Derivabilidad. Qué es tangente?

Derivabilidad

¿Qué es tangente?

Comencemos por recordar a qué nos referimos con la palabra “tangente”. En cursos anteriores la palabra fue utilizada de dos maneras distintas. La primera hace referencia a la recta tangente a una circunferencia, recordando que es la recta que corta a la circunferencia en un único punto (figura 1)

Figura 1 (recta tangente a la circunferencia por el punto B)

La segunda hace referencia a cómo calcular la pendiente de una recta. Recordemos que la ecuación de una recta del plano se puede escribir como y=mx +n siendo “m” la pendiente de dicha recta. Ese valor (el de la pendiente) es un número que se calcular con la tangente del ángulo que determina la recta con cualquier recta horizontal (figura 2).

figura 2 (recta que determina un ángulo α con la horizontal)

Para calcular dicha tangente,

tomábamos dos puntos pertenecientes a la recta (Punto P y Punto Q) y

calculábamos el cociente (división) de la diferencia entre sus ordenadas y la diferencia entre sus abscisas, es decir

tg(α)= Yp−Yq Xp−Xq

Si tenemos la curva

correspondiente a el gráfico de una función continua (en el gráfico de color verde), en cada punto podemos trazar una recta tangente a dicho gráfico (una recta que corta al gráfico en un único punto).

Cómo y para qué calcular dicha tangente

Sea f una función continua.

Tomamos un número a del dominio. En el gráfico podemos ubicar un punto cuyas coordenadas sean (a,f(a)) y un segundo punto cuyas coordenadas sean (x , f(x)). Observamos que esos dos puntos determinan una recta que está muy lejos de ser tangente al gráfico de f.

Si el número x se aproxima al número a, los puntos (a,f(a)) y (x,f(x)) determinan una recta más próxima a una recta tangente al gráfico de f.

Si seguimos acercándonos a a con los valores de x, los puntos (a,f(a)) y (x,f(x)) determinarán la recta tangente en el momento que x tienda al número a. Es decir en el límite cuando x→a .

En ese momento (en el límite) los puntos (a,f(a)) y (x, f(x)) determinan una recta tangente al gráfico de f. Recordando lo escrito en la página 1, esa recta tiene una pendiente la cual es igual a la tangente del ángulo que determina con la con horizontal y por lo tanto se puede calcular de la siguiente manera:

lim

x →a

(

f ( x)−f (a)

x−a

)

Cuando ese límite EXISTE y el resultado es un número real, diremos que ese número es la derivada de la función en el punto a.

Conocer el signo de esta pendiente es de gran utilidad.

Cuando la recta tiene pendiente positiva, implica que la función es creciente

Cuando la recta tiene la pendiente negativa, implica que la función es decreciente

Derivada de funciones (en algunos puntos del dominio)

Si tomamos funciones que ya conocemos y le calculamos la derivada en distintos puntos del dominio (dependiendo del signo) podremos saber si la función es creciente o decreciente en dichos puntos. Por ejemplo, podemos calcular la derivada de f(x) = x2 _{en los puntos x = -4 y x = 3}

lim x→ a( f (x )−f (a) x−a ) = limx →−4( x2_{−(−4 )}2 x −(−4 ) ) = limx →−4 ( x 2 −16 x−(−4)) = limx →−4( (x +4 )(x−4 ) x +4 ) = -8 Como la derivada de f en x = -4 es un número negativo, podemos afirmar que la función f es DECRECIENTE en x = -4

Con igual razonamiento para calcular la derivada en x = 3 lim x→ a( f (x )−f (a) x−a ) = limx→ 3 (x 2 −32

x −(3)) = 6 (comprueba dicho cálculo)

Como la derivada de f en x = 3 es un número positivo, podemos afirmar que la función es CRECIENTE en x = 3

Derivada de funciones (en todos los puntos del dominio)

Calcular la derivada para algunos puntos del dominio puede parecer sencillo, hacerlo para todos los puntos del dominio no tanto. Por esa razón en lugar de calcular la derivada de la función en algunos puntos se calcula para un punto “a” cualquiera del dominio y ese resultado dependerá de cuáles valores tome “a”.

Calculemos la derivada de f(x) = x2 _{en cualquier punto “a”}

lim

x→ a(

f (x )−f (a)

x−a ) = limx→ a(

x2−a2

x−a ) el numerador de tiene como raíces a y -a por lo tanto el límite se puede realizar la descomposición factorial y escribir el límite de la siguiente manera

lim

x→ a

((x−a)(x +a)

x −a ) = 2a Eso quiere decir que para cualquier valor a del dominio su derivada será el resultado de multiplicar dicho valor a por dos. Por lo tanto podemos encontrar una

correspondencia entre cualquier valor a y la derivada de la función en dicho punto (a → 2a), sin necesidad de calcular el límite. Esta correspondencia nos permite definir una función entre los elementos del dominio y la derivada de la función en cada punto, esta función la escribiremos f’(x) y significa la derivada de la función f en el punto x. Para el caso en que f(x) = x2 _{su función}

derivada será f’(x) = 2x (es una forma sencilla de calcular la derivada en cada punto)

x f’(x)=2x

-4 3

El cuadro muestra lo fácil que es calcular la derivada en cada punto si conocemos la función derivada.

Además de que facilita el cálculo de la derivada en cada punto, conocer la función derivada nos permite ver qué valores del dominio tienen derivada positiva (y por lo tanto la función es

CRECIENTE en esos valores) y qué valores del dominio tienen derivada negativa (y por lo tanto la función es DECRECIENTE en esos valores). Para el caso en que f(x) = x2 _{cuya derivada es f’(x) =}

2x, si realizamos el signo de f’(x) vemos que es negativa para x < 0 y positiva para x > 0. Por lo tanto, la función f es DECRECIENTE si x < 0 y CRECIENTE si x > 0.

La función es DECRECIENTE hasta x=0 y CRECIENTE a partir de x=0.

Derivada de cualquier función polinómica

Si f(x) = x3_{, podemos calcular su función derivada de la siguiente manera:}

lim x→ a( f (x )−f (a) x−a ) = limx→ a( x3_−a3 x −a ) = limx→ a( (x−a)(x 2+ax +a 2) x−a ) = 3a2

Si f(x) = x4_{, con igual razonamiento podemos calcular su función derivada de la siguiente manera:}

lim x→ a( f (x )−f (a) x−a ) = limx→ a (x 4 −a4 x−a ) = 4x 3

Si f(x) = xn_{, con igual razonamiento podemos calcular su función derivada de la siguiente manera:}

lim

x→ a(

f (x )−f (a)

x−a ) = ………

Ejercicio:

Calcular la función derivada para las siguientes funciones f(x) = x8

g(x) = x17

Derivada de la función exponencial y logarítmica

Si la función es exponencial f(x) = ex _{podemos calcular su derivada en cualquier punto a.}

lim

x→ a

(f (x )−f (a)

x−a ) = limx→ a(

ex−ea

x−a ) si sacamos de factor común e

a_{, el límite puede escribirse}

lim x→ a e a (e x−a −1

x −a ) =(equivalente) limx→ a e a

(x−a x−a) = e

a_{, por lo tanto la función derivada en cada punto}

“x” es f’(x) = ex

Ejercicio, completar la tabla para f(x) = ex_.

x 2 5 -4 0

f’(x)

Si la función es logarítmica f(x) = L(x) podemos calcular su derivada en cualquier punto a. lim

x→ a(

L( x)−L(a)

x−a ) = limx→ a(

L (x /a)

x−a ) =(equivalente) limx→ a

((x /a)−1 x −a ) = limx→ a( x −a a 1 x−a) = 1 a por lo tanto la función derivada en cada punto es f’(x) = 1/x

Tabla de derivadas

√

√

Tabla de derivada de operaciones Sean f y g dos funciones (f(x) y g(x))

función derivada 1 f -f ' f2 f +g f’+g’ f.g f’.g+f.g’ f/g f ' . g−f . g ' g2 Ejercicio:

Calcular la función derivada en cada caso: a) Funciones básicas

1) f(x) = x25 _{2) f(x) = -5x 3) f(x) = 6x}4 _{4) f(x) = -5x}3 _{5) f(x) = 8x 6) f(x) = -2}

7) f(x) = 5ex _{8) f(x) = -15e}x _{9) f(x) = e}3x _{10) f(x) = e}x3

11) f(x) = 4 ex7 12) f(x) = 3L(x) 13) f(x) = L(x4_{) 14) f(x) = -2L(x}3₎

b) Operaciones con funciones 1) f(x) = 1 x3 2) f(x) = -3 e x7 + 6x4 _{3) f(x) = x}3 _ex3 4) f(x) = ex x2