Ejercicios de movimiento armónico simple

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Ejercicios de movimiento armónico simple

Deduce la ecuación del movimiento para una partícula que describe un movimiento armónico simple si su período es de 1,2s y sabemos que en el instante inicial su velocidad es nula y su posición está a 10cm de la posición de equilibrio. b) Comprueba que cuando su desplazamiento es máximo su velocidad es nula y cuando su desplazamiento es nulo su velocidad es máxima.

Solución:

Parece un ejercicio complicado, sobre todo porque nos dan sólo dos datos:

T = 1,2s A = 0,10m

(Sabemos que el dato de posición incial corresponde a la amplitud porque nos dice que su velocidad inicial es nula. Piensa en un muelle: no puede ser un punto intermedio, porque entonces el muelle tendría una velocidad en uno u otro sentido).

Partimos de la ecuación básica del MAS:

x = Acos (ωt + φ

0

) Sabemos la amplitud:

x = 0,1cos (ωt + φ

0

)

Como sabemos que la posición x vale 0,1 en el instante inicial (t=0), podemos calcular cuánto vale la fase inicial:

0,1 = 0,1cos (ω·0 + φ

0

) 1 = cos (φ

0

)

φ

0

= 0

Nos falta calcular la velocidad angular. Pero no es complicado si recordamos que a partir del período podemos calcular la frecuencia y/o la velocidad angular:

T = 1/f ω = 2πf ω = 2π/T

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Manejando estas tres fórmulas podemos deducir muchas variables a partir de una sola. Para lo que ahora nos interesa, usaremos la tercera.

ω = 2π/T ω = 2π/1,2 ω = 5,23 rad/s

La ecuación se nos queda así:

x = 0,1cos (5,23t)

b) Esta es la parte más fácil del problema, siempre y cuando la primera esté bien hecha. Un buen consejo: en problemas de este tipo, en el que para responder a segundos apartados debes responder bien el primero, merece la pena que pierdas un minuto repasando los cálculos.

Conociendo la ecuación de la posición, podemos deducir rápidamente la de la velocidad:

x = Acos (ωt + φ

0

) → v = - ωAsen (ωt + φ

0

) v = - 5,23·0,1sen (5,23t)

v = -0,523sen(5,23t)

(recuerda que, como ocurre con los movimientos lineales, la velocidad es la derivada de la posición, y la aceleración la derivada de la velocidad).

Vamos ahora a demostrar matemáticamente lo que piden que demostremos:

- Que cuando su desplazamiento es máximo su velocidad es nula.

- Que cuando su desplazamiento es nulo su velocidad es máxima.

Lo primero es muy fácil, si recordamos que según el enunciado el desplazamiento es máximo cuando el tiempo vale 0:

v = -0,523sen(5,23·0) v = -0,523sen(0)

v = 0m/s

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Lo segundo requiere un paso más, pero tampoco es para llevarse las manos a la cabeza. Si el desplazamiento es nulo, x=0:

0 = 0,1cos (5,23t)

Para que la expresión se cumpla, cos(5,23t) tiene que valer cero. El coseno sólo vale cero en dos ángulos: π/2 rad y 3π/2 rad.

cos (5,23t) = 0 5,23t = π/2 → t = 0,3s 5,23t = 3π/2 → t = 0,9s

Nos vamos ahora a la ecuación de la velocidad. La velocidad es máxima cuando sen(2,53t) = +1 (el valor máximo para el seno o el coseno). Comprobamos con los valores que hemos calculado antes.

Recuerda, por favor, que estamos trabajando EN RADIANES:

sen (5,23·0,3) = sen (1,569) = 0,9999 sen (5,23·0,9) = sen (4,707) = -0,9999

Es una aproximación razonable, teniendo en cuenta que se han perdido unos decimales por el camino.

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