DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD DISCRETA (PARTE 2)
Probabilidad
EJEMPLO Calcular 𝜎 𝑦 𝜎
2para una variable aleatoria discreta
Un investigador de un hospital interesa saber el número de veces que el paciente promedio postoperatorio llamará a la
enfermera durante un turno de 12 horas.
Para una muestra aleatoria de 50 pacientes, 2 nunca llamaron la enfermera, 11 llamaron una vez, 23 llamaron 2 veces, 9 llamaron 3 veces, 4 llamaron 4 veces y 1 llamó cinco veces.
Sea X = el número de veces que un paciente llama a la enfermera durante un turno de 12 horas,
a)¿Cuáles son los valores posibles para X?.
b) ¿Por qué esta situación se puede representar con distribución de
probabilidad discreta (Debe dar dos razones)?
c) Construya la distribución de probabilidad.
EJEMPLO Calcular 𝜎 𝑦 𝜎
2para una variable aleatoria discreta
Un investigador de un hospital interesa saber el número de veces que el paciente promedio postoperatorio llamará a la
enfermera durante un turno de 12 horas.
Para una muestra aleatoria de 50 pacientes, 2 nunca llamaron la enfermera, 11 llamaron una vez, 23 llamaron 2 veces, 9 llamaron 3 veces, 4 llamaron 4 veces y 1 llamó cinco veces.
Sea X = el número de veces que un paciente llama a la enfermera durante un turno de 12 horas, entonces,
d) Calcule la media para X.
De acuerdo con el
Informe al Consumidor de Air Travel, sus
aviones más grandes lograron un 50 % de
vuelos a tiempo en Mayo de 2008. Suponer que se seleccionan 4 vuelos al azar en mayo del 2008 y X es el número de
vuelos que estuvieron a tiempo. Construya una distribución de
probabilidad para la variable aleatoria X
usando un diagrama de árbol.
EJEMPLO Construir una distribución de probabilidad binomial
1ER ENSAYO
2ND ENSAYO
3ER ENSAYO
4TO
ENSAYO RESULTADO No. de éxitos
X P(X)
0 1 2 3 4
EJEMPLO Construir una distribución de probabilidad binomial
x P(x)
0 1 2 3 4
Total de posibilidades:
1ER ENSAYO
2ND ENSAYO
3ER ENSAYO
4TO ENSAYO
___ ___ ___ ___ =
=
La distribución de probabilidad binomial
Criterios para un experimento de probabilidad binomial Un experimento se dice que es un experimento binomial si 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de
veces.
Cada repetición del experimento se llama un ensayo.
2. Los ensayos son independientes.
Esto significa que el resultado de un ensayo no afectará a los resultados de los otros ensayos.
3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes: el éxito o el fracaso.
4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del
experimento.
Notación usada en la
distribución de probabilidad binomial
• Número de ensayos independientes del experimento se denota n
• Nombramos p la probabilidad de éxito en el experimento y 1 – p, la probabilidad de fracaso.
• Si X es una variable aleatoria binomial que denota el número de éxitos en n pruebas independientes de un
experimento binomial, entonces los valores posibles de x
están entre 0,1,2, …, n.
(a) Un jugador tira un dado justo 10 veces. X es el número de veces que sale el 7.
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
Solución:
Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento.
1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.
2. Los ensayos son independientes.
3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento.
4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
Solución:
Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento.
1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.
2. Los ensayos son independientes.
3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento.
4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.
(b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres.
El instructor selecciona al azar a 4 estudiantes. Se registra el número X de mujeres que fueron
seleccionadas.
(c) Tomando en cuenta las 11 líneas aéreas más grandes en Estados Unidos, se determina que existe una probabilidad de 84.7% de que un vuelo salga a tiempo. Para determinar las razones para atrasos, un oficial de la FAA elige vuelos
aleatoriamente hasta que encuentra 10 vuelos que NO estuvieron a tiempo. X representa el número total de vuelos que tuvo que seleccionar.
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
Solución:
Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento.
1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.
2. Los ensayos son independientes.
3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento.
4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.
Ejemplo
Use la siguiente distribución de probabilidad para contestar las preguntas.
X P(x)
0 0.22
1 0.08
2 ?
3 0.35
4 0.15
5 0.15
a. P(x = 2) =
b. P(x > 3) =
c. P(x ≠ 3) =
d. P(x < 5) =
La distribución de probabilidad binomial usando un árbol
En una escuela superior se ha determinado, que el 80% de los estudiantes ha copiado alguna tarea de otro alumno durante sus años de estudio en la Secundaria. Se eligen 3 estudiantes al azar.
Sea C = Estudiante se copió. Suponiendo que cada elección es independiente de los anteriores, use un diagrama de árbol para construir una distribución de probabilidad para
X = número de estudiantes seleccionados que se copiaron.
Solución:
La distribución de probabilidad binomial con fórmula
La probabilidad de obtener x número de éxitos en n ensayos independientes en un experimento de probabilidad binomial es
𝑃 𝑥 = 𝐶
𝑛 𝑥𝑝
𝑥1 − 𝑝
𝑛−𝑥donde
x=0, 1, 2, …, n
p es la probabilidad de éxito, 1 – p es la probabilidad del fracaso
𝑛
𝐶
𝑥es el número de combinaciones de n
objetos tomando x a la vez.
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al menos 3 automóviles.
(a) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3
autos?
Interpretación:
n = 20, x = 5, p = 0.35 𝑃 𝑥 = 𝐶
𝑛 𝑥𝑝
𝑥1 − 𝑝
𝑛−𝑥Construir una distribución de probabilidad binomial con n = 8 y p = 0.15.
EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms
X P(X)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 𝑃 𝑥 = 𝐶𝑛 𝑥𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles.
(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches? ?
𝑃 𝑥 = 𝐶𝑛 𝑥𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles.
(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que al menos 4 tienen tres o más coches?
Media y desviación estándar de una variable
Un experimento de probabilidad binomial, con n ensayos independientes y una
probabilidad de éxito de p, tiene una
media y una desviación estándar dada por las siguientes fórmulas
𝜇 𝑥 = 𝑛𝑝 𝑦 𝜎 𝑥 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) .
Según informes de una compañía de automóviles, el 35% de los hogares tienen al menos 3 automóviles. En una muestra aleatoria simple de 400 hogares que tienen autos, determine la media y la desviación estándar de los hogares que tendrán al menos 3
autos.
EJEMPLO Hallar la media y la desviación estándar de una variable aleatorio binomial
EXAMEN II – 2DO EJERCICIO PARA
REPOSICIÓN
La siguiente tabla muestra la distribución de una
muestra aleatoria de 111 individuos organizados por género y por la mano que utiliza cada uno para escribir.
Se denotan los eventos: M = el sujeto es mujer, H = el sujeto es hombre, D = el sujeto es diestro, Z =sujeto es zurdo. Calcule las siguientes probabilidades. Dé su respuesta como fracción.
a) P(M) b) P(Z)
d) P(H ó Z)
e) P(M|Z)
