1. Los n´ umeros

Funciones y operaciones b´ asicas

1. Los n´ umeros

1.1. N´ umeros naturales

El conjunto de n´umeros m´as sencillo y conocido es el de los n´umeros naturales, que son los n´umeros que se utilizan en la vida diaria para contar.

Definici´on 1. El conjunto de los n´umeros naturales es N = {1, 2, 3, 4, . . .}.

La suma y la multiplicaci´on de n´umeros naturales da como resultado otro n´umero natural.

La propiedad distributiva del producto sobre la suma establece que para multiplicar un n´umero por una suma se puede sumar el resultado de multiplicar el n´umero por cada uno de los sumandos.

Ejemplo 2.

3· (5 + 4 + 1) = (3 · 5) + (3 · 4) + (3 · 1) = 15 + 12 + 3 = 30

Sin embargo, el resultado de restar o dividir dos n´umeros naturales puede que no sea un n´umero natural, como ocurre si queremos restar 4−7 o dividir 2/3. En esos casos el resultado es un n´umero entero y un n´umero racional, respectivamente. Estudiaremos esos n´umeros en secciones posteriores.

Definici´on 3. El factorial de un n´umero natural n es el producto de todos los numeros nat- urales iguales o menores que n y se denota n!. El factorial de 0 es 1, por definici´on.

Ejemplo 4.

5! = 5· 4 · 3 · 2 · 1 = 120, 0! = 1, 7!

3! = 7· 6 · 5 · 4

Definici´on 5. Un n´umero combinatorio ^€_m^nŠ, donde n y m son n´umeros naturales, se define como

n m

!

= n!

m!· (n − m)!

Para poder definir un n´umero combinatorio tiene que ser n ≥ m. El resultado de ^€n_n^Š es siempre 1.

Ejemplo 6.

6 2

!

= 6!

2!· 4! = 6· 5 · 4!

2!· 4| = 6· 5

2! = 15, 6 0

!

= 6!

0!· 6! = 1 0! = 1

6 6

!

= 6!

6!· 0! = 6!

6!· 1 = 1

1.2. N´ umeros enteros

La resta de n´umeros naturales puede producir como resultado un n´umero que no pertenezca a los naturales. Es por ello que se necesita un conjunto de n´umeros m´as grande.

Definici´on 7. El conjunto de los n´umeros enteros es

Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}.

Los n´umeros enteros est´an compuestos por un signo que precede a un n´umero natural. Si el n´umero es negativo el signo es ‘−’ y si el n´umero es positivo el signo es ‘+’ (aunque a veces no se escribe ning´un signo delante de un n´umero positivo). El n´umero 0 se entiende que no tiene ning´un signo, o al contrario, que puede ser positivo y tambi´en negativo.

Definici´on 8. El opuesto de un n´umero entero es el mismo n´umero natural, pero con el signo contrario.

En el conjunto de los n´umeros enteros es posible efectuar cualquier suma o resta. Realizar operaciones con n´umeros enteros negativos requiere en muchas ocasiones el uso de par´entesis para separar los signos de operaci´on.

Ejemplo 9.

3 + 5 + (−6) − 7 + 1 + (−2) + 9 = 3 + 5 − 6 − 7 + 1 − 2 + 9 = 18 − 15 = 3

Nota 10. No es aconsejable prescindir de los par´entesis en el resto de operaciones con n´umeros negativos.

La resta de n´umeros enteros se efect´ua teniendo en cuenta que restar es sumar el opuesto.

Ejemplo 11.

−3 − (−5) = −3 + 5 = 2

La multiplicaci´on y divisi´on de n´umeros enteros se realiza operando co los n´umeros natu- rales y utilizando la regla de los signos: al multiplicar o dividir dos n´umeros del mismo signo, el resultado es un n´umero positivo; mientras que al multiplicar o dividir dos n´umeros de signo opuesto, el resultado es un n´umero negativo.

Ejemplo 12.

3· 5 = 15, (−3) · 5 = −15, 3 · (−5) = −15, (−3) · (−5) = 15.

Ejemplo 13.

6

3 = 2, −6

3 =−2, 6

−3 =−2, −6

−3 = 2.

La potencia de n´umeros enteros se determina teniendo en cuenta la regla de los signos.

Ejemplo 14.

(−3)² = (−3) · (−3) = 9, (−3)³ = (−3) · (−3) · (−3) = −27

Si un par´entesis contiene sumas y restas de n´umeros enteros, entonces los par´entesis se pueden eliminar siguiendo la siguiente regla:

Un par´entesis precedido de un signo + puede eliminarse sin realizar ning´un cambio.

Un par´entesis precedido de un signo− puede eliminarse cambiando los signos de todos los t´erminos de dentro del par´entesis.

Ejemplo 15.

2 + 4− 1 − 7 + (10 − 3 − 5) = 2 + 4 − 1 − 7 + 10 − 3 − 5 = 16 − 16 = 0

Uno de los errores m´as habituales en las operaciones de c´alculo se produce al quitar un par´entesis precedido de un signo menos. Es muy importante recordar que deben cambiarse todos los signos de los t´erminos del interior del par´entesis cuando ´estos realizan una operaci´on de suma o resta, pero no se cambian los signos de los n´umeros que est´an implicados en operaciones de multiplicaci´on o divisi´on. En ese caso, primero hay que resolver el resultado de la multiplicaci´on o divisi´on.

Ejemplo 16.

2 + 4− 1 − 7 − (10 − 3 − 5) = 2 + 4 − 1 − 7 − 10 + 3 + 5 = 14 − 18 = −4 Ejemplo 17.

−7 − [10 − [3 · (−5)]] = −7 − [10 − (−15)] = −7 − (10 + 15) = −7 − 10 − 15 = −32 Nota 18. Observa que cuando hay que escribir varios par´entesis seguidos se suele poner en su lugar un corchete.

1.3. N´ umeros racionales

Definici´on 19. Los n´umeros racionales es el conjunto Q formado por todas las fracciones de n´umeros enteros en los que el denominador es distinto de cero.

Nota 20. Es muy importante observar que una fracci´on en la que el denominador es cero no es un n´umero racional. De hecho, no es ning´un n´umero, simplemente no existe.

Ejemplo 21.

1

0 ̸= 1, 1

0 ̸= 0, ya que 1

0 no existe.

Propiedad 22. Si el numerador y el denominador de una fracci´on se multiplican o dividen por el mismo n´umero (distinto de cero) el n´umero racional es el mismo.

Esta propiedad tiene como consecuencia que en ocasiones la fracciones se pueden simplificar, esto es, dividir el numerador y el denominador por un factor com´un a ambos.

Ejemplo 23.

50

12 = (dividiendo numerador y denominador por 2) = 25 6

Como consecuencia se tiene que cada n´umero racional puede ser escrito de diferentes formas, denominadas fracciones equivalentes. Por ejemplo,

1 2 = 2

4 = 3 6 = 4

8 = −1

−2 = −2

−4 =· · ·

Definici´on 24. Se llama fracci´on irreducible a la expresi´on de un n´umero racional que no es posible simplificar m´as.

Nota 25. Es muy recomendable realizar los c´alculos con n´umeros racionales siempre con su fracci´on irreducible.

Si en una fracci´on se efect´ua la divisi´on del numerador y el denominador se obtiene la expresi´on decimal del n´umero racional. La expresi´on decimal de un n´umero racional o bien tiene un n´umero finito de cifras decimales o bien tiene un n´umero infinito y peri´odico de cifras decimales.

Ejemplo 26.

3

5 = 0.6, 2

3 = 0.^ó6, 3

14 = 3.2^ü142857

Cuando se efect´uan c´alculos con n´umeros racionales es aconsejable no utilizar su expre- si´on decimal ya que aumenta considerablemente la probabilidad de errores en los resultados, especialmente si se han truncado algunas cifras decimales (popularmente conocido como re- dondear) ya que en este caso es seguro que el valor final ser´a inexacto.

Ejemplo 27. Compara la sencillez y los resultados de estas dos operaciones, una realizada con la fracci´on irreducible del n´umero ²/3 y otra con su expresi´on decimal redondeada a la cuarta cifra decimal:

3· 2

3 = 2, 3· 0.^ó6≈ 3 · 0.6667 = 2.0001

A partir de la expresi´on decimal de un n´umero racional siempre es posible obtener la representaci´on en forma de fracci´on del n´umero. El procedimiento es ligeramente diferente seg´un las caracter´ısticas de la expresi´on decimal y se ilustrar´a mediante un ejemplo por cada caso: un n´umero finito de cifras decimales, decimales peri´odicos puros (todos los decimales se repiten) y decimales peri´odicos mixtos (los primeros decimales no se repiten, y los otros s´ı).

Ejemplo 28. Consideremos un n´umero con un n´umero finito de cifras decimales, por ejemplo, a = 1.345.

Para pasarlo a su expresi´on racional, multiplicamos por un 1 seguido de tantos ceros (potencia de 10) como decimales tiene a, y luego pasamos esa potencia de 10 dividiendo. Finalmente, simplificamos la fracci´on, si es posible:

a = 1.345 ⇒ 1000a = 1345 ⇒ a = 1345

1000 = 269 200.

Ejemplo 29. Consideremos un n´umero decimal peri´odico puro, por ejemplo, a = 2.47.^õ Para pasarlo a su expresi´on racional, multiplicamos a por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el periodo, y restamos a; eso hace que al restar, desaparezcan los decimales. Luego calculamos la resta y despejamos a:

a = 2.474747 . . . ⇒ 100a = 247.474747 . . . ⇒ 100a − a = 245 ⇒ a = 245 99 . Ejemplo 30. Consideremos un n´umero decimal peri´odico mixto, por ejemplo, n = 5.961.^õ La forma de proceder es combinar las operaciones de los dos casos anteriores. Primero se procede para eliminar el decimal que hay fuera del periodo, y despu´es se procede como en el caso de decimales peri´odicos puros:

10a = 59.616161 . . . ⇒ 1000a = 5961.616161 . . . ⇒ 1000a − 10a = 5902 ⇒ a = 5902 990 .

1.4. Operaciones con fracciones

Propiedad 31. La suma o resta de fracciones del mismo denominador se realiza sumando o restando los numeradores y manteniendo el mismo denominador.

Ejemplo 32.

3 7 +2

7 −9

7 = 3 + 2− 9

7 = −4

7 = (se aconseja escribir del modo siguiente) =−4 7

Definici´on 33. Reducir fracciones a com´un denominador consiste en sustituir todas las frac- ciones por otras equivalente de modo que todas las fracciones resultantes tengan el mismo denominador.

Propiedad 34. Para sumar o restar fracciones de diferente denominador se reducen a com´un denominador y despu´es se suman o restan los numeradores manteniendo el mismo denomi- nador.

Nota 35. Al reducir fracciones a com´un denominador se aconseja que el denominador com´un sea el m´ınimo com´un m´ultiplo de los denominadores.

Ejemplo 36.

3 7 +2

5 − 3 = 15 35+ 14

35− 105

35 = −76

35 =−76 35

Propiedad 37. La multiplicaci´on de fracciones se efect´ua multiplicando los numeradores y los denominadores de las fracciones.

Ejemplo 38.

3 7 · 2

5· (−3) = 3· 2 · (−3)

7· 5 · 1 = −18

35 =−18 35

Nota 39. La multiplicaci´on de fracciones se realiza del mismo modo tanto si los denomi- nadores son iguales como diferentes. Por ejemplo,

2 3 ·7

3 = 2· 7 3· 3 = 14

9

Propiedad 40. El inverso de un n´umero racional es la fracci´on del mismo signo que se obtiene al intercambiar el numerador y el denominador.

Ejemplo 41. El inverso de la fracci´on ⁻³₅ es ₋₃⁵ ya que ⁻³₅ · ₋₃⁵ = ⁻¹⁵₋₁₅ = 1. El inverso de ¹₅ es 5, el inverso de 2 es ¹₂ y el inverso de −3 es −¹₃.

Propiedad 42. La divisi´on de dos fracciones se efect´ua multiplicando la primera fracci´on por la inversa de la segunda fracci´on.

Ejemplo 43.

3/7 2/5 = 3

7 · 5 2 = 15

14,

3/7

−5 = 3 7· 1

−5 = 3

−35

1.5. N´ umeros reales

Existen n´umeros con infinitas cifras decimales no peri´odicas como√

2, π ´o e. Estos n´umeros se denominan n´umeros irracionales y no son n´umeros racionales.

Definici´on 44. Los n´umeros reales es el conjunto IR formado por todos los n´umeros racionales y todos los n´umeros irracionales.

En el conjunto de los n´umeros reales es habitual la utilizaci´on de intervalos para referirse a subconjuntos de IR. Un intervalo es el conjunto de n´umeros de IR situados entre el extremo inferior y el extremo superior. El que los extremos pertenezcan o no al intervalo depende del s´ımbolo utilizado para representar el intervalo: un par´entesis significa que el extremo no est´a incluido y un corchete que s´ı lo est´a.

Ejemplo 45.

[3, 5] es el intervalo formado por todos los n´umeros reales entre 3 y 5 incluyendo tanto al 3 como al 5. Por ejemplo, π pertenece al intervalo pero 2.^ó9 no pertenece.

(3, 5] es el intervalo formado por todos los n´umeros reales entre 3 y 5 incluyendo al 5 pero no al 3.

[3, 5) es el intervalo formado por todos los n´umeros reales entre 3 y 5 incluyendo al 3 pero no al 5.

(3, 5) es el intervalo formado por todos los n´umeros reales entre 3 y 5 sin incluir ni al 3 ni al 5.

[3, +∞) es el intervalo formado por todos los n´umeros reales mayores o iguales que 3 (incluyendo al 3).

(3, +∞) es el intervalo formado por todos los n´umeros reales mayores que 3 (sin incluir al 3).

(−∞, 5] es el intervalo formado por todos los n´umeros reales menores o iguales que 5 (incluyendo al 5).

(−∞, 5) es el intervalo formado por todos los n´umeros reales menores que 5 (sin incluir al 5).

2. Operaciones b´ asicas

2.1. Potencias y radicales

Una potencia se denota con dos n´umeros: un valor real que se escribe abajo, la base, y un n´umero racional que se escribe encima de la base, el exponente. Por ejemplo, en la potencia

2⁴ el n´umero 2 es la base y el 4 el exponente.

Definici´on 46. Una potencia en la que el exponente es un n´umero natural consiste en la multiplicaci´on de la base tantas veces como indica el exponente.

Nota 47. Es obvio que si la base es cero el resultado de la potencia es cero. Por ello s´olo se consideran potencias en las que la base es un n´umero distinto de cero.

Nota 48. Cualquier potencia de exponente cero es igual a 1.

Ejemplo 49.

2⁴ = 2· 2 · 2 · 2 = 8, (−5)³ = (−5) · (−5) · (−5) = −125, ^2 3

2

= 2 3· 2

3 = 4 9,

−3 5

0

= 1 Propiedad 50. La potencia de una multiplicaci´on o de una divisi´on es el producto o la divisi´on de las potencias de los factores.

Ejemplo 51.

(2· 3)⁴ = 2⁴· 3⁴,

2 3

2

= 2² 3²,



(−5) ·3 7

3

= (−5)³·^3 7

3

= (−5)³· 3³ 7³

Propiedad 52. El producto de potencias de la misma base es una potencia de la misma base y la suma de los exponentes. La divisi´on de potencias de la misma base es una potencia de la misma base y la resta de los exponentes.

Propiedad 53. El resultado de una potencia elevada a otra potencia es la base elevada al producto de los exponentes.

Ejemplo 54.

2 3

5

·^2 3

3

=

2 3

8

= 2⁸

3⁸, (−5)⁵

(−5)³ = (−5)², (2²)³ 2 = 2⁶

2 = 2⁵

Nota 55. No existen propiedades similares para la suma o la resta de potencias de la misma base. Por ejemplo, 2²+ 3² = 4 + 9 = 13̸= (2 + 3)².

Propiedad 56. Una potencia en la que el exponente es un n´umero entero negativo es igual a la potencia cuya base es la inversa de la original y el exponente es el mismo cambiado de signo.

Ejemplo 57.

3 2

₋₅

=

2 3

5

= 2⁵

3⁵, 5⁻⁷ =

1 5

7

= 1

5⁷, (−2)⁻⁷ =

 1

−2

7

= 1

(−2)⁷ =− 1 2⁷

Definici´on 58. La ra´ız en´esima de un n´umero real x es el n´umero real que al elevarlo a n da como resultado x, es decir, √ⁿ

x = r ⇔ rⁿ = x.

Nota 59. Una ra´ız puede no existir, por ejemplo, √

−4, tener un ´unico valor real √³

8 = 2 o tomar dos valores reales √

9 = ±3.

Propiedad 60. La ra´ız de un producto o una divisi´on es el producto o la divisi´on de las ra´ıces.

Ejemplo 61.

5

Ê

7· 2 3 =√⁵

7·

√5

2

√5

3,

√12

√3 =

Ê12 3 =√

4 =±2

Nota 62. La ra´ız de una suma o una resta no es la suma o la resta de las ra´ıces. Por ejemplo

√4 + 4 =√ 8̸=√

4 +√ 4 = 2 .

Propiedad 63. La potencia de una ra´ız es igual a la ra´ız en la que el radicando est´a elevado a dicha potencia.

Ejemplo 64.

€√₇

3^Š4 = √⁷

3⁴, ^€√

2^Š2 =√

2² =±2, ^€√

2^Š−2 =√ 2⁻² =

Ê1 2² =

√1

√2² =±1 2 Ejemplo 65. Las ra´ıces se pueden simplificar descomponiendo el radicando en factores primos y separando productos de potencias del ´ındice:

√3

18000 =√³

2⁴· 3²· 5³ =√³ 2³·√³

2·√³ 3² ·√³

5³ = 2·√³ 2·√³

3²· 5 = 10 ·√³

2· 3² = 10√³ 18.

√4

2¹⁴· 5⁹ =√⁴

2¹²·√⁴ 2² ·√⁴

5⁸·√⁴

5 = ^√⁴

2^43·^√⁴

5^42·√⁴

2²· 5 = 2³ · 5²·√⁴

2²· 5 = 200√⁴ 20 Propiedad 66. La multiplicaci´on o divisi´on de potencias de diferente ´ındice se realiza re- duciendo todas las ra´ıces a ´ındice com´un.

Ejemplo 67.

√3

2·√⁵ 5·√⁶

2 = ³⁰√

2¹⁰· ³⁰√ 5⁶· ³⁰√

2⁵ = ³⁰√

2¹⁰· 5⁶· 2⁵ = ³⁰√ 2¹⁵· 5⁶

Propiedad 68. Una potencia en la que el exponente es un n´umero fraccionario es igual a una ra´ız en la que el ´ındice es el denominador y el exponente del radicando es el numerador.

Ejemplo 69.

√2 = 2¹², 2³⁵ =√⁵ 2³,

3 5

₋⁴₃

=

5 3

⁴₃

= ³

s5 3

4

= ³

s

5⁴ 3⁴

2.2. Racionalizaci´ on

Cuando una fracci´on contiene una ra´ız en el denominador es conveniente obtener una fracci´on equivalente en la que no haya ra´ıces en el denominador. Este proceso se denomina racionalizaci´on.

La situaci´on m´as habitual es cuando en el denominador de la fracci´on aparece una ´unica ra´ız. En este caso se debe multiplicar numerador y denominador por el factor adecuado que permita la cancelaci´on de la ra´ız.

Ejemplo 70.

3 2√

2 = 3·√ 2 2√

2·√

2 = 3√ 2 2^€√

2^Š2

= 3√ 2

2· 2 = 3√ 2 4 Ejemplo 71.

15 4√³

5 = 15·√³ 5² 4√³

5·√³

5² = 15·√³ 5² 4^€√³

5^Š3

= 15·√³ 5²

4· 5 = 3√³ 5² 4

Tambi´en es frecuente encontrar en el denominador de una fracci´on una suma o resta de ra´ıces cuadradas. La racionalizaci´on se consigue en este caso multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Ejemplo 72.

√ 1 2−√

5 = 1·^€√ 2 +√

5^Š

€√ 2−√

5^Š·^€√ 2 +√

5^Š =

√2 +√

€√ 5

2^Š2 −^€√ 5^Š2

=

√2 +√ 5 2− 5 =−

√2 +√ 5 3 Ejemplo 73.

√3 4√

5 + 3√ 6 =

√3·^€4√

5 + 3√ 6^Š

€4√

5− 3√

6^Š·^€4√

5 + 3√

6^Š = 4√

15 + 3√

€ 18 4√

5^Š2 +^€3√ 6^Š2

= 4√

15 + 9√ 2

16· 5 + 9 · 6 = 4√

15 + 9√ 2 134

2.3. El orden de las operaciones

Cuando en un c´alculo se combinan una o m´as operaciones diferentes es importante seguir el orden adecuado al realizar las operaciones ya que de otro modo se podr´ıan obtener resultados incorrectos.

Ejemplo 74. Si en la expresi´on 1− 2² se realiza en primer lugar la resta se obtiene (−1)² = 1 y si se efect´ua primero la potencia se obtiene 1− 4 = −3.

La primera norma que se debe tener en cuenta es que los par´entesis siempre tienen prior- idad: las operaciones agrupadas en un par´entesis o corchete deben realizarse en primer lugar.

El resto de prioridades se puede establecer con la regla nemot´ecnica del grado de dificultad, que se basa en clasificar las operaciones en cuatro niveles:

Nivel 1. Sumas y restas

Nivel 2. Multiplicaciones y divisiones Nivel 3. Potencias y ra´ıces

Nivel 4. Funciones

y efectuar las operaciones de mayor a menor nivel. En caso de que haya operaciones del mismo nivel, ´estas se realizan de izquierda a derecha.

Ejemplo 75.

1− 2² = 1− 4 = −3, −2² =−4, (−2)² = 4

2.4. Logaritmos

Definici´on 76. El logaritmo en base a > 0 de un n´umero x es el exponente al que se debe elevar la base a para que el resultado sea x, es decir,

log_ax = L ⇔ a^L= x Ejemplo 77.

log₂8 = 3 porque 2³ = 8, log₂ 1

8 =−3 porque 2⁻³ = 1

8, log₂^€2√

2^Š= 3

2 porque 2³² = 2√ 2

De la definici´on de logaritmo se deduce que en cualquier base el logaritmo de 1 siempre es cero, que el logaritmo de la base elevada a alg´un exponente es dicho exponente. Adem´as, dado que la base es positiva, a > 0, el logaritmo de 0 o de un n´umero negativo no existe.

Ejemplo 78.

log 1 = 0, log₅5 = 1, log₅^€5^3Š= 3, log₂(−3) no existe

Los logaritmos son las funciones inversas a las exponenciales, esto es, al c´alculo del expo- nente de una potencia. Es por ello que en determinados casos se dice que la exponencial y el logaritmo se cancelan.

Ejemplo 79.

2^log25 = 5, log₂^€2^5Š= 5, e^logex = x, log_e(e^x) = x

Aunque la base de un logaritmo puede ser cualquier valor a > 0, las m´as habituales son los logaritmos de base 10, denominados logaritmos decimales y los logaritmos de base el n´umero e, llamados logaritmos neperianos. En Matem´aticas pr´acticamente los ´unicos logaritmos que se utilizan son los neperianos, de modo que ´estos se denotar´an por ‘log’ o ‘ln’ en lugar de ‘log_e’.¹

1El n´umero e debe su nombre a un matem´atico del siglo XVIII llamado Euler. Es un n´umero irracional, es decir, tiene infinitas cifras decimales (no peri´odicas) e = 2, 718281828459.... Este n´umero se utiliza para calcular por ejemplo c´omo aumentar´ıa un capital colocado a inter´es compuesto si el inter´es se acumulara a cada momento al capital, o crecimientos de poblaci´on. Puedes estudiar la historia del n´umero e en vviana.es/doc/El Numero e.pdf o http://www.astroseti.org/articulo/3490/.

En cualquier caso, la propiedad siguiente permite calcular un logaritmo a trav´es de loga- ritmos en otras bases.

log_ax = log_bx log_ba

lo que puede resultar muy ´util, por ejemplo, si s´olo disponemos de una calculadora que permita hallar logaritmos decimales y neperianos.

Ejemplo 80.

log₂5 = ln 5

ln 2, ln 5 = log₁₀5 log₁₀e

Propiedad 81. Se verifican las igualdades siguientes para cualquier a, x, y > 0.

1. log_a(x· y) = logax + log_ay 2. log_a^x_y^= log_ax− logay 3. log_a(x^y) = y· logax 4. log_a(√^y

x) = ^log_y^ax

Ejemplo 82. Sabiendo que log₁₀2≈ 0.3, vamos a calcular log10

√20 2



.

log₁₀

‚20

√2

Œ

= log₁₀20− log10

€√ 2^Š

= log₁₀(2· 10) − log10

€2^1/2Š

= log₁₀(2) + log₁₀(10)−1

2log₁₀2

≈ 0.3 + 1 − 0.15 = 1.15 Ejemplo 83.

2

3log 8− log^€4²− 2^3Š= log

√3

8²

− log (16 − 8)

= log 4− log 8

= log

4 8



= log

1 2



= log 1− log 2

=− log 2

1. 1

1

I¡

2 1

)

1 3 ^{.3 1.}

1 ^{Lt G 4 1}

1

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