Universidad Complutense de Madrid Grado en Ciencias Físicas

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Universidad Complutense de Madrid Grado en Ciencias F´ısicas

Aleatoriedad sin probabilidad: ¿Qu´e es la luz no cl´ asica y para qu´e sirve?

Complementariedad como estad´ıstica de lo imposible

’Todo lo que llamamos real est´a hecho de cosas que no pueden considerarse reales’

Niels Bohr

Irene Bartolom´ e Mart´ınez

Tutor: Alfredo Luis Aina

Madrid, 2017

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´ Indice

1. Introducci´on te´orica y objetivos 2

2. C´alculos 5

3. Ap´endice 12

3.1. M´etodo general para escribir la estad´ıstica conjunta tras eliminar el ruido . . . 12 3.2. Entrelazamiento . . . 16 3.3. Estad´ıstica imposible . . . 17

4. Conclusiones 20

Abstract

The complementarity in the form of wave-corpuscle duality in a Young’s interferometer is investigated by the simultaneous and noisy measurement of two incompatible observables: crossed slit and interference. This strategy in- volves two quantum phenomena: (i) the quantum entanglement, necessary to know the path traveled by the particle, and (ii) the uncertainty, since the two observables are incompatible so they can not be measured with absolute pre- cision, due to the relations of uncertainty of Heisenberg. It is shown that by removing the excess uncertainty caused by the noisy measurement an impos- sible joint statistic results, which is interpreted as a symbol of the quantum nature of the observed phenomenon.

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1. Introducci´ on te´ orica y objetivos

Los estados de luz no clásicos son aquellos que necesitan de la teor´ıa cuántica para poder ser descritos, es decir, la luz no clásica presenta una serie de propiedades paradójicas t´ıpicas del mundo cuántico. En el fondo, todo comportamiento no clásico se resume en la existencia de variables aleatorias que no admiten una distri- bución de probabilidad conjunta, éste será el tema de estudio, más concretamente la complementariedad como ejemplo fundamental de propiedad cuántica.

El objetivo de la complementariedad es explicar algunos fenómenos aparentemente contradictorios que presenta la mecánica cuántica. Niehls Bohr estableció la idea de complementariedad para entender las implicaciones de las relaciones de Heisenberg, o más conocidas como relaciones de incertidumbre.

Este principio establece que los fenómenos atómicos no pueden describirse con la completitud exigida por la dinámica clásica. Algunos de los elementos que se complementan entre s´ı para formar una descripción clásica completa son en reali- dad mutuamente excluyentes y los elementos complementarios son necesarios para la descripción de diversos aspectos de los fenómenos. Es decir, dos propiedades complementarias no se pueden medir simultáneamente con igual precisión, de manera que cuanta más precisión se obtiene de una de ellas, menos se obtiene de la comple- mentaria.

El experimento de la doble rendija, también conocido como experimento de Young, es el más importante de la mecánica cuántica. Repetido de mil formas distintas, es donde más claramente se aprecian los efectos cuánticos. Posee dicha idea de complementariedad y además, pone de manifiesto que, a escala microscópica, los objetos f´ısicos tienen una naturaleza dual: según las circunstancias, pueden com- portarse como un conjunto de part´ıculas o como una onda. Este experimento, será estudiado en más detalle posteriormente para el caso de fotones.

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El interferómetro de Young, fue diseñado para demostrar el carácter ondulatorio de la luz, ya que un frente de onda es capaz de pasar simultáneamente por los dos orificios mientras que una part´ıcula indivisible como el fotón sólo es capaz de pasar por uno de los orificios. Está constituido, tal y como se muestra en la figura (1), por una pantalla S con dos rendijas muy estrechas separadas una cierta distancia d. Si a una distancia L se coloca otra pantalla B y se hace incidir sobre las rendijas de la primera pantalla (S) un frente de ondas, este se divide en dos nuevos frentes de onda, los cuales se superponen dando lugar a un patrón de interferencia de l´ıneas claras y oscuras. Los electrones que inciden en la pantalla S pueden pasar bien a través de la rendija 1 ó 2. Cada part´ıcula transmitida golpea la pantalla B en una cierta posición z. Sin embargo, si la intensidad de la fuente se controla de forma que emita los electrones de uno en uno con separación temporal suficiente, y en la pantalla se sitúa un sistema de detección que también detecte la llegada de un electrón individual, se obtiene que cada electrón individual produce un único impacto puntual en la pantalla en posiciones aparentemente aleatorias, comportándose como part´ıculas.

Figura 1: Experimento de la doble rendija

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A medida que el número de impactos va creciendo, la distribución de los mismos ya no parece aleatoria y después de muchos impactos, se observa la distribución de intensidad continua correspondiente a las franjas de Young. En consecuencia, los electrones se han comportado como onda (en la propagación a través de los orificios) y como part´ıcula (en la interacción con el detector).

La intensidad del haz en la posición z viene determinada por la probabilidad p(z) de que un electrón golpee la pantalla B en la posición z. Es imposible predecir con certeza la posición en la que una part´ıcula individual incidirá sobre B, ya que como es sabido, el formalismo cuántico sólo produce la probabilidad de que una part´ıcula se encuentre con la coordenada z:

p(z) = |ψ(z)|². (1)

Esta probabilidad es calculada por la funci´on de onda, formada por las dos aportaciones ψ₁(z) y ψ₂(z) procedentes de las rendijas 1 y 2 ψ(z) = ψ₁(z) + ψ₂(z).

|ψ(z)|² = |ψ₁(z)|²+ |ψ₂(z)|²+ ψ₁(z)^∗ψ₂(z) + ψ₁(z)ψ₂(z)^∗. (2) Obteniéndose de esta forma, una probabilidad en la que se aprecia una aportación extra pint, la cual representa la llamada interferencia o el término cruzado.

p(z) = p₁(z) + p₂(z) + p_int(z), (3) donde p_int(z) = ψ₁(z)^∗ψ₂(z) + ψ₁(z)ψ₂(z)^∗.

La idea de complementariedad surge al notar que la observaci´on exacta del camino destruye completamente la interferencia. Efectivamente, si se conoce con certeza que la part´ıcula pasa por la rendija 1 entonces la funci´on de ondas ψ(z) se reduce a ψ(z) = ψ1(z) + ψ2(z) → ψ1(z), deja de tener dos aportaciones y la interferencia desaparece.

La clave para este trabajo reside en la posibilidad de observar de forma inexacta la trayectoria sin que la interferencia desaparezca por completo. Como se conocen

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los detalles del proceso de observación se podrán eliminar las inexactitudes y per- turbaciones debidas a la observación y contemplar directamente en qué consiste la complementariedad.

2. C´ alculos

Como ya se ha comentado, dos variables complementarias se pueden observar simultáneamente, admitiendo que la observación tendrá cierta incertidumbre ya que ninguna de las dos variables se mide con precisión absoluta.

Después de obtener la estad´ıstica se supondrá que ésta contiene la información completa de la estad´ıstica exacta de los dos observables y que para las dos variables es posible hacer un tratamiento de datos que elimine la incertidumbre y recuperar la estad´ıstica exacta de cada observable por separado. Sin embargo, al aplicar dicha recuperación a la estad´ıstica conjunta el resultado es paradójico, ya que como se verá más adelante, se adquieren valores negativos, lo cual no puede ser fruto de una estad´ıstica convencional, es una estad´ıstica imposible. Por tanto no hay una distri- bución de probabilidad para las variables del sistema que explique la aleatoriedad observada en los resultados de las medidas, lo que evidencia el comportamiento no clásico del experimento que no puede ser descrito dentro de los l´ımites de la f´ısica clásica.

Se va a demostrar que la observación conjunta del comportamiento ondulatorio y corpuscular, dualidad onda corpúsculo, en un interferómetro de Young conduce a estad´ısticas imposibles. El comportamiento ondulatorio vendrá representado por el observable interferencia, mientras que el comportamiento corpúscular vendrá descrito por el observable rendija representando la observación del paso del fotón por una rendija u otra.

Considerando el estado puro m´as general posible para un fot´on.

|ψi = α |1, 0i + β |0, 1i , (4)

(7)

teni´endose en cuenta que α y β ∈ C y cumpli´endose |α|²+ |β|² = 1. Los vectores

|1, 0i y |0, 1i representan la presencia del fot´on en la rendija superior o en la inferior.

Estos estados se corresponder´an respectivamente con los dos valores posibles z = 1 y z = −1 de la variable z, que representar´a el observable rendija en la forma:











|z = 1i = |1, 0i = a⁺₁ |0, 0i =



 1 0



,

|z = −1i = |0, 1i = a⁺₂ |0, 0i =



 0 1



,

(5)

lo que equivale a decir que el observable rendija viene representado por la matriz de Pauli σ_Z =





1 0

0 −1



 y siendo respectivamente a₁ y a₂ los operadores de amplitud compleja, los cuales representan las amplitudes de las ondas que van a interferir, es decir, las que surgen de cada rendija, y |n₁, n₂i estados n´umero de fotones en cada rendija, 0 ´o 1 en nuestro caso.

La matriz densidad, ρ, de un estado puro se define ρ = |ψi hψ|, particularizando para el estado puro descrito en la ecuaci´on (4) se obtiene:

ρ =



 α β





α^∗ β^∗

=





|α|² β^∗α α^∗β |β|²





Dicha matriz densidad ρ, permite obtener la probabilidad de localizar el fot´on en una rendija u otra de la forma:

P (z = ±1) = hz = ±1|ρ|z = ±1i , obteni´endose para cada una de las posibilidades:

P (z = 1) =

1, 0





|α|² β^∗α α^∗β |β|²







 1 0



= |α|² (6)

P (z = −1) = 0, 1





|α|² β^∗α α^∗β |β|²







 0 1



= |β|². (7)

(8)

A continuación, se estudiará la interferencia. Esta puede ser descrita con un término interferencial t´ıpico de las dos ondas, que para el caso del fotón coincide con la matriz de Pauli σ_X.

σ_x =



 0 1 1 0



.

Dicho observable tiene dos autovalores y autovectores:

|x = ±1i = 1

√2(|1, 0i ± |0, 1i) → |x = ±1i = 1

√2



 1

±1



,

los cuales permiten obtener la probabilidad de observaci´on de los dos posibles valores del observable interferencia.

P (x = 1) = 1 2

1, 1





|α|² β^∗α α^∗β |β|²







 1 1



= 1

2(1 + βα^∗+ αβ^∗), (8)

P (x = −1) = 1 2

1, −1





|α|² β^∗α α^∗β |β|²







 1

−1



= 1

2(1 − βα^∗ − αβ^∗). (9) Para poder llevar a cabo una observación simultánea de σ_x y σ_z, es decir onda y corpúsculo, se marca la presencia del fotón en una u otra rendija mediante su polarización, ofreciendo de esta forma una observación indirecta del observable rendija σ_z. Por sencillez se describirá la polarización con un espacio de Hilbert extra de dimensión dos, usando la base de polarización vertical |↑i y horizontal |→i, que para este caso pueden ser escritas como:











|↑i =



 1 0





∗

,

|→i =



 0 1





∗

.

(9)

Donde el aster´ısco como sub´ındice distingue dichos vectores de los vectores (1,0) y (0,1) presentados en la ecuaci´on (5).

El fotón tendrá inicialmente polarización horizontal |→i. Sobre la rendija superior se pone una lámina retardadora de media onda orientada de modo que cambie el estado de polarización rotándolo un ángulo θ, es decir, |→i se transforma en cos θ |→i + sin θ |↑i y dejando el estado de polarización del fotón que pase por la rendija inferior tal y como estaba |→i.

La inferencia del camino seguido se hará en el espacio de polarización observando si la polarización del fotón es horizontal z = 1 o vertical z = −1. Si θ = π/2 la polarización proporciona una observación perfecta de la rendija atravesada, lo que elimina completamente la interferencia al tener las dos ondas polarizaciones ortogonales. Es interesante por tanto el caso θ 6= π/2, ofreciendo una observación imperfecta o ruidosa de la rendija atravesada. Si la polarización es vertical se sabrá con certeza que pasó por la rendija superior, pero si es horizontal no se puede saber por qué rendija pasó, lo que da margen para que haya interferencia.

Si el estado del fot´on es el estado puro en (4), el vector tras pasar por las rendijas incluyendo polarizaci´on se escribe:

|ψi = α |1, 0i (cos θ |→i + sin θ |↑i) + β |0, 1i |→i , (10) trat´andose de un estado entrelazado entre rendijas y polarizaci´on. ¹

La observación de la interferencia seguirá siendo en el mismo espacio de los cálculos previos, con el observable σx.

Se puede obtener la estad´ıstica conjunta en la observación simultánea ˜P (x, z) a partir de la expresión:

P (x, z) = | hx, z|ψi |˜ ². (11)

1El entrelazamiento, como se mostrará posteriormente en el apéndice (sección 3.2), está en el corazón de la medición cuántica, pues cuando dos sistemas están en un estado entrelazado, cada uno de ellos puede revelar información sobre el otro, comportándose de esta forma como un dispositivo de medición.

(10)

Teniendo en cuenta que z = +1 =→, z = −1 =↑ y conociendo que











|x = ±1, z = 1i = ^√¹

2 (|1, 0i ± |0, 1i) |→i ,

|x = ±1, z = −1i = ^√¹

2 (|1, 0i ± |0, 1i) |↑i , se obtiene:

P (x = ±1, z = 1) =˜ 1

2 |α|²cos²θ + |β|²± αβ^∗cos θ ± α^∗β cos θ , (12) P (x = ±1, z = −1) =˜ 1

2|α|²sin²θ. (13)

A partir de esta estad´ıstica conjunta, se pueden obtener las estad´ısticas observadas de interferencia σ_x en el estado descrito por la ecuaci´on (10):

P (x = ±1) = ˜˜ P (x = ±1, z = 1) + ˜P (x = ±1, z = −1) =

= 1

2(1 ± α^∗β cos θ ± αβ^∗cos θ) , (14) y operando de forma an´aloga, se obtiene la estad´ıstica para el observable rendija σ_z, el comportamiento corpuscular:

P (z = 1) = ˜˜ P (x = 1, z = 1) + ˜P (x = −1, z = 1) =

= |α|²cos²θ + |β|², (15)

P (z = −1) = ˜˜ P (x = 1, z = −1) + ˜P (x = −1, z = −1) =

= |α|²sin²θ. (16)

A continuación se buscará una relación entre la estad´ıstica exacta de cada observable P (x) y P (z) y la obtenida en la observación simultánea ˜P (x) y ˜P (z), mediante la obtención de los elementos de las matrices µ_x y µ_z aplicando las relaciones (35) y (36)², es decir:

P (x) = X

x⁰=±1

µ_x(x, x⁰) ˜P (x⁰), (17)

2En la sección 3.1 del apéndice será explicado con más detalle.

(11)

P (z) = X

z⁰=±1

µ_z(z, z⁰) ˜P (z⁰). (18) Es decir, µ_xy µ_zeliminan la indeterminaci´on causada por la observaci´on conjunta de interferencia y rendija atravesada y proporcionan las estad´ısticas exactas P (x) y P (z) a partir de sus versiones ruidosas ˜P (x) y ˜P (z).

Primero se trabajará con la observación de la interferencia para obtener µ_x(x, x⁰), es decir, con la ecuación (17). Teniendo en cuenta los valores obtenidos anteriormente para la probabilidad P (x = 1), expresión (8) y la probabilidad ˜P (x⁰ = ±1), expresión (14):

P (x = 1) = µx(1, 1)1

2(1 + α^∗β cos θ + αβ^∗cos θ) + µx(1, −1)1

2(1 − α^∗β − αβ^∗) =

= 1

2(1 + βα^∗+ αβ^∗) . (19)

Igualando t´erminos en α^∗β y αβ^∗que son variables independientes se obtiene respectivamente los valores de µx(1, 1) y µx(1, −1), cuyo valor se mostrar´a posteriormente en una tabla.

De forma an´aloga, se obtienen los valores de µx(−1, 1) y µx(−1, −1):

P (x = −1) = µ_x(−1, 1)1

2(1 + α^∗β cos θ + αβ^∗cos θ) + µ_x(−1, −1)1

2(1 − α^∗β − αβ^∗) =

= 1

2(1 − βα^∗− αβ^∗) . (20)

µ_x(1, 1) ¹₂ 1 + _{cos θ}¹

µ_x(1, −1) ¹₂ 1 −_{cos θ}¹ µx(−1, 1) ¹₂ 1 −_{cos θ}¹

µx(−1, −1) ¹₂ 1 + _{cos θ}¹ Tabla 1: Elementos de matriz para la componente x.

A continuación se calculará de forma análoga los elementos de matriz µ_z(z, z⁰) a partir de la relación (18) y sus respectivas probabilidades P (z = ±1) y ˜P (z⁰ = ±1):

P (z = 1) = µ_z(1, 1) |α|²cos²θ + |β|² + µz(1, −1)|α|²sin²θ = |α|². (21)

(12)

P (z = −1) = µ_Z(−1, 1) |α|²cos²θ + |β|² + µz(−1, −1)|α|²sin²θ = |β|². (22)

µ_z(1, 1) 0 µ_z(1, −1) csc²θ µ_z(−1, 1) 1 µ_z(−1, −1) − cot²θ Tabla 2: Elementos de matriz para la componente z.

Finalmente se calcula la posible estad´ıstica conjunta exacta aplicando la inversión del cálculo anterior que elimina la incertidumbre añadida a la estad´ıstica conjunta observada ˜P (x, z), a partir de la expresión (23) para comprobar si se obtiene una estad´ıstica leg´ıtima a partir de (12), (13):

P (x, z) = X

x⁰=±1

X

z⁰=±1

µ_x(x, x⁰)µ_z(z, z⁰) ˜P (x⁰, z⁰). (23)

Teniendo en cuenta los datos expresados en las tablas de los elementos de las matrices µ_x y µ_z se obtiene finalmente la probabilidad de la observaci´on simult´anea:

Para el caso x = 1 y z = 1.

P (+1, +1) = |α|²

2 . (24)

Para el caso x = 1 y z = −1:

P (+1, −1) = 1

2 |β|²+ αβ^∗+ α^∗β . (25) Para el caso x = −1 y z = 1:

P (−1, +1) = |α|²

2 . (26)

Para el caso x = −1 y z = −1:

P (−1, −1) = 1

2 |β|²− αβ^∗− α^∗β . (27)

(13)

Se puede comprobar f´acilmente que la suma de las probabilidades (24), (25), (26) y (27) da el valor correcto:

P

z=±1

P

x=±1P (x, z) = 1. (28)

Sin embargo, tal y como se puede observar en las relaciones (25) y (27) se han obtenido valores negativos para P (1, −1) si |α| > |β|/2 hecho que no ocurre en la teor´ıa clásica, que desconcierta y evidencia el carácter fundamentalmente cuántico del fenómeno analizado.

Es habitual suponer que, puesto que las probabilidades de los sucesos deben de ser positivas, que una teor´ıa que dé cantidades negativas debe ser errónea. Sin embargo, tal y como se expondrá en el apéndice (sección 3.3) en mayor detalle, se puede hacer una analog´ıa con las matemáticas básicas en las que el uso de números negativos como cálculo abstracto facilite y simplifique el análisis, permitiendo de esta forma despreciar detalles no esenciales ³. Por tanto, se podr´ıan entender las probabilidades negativas como probabilidades que su uso simplifican los cálculos y el pensamiento en una serie de aplicaciones en f´ısica.

3. Ap´ endice

3.1. M´ etodo general para escribir la estad´ıstica conjunta tras eliminar el ruido

En la teor´ıa de la medición cuántica, una medida significa una correspondencia entre estados del sistema y distribuciones de probabilidad. Ésta teor´ıa proporciona una regla que describe las estad´ısticas de medición, es decir, las respectivas probabilidades de los diferentes resultados de medición posibles y además ofrece una

3Un claro ejemplo ser´ıa el cálculo del número de manzanas, que a pesar de que un número de manzanas negativo no tenga sentido alguno, si éste número negativo sólo es obtenido en cálculos intermedios y el resultado final es estrictamente positivo la respuesta ser´ıa válida.

(14)

regla que describe el estado post-medida del sistema. Sin embargo, para algunas aplicaciones el estado posterior a la medición del sistema es de poco interés, siendo el principal interés las probabilidades de los respectivos resultados de medición. Este es el caso, por ejemplo, en un experimento en el que el sistema se mide una sola vez. En tales casos existe una herramienta matemática conocida como el formalismo P OV M que está especialmente bien adaptada al análisis de las mediciones.

La probabilidad p_m de que al realizar el experimento se obtenga el valor m de la variable, se calcula mediante la siguiente expresi´on:

p_m = T r(ρM_m), (29)

donde ρ se refiere a la matriz densidad y M_m toma valores sobre operadores positivos (positive operator valued measure ´o POVM), es decir M_m son operadores auto-adjuntos no negativos en el espacio de Hilbert y cuya integral, o suma si se trata de un conjunto discreto, es el operador identidad.

M_m = M_m^† ≥ 0, X

m

M_m = 1. (30)

En general M_mno son proyectores ortogonales, [M_m, M_`] 6= 0 para m 6= `, es decir no son proyectores sobre los autoestados de un operador Herm´ıtico (projection valued measures ó PVM’s), que es el caso normalmente considerado en las formulaciones más sencillas de la estad´ıstica cuántica. Por ello, las P OV M⁰s permiten describir cualquier medida, incluyendo la de observables que no pueden ser descritos simple- mente por operadores Herm´ıticos, como la fase, la amplitud compleja o el tiempo por ejemplo. No obstante el teorema de Neumark establece que toda POVM puede describirse como la restricción de una P V M en un espacio más grande.

Esto encaja perfectamente con el problema ya descrito, en el sentido de que la estad´ıstica ˜P (x, z) viene dada por una P OV M en el espacio del fotón sin polarización que proviene de una P V M en el espacio mayor que s´ı incluye la polarización. Es conveniente recordar que la polarización fue introducida de forma auxiliar como

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aparato de medida para observar la trayectoria del fot´on. Por ello, al ser una P OV M en lugar de P V M , la estad´ıstica ˜P (x, z) puede contener informaci´on completa de los dos observables y pueden plantearse los problemas tratados en este trabajo.

Una P OV M { ˜N_m} representa una medida no ideal de un observable descrito por la P OV M {N_l} si existe una matriz (λ_ml) estoc´astica que satisfaga las siguientes relaciones:

N˜_m =X

l

λ_mlN_l, λ_ml ≥ 0, X

m

λ_ml = 1. (31)

Dicha P OV M {N_l} no tiene que ser necesariamente una P V M . Adem´as, cada uno de los ´ındices m y l puede ser reemplezado por otro continuo, estando por tanto obligado a sustituir los sumatorios por integrales respectivamente.

De forma an´aloga a (31), para una P OV M { ˜M_l} que represente una medida no ideal del observable descrito por la P OV M {M_m} se tendr´a:

M˜_l=X

m

µ_lmM_m, µ_lm ≥ 0, X

l

µ_lm = 1. (32)

Donde µlm ser´a su matriz estoc´astica.

Considerando la medici´on conjunta no ideal de dos observables incompatibles, {Mk} y {Nl}, de acuerdo con el requisito de que la medici´on es representada por un P OV M bivariante {R_mn} se satisface:

X

n

R_mn =X

k

λ_mkM_k, X

m

R_mn=X

l

µ_nlN_l, (33) Donde sus marginales, {P

nR_mn} y {P

mR_mn} representan medidas no ideales de {M_k} y {N_l}, respectivamente.

Desde el punto de vista de la medición conjunta, la detección conjunta de ’trayectoria’ e ’interferencia’ sólo puede realizarse con una calidad limitada, confirmando de esta forma la idea de complementariedad de Bohr, ya que es imposible observar la interferencia y el camino simultáneamente con total precisión .

Las medidas conjuntas requieren que tras la medición se realice algún tipo de análisis

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de datos o procedimientos de inversi´on para extraer la informaci´on de las variables del sistema de las estad´ısticas observadas.

Esta inversión sólo obtiene siempre una distribución conjunta de las variables del sistema leg´ıtima, es decir bien definida (real positiva y normalizada) para el caso de la f´ısica clásica, ya que en la f´ısica cuántica, esta inversión puede ser incompatible con las estad´ısticas clásicas como ya se explicará más adelante.

Al abordar cuánticamente estad´ısticas conjuntas de múltiples observables y en espe- cial si son incompatibles se observan efectos no clásicos, entendidos como estad´ısticas imposibles en f´ısica clásica, bien sea por no existir, por tomar valores negativos o por ser más singulares que la función delta de Dirac.

En la medici´on simult´anea de dos observables necesariamente compatibles ˜X y Y , se tiene su probabilidad conjunta ˜˜ p_X,Y(x, y), con sus respectivas distribuciones marginales:

˜

p_X(x) = X

y

˜

p_X,Y(x, y), p˜_Y(y) =X

x

˜

p_X,Y(x, y), (34) suponiendo un rango discreto para x e y sin pérdida de generalidad y que estas marginales proporcionan la información de los observables del sistema X e Y , los cuales no tienen que ser necesariamente compatibles. Lo que supondrá la existencia de las funciones µ_x(x, x⁰) y µ_y(y, y⁰) que permitirán la inversión:

P (x) = X

x⁰=±1

µ_x(x, x⁰) ˜P (x⁰), (35)

P (y) = X

y⁰=±1

µ_y(y, y⁰) ˜P (y⁰), (36) donde P (x) y P (y) son las estad´ısticas exactas de los observables X e Y , respectivamente. Esta inversi´on puede ser generalizada para la probabilidad conjunta de la forma:

p_X,Y(x, y) =X

x⁰,y⁰

µ_X(x, x⁰)µ_Y(y, y⁰)˜p_X,Y(x⁰, y⁰). (37)

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3.2. Entrelazamiento

El concepto de entrelazamiento desempe˜na un papel esencial en la f´ısica cu´antica.

Las part´ıculas cuánticas se comportan como un único sistema no separable entrelazado tras haber interactuado. Es decir, cualquier medición realizada en la primera part´ıcula proporciona información sobre el resultado de la medición de la segun- da part´ıcula, los resultados de la medición de cada part´ıcula están profundamente interrelacionados.

Estas fuertes correlaciones hacen que las medidas realizadas sobre un sistema pa- rezcan estar influyendo instantáneamente otros sistemas que están enlazados con él, y sugieren que alguna influencia se tendr´ıa que estar propagando instantáneamente entre los sistemas, a pesar de la separación entre ellos.

Recientemente se ha puesto de manifiesto que también existe entrelazamiento en f´ısica clásica. No obstante las propiedades e implicaciones del entrelazamiento clásico son diferentes de los que se derivan del cuántico. Pues principalmente, el entrelazamiento clásico implica diferentes grados de libertad de la misma part´ıcula en lugar del entrelazamiento entre diferentes part´ıculas, como ocurre en su análogo cuántico.

En la f´ısica clásica, después de que dos sistemas interactuen, cada uno debe per- tenecer a un estado individual bien definido. Mientras que en su análogo cuántico tras interactuar dos part´ıculas no pueden ser descritas de forma independiente. El estado entrelazado cuántico, no es un producto tensorial de los estados propios de observables pertenecientes a las dos part´ıculas, que describir´ıan sistemas independientes. Es en cambio una superposición de productos. El estado de una part´ıcula está determinado por una medida realizada en el otro. El entrelazamiento cuánti- co, es esencial para comprender la decoherencia cuántica, proceso que explica cómo un estado cuántico entrelazado puede desembocar en un estado clásico, no entrelazado, es decir, el sistema f´ısico deja de mostrar efectos cuánticos para exhibir un comportamiento t´ıpicamente clásico. Una superposición de los estados se entrela-

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za rápidamente con su entorno, perdiendo coherencia. Por tanto, el estudio de la decoherencia permite vislumbrar el l´ımite cuántico / clásico.

También es estudiado el entrelazamiento cuántico como un recurso para el pro- cesamiento de la información cuántica.

3.3. Estad´ıstica imposible

La teor´ıa de campos cuánticos aúna los principios de la mecánica cuántica y los de la relatividad. Ésta en sus or´ıgenes ofrec´ıa resultados infinitos, aunque con los procesos de renormalización se han conseguido obtener valores finitos. Feynamn en un intento de obtener una teor´ıa que diera una respuesta finita desde el inicio, estudia los ’supuestos tácitos’.

Como ya se adelantó en la sección de cálculos, las probabilidades negativas pueden estar justificadas como un cálculo abstracto que permite simplificar los cálculos y el pensamiento de una serie de aplicaciones f´ısicas.

Se estudiará un problema de probabilidad simple para su mejor compresión. Se considera una rueda de ruleta con sólo tres números: 1, 2, 3; con un control se puede poner la rueda en una de dos condiciones: A, B; en cada una de las cuales la probabilidad de 1, 2, 3 son diferentes.

Para ello, es imprescindible introducir el concepto de probabilidad condicional.

Si α son condiciones y p_iα es una probabilidad condicional, es decir, la probabilidad de obtener el resultado i si la condici´on α es v´alida:

P_i =X

α

p_iα· P_α; i = 1, 2, 3; α = A, B. (38)

Donde P_α son las probabilidades que las condiciones α obtienen, y P_i es la probabilidad consiguiente del resultado i. De forma clara, se puede ver que las probabilidades deben cumplir:

X

i

piα = 1, X

α

Pα = 1, X

i

Pi = 1. (39)

(19)

De esta forma, imponiendo que para una de las condiciones α exista una probabilidad condicional negativa, por ejemplo para la condición B la probabilidad de obtener 1 (p_1B), no presenta ningún problema, ya que como ya se ha repetido en varias ocasiones, el uso matemático de los números negativos permite una eficiencia en el razonamiento, asegurándose de que pasos intermedios que no son interpretados fácilmente (debido a la posible presencia de probabilidades negativas o mayores de la unidad) no conducirán a resultados absurdos, siempre y cuando ésta probabilidad negativa combinada con el resto de probabilidades cumpla las relaciones impuestas por la expresión (39), como se muestra en la siguiente tabla, siguiendo el ejemplo proporcionado en [9].

p_1A 0.3 p_1B -0.4

p_2A 0.6 p_2B 1.2

p_3A 0.1 p_3B 0.2

Tabla 3: Probabilidades de la ruleta para las distintas condiciones (A,B).

Una probabilidad mayor que la unidad no presenta ning´un problema diferente del de las probabilidades negativas, ya que representa una probabilidad negativa de que el evento no ocurra.

Dependiendo de los valores dados a las probabilidades P_α, se obtienen probabilidades finales positivas o negativas. Si se supone que la condici´on A tenga una probabilidad 0,7 y la B 0,3, se obtiene:

P₁ = 0,7(0,3) + 0,3(−0,4) = 0,09, P₂ = 0,7(0,6) + 0,3(1,3) = 0,78, P₃ = 0,7(0,1) + 0,3(0,2) = 0,13.

Donde se puede observar que a pesar de que la probilidad condicional P_1B sea negativa, se cumplen las relaciones (39) y se han obtenido probabilidades P_i positivas,

(20)

y por tanto una estad´ıstica leg´ıtima.

Sin embargo, el verdadero problema se tendr´ıa si una de las posibles combina- ciones de P_α conducen a probabilidades P_i negativas, ya que no se puede obtener una probabilidad negativa de obtener un resultado. Para poder explicar este hecho, existen dos posibles interpretaciones f´ısicas.

La primera consiste en suponer que la naturaleza está construida de tal manera que nunca se puede estar seguro de que el sistema está en una condición α, se puede suponer que siempre ha de existir un l´ımite para el conocimiento de la situación que se puede alcanzar, pero nunca se puede saber con certeza si la condición α se produce.

La otra posibilidad consiste en suponer que los resultados i no son directamente observables, sólo se puede verificar por una observación final que el resultado hab´ıa sido uno de los posibles i con ciertas probabilidades. Es decir, los posibles i no son resultados finalmente observados, son sólo intermediarios en un cálculo.

Esto puede ser entendido de mejor manera volviendo al ejemplo de la ruleta. No siempre puede existir una elección para la que P_α simultáneamente haga que todos los P_i sean positivos a la vez. De esta forma, a pesar de que ciertas restricciones puedan hacer que la probabilidad del resultado 1 sea positiva, el resultado 3 bajo estas circunstancias tendr´ıa una probabilidad negativa. Igualmente, las condiciones que aseguran que P₃ es positivo pueden dejar P₁ o P₂ negativos. Cualquier método para determinar que el resultado ha sido 3 excluye de forma automática que se pueda determinar simultáneamente que el resultado fue 1. Esto evoca al principio de incertidumbre ya mencionado en otras secciones.

Para que el evento o estado f´ısico sea directamente verificable, las probabilidades condicionales y de c´alculos intermedios imaginados pueden ser negativas, mientras que la probabilidad siempre ha de ser positiva.

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4. Conclusiones

Un estudio detallado de la relación entre la teor´ıa clásica y la cuántica puede implicar una estad´ıstica conjunta imposible, es decir, que ofrezca probabilidades negativas, como en nuestro caso, donde tras un estudio de la dualidad onda-corpúsculo en el interferómetro de Young se ha demostrado cómo la estad´ıstica conjunta exacta de dos observables rendija e interferencia (corpúsculo y onda respectivamente) lleva a una estad´ıstica imposible, pues, tras eliminar la incertidumbre de la observación simultánea de ambos observables, se obtiene que una de las probabilidades puede tomar valores negativos. Este hecho, es inconcebible desde el punto de la óptica clásica, sin embargo, como ya se discutió en el apéndice (sección 3.3) el hecho de que existan probabilidades negativas no implica que sea una teor´ıa errónea, simple- mente no es un proceso verificable directamente. O bien una de las condiciones (por ejemplo, condiciones iniciales) puede no realizarse en el mundo f´ısico o la situación para la cual la probabilidad parece ser negativa no es una que pueda ser verificada directamente. Una combinación de estos dos, limitación de verificabilidad y libertad en condiciones iniciales, también puede ser una explicación del problema aparente.

Referencias

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[2] P. Busch and C. Shilladay, Complementarity and uncertainty in Mach?Zehnder interferometry and beyond, Phys. Rep. 435, 1 (2006).

[3] Foundations of Quantum Mechanics, an Empiricist Approach, W.M.

Muynck, Kluwer Academics Publishers, 2002.

[4] W. M. de Muynck and Hans Martens, Neutron interferometry and the joint measurement of incompatible observables, Phys. Rev. A 42, 5079 (1990).

(22)

[5] A. Luis, Nonclassical states from the joint statistics of simultaneous measurements, arXiv 1506.07680 [quant-ph].

[6] M. Nielsen y I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, (2000)

[7] A. Luis, Nonclassical light revealed by the joint statistics of simultaneous measurements Opt. Lett. 41, 1789 (2016).

[8] W. M. de Muynck, An alternative to the L¨uders generalization of the von Neumann projection, and its interpretation, J. Phys. A 31, 431 (1998).

[9] R. P. Feynman, Negative Probability, en Quantum Implications: Essays in Honour of David Bohm. Routledge and Kegan Paul Ltd. (1987).

[10] Apuntes UAM. Dualidad onda corp´usculo.

[11] J. M. Raimond, M. Brune, and S. Haroche, Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity, Rev. Mod. Phys. 73, 565 (2001).

[12] A. Luis, Coherence, polarization, and entanglement for classical light fields, Opt. Commun. 282, 3665 (2009).