"UNA ADECUACIÓN CURRICULAR PARA LAS FUNCIONES GENERALIZADAS"

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UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZAN

VICE RECTORÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO DIRECCION DE POSTGRADO

MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA

TESIS DE MAESTRIA

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TESISTA

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MSc . O

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TEGUCIGALPA HONDURAS NOVIEMBRE 2009

RECTORA

M.Sc. Lea Azucena Cruz

VICE-RECTOR ACADÉMICO M.Sc. Luis Orlando Marín

VICE-RECTOR DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO Dr. Truman Bitelio Membreño

VICE-RECTOR DE EDUCACIÓN A DISTANCIA M.Sc. Gustavo Cerrato

VICE-RECTOR ADMINISTRATIVO M.Sc. Hermes Alduvin Díaz Luna

SECRETARIA GENERAL M.Sc. Iris Milagro Erazo

DIRECTORA DE POSTGRADO Dra. Jenny Margota Zelaya

Este trabajo esta dedicado a la memoria de mi abuela y de mi madre que descansen en paz por todo el amor y sacrificio que hicieron por que llegara a ser alguien en la vida.

A mi esposa e hijas que día a día me dan un motivo para seguir adelante.

ÍNDICE

Introducción 7

Justificación 10

Formulación del problema 17

Objetivo general 17

Objetivos específicos 18

Preguntas científicas 18

Delimitación 19

Marco teórico 20

Marco metodológico 28

Recopilación de datos 20

Encuesta 30

Análisis de datos 32

La propuesta 34

Capítulo I

Historia de la Delta de Dirac 40

Capítulo II

La Delta de Dirac 53

Aplicaciones introductorias 58

La delta de Dirac como límite 63

Capítulo III

Soporte compacto 70

Funciones de prueba 71

Suma 72

Multiplicación por una función 73

Derivación 75

Integración 76

Cambio de escala 78

Funcional 83

Funcional lineal 84

Funcional continúo 85

Función Generalizada 86

Distribuciones singulares 80

Operaciones 90

Propiedades en K’ 92

La delta de Dirac como distribución 94

Propiedades 95

Valor Principal de Cauchy 102

Capítulo IV

Derivada generalizada 107

Función de Heaviside 107

Reglas de derivación 110

Función signo 116

Sucesión de distribuciones 127

Aplicación en Estadística 131

Método de los elementos finitos 135

Consideraciones finales 139

Bibliografía 140

INTRODUCCIÓN

El proceso de introducir objetos nuevos es familiar en matemáticas. Nos extendimos de números naturales a enteros, de enteros a racionales, de racionales a números reales, de reales a complejos. En cada extensión, se introdujeron objetos nuevos en el sistema del número mientras la mayoría de las propiedades del viejo se mantienen. En cada extensión teníamos que pensar en el sistema del nuevo número en una manera diferente del sistema viejo. El nuevo sistema numérico (racionales) incluye el viejo sistema numérico (los enteros).

Así mismo buscamos extender del concepto de función, el espacio extendido de funciones es el que llamaremos distribuciones o funciones generalizadas. Las funciones asignan a cada punto del espacio sobre el que están definidas un número (real o complejo), las distribuciones actúan sobre un espacio de funciones (con ciertas condiciones de regularidad o "suavidad") asignando a cada una de ellas un número. Lo que define a una distribución es su manera de (inter)actuar sobre las funciones. Además, las funciones (de cierto tipo) pueden identificarse con distribuciones, de forma que cada una de estas funciones sería una distribución, aunque muchas distribuciones no son funciones. Las distribuciones generalizan el concepto de función.

Algunas de las características que presenta esta extensión son las siguientes:

1. Toda función continua es una distribución

2. Toda distribución tiene derivadas parciales que son distribuciones

3. Para funciones diferenciales en sentido ordinario la nueva derivada coincide con la ordinaria

4. Las reglas del cálculo siguen siendo válidas

En el presente trabajo de tesis se pretende “una adecuación curricular para las funciones generalizadas”. La investigación realizada es de tipo bibliográfico y en la misma se busca determinar diferentes propuestas y enfoques para la más famosa

importantes que deben considerarse y algunas de sus aplicaciones básicas. Este trabajo se ha estructurado de la siguiente forma:

Primeramente se brinda una justificación en la cual se expone la necesidad del estudio de las funciones generalizadas, algunas de las aplicaciones que encuentra el estudiante del área físico matemático de la delta de Dirac.

Seguidamente tenemos el planteamiento del problema a investigar, con el fin de hacer explícito aquello que nos propusimos realizar, surgiendo de aquí los objetivos generales y específicos internos y externos de la investigación, y de acorde a dichos objetivos las preguntas de investigación.

Tenemos luego el marco teórico en este caso histórico y referencial a las diversas posturas que respecto del currículo se han asumido a través de los tiempos, con la finalidad de hacernos de una definición que nos oriente firmemente en el desarrollo de la investigación.

En el Marco Metodológico aparecen los Instrumentos y Procedimientos utilizados en la investigación.

En el capitulo I se esboza un poco de historia de la delta de Dirac, problemas que originaron su surgimiento y las diferentes concepciones a través del tiempo con que ha sido vista en el campo científico.

En el capitulo II tenemos la forma intuitiva como suele ser introducida la delta de Dirac en clases de física y matemática, algunas aplicaciones en las cuales modela algún fenómeno físico, y la forma como la delta de Dirac puede ser vista como el límite de una sucesión de funciones.

En el capitulo III se brindan algunas definiciones preliminares, como ser las funciones de soporte compacto, las funciones de prueba y funcionales, conceptos necesarios para la definición de las funciones generalizadas o distribuciones.

Posteriormente vemos la delta de Dirac como una distribución, sus propiedades básicas con el rigor matemático adecuado, finalmente se tiene el valor principal de Cauchy para una función, elemento muy útil en el campo científico.

En el capitulo IV se tiene una de las aplicaciones mas importantes de la delta de Dirac, la derivada generalizada, la cual nos permite obtener derivadas de funciones singulares. Se muestra además una aplicación en estadística, que unifica el concepto para la función de densidad de probabilidad para variables aleatorias discretas y continuas. Finalmente tenemos una aplicación de las funciones de soporte compacto al campo de los elementos finitos, muy en boga en nuestro tiempo.

JUSTIFICACIÓN

En función de las necesidades que plantea el tratamiento de algunos conceptos de las nuevas tecnologías, así como de los problemas integradores presentes en diversas modalidades, el campo conceptual debe contribuir con las temáticas que se aborden permitiendo así integrar los conocimientos adquiridos con otras áreas.

Un espacio curricular en general, implica una continuación de conocimientos articulados entre si, y en el caso particular de la Matemática propone trabajar contenidos que se focalicen fuertemente en objetos y herramientas matemáticas referidos muy especialmente a las áreas del Análisis Matemático, la Estadística y las Probabilidades y los Grafos, sosteniéndose en otros como ser el Álgebra, las Funciones y la Geometría Analítica que permitirán “expresar” y “mirar y ver”

fenómenos del mundo natural mediante ciertos modelos que permitirán comprender, representar y actuar sobre situaciones de la vida real.

En algunos cursos de matemáticas que generalmente se imparte a los estudiantes de las carreras de física, ingeniería y otras disciplinas se contemplan una gran variedad de herramientas que en un principio son de ayuda para el estudiante y posteriormente al profesional en su desempeño laboral. Es común en dichos cursos el estudio de las propiedades del tema tratado y posteriormente una serie de aplicaciones básicas para una mejor comprensión y ver la utilidad del objeto estudiado, así tenemos:

En el estudio de la geometría se escudriñan las propiedades de triángulos, se clasificación, se establecen condiciones para la semejanza de triángulos, congruencia de triángulos, un caso particular de los triángulos rectos como ser “el teorema de Pitágoras” propiedades de cuadriláteros y polígonos en general, las propiedades de los sólidos y posteriormente aplicaciones del contenido estudiado.

Asimismo al estudiar las razones y funciones trigonométricas se ven inicialmente sus propiedades, se definen y estudian la ley de senos y cósenos y su uso para resolver triángulos. Luego se ven algunas aplicaciones en la que su modelación implica la resolución de triángulos y que abarcan procesos dinámicos como el movimiento armónico, el estudio de ondas sonoras, descripción de fenómenos periódicos, además de ciertas aplicaciones estáticas como la medición de distancias, fuerza, velocidad, aplicaciones que comprenden longitudes y direcciones entre otras.

Al estudiar las ecuaciones y sistemas de ecuaciones se analizan diversos problemas prácticos aplicables a la vida real.

Los conceptos y procesos asociados a derivadas se refuerzan al ver la derivada como “razón de cambio” y “rapidez de cambio” lo que permite modelar y estudiar un sinfín de casos en diferentes contextos de las ciencias (“La velocidad, la densidad, la corriente, la potencia y el gradiente de temperatura en física; la rapidez de reacción y la compresibilidad en química; la rapidez de crecimiento y el gradiente de velocidad de la sangre en biología; el costo y la utilidad marginal en la economía; la rapidez del paso de calor en geología; la rapidez de mejoramiento de la eficiencia en psicología, y la rapidez de dispersión de un rumor en sociología, todos son casos especiales de un concepto matemático único: La Derivada

Asimismo, la aplicación al cálculo del concepto de integral permite a los estudiantes, el cálculo de trabajo, variaciones de energía libre y entropía, o biomasa; además, y ya “dentro del ámbito de la Matemática”, se facilita la comprensión de áreas entre curvas, calculo de volúmenes mediante sólidos de revolución, longitud de arco, etcétera.

Las aplicaciones mencionadas previamente son comunes en cursos propios de matemáticas y mediante ellos se busca cimentar los conocimientos, y resolver problemas de interés en diversos ámbitos de las ciencias como ser física, química, biología etcétera.

En el caso particular de la física, en los diversos cursos de esta área, se asume en la mayoría de los casos que el estudiante posee una base sólida de matemática y en los problemas estudiados el objeto matemático aplicado se supone conocido.

Debido a lo anterior es común estudiar en forma rigurosa en aquellos cursos de matemáticas previos a la física, diversas funciones muy particulares que sirven para modelar comportamientos físicos, pero algunas funciones son tratadas en forma superficial sin profundizar en su origen, evolución y propiedades, entre estas tenemos la función gamma, función beta, funciones de Bessel, los polinomios de Legendre, la función de Heaviside, la delta de Dirac, entre otras.

En el caso particular las funciones de Heaviside y la delta de Dirac, funciones que modelan matemáticamente un interruptor y un impulso unitario respectivamente, a pesar de su importancia en el campo científico no se les dedica el tiempo necesario para una comprensión adecuada, y muchas veces sólo son mencionadas. Dichas funciones tienen su origen en el ámbito de la Ingeniería y la Física.

A continuación ilustramos algunos fenómenos que se estudian en diversas clases que forman parte del currículo de física e ingeniería

 En el campo de la física el golpe de un martillo

 En sistemas mecánicos que están sometidos a una fuerza exterior

 En el caso de circuitos eléctricos a una tensión o fuerza electromotriz, alguna descarga eléctrica

 Una pelota de golf inicialmente en reposo es enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia por un palo de golf.

 La fuerza aplicada en un punto de una viga la descarga ocasionada por un rayo en una línea de alta tensión.

 La presión ejercida en un punto.

El objeto matemático que sirve para modelar los fenómenos anteriormente descritos es la delta de Dirac.

En la solución de ecuaciones diferenciales parciales, en el uso de técnicas de análisis de Fourier de tiempo continuo ampliamente útiles para analizar y conocer las propiedades de las señales y sistemas de tiempo continuo, en la teoría de filtrado y modulación base fundamentales de la teoría de comunicaciones se hace necesario un manejo adecuado de la delta de Dirac.

En dichos curso se suele describir la delta de Dirac como

  

  

 



( ) 0 x a x a

x a con las propiedades







 









 



Del álgebra de funciones sabemos que f x( )kf x si ( ) k  0,1 Pero esta función parece contradecir lo anterior ya que para todo k  0

  

  

 



( ) 0 x a k x a

x a

Por lo que aparentemente (xa)k(xa para valores de positivos de ) k

De forma similar del cálculo integral

( ) ( ) ( ) ( ) 0

   

 

 

 

 

       

   

a a

a a

x a dx x a dx x a dx x a dx

Que de nuevo parece contradecir la propiedad de esta función

Uno de los principales problemas con la Delta de Dirac, es que no existe una clase en la cual se estudien a fondo sus propiedades, y aclarar el porque de las aparentes contradicciones anteriormente mencionadas. La delta hace su aparición en un curso de matemática en la Universidad Nacional Autónoma de Honduras hasta la clase de MM-411 Ecuaciones Diferenciales, pero no se estudian sus propiedades sino que se ve su aplicación en la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales. Es de hacer notar que el tiempo empleado en su estudio gira alrededor de una o dos horas clases máximo.

Contrario a lo que suele suceder con el desarrollo de un tema donde se escudriñan las propiedades del objeto de estudio y posteriormente se ven aplicaciones con el fin de afianzar los nuevos conocimientos, con la delta de Dirac el estudiante suele ver primero aplicaciones sin haberla estudiado previamente.

El estudiantado de ingeniería, física y matemática hacen uso de la delta de Dirac como una herramienta en diferentes cálculos operacionales para resolver diversos tipos de ecuaciones funcionales que conducen a resultados satisfactorios. Pero estos cálculos, muchas veces parecen entrar en contradicción con otros temas tratados, provocando duda entre el estudiantado.

Esto no es nuevo en matemática, sino veamos algunos ejemplos.

En el estudio de los números naturales al momento de estudiar sus operaciones nos encontramos que 35 y 3 * 5 tienen sentido y existen pero 35 y 3 5 no existen.

Al ampliar los naturales y tratar los números enteros 35 ya tiene sentido y existe pero 3 5 no existe.

Al seguir ampliando el conjunto de los numero ahora a los racionales la operación 3 5 ya tiene sentido y existe.

Otro ejemplo es el siguiente

En el estudio de los números reales y tratar los radicales (raíz cuadrada) se nos dice que a existe si a 0, pero no existe si a 0, pero mas adelante al estudiar los números complejos a existe independientemente del valor de a

El hecho que 35 y 3 5 no existen y luego existe así como que 4 primero no existe y luego si existe forman estela de duda e inseguridad en el estudiante.

Algo similar se presenta ya a nivel superior en varios casos, y la delta de Dirac es uno de esos casos. La delta de Dirac es un caso especial de lo que llamaremos funciones generalizadas.

Las funciones generalizadas con muchas aplicaciones en el campo científico y en particular la función impulso o delta de Dirac, son frecuentes en cursos que forman parte del currículo de Ingeniería, Física y Matemática de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras como ser física, ecuaciones diferenciales, teoría de la probabilidad, métodos matemáticos en ingeniería, teoría de la estabilidad, mecánica estadística, estructuras, resistencia de materiales, teoría de circuitos eléctricos, electromagnetismo, comunicaciones entre otras.

Con el fin de complementar los conocimientos que manifiestan los estudiantes de ingeniería y matemática de la delta de Dirac en particular y de las funciones generalizadas en general, se espera que el presente trabajo contribuya a lograr una comprensión adecuada de la delta de Dirac, su origen, propiedades y otras

institución educativa existe una clase en la cual se le de la importancia debida, y no es tratada con la seriedad y rigurosidad que amerita y en muchos casos aparenta ser una función sacada de la manga de la camisa.

FORMULACION DEL PROBLEMA

La matemática es hoy en día una de las ciencias más activa y dinámica, a partir de problemas que surgen en otras disciplinas, también aparecen nuevas formas de ver y atacar viejos problemas, desarrollándose así nuevas teorías para encontrarles solución a estos problemas.

Una de las características importantes de la matemática en la actualidad es su uso prácticamente en todas las áreas del quehacer humano, desde las actividades cotidianas hasta la investigación científica, la producción y la prestación de servicios. Como consecuencia el ser humano se encuentra con la necesidad constante de fortalecer sus conocimientos. La investigación el análisis e implementación de nuevas técnicas y propuestas pueden ser de mucha utilidad para enriquecer la gama de conocimientos necesarios en la resolución de diversos problemas del ámbito científico.

Tomando en cuenta lo anterior y considerando que la delta de Dirac juega un papel crucial teniendo múltiples aplicaciones en problemas prácticos relacionados con el entorno profesional y científico, de allí la necesidad de un estudio sobre las funciones generalizadas.

Así, planteamos en la presente investigación como problema científico: Un Desarrollo alternativo para el estudio de La Delta de Dirac y las funciones generalizadas y adecuarlos en un currículo para lograr una mejor compresión sobre las mismas.

OBJETIVO GENERAL

Para dar respuesta al problema, delimitamos como objeto de la investigación el proceso de enseñanza de las Matemáticas a nivel universitario; formulándose

La realización de una propuesta curricular que sirva como instrumento pedagógico para la Delta de Dirac y las funciones generalizadas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Para lograr lo anterior consideramos como objetivos específicos

 Determinar el criterio de docentes y estudiantes de ingeniería, matemática y física sobre la necesidad o no del estudio de las funciones generalizadas.

 Determinar con los docentes y estudiantes, la profundidad con que es estudiada la delta de Dirac y las funciones generalizadas.

 Determinar el grado de conocimiento que tienen los estudiantes de las propiedades de las funciones generalizadas.

 Enumerar y describir el contenido curricular que se debe incorporar en las carreras física matemática.

 Elaborar una propuesta de un contenido programático ilustrándolo con ejercicios y problemas

PREGUNTAS CIENTÍFICAS

Surgen como preguntas científicas:

 ¿Para efectos de una mayor comprensión y aplicación de las funciones generalizadas, consideraran los docentes y los alumnos de la carrera de ingeniería, matemática y física necesario su estudio?

 ¿A criterio de los estudiantes de ingeniería, física y matemática, el tiempo y la profundidad con que se desarrolla el tema de las funciones generalizadas es suficiente para la comprensión y su aplicación?

 ¿Qué tanto conocimiento dominan los estudiantes de las propiedades de las funciones generalizadas?

 ¿Existen suficientes contenidos en la bibliografía matemática, que amplían el tratamiento de las funciones generalizadas?

DELIMITACION

En correspondencia con el problema científico y teniendo en cuenta tanto el objeto como el objetivo de la investigación, se considera como campo de acción el proceso de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes la Universidad Nacional Autónoma de Honduras delimitando al campo de la ingeniaría.

MARCO TEORICO

Uno de los términos mas discutido en el ámbito de la educación es el referente al de currículo, a través de la historia han sido diversas las definiciones que se han dado al respecto.

En la antigua Roma se utilizaba ya el vocablo “cursus honorum", el curso, carrera o camino "de los honores", el que seguía el ciudadano que iba ocupando, por sucesivos comicios, las magistraturas republicanas, desde edil hasta cónsul.

El concepto currículum, en su uso académico aparece con el surgimiento de las universidades en Europa en la edad media (siglos XII y XIII) y se utilizó para designar "el tiempo señalado cada año para asistir a las lecciones" y, en sus vicisitudes fue convirtiéndose en cursus, “curso”. En la Edad Media el currículum estaba integrado por el "trivium" (tres vías, caminos, cursos), el “cuadrivium"

(cuatro vías), estudios previos (Facultad de Artes) a las cuatro facultades mayores:

Derecho, Cánones, Medicina y Teología.

El trivium abarcaba los tres temas enseñados primero, antes del quadrivium. La palabra es latina, significando "las tres maneras" o "los tres caminos", el principio de los artes liberales. En muchas universidades medievales, éste era el curso principal del estudiante. En teoría educativa, el trivium consistió en la gramática , la retórica , y la lógica (o la dialéctica - la lógica y la dialéctica eran sinónimas en ese entonces). (como el latín era una segunda lengua y la lengua internacional de la beca y del pensamiento, tuvo que ser aprendido intencionalmente y a fondo.) La gramática es los mecánicos de una lengua; la lógica es los "mecánicos" del pensamiento y del análisis; el retórico es el uso de la lengua de mandar y de persuadir. Éstos eran considerados los campos preparatorios para el quadrivium.

El quadrivium abarcaba los cuatro temas enseñados en universidades medievales después del trivium. La palabra de origen latino, significaba "las cuatro

maneras" o "los cuatro caminos": la terminación de los artes liberales, y consistia en aritmética , geometría , música , y astronomía. Alternadamente, el quadrivium era considerado trabajo preparatorio para el estudio serio de la filosofía y de la teología. El quadrivium se podía considerar como el estudio del número : la aritmética era número puro, geometría era número en espacio, número de la música en tiempo, y número de la astronomía en espacio y tiempo.

Esta estructura se mantuvo en las universidades europeas hasta el siglo XVIII, En dicha época en Inglaterra, siempre tan conservadora en las formas, el término currículum era empleado para designar el conjunto de materias que se enseñan y aprenden en las escuelas. Los países de habla inglesa, en especial los Estados Unidos de América conservaron la tradición escolar inglesa.

Sobre este fondo surgieron los primeros trabajos con relación al currículo entre los que destacan “El currículo” (1918) y “Como hacer un Currículo” (1924) de Franklin Bobbit,

En 1949 Ralph Winfred Tyler en su libro “Principios básicos del Currículo”

señala cuatro cuestiones fundamentales a considerar al momento de desarrollar cualquier plan de enseñaza:

 ¿Qué objetivos educativos trata de desarrollar la escuela?

 ¿Qué experiencias educativas aptas para lograr esos objetivos pueden ser proporcionadas?

 ¿Cómo pueden organizarse efectivamente estas experiencias educativas?

 ¿Cómo podemos determinar si se alcanzan lo objetivos?

Con lo anterior Tyler le da una significación que supera el modo habitual de entenderlo el conjunto de las materias integrantes de los cursos que componen un nivel educativo y que se consagra en la consecución de títulos académicos.

En “Elaboración del Currículo” Hilda Taba establece la consideración de los siguientes aspectos

 Diagnóstico de necesidades.

 Formulación de objetivos.

 Selección de contenidos.

 Organización de contenidos.

 Selección de actividades.

 Organización de actividades.

 Determinación de los que se va a evaluar y maneras y medios para hacerlo.

Taba establece que la elaboración de un currículum debe seguir un esquema racional para el planeamiento de sus diferentes aspectos y demandar de una metodología particular para su desarrollo y para relacionar los componentes entre sí. Esta metodología incluye los modos de decidir quienes desempeñarán las diferentes funciones en la confección del currículum, y como éstas decisiones podrían ser coordinadas y articuladas.

La concepción del currículo ha evolucionado, en ese proceso las definiciones planteadas se enmarcaran dentro de ciertas concepciones: Centrado en la experiencia, como un sistema y como una disciplina aplicada, en un currículo se concentran teorías y principios diversos que traducen la orientación general del sistema educativo, de aquí que existan varias definiciones y modalidades de currículos como enfoques teóricos existan, a continuación tenemos algunas y sus elementos básicos según diversos autores:

(Franklin Bobbit, 1918). “Currículo es aquella serie de cosas que los niños y los jóvenes deben hacer y experimentar, a fin de desarrollar habilidades que los capaciten para decidir asuntos de la vida adulta”

(UNESCO, 1948). “Currículo son todas las experiencias, actividades, materiales, métodos de enseñanza y otros medios empleados por el profesor o tenidos en cuenta por el sentido de alcanzar los fines de la educación”

(Janold Zacharias y Sthephen White, s. f.). “Currículo es el proceso de determinar los límites precisos de la unidad de enseñanza; el proceso de identificar el contenido de la materia que será tratada en la unidad; la determinación del contenido de la materia en términos de implementación, cómo hacer textos, material de laboratorio y otros auxilios didácticos.”

(Johnson, 1967). “Currículo no se refiere a lo que el estudiante hará en una situación de aprendizaje, a lo que el será capaz de hacer como consecuencia de lo que aprendió. Currículo se relaciona con resultados y no con episodios de aprendizaje.”

(L. D. Hainaut, 1980) “Un currículo es un proyecto educacional que define: a) los fines, las metas y los objetivos de una acción educacional; b) las formas, los medios y los instrumentos para evaluar en qué medida la acción ha producido fruto.”

(Luis Javier, 1987): Es un proceso de enseñanza que forma a los estudiantes mediante la transmision de valores conocimientos y habilidades. Identifica los siguientes elementos.

a) Personas - Alumnos - Profesores b) Tareas

- Oportunidades de aprendizaje - Materias

- Proyectos c) Administración

- Planeación - Organización

- Dirección y control del personal

Para Forquin (1987): Es un recorrido de experiencias de aprendizaje en una institución formal, sus elementos fundamentales son:

a) Experiencias de aprendizaje

Stenhouse (1987): Un intento de comunicar un propósito educativo, abierto a discusión y que puede trasladarse a la práctica. Se pueden identificar como componentes principales:

a) Propósito educativo b) Discusión crítica c) Práctica

Arnaz(1990), define el currículo como un plan que norma y conduce un proceso concreto y determinante de enseñanza aprendizaje. El autor señala 4 elementos:

a) Objetivos curriculares b) Plan de estudios c) Cartas descriptivas d) Sistema de evaluación

Para Glazman y de Ibarrola el currículo es una reunión de aspectos socialmente valiosos de una profesión que se enseñan, como componentes tenemos

a) Fines de la enseñanza

b) Aspectos de la profesión Selección - Selección

- Organización - Ordenamiento

Fatima Addine (1995): Es un proyecto integral con carácter de proceso que se rediseña en función del desarrollo social. Se pueden distinguir los siguientes elementos;

a) Proyecto educativo

b) Desarrollo social del ciudadano c) La ciencia

Se puede ver que el currículo es considerado por varios de estos autores como un proceso en el cual hay un propósito de enseñanza, atiende a la naturaleza social de lo educativo, por considerar que es necesario, primero, reconocer las características de la realidad en la que se pretende operar para poder decidir entonces qué tipo de diseño permite o acepta esa realidad y, segundo, entender

cómo y en qué sentido y medida puede preverse, diseñarse o programarse, se concentran teorías y principios diversos que traducen la orientación general del sistema educativo, de aquí que, como se señaló al principio, existan tantas definiciones y modalidades de currículos como enfoques teóricos existan.

Lo anterior ha llevado, a la formulación de un conjunto de fundamentos, también llamados elementos básicos o fuentes del currículum, que constituyen posiciones de índole sociocultural, epistemológica-profesional, y psicopedagógica, a través de las cuales se pretende derivar principios que orienten tanto la elaboración o diseño curricular, como su desarrollo y evaluación. Dichas posiciones, derivadas de la particular visión de dichos fundamentos que tienen los diseñadores se pueden resumir de acuerdo al modelo de Tyler en las siguientes cuatro preguntas:

 ¿Qué enseñar?

 ¿Cuándo enseñar?

 ¿Cómo enseñar?

 ¿Qué, cómo y cuándo evaluar?

Las respuestas a estas preguntas nos deben proporcionar información acerca de los objetivos y de los contenidos de la enseñanza que se pretende desarrollar lo largo del proceso educativo.

Asimismo nos proporcionan los criterios para ordenar, secuenciar y distribuir dichos objetivos y los contenidos, a lo largo de las correspondientes unidades de tiempo escolar y en función de lo que el alumno es capaz de hacer y aprender en un momento dado.

También nos va a permitir decidir acerca de la planificación de las actividades y recursos necesarios del proceso enseñanza-aprendizaje que mejor contribuyan al logro de los objetivos y los contenidos.

Para saber si se han alcanzado los objetivos planteados es fundamental realizar la correspondiente evaluación de todo el proceso, determinar si se han logrado las intenciones educativas concretadas en el qué enseñar.

El avance vertiginoso de la ciencia hace necesario día a día la adquisición de nuevos conocimientos. Muchas veces estos nuevos conocimientos requieren su adecuación a un currículo ya existente, por lo que el currículo debe ser abierto flexible, abierto y tener un carácter dinámico y de desarrollo. Al momento de incorporar estos nuevos conocimientos al currículo se deben tener en cuenta los fundamentos mencionados anteriormente. Los componentes del currículo pueden organizarse de diversas maneras, entre la que se tienen:

 Centrados en la materia o tema

Estos diseños son los de más amplio uso, debido a la aceptación de conocimiento y contenido como partes integrales del currículo.

 Centrados en el estudiante

Se establece que el estudiante es el centro del enfoque en todo programa, y en torno a ellos, y para ellos, deben establecerse los currículos.

 Centrados en el problema

Enfoca los problemas de la vida; en las realidades percibidas de la vida institucional y grupal, tanto para el individuo, como para la sociedad, en general.

Con la finalidad de poder abarcar todas aquellas actividades que surgen en el proceso educativo y que no sólo son para transmitir conocimientos, sino actitudes y habilidades a los estudiantes que les permitan desenvolverse adecuadamente en un mundo de cambios vertiginosos, el currículo ha sido dividido para su estudio entre:

 El currículo formal, que son los documentos guía (el plan de estudio y los programas de las materias) que prescriben las finalidades, contenidos y acciones que es necesario llevar a cabo, por parte del maestro y los alumnos, para practicar y desarrollar el currículo.

 El currículo real, que es el proceso de la puesta en práctica del currículo formal, proceso en el cual confluyen tanto el capital cultural de maestros y alumnos como los requerimientos del currículo formal y los factores presentes en el contexto institucional.

 El currículo oculto, es un currículo no académico proveedor de enseñanzas encubiertas, latentes, no explícitas, que corresponden al plano del desarrollo ideológico y moral e incluyen funciones de inculcación de valores y socialización que en su conjunto vinculan la institución escolar con el sistema social que lo rodea.

El currículo atiende a la naturaleza social de lo educativo, por considerar que es necesario, primero, reconocer las características de la realidad en la que se pretende operar para poder decidir entonces qué tipo de diseño permite o acepta esa realidad y, segundo, entender cómo y en qué sentido y medida puede preverse, diseñarse o programarse. Son muchas las herramientas matemáticas en el campo científico con múltiples usos las cuales debido a su importancia requieren un estudio amplio.

Tomando en cuenta lo anterior y viendo la importancia de los temas en la elaboración, implementación y evaluación de un currículo, y considerando el caso particular que La Delta de Dirac juega un papel crucial teniendo múltiples aplicaciones en problemas prácticos relacionados con el entorno profesional y científico, de allí la necesidad de un currículo sobre las funciones generalizadas ya que en ninguna institución educativa del país se estudian a fondo. De allí la intención en nuestro propósito de situar teóricamente nuestro trabajo dentro del marco curricular

MARCO METODOLOGICO

La investigación es de corte evaluativo y es aplicada, pues intenta responder a un problema identificado en la formación de los estudiantes de las diferentes carreras del área físico matemático, y consecuentemente a plantear una adecuación curricular, para ajustarla a la demanda de acciones que involucran a las funciones generalizadas en el desempeño profesional.

Para el logro del estudio fue necesario desarrollar una serie de acciones que implicarán la elaboración de instrumentos para la recogida de información en los casos que se requiera.

Así como el estudio de obras relacionadas con las funciones generalizadas donde se aborde no solo lo conceptual, sino también la resolución de problemas matemáticos, lo cual nos aporta contenido curricular que pueda incorporarse a nuestra propuesta, para ello se tomo en cuenta el método teórico de investigación que comprendió:

 Método de análisis y síntesis: Se realizó un análisis de la bibliografía relacionada con el objetivo de separar las partes integradas del objeto seleccionado y determinar el sistema de conceptos básicos de las funciones generalizadas.

 Método histórico lógico: Para analizar el comportamiento del problema de la investigación en las diferentes posiciones estudiadas y la evolución de las situaciones propuestas.

 Método de enfoque sistémico: Para argumentar la estructura del proceso en la formación curricular como se incorporan los nuevos conocimientos.

Además del proceso de análisis que se realizó, donde se obtuvieron conceptos y operaciones matemáticas como contenido curricular, se llevó a juicio de expertos a través de la técnica de los grupos de discusión, el contenido propuesto, para que este sea validado por docentes expertos.

Es importante agregar, que se recogió información a través de cuestionarios y entrevistas, a estudiantes y a docentes que estén involucrados en el tema, el propósito es el diagnóstico del contenido curricular actual y de sondear la necesidad de que el contenido de las funciones generalizadas debe de ser ampliado.

En el presente trabajo se trata de dar respuesta a algunas preguntas formuladas anteriormente, en el caso de la delta de Dirac y las funciones generalizadas, ¿Por qué y para qué?, ¿Qué enseñar? ¿Cuándo enseñar? ¿Cómo enseñar?, dejando abierta ¿Qué, cuándo y cómo evaluar?

RECOPILACIÓN DE DATOS

Tomando en cuenta que la pregunta constituye una estrategia natural para averiguar si los alumnos tienen o no un marco conceptual de una situación determinada. Se procedió a realizar un cuestionario diagnostico para determinar el conocimiento que de la delta de Dirac manejan los estudiantes. El grupo seleccionado para realizar dicha encuesta fueron las secciones de MM-411 Ecuaciones Diferenciales secciones 13-01 y 17-01 del curso vacacional 2003 – 2004 de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras (UNAH). La elección de este grupo de debe que en dicha clase se menciona por primera vez la delta de Dirac en un curso de Matemática a estudiantes de Ingeniería de la UNAH.

A continuaron se muestra el cuestionario de diagnostico sobre el conocimiento de la delta de Dirac, este instrumento fue aplicado a los alumnos de la clase MM-

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS CENTRO UNIVERSITARIO DE ESTUDIOS GENERALES

CUESTIONARIO DE DIAGOSTICO ACERCA DEL CONOCIMIENTO DE PARTE DEL ESTUDIANTE DE LA DELTA DE DIRAC

1. Carrera de Estudio

2. Lleva la presente clase por primera vez

3. Puede distinguir que expresiones representan o no una función

4. Considera necesario conocer aplicaciones de un tema para una mejor comprensión del mismo

5. Considera usted la delta de Dirac una función normal 6. Cual fue el tiempo dedicado al estudio de la delta de Dirac 7. Sabe lo que es una función generalizada

8. En sus estudios previos ha visto anteriormente la delta de Dirac, donde 9. Conoce usted otras propiedades de la delta de Dirac

10. Considera necesario un estudio mas profundo la delta de Dirac 11. Sabe bajo que condiciones la delta modela un fenómeno físico

12. ¿A su criterio el tiempo y la profundidad con que se desarrolla el tema de la delta de Dirac es suficiente para la comprensión y su aplicación?

13. La forma y tiempo como es tratada el tema deja dudas al respecto 14. Ha consultado bibliografía referente a la delta de Dirac

El formato empleado fue el de pregunta directa con el fin de obtener respuestas cortas y especificas fácil de calificar y analizar.

UNIDAD DE TRABAJO

Estudiantes de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras

UNIDAD DE ANÁLISIS

Estudiantes de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras, Facultad de Ingeniería, materia MM-411 Ecuaciones Diferenciales secciones 13-01 y 17-01 curso vacacional 2003-2004, alumnos encuestados ciento doce (112).

RESULTADOS DE LA INFORMACION

Los resultados obtenidos de la anterior encuesta se detallan a continuación:

1. Carrera de Estudio

a. Ingeniería Civil 28 b. Ingeniería Eléctrica 31 c. Ingeniería Industrial 17 d. Ingeniería Mecánica 24 e. Ingeniería Química 12

2. Lleva la presente clase por primera vez a. No 63

b. Si 49

3. Puede distinguir que expresiones representan o no una función a. Puede distinguir 95

b. No puede distinguir 17

4. Considera necesario conocer aplicaciones de un tema para una mejor comprensión del mismo

a. Necesario 98 b. No necesario 14

5. Considera usted la delta de Dirac una función normal a. Es una función normal 8

b. No es función normal 104

6. Cual fue el tiempo dedicado al estudio de la delta de Dirac a. Una hora clase 68

b. Dos horas clase 44

7. Sabe lo que es una función generalizada a. Si 5

b. No 107

8. En sus estudios previos ha visto anteriormente la delta de Dirac, donde a. Si 84 FS-100 Física I y MM-411 Ecuaciones diferenciales

9. Conoce usted otras propiedades de la delta de Dirac a. Si 4

b. No 108

10. Considera necesario un estudio mas profundo la delta de Dirac a. Si 83

b. No 11 c. No sabe 18

11. Sabe bajo que condiciones la delta modela un fenómeno físico a. Si 15

b. No 97

12. ¿A su criterio el tiempo y la profundidad con que se desarrolla el tema de la delta de Dirac es suficiente para la comprensión y su aplicación?

a. Si 11 b. No 101

13. La forma y tiempo como es tratada el tema deja dudas al respecto a. Si 103

b. No 9

14. Ha consultado bibliografía referente a la delta de Dirac a. Si 0

b. No 112

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Amparado en una base preliminar analizando los resultados de la información diagnóstica obtenida a través de los estudiantes de carreras del área físico matemático, sobre el tema de las funciones generalizadas y la necesidad de la ampliación del contenido curricular actual y de acuerdo a las repuestas obtenidas en la encuesta en el Cuestionario de diagnostico para determinar sobre el conocimiento de la delta de Dirac se pueden establecer las siguientes observaciones.

1. El total de la encuestada es estudiante de Ingeniería

2. Según el 90.18 % encuestado el tiempo dedicado al estudio de la delta de Dirac es insuficiente 1.5 horas clase en promedio

3. el 87.5 % considera la modelación matemática necesaria para poder comprender mejor un tema

4. el 13.39 % no sabe bajo que condiciones la delta de Dirac modela un fenómeno físico

5. El 95.53 % desconoce lo que es una función generalizada o distribución 6. El 7.14 % considera la delta de Dirac una función normal

7. Del 100% que había visto previamente la delta de Dirac el 66.67 % la estudio por primera vez en una clase de Física en tanto el 33.33 % en una clase de Ecuaciones Diferenciales

8. Ningún estudiante ha consultado bibliografía alguna sobre la delta de Dirac.

Esta primera aproximación fue complementada, con la búsqueda de contenido curricular en fuentes bibliográficas donde se aborda el tema de las funciones generalizadas.

El tratamiento la información obtenida mediante la consulta a fuentes bibliográficas, exigió del agrupamiento de contenidos curriculares que se presentarán de manera secuencial, sobre todo porque apunta a una propuesta de enmienda curricular a validar por un grupo de expertos docentes en la materia.

El análisis de bibliografía que contiene aspectos relacionados con las funciones generalizadas, exigirán de la selección de contenidos curriculares pertinentes y necesarios para el desempeño profesional desde la óptica del investigador y de sus criterios, su pertinencia y la necesaria incorporación al currículo será objeto de validación por aquellos que conocen este tema en campo de las matemáticas. Así el establecimientos de criterios para su valoración y orientados por una guía objetiva de discusión, los llevará a dictaminar si la propuesta de adecuación es

LA PROPUESTA

¿Como se pueden introducir las funciones generalizadas?

Como muchas grandes ideas en matemática y ciencia, el tema tiene una larga historia. Synowiec (Synowiec, John: Distributions: The Evolution of a Mathematical Theory. Historia Mathematica, vol. 10, 1983, pp. 149(183.) ha establecido que la evolución de los conceptos de la teoría de distribuciones siguió un patrón familiar en matemática “múltiples descubrimientos simultáneos” porque las ideas apropiadas estaban en el aire. Varios métodos pueden ser usados en matemática para introducir y desarrollar sistemáticamente La Teoría de las Funciones generalizadas, entre las que se tienen:

1. Mediante funcionales.

Por medio de este método las funciones generalizadas son definidas como funcionales lineales continuas. Las operaciones con funciones ordinarias como ser la diferenciación y transformadas de Fourier son una extensión al escribir primeramente estas operaciones en el lenguaje de funcionales para funciones ordinarias, después haciendo uso de ellas para definir todas las funciones generalizadas. Después que las reglas de estas operaciones se han obtenido, la notación usual de las funciones ordinarias pueden ser empleadas por todas las funciones generalizadas. Para este método de introducir las funciones generalizadas se requiere un conocimiento previo de análisis funcional y es fácil de desarrollar con esta notación, sin confusión.

2. Mediante sucesiones.

Este está esencialmente basado en la idea original de Dirac, mediante la cual define una función delta como el límite de una sucesión de funciones ordinarias. Este método fue propuesto por Mikusinski mediante un teorema en la teoría de distribuciones en el cual el es espacio de las funciones generalizadas es completo. Por lo que funciones generalizadas singulares como la delta de Dirac puede ser definida como el límite de una sucesión de funciones ordinarias o regulares, así como se definen números irracionales como el límite de un sucesión de Cauchy. Para definir una función generalizada mediante este método se requiere del análisis matemático para

construir y trabajar con una sucesión de funciones infinitamente diferenciables.

Además se requiere del cálculo avanzado ya las manipulaciones algebraicas son laboriosas.

3. Método de Bremermann.

En el método de acercamiento de Bremermann, las funciones generalizadas son vistas como los valores límites de funciones analíticas sobre el eje real.

Este método se basa en los primeros trabajos de la Transformada de Fourier en el plano complejo para definir la transformada de Fourier de polinomios, usando algunos resultados de la teoría analítica de funciones y es empleado particularmente en el análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales.

Para el desarrollo del presente metodo se requiere conocimientos básicos de análisis funcional, de espacios vectoriales topológicos así como de variable compleja y de la transformada de Fourier

4. Cálculo Operacional de Mikusinki

El cálculo operacional desarrollado por Jan Mikusinski es importante para la solución de ecuaciones diferenciales. Su funcionamiento se basa en el cálculo de una álgebra para la convolución de funciones con respecto a la transformada de Fourier. A partir de la convolución producto que en otros se definen otros contextos se denominan el campo de fracciones o de un cociente campo. Estos pares ordenados de las llamadas funciones Mikusinski operadores. El conjunto de funciones y la operación de convolución definen un anillo conmutativo. Cualquier anillo sin divisores de cero se puede extender a un cociente campo o ámbito de la fracción de tal manera que

 b / a = d / c, si y sólo si b = a * c * d

 a = (a * k) / k para k no igual a cero del anillo.

El cociente de convolución con una función propia, es decir, f / f; corresponde a la función delta de Dirac, δ (t), la unidad elemento del conjunto de funciones generalizadas.

Este método proporciona una explicación rigurosa del cálculo operacional de Heaviside y resuelve problemas como ser la solución de relaciones recurrentes.

5. Otros métodos

Se tienen otros métodos para introducirlas funciones generalizadas en matemática. Uno de eso métodos se basa en el análisis no estándar de Robinson, el análisis no estándar usa la teoría lógica formal para extender la recta real mediante la rigurosa inclusión de los infinitesimales de Leibniz, con aplicaciones en los sistemas dinámicos. Otra aproximación a las funciones generalizadas es mediante el uso del algebra avanzada y conceptos topológicos para desarrollar una teoría de funciones generalizadas en la cual la multiplicación de funciones arbitrarias es fundamental, con aplicaciones en la solución de ecuaciones diferenciales parciales no lineales.

Para el presente trabajo se recabo información a través de cuestionarios y entrevistas, a estudiantes de las carreras de ingeniería y a docentes del Departamento de matemática, Departamento de Física así mismo de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras acerca del conocimiento y aplicaciones de la delta de Dirac, el propósito es el diagnóstico del contenido curricular actual y de sondear la necesidad de que el contenido de las funciones generalizadas debe de ser ampliado.

A partir del diagnostico realizado se detectó un amplio desconocimiento de parte del estudiantado de las propiedades de la delta de Dirac y sus aplicaciones mostrando además un desconocimiento casi total del porque de su uso en la modelación matemática de ciertos fenómenos físicos. Lo anterior nos dio la pauta de la necesidad de diseñar el programa sinóptico y analítico para las funciones generalizadas y la delta de Dirac en particular.

En el diseño de la presente propuesta para las funciones generalizadas se identificaron los conocimientos preliminares necesarios que se requiere para el

estudio de las funciones generalizadas, conceptos que son tratados en las asignaturas de Matemática I MM-110, Geometría y trigonometría MM-111, Cálculo I MM-201, Cálculo II MM-202, Vectores y Matrices MM-211, clases que forman parte del currículo de carreras de ingeniería, matemática y física de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras, entre los que tenemos

 Función

 Límite de una función

 Continuidad de una función

 Derivada de una función

 Función suave o lisa

 Antiderivada

 Integración definida

 Producto interno de funciones

 Propiedades del producto escalar.

 Espacios vectoriales

 Transformaciones lineales

 Sucesión de números

 Convergencia de sucesiones

 Sucesión de funciones

 Convergencia absoluta y condicional

Se revisaron las aplicaciones con las cuales se introduce la delta de Dirac y tomando como guía la siguiente pregunta: ¿Qué debe saber un estudiante del área físico matemático de La Universidad Nacional Autónoma de Honduras referente a la delta de Dirac?, a partir de ahí se buscó bibliografía acerca de contenidos matemáticos que dieran respuesta a esta pregunta.

Los nuevos conocimientos matemáticos se organizaron de acuerdo al método sistémico estructurando organizando y redactándolos con el formalismo matemático.