Discusión de Problemas No. 8 Potencia en corriente alterna

Discusión de Problemas No. 8 Potencia en corriente alterna Parte A. Problemas Resueltos

A.1 (11.1) Si v(t)=160cos(50t)V e i(t)=−20sin(50t−30)A, calcule la potencia instantánea y la potencia promedio

SOLUCIÓN:

) 60 50 cos(

20 ) 90 30 50 cos(

20 ) 30 50 sin(

20 )

(t =− t−  = t− +  = t+ 

i

) cos(

) cos(

) ( ) ( )

(t v t i t V_mI_m t _v t _i

p = =  +  +

) 60 50 cos(

) 50 cos(

20 160 )

(t =  t t+ 

p

) 60 100 cos(

1600 )

60 cos(

1600 )

(t = −  + t+ 

p

) 60 100 cos(

1600 800

)

(t = + t+ 

p W

La potencia promedio es P=800W

A.2 (11.2) Dado el circuito de la figura, halle la potencia promedio suministrada o absorbida por cada elemento.

SOLUCIÓN:

Hay que determinar las corrientes y los voltajes en cada elemento del circuito.

LCK:

5 0 3

2 V

j

V +

= −



( )

V

j  =  



 

 +

=

 0.3887 59.04 3

1 5 0 1 2



−



=



=  5.145 59.04 04

. 59 3887 . 0

0

V 2 V

−j4 _0

2 A

j1

5 

−j4 _0 5 

2 A

j1 V

I 2

I 1





 =

−





−

= 

=− 1.715 30.96

90 3

04 . 59 145 . 5

1 3 j

I V A



−



 =

−

= 

= 1.029 59.04

5 04 . 59 145 . 5

2 5

I V A

Voltaje en el inductor:VL = jX_LI1= j1(1.71530.96)=1.715120.96V Voltaje en el capacitor:VC =−jX_CI1=−j4(1.71530.96)=6.860−59.04V Potencia en cada elemento

Fuente:

 

^

^

2 Re 1

2

1 VI^ = −   = W entrega

Resistor:

 





2 Re 1

2 1

2 = −    =

I ^

V W recibe

Inductor:

 

^

^

2 Re 1

2 1

1 =   −  =

I ^ VL

Capacitor:

 

^

^

2 Re 1

2 1

1 = −  −  =

I ^ VC

A.3 (11.4) Halle la potencia promedio disipada por las resistencias. Después verifique la conservación de la potencia.

SOLUCIÓN:

Por inspección



 



  

=



 







 





−

−

− +

0 30 20 2

8 4

4 4

5

2 1

I I j j

j j

Resolviendo con Mathcad 2030 V

5 

8  j4 

−j6 

2030 V

5 

8  j4 

−j6 

I 1 I ²

La potencia real producida por la fuente se consume en los resistores.

A.4 Halle el valor rms de la onda senoidal rectificada de media onda que aparece en la figura

SOLUCIÓN: Si la onda fuera completa, sin rectificar

j = −1

I 5+ j 4

−j4

−j4 8−j 2









−1

20 exp j 30 (  deg) 0







 

=

I1 =2.434−0.128j I2=−0.226+ 1.16j

Resistor de 5 ohmios P5 1

2 I

( )

 5

= P5=14.847

Resistor de 8 ohmios P8 1

2 I

( )

 8

= P8=5.590W

Total consumido P=P5+P8 P=20.437W

Generado por la fuente Vs=20 exp j 30 (  deg)

Pg 1

2 Re Vs I 1

⎯

 



= Pg=20.437W

0  2 3

1 2 3 4

f(t)

t

2 1 2

2 = =

= 



 

T rad/s

La onda seno completa sería 4sin(t) Y la onda seno rectificada sería



















= 

etc , 4 t π,3π 2 t , 0

etc , 3 t π,2π t 0 ), sin(

) 4

(  

 t t

f

El valor rms elevada al cuadrado es

  



) 1 1 (

0

2 0

2

2 =_T





F_rms ^{T }



=2 Frms

A.5 Encuentre la potencia compleja que se entrega a una carga que: (a) consume 500 VA a un fp adelantado de 0.75; (b) consume 500 W a un fp adelantado de 0.75; (c) consume 500 VAr a un fp de 0.75.

SOLUCIÓN:

.(a)

Potencia aparente: S = 500 VA Potencia compleja: S =S−cos⁻¹(fp) S =500−cos⁻¹(0.75)=500−41.41 S = 375 − j330.7 VA

0  2 3

1 2 3 4

f(t)

t

T

Im

 Re

S jQ

P

fp adelantado

.(b)

P = 500 W,  =tan⁻¹(0.75)=41.41 Q = Ptan = 500tan(41.41) = 441 VAr S = 500 − j441 VA

.(c)

Como Q > 0, fp en atraso Q = Ptan

9 . )) 566 75 . 0 ( tan(cos

500

tan = ¹ =

= ₋

 P Q

S = 566.9 + j500 VA

A.6 Una fuente de 230 V rms alimenta a tres cargas en paralelo:

1.2 kVA fp = 0.8 atrasado 1.6 kVA, fp = 0.9 atrasado 0.9 kW, fp unitario.

Encuentre: (a) la amplitud de la corriente de la fuente, (b) el fp con el que opera la fuente; (c) la potencia total compleja que maneja la fuente.

SOLUCIÓN:

0.9 kW, fp =1 1.6 kVA,

fp =0.9atrasado 1.2 kVA,

fp =0.8atrasado 230 V rms

Carga 1 Carga 2 Carga 3

Im

Re



S jQ

P

fp atrasado Im

 Re

S jQ

P

fp adelantado

Se asigna ángulo cero al voltaje y éste sirve de referencia y construyendo el triángulo de potencia para cada carga



=

=cos⁻¹0.8 36.87

1 , S1 = 1.2 kVA

96 . 0 8 . 0 2 .

1 1

1=S  fp=  =

P kW

72 . 0 6 . 0 2 . 1 sin ₁

1

1=S   =  =

Q kVAr



=

=cos⁻¹0.9 25.84

2 , S2 = 1.6 kVA

44 . 1 9 . 0 6 .

2 1

2 =S  fp=  =

P kW

697 . 0 84 . 25 sin 6 . 1 sin ₂

2

2=S   =  =

Q kVAr



=

=cos⁻¹1 0

3

9 .

3 =0

P kW,

3 =0

Q kVAr

P = 0.96 +1.44 + 0.9 = 3.30 kW

Q = 0.72 + 0.697 = 1.417 kVAr

2 2

2

2 + = 3.30 +1.417

= P Q S

59 .

=3

S kVA

rms rmsI V S = P2

Q2 1.6 kVA

2

Triángulo de potencia 2

Carga 2

P1

Q1 1.2 kVA

1

Triángulo de potencia 1

Carga 1

P3

Triángulo de potencia 3

Carga 3

P3

Triángulo de potencias

Carga Total

0.96 kW 1.44 kW 0.9 kW

0.72 kVAr 0.697 kVAr



61 . 23 15 . 0

59 .

3 =

=

=

rms

rms V

I S A I_m = 2I_rms = 215.61=22.07A



=



 



= 



 



= ⁻  ⁻ 23.24

30 . 3

417 . tan 1

tan ^{1 1}

P

 Q fp = cos = cos(23.24) = 0.92 atrasado por ser Q > 0

S = 3.30 + j1.42 kVA

A.7 Un transformador de 25 kVA alimenta a una carga de 12 kW con un factor de potencia 0.6 en atraso. Hallar el porcentaje respecto a la plena carga que soporta el transformador. ¿Cuántos kW en cargas adicionales con fp =1 se pueden añadir a dicho transformador sin que trabaje a plena carga?

SOLUCIÓN:

S

fp= P 20

6 . 0 12 =

=

= fp

S P kVA

Capacidad usada = 100 80% 25

20 =



=

=cos⁻¹0.6 53.13



25 16 ) 12

( ^{2 2}

max = +P + =

S

Resolviendo para P = 7.2 kW

Si se adicionara esta carga el nuevo factor de potencia sería 0.768 25

2 . 7 12+ =

=

fp en atraso.

P3

S=20 kVA

12 kW P

16 kVAr 53.13

Smax=25 kVA

A.8 (11.63) Halle I 0

Carga 1: 12 kW, fp = 0.866 adelantado Carga 2: 16 kW, fp = 0.85 atrasado Carga 3: 20 kVAr, fp = 0.6 atrasado SOLUCIÓN

Carga 1: ₁=cos⁻¹(0.866)=30, Q₁=−12tan30=−6.93kVAr, S₁= 12²+6.93² =13.86kVA Carga2:₂ =cos⁻¹(0.85)=31.79,Q₂=16tan31.79=9.92kVAr,S₂ = 16² +9.92² =18.82kVA Carga 3: ₃ =cos⁻¹(0.6)=53.13, P₃ =20cot(53.13)=15kW, S₃ = 15² +20² =25kVA Carga total: P = 12+16+15 = 43 kW, Q = −6.93+9.92+20 = 22.99 kVAr

76 . 48 299 . 22

43²+ ² =

=

S kVA (factor de potencia atrasado)



=



 



= ⁻  28.13 43

99 . tan ¹ 22



Pero 48.7610³=220I0 221.64A

220 10 76 .

48 ³

0 =  =

I

rms A 13 . 28 64 . 221

0= − 

I

I 0

2200 Vrms Carga 1 Carga 2 Carga 3

A.9 Hallar el valor de C para llevar el factor de potencia a 0.9 atrasado.

SOLUCIÓN: =2f =260=377rad/s

Antes de la conexión del capacitor fp=cos₁=cos30=0.866

S 720 30 623.54 360

30 20

120²

2

2 j

Z Z V

I_rms ^rms =  = +



−

= 

=

= _ P = 623.54 W

Con el capacitor ₂ =cos⁻¹0.9=25.84

6 2 2

2 1

2 28.6 10

120 377

) 84 . 25 tan 30 (tan 54 . 623 ) tan

(tan ₋



 =



−

= 

= −

=

rms rms

C

V P V

C Q







 ^F

C = 28.6 F

A.10 (11.37) Hallar el valor rms de la suma de las corrientes

1 =8

i A, i₂ =4sin(t+10)A i₃=6cos(2t+30)A SOLUCIÓN:

Para i2,  



 2

1 2 2

2

2 = = =

T

Para i3,  



 _{= =}

= 2

2 2

3

T3

El período de la función resultante es 2, como se muestra.

 C



=120 0

V Vrms

60 Hz ^2030

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

i t( )

t



=2

 T

Resolviendo con Mathcad

i t( )=8+4sin t( +10 deg )+6cos 2 t(  +30 deg )

Irms 1

2 ₀ 2

t i t( ) ( )²



 d



=

Irms=9.487

Parte B. Problemas para resolver

B.1 (11.46) En relación con los siguientes fasores de tensión y de corriente, calcule la potencia compleja, la potencia aparente, la potencia real y la potencia reactiva. Especifique si el fp es en adelanto o en atraso

.(a) V=22030V rms, I =0.560A rms .(b) V=250−10V rms, I =6.2−25A rms .(c) V=1200V rms, I =2.4−15A rms .(d) V=16045V rms, I =8.590A rms

B.2 (11.47) En cada uno de los siguientes casos, halle la potencia compleja, la potencia promedio y la potencia reactiva:

.(a) v(t)=112cos(t+10)V, i(t)=4cos(t−50)A .(b) v(t)=160cos(377t)V, i(t)=4cos(377t+45)A .(c) V=8060V rms, Z =5030

.(d) I =1060A rms, Z=10045

Resp/(a) S=112+j194 VA, P=112 W, Q =194 VAr .(b) S=226.3−j226.3 VA, P=226.3 W, Q =226.3 VAr .(c) S=110.85+j64 VA, P=110.85 W, Q =64 VAr

.(d) S=7.071+j7.071 kVA, P=7.071 kW, Q =7.071 kVAr

B.3 (11.48) Determine la potencia compleja en cada uno de los siguientes casos .(a) P = 269 W, Q = 150 VAr (capacitiva)

.(b) Q = 2000 VAr, fp = 0.9 (adelantado) .(c) S = 600 VA, Q = 450 VAr (inductiva)

(d) Vrms = 220 V, P = 1 kW, Z =40 (inductiva)

B.4 (11.32) Obtenga el valor rms de la función que se muestra

B.5 (11.27) Calcule el valor rms de la corriente mostrada en la figura 1 2 3 4 5 t

0 10

i(t)

10t²

Resp/2.887 A

B.6 (11.23) Determine el valor rms de la tensión que se muestra

Resp/5.774 V

B.7 (11.22) En referencia al circuito que se muestra, Determine la impedancia Z para la máxima transferencia de potencia (hacia Z). Calcule la máxima potencia absorbida por la carga.

Resp/Z = 0.823+j0.864 , Pmax = 248.68 W

B.8 (11.36) Calcule el valor rms de cada una de las siguientes funciones:

.(a) i(t)=10 A, (b) v(t)=4+3cos5tV, (c) i(t)=8−6sin2tA, (d) v(t)=5sint+4costV Resp/(a) 10, (b) 4.528, (c) 9.055, (d) 4.528

5 10 15 20 25 t 0

5 i(t)

4 

5  j2

400 V

−j3 

Z

1 2 3 4 5 t 0

10 i(t)

B.9 (11.39) Un motor de corriente alterna con impedancia ZL = 4.2 + j3.6  se alimenta con una fuente de 220 V rms a 60 Hz. (a) Halle fp, P y Q. (b) Determine el capacitor requerido para conectarse en paralelo con el motor de manera que el factor de potencia se corrija y se iguale a la unidad.

Resp/(a) 0.7592, 6.643 kW, 5.695 kVAr; (b) 312 F B.10 (11.51) Para el circuito de la figura, calcule

.(a) el factor de potencia .(b) la potencia promedio provista por la fuente

.(c) la potencia aparente .(d) la potencia compleja

Resp/(a) 0.9956 atrasado (b) 15.56 W,

(c) 15.63 VA

(d) 15.56+j1.466 VA 2 

8  j6

1645 V

−j5  10 