no coincide con la intersecci´ on de las im´ agenes

de familias de conjuntos

Objetivos. Demostrar las f´ormulas principales para las im´agenes y preim´agenes de las uniones e intersecciones de familias de conjuntos.

Requisitos. Im´agenes y preim´agenes de conjuntos bajo funciones, uni´on e intersecci´on de una familia de conjuntos, propiedades de los cuantificadores.

1. Definici´on de la uni´on de una familia de conjuntos. Sea (Ai)i∈I una familia de con- juntos. Entonces

x ∈[

i∈I

A_i ⇐⇒ . . .

2. Definici´on de la intersecci´on de una familia de conjuntos. Sea (Ai)i∈I una familia de conjuntos. Entonces

x ∈\

i∈I

A_i ⇐⇒ . . .

3. Definici´on de la uni´on y de la intersecci´on. Indique las correspondencias con flechitas:

∃i ∈ I x ∈ C_i

∀i ∈ I x ∈ C_i

x pertenece a todos los conjuntos Ci

x pertenece por lo menos a uno de los conjuntos C_i

x ∈[

i∈I

C_i

x ∈\

i∈I

C_i

Propiedades de las preim´ agenes

4. Definici´on de la preimagen (repaso). Sean X, Y conjuntos, sea f : X → Y una funci´on y sea B ⊆ Y . Entonces

f⁻¹[B] = {x ∈ X :

| {z }

?

}.

5. C´omo construir razonamientos con preim´agenes. Sean X, Y conjuntos, sea f : X → Y una funci´on y sea B ⊆ Y . Entonces para cualquier x ∈ X tenemos la siguiente equivalencia:

x ∈ f⁻¹[B] ⇐⇒ . . .

6. Preimagen de la uni´on de una familia de conjuntos. Sean X, Y conjuntos, sea f : X → Y una funci´on y sea (B_i)_i∈I una familia de conjuntos tales que B_i ⊆ Y . Demuestre que

f⁻¹

"

[

i∈I

Bi

#

=[

i∈I

f⁻¹[Bi].

Soluci´on. Sea x un elemento arbitrario de X. Vamos a demostrar que son equivalentes las siguientes condiciones:

x ∈ f⁻¹

"

[

i∈I

B_i

#

por demostrar

⇐=========⇒ x ∈[

i∈I

f⁻¹[B_i].

Construyamos una cadena de equivalencias usando las definiciones de la preimagen y de la uni´on:

x ∈ f⁻¹

"

[

i∈I

B_i

#

por def. de la preimagen

⇐===============⇒ . . .

por def. de la uni´on

⇐============⇒ . . .

i i∈I i

que

f⁻¹

"

\

i∈I

B_i

#

=\

i∈I

f⁻¹[B_i].

Propiedades de las im´ agenes

8. Definici´on de la imagen (repaso). Sean X, Y conjuntos, sea f : X → Y una funci´on y sea A ⊆ X. Entonces

f [A] = {y ∈ Y :

| {z }

?

}.

Repasemos algunas propiedades de los cuantificadores.

9. Propiedad conmutativa de los cuantificadores existenciales. Sea P un predicado de dos variables que vamos a denotar por a y b y que pertenecen a algunos conjuntos A y B res- pectivamente. Establezca una relaci´on l´ogica (=⇒, ⇐⇒, ⇐=) entre las siguientes afirmaciones:

∃a ∈ A ∃b ∈ B P (a, b)

| {z }

?

∃b ∈ B ∃a ∈ A P (a, b).

10. Intercambio del cuantificador existencial con el universal. Sea P un predicado de dos variables que vamos a denotar por a y b y que pertenecen a algunos conjuntos A y B res- pectivamente. Establezca una relaci´on l´ogica (=⇒, ⇐⇒, ⇐=) entre las siguientes afirmaciones:

∃a ∈ A ∀b ∈ B P (a, b)

| {z }

?

∀b ∈ B ∃a ∈ A P (a, b).

11. Propiedad de absorci´on del cuantificador universal. Sea P un predicado de una variable que vamos a denotar por a y que pertenece a un conjunto A, y sea Q una afirmaci´on (no dependiente de a). Establezca una relaci´on l´ogica (=⇒, ⇐⇒, ⇐=) entre las siguientes afirmaciones:



∀a ∈ A P (a)



∧ Q ∀a ∈ A



P (a) ∧ Q

 .

i i∈I i

f

"

[

i∈I

A_i

#

=[

i∈I

f [A_i].

Soluci´on. Sea y un elemento arbitrario de Y . Vamos a demostrar que son equivalentes las siguientes condiciones:

y ∈ f

"

[

i∈I

A_i

#

por demostrar

⇐=========⇒ x ∈[

i∈I

f [A_i].

Construyamos una cadena de equivalencias usando las definiciones de la preimagen y de la uni´on:

y ∈ f

"

[

i∈I

A_i

#

por def. de la imagen

⇐=============⇒ ∃x ∈ X



x ∈[

i∈I

A_i ∧



por def. de la uni´on

⇐============⇒ ∃x ∈ X



∃i ∈ I

∧



por la propiedad de absorci´on

⇐===========⇒ ∃x ∈ X ∃i ∈ I



∧



intercabio de ∃ con ∃

⇐==============⇒ ∃i ∈ I ∃x ∈ X



∧



por def. de la imagen

⇐=============⇒ ∃i ∈ I y ∈

por def. de la uni´on

⇐============⇒ y ∈[

i∈I

f [A_i].

14. Imagen de la intersecci´on de una familia de conjuntos. Sean X, Y conjuntos, sea f : X → Y una funci´on y sea (A_i)_i∈I una familia de conjuntos tales que A_i ⊆ X. Demuestre que

f

"

\

i∈I

A_i

#

⊆\

i∈I

f [A_i].

no coincide con la intersecci´ on de las im´ agenes

15. Ejemplo con la funci´on sen. Se considera la funci´on f : R → R, f (x) = sen(x) para todo x ∈ R. Construya una sucesi´on de conjuntos Ak ⊆ R, k ∈ {0, 1, 2, . . .}, tal que

f

" _∞

\

k=0

A_k

# 6=

∞

\

k=0

f [A_k].

Soluci´on. Dibujamos la gr´afica de la funci´on. Hay much´ısimas maneras de elegir los conjuntos A_k que cumplan con la condici´on requerida. Por ejemplo:

A₀ A₁ A₂

π

2 5π

2

9π 2

−^π₂ π ^3π₂ 2π 3π ^7π₂ 4π 5π

1

−1

0 x

y

Es decir, pongamos A0 =

hπ 2, π

i

, A1 = h

2π + π

2, 2π + π i

, A2 =

h i

, . . . La f´ormula general para los conjuntos A_k:

A_k =h i

, k ∈ {0, 1, 2, . . .}.

En cada uno de los intervalos A_k la funci´on sen decrece y toma valores de 1 a 0, as´ı que f [A_k] = [0, 1].

Por lo tanto,

∞

\

k=0

f [Ak] = [0, 1].

Por otro lado, los intervalos A_k son ajenos y su intersecci´on es . . . :

∞

\

k=0

Ak =

Por consecuencia, la imagen de la intersecci´on tambi´en es . . . : f

" _∞

\

k=0

Ak

#

=

16. Ejemplo con la funci´on cos. Se considera la funci´on f : R → R, f (x) = cos(x). Construya una sucesi´on de conjuntos A_k, k ∈ {0, 1, 2, . . .}, tal que

f

" _∞

\

k=0

A_k

# 6=

∞

\

k=0

f [A_k].

−π π 2π 3π 4π

1

−1

0 x

y

todo x ∈ R. Construya una sucesi´on de conjuntos Ak

f

" _∞

\

k=0

A_k

# 6=

∞

\

k=0

f [A_k].