Bloque VI
Resuelves ecuaciones lineales I
DESEMPEÑOS Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la relación entre ellas. Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Reconoce a y=mx + b como una ecuación de dos variables como la forma de una función lineal. Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal. Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal. Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieran el uso de ecuaciones lineales en una variable y/o funciones lineales. Describe el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales; tanto algebraica como gráfica. Aplica diferentes técnicas para construir la gráfica de una función lineal. Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones
Bienvenido al bloque VI, en él aplicarás diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.
Formularás y solucionarás problemas, con técnicas algebraicas, en situaciones que se representan mediante ecuaciones lineales.
Utilizarás los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función lineal.
Transitarás de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones.
Explicarás cómo será la gráfica de la función lineal, a partir de los parámetros m y b.
Probablemente ya has escuchado hablar sobre las ecuaciones en cursos anteriores, de hecho si nos remontamos a tu paso por la secundaria, en algún momento las estudiaste. Una ecuación lineal es “una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable o variables desconocidas que reciben el nombre de incógnitas”
De manera más sencilla una ecuación es: una expresión que indica que dos cantidades son iguales.
Existen distintos tipos de ecuaciones que dependen del número de variables o del grado de éstas; en este bloque VI estudiarás las ecuaciones de una variable de primer grado.
Ecua cion es lineale s de primer gra do
Res olución de ec ua ciones de primer gr ado
En g enera l para r es olver un a ecu ación de primer gra do de bemos seg uir los sig u iente s pasos:
1º Quitar paré ntes is.
2º Quitar den omin ad ores.
3º Ag rupar los térm inos en x e n un miembro y los térm inos ind epe nd iente s en e l otro.
4º Redu cir los términos semejant es.
GRAFICA DE UNA FUNCION LINEAL y=mx + b
o
La ordenada al origen "b" es el valor donde la recta corta al eje “y”
o
El valor de la pendiente determina que una función afín sea creciente,
constante o decreciente.
Ejemplo: y = 3x – 2 ► m = 3 y b = - 2 1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = - 2 2do Nos corremos una unidad a la derecha
3ro, subimos 3 unidades porque la pendientes positiva (+) 4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada
Ejemplo: y = - 2x + 4 ► m = - 2 y b = 4 1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = 4 2do Nos corremos una unidad a la derecha
3ro, como la pendiente es (-) bajamos 2 unidades
4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada al origen y el punto al que nos llevo la pendiente
Dadas las siguientes ecuaciones de recta determinar la pendiente “m” y la ordenada al origen “b” y luego graficar en un mismo sistema
.
PROBLEMAS QUE SE SOLUCIONAN CON UNA ECUACION LINEAL
1.- Un papa y su hijo tienen juntos 48 años. El hijo es 28 años mas chico que el papa ¿Cuáles son las edades de ambos?
x= edad del padre edad de papa + edad de hijo = 48
x-28= edad del hijo x + x-28) =48
x + x - 28 =48
2x – 28 =48
2x = 48 + 28
2x = 76
x=76/2 =38 edad del padre
x-28 = 38 – 28 =10 edad del hijo
2.- Hallar tres números enteros consecutivos, cuya suma es 105.
1er numero = x 34 x+ (x+1) + (x+2) = 105 2º numero = x+1 34+1=35 x + x + 1 + x + 2 =105 3er numero =x+2 34+2=36 3x + 3 = 105 105 3x= 105 – 3 3x =102 x = 102 / 3 = 34
Bloque VII
Resuelves ecuaciones lineales II
DESEMPEÑOS
Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones con dos incógnitas mediante los siguientes
métodos:
Numérico: Determinantes.
Algebraico: Eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución.
Gráficos.
Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos
incógnitas.
Identifica gráficamente s un sistema de ecuaciones simultaneas tiene una,
ninguna o infinitas soluciones.
Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos
algebraicos, numéricos y
gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas
para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de
ecuaciones con dos incógnitas.
En el bloque VII resolverás sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando métodos
numéricos, analíticos y
gráficos. Expresarás y solucionarás situaciones diversas utilizando sistemas de
2x 2.
Resolverás sistemas de ecuaciones 2x2 empleando métodos de reducción algebraica y numérica.
Construirás ideas y argumentos relativos a la solución y aplicación de sistemas de ecuaciones.
Es frecuente que al resolver un problema práctico donde en el modelo matemático aparezca una ecuación de
primer grado, se requiera obtener una única solución, la cual, obviamente no puede determinarse con sólo una
ecuación; es decir se requiere de dos o más ecuaciones, las cuales en su conjunto constituyen lo que se
denomina Sistema de Ecuaciones Lineales.
En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:
Dentro de los métodos básicos, están el de reducción, igualación y sustitución que mediante distintas operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del sistema. Si el sistema fuera incompatible o compatible indeterminado los métodos anteriores no conducen a una solución del sistema.
Entre los métodos avanzados están Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-Jordan, y mediante la Matriz invertible, entre otros; estos métodos son más sofisticados que los básicos y son necesarios conocimientos de Álgebra lineal en ocasiones elevados, y destinados a la resolución de sistemas de gran dimensión con gran número de ecuaciones que dan lugar, normalmente, al empleo de ordenadores para realizar las operaciones necesarias.
Aquí veremos la Regla de Cramer en su forma para dos ecuaciones con dos incógnitas, como complemento a las formas básicas de resolución.
Método de reducción
El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.
Tenemos como ejemplo el sistema:
En este caso la x, ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo; podemos sumar las dos ecuaciones directamente:
como resultado de la suma tenemos una sola ecuación con una incógnita: despejando la y, tenemos:
Para calcular el valor de x, sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones, por ejemplo la primera:
Despejando x, tenemos:
que realizando la operación da como resultado:
el resultado del sistema es el valor de x e y que satisface las dos ecuaciones simultáneamente, que como ya sabíamos es: y
En este caso era muy fácil dado que la x ya tenía el mismo coeficiente cambiado de signo en una y otra ecuación. Podemos resolver el mismo sistema, pero esta vez eliminando la y:
Vemos el coeficiente de la y de la primera ecuación es 1 y el de la segunda, 2; si multiplicamos la primera ecuación por 2, y la segunda la cambiamos de signo, tendremos:
con lo que tenemos que la y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo. Sumando las dos ecuaciones:
así tenemos una ecuación con una incógnita: despejando la x:
el valor de x que obtenemos es:
para calcular y sustituimos el valor obtenido de x en una de las ecuaciones, la primera de ellas por ejemplo:
Método de igualación
El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda. Aprovechando el mismo ejemplo anterior, veamos cómo se resuelve por igualación:
despejamos en las dos ecuaciones una de las incógnitas, por ejemplo la x:
el valor de x ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por lo tanto tenemos:
Pasando todos los términos con y a un miembro de la ecuación, y los términos independientes al otro:
Operando tenemos:
Con lo que tenemos el valor de y. Sustituyendo este valor en la primera ecuación y despejada la x, tenemos que si:
Resulta que x vale:
la solución del sistema es:
Ejemplo: resolver el sistema por cramer o determinantes:
Calculamos primero la x:
y ahora calculamos la y:
Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es:
SOLUCION A PROBLEMAS
1) La resolución de un sistema de ecuaciones no es una tarea en sí misma, sino que forma parte de la resolución de un problema, teórico o práctico. Veamos cómo, partiendo de un problema expresado de modo textual, podemos transcribirlo a ecuaciones y luego resolverlo.
El problema es: En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y patos hay?
Tenemos un problema expresado textualmente. Para resolverlo tenemos que pasarlo a forma de ecuaciones, por lo que tenemos que determinar:
1. Cuáles son las incógnitas. 2. Qué relación hay entre ellas.
En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de conejos y el número de patos. Llamaremos x al número de conejos e y al número de patos:
Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza. Por tanto: el número de conejos por una cabeza, más el número de patos por una cabeza también, tienen que sumar 18:
Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólo tienen dos. Por tanto: el número de conejos por cuatro patas cada uno, más el número de patos por dos patas, tienen que sumar 52:
La cuestión es: qué valores de x e y cumplen las dos ecuaciones al mismo tiempo; esto es, las dos ecuaciones forman un sistema y el valor de la x y de la y es la solución de un sistema de dos ecuaciones:
Ya tenemos el sistema de ecuaciones perfectamente representado, primero veremos qué clase de sistema es, y si admite solución o no, podemos ver que:
Luego el sistema es compatible determina, por lo que tendrá una única solución y podemos solucionarlo por cualquiera de los métodos ya vistos. Por ejemplo, el de reducción.
Todos los coeficientes de la segunda ecuación son pares y por tanto divisibles por dos:
Si ahora la primera ecuación la cambiamos de signo, (multiplicándola por -1), tendremos:
sumamos las dos ecuaciones:
Con lo que tenemos que x= 8. Sustituyendo este valor en la primera ecuación, tenemos:
con lo que ya tenemos la solución del problema:
Problemas resueltos
2)
Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números
son?
x= primer número
y= segundo número
Los número suman 25: x + y = 25
El doble de uno de los números es 14: 2x = 14
Tenemos el sistema
.
. Aplicamos substitución
Por tanto, los números son 7 y 18.
3)
El doble de la suma de dos números es 32 y su diferencia es 0. ¿Qué
números son?
x= primer número
y= segundo número
El doble de la suma de los números es 32: 2(x + y) = 32
La diferencia de los números es 0: x - y = 0
Tenemos el sistema
Por tanto, los números son 8 y 8.
4)
La suma de dos números es 12 y la mitad de uno de ellos el doble del otro.
¿Qué números son?
x= primer número
y= segundo número
La suma de los números es 12: x + y = 12
La mitad del primer número es el doble del segundo: x/2 = 2y
Tenemos el sistema
Aplicamos substitución
Por tanto, los números son 18/5 y 12/5.
5)
Tenemos dos números cuya suma es 0 y que si a uno de ellos le sumamos
123 obtenemos el doble del otro. ¿Qué números son?
x= primer número
y= segundo número
La suma de los números es 0: x + y = 0
Aplicamos substitución
Por tanto, los números son 41 y -41.
.
Bloque VIII
Resuelves ecuaciones lineales III
DESEMPEÑOS
Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres incógnitas mediante `cg métodos:
Numérico: Determinantes.
Algebraicos: Eliminación reducción (suma y resta) m sustitución. Gráficos
Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos,
numéricos y gráficos.
Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.
En Este bloque obtendrás la solución de sistemas de ecuaciones lineales de 3x3 y aplicarás
el método numérico por determinantes para resolver sistemas
.
Utilizarás el método de sustitución para resolver un sistema de 3 X 3. Representarás y solucionarás
situaciones diversas utilizando sistemas de 3X3. Expresarás ideas y conceptos de sistemas de
ecuaciones con tres incógnitas empleando representaciones en lenguaje común, simbólico o gráfico.
Ejecuta instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus
pasos contribuye al alcance de la solución de una ecuación de 3 X 3.
Bloque IX
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
DESEMPEÑOS Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable:
Completa:
Incompleta:
Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable
completa e incompleta.
Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa e
incompleta por los métodos: Por extracción por factor común y
formula general para ecuaciones incompletas.
Por factorización, completando trinomio cuadrado perfecto y fórmula
general para ecuaciones cuadráticas con una variable completa.
Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales,
complejas e imaginarias.
Interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable.
Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución
de ecuaciones cuadráticas.
Interpreta la solución de los problemas para cuando tiene soluciones inadmisibles.
Bienvenido a este bloque en el cual trabajarás para solucionar ecuaciones cuadráticas.
Aplicarás técnicas algebraicas de despeje o extracción de un factor común. Resolverás
ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable.
Utilizarás la técnica de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones
completas de segundo grado en una variable.
Identificarás raíces reales y complejas y escribirás ecuaciones a partir de estas. Representarás y
solucionarás situaciones con ecuaciones cuadráticas.
Las ecuaciones cuadráticas se conocen también como “ecuaciones de segundo grado” porque el máximo
exponente de la incógnita es 2 y las soluciones que las resuelven también son dos.
RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS: A) MIXTAS. Cuando carece del término constante
1. 2.
B) PURA S. Cua ndo c arece de l termin o de x
Para resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas puras de la forma ax2 + c = 0, deberás despejar la incógnita. Para esto pasamos c al 2° miembro, luego a y por último el cuadrado de x, como se muestra a continuación;
En las ecuaciones incompletas
Entonces, las raíces (o soluciones) de una ecuación cuadrática incompleta pura son;
- Si a y c tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada de una cantidad negativa, y si tienen signo distinto las raíces son reales.
1.
2.
Por ser e l rad ican do neg ativo n o tie ne so lución en los n úmero s reale s Una e cua ción c uadr ática o de s egu ndo grado e s incompl eta si a lg uno d e los co ef icie ntes, b o c, o ambos, son ig ua les a c ero.
ax2 = 0 La solución es x = 0.
Resolver la ecuación (2x - 3) (2x + 3) - 135 = 0. **
Primero resolvemos la ecuación, como hay un producto notable (suma por su diferencia) aplicamos la fórmula (a + b)(a – b) = a2 – b2
;
Ahora, reemplazamos en la fórmula;
Resolver la ecuación 4x2 = - 32x Ordenamos la ecuación; **
Reemplazamos en la fórmula;
Resolver la ecuación 𝒙 𝟐 𝟑
−
𝒙−𝟗 𝟔=
𝟑 𝟐**
Para resolver la ecuación hay que quitar los denominadores, para lo cual, tenemos que sacar el mínimo común múltiplo entre 3, 6 y 2, que es 6, y después transponemos los términos para igualar a 0;
Reemplazamos en la fórmula;
Respuesta: Las raíces son 0 y 1/2.
C) COMPLETAS:
FACT ORIZA CION: Cons iste en d escomp oner en f actores la e xpr es ión cuadrát ica a
x
2+bx+c=0 ,
igualar cada factor a cero y resolver la ecuación para x Caso 1.x
2+ b x +c = 0
Resolver la ecuación cuadrática, por factorización: 1) x2-6x+5=0
( x - 5 ) ( x - 1 )=0
Igualando con cero
Caso 2.
ax
2+ b x +c = 0
1) 6 x2 + 7 x – 5 = ( 2x – 1) ( 3 x + 1 ) Multiplicados sumados Tabla: 2x - 1 + 10 x 3x +5 - 3 x 6 x - 5 7 x3) Anexar 3 ejercicios de los vistos en clase, A MANO
2) 2 x2 +17 x – 9 = ( 2x – 1 ) ( x + 9 ) 2 x -1
.x 9
SOLUCION POR T RINO MIO CUADRA DO PERFE CT O
Problema Encontrar c tal que es un trinomio
cuadrado perfecto. Para completar el cuadrado, sumar . b = 8, entonces Simplificar Solución c = 16
Nuestro trinomio cuadrado perfecto es . También lo podemos escribir como el cuadrado de un binomio: .
Prob lema. x2 – 12 x + 32=0
Pasar e l termin o ind epen diente x2 – 12x = -32
Divid ir e l coef ic ient e de x, y e le var este r esu ltado a l cu adra do y sumar a ambos lado s de la ecuac ió n x2 – 12x + (-6)2 =-32 + ( -6)2
x2 – 12x + 36 = -32 +36
Redu cir y s imp lif icar ; sacar ra íz c uadr ad a al pr imer y tercer termino: (x – 6)2 = 4
Quitar e xp one nte y a f ectar con radica l x – 6 =±√4
x=6 ±2 x1 =6+2 =8
Problema
Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática
Las raíces son las
intersecciones en x, donde la gráfica cruza el eje x. El valor de y para cualquier punto en el eje x es 0, entonces sustituir 0 por y
Reescribir la ecuación con el lado izquierdo de la
forma x2 + bx, para prepararla para completar el cuadrado
x2 – 4x + 4 = -1 + 4 x2 – 4x + 4 = 3
Sumar al lado izquierdo para completar el cuadrado, y también al lado derecho para mantener la ecuación válida
b = -4, entonces
=
Reescribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado
o
Sacar la raíz cuadrada de ambos lados. Necesitamos ambas raíces la positiva y la negativa, o perderemos una de las soluciones
o
Resolver x. Estas son las coordenadas en x de las raíces
Solución
Problema
Resolver
Dividir ambos lados de la ecuación entre el coeficiente de , que es 2
Reescribir la ecuación de forma que el lado izquierdo tenga la forma
Sumar
a ambos lados para completar el cuadrado Escribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado Sacar las raíces cuadradas de ambos lados, con ambas posibilidades positiva y negativa
Resolver x. Esto nos da las coordenadas
en x de las raíces, o las soluciones de la
ecuación cuadrática Solución
Problema Resolver
Reescribir la ecuación para que el lado izquierdo tenga la forma .
Sumar a ambos
lados
Escribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado
Sacar la raíz cuadrada de ambos lados. Normalmente las dos raíces positiva y negativa son necesarias, pero 0 no es positivo o negativo. 0 tiene sólo una raíz Resolver x.
Esta es la solución de la ecuación cuadrática, y la coordenada x de la raíz de la función cuadrática
Por FORMULA GENERAL
1) Resolver x
2−3x −4 = 0
2)
Resolver 5x
2−6x −1 = 0
5) Resolver )
9x² + 18x + 17 = 0;
9x² + 18x + 17 = 0.
a = 9, b = 18, c = 17. LuegoPROBL E MA S QUE S E RE VUEL VE N POR ECUACIONES CUA DRAT ICAS
Problema 1
Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación
El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa posición es 0, entonces igualamos la ecuación a 0.
Esta ecuación es difícil de factorizar o de completar el cuadrado, por lo que la resolveremos usando la fórmula cuadrática, Simplificar o
Encontrar ambas raíces
x ≈ 46.4 o -4.9
¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó sobre parte de esa curva.
Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo
La otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia del lanzamiento
Solución
Problema
Bob hizo un edredón que mide 4 pies x 5 pies. Él tiene 10 pies cuadrados de tela para crear un borde alrededor del edredón. ¿Qué tan ancho debe hacer el borde para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho en los cuatro lados.)
Área del borde = Área del rectángulo azul menos el área del rectángulo rojo Área del borde = (4 + 2x)(5 + 2x) – (4)(5)
Sólo estamos interesados en el área de las tiras del borde. Hay que escribir una expresión para el área del borde
10 = (4 + 2x)(5 + 2x) – 20
Tenemos 10 pies cuadrados de tela para el borde, entonces igualamos el área del borde a 10
Multiplicar (4 + 2x)(5 + 2x).
Simplificar
Restar 10 de ambos lados para obtener una ecuación
cuadrática igualada a 0 y pode aplicar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación.
Usar la fórmula cuadrática. En este caso, a = 4, b = 18, y c = -10.
Simplificar
o
Encontrar las soluciones, asegurándonos que el ± es evaluado para ambos valores
Ignorar la solución x = -5, porque el ancho no puede ser negativo
Solución
BLOQUE X:
DESEMPEÑOS
Identifica la relación entre ecuaciones y funciones cuadráticas.
Reconoce la ecuación cuadrática en dos variables
como
una función cuadrática. Identifica que toda función cuadrática es
una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o abajo.
Transforma la función cuadrática a la forma estándar así obteniendo las
coordenadas del V (h, k) para trazar su gráfica.
Interpreta que las intersecciones de la parábola con el eje de las
“x” son la
solución de la ecuación cuadrática, y que dependiendo de la naturaleza del
discriminante tiene soluciones reales, imaginarias o complejas.
Visualiza que al cambiar los parámetro de “a, b y c” en la función cuadrática
cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical.
Elabora o interpreta gráficas y tablas a partir de situaciones diversas e
interpreta sus soluciones para cuando son o no admisibles.
USO DE L DIS CRI MI NA NT E:El término b 2 - 4ac se llama discriminante y proporciona información importante sobre el número y la naturaleza de las soluciones a la ecuación de segundo grado a resolver. Tres casos son posibles:
1. Si D> 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales. 1. Si D = 0, la ecuación tiene 1 solución real.
2. Si D <0, la ecuación tiene 2 soluciones conjugadas imaginario.
Ejemplo 1: Encuentre las soluciones de la ecuación cuadrática a continuación.
x2 + 3x = 4
Teniendo en cuenta x2 + 3x = 4
Vuelva a escribir la ecuación dada en forma igual a cero y hallar a, b y c.
x 2 + 3x - 4 = 0 a=1 b=3 c=-4
Encuentra el discriminante D = b 2 - 4ac
D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 (1) (-4) = 25
Desde el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales, es dado por.
Conclusión: Las soluciones de la ecuación dada es de 1 y -4.
Resolver: x
2-3x+2=0
Ejemplo 2: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática
𝒙𝟐
𝟑 + 𝟑 = 𝟐𝒙 .
Eliminar el denominador multiplicando todos los términos de la ecuación por 3.
3 [𝒙𝟐
𝟑 + 𝟑 = 𝟐𝒙 ] = 𝑥2+ 9 = 6𝑥
Simplificar y volver a escribir la ecuación con el término derecho igual a cero, y determinar a, b y c.
x 2 - 6x + 9 = 0
El discriminante D está dada por
D = b 2 - 4ac = (-6) 2 - 4 (1) (9) = 0
Desde el discriminante es igual a cero, las dos fórmulas da las dos soluciones de la ecuación cuadrática convertido en uno x = -b/2a y la ecuación tiene una
solución.
x =- 3
Resolver 𝑥2
2 = −8 − 4𝑥 Ejemplo 3: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática
x
2- 4x + 13 = 0
Teniendo en cuenta x
2- 4x + 13 = 0
El discriminante D está dada por
D = b
2- 4ac = (-4)
2- 4 (1) (13) = -36
Desde el discriminante es negativo, la raíz cuadrada del discriminante es un
número imaginario puro.
