IES ALPAJ ´ES
1 de octubre de 2012
Andr´es D´ıaz Jim´enez (IES ALPAJ´ES) Matrices 1 de octubre de 2012 1 / 29
1.- Determinante de orden 1.
A = (a 11 )
|A| = a 11
Ejemplo
A = (−5) |A| = −5 2.- Determinante de orden 2.
A = a 11 a 12
a 21 a 22
|A| =
a 11 a 12
a 21 a 22
= a 11 a 22 − a 12 a 21
Ejemplo
3 5
−2 4
= 3 · 4 − 5 · (−2) = 12 + 10 = 22
3.- Determinantes de orden 3. Para desarrollar un determinante de orden utilizaremos la regla de Sarrus.
b b
b b b
b b bb b b
b b b
b b bb
2 3 −1 4 5 −2
−5 3 1
= 2 · 5 · 1 + 4 · 3 · (−1) + 3 · (−2) · (−5) − (−1) · 5 · (−5) − 4 · 3 · 1 − (−2) · 3 · 2 10 − 12 + 30 − 25 − 12 + 12 = 52 − 49 = 3
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Determinante de una matriz cuadrada.
El determinante de una matriz cuadrada de orden n es una suma de n!
sumandos, cada uno de ellos formado por n factores con un solo elemento
de cada fila y un solo elemento de cada columna.
1.- El determinante de una matriz cuadrada es igual que el determinante de sus traspuesta:
|A| = |A t | Ejemplo
A =
1 −1 2 3 1 4 0 −2 5
A t =
1 3 0
−1 1 −2 2 4 5
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1.- El determinante de una matriz cuadrada es igual que el determinante de sus traspuesta:
|A| = |A t | Ejemplo
A =
1 −1 2 3 1 4 0 −2 5
A t =
1 3 0
−1 1 −2 2 4 5
|A| = 1 · 1 · 5 + 3 · (−2) · 2 + (−1) · 4 · 0 − 0 · 1 · 2 − (−2) · 4 · 1 − 3 · (−1) · 5
|A| = 5 − 12 + 8 + 15 = 28 − 12 = 16
|A t | = 1 · 1 · 5 + (−1) · 4 · 0 + 3 · (−2) · 2 − 0 · 1 · 2 − (−2) · 4 · 1 − 3 · (−1) · 5
|A t | = 5 − 12 + 8 + 15 = 28 − 12 = 16
2.- Al intercambiar dos l´ıneas paralelas (filas o columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo.
A =
2 3 −1 0 5 3
−2 1 4
B =
2 −1 3 0 3 5
−2 4 1
La matriz B se obtiene permutando en la matriz A la segunda columna con la tercera.
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2.- Al intercambiar dos l´ıneas paralelas (filas o columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo.
A =
2 3 −1 0 5 3
−2 1 4
B =
2 −1 3 0 3 5
−2 4 1
La matriz B se obtiene permutando en la matriz A la segunda columna con la tercera.
|A| = 2 · 5 · 4 + 0 · 1 · (−1) + 3 · 3 · (−2) − (−1) · 5 · (−2) − 3 · 1 · 2 − 3 · 0 · 4 =
40 − 18 − 10 − 6 = 40 − 34 = 6
|B| = 2 · 3 · 1 + 0 · 4 · 3 + (−1) · 5 · (−2) − 3 · 3 · (−2) − 4 · 5 · 2 − (−1) · 0 · 1
|B| = 6 − 0 + 10 + 18 − 40 + 0 = 34 − 40 = −6
3.- Si multiplicamos todos los elementos de una fila (columna) por una constante λ el determinante queda multiplicado por λ ∈ R.
Ejemplo:
|A| =
5 −2 3 −1
= 5(−1) − 3(−2) = −5 + 6 = 1 Multiplicamos por 2 la ´ ultima columna
5 −4 3 −2
= 5(−2) − 3(−4) = −10 + 12 = 2 Ampliando esta propiedad se obtiene que si A ∈ M n |λA| = λ n |A|
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4.- Si una matriz tiene dos l´ıneas paralelas iguales (filas o columnas), entonces su determinante vale 0.
Ejemplo
|A| =
5 1 5 3 2 3
−1 0 −1
Si permutamos la columna C 1 con la columna C 3 El determinante no cambia por tanto
|A| = −|A| = 0
5.- Si un determinante tiene dos filas paralelas (columnas o filas) proporcionales el determinante vale 0.
−1 2 5 4 3 −7
−3 6 15
La fila F 1 es proporcional a la F 3 concretamente F 1 = 3 · F 3 , por tanto.
−1 2 5 4 3 −7
−3 6 15
= 3 ·
−1 2 5 4 3 −7
−1 2 5
= 3 · 0 = 0
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6.- Si todos los elementos de una fila (fila o columna) de un determinante son 0 el determinante vale
0.
−2 5 1 0 0 0 3 4 7
= −2 · 0 · 7 + 0 · 4 · 1 + 5 · 0 · 3 − 1 · 0 · 3 − 4 · 0 · (−2) − 5 · 0 · 7 = 0
7.- Si todos los elementos de una fila (fila o columna) de un determinante se pueden escribir como suma de dos sumandos, el determinante es igual a la suma de dos determinantes.
|A| =
1 −1 2 + 1 3 1 3 + 2 0 2 −4 + 1
=
1 −1 2
3 1 3
0 2 −4
+
1 −1 1 3 1 2 0 2 1
= −10 + 6 = −4
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7.- Si todos los elementos de una fila (fila o columna) de un determinante se pueden escribir como suma de dos sumandos, el determinante es igual a la suma de dos determinantes.
|A| =
1 −1 2 + 1 3 1 3 + 2 0 2 −4 + 1
=
1 −1 2
3 1 3
0 2 −4
+
1 −1 1 3 1 2 0 2 1
= −10 + 6 = −4
1 −1 2 + 1 3 1 3 + 2 0 2 −4 + 1
=
1 −1 3
3 1 5
0 2 −3
= 1 ·1 ·(−3) + (−1) ·5 ·0 + 3 ·2 ·3− 3·1 ·0− 1 ·2·5 −(−1)·3·(−3)
|A| = −3 − 0 + 18 − 0 − 10 − 9 = 18 − 22 = −4
1 −1 2
3 1 3
0 2 −4
= 1 · 1 · (−4) + 3 · 2 · 2 + (−1) · 3 · 0 − 2 · 1 · 0 − 3 · 2 · 1 − 3 · (−1) · (−4)
= −4 + 12 − 0 − 0 − 6 − 12 = −10
1 −1 1 3 1 2 0 2 1
= 1 · 1 · 1 + 3 · 2 · 1 + (−1) · 2 · 0 − 1 · 1 · 0 − 2 · 2 · 1 − 3 · (−1) · 1
= 1 + 6 − 0 − 0 − 4 + 3 = 6
8.- En un determinante si una l´ınea (fila o columna) es combinaci´on lineal de dos o m´as l´ıneas paralelas a ella, entonces el determinante es igual a 0.
|A| =
−2 3 5 4 1 −3 0 7 7
= −2 · 1 · 7 + 4 · 7 · 5 + 3 · (−3) · 0 − 5 · 1 · 0 − 3 · 4 · 7 − 7 · (−3) · (−2) =
= −14 + 140 + 0 − 0 − 84 − 42 = 140 − 140 = 0 La fila F 3 es combinaci´on lineal de la primera y la segunda F 3 = 2F 1 + F 2
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8.- El determinante de una matriz cuadrada no cambia si se le suma a una l´ınea una combinaci´on lineal de otras l´ıneas paralelas a ella.
|A| =
5 1 −3 0 −1 3 3 −2 7
= 5 · (−1) · 7 + 1 · 3 · 3 + 0 · (−2) · (−3) − (−3)(−1)3 − 5(−2)3 − 0 · 1 · 7
= −35 + 9 − 9 + 30 = −44 + 39 = −5
Vamos sumar a la F 3 una combinaci´on lineal de las otras dos filas F 3 + F 1 + F 2
5 1 −3 0 −1 3 8 −2 7
= 5 · (−1) · 7 + 1 · 3 · 8 + 0 · (−2) · (−3) − (−3)(−1)8 − 5(−2)3 − 0 · 1 · 7
= −35 + 24 − 24 − 30 = −5
9.- el determinante de un producto de matrices es igual al producto de determinantes.
|A · B| = |A| · |B|
Ejemplo:
A = −1 3 0 7
, B =
0 5
−1 3
|A| =
−1 3 0 7
= −7; |B| =
0 5
−1 3
= 5 A · B = −1 3
0 7
·
0 5
−1 3
= −3 4
−7 21
|A · B| =
−3 4
−7 21
= −63 + 28 = −35
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Menor complementario
Sea A ∈ M n una matriz cuadrada de orden n, llamamos menor complementario del elemento a ij y lo representamos por α ij al determinante de orden n − 1 de la matriz cuadrada que se obtiene al
suprimir la fila i y la columna j Ejemplo
A =
−1 2 0
7 −9 2 0 1 −4
Menor complementario
Sea A ∈ M n una matriz cuadrada de orden n, llamamos menor complementario del elemento a ij y lo representamos por α ij al determinante de orden n − 1 de la matriz cuadrada que se obtiene al
suprimir la fila i y la columna j Ejemplo
A =
−1 2 0
7 −9 2 0 1 −4
α 11 =
−9 2
1 −4
= 34 α 12 =
7 2
0 −4
= −28 α 13 =
7 −9
0 1
= 7
α 21 =
2 0
1 −4
= −8 α 22 =
−1 0
0 −4
= 4 α 23 =
−1 2 0 1
= −1
α 31 =
2 0
−9 2
= 4 α 32 =
−1 0 7 2
= −2 α 33 =
−1 2
7 −9
= −5
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Adjunto de un elemento a
ijDada una matriz A ∈ M n cuadrada de orden n llamamos adjunto de un elemento a ij al valor A ij = (−1) i+j · α ij
Ejemplo: Dada la matriz
|A| =
1 2 3
−1 0 3 5 −6 0
Calcular los adjuntos:
Adjunto de un elemento a
ijDada una matriz A ∈ M n cuadrada de orden n llamamos adjunto de un elemento a ij al valor A ij = (−1) i+j · α ij
Ejemplo: Dada la matriz
|A| =
1 2 3
−1 0 3 5 −6 0
Calcular los adjuntos:
A 11 = (−1) 1+1
0 3
−6 0
= 18 A 12 = (−1) 1+2
−1 3 5 0
= 15 A 13 = (−1) 1+3
−1 0
5 −6 = 6 A 21 = (−1) 2+1
2 3
−6 0
= −18 A 22 = (−1) 2+2
1 5 3 0
= −15 A 23 = (−1) 2+3
1 2
5 −6 = 16 A 31 = (−1) 3+1
2 3 0 3
= 6 A 32 = (−1) 3+2
1 3
−1 3
= −6 A 33 = (−1) 3+3
1 2
−1 0
= 2
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Desarrollo de un determinante por adjuntos
El valor de un determinante de una matriz cuadrada A ∈ M n es igual a la suma de los productos de los elementos de una l´ınea cualquiera (filas o columnas) por sus adjuntos respectivos.
Ejemplo
−3 2 −1 0 1 5 4 0 −2
= (−3)1(−2) + 0 · 0 · (−1) + 2 · 5 · 4 − (−1)1 · 4 − 2 · 0(−2) − 5 · 0(−3)
6 + 40 + 4 = 50
Ahora por sus adjuntos elegimos una l´ınea (fila o columna) por ejemplo la primera:
−3 2 −1 0 1 5 4 0 −2
= −3 ·
1 5 0 −2
− 2 ·
0 5 4 −2
+ (−1)
0 1 4 0
−3(−2) − 2(−20) − (−4) = 6 + 40 + 4 = 50
Matriz adjunta
Llamamos matriz adjunta y la denotamos por A ∗ a la matriz formada por los adjuntos de los elementos.
Ejemplo:
A =
−2 1 0
3 2 −1 2 −1 2
A ∗ =
2 −1
−1 2
−
3 −1
2 2
3 2
2 −1
−
1 0
−1 2
−2 0 2 2
−
−2 1
2 −1
1 0
2 −1
−
−2 0
3 −1
−2 1 3 2
=
3 −8 −7
−2 −4 0
−1 −2 −7
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Matriz adjunta.Propiedad
El producto de una matriz cuadrada por la traspuesta de su adjunta es igual a una matriz diagonal que tiene todos los elementos iguales |A|.
A · (A ∗ ) t = (A ∗ ) t · A =
|A| 0 0 · · · 0 0 |A| 0 · · · 0 ... ... ... · · · ...
0 0 0 · · · |A|
Ejemplo: A =
−2 1 0
3 2 −1 2 −1 2
y A ∗ =
3 −8 −7
−2 −4 0
−1 −2 −7
(A ∗ ) t =
3 −2 −1
−8 −4 −2
−7 0 −7
A · (A ∗ ) t =
−2 1 0
3 2 −1 2 −1 2
·
3 −2 −1
−8 −4 −2
−7 0 −7
=
−14 0 0
0 −14 0
0 0 −14
Matriz adjunta.Propiedad
Dada una matriz A ∈ M n llamamos inversa la matriz A y la denotamos por A −1 , a la matriz que cumple que:
A −1 · A = A · A −1 = I Ejemplo
A = 3 −1 2 −1
!
A −1 = 1 −1 2 −3
!
3 −1 2 −1
! 1 −1 2 −3
!
= 1 0 0 1
!
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C´alculo de la matriz inversa.
A −1 = 1
|A| (A ∗ ) t
A =
1 −1 0 2 1 −1
0 2 3
1.- Calculamos |A|
|A| =
1 −1 0 2 1 −1
0 2 3
= 11
2.- Calculamos A ∗
A ∗ =
1 −1
2 3
−
2 −1
0 3
2 1 0 2
−
−1 0 2 3
1 0 0 3
−
1 −1
0 2
−1 0
1 −1
−
1 0
2 −1
1 −1
2 1
=
5 −6 4 3 3 −2
1 1 3
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Ejemplo Calcular la matriz inversa de
A =
1 −1 0 2 1 −1
0 2 3
A ∗ =
5 −6 4 3 3 −2
1 1 3
3.- Calculamos (A ∗ ) t
(A ∗ ) t =
5 3 1
−6 3 1 4 −2 3
4.- Escribimos las matriz inversa:
A −1 = 1 11
5 3 1
−6 3 1 4 −2 3
Propiedades de la matriz inversa
1
la matriz A ∈ M n tiene inversa si y s´olo si |A| 6= 0. A las matrices invertibles, |A| 6= 0 se las llama regulares. A las matrices que no son invertibles, |A| = 0, singulares.
2
La inversa del producto
(A · B) −1 = B −1 · A −1
3
La matriz inversa de A ∈ M n , si existe, es ´ unica.
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Rango de una matriz
Dada una matriz A ∈ Mm × n llamamos rango de la matriz A y lo denotamos por rg(A) al n´ umero de filas (columnas) linealmente independiente.
Ejemplo:
A = −1 5 20 2 −3 0
rg(A) = 2
B = 2 −3 12 4 6 24
La fila F 2 es el doble de la fila F 1 , por tanto, F 1 , F 2 forman un conjunto de filas linealmente
dependiente y el rg(B) = 1
Rango de una matriz
El rango de una matriz A ∈ M m×n es igual al orden del mayor menor no nulo.
Ejemplo:
A = −1 5 20 2 −3 0
El rango de la matriz A es 2 rg(A) = 2 por que
−1 5
2 −3
= 3 − 10 = −7 6= 0
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Calcular el rango de la matriz:
A =
2 1 3 −1
0 2 −1 −2
2 3 2 −3
2 −3 5 3
1.- Buscamos un menor de orden 2 distinto de 0
2 1 0 2
= 4 6= 0 Las 2 primeras filas son linealmente independientes
2.- Pasamos a la siguiente fila y “orlamos” el menor anterior sucesivamente con las columnas que contengan los elementos de esa fila.
2 1 3 0 2 −1 2 3 2
= 0
2 1 −1 0 2 −2 2 3 −3
= 0
Los dos menores de orden 3 son iguales a 0, por tanto, las fila F 3 se puede escribir como
combinaci´on lineal de F 2 y F 3 concretamente F 3 = F 1 + F 2 . Son linealmente dependientes.
Calcular el rango de la matriz:
A =
2 1 3 −1
0 2 −1 −2
2 3 2 −3
2 −3 5 3
3.- Hacemos el mismo proceso con la cuarta fila F 4 .
2 1 −3 0 2 −1 2 −3 5
=
2 1 −3 0 2 −1 0 −4 8
= 2 ·
2 −1
−4 8
= 2(16 − 4) = 24 6= 0
El rg(A) = 3
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