Funciones Lebesgue medibles

Sesión 06

Funciones Lebesgue medibles

Introducción

La formulación de Riemann del problema de la integral de una función condujo al surgimiento del concepto de contenido y a mostrar cómo se encuentra estrechamente vinculado al de integral, siendo prácticamente dos conceptos equivalentes en el sentido de que con cualquiera de ellos se puede introducir y desarrollar el otro.

Cuando más tarde Borel introdujo el concepto de medida cero y Lebesgue desarrolló una teoría de la medida, más general tanto que la de Jordan como la que había desarrollado Borel, fue posible para el mismo Lebesgue desarrollar una teoría de integración, ahora siguiendo un proceso inverso, es decir, partiendo del concepto de medida para llegar al de integral.

Al igual que la teoría de la medida resultó ser más general que la teoría del contenido, la teoría de la integral desarrollada por Lebesgue resultó ser más general que la teoría de la integral de Riemann.

Es necesario remarcar que Lebesgue desarrolló su teoría de la medida con el objetivo de re- solver el problema de la integral que se había planteado. El mismo título del libro que publicó (Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives) deja ver claramente que su interés principal era el del concepto de integral. En su libro hizo un estudio del desarrollo del concepto de integral y de las de…niciones que diferentes autores habían propuesto, haciendo énfasis en las condiciones para que una función sea integrable. Aclaraba el por qué de su interés de no limitarse al estudio de las funciones para las cuales se puede dar una de…nición simple de la integral:

“si se quisiera limitarse siempre a la consideración de esas buenas funciones, habría que renunciar a la resolución de muchos problemas con enunciados simples planteados desde hace mucho tiempo. Es para la resolución de esos problemas, y no por amor a las complicaciones, que he introducido en este libro una de…nición de la integral más general que la de Riemann y que la incluye como caso particular.”

Una vez de…nida la integral, Lebesgue se abocó a estudiar sus propiedades y a utilizarla para profundizar en el estudio de la teoría de funciones: “Como aplicación de la de…nición de la integral, estudié la búsqueda de funciones primitivas y la recti…cación de curvas. A esas dos aplicaciones hubiera querido agregar otra muy importante: el estudio del desarrollo trigonométrico de las funciones; pero en mi curso, no pude dar a ese tema más que indica- ciones tan incompletas que he juzgado inútil reproducirlas aquí.”Con relación a su de…nición de integral, agregó:

“Aquellos que me leerán con empeño, lamentando tal vez que las cosas no sean más simples, pienso que estarán de acuerdo conmigo en que esta de…nición es necesaria y natural. Me atrevo a decir que es, en un cierto sentido, más simple que la de Riemann, tan fácil de asimilar como ella y que únicamente los hábitos adquiridos anteriormente pueden hacerla parecer más complicada.”

La de…nición de Lebesgue de la integral tuvo su motivación directa en la relación que existe entre la integral de Riemann y la teoría del contenido.

Recordando que si f : [a; b] ! R es una función acotada no negativa y E la región en R² acotada por el eje x y la grá…ca de f entre a y b, entonces f es Riemann integrable si y sólo si E es Jordan medible y, en ese caso, se tieneRb

af (x)dx = c(E), Lebesgue observó que cuando el conjunto E es (Lebesgue) medible se puede de…nir la integral de f comoRb

a f (x)dx = m(E).

Automáticamente, esta de…nición resulta ser una extensión de la integral de Riemann pues si E es Jordan medible también es Lebesgue medible, pero hay conjuntos Lebesgue medibles que no son Jordan medibles. Una vez formulada esta de…nición geométrica de la integral, Lebesgue se planteó el problema de caracterizar a las funciones integrables y de llegar a la de…nición de la integral por la vía analítica. El primer problema lo resolvió demostrando el siguiente resultado:

Sea f : [a; b] ! R una función acotada no negativa, entonces el conjunto E =f(x; y) 2 R² : x2 [a; b] y y 2 [0; f (x)]g

es medible si y sólo si el conjunto fx 2 [a; b] : f(x) > g es medible para cualquier 2 R.

-álgebra de Borel en

Recordemos que el conjunto de los números reales extendidos, denotado por R, es el conjunto R [ f 1; 1g y que seguimos las siguientes convenciones:

Si c 2 R, entonces:

1 < c < 1,

c 1 = 1,

c +1 = 1,

c (1) = 1 si c > 0, c (1) = 1 si c < 0, (0) (1) = (0) ( 1) = 0,

c 1 = ^c

1 = 0,

(1) (1) = 1 + 1 = 1, 1 1 e ¹₁ no están de…nidos.

El conjunto de números reales R también será denotado por ( 1; 1). El conjunto de números reales no negativos será denotado por [0; 1) ; o por R⁺, y R⁺ denotará al con- junto R⁺[ f1g.

Recordemos también que la -álgebraB (R) de los conjuntos borelianos de R está generada por cualquiera de las siguientes familias de conjuntos.

1. Los intervalos de la forma ( 1; x], donde x 2 R.

2. Los intervalos de la forma ( 1; x), donde x 2 R.

3. Los intervalos de la forma (a; b], donde a; b 2 R.

4. Los intervalos de la forma [a; b), donde a; b 2 R.

5. Los intervalos de la forma (a; b), donde a; b 2 R.

6. Lo intervalos de la forma [a; b], donde a; b 2 R.

De…nición 1 ( -álgebra de Borel en R). La -álgebra de Borel en R, la cual será deno- tada porB R , es la -álgebra de subconjuntos de R generada por la familia de intervalos de la forma ( 1; x], donde x 2 R. A los elementos de esa -álgebra los llamaremos borelianos de R.

Proposición 1. Los conjuntos f1g, f 1g y f 1; 1g son borelianos de R.

Demostración B (R) B R

f1g = ( 1; 1] R 2 B R f 1g = R ( 1; 1] 2 B R

Proposición 2. La -álgebra de Borel en R está formada los borelianos de R y los conjuntos de la forma B [ f1g, B [ f 1g y B [ f 1; 1g, donde B es un boreliano de R.

Demostración

Sea H la familia de conjuntos formada por los borelianos de R y los conjuntos de la forma B[ f1g, B [ f 1g y B [ f 1; 1g, donde B es un boreliano de R.

Todos los elementos de H son borelianos de R y H es una -álgebra que contiene a todos los intervalos de la forma ( 1; x], donde x 2 R.

Proposición 3. La -álgebra B R de los conjuntos borelianos de R está generada por cualquiera de las siguientes familias de conjuntos.

1. Los intervalos de la forma [ 1; x], donde x 2 R.

2. Los intervalos de la forma [ 1; x], donde x 2 R.

3. Los intervalos de la forma [ 1; x), donde x 2 R.

4. Los intervalos de la forma [ 1; x), donde x 2 R.

Demostración

1. Para cualquier x 2 R, se tiene:

[ 1; x] = ( 1; x] [ f 1g 2 B R .

Sea J la familia de intervalos en R de la forma [ 1; x], donde x 2 R. Entonces:

f 1g =T₁

n=1[ 1; n] 2 (J) ( 1; 1] = R f 1g 2 (J) Finalmente, si x 2 R, entonces:

( 1; x] = [ 1; x] f 1g 2 (J) 2. Se sigue de 1.

3. Sea I la familia de intervalos en R de la forma [ 1; x), donde x 2 R, y J la familia de intervalos en R de la forma [ 1; x], donde x 2 R. Entonces, para cualquier x 2 R, se tiene:

[ 1; x) =S₁

n=1 1; x ¹_n 2 (J) [ 1; x] =T₁

n=1 1; x + _n¹ 2 (I) Así que (I) = (J) =B R . 4. Se sigue de 3.

Funciones Lebesgue medibles

De…nición 2. Diremos que una función f : R ! R es medible si f ¹(B) 2 L (R) para cualquier conjunto B 2 B (R).

De…nición 3. Diremos que una función f : R ! R es medible si f ¹(B) 2 L (R) para cualquier conjunto B 2 B R .

Proposición 4. Sea A una familia de subconjuntos de R tal que B (R) = (A). Entonces una función f : R ! R es medible si y sólo si f ¹(B)2 L (R) para cualquier B 2 A.

Demostración

La familia fB R : f ¹(B)2 L (R)g es una -álgebra de subconjuntos de R la cual contiene a A, por lo tanto contiene a (A).

Proposición 5. Sea A una familia de subconjuntos de R tal que B R = (A). Entonces una función f : R ! R es medible si y sólo si f ¹(B)2 L (R) para cualquier B 2 A.

Teorema 1. Una función f : R ! R es medible si y sólo si se cumple cualquiera de las siguientes propiedades:

1. fx 2 R : f(x) y]g 2 L (R) para cualquier y 2 R.

2. fx 2 R : f(x) < yg 2 L (R) para cualquier y 2 R.

3. fx 2 R : f(x) 2 (a; b]g 2 L (R) para cualesquiera a; b 2 R.

4. fx 2 R : f(x) 2 [a; b)g 2 L (R) para cualesquiera a; b 2 R.

5. fx 2 R : f(x) 2 (a; b)g 2 L (R) para cualesquiera a; b 2 R.

6. fx 2 R : f(x) 2 [a; b]g 2 L (R) para cualesquiera a; b 2 R.

Teorema 2. Una función f : R ! R es medible si y sólo si se cumple cualquiera de las siguientes propiedades:

1. fx 2 R : f(x) 2 ( 1; y]g 2 L (R) para cualquier y 2 R.

2. fx 2 R : f(x) 2 [ 1; y]g 2 L (R) para cualquier y 2 R.

3. fx 2 R : f(x) 2 [ 1; y)g 2 L (R) para cualquier y 2 R.

4. fx 2 R : f(x) 2 [ 1; y]g 2 L (R) para cualquier y 2 R.

5. fx 2 R : f(x) 2 [ 1; y)g 2 L (R) para cualquier y 2 R.

Obsérvese que si una función f : R ! R es medible, entonces los conjuntos fx 2 R : f(x) = 1g y fx 2 R : f(x) = 1g son medibles. Así que también el conjunto fx 2 R : f(x) 2 Rg es medible.

Si F es un conjunto cualquiera y f y g son dos funciones de R en R, vamos a considerar a la suma de f y g como la función h : R !R de…nida de la siguiente manera:

h (x) = f (x) + g (x) si f (x) + g (x) está de…nida 1 si f (x) + g (x) no está de…nida

Esta convención se traslada a la resta de dos funciones ya que f g = f + ( g).

En la siguiente proposición, se utiliza un método que es bastante común para algunas demostraciones. De manera general, cuando se tiene una familia …nita, A1; A₂; : : : ; A_n, de subconjuntos de un conjunto E, resulta cómodo trabajar con esos conjuntos si se encuentra una partición de E formada por conjuntos ajenos por parejas, de tal manera que cada uno de los conjuntos Ak, así como su complemento, se puedan expresar como unión de conjuntos de esa partición, además de que, dado un elemento x 2 E, permita determinar a qué conjuntos A_k pertenece.

La idea para logra esto es simple, tal vez únicamente se complica un poco en el caso general, por los índices que hay que manejar. Vamos a seguir el método, paso a paso, para hacerlo más sencillo de entender.

Si A1 y A2 son subconjuntos de E, podemos partir E en los siguientes conjuntos:

A₁\ A² A₁\ A^c2

A^c₁\ A² A^c₁\ A^c2

Se tiene entonces:

(A₁\ A²)[ (A¹\ A^c2)[ (A^c1\ A²)[ (A^c1\ A^c2)

= [(A₁\ A²)[ (A¹\ A^c2)][ [(A^c1\ A²)[ (A^c1\ A^c2)]

= [A₁\ (A²[ A^c2)][ [A^c1\ (A²[ A^c2)]

= A₁[ A^c1 = E

A₁ = (A₁\ A²)[ (A¹\ A^c2) A2 = (A1\ A²)[ (A^c1\ A²) A^c₁ = (A^c₁\ A²)[ (A^c1\ A^c2) A^c₂ = (A₁\ A^c2)[ (A^c1\ A^c2)

Si A1, A2 y A3 son subconjuntos de E, podemos partir E en los siguientes conjuntos:

A₁\ A²\ A³ A₁\ A²\ A^c3

A₁\ A^c2\ A³ A1\ A^c2\ A^c3

A^c₁\ A²\ A³ A^c₁\ A²\ A^c3

A^c₁\ A^c2\ A³ A^c₁\ A^c2\ A^c3

En general, si A1; A₂; : : : ; A_n son subconjuntos de E, podemos partir E en los siguientes conjuntos:

fB¹\ B²\ \ Bⁿ: B_k2 fA^k; A^c_kg ; k 2 f1; 2; : : : ; ngg

Proposición 6. Toda función ' : R ! R de la forma ' = Pm

k=1b_kI_Ek, donde m 2 N, b₁; : : : ; b_m son números reales y E1; : : : ; E_m son conjuntos medibles, es medible.

Demostración

Los conjuntos de la forma F1 \ F² \ \ Fⁿ, donde Fk 2 fE^k; E_k^cg y k 2 f1; 2; : : : ; ng, constituyen una partición de R.

Sea H la familia de conjuntos no vacíos que son de esa forma.

Se tiene entonces:

1. F es medible para cualquier F 2 H.

2. Si F; G 2 H y F 6= G, entonces F \ G = ;.

3. [ fF R : F 2 Hg = R

4. Para cada k 2 f1; 2; : : : ; ng, se tiene:

E_k =[ fF¹\ F²\ \ Fⁿ 2 H : F^k= E_kg Si F = F1\ F²\ \ Fⁿ2 H, de…namos:

t^(k)_F = b_k si Fk= E_k

0 si Fk= E_k^c , para k 2 f1; 2; : : : ; ng t_F =Pn

k=1t^(k)_F Entonces:

' (x) = t_F para cualquier x 2 F , así que:

' =P

F 2Ht_FI_F

Finalmente, si ' (R) = ft¹; t₂; : : : ; t_mg, entonces, para cualquier j 2 f1; 2; : : : ; mg, ' ¹(ft^jg) es una unión …nita de conjuntos en H. Por lo tanto, para cualquier y 2 R, ' ¹([ 1; y]) también es una unión …nita de conjuntos en H. Así que ' es medible.

De…nición 4. Diremos que una función medible ' : R ! R es simple si tiene la forma ' =Pm

k=1b_kI_Ek, donde b1; : : : ; b_m son números reales y E1; : : : ; E_m son conjuntos medibles.

El resultado siguiente es la base para la de…nición de la integral de una función medible no negativa y también para demostrar algunas de las propiedades de las funciones medibles, así como de sus integrales.

Teorema 3. Sea f : R ! R una función medible no negativa, entonces existe una sucesión no decreciente de funciones simples no negativas '_n : R ! R tales que l mⁿ 1'_n(x) = f (x) para cualquier x 2 R.

Demostración

Para cada n 2 N, de…namos:

'_n(x) =

( Pn2ⁿ m=1

m 1

2ⁿ If^{y2F:m2n1 f (y)<2nm}g(x) si f (x) < n

n si f (x) n

Obsérvese que aunque, para cada x 2 R tal que f(x) < n, 'n(x) es una suma, únicamente uno de los términos es distinto de cero.

También podríamos escribir la de…nición de '_n de la siguiente manera:

'_n(x) =

m 1

2ⁿ si ^{m 1}₂n f (x) < ₂^mn y m 2 f1; 2; : : : ; n2ⁿg n si f (x) n

Por ejemplo, en la siguiente …gura se muestra la grá…ca de la función f : R ! R de…nida por:

f (x) = ₂¹7 (x + 2) (x + 1) (x 1) (x 2) (x 3) (x 4) (x 5) + 3

Si consideramos, a manera de ejemplo, n = 4;el intervalo [0; 4), sobre el eje y, se parte en subintervalos de longitud ₂¹4.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4

x y

0 1 2 3 4 2.0

2.5 3.0 3.5

x y

Entonces, por ejemplo:

f ^{1 50}₂₄;⁵¹₂₄ = [1:134; 1:237)[ [1:637; 1:776) [ [3:193; 3:295 ) [ [3:831; 3:898 ) Así que:

'₄(x) = ⁵⁰₂4 si x 2 [1:134; 1:237) [ [1:637; 1:776) [ [3:193; 3:295 ) [ [3:831; 3:898 )

En la siguiente …gura se muestran las grá…cas de f y de '₄ para valores de f en el intervalo

40 16;⁵³₁₆ .

0 1 2 3 4

2.0 2.5 3.0 3.5

x y

Pasemos ahora a la demostración del enunciado del teorema:

Si f (x) = 1, entonces 'n(x) = npara cualquier n 2 N, así que:

'_n(x) '_n+1(x)y l mn 1'_n(x) = 1 = f(x).

Si f (x) < n para alguna n 2 N, sea m el único número natural tal que ^{m 1}2ⁿ f (x) < ₂^mn. Entonces, como '_n(x) = ^{m 1}₂n , se tiene:

f (x) ₂¹_n < '_n(x) f (x), así que l mn 1'_n(x) = f (x).

Ahora bien, como ^{2(m 1)}₂n+1 f (x) < ₂^2mn+1, se tiene que ^{2m 2}₂n+1 f (x) < ^{2m 1}₂n+1 o bien ^{2m 1}₂n+1

f (x) < ₂^2mn+1.

En el primer caso, se tiene:

'_n+1(x) = ^{2m 2}_2n+1 = ^{m 1}_2n = '_n(x) En el segundo, se tiene:

'_n+1(x) = ^{2m 1}₂n+1 > ^{2m 2}₂n+1 = '_n(x) Así que, en cualquier caso, '_n(x) '_n+1(x).

Así que, '_n es una sucesión no decreciente de funciones simples no negativas tales que l m_n!1'_n(x) = f (x) para cualquier x 2 F.

Si ' = Pm

k=1b_kI_Gk es una función simple entonces el conjunto de los valores que toma es …nito. Sea fa¹; : : : ; ang el conjunto formado por todos los distintos posibles valores no nulos de ' y, para k 2 f1; : : : ; ng, sea E^k = fx 2 R : '(x) = a^kg, entonces los conjuntos E₁; : : : ; E_n son ajenos por parejas y ' =Pn

k=1a_kI_Ek. Esta última sumatoria será llamada la representación canónica de '.

Ahora demostraremos las propiedades básicas de las funciones medibles con valores en R.

Proposición 7. Sea g1 : R ! R, g² : R ! R , : : : una sucesión de funciones medibles, entonces:

1. Para cualquier n 2 N, las funciones m n fg¹; : : : ; g_ng y max fg¹; : : : ; g_ng son medi- bles.

2. Las funciones nf fg¹; g₂; : : :g y sup fg¹; g₂; : : :g son medibles.

Demostración

Para cualquier y 2 R, se tiene:

fx 2 R : m n fg¹; : : : ; g_ng (x) yg =Tn

k=1fx 2 R : g^k(x) yg 2 L (R), fx 2 R : max fg¹; : : : ; g_ng (x) yg =Tn

k=1fx 2 R : g^k(x) yg 2 L (R), fx 2 R : nf fg¹; g₂; : : :g (x) yg =T₁

k=1fx 2 R : g^k(x) yg 2 L (R), fx 2 R : sup fg¹; g₂; : : :g (x) yg =T₁

k=1fx 2 R : g^k(x) yg 2 L (R), de lo cual se sigue el resultado.

Corolario 1. Sea f1 : R ! R, f² : R ! R , : : : una sucesión de funciones medibles, entonces las funciones l m nf fn y l m sup fn son medibles.

Demostración

La sucesión gn = nfff^j : j ng es no decreciente y:

l m nfn 1fn = l mn 1gn= supfgⁿ: n2 Ng.

Así que l m nfn 1f_n es medible.

La sucesión hn = supff^j : j ng es no creciente y:

l m sup f_n = l m_{n 1}h_n= nffhⁿ : n2 Ng.

Así que l m sup fn es medible.

Corolario 2. Sea g1 : R ! R, g² : R ! R , : : : una sucesión de funciones medibles tales que l mn 1g_n(x) existe para cualquier x 2 F, entonces la función g : R ! R de…nida por g(x) = l m_n!1g_n(x) es medible.

Lema 1. Si una función f : R ! R es medible, entonces f⁺ y f son medibles.

Demostración

La función idénticamente cero es medible, así que entonces f⁺ = maxff; 0g, es medible.

Para cualquier y 2 R, se tiene fx 2 R : [ f] (x) yg = fx 2 R : f(x) yg, así que la función f es medible. Por lo tanto, f = maxf f; 0g es medible.

Proposición 8. Sean f : R ! R y g : R ! R dos funciones medibles y c 2 R. Entonces las funciones f + c, cf y f g son medibles.

Demostración

Sean '_n, n, _n y n sucesiones no decrecientes de funciones simples no negativas tales que l m_n!1'_n(x) = f⁺(x), l mn 1 n(x) = f (x), l mn 1 n(x) = g⁺(x)y l mn 1 n(x) = g (x), respectivamente, para cualquier x 2 R.

Las funciones '_n n+ c, c'_n c _n y '_{n n}+ _{n n} '_{n n n n} son simples y se tiene:

l m_{n 1}['_{n n}+ c] (x) = f (x) + c, [c'_n c _n] (x) = cf (x),

l m_{n 1}['_{n n}+ _{n n} '_{n n n n}] (x)

= l m_{n 1}['_{n n}] (x) [ _{n n}] (x) = [f g] (x).

Así que f + c, cf y f g son medibles.

El siguiente resultado básicamente expresa que la suma de dos funciones medibles es medible.

Sin embargo hay que formularlo bien pues al tratarse de funciones con valores en R, la suma de las dos funciones podría no estar de…nida en algunos puntos.

Proposición 9. Sean f : R ! R y g : R ! R dos funciones medibles y h : R ! R una función tal que h (x) = f (x) + g (x) en todos los puntos x 2 R para los cuales f (x) + g (x) esté de…nida y h es constante en el conjunto de puntos x 2 R para los cuales f (x) + g (x) no esté de…nida. Entonces h es medible.

Demostración

Sean '_n, n, _n y n sucesiones no decrecientes de funciones simples no negativas tales que l m_n!1'_n(x) = f⁺(x), l mn 1 n(x) = f (x), l mn 1 n(x) = g⁺(x)y l mn 1 n(x) = g (x), respectivamente, para cualquier x 2 R.

Denotemos por al conjunto de puntos x 2 R para los cuales f(x) + g(x) no está de…nida.

es medible, las funciones '_n n+ _{n n} son simples y, para cualquier x 2 ^c, se tiene:

l m_{n 1}['_{n n}+ _{n n}] (x)

= l m_{n 1}['_{n n}+ _{n n}] (x) = f (x) + g (x) = h (x).

Así que hI ^c es medible.

Sea 2 R el valor constante que toma h en el conjunto de puntos x 2 R para los cuales f (x) + g (x) no está de…nida.

Si B es un boreliano de R, se tiene:

h ¹(B) = (hI ^c) ¹(B) si 2 B= (hI ^c) ¹ [ si 2 B Así que h es medible.

Vamos a establecer la convención de considerar a la suma de dos funciones f : R ! R y g : R ! R como la función h : R !R de…nida de la siguiente manera:

h (x) = f (x) + g (x) si f (x) + g (x) está de…nida 1 si f (x) + g (x) no está de…nida

Así que, de acuerdo con la proposición anterior se tiene el siguiente resultado:

Corolario 3. Si f : F ! R y g : F ! R son dos funciones medibles, entonces f + g es medible.

Teorema 4. Sean f : R ! R una función medible y g : R ! R una función tal que g = f excepto a lo más en un conjunto de medida cero, entonces g es medible.

Demostración

Sea E = fx 2 R : g(x) = f(x)g, entonces, para cualquier y 2 R, se tiene.

fx 2 R : g(x) yg

= (fx 2 R : g(x) yg \ E) [ (fx 2 R : g(x) yg \ E^c)

= (fx 2 R : f(x) yg \ E) [ fx 2 E^c : g(x) yg.

El conjunto fx 2 E^c : g(x) yg está contenido en un conjunto de medida cero, por lo tanto es medible. Así que fx 2 R : g(x) yg es medible.