluye que la predicción del Análisis Dimensional fue confiable y que aplica también a casos de sustancias sólidas. 1 Universidad de San Martín de Porres - Filial Norte, Chiclayo - Perú [email protected]. Palabras claves: Análisis dimensional, bagazo, unidad de chancado, correlación, interface de fricción, compactación, heurístico. | Campus | Lima, perú | V. XX I | N. 21 | PP. 69-80 |. enero-junio | 2016 | issn 1812-6049. 69.

(2) Dr. William F. Villarreal Albitres. Introducción Las leyes que gobiernan los fenómenos naturales y problemas de ingeniería pueden ser entendidas cuando estos son descritos mediante cantidades físicas: masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente eléctrica, fuerza, velocidad, densidad, etc. Revelar una ley física es haber alcanzado una clasificación, correlación y causalidad de interrelación de las cantidades físicas, respectivamente. En consecuencia, una ley física para el entendimiento o solución de determinado problema debe ser expresada en términos matemáticos.. sido usadas para la determinación correlativa de variables que intervienen en el estudio de un fenómeno o problema antes de llevar a cabo una investigación experimental: análisis dimensional, análisis de regresión, análisis de varianza, las redes neurales artificiales, y la ingeniería ayudada por computadora, CAE. Todas estas técnicas necesariamente requieren del conocimiento previo de las variables; sin embargo, el análisis dimensional se diferencia del resto por analizar variables que pueden asumirse que intervienen en un fenómeno estudiado ya sean estos relevantes o irrelevantes, respectivamente.. En la vida real, pocos son los problemas de ingeniería que pueden ser resueltos en términos matemático y casi ninguno como fenómenos naturales; por lo que su solución debe alcanzarse usando una combinación de análisis teóricos y datos experimentales y observables. Lo anterior sugiere que toda investigación debe ser planeada y ejecutada de modo descriptivo, correlacional o experimental en su propio laboratorio para interpretar y hacer usos de los datos obtenidos por ellos o de otros, con el fin de que los resultados hallados sean aplicados como sea posible. Uno de los problemas que el investigador o ingeniero afronta cuando planea obtener datos que le permitan tener nuevo conocimiento de las leyes físicas que gobiernan determinado fenómeno, medición y prueba de variables en un proceso; es que desconoce las variables involucradas y su comportamiento en el fenómeno o problema estudiado. Identificar las variables que intervienen en un fenómeno o problema con antelación es evitar el estudio de variables irrelevantes, fallos en los resultados del diseño experimental, gasto oneroso, o alargamiento de los tiempos programados, respectivamente.. El uso de análisis dimensional como técnica para: (a) establecer una fórmula dimensional para variables físicas, (b) verificar la homogeneidad dimensional de relaciones físicas y ecuaciones en la caracterización de un proceso, y (c) la verificación de unidades de medidas de una variable, está bien documentada (Dobre & Sánchez, 2007; Gibbins, 2011; Qing-Ming, 2011; Szirtes & Rózsa, 2006); sin embargo, hasta donde el autor conoce, esta técnica no ha sido usada para aplicarla en un medio sólido-líquido.. Estudiar la correlación de variables de un determinado fenómeno es cuantificar y cualificar el grado de asociación de las variables a fin de predecir su comportamiento y relevancia. Varias técnicas, como herramientas, han. Materiales y Métodos. 70. El objetivo del presente artículo científico fue demostrar que el Análisis Dimensional es una herramienta para identificar las variables correlativas más relevantes, aplicándolo a un caso de estudio determinación de los factores más relevantes que influían en la interface de fricción entre una superficie ranurada-rugosa y bagazo compactado. En el proceso de fabricación de azúcar, la extracción eficiente de líquido retenido en el bagazo mediante compresiones sucesivas de rodillos está influenciada por la interface de fricción (Kannapiran, 2003; Kent, 2003; Villarreal, 2005).. Los siguientes materiales y métodos fueron usados para aplicar el análisis dimensional en la identificación de las variables corre-. | Campus | V. XXI | No. 21 | enero-junio | 2016 |.

(3) Predicción de correlación de variables basado en el anñalisis demensional. lativas más relevantes del estudio de un fenóazúcar en desaguar el bagazo (biomasa) con meno de desaguado de líquidos analizando baja humedad (a niveles de 47% contra del la interface de fricción en medios porosos promedio de 51%) es usarlo como combusliteratura técnica se ha publicado sobre la influencia tanto operativa como de las como el bagazo de la caña de azúcar. tible para generar electricidad. Abundante literatura técnica se ha publicado sobre la influencia tantohaoperativa como delalas literatura publicado sobre2003); de material sobre el desaguado deltécnica bagazose(Hugot, 1986; Kent, El objeto decaracterísticas estudio influencia tanto operativa como de las cacaracterísticas de material sobre el desaguado del bagazo (Hugot, 1986; Kent, 2003); racterísticas material lasobre el desaguado en recientes años se ha publicado quede mejorando interface de fricción El objetosin de embargo, estudio constituyó la última del bagazo (Hugot, 1986; 2003); sin sin embargo, en recientes añosdese ha publicado que mejorando la Kent, interface de fricción unidad de chancado de caña preparada entre el bagazo y la geometría del rodillo, se logra un incremento de ha la reducción de embargo, en recientes años se publicado una fábrica de azúcar de caña. La Figura 1 que mejorando interface de entre de el bagazo y la geometría del rodillo, se logra un laincremento de fricción la reducción muestra unaentre unidad de chancado desaguanlíquido retenido el bagazo (Kannapiran, el2003; Kent, 2003; Kent, 2014). bagazo y la geometría del rodillo, se logra do líquido del bagazo. El modo de operación líquido retenido el bagazo (Kannapiran, un 2003; Kent, 2003; Kent, 2014). incremento de la reducción de líquido rede esta unidad, llamada también mollino tenido el bagazo (Kannapiran, 2003; Kent, de caña, es compactar el bagazo entre dos 2003; Kent, 2014). Los factorestriangular que influyeron en estas mejoras no fueron publicados; por lo que fue de rodillos en disposición a grandes Los factores influyeron en estas mejoras no fueronque publicados; porenloestas que mefue de presiones para extraer que líquido contenido factores influyeron interés llevar a cabo una investigación Los experimental para determinar los agentes en el bagazo. Los rodillos metálicos son de joras no fueron publicados; por lo que fue de interés llevar a caboagudos una investigación experimental para determinar los agentes superficie ranurada con ángulos giinterés llevar a cabo una investigación experelevantes que afectaron el proceso de desaguado. rando a bajas revoluciones; mientras que el rimental para determinar los agentes relevanrelevantes que afectaron el proceso de desaguado. bagazo es de constitución fibrosa y caractetes que afectaron el proceso de desaguado. rística poroso. El interés de los fabricantes de. (a). (b). Figura 1. (a) Compactación de bagazo por rodillo ranurado y rugoso mostrando fuerzas de fricción, (b) Vista de desaguado de líquido a través de dientes ranurado (Villarreal, 2003) 5. | Campus | V. XXI | No. 21 | enero-junio | 2016 |. 71 5.

(4) La base para la aplicación del análisis dimensional a una agran de d La base para la aplicación del análisis dimensional una variedad gran variedad Dr. William F. Villarreal Albitres. problemasproblemas se encuentra en el Teorema Pi de Bukingham. El teorema Pi responde a se encuentra en el Teorema Pi de Bukingham. El teorema Pi responde. baseelpara la aplicación del análisis di-al número Materiales la preguntala de quienes elLaanálisis dimensional referente al número de grupos pregunta deusan quienes usan análisis dimensional referente de grupo mensional a una gran variedad de problemas Se usaron los siguientes materiales: que se requieren adimensionales para reemplazar laPilista de las de variables se se encuentra en para el Teorema de Bukingham. adimensionales que requieren reemplazar laoriginal lista original las variable El teorema Pi responde a la pregunta de quie• Una computadora personal de 64del proceso, yproceso, que a letra dice: “si dice: un se caracteriza por una que qu usan el proceso análisis referente al del500 a letra “si un dimensional proceso se caracteriza porecuación una ecuación bit, 4 GB memoria RAM, DD, y quenes número de grupos adimensionales que se re1GB tarjeta gráfica, entorno Win- físicas, involucra m variables entonces esta ecuación puede reducirse involucra m variables físicas, estalaecuación puede a una relació quieren paraentonces reemplazar lista original dereducirse lasa una relación dows Seven, versión 2010, Service variables del proceso, y que a letra dice: “si un Pack 1. entre m-n entre grupos donde ndonde representa de d m-nadimensionales grupos adimensionales independientes, n representa el número procesoindependientes, se caracteriza por una ecuación que el número involucra m variables físicas, entonces esta • Software comercial MATLAB verdimensiones básicas usadas para describir la variable” 2011; 2011; Qing-Ming, dimensiones básicas usadas para describir laa variable” (Gibbins, Qing-Ming ecuación puede reducirse una(Gibbins, relación entre sión 2013 para evaluar 14 variables m-n grupos adimensionales independientes, por medio matricial 2011). 2011). donde n representa el número de dimensio• Datos de resultados experimentales nes básicas usadas para describir la variable” de efecto medición de interface de (Gibbins, 2011; Qing-Ming, 2011). fricción entre una superficie ranuraUna función definida puedeUna expresar cualquier leypuede física o principio, si unsi u función definida puede expresar cualquier leyexpresar física o principio, función definida da y bagazo compactadoUna (Villarreal, cualquier ley física o principio, si un fenó2005) y 𝑎𝑎𝑎𝑎una variable fenómeno fenómeno físico tiene n tiene variables independientes 1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎2 , … físico nfísico variables 𝑎𝑎𝑎𝑎1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎32 , … 3 y una variabl meno tiene nindependientes variables𝑎𝑎𝑎𝑎independientes Métodos y Técnicas a , a2,… a3 y una variable dependiente V, endependiente V, entonces V es1 una función función de 𝑎𝑎𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎de …𝑎𝑎𝑎𝑎1𝑎𝑎𝑎𝑎 : 𝑎𝑎𝑎𝑎3 : 2 ,de dependiente V, entonces toncesVVesesuna una función a,1𝑎𝑎𝑎𝑎,32a,2… ,… a3: a. Modelamiento (1) (1 … , 1𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑎𝑎𝑎𝑎,2𝑎𝑎𝑎𝑎, … 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑎𝑎1𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑎𝑎=2 ,𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑘𝑘+1 𝑛𝑛𝑛𝑛 ) … , 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 ) (1) , 𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑎𝑎𝑎𝑎,𝑘𝑘𝑘𝑘+2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1…, 𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+2 El Análisis Dimensional a diferencia de los métodos arriba señalados, no tiene una Si el número de k,cantidades Si el número cantidades fundamentales es esesposible sin perder generalidad Si eldenúmero de cantidades fundamentales k, esfundamenposible sin perder generalida base teórica, esta se basa en el principio funtales es k, es posible sin perder generalidad damental que cualquier ecuaciónseleccionar o relación seleccionar k variables independientes , 𝑎𝑎𝑎𝑎2 , … dimensiones kindependientes variables𝑎𝑎𝑎𝑎1independientes k seleccionar variables 𝑎𝑎𝑎𝑎1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎32 , …con 𝑎𝑎𝑎𝑎3a1, con dimensione entre variables es dimensionalmente consisa2,… a3 con dimensiones independientes tente y similar; es decir, cada término en la sí como independientes entre grupoun cantidades fundamentales que tienen entre sícomo como unde grupo de cantidades fundaindependientes entre síun grupo de fundamentales que tiene relación tiene las mismas dimensiones (Domentales que tienen dimensiones A1, A2,… bre & Sánchez, 2007). El corolario dimensiones 𝐴𝐴𝐴𝐴1o, 𝐴𝐴𝐴𝐴con, 𝐴𝐴𝐴𝐴1 ,𝑘𝑘𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴, 2Arespectivamente. LasLas variables independientes restantes , respectivamente. variables indepen2 , … 𝐴𝐴𝐴𝐴 dimensiones ,k… , 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘𝑘𝑘 , respectivamente. Las variables independientes restante secuencia de este principio es que si toda la dientes restantes n-k, ak+1, ak+2,..., an son ecuación se divide a través ,n-k, 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+2𝑎𝑎𝑎𝑎,𝑘𝑘𝑘𝑘+1 … ,,de 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘𝑘+2 son derivadas condimensiones: dimensiones: n-k, 𝑎𝑎𝑎𝑎de 𝑘𝑘𝑘𝑘+1cualquiera cantidades derivadasderivadas con , …cantidades , 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 son cantidades con dimensiones: . los términos, cada término que queda en la 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑝𝑝2 𝑝𝑝𝑝𝑝 ecuación tiene una relación adimensional. 𝐴𝐴𝐴𝐴2 𝐴𝐴𝐴𝐴, …1 , ,𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘2𝑘𝑘𝑘𝑘, … , 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 1. = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘𝑘𝑘+1 1 ,= .1. .𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1 1 2 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑘𝑘𝑘𝑘𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑞𝑞𝑞𝑞1 𝑟𝑟𝑟𝑟1 𝑞𝑞𝑞𝑞2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑞𝑞𝑞𝑞2 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑞𝑞𝑞𝑞 1 2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘𝑘𝑘+1 𝐴𝐴𝐴𝐴,2𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, …, ,… , 𝐴𝐴𝐴𝐴 … , 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑘𝑘𝑘𝑘 3. = 2.𝑎𝑎𝑎𝑎= 1𝐴𝐴𝐴𝐴,1= 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎 21 𝐴𝐴𝐴𝐴2,𝑘𝑘𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘. El análisis dimensional tiene la desventa.2. ja de no dar información acerca de la forma 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟 . 3. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 .= 𝐴𝐴𝐴𝐴11 , 𝐴𝐴𝐴𝐴22 , … , 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 de las funciones, ni proporcionar un medio para evaluar constantes de donde proporcionalidad 𝑝𝑝𝑝𝑝1 , … , 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 𝑞𝑞𝑞𝑞1 , …donde , 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 𝑟𝑟𝑟𝑟1p,1… relevantes. La variabl 7 ,...,, 𝑟𝑟𝑟𝑟p𝑘𝑘𝑘𝑘k;=qvalores ,...qk; r1de ,...,potencias rk = valores de 1 numérica; sin embargo, el análisis dimensiorelevantes. La potencias variable dependiendonde 𝑝𝑝𝑝𝑝1 , … , 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 𝑞𝑞𝑞𝑞1 , … , 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑘𝑘𝑘𝑘 ; potencias 𝑟𝑟𝑟𝑟1 , … , 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘𝑘𝑘 = valores de relevantes. La variable nal tiene la ventaja de reducir el númeroa es de una cantidad dependiente derivada con funciones: te a es una cantidad derivada con funciones: variables colectándolas en grupos adimendependiente a es una cantidad derivada con funciones: 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 (2) sionales. Este es el caso de estudio de proble(2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝐴𝐴1 1 , 𝐴𝐴𝐴𝐴2 2 , … , 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 mas de dinámica de fluidos, transferencia de 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴 1k, 𝐴𝐴𝐴𝐴 , …potencias , 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 (2) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛m= donde son relevantes. 2 las 1, ...,1m calor o masa, y problemasdonde de mecánica 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘 son las potencias relevantes. 𝑚𝑚𝑚𝑚1 , … ,del sólido, en la cual se hace complejo su análisis Las cantidades fundamentales a1, a2,… a3 relevantes. donde 𝑚𝑚𝑚𝑚1 , … , 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘 son las potencias por las muchas variables que parecen afectar. pueden ser tomadas como un sistema unita72. Las cantidades fundamentales 𝑎𝑎𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎2 , … 𝑎𝑎𝑎𝑎3 pueden ser tomadas como un sistema. Las cantidades fundamentales 𝑎𝑎𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎2 , … 𝑎𝑎𝑎𝑎3 pueden ser tomadas como un sistema unitario para medir todas |las variables ecuación (1):| 2016 Usando | Campus V. XXI | No. en 21 la | enero-junio | la ecuación (1). unitario para medir todas las variables en la ecuación (1): Usando la ecuación (1), las magnitudes de todas las variables involucradas son números puro.

(5) 𝑎𝑎𝑎𝑎. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+2. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+2. 𝑓𝑓𝑓𝑓 �1,un1,sistema … , 1; en𝑝𝑝𝑝𝑝1la 𝑝𝑝𝑝𝑝ecuación , 𝑟𝑟𝑟𝑟la 0 𝑟𝑟𝑟𝑟2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘𝑘𝑘 � (1), …𝑞𝑞𝑞𝑞2Usando 𝑎𝑎𝑎𝑎3 )𝑞𝑞𝑞𝑞𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝 ,,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑞𝑞𝑞𝑞(1): 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘 = las 𝑚𝑚𝑚𝑚 medir 𝑚𝑚𝑚𝑚 unitario para 1, ,𝑎𝑎𝑎𝑎 como variables entales 𝑎𝑎𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎adimensionales; 𝑎𝑎𝑎𝑎1 1ser ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 2tomadas ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎todas 𝑎𝑎𝑎𝑎1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘1𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑎𝑎12 𝑎𝑎𝑎𝑎11 ,𝑎𝑎𝑎𝑎ecuación 2 , … 𝑎𝑎𝑎𝑎3 pueden 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 2 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 Predicción de correlación variables basado enf(x,y)=0, el anñalisissidemensional En una de función implícita, el numero N de variables. as las variables en la ecuación𝑎𝑎𝑎𝑎(1): Usando la ecuación (1),𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1. 𝑎𝑎𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎2 , … 𝑎𝑎𝑎𝑎3. en forma reducida: las magnitudes de= todas las, 1; variables números puros 𝑓𝑓𝑓𝑓 �1, 1, … , 𝑞𝑞𝑞𝑞1 𝑞𝑞𝑞𝑞2 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑘𝑘𝑘𝑘 , 𝑟𝑟𝑟𝑟1son (3) 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 involucradas 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘𝑘𝑘 � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑝𝑝2 𝑟𝑟𝑟𝑟 relaciona problema a una variable dependiente y N-1 variables 𝑎𝑎𝑎𝑎 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑎𝑎 a ,𝑎𝑎𝑎𝑎un ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 ,𝑎𝑎𝑎𝑎físico ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 e incluye 𝑎𝑎𝑎𝑎 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 1. 2. 1. 𝑘𝑘𝑘𝑘. odas las variables involucradas son números puros. 2. 1. 𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+2 2. 𝑘𝑘𝑘𝑘. 1. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+2 2. 𝑘𝑘𝑘𝑘. rio para medir todas las variables en la ecuatudes de todas las variables involucradas son , П2 , …expresar , П𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑘𝑘𝑘𝑘la) ley física del problema 𝑓𝑓𝑓𝑓(1, 1, … , 1; adimensionales; П1puede independientes, la función implícita adimensionales; (3) ción (1): Usando la ecuación (1), las magninúmeros puros 𝑎𝑎𝑎𝑎. 𝑘𝑘𝑘𝑘+1 una variable 𝑎𝑎𝑎𝑎independientes: dependiente El término de la ecuación (3),como 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1 izquierdo 𝑎𝑎𝑎𝑎como: 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 es de 𝑘𝑘𝑘𝑘+2función 𝑘𝑘𝑘𝑘+2 𝑝𝑝𝑝𝑝1𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1 𝑝𝑝𝑝𝑝2 implícita función variables 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎la 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+2 𝑘𝑘𝑘𝑘+2. = 𝑓𝑓𝑓𝑓 �1, 1, … , 1;. 𝑝𝑝𝑝𝑝. 𝑝𝑝𝑝𝑝. 𝑝𝑝𝑝𝑝 , 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑞𝑞𝑞𝑞 , 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑓𝑓𝑓𝑓 �1, 1,𝑟𝑟𝑟𝑟 …� , 1; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝11 ,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝22 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 , 𝑞𝑞𝑞𝑞1 𝑞𝑞𝑞𝑞2 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑘𝑘𝑘𝑘 , 𝑟𝑟𝑟𝑟1 𝑟𝑟𝑟𝑟2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘𝑘𝑘 � 𝑎𝑎𝑎𝑎1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1 𝑎𝑎𝑎𝑎1 , ,𝑎𝑎𝑎𝑎 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 ) = 𝑎𝑎𝑎𝑎1 0,𝑎𝑎𝑎𝑎2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑎𝑎 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎2 , …. 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑎𝑎 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑎𝑎 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑎𝑎1 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 1 2 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 1𝑚𝑚𝑚𝑚22. El término izquierdo de la ecuación (3),. 2 3 es una 1variable dependiente. 0 𝑓𝑓𝑓𝑓(Пderecho, , П𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑘𝑘𝑘𝑘las)=magnitudes adimensional denotada como П (pi). En el lado de 1 , П2 , … todas 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎𝑎𝑎1 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘. (3). en forma reducida: (3) adimensional denotada como П (pi). En el lado derecho,igual todasa las dea П. Las todas las primeras variables 1 ymagnitudes no Las afecta El término izquierdo de laindependientes ecuación (3), k es a 1 y𝑓𝑓𝑓𝑓(1, no afecta a P. magnitudes 1, … , 1; П1 , П2 , … , П𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑘𝑘𝑘𝑘 ) de las 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1 es una variable dependiente e la ecuacióntodas (3), las 𝑝𝑝𝑝𝑝 variables independientes n –Las k restantes, de𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝2 independientes k es igual a 1 y no afecta a П. una variable dependiente adi𝑎𝑎𝑎𝑎1 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2primeras ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 es variables Пla , magnitud … П3 magnitudes de las variables independientes n – k restantes, denotadas П 1 ,de 2 resolución notadas Py1,metodología P2,... 3 determina mensionalb. denotada como P la (pi). En problema el lado Descripción del físico función implícita como función de P variables independientes: de la variable dependiente 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1 como П (pi).magnitudes En el lado de derecho, todas las magnitudes de las variables independientes n las – k restantes, denotadas П1 , П2 , …P,Пdonde: derecho, todas las magnitudes de todas 3 El término izquierdo de la variable ecuación (3), 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 es una variable dependiente 𝑝𝑝𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑝𝑝2 determina la magnitud de la dependienteП, donde: primeras variables independientes k es igual 𝑎𝑎𝑎𝑎1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 )= 𝑓𝑓𝑓𝑓(П 0 , П , … , П 𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 1 2 ables independientes igual a 1de y la novariable afecta adependienteП, П. Las determinak laesmagnitud donde: 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1. П1 denotadas = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑝𝑝2П , П𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 ,;… ПП2 =𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑝𝑝2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 ; П3 𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑝𝑝𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑝𝑝2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 bles independientes n – k restantes, 1П 2 3 adimensional denotada como (pi). En el𝑘𝑘𝑘𝑘+1 derecho, todas 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑘𝑘+1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 lado ,𝑎𝑎𝑎𝑎 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 magnitudes ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑘𝑘+1𝑎𝑎𝑎𝑎 las. de. afectando la inter. Por lo tanto, la variable dependiente adimensional es una definida de Las las todas las primeras variables independientes k es Пigual a 1función y no afecta a П.. se muestra e. 1 2 𝑝𝑝𝑝𝑝 1 2se identificaron 1 𝑝𝑝𝑝𝑝 que 2 de; 𝑘𝑘𝑘𝑘14 variables podrían estar 𝑘𝑘𝑘𝑘 П1 =Un𝑝𝑝𝑝𝑝1 total П2 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 ; П3𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑝𝑝𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑝𝑝2 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎𝑎𝑎1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑎𝑎1 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑎𝑎1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 b. Descripción del problema físico y metodología de resolución de la variable dependienteП, donde: 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1. 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑝𝑝𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑝𝑝2 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘. (5). entre el𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1bagazo y la superficie de losdefinida rodillos (Figura 1), como Por lo tanto, la tanto, variable dependiente adimensional función de las 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1 Por lo la variable dependiente adi- П es b. una Descripción del problema físico y me-. ; П2 =. 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎𝑎𝑎1 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘. ; П3 =. 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎𝑎𝑎1 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘. mensional es una función todología de resolución variable independientes n-k:definida de las vavariable independientes n-k: П3 Análisis magnitudes de las variables independientes n – k restantes, denotadas Пpodrían Tabla 1.Para validar las variables relevantes halladas por Dimensiona 1 , П2 , …estar riable independientes n-k: Un total de 14 variables se identificaron que afectando la interface dependiente adimensional П es una función definida de las Un total de 14 variables se identificaron П= , Пnumero …𝟑𝟑𝟑𝟑 , П𝟑𝟑𝟑𝟑N de(4)variables (4) 𝟐𝟐𝟐𝟐, ,П П= П𝟏𝟏𝟏𝟏si,ПП𝟏𝟏𝟏𝟏el (4) 𝑎𝑎𝑎𝑎los Enn-k: una función implícita, f(x,y)=0, 𝑎𝑎𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎2 , …de que podrían estar la interface 𝟐𝟐𝟐𝟐 , … 3 afectando entre el bagazo y la superficie rodillos (Figura 1), encomo muestra en la co determina la magnitud de la variable dependienteП, donde: , 𝑎𝑎𝑎𝑎relaciona , …𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎33 En una una función función implícita, implícita, f(x,y)=0, f(x,y)=0, numero N N de de variables variables que En sisi elel numero 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎11, 𝑎𝑎𝑎𝑎 siguiente modelo matemático el esfuerzo de secorte tanto 22, … tre el bagazo y la superficie de los rodillos (FiEnfísico una función implícita, f(x,y)=0,dependiente si el a un problema e incluye a una Tabla variable y N-1 8 gura 1),yvariables como se muestra en la8 Tabla 1.Para Пelaciona (4) 1.Para dependiente validar las variables relevantes 𝟏𝟏𝟏𝟏 , П 𝟐𝟐𝟐𝟐 , … , П𝟑𝟑𝟑𝟑 aaun 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+1halladas por Análisis Dimensional, el relaciona unnumero problema físico e incluye a una variable dependiente N-1variables variables relaciona problema físico e incluye a una variable y N-1 𝑘𝑘𝑘𝑘+1 N de variables a , a ,… a relaciona 1 2 3 normal un plano Пcoeficiente ; П2 = 𝑝𝑝𝑝𝑝y1 el ; Пvariables validar por de deslizamiento 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘 fricción, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑘𝑘𝑘𝑘las 𝑝𝑝𝑝𝑝 halladas 𝑝𝑝𝑝𝑝 esfuerzo 𝑝𝑝𝑝𝑝 relevantes 𝑝𝑝𝑝𝑝 sobre 1 = 𝑝𝑝𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑝𝑝2 de 3 = ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎física ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎1 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 2 ,…,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 un problema físico puede e𝑎𝑎𝑎𝑎incluye a una variable ndependientes, la afunción implícita la ley del problema 1 ,𝑎𝑎𝑎𝑎2 expresar 1 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 8 Análisis Dimensional, el siguiente modesiguiente modelo matemático que relaciona el esfuerzo de corte tanto con el independientes, función implícita puede expresar ley física del del problema problema independientes, lala función implícita puede expresar lala ley física dependiente y N-1 variables independientes, lo matemático que relaciona el esfuerzo de de Coulomb), esla considerado: la función implícita puede expresar ley fíomo: coeficiente de fricción, y el esfuerzo normal sobre corteПtanto confunción el coeficiente de un fricción, es una definida deplano las yde deslizamiento (ley como: Por lo tanto, la variable dependiente adimensional como: sica del problema como: el esfuerzo normal sobre un plano de desli𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎2 , … 𝑎𝑎𝑎𝑎3 ) = 0 de Coulomb), es considerado: 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇 es considerado: zamiento (ley𝜏𝜏𝜏𝜏de=Coulomb), , 𝑎𝑎𝑎𝑎22, … , …n-k: 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑎𝑎11, 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎33))==00 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑎𝑎 variable independientes. n forma reducida: en forma reducida: enforma formareducida: reducida: en donde,. 𝜏𝜏𝜏𝜏 = 𝑐𝑐𝑐𝑐las + 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇 c en una constante que representa propiedades del material y el arr (4) П = П𝟏𝟏𝟏𝟏 , П𝟐𝟐𝟐𝟐 , … , П𝟑𝟑𝟑𝟑 donde, c en una constante que representa. 𝑓𝑓𝑓𝑓(1, 1, … , 1; П1 , П2 , … , П𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑘𝑘𝑘𝑘c) en una constante que representa las propiedades del material y el arreglo 𝑓𝑓𝑓𝑓(1,1,1,……, 1; , 1;ПП11, donde, , П22, … , П𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑓𝑓(1, П ,П 𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑘𝑘𝑘𝑘)) de los cuerpos, …en contacto:las propiedades del material y el arreglo de los cuerpos en contacto: función implícita como función de varia- en contacto: a función implícitalacomo función de variables independientes: 8 de losindependientes: cuerpos funciónimplícita implícitacomo comofunción funciónde devariables variables independientes: lalafunción bles independientes: 𝜏𝜏𝜏𝜏 (6) 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜏𝜏𝜏𝜏 𝑓𝑓𝑓𝑓(П1 , П2 , … , П𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑘𝑘𝑘𝑘 )= 0 (5)= (6) 𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 + )= 𝑓𝑓𝑓𝑓(П11, П 0 (5) , П22, … , …, П , П𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑘𝑘𝑘𝑘 )= 𝑓𝑓𝑓𝑓(П 0 (5) (5) 𝑁𝑁𝑁𝑁−𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜎𝜎𝜎𝜎. escripción del problema físico y metodología de resolución Tabla 1 Descripcióndel delproblema problema físico metodología deresolución resolución b.b. Descripción físico de Tabla 1 yymetodología 9. Un total de 14 variables se identificaron que podrían estar afectando la interface Untotal totalde de14 14variables variablesseseidentificaron identificaronque quepodrían podríanestar estarafectando afectandolalainterface interface Un. ntre el bagazo y la superficie de los rodillos (Figura 1), como se muestra en la entreelelbagazo bagazoyylalasuperficie superficiede delos losrodillos rodillos(Figura (Figura1), 1),como comosesemuestra muestraen enlala entre. Tabla 1.Para validar las variables relevantes halladas por Análisis Dimensional, el Tabla1.Para 1.Paravalidar validar las| variables variables relevantes halladaspor por Análisis Dimensional,elel Tabla las relevantes halladas Análisis Dimensional, | Campus V. XXI | No. 21 | enero-junio | 2016 |. iguiente modelo matemático que relaciona el esfuerzo de corte tanto con el siguiente modelo modelo matemático matemático que que relaciona relaciona elel esfuerzo esfuerzo de de corte corte tanto tanto con con elel siguiente. 73.

(6) Dr. William F. Villarreal Albitres. Tabla 1. Lista de variables evaluadas que están presenten en la interface de fricción bagazo y superficie de compactación. Lista de variables evaluadas que están presenten en la interface de fricción bagazo y superficie de. compactación.. La notación x= MaFbLcTd expresa las dimensiones masa, fuerza, longitud y tiempo Parámetros son variables que son constantes durante un evento particular.. Aun cuando no es posible definir el modelo matemático que relacione el coef. fricción con las variables independientes, el modelo físico usado para definir l fue expresado como función de catorce variables para nuestro caso de estudio: La notación x= M F L T expresa las dimensiones masa, fuerza, longitud y tiempo a b c d. Parámetros son variables que son constantes durante un evento particular.. sistema dimensional 1, y que es 𝜏𝜏𝜏𝜏, equivalente para un𝜌𝜌𝜌𝜌,sistema dimensional 2. Entonc 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, 𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝛾𝛾𝛾𝛾, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝐹𝐹𝐹𝐹, 𝐻𝐻𝐻𝐻, ℎ, 𝜃𝜃𝜃𝜃, 𝑒𝑒𝑒𝑒̇) c d notación definir x= MaFbLel T modelo expresa lasmatemático dimensiones masa, fuerza, longitud y tiempo Aun cuando no esLaposible que relacione el coeficiente de Parámetros son variables constantes durante un para evento particular. sistema dimensional yd expresa que es equivalente un sistema dimensional 2. Entonces problema como: La notación x= MaFbque L1,cTson las puede dimensiones masa, fuerza, longitud y tiempo donde f es laresolverse función desconocida. La función (7) puede el expresarse también co fricción con las variables independientes, el modelo físico usado para definir la relación Parámetros son variables que son constantes durante un evento particular. 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒1 problema puedeno resolverse Aun cuando es posiblecomo: definir el mo𝛾𝛾𝛾𝛾, ,∙𝑣𝑣𝑣𝑣,𝑎𝑎𝑎𝑎𝐹𝐹𝐹𝐹, 𝑎𝑎𝑎𝑎2𝑝𝑝𝑝𝑝, ,… =ℎ,𝑥𝑥𝑥𝑥.𝜃𝜃𝜃𝜃,𝐴𝐴𝐴𝐴𝜌𝜌𝜌𝜌, ∙ ̇ )𝐴𝐴𝐴𝐴=22 ,1… ,∙(8) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑄𝑄𝑄𝑄 ∙ 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, 𝑎𝑎𝑎𝑎11 ∙ 𝜏𝜏𝜏𝜏, 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐻𝐻𝐻𝐻, 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 fue expresado como de catorce variables para nuestro caso de estudio: delofunción matemático que relacione el coeficiente 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒1 𝑒𝑒𝑒𝑒1 técnica dimensional estáprincipio de transf ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎2técnica , … ,∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛del=análisis 𝑥𝑥𝑥𝑥. 𝐴𝐴𝐴𝐴1La ∙ dimensional 𝐴𝐴𝐴𝐴22 , … ,∙del 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛análisis 𝑄𝑄𝑄𝑄 donde: ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎independientes, de fricción con las variables está basada sobre el 1 La basada sobre el principio de transformación elAun modelo físico para definir cuando nousado es posible definir la el relamodelo matemático que relacione el coeficiente de entre un sistema dimensional unidad) y entre un sistemaendimensional y una(ohomogeneidad dimensional donde: ción fue expresado como función de catorce a1a2,…= dimensión sistema 1 (o unidad) una homogeneidad dimensional & fricciónpara connuestro las variables el modelo físico usado para definir la(Szirtes relación variables caso deindependientes, estudio: 2006). hay un para factorlanuRózsa, 2006). Entonces factor numérico cantidad dimensiona 1 dimensión a1a2,…= dimensión en sistema A1A2…= en Rózsa, sistemahay 2 un Entonces fue expresado de𝑒𝑒𝑒𝑒catorce para para nuestro caso (7) de dimensional estudio: (7)variables mérico la cantidad Q en el 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, 𝜏𝜏𝜏𝜏, 𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝛾𝛾𝛾𝛾,como 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝐹𝐹𝐹𝐹, función 𝐻𝐻𝐻𝐻, ℎ, 𝜃𝜃𝜃𝜃, 𝜌𝜌𝜌𝜌, ̇) sistema dimensional 1, y que es equivalente parasistema un sistema dimensional 2.equivalente Entonces el dimensional 1, ysistemas que es A1A2…= dimensión en sistema en ambos e1e2... 2= exponentes de dimensiones donde f es la función desconocida. La fundonde f es la función desconocida. La función (7) puede expresarse también como: para un sistema dimensional 2. Entonces el ción (7) puede expresarse también como: problema resolverse como: problema puede resolverse como e1e2...puede = exponentes de dimensiones sistemas n : númeroen deambos dimensiones en cada sistema 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, 𝜏𝜏𝜏𝜏, 𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝛾𝛾𝛾𝛾, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝐹𝐹𝐹𝐹, 𝐻𝐻𝐻𝐻, ℎ, 𝜃𝜃𝜃𝜃, 𝜌𝜌𝜌𝜌, 𝑒𝑒𝑒𝑒̇) = 1 (8) 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒2 𝛾𝛾𝛾𝛾,sistema 𝑒𝑒𝑒𝑒 1 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, 𝜏𝜏𝜏𝜏,cada 𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝐹𝐹𝐹𝐹, 𝜌𝜌𝜌𝜌,𝐴𝐴𝐴𝐴𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒̇ )expresa n : número de dimensiones x𝑒𝑒𝑒𝑒1:en un factor que , …𝑣𝑣𝑣𝑣,,∙numérico 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝐻𝐻𝐻𝐻, ℎ,=𝜃𝜃𝜃𝜃,𝑥𝑥𝑥𝑥. ∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴22 equivalente , … ,∙ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 de unidades (7) 𝑄𝑄𝑄𝑄 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎 1 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎2 sobre La técnica del análisis dimensional está basada el principio 1de transformación f es la función que desconocida. La (7) puede expresarse también como: x donde : un factor numérico expresa equivalente unidades Un cambio defunción sistemade de unidades para una variable dimensional V1 puede escri donde:donde: Un cambio(Szirtes de sistema entre un sistema dimensional (o unidad) y una homogeneidad dimensional y de unidades para 𝜏𝜏𝜏𝜏, 𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝐹𝐹𝐹𝐹, 𝐻𝐻𝐻𝐻, ℎ, 𝜃𝜃𝜃𝜃, 𝜌𝜌𝜌𝜌, 𝑒𝑒𝑒𝑒̇ )variable = 1 dimensional V puede escribirse (8) a1a2,…= dimensión en 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, sistema 1 𝛾𝛾𝛾𝛾, 𝑣𝑣𝑣𝑣,para una escribirse Un cambio de sistema decomo: unidades una variable dimensional V1 puede 1 Rózsa, 2006). hay un factor numérico cantidadcomo: dimensional Q en el ALa A …= dimensión sistema 21 para laestá a1a2Entonces ,…= dimensión enensistema 1 2 técnica del análisis dimensional basada sobre el principio de transformación 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 e1e2... = exponentes de dimensiones en amcomo: 𝑉𝑉𝑉𝑉1 = 𝑎𝑎𝑎𝑎11 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎21 ∙, … , 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 bos sistemas entre un sistema dimensional (o unidad) y una homogeneidad dimensional (Szirtes y 10 A1A2…= dimensión en sistema 2 sistema 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒1 𝑒𝑒𝑒𝑒1 n : número de dimensionespara en cada = 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙, … , 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑉𝑉 para un modelo físico f con i variables diun modelo i variables dimensionales y n=3 dimensiones en el siste 1 1 físico 2 f con 𝑛𝑛𝑛𝑛 Rózsa, 2006). Entonces hay un factor numérico para la cantidad dimensional Q en el x : un factor numérico que expresa equivamensionales y n=3 dimensiones en el siste𝑒𝑒𝑒𝑒21 𝑒𝑒𝑒𝑒31 𝑒𝑒𝑒𝑒2sistema: 𝑒𝑒𝑒𝑒11 dimensiones 𝑒𝑒𝑒𝑒en 𝑒𝑒𝑒𝑒11 𝑒𝑒𝑒𝑒21 𝑒𝑒𝑒𝑒31 e1e2...para = exponentes de dimensiones en ∙ambos sistemas 11 el 1 𝑒𝑒𝑒𝑒31 lente de modelo unidadesfísico un f con i variables dimensionales y n=3 ) = 𝑓𝑓𝑓𝑓�𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑉𝑉𝑉𝑉 1 𝑉𝑉𝑉𝑉2 ∙, … , 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖ma: 1 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑉𝑉𝑉𝑉1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎1 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑉𝑉𝑉𝑉1 , … , �𝑎𝑎𝑎𝑎1 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑉𝑉𝑉𝑉1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑓𝑓�𝑎𝑎𝑎𝑎111 𝑎𝑎𝑎𝑎221 𝑎𝑎𝑎𝑎331 𝑉𝑉𝑉𝑉1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎111 𝑎𝑎𝑎𝑎221 𝑎𝑎𝑎𝑎331 𝑉𝑉𝑉𝑉1 , …. = cada sistema 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑉𝑉𝑉𝑉 n : número de dimensiones 1 ∙ 𝑉𝑉𝑉𝑉2 ∙, … , 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 ) en. ,. 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑎𝑎𝑎𝑎111 𝑎𝑎𝑎𝑎221 𝑎𝑎𝑎𝑎331 𝑉𝑉𝑉𝑉1. 10. Para unaequivalente relación entre Nv variables V1V2,…. y Na dimensiones d1d2 …, la tare x : un factor numérico que expresa de unidades. Para V1V| 2Campus ,…. y N|aV.dimensiones …, la tarea en | determinar combinaciones de| 2016 variables elevadas a c v variablesestas 2 (grupos) 74 una relación entre N XXI particulares | No. 21d|1denero-junio. Un cambio de sistema de unidades para una variable dimensional V1 puede escribirse. determinar estas combinaciones (grupos) de variables elevadasdimensional a cierta preseleccionada, e potencia particulares (incógnitas) el cual posee una composición.

(7) modelo físico f con i variables dimensionales y n=3 dimensiones en el sistema: 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. de variables en el anñalisis demensional 31 31 1 11correlación 21 11 basado 21 𝑎𝑎𝑎𝑎331 𝑉𝑉𝑉𝑉1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎de 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑉𝑉𝑉𝑉1 ∙ 𝑉𝑉𝑉𝑉2 ∙, … , 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 ) = 𝑓𝑓𝑓𝑓�𝑎𝑎𝑎𝑎111 𝑎𝑎𝑎𝑎22Predicción 1 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑉𝑉𝑉𝑉1 , … , �𝑎𝑎𝑎𝑎1 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑉𝑉𝑉𝑉1 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. o como vector. o como vector Para una relación entre Nv variables V V ,…. y N dimensiones d d …, la tarea na relación entre N1v 2variablesa V1V2,…. y Na1 dimensiones d1d2 …, la tarea en 2 en determinar estas combinaciones particulares (grupos) de variables elevadas cierta elevadas a cierta inar estas combinaciones particulares (grupos) de avariables potencia (incógnitas) el cual posee una coma (incógnitas) el cual poseedimensional una composición dimensional posición preseleccionada, es: preseleccionada, es: 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝑒𝑒𝑒𝑒. �𝑉𝑉𝑉𝑉1 1 𝑉𝑉𝑉𝑉2 2 𝑉𝑉𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑛𝑛𝑛𝑛 � = 𝑎𝑎𝑎𝑎11 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎21 ∙, … , 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 (10) Para este conjunto, catorce variables son determinadas, cuatro dimensiones, y diez productos de variables pueden ser halladas ste conjunto, catorce variables son determinadas, cuatro dimensiones, yResultados diez y Discusión por medio de las ecuaciones simultaneas. Las ecuaciones simultáneas son convertidas tos de variables pueden ser halladas por(9) medio de las ecuaciones simultaneas. Correlación de Variables por Análisis Dia matriz vectorial para hallar las incógnitas mensional e1e2….e las Pa que darán las uaciones simultáneas (9)n. Para son calcular convertidas matriz vectorial para hallar las variables relevantes de las 14 variables que La Tabla 2 es el conjunto dimensional podrían influir en la interface de fricción. Se itas e1e2….en. Para calcular las П que darán las variables relevantes de las 14 o matriz principal que resultó del cálculo requiere procesar matricial por MATLAB de las 14 variables es que podrían influir en 𝜏𝜏𝜏𝜏,la𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝛾𝛾𝛾𝛾, interface fricción. Se requiere procesar П la=Tabla indicadas en Esta tablaserán está diviP =𝑓𝑓𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝐹𝐹𝐹𝐹, 𝐻𝐻𝐻𝐻, ℎ,de𝜃𝜃𝜃𝜃, 𝜌𝜌𝜌𝜌, 𝑒𝑒𝑒𝑒̇) − 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑀𝑀𝑀𝑀𝐹𝐹𝐹𝐹𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀) ecuaciones simultaneas; por1. lo tanto, dida en cuatro sub-matrices, de las cuales la 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝛼𝛼𝛼𝛼, 𝜏𝜏𝜏𝜏, 𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝛾𝛾𝛾𝛾, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝐹𝐹𝐹𝐹,ecuaciones 𝐻𝐻𝐻𝐻, ℎ, 𝜃𝜃𝜃𝜃, 𝜌𝜌𝜌𝜌, simultaneas; 𝑒𝑒𝑒𝑒̇) − 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑀𝑀𝑀𝑀𝐹𝐹𝐹𝐹𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀) simultaneas; por lo tanto, serán por ecuaciones lo tanto, serán sub-matriz inferior izquierda representa el valores de П según el resultado hallado 11 diez diez valores de según el resultado hallado de de la ecuación (10): diez valores de П según el resultado hallado de la ecuación (10):número П’s que nuestro modelo (ecuación la ecuación (10): 6) tendrá como variables independientes más relevantes. Las otras sub-matrices representaron las consistencia dimensional, probable no-relevancia y singularidad matricial. el número П’s que nuestro modelo (ecuación 6) tendrá como variables independientes. más relevantes. Las otras sub-matrices representaron las consistencia dimensional,. (9). probable no-relevancia y singularidad matricial.. o como vector. Tablao 2como vector. (9). (9). RESULTADOS Y DISCUSIÓN Tabla 2. Matriz dimensionalMatriz para el coeficiente de fricción para variables adimensionales. Las filas son dimensional para el coeficiente de fricción para diez diez variables adimensionales. Las filas son para dimensiones y columnas para variables para dimensiones y columnas para variables. Correlación de Variables por Análisis Dimensional. La Tabla 2 es el conjunto dimensional (10) o matriz principal que (10). matricial por MATLAB de las 14 variables indicadas en la Tab. dividida en cuatro sub-matrices, de las cuales la sub-matriz inferior. | Campus | V. XXI | No. 21 | enero-junio | 2016 | Las variables adimensionales agrupadas en П son:. 75.

(8) o como función:. donde f es la función aún a ser determinada. La función f es una relación algebraica Dr. William F. Villarreal Albitres. equivalente a:. 𝑛𝑛𝑛𝑛. 𝑛𝑛𝑛𝑛. 𝑛𝑛𝑛𝑛. 𝑛𝑛𝑛𝑛. 𝑛𝑛𝑛𝑛. 𝑛𝑛𝑛𝑛. 𝑛𝑛𝑛𝑛. 𝑛𝑛𝑛𝑛. 𝑛𝑛𝑛𝑛. 3 6 2 4 Π = 𝑓𝑓𝑓𝑓�k, Πagrupadas Π5 5ПΠ6son: Π7 7 Π8 8 Π9 9 Π1010 � Las variables Las variables adimensionales adimensionales agrupadas 2 Π3 Π4 en en P son: 𝜏𝜏𝜏𝜏 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 ℎ𝐻𝐻𝐻𝐻 Π5 = 2 o como función:Π1 = 𝜇𝜇𝜇𝜇 Π2 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 Π3 = 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖 Π4 = 𝑣𝑣𝑣𝑣 2 𝑣𝑣𝑣𝑣 donde k y n2,…,n son incógnitas a ser determinadas en la ecuación (11). Π𝐹𝐹𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒 = ̇ 𝐻𝐻𝐻𝐻Π21 Π2 Π3 Π4 Π 𝜆𝜆𝜆𝜆 5 Π6 Π7 Π𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑒𝑒𝑒𝑒̇𝑣𝑣𝑣𝑣 8 Π9 Π10 Π8 = Π9 = Π10 = Π6 = 0 Π7 = 4 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑣𝑣𝑣𝑣 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐻𝐻𝐻𝐻. (11). Existen tres formas de hallar estas incógnitas: experimentalmente, por análisis y o como función: donde es Πla Πfunción a ser determinada. La función f es una relación algebraica Π =f Π Π5 Πaún Π9 Πdos función no f esestuvieron una relación equi1 2 3 Π4 6Π 7 Π8los 10 primerosLa heurísticamente. Puesto que métodos al algebraica alcance, se usó valente a: 13 donde f es la función aún a ser determinada. equivalente problemas de manera informal el método a:heurístico, el cual consiste en solucionar. 𝑛𝑛𝑛𝑛2 𝑛𝑛𝑛𝑛3 𝑛𝑛𝑛𝑛4 𝑛𝑛𝑛𝑛5 𝑛𝑛𝑛𝑛6 𝑛𝑛𝑛𝑛7 𝑛𝑛𝑛𝑛8 𝑛𝑛𝑛𝑛9 𝑛𝑛𝑛𝑛10 (11) Π La = 𝑓𝑓𝑓𝑓�k, Π6 ejemplo, Πalgebraica (11) donde f es la función aúnempleando a ser determinada. función fΠes una relación la experiencia yΠ2creatividad. obvio 4 Π 3 Π 7 Π8 Πes 9 Π 10 � de las relaciones 5Por. donde k y n2,…,n son incógnitas a ser deterque los exponentes n ,n3,n5,n6,n8, n9 y n10, anteriores que los exponentes n2,n3,n5,n6,n8, n9 y n10, deberían2 estar entre 0 y 1, de minadas en la ecuación (11). deberían estar entre 0 y 1, de otra manera 𝑛𝑛𝑛𝑛2 𝑛𝑛𝑛𝑛3 𝑛𝑛𝑛𝑛4 𝑛𝑛𝑛𝑛5 𝑛𝑛𝑛𝑛6 𝑛𝑛𝑛𝑛7 𝑛𝑛𝑛𝑛8 𝑛𝑛𝑛𝑛9 𝑛𝑛𝑛𝑛10 μ estaríaenmal definido. (11). Si la altura h de la Π = donde 𝑓𝑓𝑓𝑓�k, Π6incógnitas Π7 Π Π10 (11) �la altura ,…,n ecuación kΠ y 3n2Π 4μ Π 8 Π9a ser 5son otraΠ2manera estaría mal definido. Sideterminadas h de la la aspereza incrementa entonces μ Existen tres formas de hallar estas inaspereza incrementa entonces μ aumentará a cógnitas: experimentalmente, por análisis causa de una mayor penetración en el bagaaumentará a causa de una mayor penetración en el bagazo; de esta forma una mayor y heurísticamente. Puesto que los dos prizo; de esta forma una mayor intensidad de 2 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝜃𝜃 ⁄2 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ Πla 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 2 5 Πfibra meros métodos nofuerza estuvieron allaalcance, se (11). fuerza requerirá para desplazar a tres ser determinadas en ecuación donde k y n2,…,n son incógnitas = = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ � � den-el intensidad deformas requerirá para desplazar la fibra dentro del bagazo. Haciendo Existen de hallar estas incógnitas: experimentalmente, por 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 Π9 análisis y usó el método heurístico, el cual consiste en tro del bagazo. Haciendo el correspondiente solucionar problemas de manera informal razonamiento heurístico a cada variable adicorrespondiente razonamiento a cada adimensional heurísticamente. Puesto que los dos primeros métodos no estuvieron aly acoplando alcance, selausó reemplazando laheurístico ecuación envariable la ecuación (12): la ecuación empleando la experiencia y creatividad. Por (13) mensional y acoplando (6) a la Existen tres formas deejemplo, hallar esestas experimentalmente, por análisis obvioincógnitas: las relaciones ecuación (11) se2yllega a la siguiente relación: a de la ecuación (11)anteriores se llega a la relación: Π Π Π el ecuación método (6) heurístico, el cual consiste ensiguiente solucionar problemas de Πmanera informal Π1 = Π3 + 𝑘𝑘𝑘𝑘1 5Π 6Π 10 + 𝑘𝑘𝑘𝑘2 Π2 6 8 9 heurísticamente. Puesto que los dos primeros métodos estuvieron al∙ Π alcance, se Πusó∙ Π )+ (Πno Π = ∙ Π ∙ Π ∙ Π ∙ Π (12) (12) 3 4 5 6 7 8 2 9 empleando la experiencia y creatividad. Por ejemplo, es obvio de las relaciones. equivalente a:. (1. (1. el método heurístico, el cual consiste en solucionar problemas de manera informal El producto relaciona por tanto, losentre valores n2,n3,nel5,n6,n nadimensionales deberían estar 0 yadi1, de anteriores que adimensional los exponentes 8, nlo 9 y 10, reemplazando por lo tanto, reemplazando los valores en la ecuación (14): máximo esfuerzo de Por corte ejemplo, y está expresado mensionales en la ecuación (14): empleando la experiencia y creatividad. es obvio de las relaciones El producto adimensional Π9 relaciona el máximo esfuerzo de corte y está expresado como una función tanto del área aparente ⁄2 𝜌𝜌𝜌𝜌 ℎ2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝜃𝜃 otra manera μ estaría mal definido. Si la altura h de la aspereza incrementa entonces μ 𝜇𝜇𝜇𝜇 = + 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝐻𝐻𝐻𝐻∙𝑣𝑣𝑣𝑣 ∙ 𝑒𝑒𝑒𝑒̇ � + 𝑘𝑘𝑘𝑘2 (15) (1 �𝛼𝛼𝛼𝛼 como real de la superficie ranurada del dien𝑖𝑖𝑖𝑖 1 anteriores que los exponentes n ,n ,n ,n ,n , n y n , deberían estar entre 0 y 1, de 2 3 5 6 8 9 10 𝛾𝛾𝛾𝛾 como una función tanto del área aparente como real de la superficie ranurada del diente te del rodillo como se muestra en la Figura aumentará a causa de una mayor penetración en el bagazo; de esta forma una mayor 3. La relación entre el área aparente y real, (15) que aparente el coeficiente de otra manera μ estaría mal del definido. la altura h de la aspereza incrementa entonces μsugiere rodilloSicomo se muestra en la Figura 3. laLaecuación relación entre el área y real, según la Figura 3 es: fricción no solo depende de la deformación intensidad de fuerza requerirá para desplazar la fibra dentro del bagazo. Haciendo el de corte material, sino la tola3 ecuación (15) sugiere que el coeficiente de también friccióndeno solo depende de aumentará a causa de una𝐴𝐴𝐴𝐴según mayorla penetración de esta forma unadel mayor Figura es: en el bagazo; 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝜃𝜃⁄ 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ Π25 Π2Π2 Π 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝜃𝜃 ⁄22 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ 5 2 pografía de la superficie del rodillo, el ángulo = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ � � (13) = = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ � Π (13) � (13) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 correspondiente a cada variable adimensional y acoplando la 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 razonamientoΠ9heurístico 𝐴𝐴𝐴𝐴 9 del acanalado superficie, lade la superficie deformación corte material, sino otambién intensidad de fuerza 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 requerirá para desplazar la fibra de dentro deldel bagazo. Haciendo elranuradodedelala topografía 14 reemplazando la ecuación (13) en la ecuacompactación o densificación del material reemplazando la ecuación (13) en laecuación ecuación (12): ecuación (6) a la ecuación (11) se llega a la siguiente relación: mplazando la ecuación (13) en la (12): el ángulo del acanalado ola viscosidad ranurado de líquido la superficie, ción (12): fibroso, del contenidola compactación correspondiente razonamiento heurísticorodillo, a cada variable adimensional y acoplando la en el bagazo, y la velocidad periférica del roΠ252ΠΠ6 ΠΠ Π2 Π 1010 Π ) + Π2 ∙(14) (Π 5 6 Π = ∙2Πmaterial ∙ Π5 ∙ Πfibroso, ∙ Π7 ∙ Π Π9del líquido contenido (12) (14) = Π + 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 Π 3 4 6 8viscosidad densificación del la(14) en el bagazo, y 1 3 1 2 = Π + 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 ecuación (6) a la ecuaciónΠ(11) se llega a la siguiente relación: dillo. 1 3 1 Π Π Π2 88 Π66 Π. 9. Π9. Π = (Π3 ∙ Π4 ∙ Π5 ∙velocidad Π6 ∙ Π7 ∙ Πperiférica 8 ) + Π2 ∙ Πdel 9 rodillo.. (12). relaciona el máximo Ellos producto por loreemplazando tanto, reemplazando los valoresadimensional adimensionales Π en9 la ecuación (14): lo tanto, valores adimensionales en la ecuación (14): esfuerzo de corte y está expresado. 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝜃𝜃 ⁄2esfuerzo ℎℎ 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝜃𝜃 el 𝜌𝜌𝜌𝜌máximo de cortecomo y estáreal expresado El producto adimensional Π9 relaciona como una función del aparente de la superficie ranurada del diente ⁄área 𝜌𝜌𝜌𝜌tanto 𝜇𝜇𝜇𝜇 = + 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ ∙ 𝑒𝑒𝑒𝑒2̇ �∙+𝑒𝑒𝑒𝑒̇ �𝑘𝑘𝑘𝑘2+ 𝑘𝑘𝑘𝑘2 (15) 𝑖𝑖𝑖𝑖 1 𝜇𝜇𝜇𝜇 = + 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ (15) �𝛼𝛼𝛼𝛼�𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 1 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾 𝐻𝐻𝐻𝐻∙𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐻𝐻𝐻𝐻∙𝑣𝑣𝑣𝑣 76 | Campus | V. XXI | No. 21 | enero-junio | 2016 | como una función tanto del área aparente real de la del diente rodillo comocomo se muestra ensuperficie la Figuraranurada 3. La relación entre el área aparente y real,.

(9) valor máximo. La compactación (𝛾𝛾𝛾𝛾) parece ser el factor que más influye en el Predicción de correlación de variables basado en el anñalisis demensional. coeficiente de fricción y muestra una tendencia negativa cuando incrementa la. compactación del material. Porterial. lo tanto, siguiente correlación puede existir para el Por lolatanto, la siguiente correlación puede existir para el coeficiente de fricción coeficiente de fricción en un rodillo de molino de caña: en un rodillo de molino de caña: (16) 𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝛾𝛾𝛾𝛾, 𝜃𝜃𝜃𝜃, ℎ, 𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝑣𝑣𝑣𝑣, 𝑒𝑒𝑒𝑒̇ 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖 ) (16) La ecuación 16 expresa que la interface de fricción entre la superficie de los rodillos y el La ecuación 16 expresa que la interface fricción la superficie de los rodillos y el bagazo dede caña existeentre una fuerte correlación entre la compactación del bagazo, q, el ángubagazo de caña existe una fuerte correlación entre la compactación lo, del diente o ranurado de la superficie del de bagazo, 𝛾𝛾𝛾𝛾, el los rodillos, la altura, h, de dientes del ranuángulo, 𝜃𝜃𝜃𝜃, del diente o ranurado delalapresión superficie de lossobre rodillos, la altura, rado, hidráulica el bagazo, p, h, de dientes que se aplica a los rodillos, la velocidad lineal del ranurado, la presión hidráulica sobre el rodillos, bagazo, ángulo p, que de se deformaaplica a los rodillos, la de giro de los ción, , de la película del liquido velocidad lineal giro de los rodillos, ángulo de deformación, 𝑒𝑒𝑒𝑒̇, de la película del Figura 3. Contacto de área rugosa comode función Correlación de variables experimentales de la penetración del bagazo. 15 liquido Las Figuras 4 y 5, respectivamente, son La altura de penetración puede asumirlos resultados de cinco variables analizadas se como una constante, considerando que el experimentalmente sobre su efecto sobre la material se llena en la ranura de la superficie. interface de fricción entre la superficie del de variables Las variables tales Correlación como la velocidad perifé- experimentales rodillo y el bagazo compactado. Estos resulrica, compactación y presión normal causa tados validaron los resultados hallados prereducción del coeficiente de fricción, mienviamente mediante el Análisis Dimensional, tras que los otros parámetros lo incremenLas Figuras 4 y 5, respectivamente, son losque resultados de cinco analizadas demostrando este es una técnicavariables que tan. A condiciones iniciales de operación, el predice confiablemente las variables más recoeficiente ai, que representa el ángulo de previamente mediante el Análisissobre Dimensional, demostrando este es unade técnica que entre la superficie del experimentalmente su efecto sobre laque interface fricción levantes en el estudio de un fenómeno. Rescontacto o agarre del material tiene un valor pecto a las variables y , respectivamente, no confiablemente las variables máximo. Lapredice compactación (g) parece ser el más relevantes en el estudio de un fenómeno. rodillo y el bagazo compactado. Estos resultados validaron los resultados hallados se puede predecir su correlación porque no factor que más influye en el coeficiente de Respecto a las variables 𝑒𝑒𝑒𝑒̇ y 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖 , respectivamente, no se puede predecir su correlación fue incluido en la investigación como variafricción y muestra una tendencia negativa blevariable de estudio. porque no fue incluido en la investigación como de estudio. cuando incrementa la compactación del ma16. Figura 4. Efecto de la rugosidad de la superficie del rodillo, el ranurado de la superficie y la compactación Figura 4. Efecto de la rugosidad de la superficie del rodillo, el ranurado de la superficie del bagazo. y la compactación del bagazo.. | Campus | V. XXI | No. 21 | enero-junio | 2016 |. 77.

(10) Figura 4. Efecto de la rugosidad de la superficie del rodillo, el ranurado de la superficie Dr. William F. Villarreal Albitres y la compactación del bagazo.. Figura 5. Interacción entre las variables de compactación del bagazo, ranurado de la superficie y rugosi17 dad de la superficie.. Conclusiones. La técnica del análisis dimensional aplica a resolver problemas de la mecánica del sólido.. La técnica del Análisis Dimensional permite predecir con bastante confiabilidad las variables que están correlacionadas en un fenómeno físico.. Los exponentes incógnitas de las variables adimensionales deben ser solucionados heurísticamente.. Los resultados experimentales validaron la correlación existente entre la variable dependiente y las variables independientes predichas por el Análisis Dimensional.. No se midió el efecto del líquido retenido en el bagazo ni el ángulo de contacto con que agarra el material a ser compactado por los rodillos debido a que no fue parte del proyecto experimental.. Agradecimiento El autor desea agradecer al Dr. Jenner Espinoza R., Coordinador Académico de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad de San Martín de Porres- Filial Norte, por el apoyo y facilidades brindadas en la publicación de este artículo científico, así como promover la investigación en la Escuela de Ingeniería Industrial.. 78. | Campus | V. XXI | No. 21 | enero-junio | 2016 |.

(11) Predicción de correlación de variables basado en el anñalisis demensional. Referencias Dobre, T. & Sanchez, J. (2007). Chemical Engineering, Modelling, Simulation, and Similitude. Germany: Wiley-VCH. Gibbins, J.C. (2011). Dimensional Analysis. U.K.: Springer London. Hugot, E. (1986). Handbook of Cane Sugar Engineering. Amsterdam: Elsevier Pub. Kannapiran, A. (2003). Computational and Experimental Modelling of the Crushing of Prepared Sugar Cane (PhD Thesis, James Cook University, Australia). Kent, G. A. (2003). Increasing the Capacity of Australian raw sugar factory milling sugar (PhD Thesis, James Cook University, Australia).. Kent, G.A. (2014). An alternative Approach to Setting a Mill. Proc S Afr Sug Technol Ass, 87, 172 - 181 Qing-Ming, T. (2011). Dimensional Analysis. Germany: Springer-Verlag. Szirtes, T. & Rózsa, P. (2006). Applied Dimensional Analysis and Modeling (2a ed.). USA: Elsevier Science & Technology Books. Villarreal, W. F. (2005). An experimental investigation into effect of the interface friction on baggase compaction between grooved steel platens (Master Thesis, James Cook University, Australia).. | Campus | V. XXI | No. 21 | enero-junio | 2016 |. 79.

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