Circuito de Corriente Alterna Reparado

Universidad Técnica Estatal “Quevedo”

Facultad ciencias de la ingeniería

Escuela de ingeniería eléctrica

Curso:

Segundo eléctrica

Docente:

Ing. Víctor Nasimba Medina

Año lectivo:

2011-2012

Quevedo-Los Ríos-Ecuador

INDICE

Relación entre los elementos activos y pasivos en los circuitos eléctricos...10

Potencia:... 11

Potencia media: (P)... 12

Valor medio / valor eficaz...14

Ciclo... 15

Periodo... 15

Frecuencia... 15

Amplitud... 15

Valor instantáneo... 15

Valor medio o valor DC de onda (Vdc)...16

Factor de forma: es la relación entre el valor eficaz “VRMS”“VDC”...16

Valor eficaz o VRMS: “Root Mean square”...17

Análisis en el tiempo (R.L.C)...20 Circuito lineal... 20 Circuito no-lineal... 20 Régimen permanente...20 Régimen transitorio...22 Comportamiento...22 Caso I:... 22 Caso II... 22 Inductancia... 24 Impedancia (Z)... 25 Angulo de fase (θ)... 25 Caso resistencia... 25 Caso inductivo...26 Caso capacitivo...27 Caso RL... 27 Caso RC... 27 Análisis de circuitos... 28 Circuito resistivo... 29

Circuito resistivo-inductivo (serie) si V=i*R...30

Circuito resistivo-capacitivo (serie)...31

Dominio del tiempo (paralelo)...34

Notación fasorial... 35

Diagrama de impedancia...36 Consideraciones para resolver circuitos mediante el dominio de la frecuencia “fasores”37

Diagrama de admitancia...44

Diagrama de voltaje...44

Diagrama fasorial de (V vs I)...45

Diagrama fasorial de la intensidad...46

Análisis de circuito... 47

Análisis de corrientes por mallas...47

Sistema de ecuaciones de mallas...48

Forma matricial...48

Método de matrices y determinantes...48

Impedancia de entrada...51

Impedancia de trasferencia...52

POTENCIA ELÉCTRICA...54

Potencia activa... 54

Potencia aparente... 55

Potencia reactiva (Q) [VAR]...55

Capacitiva... 55

Potencia compleja... 56

Corrección de factor de potencia...56

Sistemas polifásicos...58

Sistemas bifásicos... 58

Sistemas polifásicos...59

Conexión en estrella...59

Conexión en triangulo...59

Relación entre los elementos activos y pasivos en los circuitos eléctricos...62

Potencia media, instantánea...62

Análisis de circuitos... 66

Circuito serie-paralelo...73

Potencia eléctrica... 77 APENDICE

1.1. Números complejos

1.2. Forma de números reales y números complejos

1.3. Formas de expresar un número complejo

Suma y diferencia de números complejos (solo en forma rectangular) Multiplicación de números complejos

1. INTRODUCCION

La corriente alterna es de gran importancia, entre otras cosas, porque nos proporciona la

red eléctrica domiciliaria. Es aquella con la cual funcionan habitualmente los

transformadores y un gran número de dispositivos. Lo más frecuente es que posea forma

sinusoidal.

Debido a que cualquier función periódica puede expresarse como la suma de diferentes

armónicos (teorema de Fourier), el estudio de la corriente alterna constituye la base para

el análisis de señales variables en el tiempo en redes lineales.

Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resistencias,

capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna.

Desde un punto de vista tecnológico, el uso de la corriente alterna es muy conveniente

debido a que ésta es muy fácil de generar y su transporte puede realizarse fácilmente a

altas tensiones (y pequeñas intensidades) minimizando así las pérdidas por efecto Joule

(posteriormente, por inducción electromagnética, la corriente alterna puede fácilmente

transformarse a las tensiones usuales de trabajo).

Estas características junto con su fácil aplicación para motores eléctricos hizo que, a partir

de finales del siglo XIX, la corriente alterna se impusiera para uso doméstico e industrial y

que, por tanto, la tecnología eléctrica se haya desarrollado en torno a esta forma de

corriente (en Europa la frecuencia de la corriente alterna es de 50 Hz). Una característica

adicional de esta corriente es que su forma armónica se conserva cuando la corriente es

modificada por el efecto de elementos lineales, a saber: resistencias, condensadores,

bobinas, transformadores, etc.

2. JUSTIFICACION

3. OBJETIVO:

3.1. Objetivo general:

Estudiar los circuitos en serie RL, RC y RLC sistema monofásico, bifásico y trifásico. En corriente alterna. Aplicación al cálculo de L y C.

3.2. Objetivo especifico:

Analizar las leyes básicas, teoremas y técnicas aplicadas a los circuitos eléctricos en corriente alterna, y sistema monofásico, bifásico y trifásico así como el uso de las matemáticas en la solución de circuitos variables en el tiempo.

-+ I R

-I

RELACIÓN DE ELEMENTOS PASIVOS

Al suministrar energía a un elemento pasivo de un circuito, este se comporta o corresponde a:

1) Si la energía lo disipa el elemento es resistivo puro

2) Si la energía lo almacena en un campo magnético es una bobina pura

3) Si la energía la almacena en un campo eléctrico es una condensador

Nota: En la práctica los componentes pasivos se comportan de una o más formas e inclusive los tres

simultáneamente.

Resistencia(R):



La diferencia de potencial V(t) en los bornes o terminales de un elemento resistivo es

directamente proporcional a la intensidad de corriente i(t) que circula por él.



La notación en función del el tiempo se representa por las letras minúscula: v(t),i(t), p(t). los

valores máximos o amplitudes se representan con el subíndice m. ejemplo: v

V(t)=R*i(t)

i(t)=V(t)/R

R= i(t)/ i(t)

Autoinducción (L):



Al circular una corriente i

se origina un flujo magnético, esta variación de flujo magnético

origina una fuerza electromotriz (f.e.m) que se opone a dicha variación.



Si por una bobina circula una corriente i(t) se origina una f.e.m inducida (v) que es directamente

proporcional siempre que la permeabilidad magnética sea constante.

L= se conoce como el coeficiente de proporcionalidad o coeficiente de autoinducción.

L=henrio [H]

-+

+

-∅=L∗i(1)

v =

d ∅

dt

(2)

di=

Vd ∅

L

(1) En (2)

v =

d(L∗i)

dt

=

L

di

dt

i

=

1

_L

∫

v dt

L=

V∗s

A

H=

V∗1 [s]

1 [ A ]

Capacitancia (C): se le conoce como constante proporcionalidad y es la capacidad del condensador.



q= carga almacenada en el condensador.



v= diferencia de potencial en los bordes del condensador.

F=faradio=

coulombios

_amperios

q

=

C V

i

=

dq

dt

i

=

dv

dt

La bobina (inductores) y los condensadores (capacitores) acumulan energía pero durante cierto

tiempo es decir durante un tiempo (t) la energía permanece en el circuito y durante otro tiempo

retorna la fuente.



En la resistencia(R) la potencia (p) siempre es positiva y la energía (w) es creciente en función

del tiempo.



En una inductancia no puede mantenerse la energía cuando se desconecta la fuente porque

simultáneamente el campo magnético desaparece.

vv

v

Unidad Tensión [V] Intensidad [A] Potencia [W] P media [W] Energía [J]

R [Ω] V(t)=R*i(t)

i

=

V

R

p=

1

T

∫

p dt

w=

∫

p dt

L

di

dt

i

=

1

L

∫

V

dt

p=L∗i

di

dt

p=

1

T

∫

p dt

w=

_∫

p dt

1

L

∫

i dt

i

=

C

dv

dt

p=C∗V

dv

dt

p=

1

T

∫

p dt

w=

∫

p dt

Potencia (p):

La potencia eléctrica (p) se define por el producto de la diferencia de potencial o tensión aplicada (v) y

la intensidad de corriente (i).

p=v(t)*i(t)

1[W]=1[voltio]*1[amperio]



La potencia (p) es positiva si circula la intensidad de corriente de - a + ese momento, la fuente

entrega corriente el circuito por lo tanto suministra energía.



La potencia (p) es negativa si circula la intensidad de corriente de + a – ese momento la fuente

obtiene energía de los elementos pasivos del circuito.

Potencia media: (P):

En el caso en que la potencia (p) se una función periódica del tiempo(t) del periodo(T)se define como

un valor medio.

P=

1

T

∫

pd t

_{[Potencia media] [W]}

Energía (w):

La potencia (p) es la variación de energía transferida en una unidad de tiempo se puede expresar que:

p=

w

5A π 2π 1X10-3 S i(t) 50 π 2π 1X10-3 S v(t)

p=

dw

dt

w=

∫

pdt

La función intensidad de corriente de la figura es una onda creada producida en esta corriente, circulando por una resistencia pura de 10Ω. Obtener las curvas de tensión v(t) y la potencia p(t) instantánea.

V(t)=i(t)xR. V(t)=5x10 V(t)=50

250 π 2π 1X10-3 S p(t) Wt en función de Θf W=2πf f= 1/T =0.016 seg. T= 16ms Tipos de ondas:

 ondas Senoidal y cosenoidal

 Onda Triangular:

 Onda diente de sierra:

p(t)=v(t)xi(t). p(t)=50x5 p(t)=250

 Onda cuadrada:

PROBLEMA RESUELTOS

En el circuito del generador viene dado por V(t)=150sin wt. Hallar:

a. La intensidad i(t) b. La potencia instantánea c. La potencia media

i

=

v

r

=

150

25

sin wt =5 sin wt

p=V

∗

i

=150 sin wt∗6 sin wt si wt =

∝

p=

1

T

∫

p dt

p=

1

π

∫

900 sin

_{wt dt}

p=

900

π

∫

sin

_{wt dt}

p=

900

π

[

π

2

−

sin 2 π

4

]

p=450[W ]

-En los bornes de una bobina pura de autoinducción L= 0.02H, se aplica la tensión v(t)= 150sen 1000t hallar:

a)

b)

c)

d)

150 sen1000 tdt=

1

0.02 H

.150

∫

sen1000 tdt=

¿

i(t )=

1

0.02 H

∫

¿

i(t )=

150

0.02 H

∫

sen u .

du

1000

=

−7500

1000

∫

sen u du=−7.5 cos u+c

i(t )=−7.5 cos 1000 t+C

p (t )=v (t) .i(t )

p (t )=150 sen1000 t x−7.5 cos 1000 t=−562.5 sen2000 t

P=

1

π

∫

pdt

−

sen 2000 t dt=

¿

−562.5 sen2000 t dt=

¿

562.5

π

∫

¿

P=

1

π

∫

¿

sen1 000 t dt

∫

−cos 1000tdt =

¿

1124.4

π

[

−cos 100 t

1000

]

.

[

sen 1000 t

1000

]

P=

562.5/2

π

∫

¿

P= 0w

Vp -Vp Vp -Vp Vp -Vp -Vp Amplitud Amplitud Ciclo triangular Ciclo sinusoidal Ciclo cuadrado Diente de sierra wt t (ms) t (ms) t (ms)

 La tensión (V(t)) y la corriente (i(t)) varían en forma periódica a lo largo del tiempo.

 Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica en que la magnitud y dirección varían cíclicamente.  La forma de onda de la corriente alterna comúnmente es la onda sinusoidal.

 Porque se usa la onda sinusoidal

Puesto que se consigue una transmisión más eficiente de energía

 La señales de AM-FM es una información codificada que mediante rectificadores “diodos”, inductores se logra recuperar la onda sinusoidal

Ciclo

Un ciclo es toda la señal antes de repetirse

Periodo

Es el tiempo que tarda un ciclo de la señal

Frecuencia

Es el número de vueltas que da en un segundo

Amplitud

Es el valor desde el eje horizontal hasta el máximo

Amplitud [A]=Vp=Vmax

Valor instantáneo

Es el que forma la ordenada en un instante t determinado

Valor pico a pico (Vpp)

Es la medida desde el valor mínimo hasta el máximo

 Es la diferencia entre su valor pico máximo positivo y su valor máximo negativo

Vpp=Vp-(-Vp) Vpp=Vp+Vp 89.9Hrz

T =

1

f

=

1

89.9

=0.011 seg

La pulsación es la frecuencia angular expresada en radianes

-Vp Vp A1 A2 A1=-A2 15 -3 A1 A2 4 3 21 VDC

Valor medio o valor DC de onda (V

)

 Es el valor del área que forma con el eje de las abscisa partiendo por su periodo  El área se considera positiva si esta encima del eje y negativa si esta de bajo  Es una señal sinodal o sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo

V

=

1

T

∫

T

f (t ) dt

Factor de forma: es la relación entre el valor eficaz “V

” “V

” y el valor medio

“V

”

K=

V

1

T

∫

f (t) dt

Factor de amplitud (K): es la relación entre el valor máximo de la magnitud y su valor eficaz

A=15 Area1= (3*15)/2=22.5 Vpp=18= Vp-(-Vp) Area2= (1*3)/2=1.5 T=4seg f=0.25t Área=A1-A2 Área=22.5-1.5

V

=

1

T

∫

f (t ) dt

V

=

0.25

4

∫

t dt

 Se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante el periodo.

V

=

√

1

T

∫

V

_{t dt V}

=

1

T

∫

V

_{t dt}

A1 A2 Consideración Vef=VRMS=

V

√

2

=

A

√

2

V

√

3

=

A

√

3

 Si la onda es alterna pura para el área positiva es igual al área negativa por lo tanto el valor medio es igual a cero

A1=11

A2=-21

 Si la onda no es alterna pura es decir que el área positiva no es igual al área negativa el valor medio es distinto a cero A1=20 A1>A2 Vef=VRMS≠0 A2=-4 A2>A1 Vef=VRMS≠0

V

=

1

T

∫

f (t )

_dt

√

√

2

6 12 18 A 5 -5 0 T=12seg f=0.083Hz A=5 VPP=10 VRMS= VDC=

f =

1

T

V

=

A

√

3

=

5

√

3

=2.88

V

=

1

T

∫

f (t ) dt

V

=

1

12

∫

f (t) dt

w=

2 π

T

5=

2 π

T

T =

2 π

5

I magnitud II magnitud I magnitud II magnitud

Análisis en el tiempo (R.L.C)

 Los modelos de los componentes son ideales porque representan el comportamiento del elemento físico de una manera simplificada

 Es decir se utiliza aproximaciones del comportamiento cíclico (R.L.C)

Circuito lineal

Se dice que un elemento es lineal cuando la relación matemática entre las magnitudes es la ecuación de una línea recta, es decir es una relación proporcional.

Circuito no-lineal

En un circuito no lineal, es cuando la relación matemática es más complicada y también cuando aparecen diodos, transistores, etc.

Régimen permanente

 Es estado de un circuito es el que nos proporciona la información del comportamiento del ciclo

 Se dice que un circuito esta en régimen permanente cuando funciona durante un tiempo, relativamente largo bajo una condición conocida inalterable a lo largo del tiempo

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////////////////////////////////////////////// RPI RE RPF + I V V = ? I = 0 I I I V I I I = ? V = 0 I V

RPI= régimen permanente inicial RPF=régimen permanente final RE=régimen estacionario

Régimen transitorio

Un circuito esta en régimen transitorio cuando pasa de una función a otras condiciones de funcionamiento, durante un cierto intervalo de tiempo se produce alteraciones en las condiciones de funcionamiento.

Comportamiento

Caso I:

Circuito abierto: cuando una trayectoria no fluye la corriente siendo su resistencia al infinito R=∞

Caso II

+ + c.c I t I t V = 0 c o r t o c i r c u i t o i = K T E V V t t V = K T E I = 0 I = 0 c . a V c c C + + Carga Descarga

Inductancia

 Son elementos bi-terminales

 Almacena energía proveniente del campo magnético  En fuentes DC se comporta como circuito cerrado

Caso I Proceso de carga Toma de energía Caso II Proceso de descarga Cede energía Condenadores

 Son elementos bi-terminales

 Almacena energía que recibe en el campo eléctrico  Se comportan como un circuito abierto

K*e-t/τ _K*e-t/τ

Τ=R*C

τ =

_R

L

Capacitor Inductor

2R 2H 6F 2F 4F 10R 2R + 12V 6H 4R 10R 2R + 12V 4R I + -Vcc R

1

R

=

1

2

+

1

10

+

1

4

=

17

20

I=

V

R

R

=1.17 Ω

I=

12V

1.17 Ω

I=10.25 A

Impedancia (Z)

La impedancia de un elemento aislado de una rama de varios elementos es la relación entre a tensión aplicada sobre la intensidad de corriente.

z=

V aplicada

Icorriente

Angulo de fase (θ)

 Si la tensión como la intensidad (I) de corriente son funciones sinodales y conoidales del tiempo (t) aparece una desplazamiento relativo entre ambas magnitudes y nunca puede ser superior a 90o _o

π/2rad

Caso resistencia

En un elemento resistivo puro la intensidad (i) está en fase con el voltaje (v).  El módulo de la impedancia es R |z|=R

I L +

-Vcc

Caso inductivo

En una bobina para la intensidad se retrasa 90o _{o π/2rad respecto a la tensión.}

I C + -Vcc I + -Vi I + -Vi

Caso capacitivo

Un condensador puro la corriente (i) se adelanta 90o _{respecto a la tensión y su módulo es el inverso de jwC}

x

=

1

jwC

Caso RL

En un circuito RL la intensidad de corriente se retrasa un ángulo θ dependiendo de su valor de su resistencia e inductancia.

0<θ<90o

|

z

|

=

√

R

+

wL

Caso RC

En un circuito RC la intensidadse adelanta un angulo θ respecto a la tensión (V) y depende de un valor RC 90o_<θ<0

|

z

|

=

√

R

+

(

1

wC

)

Vmax -Vmax t (seg) wt (s) Vmax -Vmax t (seg) wt (s) (+) (-) t (seg) wt (s) Vmax -Vmax Vmax100 Vref50 45 190o 10o 50o

Análisis de circuitos

Dominio del tiempo

Dominio de frecuencia (fasores)

V(t)=Vmax*sin(t) V(t)=Vmax*sin(wt)

V

=

V

√

2

V

∗

√

2=V

φ

V(t)=Vmax*sin (wt-

φ

V(t)=100*sin (wt-45)+50

+ -Vin + -Vin

Circuito resistivo

V

=

V

sin(wt )

i

=

V

R

V

=

√

2V

sin(wt )

√

i

=

1

L

∫

V

dt V

=

L∗di

dt

coswt =sin [wt +90]

−coswt =sin[wt−90]

i

=

1

L

∫

√

2(120)sin ( wt ) dt

i

=

120

√

2

L

∫

sin wt dt

i

=

120

√

2

L

[

−cos wt

w

]

0

cos wt−cos

¿

i

=

−120

√

2

WL

¿

wt −1

cos

¿

i

=

−120

√

2

WL

¿

C + -Vin

wt +

¿

120

√

2

WL

i

=

−120

√

2

WL

cos

¿

i

=

−120

√

2

WL

∗(

sin wt−90)+ K

i

=

120

√

2

WL

∗(sin wt −90)=

¿

i

=

i

sin wt −90

V

=

120

√

2

WL

∗(sin wt −90)=

¿

V

=

V

sin wt

X

=

wl

X

=(

WC)

=

1

WC

i

=

C∗dv

dt

i

=

C∗d 120

√

2 sin wt

dt

i

=

C∗120∗

√

2

d sin wt

dt

i

=

C∗120

√

2cos wt∗w

i

=120

√

2∗C∗W∗cos wt

i

=120

√

2∗C∗W∗sin wt +90

√

(

)

R

WL Z

R -WC

Circuito resistivo-inductivo (serie) si V=i*R

V

=

V

+

V

i=

V

R

=

V

Z

V

=

Ri∗L

di

dt

i

=

V

√

R

+(

WL)

∗sin wt −θ

i

=

V

√

R

+

W

_L

∗sin (wt −tan

_θ

WL

r

)

tan

θ=

WL

R

θ=

WL

R

z=

√

R

+

W

L

Circuito resistivo-capacitivo (serie)

V

=

V

+

V

_tan

θ=

(

WC)

R

V

=

Ri+

1

C

∫

idt

θ=

1

WC

R

V

=

V

∗sin wt

_√

i

=

V

√

R

+

1

W

C

∗sin wt +θ

i

=

V

√

R

+

1

W

C

∗sin wt +tan

(

WC )

R

R WL Z 45 (-) -Vmax Vmax imax -imax

V

=

V

∗

R

√

R

+

1

W

C

∗sin wt +tan

(

WC )

R

Ejercicios en el dominio del tiempo

1. Por el circuito de la fig. circula una corriente de intensidad i=2sin 500t [A]. Determinar a. La tensión aplicada b. La impedancia c. El ángulo d. Realice el grafico Vi vs t

X

=

WL

_z=

_√

_R

+

W

_L

X

=

500∗20∗10

z=

√

10

₊₁₀

X

=

10 Ω

_z=10

_√

₂

tan

θ=

WL

R

tan

θ=

10

10

θ=45

V =i

√

R

+

W

L

sin wt −θ

V =2

_√

10

₊₍₁₀₎

_{sin 500 t−45}

Vc Vl Vr I r I l I c Serie Paralelo IL=IC=IR IT=IL+IC+IR LKC Vi=Vr+Vc+Vl

V

=

i∗R+L

di

dt

+

1

C

∫

idt

A sin θ+B cos θ=C sinθ+φ

sin( A ± B)=sin a cosb ± sin a cosb

C=

√

A

+

B

tan

_θ=

B

A

Serie RC

f → coswt

V =i

z cos wt −tan

(

WC)

R

V =i

√

R

+

1

(

WC)

cos wt −tan

(

WC)

R

V =i

√

R

+

1

(

WC)

sin wt +tan

(

WC )

R

f → sin wt

V =i

√

R

+(

LW )

sin(wt +φ)

V =i

√

R

+(

LW )

sin

(

wt +tan

WL

R

)

f → coswt

V =i

√

R

+(

LW )

cos (wt −tan

WL

R

)

_{V =i}

√

R

+

(

WL−

1

WC

)

sin wt +tan

(

WL−

1

WC

R

)

f → cos wt

_{V =i}

√

R

+

(

WL−

1

WC

)

cos wt +tan

(

WL−

1

WC

R

)

Si

WL>

_WC

1

Si

WL<

_WC

1

Paralelo RL

f → coswt

i

=

V

√

(

1

R

)

+

(

1

WL

)

cos

(

wt−tan

(

R

WL

)

)

i

=

V

√

(

_R

1

)

+

(

1

WL

)

sin

(

wt +tan

(

R

WL

)

)

f → sin wt

i

=

V

√

(

1

R

)

+(

WC )

_sin

₍

_{wt +tan}

_WCR

₎

i

=

V

√

(

1

R

)

+(

WC )

cos

(

wt −tan

(

WCR)

)

f → sin wt

i

=

V

√

(

1

R

)

+

(

WC−

1

WL

)

sin

(

wt +tan

(

WC −

1

WLR

)

)

i

=

V

√

(

1

R

)

+

(

WC−

1

WL

)

cos

(

wt−tan

(

WC−

1

WLR

)

)

i

=

V

Z

=

V

√

R

+

(

WL−

1

Wc

)

A sin θ+B cos θ=C sinθ+φ

C=

√

A

+

B

_{cos x=sin (x+90)}

tan

φ=

B

A

I l I r

5 0.02H

+

-Dominio del tiempo (paralelo)

IT=IR+IL

i

=

V

R

+

1

L

∫

V dt

i

=

V

R

=

100 sin(1000 t+50)

5

=20 sin(1000 t +50)

i

=

1

_L

∫

V dt=

_0.02

1

∫

100 sin (1000 t+50 )dt=

_0.02

100

∫

sin (1000 t+50 )dt

i

=

100

0.02

∗cos (1000 t+50)

1000

i

=

100

0.02∗1000

∗cos (1000 t+50)

i

=−5 cos(1000 t+50)

i

=20 sin (1000t +50)

⏞

−5 cos (1000 t+50)

⏞

A sin θ+B cos θ=C sinθ+φ

C=

√

20

+(−5)

tan

_φ=

B

A

=

−5

20

i

=20.6 sin (1000t +50−14.03)

i

=20.6 sin (1000t +35.07)

L R + -Z + -Z + -Z + -+ C R +

-Notación fasorial

 Mediante el empleo de la notación fasorial y la impedancia compleja se simplifica el análisis en régimen permanente sensorial de los circuitos eléctricos

Impedancia compleja Circuito R-L Vm=VR+VL

V

=

iR +L

di

dt

V

e

=

iR+L

di

dt

i

=

K e

K=

V

R+ jwL

V

=

iR +

1

C

∫

i dt

V

e

=

iR+

1

C

∫

idt

Si

i

=

K e

K=

V

1

V

e

=

K e

∗

R +

1

C

∫

K e

dt

i=

V

V

(

1

R− jwC

)

∗

e

→ z=

V

i

=

V

e

V

(

1

R− jwC

)

∗

e

=

Z=R− j

(

1

wc

)

Θ z jwL R (+) Θ R (+) Sin x Cos x wt wt Θ Θ

Diagrama de impedancia

 La impedancia es un numero complejo en el cual la resistencia R es un numero positivo y la parte imaginaria de un elemento inductivo o capacitivo

 Al variar wt el vector describe un circulo razón por la cual se denomina ve3ctor giratorio a fasor

 En la teoría del campo electromagnético cantidades que tienen que tienen una orientación espacial se denomina vectores y fasor los términos exponenciales variable en el tiempo

X

=

jwL

X

=

1

jwC

z=R−

1

jwC

Consideraciones para resolver circuitos mediante el dominio de la frecuencia “fasores”

 Los valores de voltajes deben ser transferido a valores eficaces  Los valores de corriente deben ser transformados a valores eficaces

 No se debe operar o trabajar con las característica del material o elemento “inductivo-capacitivo”  Se debe trabajar como reactancia “XL=Ω, XC=Ω”

Realizar una representación gráfica de la variación de la reactancia capacitiva e inductiva con w en el margen de 400 a 4000 rad/seg, los valores de L y C so respectivamente 40mH y 25µF

C=25µF C=25*10-6_F L=40mH L=0.04F Inductiva W XL XC 400 16 100 900 36 44,444444 4 1400 56 28,571428 6 1900 76 21,052631 6 2400 96 16,666666 7 2900 116 13,793103 4 3400 136 11,764705 9 3900 156 10,256410 3 4000 160 10

63.5 5 10 Z= 11.1 8 ϕG JB

A un circuito serie R=5Ω, L=2mH se le asigna una tensión de V=150sin (5000t) hallar la impedancia compleja, realizar el diagrama. Z=R+jwL Z=5+10j

Z =5

√

5

∠63.5

Admitancia (y)

El reciproco de la impedancia compleja se denomina admitancia compleja y se representa por la letra “y” y es el inverso de z y su unidad está dado en función de [Ω]

Z =R ± jx

Z =R ±( X

−

X

)

Z =R ± jb

Medinate el digrama fasorial hallar al suma de las intensidades de corriente

i

=sin(wt +13.2

) [

A]

i

=sin(wt +121.6

o

)[

A ]

´I₁=Imax

√

√

´I

=

14.14

√

2

∠13.2

_´I

=10

∠10 13.2

_´I

=

8.45

√

2

∠121.6

_´

I

=5.97

∠121.6

5.97 10 48.1o 121.6o 63.4o 71.5o 89.44 100 45.07o Wt

´I

=9.89

∠48.1

Diagrama fasiorial de la intensidad total

Hallar la suma de las tensiones

V

=126.5 sin(wt +63.4

)

V

=

44.7 sin(wt −161.5

)

´ V₁=Vmax

√

V

=44.5sin (wt −161.5

)

√

´

V

=

126.5

√

2

∠63.4

V

=44.5sin (wt −161.5

+

90

)

V

´

=

44.7

√

2

∠−71.5

´

V

=89.44

∠63.4

V

=44.5sin (wt −71.5

)

V

´

=31.5

∠−71.5

´

V

=70.76

∠ 44.95

70.76∗

√

2=99.99 ≅100

´

V

=100 sin(wt +44.93

)

´

V

=100 cos(wt−45.07

)

I(t) + -Vt Z Y Admitancia Impedancia + -V + -V Resumen

Z =R +J X

Y =G−J X

Z =

1

Y

[

Ω

]

ohmios

Z =R−J X

Z =G+J X

Y =

1

Z

[

℧

]

siemens[S]

R=

G

G

+

B

x=

−

B

G

+

B

G=

R

R

+

x

B=

−

X

R

+

x

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

(+) Rreactancia inductiva G= Parte real (reactancia )

(-) Reactancia capacitiva B= Parte imaginaria (subceptancia) (+) Suceptancia capacitiva (BC)

(-) Suceptancia inductiva (BL) Caso 1

I y V están en fase

Caso 2

Θ V I Admitancia Impedancia Z R Y G Caso 3

El fasor intensidad está adelantado un ángulo θ respecto a la V

Caso 1

V =V

∠θI=I ∠θ

Z =

V

∠θ

I

∠θ

=

Z

∠0

=

R

Y =

I

∠θ

V

∠θ

=

y

∠0

=

G

V I Φ θ _G R JXL JBL G R JXC JBC Caso 2 V =V∠Φ

Z =

V

∠Φ

I

∠Φ−θ

=

z

∠θ=R+J X

Y =

I

∠Φ−θ

V

∠Φ

=

y

∠−θ=G−J B

V =V

∠θ

Z =

V

∠θ

I

∠Φ+θ

=

z

∠−θ=R−J X

Y =

I

∠Φ+θ

V

∠θ

=

y

∠θ=G+J B

I=I

∠Φ+θ

Z1 Z2 Θ1 Θ2 Z = Z 1 + Z 2 Circuito serie-paralelo (z) V1=I*Z1 V2=I*Z2 I=I1=I2 ZI=Z1+Z2

Z

=

Z

∗

Z

Z

+

Z

Cirucito serie-paralelo admitancia (y)

Y

=

Y

∗

Y

Y

+

Y

Y1 Y2 Θ1 Θ2 Y= Y1 + Y2

Diagrama de admitancia

Diagrama de voltaje

Hallar la impedancia en el circuito serie Z1=5+8j

Z

=

√

89

∠58

Z

=

V

I

=

50

∠45

25

∠−15

=10+17.3 j

-8 J4 3 10 + -50∟0o -J6 100 V I 18.43o 1 5 .8 2

Encontrar la impedancia equivalente y la intensidad total del circuito, representar el diagrama fasorial V respecto a I, el diagrama fasorial de la intensidad.

Z1=10 Z2=3+j4=5∟53.1o Z3=8-j6

1

Z

=

(

1

10

+

1

3+ j 4

+

1

8− j 6

)

Z

=3+ j

Z

=3.16

∠18.43

V =I Z

I=

V

Z

=

50

∠ 0

3.16

∠18.43

=15.82

∠−18.43

I

=

V

Z

=

50

∠0

10

∠0

I

=

V

Z

=

50

∠0

5

∠53.1

I

=

V

Z

=

50

∠0

10

∠−36.86

I

=5

∠ 0

I

=10

∠−53.1

I

=5

∠36.86

Diagrama fasorial de (V vs I)

5 10 5 15 53.1o 36.86o -18.43o

I 1 I 2 I 3 + -VB Ze Zd Zc Zb Za + -VA

Análisis de circuito

Análisis de corrientes por mallas

 Se eligen lazo cerrados o mallas

 E designan corriente I1, I2, I3,……IN, “corriente cíclica de Maxwell”

 Se establecen ecuaciones según la ley de Kirchhoff por cada rama  Se consideran las variables desconocidas I1, I2, I3,……IN.

Malla I

Z

I

+

Z

₍

I

−

I

₎

=

V

Z

I

+

Z

I

−

Z

I

=

V

I

(

Z

+

Z

)

−

Z

I

=

V

Z

I

+

Z

(

I

+

I

)

+

Z

(

I

−

I

)

=0

Z

I

+

Z

I

+

Z

I

+

Z

I

−

Z

I

=0

I

₍

Z

+

Z

+

Z

₎

+

Z

I

−

Z

I

=0

−

I

Z

+

I

₍

Z

+

Z

+

Z

₎

+

I

Z

=0

I

Z

+

Z

₍

I

+

I

₎

=

V

I

Z

+

Z

I

+

Z

I

=

V

Ze Zc Za

{

I

₍

Z

+

Z

₎

−

Z

I

=

V

−

I

Z

+

I

(

Z

+

Z

+

Z

)

+

I

Z

=0

I

Z

+

I

(

Z

+

Z

)

=

V

|

Z

+

Z

−

Z

0

−

Z

Z

+

Z

+

Z

0

0

0

Z

+

Z

||

I

I

I

|

=

|

V

0

V

|

Sistema de ecuaciones de mallas

Z

I

± Z

I

± Z

I

=

V

± Z

I

+

Z

I

± Z

I

=

V

{

Z

Z

Z

=

Z propia de la mallas

± Z

± Z

± Z

± Z

± Z

± Z

=

copedancia

± Z

I

± Z

I

+

Z

I

=

V

Forma matricial

[

Z

± Z

± Z

± Z

Z

± Z

± Z

± Z

Z

][

I

I

I

]

=

[

V

V

V

]

[

]

[

]

[

]

Método de matrices y determinantes

 Se seleccionan las mallas o ventanas

 Se establece un sentido arbitrario de la intensidad de corriente, en sentido horario o antihorario  Se aplica LKV a cada malla o bucle

|

Z

+

Z

−

Z

0

−

Z

Z

+

Z

+

Z

0

0

0

Z

+

Z

||

I

I

I

|

=

|

V

0

V

|

I 1 _{I 3} I 4 I 2 Zd Zg + -Vg Lx Rx + C +C R En el circuito de 4 mallas encontrar I1, I2, I3 y I4.

Δz=

|

Zg+

1

jwC

+

Rx

−1

jwC

−

Rx 0

−1

jwC

R+

1

jwC

+

1

jwC

0

−1

jwC

−

Rx

0

0

−1

jwC

Rx + jw L

−

jw L

−

jw L

1

jwC

+

jw L

+

Zd

|

|

I

I

I

I

|

=

|

Vg

0

0

0

|

I

=

|

Vg

−1

jwC

−

Rx 0

0

R+

1

jwC

+

1

jwC

0

−1

jwC

0

0

0

−1

jwC

Rx+ jw L

−

jw L

−

jw L

1

jwC

+

jw L

+

Zd

|

Δz

I

=

|

Zg+

1

jwC

+

Rx Vg

−

Rx 0

−1

jwC

0

0

−1

jwC

−

Rx

0

0

0

Rx + jw L

−

jw L

−

jw L

1

jwC

+

jw L

+

Zd

|

Δz

-I 1 I 2 A B C + _J10 J10 + -J4 3 100∟45O I1

I

¿

|

Zg+

1

jwC

+

Rx

−1

jwC

Vg 0

−1

jwC

R +

1

jwC

+

1

jwC

0

−1

jwC

−

Rx

0

0

−1

jwC

0 − jw L

0

1

jwC

+

jw L

+

Zd

|

Δz

Encontrar las tensiones VAB, VBC, I1 y I2 del siguiente circuito.

Δz=

|

3+4 j

−10 j

−10 j 10 j−10 j

|

|

I

I

|

=

|

100

∠ 45

0

|

=

100

I

=−7.07+7.07 j

I

=10

∠135

V

=

Z

(−

I

)

V

=

(

10

∠90

₎

₍

−

(

10

∠135

₎

₎

V

=100

∠45

Impedancia de entrada

 Se considera un circuito de elementos pasivos con 2 terminales.

 La impedancia de entrada Z de un circuito se define como la impedancia en sus terminales de entrada cuando todas sus fuentes de tensión están corto circuito considerando su propia impedancia interna.

Ir + -Vr Circuito pasivo Is I 1 I 2 I 3 4 4 18 5 6 + 50V

I

=

V

(

Δ

Δz

)

+

0

(

Δ

Δz

)

+0

(

Δ

Δz

)

=

V

(

Δ

Δz

)

z

=

V

I

=

Δz

Δ

Impedancia de trasferencia

La impedancia de trasferencia es la relación entre la tensión aplicada en una malla y la intensidad de la corriente que resuelta en otra malla anulando el resto de las fuentes

I

=0

(

Δ

Δz

)

+

… V

(

Δ

Δz

)

+

… 0

(

Δ

Δz

)

=

V

(

Δ

Δz

)

z

=

V

I

=

Δz

Δ

Hallar la impedancia de entrada, vista de poder de la fuente de 50V del circuito de la figura, y la intensidad de corriente I, mediante la impedancia de transferencia encontrar la intensidad de corriente en la malla I3.

∆ z=

|

11 −5

0

−5 27 −4

0

−4

8

|

=2000

Impedancia de entrada Impedancia de transferencia

z=

2000

200

=10 Ω

z

=

Δ z

Δ

=

2000

20

=100 Ω

z=

V

I

=

¿

I

=

V

z

=

50 V

10 Ω

=5 A

z

=

V

I

=

¿

I

=

V

z

=

50 V

100 Ω

=0.5 A

- j 2 - j 2 I 1 I 2 ₅ I 3 3 + 2 j6 + 5 +

-En el circuito de la figura obtener I1 mediante de impedancia de entrada, encontrar I3 mediante la impedancia de

transferencia.

Δ z=

|

8−2 j

−3

0

−3

8+5 j

−5

0

−5

7−2 j

|

=303+88 j=315.52

∠16.2

z=

Δz

Δ

=

315.52

∠16.2

45.18

∠24.86

=

7

∠−8.7

z=

V

I

=

¿

I

=

V

z

=

10

∠30

7

∠−8.7

=1.43

∠38.7

z

=

Δz

Δ

=

315.52

∠16.2

16

=21.03

∠16.2

z

=

V

I

=

¿

I

=

V

z

=

10

∠30

21.03

∠16.2

=0.48

∠13.8

Circuito pasivo

+

-POTENCIA ELÉCTRICA

 En la mayoría de los dispositivos eléctricos uno de los parámetro más importante es la potencia y es importante saber la potencia suministrada por u alternador, la potencia consumida por un motor eléctrico, la potencia emitida por una emisora d radio.

 El producto de la tensión V(t)*I(t) se conoce como potencia instantánea

 La potencia puede ser positiva o negativa según los instante de tiempo que se considere  La potencia es positiva cuando la transferencia de energía de la fuente a la red.

 La potencia es negativa cuando no hay una transferencia de energía de la fuente a la red

P=V(t)*I(t)

Potencia instantánea

Potencia activa

P=V ∗I∗cosθ

P=V ∗i=V

∗

i

P=V ∗i=V

∗

i

(

sin ωt )

(

sin ωt−

π

2

)

sin

(

ωt−

π

2

)

=−cos ωt

sin 2 x=2sin x cos x

p=

−1

P=V ∗i=V

∗

i

(

sin ωt )

(

sin ωt+

π

2

)

P=

1

2

V

∗

i

sin 2 ωt

Si

sin α cos β =

1

₂

[

cos (α−β )−cos (α +β )

]

cos α=cos α

cos θ−cos (2 ωt +θ)

p=

1

2

V

∗

i

¿

p=V

i

cos θ

Potencia aparente

Potencia reactiva (Q) [VAR]

Q=Ve*Ie *sin θ

Q=potencia reactiva [VAR]

Triángulo de potencia Inductivo

Potencia compleja

S

⏟

=

V ±cos θ

_⏟

−

_⏟

jVI sin θ

S=P ± jQ

P activa=VeIecosθ = R*I2=V2r/R=Re [V*I*]

Q reactiva= VeIesinθ=x|I|2= V2x/x=Im[V*I*]

S aparente=V*i=Z |I|2_=V2_/z

F . P=

R

|

Z

|

=

P

|

S

|

F . P∗cos θ=

P

S

 La potencia reactiva Q es positiva cuando la impedancia es inductiva y negativa cuando es capacitiva  La potencia compleja o aparente se la puede representar en forma trigonométrica

Corrección de factor de potencia

En algunas aplicaciones de los circuitos eléctricos, especialmente en los casos de sistemas industriales es necesario hacer correcciones en el factor de potencia

 En el triángulos de factor de potencia vista anteriormente S la potencia aparente es la medida de la carga des sistema de distribución, la p es la potencia activa o real es la medida de la potencia útil

- j 2 I + J6 3 +

-Lo que interesa es que S se aproxime lo más posible a P es decir que el ángulo sea muy pequeño si es posible a 1.

Determinar el triángulo de potencia del circuito en serie, representar gráficamente el triángulo de la potencia.

Z=3+j4 V=50∟-90 V=5∟53.1

I=

V

z

=

50

∠−90

3+ j 4

=10

∠−143.1