Cosmologia quântica de laços e quantização

(1)

Cosmologia quˆ antica de la¸cos e quantiza¸c˜ ao h´ıbrida

Daniel Mart´ın de Blas

Grupo de Cosmologia / UFES Bolsista PDJ do CNPq

6 de Dezembro de 2013 @ UFES

(2)

Motiva¸c˜ ao ` a gravidade quˆ antica

La relatividad general (RG) explica la interacción gravitatoria de forma satisfactoria pero presenta problemas que sugieren que una descripción cuántica es necesaria.

Incompatibilidad con las teor´ıas cu´anticas de describen la materia y el resto de interacciones:

Gµν =8πGTµν

Materia descrita por teor´ıa cu´antica:T_µν −→ ^T^ˆµν. Geometr´ıa: Gµν

−→? ^G^ˆ^µν^.

Existencia de singularidades donde la teor´ıa pierde su validez.

“Regiones” del espaciotiempo donde ciertas cantidades f´ısicas di- vergen (curvatura, densidad material,...).

Tienen lugar en regiones donde se espera efectos cu´anticos gravita- torios tengan gran importancia. (Resoluci´on de singularidades?)

(3)

Gravidade quˆ antica de la¸cos

Una de las teor´ıas más prometedoras para cuantizar la interacción gravitatoria es la gravedad cuántica de lazos (LQG):

Teor´ıa no perturbativa, independiente de estructuras m´etricas de fondo.

Teor´ıa cu´antica de la relatividad general:

Perspectiva geom´etrica de la gravitaci´on.

Cantidades geométricas como el área y el volumen están descritas cuánticamente.

Teor´ıa cuántica canónica: Formulación hamiltoniana de la RG.

Programa de Dirac para sistemas con ligaduras de primera clase.

1 Ignorando las ligaduras el ´algebra de variables cl´asicas se representa mediante operadores sobre un espacio de Hilbert.

2 Se construyen los operadores que representan a las ligaduras.

3 Los estados f´ısicos son aquellos aniquilados por las ligaduras.

4 Se construye el espacio de Hilbert f´ısico y un conjunto completo de observables f´ısicos.

(4)

Gravidade quˆ antica de la¸cos

Gravedad cu´antica de lazos:

Variables de Ashtekar–Barbero: conexión gauge y tr´ıada densitizada (que contiene la información métrica). Ligaduras de gauss. Simplificación de las ligaduras.

Holonom´ıas de la conexi´on a lo largo de caminos (funciones cil´ındricas) y flujos de la triada densitizada a trav´es de superficies.

Problemas para completar el proceso de cuantizaci´on:

Implementaci´on de la ligadura Hamiltoniana y la definici´on de observables f´ısicos.

La cosmolog´ıa cuántica de lazos (LQC) aplica las técnicas e ideas de la LQG a sistemas cosmológicos homogéneos.

El programa de cuantizaci´on puede ser completado.

Permite estudiar las consecuencias de la geometr´ıa cu´antica de lazos en sistemas de relevancia f´ısica.

(5)

Gravidade hamiltoniana

La gravedad cuántica de lazos canónica parte de una descripción hamiltoniana de la relatividad general:

Espaciotiempos globalmente hiperbólicos: Exfoliación en secciones espaciales Σ a partir de una elección de una función de tiempo t.

M´etrica espaciotemporal: g_ab =⇒







lapso: N vector shift: Nâ métrica espacial:h_ab Grados de libertad f´ısicos dados por la tres-métrica h_ab.

Momentos conjugados, π^ab, se obtienen a partir de la curvatura extr´ınseca: K_ab =Lnh_ab/2.

Ligaduras:

Ligadura hamiltoniana o escalar C.

Ligadura de difeomorfismos o de momentos Ca.

(6)

Variables de Ashtekar–Barbero

Conexión gauge su(2), Aⁱ_a, y tr´ıada densitizada, E_iâ. Definición de las variables:

Se introduce una co-tr´ıada eⁱ_a tal que: h_ab =eⁱ_ae^j_bδ_ij.

La tr´ıada e_i^a se define como la inversa a la co-tr´ıada eⁱ_ae^b_j =δ_jⁱδ^b_a. Tr´ıada densitizada: E_i^a =√

heâ_i ⇒ |^h|^hâb= Eâ_iE^b_jδîj. Conexión de Ashtekar–Barbero, Aⁱ_a =Γⁱ_a+γKⁱ_a:

Γⁱa es una conexión de esp´ın:2Γⁱa=−êîjkÊjbDaE_k^b. Kⁱ_a es la curvatura en forma triádica: K_iâ=K_abe_i^b. γ es un par´ametro real positivo, parámetro de Immirzi.

Estas variables satisfacen los siguientes corchetes de Poisson:

n

Aⁱ_a(x), E^b_j(y)^o=8πGδ_a^bδⁱ_jδ(x−^y)

(7)

Variables de Ashtekar–Barbero: Ligaduras

Ligaduras de difeomorfismos: Ca =F_abⁱ E^b_i. Ligadura escalar:

C= _p¹

|Ê|êîjk

hF_abⁱ − (¹−^γ²)eⁱ_mnK^m_a Kⁿ_bi

E^ajE^bk, donde F_abⁱ =∂aAⁱ_b−^∂bAⁱ_a+eⁱ_jkAⁱ_aA^k_b es el tensor de curvatura.

Variables de Ashtekar–Barbero introducen grados de libertad SU(2) adicionales e introducen por tanto una nueva ligadura, denominada ligadura de Gauss:

Gi =∂aE_i^a+eijkΓ^jaE^ak.

Genera la invariancia de la teor´ıa bajo transformaciones SU(2).

(8)

Algebra de holonom´ıas y flujos ´

Las variables b´asicas para la cuantizaci´on de LQG:

1 Holonom´ıas de la conexi´on: h_α[A] =P^exp

_Z

α

dx^aAⁱ_a(x)τ_i

.

2 Flujo deE a trav´es de superficies S: E(S, f) =

Z

S fⁱE_i^ae_abcdx^bdx^c. Motivaciones para escoger estas variables:

Su definici´on no depende de estructuras de fondo.

Holonom´ıas contienen la informaci´on invariante gauge de A.

Son invariantes bajo difeomorfismos espaciales.

Cumplen unos corchetes Poisson libres de divergencias.

Representación del álgebra formada por estas variables lleva a ob- tener un espacio de Hilbert cinemático con un producto interno discreto (base de spin-networks, representación única,...)

(9)

Modelo de FRW

(10)

FRW en variables de Ashtekar–Barbero

Consideraremos el modelo de Friedmann–Robertson–Walker plano con un campo escalar homog´eneo m´ınimamente acoplado.

Geometr´ıa FRW: {^{a, p}^a}^, ^Materia {^{φ, p}φ}^.

Tomaremos secciones espaciales compactas: celda fiducial V ^na- tural con lados de longitud coordenada 2π.

Variables de Ashtekar–Barbero (en gauge diagonal):

Aⁱ_a = ^c

2πδ_aⁱ, E_i^a = ^p 4π²δ_i^a. Corchetes de Poisson: {^{c, p}} =^8πGγ/3.

p∈R, p∝ a² ⇒ ^V= |^p|^3/2 ≡ volumen f´ısico.

c∝ γ∂ta, donde t el tiempo propio.

(11)

Ligaduras

Aⁱ_a = ^c

2πδⁱ_a, E_iâ = ^p 4π²δ_iâ. Gauss: Gi =∂aEâ_i +e_ijkΓa^jEâk

(12)

Ligaduras

Aⁱ_a = ^c

2πδⁱ_a, E_i^a = ^p 4π²δ_i^a. Gauss: Gi =

*⁰

∂aE_i^a+eijkΓ^jaE^ak ≡^0.

2Γa^j = −êîjkÊjb

DaE*_k^b=⁰ 0.

(13)

Ligaduras

Aⁱ_a = ^c

*⁰

DaE*_k^b=⁰ 0.

Difeomorfismos: Ca = F_abⁱ E_i^b F_abⁱ =∂aAⁱ_b−^∂bAⁱ_b+eⁱ_jkA^j_aA^k_b

(14)

Ligaduras

Aⁱ_a = ^c

*⁰

DaE*_k^b=⁰ 0.

Difeomorfismos: Ca = F_abⁱ E_i^b = ₍_4π^pc₂²₎₂

*⁰

eⁱ_jkδa^jδ_b^kδ^b_i ≡^0.

F_abⁱ =

*⁰

∂_aAⁱ_b−^∂bA^*ⁱ_b+⁰ eⁱ_jkA^j_aA^k_b= _4π^c²2eⁱ_jkδ_a^jδ_b^k.

(15)

Ligaduras

Aⁱ_a = ^c

*⁰

DaE*_k^b=⁰ 0.

*⁰

F_abⁱ =

*⁰

∂_aAⁱ_b−^∂bA^*ⁱ_b+⁰ eⁱ_jkA^j_aA^k_b= _4π^c²2eⁱ_jkδ_a^jδ_b^k. Hamiltoniana: C = √¹

|^E|e_ijk F_abⁱ − (¹+γ²)eⁱ_mnK^m_a K_bⁿ E^ajE^bk

(16)

Ligaduras

Aⁱ_a = ^c

*⁰

DaE*_k^b=⁰ 0.

*⁰

F_abⁱ =

*⁰

|Ê|e_ijk F_abⁱ − (¹+γ²)eⁱ_mnK^m_a K_bⁿ EâjE^bk Aⁱ_a =γKⁱ_a ⇒ ^γ²êⁱmnK^m_a Kⁿ_b =F_abⁱ

(17)

Ligaduras

Aⁱ_a = ^c

∂aE*_i^a+⁰ e_ijkΓ^jaE^ak ≡^0.

*⁰

DaE_k^b=0.

Difeomorfismos: Ca = F_abⁱ E_i^b = ₍_4π^pc2²)²

*⁰

F_abⁱ =

*⁰

|Ê|e_ijk F_abⁱ − (¹+γ²)eⁱ_mnK^m_a K_bⁿ EâjE^bk Aⁱ_a =γKⁱ_a ⇒ ^γ²êⁱmnK^m_a Kⁿ_b =F_abⁱ

Cgrav =−^e^ijk^F

i

abE^ajE^bk γ²p

|^E| =− ⁶ γ²

q

|^p|^c²

(18)

Din´ amica cl´ asica

Ligadura hamiltoniana total:

C =− ³

8πGγ²

q|^p|^c²+ ^p

2 φ

2V; V =|^p|^3/2^. Por simplicidad tomaremos la ligadura densitizada: C =^VC.

(19)

Din´ amica cl´ asica

C =− ³

8πGγ²

q|^p|^c²+ ^p

2 φ

Ecuaciones del movimiento:

˙p_φ ={^pφ,C} =⁰ ⇒ ^pφ =cte>0

˙φ={^φ,C} = ^pφ ⇒ ^φ= p_φτ+

0

φ_{0 (campo}_≡tiempo escalado)

˙c={^c,C} = −²_γ^c²^p

˙p ={^p,C} = _γ²^p²^c

C =⁰ ⇒ ^cp= ±^Kp^φ^γ, (K=√

4πG/3)

(20)

Din´ amica cl´ asica

C =− ³

8πGγ²

q|^p|^c²+ ^p

2 φ

Ecuaciones del movimiento:

˙p_φ ={^pφ,C} =⁰ ⇒ ^pφ =cte>0

˙φ={^φ,C} = ^pφ ⇒ ^φ= p_φτ+

0

φ_{0 (campo}_≡tiempo escalado)

˙c={^c,C} = −²_γ^c²^p =∓^2Kpφc ⇒ ^c=c₀e^∓^2Kφ

˙p ={^p,C} = _γ²^p²^c=±^2Kpφp ⇒ ^p= p0e^±^2Kφ C =⁰ ⇒ ^cp= ±^Kp^φ^γ, (K=√

4πG/3)

(21)

Din´ amica cl´ asica

p= p0e^±^2Kφ, H² = ^c

2

γ²p = ^K

2p²_φ

p³₀ e^∓^6Kφ = ^8πG 3 ρ

−4 −2 0 2 4

φ 0

100 200 300 400 500

p=a2

−4 −2 0 2 4

φ 0

100 200 300 400 500

H2=c2 γ2p∝ρ

Soluciones:

Universos en expansi´on con Big Bang en el pasado (vermelho).

Universos en contracci´on con Big Crunch en el futuro (azul).

La densidad de energ´ıa diverge en dichas singularidades.

(22)

FRW em WDW

(23)

Wheeler–De Witt

Representaci´on de la materia: tipo Schr¨odinger

φˆ =φ, ˆpφ =−î¯h∂φ; Hmat =L²(R, dφ) Representación de la geometr´ıa: WDW–Schrödinger

ˆp= p, ˆc=i¯h2K²γ∂p; Hgrav = L²(R, dp) Espacio de Hilbert cinem´atico: H^c´ın =H^grav⊗ H^mat Operador ligadura hamiltoniana (densitizada):

C = −ˆ ¹

2K²γ²[cp_b]²+¹ 2ˆp²_φ.

Ecuaci´on de Klein–Gordon con φ como tiempo relacional.

cpb = \sgn(p) [^p|^p|^ˆc_sgn\(p) [^p|^p| = ^i¯h2K²^γ^h¹₂+p∂p

i ≡Ω^b

(24)

WDW: An´ alisis espectrales

An´alisis espectral de bΩ =i¯h2K²γ h1

2+p∂p

i :

Operador esenc. autoadjunto en L²(R, dp)y en L²(R^±, dp). Espectro absolutamente continuo, no degenerado igual a R.

Autoestados bΩ eω(p) =ωe_ω(p): e_ω(p) = ¹

p4πγ¯hK²pe⁻ⁱ

ωlog p

2γ¯hK2; hêω|êω⁰i =^δ(ω−^ω⁰). Análisis espectral de ˆpφ =−î¯h∂^φ ^:

Operador esenc. autoadjunto en L²(_{R, dφ}).

Espectro absolutamente continuo, no degenerado igual a R.

Autoestados ˆpφe_p_φ(φ) = pφe_p_φ(φ): e_p_φ(φ) = √¹

2π¯heîp^φ^φ/¯h; hêpφ|êp⁰_φi =^δ(p_φ−^p⁰φ)

(25)

WDW: Soluciones

Soluciones (Ψ|C^ˆ^†=0; (Ψ| ∈ S^∗ [dual de conj. den. de dom ˆC^] M´etodo de group averaging:

f(p, φ)∈ S^∗ −→ Ψf(p, φ) =

Z _∞

−∞dα e⁻^{iα ˆ}^Cf(p, φ). Ψf(p, φ) =

Z Z _∞

−∞dω dpφ ˜f(ω, pφ)e_ω(p)epφ(φ)δ p²_φ

2 − ^ω² 2K²γ²

!

=

Z _∞

−∞

dω

p_φ(ω)ê^ω(p)h ˜f+(ω)eîp^φ⁽^ω⁾^φ/¯h+ ˜f₋(ω)e⁻îp^φ⁽^ω⁾^φ/¯hi , donde pφ(ω) = ^|_Kγ^ω^|, ˜f_±(ω) = ˜f(ω,±^pφ(ω)).

Espacio de Hilbert f´ısico: Hf´ıs = L²R, p⁻_φ¹(ω)dω . Observables f´ısicos: ˆpφ, ˆp|^φ0 =(^da²)|^φ0.

(26)

Evoluci´ on de estados f´ısicos

Tomando perfiles: f˜+(ω) = ^p^φ(ω)

√ πσ²

e⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁻^ω⁰⁾²⁻ⁱ⁽^ω⁻^ω⁰⁾^φ⁰

φ

−1.0

−0.5 0.0

0.5 1.0

p

0 2

4 6

8 10

12

−35−30−25−20

−15−10

−5 0 p|Ψ(φ, p)|²

φ

−1.0

−0.5 0.0

0.5 1.0

log(p)

−3

−2

−1 0

1 2

3

−35−30−25−20−15

−10−5 0 p|Ψ(φ, p)|²

ω0=1000, σ =40, φ0=0

(27)

Evoluci´ on de estados f´ısicos

Tomando perfiles: f˜+(ω) = ^p^φ(ω)

√ πσ²

e⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁻^ω⁰⁾²⁻ⁱ⁽^ω⁻^ω⁰⁾^φ⁰

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

φ 0

2 4 6 8 10 12

p

−32

−28

−24

−20

−16

−12

−8

−4

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

φ

−3

−2

−1 0 1 2 3

log(p)

−32

−28

−24

−20

−16

−12

−8

−4

ω0=1000, σ =40, φ0=0

(28)

Evoluci´ on de estados f´ısicos

Tomando perfiles: ˜f₊(ω) = ^p^φ(ω)

√ πσ²

e⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁻^ω⁰⁾²⁻ⁱ⁽^ω⁻^ω⁰⁾^φ⁰

φ

−1.0

−0.5 0.0 0.5

1.0 p

0 2

4 6

8 10

12

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5 0 p|Ψ(φ, p)|²

φ

−1.0

−0.5 0.0

0.5 1.0

log(p)

−3

−2

−1 0

1 2

3

−35−30

−25−20

−15−10

−5 0 p|Ψ(φ, p)|²

ω0 =−^{1000, σ} =40, φ0 =0

(29)

Evoluci´ on de estados f´ısicos

Tomando perfiles: ˜f₊(ω) = ^p^φ(ω)

√ πσ²

e⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁻^ω⁰⁾²⁻ⁱ⁽^ω⁻^ω⁰⁾^φ⁰

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

φ 0

2 4 6 8 10 12

p

−32

−28

−24

−20

−16

−12

−8

−4

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

φ

−3

−2

−1 0 1 2 3

log(p)

−32

−28

−24

−20

−16

−12

−8

−4

ω0 =−^{1000, σ} =40, φ0 =0

(30)

Comparaci´ on WDW vs. evoluci´ on cl´ asica

Factor de escala al cuadrado: p =a²

Valor esperado y disp.: h^ˆpi_|_Ψ ≡ hΨ|^ˆp|Ψi^{, σ}p²=h^ˆp²i_|_Ψ− h^ˆpi²_|_Ψ

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4

φ 0

2 4 6 8

p=a2,hˆpi|Ψ

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4

φ 10⁻¹

10⁰ 10¹

p=a2,hˆpi|Ψ

(31)

Comparaci´ on WDW vs. evoluci´ on cl´ asica

Densidad de energ´ıa (material): ρ ∝ p²_φ V² = ^p

2 φ

p³

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4

φ 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

ρ=p

2 φ3/p,hˆρi|Ψ

×10⁸

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4

φ 10²

10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹

ρ=p

2 φ3/p,hˆρi|Ψ

(32)

Otros estados f´ısicos

˜f₊(ω) = ^p^φ(ω)

√2πσ²e⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁻^ω⁰⁾²⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁺^ω⁰⁾², ω0 =1000, σ=40

φ

−1.0

−0.5 0.0

0.5 1.0

p

0 2

4 6

8 10

12

−30−25−20−15

−10

−5 0 p|Ψ(φ, p)|²

φ

−1.0

−0.5 0.0

0.5 1.0

log(p)

−3

−2

−1 0

1 2

3

−30−25−20−15−10−5 0 p|Ψ(φ, p)|²

(33)

Otros estados f´ısicos

˜f₊(ω) = ^p^φ(ω)

√2πσ²e⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁻^ω⁰⁾²⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁺^ω⁰⁾², ω0 =1000, σ=40

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

φ 0

2 4 6 8 10 12

p

−27

−24

−21

−18

−15

−12

−9

−6

−3

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

φ

−3

−2

−1 0 1 2 3

log(p)

−27

−24

−21

−18

−15

−12

−9

−6

−3

(34)

Otros estados f´ısicos

˜f₊(ω) = ^p^φ(ω)

√2πσ²e⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁻^ω⁰⁾²⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁺^ω⁰⁾², ω0 =1000, σ=40

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

φ 10⁻²

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

p=a2,hˆpi|Ψ

Bounce en h^ˆpi_|Ψ recuperando la “evoluci´on cl´asica”.

No obstante:

1 σ_p² diverge.

2 No se recupera un comportamiento cl´asico.

3 h^ˆpφi_|_Ψ =0 ⇒ ^φ^{: tiempo?}

4 Situaci´on est´atica??

(35)

Otros estados f´ısicos

˜f₊(ω) = ^p^φ(ω)

√2πσ²e⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁻^ω⁰⁾², ω0=0, σ =80

φ

−1.0

−0.5 0.0

0.5 1.0

p

0 5

10 15

20

−30

−25

−20

−15

−10

−5 0 p|Ψ(φ, p)|²

φ

−1.0

−0.5 0.0

0.5 1.0

log(p)

−3

−2

−1 0

1 2

3

−30

−25

−20

−15

−10

−5 0 p|Ψ(φ, p)|²

(36)

Otros estados f´ısicos

˜f₊(ω) = ^p^φ(ω)

√2πσ²e⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁻^ω⁰⁾², ω0=0, σ =80

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

φ 0

5 10 15 20

p

−28

−24

−20

−16

−12

−8

−4

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

φ

−3

−2

−1 0 1 2 3

log(p)

−28

−24

−20

−16

−12

−8

−4

(37)

Otros estados f´ısicos

˜f₊(ω) = ^p^φ(ω)

√2πσ²e⁻^2σ2¹ ⁽^ω⁻^ω⁰⁾², ω0=0, σ =80

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

φ 10⁻²

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

p=a2,hˆpi|Ψ

(38)

FWR em LQC

(39)

Cosmologia quˆ antica de la¸cos

En cosmolog´ıa cuántica de lazos las variables fundamentales para la cuantización son las holonom´ıas de la conexión hα(A) ^{y los} flujos de la tr´ıada E(S, f)^.

Para el modelo de FRW: Aⁱ_a = ^c

2πδ_aⁱ, E^a_i = ^p 4π²δⁱ_a.

Holonom´ıas: basta computarlas sobre aristas rectas orientadas de longitud coordenada 2πµ∈ R en las tres direcciones fiduciales:

h_i^µ(c) = e^µcτⁱ =cosµc

2  1+2 senµc 2

τi

Est´an completamente determinadas por Nµ(c) =e^iµc/2

Algebra de configuraci´´ on: funciones cuasiperi´odicas,∑jλ_jNµj(c) Flujos: E(S, f) = _4π^p2A_{S, f} ⇒ determinados por p.

Corchetes de Poisson: {Nµ(c), p} =^iK²^γµNµ(c)

(40)

Representaci´ on

Campo de materia: Hmat =L²(R, dφ), ˆp_φ =−î¯h∂φ. Geometr´ıa FRW: Representación polimérica

Representación discreta: no fuertemente continua ⇒ ˆc Construcción/Determinación:

Algebra de conf.:´ f(c) =∑jf_jNµ_j(c), continuas y acotadas.

Completando ⇒ ^´^algebra^C^?^{de Bohr}≡^C(RB): func. continuas sobre la compactificaci´on de Bohr de la recta realRB.

compactif. de Bohr≡ grupo de homomorfismos deR a C_|z|=1. Representación polimérica ≡ ^L²(RB, dµB)^donde dµB es la única medida de Haar invariante bajoRB.

Equivalentemente, en el espacio de momentos:

ˆp|^pi =^p|^pi^{, con} ^p∈R (espectro discreto).

{|^pi^{, p}∈R}: “base” ortonormal del espacio deHgrav. Producto interno discreto:h^p|^p⁰i =^δpp⁰.

Op. de holonom´ıa: ˆNµ(c)|pi = |p+p⁰(µ)i, p⁰(µ) =K²¯hγµ.

(41)

Operador ligadura hamiltoniana

Cgrav =

−_2K¹²_γ^p|^p|^c² → ^C^grav ^∝ Z

dx³e_ijkF_abⁱ EâjEâk p|Ê| ^. Es preciso escribir la ligadura en términos de holonom´ıas:

F_abⁱ = −^{2 l´ım}

A→0tr



 h^µ

jk−1 A τⁱ



δⁱ_aδ_b^k,

h^µ

jk ≡^h^µ_j^h^µ_k(h^µ_j)⁻¹(h^µ_k)⁻¹ ≡ ^h^µj

h^µ_k

(h^µ_j)⁻¹ (h^µ_j)⁻¹

A=4π²µ²

Identidad cl´asica pero l´ımite cu´antico mal definido:

Espectro del operador ´area en LQG es discreto con m´ınimo autovalor no nulo ∆=4√

3πγ`²_Pl.

(42)

Improved Dynamics

Propuestas de cuantizaci´on: Longitud m´ınima para holonom´ıas Old dynamics: A=4π²µ²₀=_∆

Improved dynamics: |^E(A, 1)| = |^p|^µ^¯²=∆ ⇒ ^µ^¯ =^p∆/|^p| Improved dynamics:

¯

µ depende del estado⇒ ^acci´^{on de ˆ}Nµ¯ compleja sobre |^pi^. Par´ametro af´ın: v=sgn(p)|^p|^3/2^/(2πγ²`²_Pl√

∆)∝ V.

De esta forma: Nˆ±^µ^¯|^vi = |^v±¹i^. Ligadura hamiltoniana “cl´asica”:

C=− ³ 2K²γV

sen(µc¯ )

µ¯ sgn(p)

2

p²+ ^p

2 φ

2V N´otese que 2 sen(µc¯ ) =−ⁱ(N2 ¯µ(c)− N−2 ¯µ(c)).

(43)

Regularizaci´ on del inverso del volumen

p=0 pertenece al espectro discreto de ˆp ⇒

\

h 1

|^p|^3/2

i . Regularizaci´on (Truco de Thiemann):

Se tiene la identidad cl´asica, sgn(p)

|^p|¹⁻^s = ¹ 4sπγG

1 µtr

∑

i

h^µ_i(c)ⁿ[h^µ_i(c)]⁻¹,|^p|^s^o

! . Tomando s=1/2, el valor de ¯µ y promoviendo a operador:

\

"

1 p|^p|

#

reg

= ³_sgn\(p) 4πγ`²_Pl√

∆ [ q

|^p| N−^µ^¯^q[

|^p|Nµ¯− Nµ¯

[ q

|^p|N−^µ^¯

!

De esta forma podemos definir:

1d V

reg

=

\

"

1 p|^p|

#³

reg

(44)

Regularizaci´ on del inverso del volumen

Actuaci´on sobre la base de estados |^vi^:

1d V

|^vi =^b(v)|^vi^, ^b(v) = ²⁷|^v| 16πγ`²_Pl√

∆

|^v+1|^1/3− |^v−¹|^1/3

3

0 100 200 300 400 500 600

V 0.00

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

1/V,b(V)

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

V 10⁻⁶

10⁻⁵ 10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

1/V,b(V)

(45)

Operador ligadura hamiltoniana

Cˆ =¹^d V

^1/2

− ¹ 2K²γ²

Ωˆ²+¹ 2ˆp²_φ

| {z }

1d V

^1/2

Construcci´on del operador ˆΩ:

Ωˆ ≡cp;b cp → ^sgn(p)^sen(µc¯ )

¯

µ p=sgn(p)sen(µc¯ )V/√

∆.

Orden de factores (ambig¨uedad):

sgn(p)sen(µc¯ ) → [^sgn(p)sen(µc¯ ) +sen(µc¯ )sgn(p)]/2.

V distribuido sim´etricamente a izquierda y derecha.

Ωˆ = ⁱ 4√

∆√d Vh

sgn\(p) N^ˆ−^{2 ¯}^µ−N^ˆ2 ¯µ

+ N^ˆ−^{2 ¯}^µ−N^ˆ2 ¯µ

_sgn\(p)ⁱ√^d V.

Cˆ