Matematicas2 Editorial Norma

Alejandro Olea Díaz

Eduardo Basurto Hidalgo

Marco Antonio Rivera Paredes

22

Contexto matemático 2, fue elaborado según el plan del Departamento de

Investigación Educativa de Norma Ediciones S.A. de C.V., bajo la dirección de José de Jesús Arriaga Carpio.

Participaron en esta obra:

Revisión técnica: Pablo Pulido y Ricardo Strausz Coordinación editorial: Merari Fierro

Diseño de interiores: Fusión Diseño (Alma R. Ruiz Macías y Martín Morales Badillo) Diagramación: Fusión Diseño (Alma R. Ruiz Macías y Martín Morales Badillo) Diseño de cubierta: Paulina González Pastrana

Lecturas: Gabriela Araujo y Claudia Cabeza de Vaca

Fotografía de cubierta: Archivo de Norma Ediciones S. A. de C. V.

Ilustraciones: Alfredo de la Rosa Olguín, Alma R. Ruiz Macías y Martín Morales Badillo Fotografía interiores: Archivo AGRAL y

Fusión Diseño (Alma R. Ruiz Macías y Martín Morales Badillo) Apoyo iconográfico: Carlos García y

Fusión Diseño (Alma R. Ruiz Macías y Martín Morales Badillo)

Contexto matemático 2. Matemáticas de segundo grado de secundaria

Derechos reservados: © 2008, Alejandro Olea Díaz

Eduardo Basurto Hidalgo Marco Antonio Rivera Paredes

© 2008, Norma Ediciones, S.A. de C.V. Avenida Presidente Juárez núm. 2004 Fraccionamiento Industrial Puente de Vigas CP 54090, Tlalnepantla, Estado de México

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 3074

ISBN 978-970-09-0985-1

El contenido y diseño de Contexto matemático 2. Matemáticas de segundo grado de secundaria son propiedad de la casa editora. La publicación no puede ser reproducida o transmitida de manera parcial o total mediante algún sistema electrónico o mecánico, sin el consentimiento previo y por escrito de la editorial.

Impreso en México

Printed in Mexico

Primera edición: 2008

Estimado alumno o alumna:

ste libro de texto es un material que tiene como propósito

fundamental apoyarte en el aprendizaje de las matemáticas. Pensando en tu curiosidad y en la disposición para enfrentarte a nuevos retos, hemos diseñado este libro de segundo grado, en el que tendrás la oportunidad de explorar (a través de las actividades que se te proponen, del trabajo individual o en equipo y del apoyo de tu profesor) el fascinante mundo de las matemáticas. Esperamos que esto te permita reconocer que las matemáticas son una herramienta interesante y útil presente no sólo en las ciencias, sino también en el arte, los deportes y la vida de todos los días.

En el desarrollo de las lecciones se abordan los ejes Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. Su estudio te permitirá hacer tuyos los conocimientos que se presentan, a la vez que desarrollar habilidades matemáticas.

Sabemos que para ello necesitas adquirir la confianza y la seguridad suficiente para resolver problemas mediante el descubrimiento, el análisis, la reflexión y la ejecución de tus propios métodos; pero sobre todo, habrá que hacer a un lado la memorización. Por ello, es importante que al tener una estrategia o un procedimiento para resolver problemas, los comuniques a tus compañeros, argumentando cómo lograste llegar a la solución.

Gracias a su estructura este libro te presenta una gran variedad de situaciones, con el propósito de que tengas la oportunidad de analizar, discutir, escuchar a tus compañeros, comunicar y argumentar sobre el trabajo que estén desarrollando a lo largo de las actividades. Esperamos que este libro sea una herramienta útil para el placer de hacer y aprender matemáticas.

Los autores

Presentación

44 Contenido

ÍNDICE

Lección Semana Contenido Conocimientos y habilidades Pág.

Bloque 1 Proyecto 1 1 1. Multiplicación y 1 división de números con signo 2. Adición y 2 sustracción de expresiones algebraicas 3. Identidades 3 algebraicas 4. Estimar y 4 medir ángulos 5. Posiciones relativas 5 de dos rectas en el plano 6.Ángulos entre 6 paralelas cortadas por una transversal

7. El factor inverso 7 de una relación de proporcionalidad 8.Proporcionalidad 8 múltiple 9. Problemas de 9 conteo 10. Polígonos de 10 frecuencia Conexiones 10 ¿Qué aprendí? 11

Multiplicación y división de números con signo.

Division de números con signo.

Significados de la adición y sustracción con expresiones algebraicas a partir de situaciones concretas.

Elaboración y uso de procedimientos para sumar y restar polinomios.

Obtención de expresiones algebraicas equivalentes.

Medición de ángulos.

Posiciones relativas entre rectas en el plano. Ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. Definición de ángulo recto y rectas

perpendiculares.

Ángulos que se forman con dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Proporcionalidad directa; problemas de cuarta proporcional y cálculo de factor inverso.

Cálculo de factor de proporcionalidad múltiple.

Uso de arreglos rectangulares en problemas de conteo.

Problemas sencillos de conteo: combinación, permutación y variación.

Uso de diagramas de árbol en problemas de probabilidad.

Gráficas estadísticas:

diagramas y polígonos de frecuencia.

Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos utilizando el grado como unidad de medida.

Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades.

Verificar los resultados mediante arreglos rectángulares, diagramas de árbol u otros recursos.

Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.

10 12 13 17 21 25 31 35 41 47 51 57 61 62

Lección Semana Contenido Conocimientos y habilidades Págs. Bloque 2 Proyecto 2 11 11. Operaciones 11 combinadas 12. Multiplicación 12 y división de expresiones algebraicas 13. Cuerpos 13 geométricos 14. Cubos, prismas 14 y pirámides 15. Volumen de 15 cubos, prismas y pirámides 16. Comparación de 16 razones con base

en la noción de equivalencia 17. Medidas de 17 tendencia central Conexiones 17 ¿Qué aprendí? 18 Bloque 3 Proyecto 3 18 18. Sucesiones 18 de números con signo

Volumen y capacidad de cubos y prismas.

Jerarquía de las operaciones. Uso de paréntesis.

Elaboración y uso de procedimientos para multiplicar y dividir polinomios.

Cubos, prismas y pirámides. Elementos y propiedades. Desarrollos planos. Vistas de un cuerpo geométrico.

Justificación de las fórmulas de volumen de cubos, prismas, paralelepípedos rectos y pirámides.

Equivalencia entre unidades de volumen y capacidad.

Volumen de cubos, prismas y pirámides.

Comparación de razones.

Propiedades de la media.

Teselación.

Construcción de sucesiones de números con signo a partir de una regla dada y obtención de la regla que genera la sucesión (conjetura de Siracusa).

Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos.

Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos.

Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad, y analizar la relación entre ellas.

Resolver problemas de comparación de razones con base en la noción de equivalencia.

Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.

Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo.

64 66 67 73 77 83 89 93 97 103 104 106 108 109

66 Contenido

Lección Semana Contenido Conocimientos y habilidades Pág.

19. Ecuaciones de 19 la forma ax + bx + c = dx + ex + f 20.Cantidades que 20 varían una en función de la otra 21. Ángulos internos 21 de polígonos 22. Recubrimientos 22 del plano 23. Relaciones 23 lineales asociadas a diversos fenómenos 24. Gráficas de la 24 forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b 25. Gráficas de la 25 forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de m Conexiones 25 ¿Qué aprendí? 26 Bloque 4 Proyecto 4 26 26. Potenciación 26 y notación científica

Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado de la forma

ax + bx + c = dx + ex + f aplicando las

propiedades de igualdad.

Resolución de ecuaciones con paréntesis.

Uso de tablas y expresiones algebraicas para representar e interpretar funciones lineales.

Justificación de la fórmula con que se obtiene la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.

Recubrimiento del plano.

Gráficas de función lineal.

Análisis del parámetro b en las gráficas de función lineal.

Análisis del parámetro m en las gráficas de función lineal.

Centro de gravedad.

Leyes de los exponentes: productos y cocientes de potencias, potencia de una potencia. Exponentes negativos.

Empleo de la notación científica para describir fenómenos expresados mediante números muy grandes o muy pequeños.

Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma:

ax + bx + c = dx + ex + f, con paréntesis

en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos. Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma:

y = ax + b.

Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano. Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permenece constante. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m mientras el valor de b permenece constante.

Elaborar, utilizar y justificar

procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia.

Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen

cantidades muy grandes o muy pequeñas. 115 121 127 131 137 143 149 155 156 158 160 161

Lección Semana Contenido Conocimientos y habilidades Pág. 27. Congruencia 27 de triángulos 28. Puntos y rectas 28 notables en un triángulo 29. Probabilidad de 29 ocurrencia de dos o más eventos independientes 30.Gráficas 29 comparativas 31. Gráficas 30 formadas por segmentos Conexiones 30 ¿Qué aprendí? 31 Bloque 5 Proyecto 5 31 32. Sistemas de 32 ecuaciones 33. Traslación y 33 rotación de figuras 34. Representación 34 gráfica de un sistema de ecuaciones 35. Eventos 35 mutuamente excluyentes Conexiones 36 ¿Qué aprendí? 36 Bibliografía

Criterios de congruencia de triángulos.

Mediatrices, medianas, alturas y bisectrices en triángulos; propiedades y construcción.

Eventos independientes. Cálculo de la probabilidad de eventos independientes.

Gráficas de línea de datos que varían con el tiempo.

Gráficas de segmentos de línea de fenómenos de movimiento o llenado de recipientes.

Traslación y rotación.

Resolución de problemas utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales.

Diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y traslación de figuras.

Gráfica de sistemas de ecuaciones lineales.

Eventos mutuamente excluyentes. Cálculo de la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes.

Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes. Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación, con el fin de obtener información más completa y en su caso tomar decisiones. Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

Representar con literales los valores desconocidos de un problema. Usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros. Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinen la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente

excluyentes.

Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

167 171 177 183 189 195 196 198 200 201 207 213 219 223 224 226

Conoce tu libro

88 Conoce tu libro

Contexto matemático 2 se divide en cinco bloques, cada uno

inicia con una imagen acompañada con preguntas generadoras y los aprendizajes esperados.

Proyecto:es una actividad inicial que relaciona uno o más temas que se abordarán en cada bloque. Para desarrollarla, aplicarás tanto tus conocimientos previos,

como los que adquirirás en algunas lecciones.

Piensa y comenta:en esta sección analizas una situación para lograr expresar matemáticamente ciertas situaciones así como utilizar técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas.

Para avanzar:es una sección que introduce la teoría y ejemplos de los temas que se

desarrollan en la lección.

Al margen:aquí encontrarás pequeñas cápsulas informativas relacionadas con la historia de las matemáticas, la ciencia u otros aspectos matemáticos.

En equipo:actividades y problemas que te permiten socializar el conocimiento, compartir las estrategias y procedimientos, para

A investigar:en esta sección te invitamos a que profundices en algún contenido relacionado con el tema que se aborda en la lección. Su

propósito es la consulta en libros, internet, enciclopedias, entre otros.

Tecnología:los ejercicios aquí propuestos te permiten explorar, reafirmar o validar los contenidos

matemáticos abordados en la lección a través de hoja de cálculo, calculadora y Cabri-géomètre.

Conexiones:enlaza las matemáticas con otras ciencias y

con la vida diaria.

Por tu cuenta:al finalizar cada lección te proponemos problemas y actividades para que apliques y reafirmes los

contenidos aprendidos.

¿Qué aprendí?:son actividades y problemas que te permiten consolidar los conocimientos abordados en el transcurso del bloque.

Bloque 1

Bloque 1

Apr

e

n

di

zaj

es

esperados

Al finalizar el estudio de este bloque podrás~:

1. Resolver problemas que implican efectuar sumas,

restas,multiplicaciones y/o divisiones de números con

signo.

2. Justificar las propiedades de la suma de los ángulos

internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

3. Resolver problemas de conteo mediante cálculos

numéricos.

4. Resolver problemas de valor faltante considerando más de

dos conjuntos de cantidades.

5. Interpretar y construir polígonos de frecuencia.

Apr

e

n

di

zaj

es

esperados

1100

Torre Eiffel

París, Francia

empezar…

empezar…

Pa

ra

Pa

ra

Quizá medir ángulos, hacer operaciones algebraicas o entender relaciones de proporcionalidad te parezca alejado de la realidad. Sin embargo, el desarrollar la capacidad de resolver problemas es una de las habilidades que se adquieren al estudiar matemáticas. Por ejemplo, Herodoto en sus libros de historia cuenta que Tales de Mileto acompañó al ejército griego en una campaña contra los persas. Al llegar a un río que resultaba difícil de cruzar, Tales propuso una solución ingeniosa. ¿Se te ocurre alguna?

3. De acuerdo con los grupos de cuadrados, escribe la operación que representan. La flecha que aparece en la figura b) significa voltear los cuadrados. Si ambos números tienen signo negativo tienes que voltear dos veces los cuadrados.

a) b)

( ) ( )  ( ) ( ) 

4. Utiliza los cuadrados para representar en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones y divisiones de números con signo:

a) (3) (4)  b) (2) (5)  c) (8) (2)  d) (5) (4) 

e) (8) (4)  f) (10) (–5)  g) (16) (4)  h) (12) (3) 

5. ¿Qué sucede con el signo del producto cuando la multiplicación tiene más de dos factores? ¿Se puede formular una regla? ¿Cuál?

E

Para elaborar el material:

• Reproduce en cartulina 20 cuadrados de 2 cm 2 cm, como los que

se muestran a la derecha. Recórtalos.

• Pega dos cuadrados por la parte de atrás de manera que tengas un solo cuadrado azul de un lado y uno rojo del otro.

• El lado azul de cada cuadrado representará una unidad positiva (), en tanto que

el lado rojo representará una unidad negativa ().

Proyecto 1 1122

• ¿Cómo multiplicarías

(–20) (12), sin utilizar

los cuadrados?

• ¿Cómo dividirías

(–120)

÷

÷ (–5), sin

utilizar los cuadrados?

• ¿Y (40)

÷

÷÷÷ (–8)?

Lo que necesitas:

- Regla

- Cartulina de colores

- Tijeras

- Pegamento

1. ¿Qué significa multiplicar 2 por 3?

La multiplicación es una forma abreviada de escribir una suma repetida; esto es, 3 3 6; o bien,

2 3 6. Esta multiplicación también se puede

escribir como (2) (3) 6.

El signo del primer factor indicará si volteamos los cuadrados o si se quedan tal como están. Si el primer factor es negativo, se voltean los cuadrados al color rojo; por tanto, el resultado será 6.

2. ¿Qué significa dividir 8 entre 4?

La división determina el número de veces que un número dado contiene a otro. Por ejemplo, 8 contiene a 4 dos veces; por eso, 8 entre 4 es igual a 2; o bien, (8) (4) 2.

Dividimos 8 unidades positivas en cuatro grupos iguales. Como el signo del divisor es positivo, los cuadrados se quedan tal como están. De haber sido negativo, se hubieran cambiado al color rojo y el resultado sería 2.

1

1

1

bloque 1

1

La noción de número negativo nació por la necesidad de calcular

operaciones con dinero. Los chinos los utilizaron desde el siglo I de nuestra era y los representaban con varillas negras. Sin embargo, fue Bramagupta, un matemático indio del siglo VII, quien enseñó la manera de hacer sumas y restas usando números positivos y negativos (es decir, usando bienes y deudas).

Le

c

c

i

ón

Le

c

c

i

ón

En el curso anterior trabajaste los n meros con signo y sus usos en

p rdidas y ganancias,

temperaturas sobre y bajo cero y otras situaciones similares. Ahora estudiar s la multiplicaci n y la divisi n de n meros con signo en otro tipo de problemas.

1. En el siguiente plano cartesiano se ha trazado una recta que sirve para multiplicar algunos números con signo.

Si localizas un punto sobre la recta, la abscisa es el número que vas a multiplicar por 4; la ordenada es el resultado de la

multiplicación. Por ejemplo, en el punto (3,12) se interpreta que

(3)(4) 12.

a) De acuerdo con la información anterior, ¿qué resultado se obtiene de multiplicar 3 por 4?, ¿y de 3 por

4?

b) ¿Qué número debes multiplicar por 4 para obtener 20? ¿y para obtener 16?, ¿y para obtener 8?

c) Completa la siguiente tabla para obtener los resultados de multiplicar algunos números por 4. Bramagupta x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4x –28 –20 –12 –8 –4 20

Multiplicación y

división de números

con signo

d) En la figura anterior traza una recta de color azul que te sirva para multiplicar los números por 5 y otra recta de color negro para multiplicar los números por 2. Luego determina algunos ejemplos y muéstralos a tus compañeros.

1144

2. Ahora, en el siguiente plano se

representa la multiplicación por –4. Por ejemplo, en el punto (–6,24) se

interpreta que (–6)(–4) 24.

a) ¿Qué resultado se obtiene de multiplicar (5)(–4)?, ¿y de (–5) (–4)?, ¿y de (4)(–4)?

b) ¿Por cuánto debes multiplicar el número –4 para obtener 28?, ¿y para obtener –16?, ¿y para obtener 12? c) Completa la siguiente tabla para

obtener los resultados de multiplicar los números por –4.

Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones

d) En la figura anterior traza una recta azul que te sirva para calcular los resultados de multiplicar por –8. e) Si (4) (8) 32, ¿entre qué número debes dividir 32 para obtener 8?, ¿y para obtener 4?

f) Si (–4) (–7) 28, ¿entre qué número debes dividir 28 para obtener –7?, ¿y para obtener –4?

g) Si (4) (–7) 28, ¿entre qué número debes dividir –28 para obtener 4?, ¿y para obtener –7?

Comenta tus respuestas con el grupo.

El resultado de la multiplicación (o división) de

dos números del mismo signo es positivo. El resultado de la multiplicación (o división) dedos números de signo contrario es negativo.

x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -4x 16 –4 –8 –12 –16 –20 –24                  

1. En la siguiente actividad trabajarán primero por parejas; después, reúnanse en equipos de cuatro integrantes para comparar las estrategias que emplearon sus

compañeros para descubrir números. a) Adriana y Claudia han inventado un juego que consiste en

que un jugador menciona cuatro números relacionados entre sí y otro jugador debe encontrar el número que

sigue, además de explicar cómo lo halló. Por ejemplo: Adriana: —Mis números son 1, 2, 4 y 8.

Claudia: —La regla que usaste es multiplicar por 2, porque 1 2 2, y 2 2 4, y 4 2 8. El siguiente número es

16. Mis números son: 405, 135, 45 y 15.

Adriana: —Déjame pensar... ¡Ya lo tengo! Dividiste entre 3, porque

405  3  135, 135  3  45, y 45  3  15. Por lo tanto, el siguiente número es 5. Ahora, mis números son: 3, 6, 12 y 24.

Claudia: —Le sumaste 9, porque 3 (9)  6, y 6 (9)  15; pero 15 no es el

número que sigue. ¿Qué operación utilizaste?

Adriana: —¡Te doy una pista! Lo multipliqué por un número negativo. Claudia: —¡Déjame pensar…!

2. A partir del diálogo anterior contesta las preguntas:

a) ¿Cuáles son los tres números que continúan en la sucesión de Adriana? b) Ahora, Claudia y Adriana juegan de la siguiente manera:

Claudia: —Pensé en un número. Al multiplicarlo por 9 obtuve 36. ¿Qué número pensé?

Adriana: —¡Ya sé, es el 4!

c) ¿Creen que la respuesta de Adriana es correcta? ¿Por qué?

3. Claudia: —Pensé en un número. Al dividirlo entre 6, obtengo 7. ¿Qué número pensé?

• ¿Qué operación tiene que hacer Adriana?, ¿cuál es el número que tiene que encontrar?

En tu navegador de internet, entra a la dirección:

http://sapiensman.com/matematicas/matematicas5.htm

• Investiga qué significa cada una de las siguientes operaciones.

Tecnología

Por tu cuenta

1. Encuentra los tres números que continúan en cada una de las siguientes sucesiones: a) 3, 6,  12, 24, , , ...

b) 2, 6, 18, 54, , , ...

c) 5, 10, 20, 40, , , ...

2. Realiza las siguientes operaciones:

a) (3) (1.8)  b) (4) (10) (3)  c) (2.5) (1.2) (2) 

d) (5) (2.5)  e) (16) (2)  f) (2.8) (2.8) 

3. Anota el número que falta en las siguientes operaciones:

a) ( ) ( )  1. b) ( ) (12) 60. c) (1.5) ( ) 15.

d) ( ) ( 4.5) 9. e) ( ) (2)  10. f) ( ) (4)  44.

4. Resuelve los problemas:

a) Pensé en un número. Al dividirlo entre 4 y sumarle 2, obtengo 7. ¿Qué número pensé?

b) ¿Cuál es el número que al multiplicar por 4 y restarle 3, resulta 1?

c) ¿Cuál es el número que al dividir entre 3 y en seguida sumarle 21 da como resultado 0?

1166 Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones

1 8

En esta actividad aprenderás cómo trabaja tu calculadora al hacer multiplicaciones y divisiones con números positivos y negativos.

1. Con una calculadora que tenga la tecla / realiza lo siguiente:

Oprime la secuencia de teclas 3 /  2    

a) ¿Qué resultado obtienes al oprimir la primera vez el signo =?, ¿por qué?

b) Escribe todos los resultados que obtienes al oprimir, en la secuencia indicada, todos los signos.

c) Sin oprimir otras teclas de la calculadora, ¿cuál sería el siguiente número?, ¿cómo lo obtuviste?

Oprime la secuencia de teclas 4 8  2  / 

d) ¿Cuál es la operación que se introdujo en la calculadora, y cuál es el resultado? e) ¿Qué resultado obtienes después de oprimir tres veces el signo igual?, ¿y después de oprimirlo cinco veces?

f) ¿Cuantas veces más tienes que oprimir la tecla  para obtener un resultado positivo?

En la siguiente secuencia de teclas, escribe lo que falta para obtener –1. 8 1 /  3     

En matem ticas es muy com n escuchar enunciados como: el doble de un n mero; un n mero cualquiera; la suma de dos

n meros consecutivos, etc. En el lenguaje del lgebra, estos enunciados reciben el nombre de expresiones algebraicas.

Utiliza la tabla de números para hacer lo que se te indica.

1. Elige tres números consecutivos.

a) ¿La suma de los tres es divisible entre tres?

b) Si n representa cualquier número natural, y sus dos

consecutivos son n  1 y n  2, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la suma de tres números consecutivos?

Simplifica la expresión que obtengas.

c) ¿La expresión algebraica que obtuviste es divisible entre 3?, ¿por qué?

2. Elige cuatro números consecutivos y responde:

a) ¿La suma de los cuatro números es divisible entre 4? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la suma de

cuatro números consecutivos? Simplifícala.

c) ¿La expresión algebraica anterior es divisible entre 4?, ¿por qué?

bloque 1

2

El tangram es un juego chino de figuras geométricas, una especie de rompecabezas que consta de siete piezas con las cuales se pueden formar numerosas figuras: desde un bailarín hasta una casa.

Las siete piezas forman un cuadrado. Con los datos mostrados se obtiene el área, y su suma es 4x2_.

Le

c

c

i

ón

Le

c

c

i

ón

_{de expresiones}

Suma y resta

algebraicas

1188

3. El área de una superficie rectangular se calcula aplicando la fórmula Abh; mientras que para

calcular el área de un triángulo se emplea la fórmula A . Obtén el área de las siguientes

figuras y calcula la suma de las tres áreas.

a) b) c)

A A A

A TOTAL

4. Calcula el perímetro de la siguiente figura y luego la diferencia entre el largo y el ancho.

Perímetro Diferencia entre el largo y el ancho

Compara tus respuestas con las de otros compañeros. En caso de que no coincidan, verifiquen por qué.

Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones

bh 2 n 45 n 8 n 32

La expresión 6a2aa está formada por tres términos, llamados términos semejantes, ya que

contienen la misma parte literal. El número por el cual se multiplica una literal se llama coeficiente por lo que 6a significa 6 por a. Si una literal no tiene escrito el coeficiente, éste es igual a 1.

Para sumar términos semejantes, se suman sus coeficientes y se conserva la misma parte literal, por ejemplo: 6a2aa (6 2 1)a9a.

A las expresiones de dos o más términos se les llama polinomios, como 4x2_3x6.

Puedes sumar polinomios de forma vertical u horizontal haciendo coincidir sus términos semejantes; por ejemplo:

(3n5) (8n2) ⇒ 3n5

8n2

11n 3

Para la resta de polinomios se procede de igual manera que en la suma, pero se toma en cuenta que el signo () antes del paréntesis modifica el signo de todos los términos que se encuentren en su

interior; por ejemplo:

(3n5) (8n2) ⇒ 3n5

8n2

5n7

Al realizar las operaciones es importante que apliques las reglas para la suma de números con signo.

2x  2

Reúnanse en ternas y realicen las actividades.

1. La siguiente tabla contiene distintas figuras; de color y blancas. Cada una representa una potencia de x; las de color representan cantidades positivas, mientras que las blancas representan cantidades negativas. Por ejemplo, observen el caso del triángulo:

Alejandra suma todas las figuras y obtiene el polinomio 6x5_4x4_x3_2x2_3x.

2. Con base en la información anterior contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos triángulos rojos hay y cuántos blancos?

b) ¿Qué expresión algebraica obtienen al sumar todos los triángulos que aparecen?

c) De acuerdo con el polinomio que obtuvo Alejandra, encuentren cada uno de los términos que lo componen. ¿Qué potencia de x representa cada figura geométrica?

d) Si ahora las figuras de colores simbolizan números negativos y las blancas positivos. ¿qué polinomio se obtiene al sumar todas las figuras? ¿Qué polinomio se obtiene si todas son positivas?, ¿y si todas son negativas?

Comenten sus respuestas con los demás equipos.

representa x2

representa –x2

Consulta en algún libro de matemáticas o en internet: • ¿Por qué al multiplicar o dividir dos números con diferente

signo el resultado siempre es negativo? ¿Qué signo tendrá la

potencia de (–2)3_?

• ¿Cuáles son los términos semejantes de la expresión algebraica: 3xy – 2m – 6xy  7m?

Por tu cuenta

1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

2. Con base en el perímetro de cada una de las siguientes figuras, encuentra las medidas faltantes.

? 4x10

2x1 3x5 3x5

P16x8 P14x20

3. Simplifica los polinomios sumando los términos semejantes.

a) 4.5x7.5x b) 3a9a5a6  c) 4x3y3x2y

d) 8 5 3b2a5ba e) m n m n  f) 2m3x5mx

4. Realiza las operaciones con polinomios:

a) (3y2z) (2yz)  b) (6x2y5z) (2x4y3z) 

c) (4x2_{2y) (3x}2_{1.5y)  d) (4c8) (2c10) }

2200 Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones

Tecnología

1. Con ayuda de una calculadora, comprueba que las sumas o restas de las expresiones algebraicas que se te presentan, se han resuelto correctamente. Para ello, agrupa los coeficientes de los términos semejantes y realiza la operación. En cada tecla anota el número o el signo correcto.

(3x2_{ 5x1) (x}2_{7x3) ( ) x}2_{ ( ) x( ) } 4x2_{12x 2} (3x2 _{5x1) (x2 7x3) ( ) x}2_{ ( ) x( ) } 2x2_12x4 (3x2_{1)  (x}3_{7x 5x}2_{3 x}3_{( ) x}2_{ ( ) x( ) =} x3_2x2_7x4 (3x2_{1) (x}3_7x5x2_{3) ( ) x}3 _{( ) x}2 _{( ) x} ( )  x38x27x2

Compara tus resultados con tu grupo.

2a a 2y 3y 2 3 2 5 1 2 2 5

Simplificar expresiones algebraicas permite generar modelos m s sencillos para expresar relaciones como las f rmulas de per metros, reas y vol menes.

Recuerda que el perímetro del cuadrado es la suma de sus cuatro lados:

P = l l l l, o bien P4 •l, o simplemente P4l, que son

expresiones equivalentes, por lo que:

l l l l4 •l4 l.

El área del rectángulo es el producto del largo por el ancho. En el caso del cuadrado, el ancho y largo son iguales: All, o bien Al2.

1. De manera similar a lo anterior, obtén expresiones equivalentes para calcular el área, perímetro y volumen de las siguientes figuras, según sea el caso.

a) Pa b a b. P A a b; o bien, A . b) Pl l l l l. P ; o bien, A A  ; o bien, A c) V l x l x l. V

Área total de las caras l2_l2_l2_l2_l2_l2_.

Área total de las caras 

Compara tus respuestas con las de tu grupo.

bloque 1

Identidades

algebraicas

3

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, que se hizo en el siglo XVI, de símbolos que

representaran las incógnitas en las operaciones y las potencias

algebraicas. Este avance es notable en el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes.

Le

c

c

i

ón

Le

c

c

i

ón

Imagen del libro de René Descartes (1637) b a a b l l l l l l l l l l l l a 5 l a 2

2222

2. Con los siguientes modelos geométricos se han formado varias figuras. Escribe las dimensiones de cada una de las figuras formadas; luego calcula el área de cada una de ellas.

A A A

a) ¿Las áreas de las figuras son iguales? ¿Por qué?

b) ¿Qué tienen en común las expresiones algebraicas que representan las áreas de las figuras?

3. Sustituye a n por el número 4 en cada una de las expresiones algebraicas y luego realiza las operaciones. ¿Se cumple que las áreas de las figuras son iguales? ¿Por qué?

Compara tus respuestas con las de otros compañeros.

Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones

El valor numéricode una expresión algebraica es el que se obtiene al sustituir las literales por valores numéricos y realizar las operaciones indicadas. Por ejemplo, el valor numérico de 2n1, cuando n5, es

11, porque 2(5) 1 11.

Las expresiones algebraicas cuyos valores numéricos son iguales, se denominan identidades algebraicas. Por ejemplo, las siguientes expresiones algebraicas son identidades porque sus valores numéricos son iguales para cualquier valor de n.

4(n1) 4n4 2(n1) 2(n1).

Una expresión algebraica es una combinación de números y literales relacionados por los signos de las operaciones aritméticas. A cada elemento de una expresión se le llama término.

A una expresión algebraica formada por un sólo término se le llama monomio;por ejemplo: 2a; 4xy; x

Si está formada por dos términos se le llama binomio;por ejemplo: 2x3_{y; 3ab5}

Y si tiene tres términos se le llama trinomio; por ejemplo: 2a2_4a5

Cada elemento de un término tiene un nombre: Exponente 3x2_4

Coeficiente Literal Cuando un término no tiene parte literal se le llama: término independiente.

n n

n

l l l

1. Formen equipos de cuatro integrantes. Construyan en una cartulina, algunas piezas como las que se muestran a continuación. Todas las piezas deben tener una cara de color azul y la otra de color rojo; para ello, pueden utilizar

pegamento. El color azul representa al signo positivo, y el rojo al signo negativo.

2.Observen las siguientes identidades algebraicas construidas con las piezas de cartulina. El área de cada figura está expresada como el producto de la base por la altura.

 

3. Ahora, expresen el área de cada una de las siguientes figuras compuestas como el producto de la base por la altura y sobre la línea anoten los resultados. Observen las identidades algebraicas que se obtienen.

  

4. Utilizando el mismo material, representen la siguiente identidad algebraica. 3(a2)  3a6 2(a2) (a 2)  2a4 a2.

5. Usen sus piezas azules para demostrar que (a1)2= a22a 1.

Comparen sus repuestas con las de los otros equipos.

a a a 1 1 1 2 2 2 2 a  1 a  1 a1 a 1 a a a a  2 1 a  2  1 a  2  1 a a 2

• Investiga en algún libro de matemáticas por qué a las identidades algebraicas anteriores se les llama

factorizaciones.

• Comprueba las identidades anteriores dando valores numéricos específicos a cada literal.

Por tu cuenta

Realiza las actividades:

1. Calcula las dimensiones de las siguientes figuras a partir del área de cada una de ellas. A x2_{2x A 2x}2_2x

2. Si el área de una figura rectangular es 3x2_{2x, ¿cuáles pueden ser sus dimensiones?}

3. Escribe dos identidades de cada una de las siguientes expresiones algebraicas:

a) 4(x5)   b) 6x(x3)  

c) 3a(2a1)   d) 2x(x3)  

e) 8b(b4)   e) 4n(n4)  

2244 Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones

Tecnología

1. Con ayuda de una hoja de cálculo electrónica, construye una tabla similar a la siguiente y contesta las preguntas relacionadas con las dimensiones de la figura de la derecha.

a) En la celda D2 escribe  A1* (B2  C2). Esta fórmula relaciona las columnas A, B y C, donde el valor de la columna A siempre será 5.

b) En la celda E2  A1* B2  A1* C2. Esta fórmula es equivalente a la anterior, pero con la cual también se puede obtener el área de la figura relacionando las columnas A, B y C.

c) ¿Obtienes el mismo resultado con las dos fórmulas? Explica por qué.

d) Si escribieras una tercera fórmula (distinta a las dos anteriores) para obtener el área de la misma figura relacionando las columnas A, B y C, ¿cómo serían entre sí las tres fórmulas?

m n

5

5 m n Fórmula 1 Fórmula 2

bloque 1

Estimar y medir

ángulos

4

Le

c

c

i

ón

Le

c

c

i

ón

En el billar es muy til saber un poco de geometr a, por ejemplo, qu ngulos hay que considerar para hacer un buen tiro.

Una mesa de billar está dividida en 18 marcas, llamadas diamantes, colocadas en las bandas o partes rectas de la mesa. En las bandas mayores se encuentran 6 diamantes de cada lado y 3 en las menores. Se dice que cuando una bola toca una banda, sale con el mismo ángulo con el que llega, pero en sentido opuesto.

En este caso, labola parte del punto 1 y va hacia el diamante 2. Al tocar la banda describe los ángulos

A y B, los cuales son

iguales.

En este otro caso, la bola sale en línea recta hacia la banda opuesta, tocando el

diamante ubicado

frente a él.

1. Observa los casos anteriores en los que se ha lanzado una bola.

a) Si una bola toca una banda con un ángulo agudo respecto al lado donde se produce su rebote, ¿con qué tipo de ángulo sale?

b) Si una bola llega a una banda con un ángulo recto, ¿con qué ángulo rebotará?

c) Si una bola llega a una banda con un ángulo de 608, ¿de qué medida será el ángulo de rebote?

d) En la primera figura, ¿cuánto suman los ángulos A, B y el comprendido entre ellos?

La ballestilla es un instrumento que usaban los marinos para medir ángulos. El marino colocaba el ojo en un extremo del instrumento, lo dirigía hacia la estrella cuya posición quería medir y deslizaba la vara cruzada hasta que la parte inferior de ésta coincidía con el horizonte y la superior con la estrella. La altura de la estrella (ángulo que forma con el horizonte) se leía en una graduación grabada en la vara principal. Ballestilla 1 2 A B C

2. Observa la siguiente secuencia de pasos que te permitirá copiar un ángulo utilizando la regla y el compás.

¿Cómo puedes obtener el ∠A’B’C’ a partir del ∠ABC ? Analiza lo que ocurre en cada uno de los pasos.

Comenta con tus compañeros qué se hizo en cada uno de los pasos para copiar el ángulo y redacta en tu cuaderno las conclusiones a las que llegues. Para verificar que ∠ABC ≅∠A’B’C’ utiliza tu

transportador para medir los ángulos.

3. Cuando anuncian un reloj, generalmente aparecen las manecillas en la posición en que se encuentran en la imagen.

a) Si la manecilla de los minutos estuviera en el 12, ¿a qué hora forma un ángulo recto con la manecilla de las horas?, ¿y a qué hora forman un ángulo llano?

b) Si las dos manecillas están en movimiento, ¿cuántas veces, en un día completo, formarán un ángulo recto?

c) ¿Qué clase de ángulos verás en la carátula del reloj con mayor frecuencia a lo largo del día?

Justifica tus respuestas ante tu grupo.

2266 Bloque 1 • Medida

e) Traza en tu cuaderno varias trayectorias que pudieran seguir algunas bolas de billar si son golpeadas desde diferentes puntos; procura indicar distintos ángulos de toque y de rebote con las bandas. f) Escribe de qué tipo de ángulos se trata y estima el valor de cada uno.

Explica a tus compañeros cómo obtuviste tus respuestas.

¿Lo habías notado?

A B C A B C A B C A’ B’ C’ A’ B’ C’ A’ B’ C’ ORIGINAL

Un ángulo se forma por la abertura entre dos líneas. Los ángulos se clasifican, por su medida, de la siguiente forma:

La medición de los grados se realiza mediante un sistema sexagesimal; es decir, de base 60, como el que utilizamos para medir el tiempo.

Como puedes observar, la unidad de medida que has

trabajado con los ángulos es el grado. Consulta en internet o pregunta a tu maestro cuánto mide un ángulo entrante. ¿Y un ángulo perigonal?

• ¿A cuántos grados equivale un radián? • ¿A cuántos radianes equivale un grado?

Comparte tus respuestas con tu grupo.

Ángulos agudos: Ángulos rectos:

Ángulos obtusos: Ángulos llanos:

Son los que miden menos de 90. Son los que miden exactamente 90.

Miden más de 90 y menos de 180. Son los que miden exactamente 180.

L 0 A B 0 A 0 B G 0 F A B 0 N M ₀ L 0 T D 0 F M

Tecnología

1. Formen equipos de cuatro integrantes. Para esta actividad necesitarán una hoja blanca en la que marcarán, mediante dobleces, dos líneas rectas (no

perpendiculares) que se corten, como se muestra en la figura. a) ¿Cuántos ángulos se formaron?

b) Estimen la medida de cada ángulo y

mencionen de qué tipo de ángulos se trata.

2.Ahora, corten la hoja por una de las rectas marcadas y comparen lo que obtuvieron con los demás equipos. a) ¿Cómo son los ángulos que quedan después

de hacer el corte?

b) Con ayuda del transportador midan los ángulos resultantes y escriban cuánto mide cada uno. ¿Obtienen los mismos resultados que los demás equipos?

c) ¿Cuál es la suma de los dos ángulos?

d) Describan cómo serían las líneas de los dobleces si se les pide obtener ángulos rectos.

En el programa Cabrí-géomètre harás algunas construcciones que te permitirán identificar y manipular ángulos.

1. Usando los botones de Recta ( ) y

Punto ( ) reproduce las rectas de la

primera ventana (las dos deben cortarse en un punto).

a) ¿Cuántos ángulos se forman en la figura?

b) ¿Qué clase de ángulos son? Nombra los ángulos. Para ello, da un clic sobre el botón de Etiqueta ( ) y selecciona tres puntos que generen un ángulo. En cada punto escribe una letra para identificar al ángulo. Observa la segunda ventana.

Por tu cuenta

c) Con las letras que asignaste, escribe el nombre de cada ángulo.

d) ¿Qué ángulos miden menos de 90?, ¿cuáles miden más de 90?

Da doble clic sobre el botón de

Distancia y Longitud ( ) y

selecciona la opción Ángulo. Ahora, manteniendo oprimida la tecla shift, selecciona los puntos que

corresponden al ∠AOB.

e) Describe lo que observas en la pantalla. ¿Cuánto mide el ángulo∠AOB?

f) ¿Cuánto miden los ángulos restantes

∠BOD, ∠COD y ∠AOC?, ¿qué parejas

de ángulos miden lo mismo?

g) ¿Cuánto suman los ángulos ∠AOB y ∠AOC?, ¿y los ángulos ∠COD y ∠BOD?

h) Ahora mueve una de las rectas sobre la pantalla, ¿qué sucede con los ángulos ∠AOB y ∠AOC, y los ángulos ∠COD y ∠BOD? Explica por qué sucede eso.

Comenta tus conclusiones con tu grupo.

1. Reproduce los siguientes ángulos utilizando el compás y luego comprueba su medida con el transportador. De acuerdo con lo anterior escribe los nombres que reciben.

P Q O A B C M O N

2. Completa la siguiente tabla con la medida de los ángulos que forman las manecillas de un reloj, según la hora señalada:

3. Dibuja en tu cuaderno un triángulo cuyos ángulos midan 45, 38 y 97.

4. Copia la siguiente figura. Utiliza un transportador y una regla para medir sus ángulos y la longitud de sus lados.

Determina cuánto miden:

∠B =

∠C =

∠A =

∠D =

5. Reproduce el siguiente diseño del arte islámico, para ello emplea transportador y compás.

Hora Ángulo 3:00 7:05 2:45 6:00 1:00 4:00 3300 Bloque 1 • Medida C D B A

bloque 1

5

Le

c

c

i

ón

Le

c

c

i

ón

Cuando preguntamos c mo llegar a una calle, o a alg n otro lugar, es muy com n que al darnos la referencia se utilicen frases como: es paralela a o es perpendicular a

Los habitantes de la colonia Rosedal disfrutan mucho de las matemáticas. Por ello, decidieron que los nombre de sus calles estarían relacionados con esa disciplina.

El nacimiento de la geometría se relaciona con problemas de medición de áreas (campos, terrenos) y construcción de edificios. La geometría empírica floreció en el antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia y fue refinada y sistematizada por los griegos. Ellos introdujeron problemas de

construcciones de figuras con regla y compás. Los griegos se preocuparon en demostrar por medio de razonamientos matemáticos las características de algunas figuras.

Partenón

1. Contesta lo que se pide a partir del plano anterior: a) ¿Al cruzarse qué calles se forman ángulos rectos?

b) ¿Qué calles cruzan con la calle Canarios, sin formar un ángulo recto?

c) ¿Con qué calle no cruza la calle Canarios? ¿Por qué crees que suceda esto?

d) Si sobre cada calle trazas líneas rectas, ¿cuáles serán las distintas posiciones en que pueden cortarse dos rectas entre sí?

e) ¿Qué características deben tener dos rectas para que sean perpendiculares? ¿Y para ser paralelas?

f) Si caminas sobre la calle Gorriones, ¿cuántas calles perpendiculares a ella vas a encontrar?

g) Si caminas sobre la calle Las rosas, ¿con cuántas calles cruzarás? ¿Son perpendiculares o paralelas?

Posiciones relativas

de dos rectas

3322 Bloque 1 • Formas geométricas

2. Una habilidad importante en el estudio de la geometría consiste en que utilices las palabras correctas y las relaciones con los símbolos que usas. Observa la siguiente semirrecta:

Cuando tenemos dos rectas en el plano, las posiciones relativas que pueden tener son:

3. A partir de la siguiente figura contesta las preguntas.

a) ¿A la semirrecta AB se le podría llamar también semirrecta BA? Justifica tu respuesta. b) Sobre la semirrecta escribe un punto C entre A y B. ¿El punto C pertenece también a la

semirrecta BA?

c) ¿Qué figura se forma si del punto A trazas otra semirrecta en dirrección distinta de la semirrecta AB?

Que sean oblicuas;

se cortan formando ángulos no rectos. Que sean paralelas;

A I I B

no se cortan.

Que sean perpendiculares;

R I S

se cortan formando ángulos rectos.

a) Dada la recta l y un punto p exterior a ella, ¿cuántas paralelas a l pueden pasar por el punto p?, ¿y cuántas perpendiculares? Haz los trazos en tu cuaderno según tus respuestas.

b) Si el punto p estuviera sobre la recta l, ¿cuántas rectas perpendiculares a l pasarían por p? Haz los trazos en tu cuaderno.

Argumenta tus respuestas.

A A B R S M N B l .. p

2.Con base en la figura, contesten lo que se pide:

a) A los ángulos  y se les llama ángulos adyacentes. ¿Qué características tienen entre sí dichos ángulos? ¿Qué otras parejas cumplen con esas características?

b) A los ángulos y se les llama ángulos opuestos por el vértice. ¿Qué características tienen entre sí dichos ángulos? ¿Qué otras parejas cumplen con esas características?

c) ¿Cuánto suman los ángulos  y ? ¿Y los ángulos y ? Argumenten sus respuestas. d) Suponiendo que ∠ 125. ¿Cuánto mide el ángulo ? ¿Y el ángulo ? ¿Y el ángulo ?

e) ¿Qué relación observan entre los ángulos opuestos por el vértice? Expliquen a los demás equipos en qué se basan para establecer dicha relación.

f) Si las rectas que forman la figura cambian su posición, ¿se conservará la misma relación entre los ángulos que se formen? Argumenten su respuesta.

 

El uso de las rectas paralelas y perpendiculares se puede encontrar en diversas actividades de la vida diaria. Indaga sobre la utilidad de ellas y qué tipo de rectas se emplean en:

• La construcción de casas o edificios • Los medios de transporte

• El deporte

Comparte con tu grupo los resultados de tu investigación.

1. Formen equipos de tres integrantes. Observen que en la siguiente figura se cortan dos rectas, con lo cual se forman cuatro ángulos.

Tecnología

Por tu cuenta

1. De acuerdo con la medida del ángulo que se te da, obtén la medida de los ángulos faltantes. En el programa Cabrí-géomètre realizarás construcciones de rectas en diferentes posiciones.

a) Pulsando sobre el botón Recta ( ), construye una recta sobre el área de trabajo. b) Da clic sobre la opción Recta paralela ( ). Con esto, construirás la recta paralela a la

primera; pero es preciso que indiques el punto por donde quieres que pase. Te debe resultar algo similar a lo que se muestra en la ventana de

la derecha.

Compara tu construcción con las de tu grupo; si tienes alguna duda, pregúntale a tu profesor. c) Ahora mueve una de las rectas y describe lo que

sucede, ¿siguen siendo paralelas las dos rectas? d) Para trazar rectas perpendiculares debes seguir un

procedimiento similar al anterior, sólo que para trazar la segunda recta, seleccionarás la opción

Recta perpendicular ( ). Manipula las rectas;

¿siguen siendo perpendiculares?

2. Con base en tus respuestas anteriores escribe las parejas de ángulos opuestos por el vértice.

3. Escribe las parejas de ángulos adyacentes.

∠a  ∠b  ∠c  ∠d  143 ∠  45 ∠    a b d c

Si observas las vías del tren, las orillas de un puente u otras construcciones, puedes encontrar la representación de dos o más rectas paralelas.

1. En una carretera se necesita construir un puente para el paso de personas; el cual una los puntos A y B, como se observa en la figura. Enuméralas.

a) ¿Cuántos ángulos se forman al construir el puente que une los puntos A y B sobre la carretera? Enuméralas.

bloque 1

Ángulos entre paralelas

cortadas por una transversal

6

El sextante es un instrumento que permite medir ángulos entre dos objetos, como los dos puntos de una costa o un astro. Conociendo la elevación del Sol y la hora del día se puede determinar la latitud a la que se encuentra el observador.

El nombre sextante proviene de la escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60 grados, o sea, un sexto de un círculo completo.

Le

c

c

i

ón

Le

c

c

i

ón

b) Completa la siguiente tabla con los tipos de ángulos formados; agudos u obtusos, según sea el caso.

Ángulo Tipo 1 2 3 4 5 6 7 8 A B Carretera Puente Sextante

3366 Bloque 1 • Formas geométricas

2. Observa la figura; ten en cuenta que las líneas l y m son paralelas y n es una transversal. Después contesta las preguntas.

a) ¿Cuántas parejas de ángulos opuestos por el vértice se formaron? Anota cuáles son. b) ¿Qué parejas de ángulos suman 180? Argumenta tu respuesta.

c) ¿Cómo son entre sí los ángulos A y F? ¿Y los ángulos D y E? Justifica tu respuesta. d) ¿Cómo son entre sí los ángulos B y E? ¿Y los ángulos A y H?

B D C A E G F H l m n

Consulta en alguna enciclopedia o en algún libro de matemáticas lo siguiente:

• ¿A qué polígonos se les llama cóncavos y a cuáles convexos? • ¿Cuántos triángulos se pueden dibujar dentro de un

pentágono si se trazan las diagonales desde un mismo vértice?

Comparte tus respuestas con tu grupo.

3. Traza en una cartulina un triángulo cualquiera y recórtalo. Como se muestra en la figura.

Posteriormente recorta dos de los ángulos y únelos con el que no cortaste. ¿Qué ángulo se forma?, ¿cuánto mide?

Realiza el mismo procedimiento con otros tipos de triángulos y verifica si obtienes el mismo resultado.

¿A qué conclusión puedes llegar con respecto a la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo?

Tipo de ángulos Parejas de ángulos ¿Son iguales? Correspondientes Opuestos por el vértice Alternos internos Alternos externos Colaterales internos Colaterales externos

4. Con base en el dibujo de la derecha, completa la siguiente tabla. Ángulos correspondientes

 1 y  5

 2 y  6

 3 y  7

 4 y  8

Ángulos opuestos por el vértice

 1 y  3

 2 y  4

 5 y  7

 6 y  8

Ángulos alternos internos

 3 y  5

 4 y  6

Ángulos alternos externos

 1 y  7

 2 y  8

Ángulos colaterales internos

 3 y  6

 4 y  5

 2 y  7

Ángulos colaterales externos

 1 y  8  2 y  7 L3 L1 L2 1 3 2 4 5 7 6 8 L3 L1 L2 A B C D E F G H

Si dos líneas rectas paralelas (L1y L2) son cortadas por una secante (L3), se forman ocho ángulos que

3388 Bloque 1 • Formas geométricas

Ahora, ensámblenlos como el rompecabezas que se muestra a continuación:

A B C A B C P Q

1. Reúnanse en ternas. Tracen y recorten tres triángulos iguales, identificando cada uno de sus ángulos.

a) ¿Cómo son los tres ángulos de un triángulo con respecto a los ángulos de los demás triángulos?

b) Al unir los tres triángulos coinciden tres ángulos diferentes entre sí. ¿Cuál es la suma de los tres ángulos? Argumenten su respuesta.

c) Realicen el mismo procedimiento para otros tres triángulos que sean iguales entre sí y verifiquen si obtienen la misma suma para los ángulos interiores.

2. Otra forma de justificar la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo se puede observar en el siguiente procedimiento:

Dado el triángulo ABC, se traza una paralela a cualquiera de sus lados.

a) ¿Cuánto suman los ángulos PAC, BAC y BAQ?

b) ¿Cómo son entre sí los ángulos PAC y ACB? ¿Y los ángulos BAQ y ABC?

c) Con base en sus respuestas anteriores, argumenten a qué es igual la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC.

d) Entonces, ¿cuánto suman los ángulos interiores del siguiente paralelogramo? Justifiquen su respuesta. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3

Tecnología

Con el programa de computación Cabri-géomètre, construye lo que se indica y contesta.

1. En la lección 5 aprendiste a trazar rectas paralelas utilizando Cabri-géomètre. a) Siguiendo el mismo procedimiento,

construye rectas paralelas de manera que obtengas lo que se muestra en las dos primeras pantallas.

b) Selecciona nuevamente el botón de Recta para trazar la recta secante; es decir, aquella que corta a las paralelas como se muestra en la tercer pantalla.

c) Del botón Distancia y longitud, selecciona la opción Ángulo ( ); mide con él cada uno de los ocho ángulos que se formaron en la figura.

d) Por medio de una etiqueta nombra cada ángulo, utiliza una letra o un número. Escribe los ángulos en parejas (correspondientes, opuestos por el vértice, alternos internos, alternos externos, colaterales internos y colaterales externos) y comprueba las relaciones vistas en esta lección.

e) Comprueba la medida de cada ángulo. ¿Las parejas identificadas miden lo mismo?

f) ¿Crees que se cumplan las mismas relaciones si trazas otras dos paralelas cortadas por otra secante?

Comenta tus respuestas con tu grupo.

1

3 2

Por tu cuenta

1. Si el ángulo P mide 109, encuentra la medida de los ángulos J, K, L, M, N, Q y R, que se indican en

siguiente figura:

4400 Bloque 1 • Formas geométricas

2. Contesta las preguntas.

a) Dos ángulos de un triángulo miden 50 y 20 respectivamente, ¿cuánto mide el tercer ángulo?

b) Dos ángulos de un triángulo miden 47 cada uno, ¿cuánto mide el tercer ángulo? ¿De qué tipo de triángulo se trata?

c) ¿Cuánto miden los ángulos iguales de un triángulo rectángulo isóceles?

∠ J ∠K ∠L ∠M J K L M N P Q R ∠N ∠ P  109 ∠Q ∠R

3. Copia las siguientes figuras en tu cuaderno y traza una diagonal (línea recta que une dos vértices no consecutivos) en cada una.

a) ¿Cuántos triángulos se forman en cada cuadrilátero?

b) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cada triángulo que se formó en la figura 1?, ¿y en la figura 2?, ¿y en la figura 3?

c) ¿Cuánto suman los ángulos de todos los triángulos que se formaron en la figura 1?, ¿y en la figura 2?, ¿y en la figura 3?

d) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero?

50% 200%

Ampliar/Reducir

150

Cotidianamente observamos imágenes ampliadas o reducidas de su tamaño original, como por ejemplo una maqueta o un plano, que son reducciones del modelo real de una construcción.

En la siguiente imagen se puede observar el menú de una

fotocopiadora que sirve para programar el tamaño al que queremos una copia.

bloque 1

7

La escala es un concepto matemático

con aplicación en muchos ámbitos. En un mapa, la escala puede expresarse de tres modos distintos: en forma de proporción o fracción; con una escala gráfica, o con una expresión en palabras y cifras. Cuanto mayor es la escala, más se aproxima al tamaño real de los elementos de la superficie terrestre.

Le

c

c

i

ón

Le

c

c

i

ón

a) Si pedimos que saquen la fotocopia al 100%, ¿cuánto va a medir la altura del prisma?

b) Si lo hubiéramos pedido al 200%, ¿cuánto mediría la altura?, ¿y cuánto la base?

c) Si en la copia la altura del prisma es de 10.5 cm, ¿a qué porcentaje se pidió? Justifica tu respuesta.

d) Si queremos que el prisma salga más pequeño que en el original, ¿qué porcentaje puede indicarse en la fotocopiadora? Explica tu respuesta.

e) Si sacamos la fotocopia en la que la base del prisma mide 1 cm, ¿cuánto medirá su altura? ¿Cómo obtuviste tu resultado? ¿Existe alguna otra manera de hacerlo?

1. Llevamos a fotocopiar la siguiente hoja:

Prisma triangular

7 cm

4 cm

Mapa de la República mexicana Escala 1 : 14 200 000

El factor inverso

de una relación

de proporcionalidad

4422 Bloque 1 • Análisis de la información

2. Ahora pedimos la copia de un rectángulo cuyas dimensiones son 12 cm de base y 8 cm de alto. a) Si queremos la fotocopia a del tamaño original, ¿cuáles serán las dimensiones del nuevo

rectángulo?

b) Si a partir de la fotocopia obtenida deseamos otra para tener un rectángulo con las dimensiones del rectángulo original, ¿qué fracción representa?

Explica a tu grupo cómo obtuviste las respuestas.

3. Observa las siguientes figuras.

3 4 1 2 Figura 1 6 cm 5 cm 6 cm 5 cm 2 cm 7 cm 2 cm 4 4 5 cm 2 cm 4 cm Figura 2 Fig. 3

a) ¿Cuáles serán las medidas de la figura 2 si para dibujarla se aplicó el factor de proporcionalidad ? b) ¿Qué factor de proporcionalidad se debe aplicar para obtener la figura 1 a partir de la figura 2? c) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que se aplicó a la figura 1 para obtener la figura 3?

10 3 10 3 4 3 8 3 10 3 4 3 14 3 4 3

Para ampliar, reducir o simplemente reproducir proporcionalmente una figura se utiliza un número llamado factor de proporcionalidad, el cual permite obtener la imagende la figura original.

Al determinar el factor de proporcionalidadque te permite encontrar la figura A, a partir de la figura A’, estás aplicando el factor inverso.

El factor de proporcionalidad puede expresarse en forma de fracción, número decimal o porcentaje Si dicho factor es mayor que 1, la imagen es más grande que la figura original; si es menor que 1, la imagen es más pequeña que la original; si es 1, la figura original y la imagen son iguales. Por ejemplo, si el factor de proporcionalidad es 3, todas las longitudes de la imagen son tres veces las medidas correspondientes de la figura original. Si es , todas las dimensiones de la imagen serán la mitad de la figura original.

A partir de la figura Ase obtiene la figura A’, aplicando factor de proporcionalidad .

Para obtener la figura A’, a partir de la figura Ase aplica el factor de proporcionalidad .

3 2

2 3

Fig. A Fig. A’

d) Compara tu procedimiento con los de tus compañeros.

e) De lo comparado con tus compañeros, escribe brevemente en tu cuaderno qué procedimiento te parece efectivo y por qué.

1 2

Logo es un programa computacional en el que puedes

hacer construcciones geométricas dándole instrucciones precisas a una tortuga, que es un elemento importante del programa.

En el sitio de internet:

http://neoparaiso.com/logofe/pages/p01.htm, encontrarás información interesante acerca de Logo.

• Investiga sobre este programa y comenta tus observaciones con tu grupo.

4444

• Formen equipos de cuatro integrantes y realicen las siguientes actividades. En un centro comercial se quiere construir un nuevo edificio. Para ello, se solicitó que un arquitecto hiciera un dibujo a escala de algunas opciones para la construcción. Después de revisar varios dibujos, se presentó a la mesa directiva del centro comercial las siguientes dos opciones:

a) ¿Cuál es el área del dibujo azul a escala? b) ¿Cuál es el área del dibujo verde a escala?

c) ¿Cuál sería el área real de la construcción azul? Justifiquen su respuesta. d) ¿Cuál sería el área real de la construcción verde?

e) ¿Cuál sería el perímetro del dibujo azul si se le aplica un factor de proporcionalidad ?, ¿cuál sería su área? Expliquen su respuesta.

f) ¿Cuál sería perímetro del dibujo azul si se le aplica un factor de proporcionalidad de ?, ¿cuál sería su área?

Comparen sus respuestas con las de otros equipos.

3 2 3 4 Escala 1 cm 40 m.