UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA E
INDUSTRIAS
CARRERA DE INGENIERÍA MECATRÓNICA
DISEÑO DE UN SISTEMA PARA EL DIMENSIONAMIENTO
DEL ROTOR DE UN AEROGENERADOR DE EJE
HORIZONTAL.
TRABAJO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO MECATRÓNICO
JONATHAN RODRIGO CONSTANTE ARGÜELLO
DIRECTOR: MSc. GONZALO EFRAÍN GUERRÓN LÓPEZ
FORMULARIO DE REGISTRO BIBLIOGRÁFICO
PROYECTO DE TITULACIÓN
DATOS DE CONTACTO
CÉDULA DE IDENTIDAD: 1723292864
APELLIDO Y NOMBRES: Constante Jonathan Rodrigo
DIRECCIÓN: La Prensa y el Inca
EMAIL: [email protected]
TELÉFONO FIJO: 2267161
TELÉFONO MOVIL: 0983267327
DATOS DE LA OBRA
TITULO: Diseño de un sistema para el
dimensionamiento del rotor de un aerogenerador de eje horizontal.
AUTOR O AUTORES: Jonathan Rodrigo Constante Argüello
FECHA DE ENTREGA DEL PROYECTO DE TITULACIÓN:
18 de Enero 2018
DIRECTOR DEL PROYECTO DE TITULACIÓN:
MSc. Gonzalo Efraín Guerrón López
PROGRAMA PREGRADO POSGRADO
TITULO POR EL QUE OPTA: INGENIERO EN MECATRÓNICA
cada elemento. Los datos obtenidos permitieron calcular la fuerza que ejerce el viento en cada elemento; la fuerza resultante produce un torque que impulsa el movimiento del rotor. Por último, se realizó un análisis del comportamiento del aspa cuando el rotor ya está en movimiento, logrando con ello obtener el torque y la velocidad angular máximos a los que llegará el rotor; estos parámetros permitirán escoger un generador eléctrico para la turbina. La interfaz diseñada para el ingreso de datos por el usuario y la presentación de los resultados obtenidos se presentan en un programa amigable, teniendo un error mínimo del 1%, y que no necesita grandes recursos computacionales para su funcionamiento.
PALABRAS CLAVES: Aerogenerador, aspa, dimensionamiento del rotor, generador eléctrico.
interface for the entry of data by the user and the presentation of the results obtained are show in a friendly program, which presented an error of only 1%, and not need large computational resources to carry out the calculations.
KEYWORDS Wind turbine, blade, sizing of the rotor, electric generator.
Se autoriza la publicación de este Proyecto de Titulación en el Repositorio Digital de la Institución.
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DECLARACIÓN Y AUTORIZACIÓN
Yo, CONSTANTE ARGÜELLO JONATHAN RODRIGO, CI 1723293864 autor del proyecto
titulado: Diseño de un sistema para el dimensionamiento del rotor de un aerogenerador
de eje horizontal, previo a la obtención del título de INGENIERO EN MECATRÓNICA en la
Universidad Tecnológica Equinoccial.
1. Declaro tener pleno conocimiento de la obligación que tienen las Instituciones de
Educación Superior, de conformidad con el Artículo 144 de la Ley Orgánica de
Educación Superior, de entregar a la SENESCYT en formato digital una copia del
referido trabajo de graduación para que sea integrado al Sistema Nacional de
información de la Educación Superior del Ecuador para su difusión pública
respetando los derechos de autor.
2. Autorizo a la BIBLIOTECA de la Universidad Tecnológica Equinoccial a tener una
copia del referido trabajo de graduación con el propósito de generar un Repositorio
que democratice la información, respetando las políticas de propiedad intelectual
vigentes.
Quito, 17 Enero 2018
f:__________________________________________
DECLARACIÓN
Yo CONSTANTE ARGÜELLO JONATHAN RODRIGO, declaro que el trabajo aquí descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento.
La Universidad Tecnológica Equinoccial puede hacer uso de los derechos correspondientes a este trabajo, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la normativa institucional vigente.
_________________________
CARTA DE AVAL DE LA EMPRESA
Yo, JUAN DIEGO JIJÓN VALDIVIESO con cédula de identidad N.- 0502448970 en calidad de Líder de la línea de Energía Eólica del INER
certifico que el Sr. CONSTANTE ARGÜELLO JONATHAN RODRIGO, realizó su trabajo de titulación con el tema “Diseño de un sistema para el
dimensionamiento del rotor de un aerogenerador de eje horizontal”, por
requerimientos, y basada en la información proporcionada por la empresa. Los
resultados del trabajo se entregaron el día 5 de enero del 2018.
f:________________ __________________________
JUAN DIEGO JIJÓN VALDIVIESO
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo que lleva por título “Diseño de un sistema para el dimensionamiento del rotor de un aerogenerador de eje horizontal”, que, para aspirar al título de INGENIERO EN MECATRÓNICA fue desarrollado por CONSTANTE ARGÜELLO JONATHAN RODRIGO, bajo mi dirección y supervisión, en la Facultad de Ciencias de la Ingeniería e Industrias; y cumple con las condiciones requeridas por el reglamento de Trabajos de Titulación artículos 19, 27 y 28.
DEDICATORIA
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a los Ingenieros Gonzalo Guerrón y Diego Jijón que me guiaron durante el desarrollo de este trabajo.
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ÍNDICE DE CONTENIDOS
PÁGINA
Resumen ... 1
Abstract ... 2
1. INTRODUCCIÓN ... 3
2. METODOLOGÍA ... 8
2.1 Definición del sistema ... 8
2.2 Diseño del Software ... 11
2.2.1. Función naca_profile ... 12
2.2.2. Función construccion_ala ... 15
2.2.3. Función area_pixeles ... 18
2.2.4. Función fuerzas_transformacion ... 22
2.2.5. Función fuerzas_movimiento ... 29
2.2.6. Función T_max ... 30
2.2.7. Funciones Turbine y Video ... 32
2.3 Integración del sistema ... 34
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN ... 37
3.1 Lógica de funcionamiento del algoritmo desarrollado ... 37
3.2 Prueba de distintos perfiles Naca de 4 Dígitos. ... 38
3.3 Prueba de convergencia de los resultados. ... 38
3.4 Función de una turbina a distintas velocidades de viento. ... 42
3.5 Análisis de Resultados. ... 44
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ... 45
Conclusiones ... 44
Recomendaciones ... 45
BIBLIOGRAFÍA ... 46
ii
ÍNDICE DE TABLAS
iii
ÍNDICE DE FIGURAS
PÁGINA
Figura 1. Modelo en V. ... 8
Figura 2. Orden y resultados de las Sub-funciones ... 11
Figura 3. Líneas de los perfiles ... 12
Figura 4. Números de la serie NACA ... 13
Figura 5. Perfil a lo largo del aspa. ... 15
Figura 6.Forma típica de planitud normalizada de una pala de turbina eólica15 Figura 7. Mallado del aspa. ... 17
Figura 8. Rellenado de las áreas del mallado. ... 18
Figura 9. Aspa completa. ... 18
Figura 10. Método para el cálculo del área. ... 19
Figura 11. Normal dibujada a los elementos ... 20
Figura 12. Rotaciones para los ángulos de Euler... 21
Figura 13. Calculo del ángulo θ... 21
Figura 14. Dirección del viento asumida ... 23
Figura 15. Sistemas de ejes en 3D. ... 23
Figura 16. Sistemas de ejes vistos de frente al plano XY original. ... 24
Figura 17. Sistemas de ejes vistos de frente al plano XZ original. ... 24
Figura 18. Angulo de Ataque... 25
Figura 19. Descomposición de la fuerza del viento en el sistema X’Y’Z’. ... 26
Figura 20. Fuerzas respecto al elemento. ... 27
Figura 21. Aspa en Movimiento. ... 29
Figura 22. Rotor en Movimiento. ... 31
Figura 23. Ventana de apertura del programa. ... 34
Figura 24. Segunda Ventana del programa. ... 35
Figura 25. Tercera Ventana del programa. ... 36
Figura 26. Cuarta Ventana del programa. ... 36
Figura 27. Diagrama de flujo del programa. ... 37
Figura 28. Naca 1220………....……….38
Figura 29. Naca 2415. ... 38
Figura 30. Naca 0015……… 38
Figura 31. Naca 4412. ... 38
Figura 32. Naca0015 Elementos-Fuerza………...………. 39
Figura 33. Naca1220 Elementos-Fuerza. ... 39
Figura 34. Naca2415 Elementos-Fuerza………..…. 39
Figura 35. Naca4412 Elementos-Fuerza. ... 39
Figura 36. Naca0015 Elementos-Torque. ……….……….40
Figura 37. Naca1220 Elementos-Torque. ... 40
Figura 38. Naca2415 Elementos-Torque. ………..40
Figura 39. Naca4412 Elementos-Torque. ... 40
Figura 40. Naca0015 Elementos-ω. ………...40
iv
Figura 42. Naca2415 Elementos-ω. ………...…41
Figura 43 Naca4412 Elementos-ω. ... 41
Figura 44. Naca0015 Elementos-Tmáx. ……….………....41
Figura 45. Naca1220 Elementos-Tmáx. ... 41
Figura 46. Naca2415 Elementos-Tmáx. ………....41
Figura 47. Naca4412 Elementos-Tmáx. ... 41
Figura 48. Naca1220 Velocidad de Viento-Tmáx. ... 42
Figura 49. Naca1220 Velocidad del Viento-Velocidad Angular ... 43
Figura 50. Ventana de Inicio ... 50
Figura 51. Ventana del Perfil Naca ... 50
Figura 52. Ventana para el cálculo de parámetros del aspa. ... 51
Figura 53. Resultados del análisis con el programa. ... 51
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ÍNDICE DE ANEXOS
PÁGINA Anexo 1. Tabla de resultados con los mallados ... 48
1
Resumen
Este trabajo presenta el diseño de un algoritmo computacional que permite realizar el dimensionamiento del rotor de un aerogenerador mediante el cálculo del torque y la velocidad angular que producirá el mismo. Este cálculo lo realiza el programa con los datos que el usuario ingresa de: tamaño del radio del rotor, densidad y velocidad del viento. El programa desarrollado usa un análisis por partículas del fenómeno físico de la interacción del viento con las aspas del rotor. El primer paso fue realizar el mallado de una de las aspas, es decir, dividir el aspa en partes más pequeñas llamadas elementos y encontrar las coordenadas de los nodos o puntos de unión de estos para el cálculo del área de cada elemento. Los datos obtenidos permitieron calcular la fuerza que ejerce el viento en cada elemento; la fuerza resultante produce un torque que impulsa el movimiento del rotor. Por último, se realizó un análisis del comportamiento del aspa cuando el rotor ya está en movimiento, logrando con ello obtener el torque y la velocidad angular máximos a los que llegará el rotor; estos parámetros permitirán escoger un generador eléctrico para la turbina. La interfaz diseñada para el ingreso de datos por el usuario y la presentación de los resultados obtenidos se presentan en un programa amigable, teniendo un error mínimo del 1%, y que no necesita grandes recursos computacionales para su funcionamiento.
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Abstract
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La energía eólica en la actualidad tiene un gran impulso debido a que alrededor del mundo se está buscando reemplazar las energías convencionales como petróleo, carbón o gas natural, y optar por otras fuentes que no sean perjudiciales para el ambiente (Marin, 2004) (Aranda & Cruz, 1999) (Gonzáles, Beltrán, Troyo, & Ortega, 2006).
La energía eólica es una tecnología limpia que ha sido usada desde hace mucho tiempo y aplicada en la industria. Se puede ver como ejemplo los molinos utilizados para el bombeo de agua o el molino de grano (Gutierrez, Garcia, Peyrau, & Zamora, 2011).
Gracias a los estudios de las tecnologías aplicadas a este tipo de energía, la energía eólica está siendo integrada al sistema eléctrico interconectado de muchos países. Por otro lado, los parques eólicos pueden ser instalados como sistemas de generación eléctrica independiente en lugares aislados donde no se tiene acceso a la red eléctrica, un servicio elemental para el desarrollo económico y social de la zona. Todos estos aspectos han obligado a los distintos gobiernos a seguir investigando más sobre este y otros recursos renovables (Mejia, y otros, 2005).
El gran desarrollo de la tecnología de la energía eólica se puede observar en países altamente industrializados como España, Estados Unidos, Inglaterra, Alemania y otros. En estos países industrializados se ha puesto la energía eólica como fuente alterna de obtención de energía eléctrica, y se han hecho varios planes a largo tiempo para poder aprovechar al máximo el potencial eólico de algunos países (Marin, 2004).
Por ejemplo, en Inglaterra se espera que para el 2020 se haya generado 47 GW de energía eólica. En Francia también se apostó por esta energía y se hizo un plan en el 2011 para instalación de más de 3000 MW de potencia. (Gutierrez, Garcia, Peyrau, & Zamora, 2011)
En todos estos países se ha hecho posible el desarrollo de la energía eólica gracias a distintos programas e instituciones de gobierno que se han dedicado a realizar estos estudios (Gonzáles, Beltrán, Troyo, & Ortega, 2006) (Aranda & Cruz, 1999).
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terreno complejo, vientos turbulentos y bajas densidades de aire, donde el perfil aerodinámico es fundamental para aprovechar toda la energía cinética del viento posible, se lo debe realizar con fundamentos matemáticos y físicos mediante una metodología que permita reducir el error en el dimensionamiento del rotor.
El dimensionamiento de los aerogeneradores es una de las tareas más difíciles, el mismo que involucra diversos aspectos complejos de diseño. En el diseño de los aerogeneradores se usa distintas fórmulas para poder calcular varios parámetros necesarios para el óptimo dimensionamiento del rotor del aerogenerador. Uno de los parámetros que se calculan para el dimensionamiento es la energía que va a entregar el viento debido a la velocidad que este tiene en la zona de interés.
Para calcular este primer parámetro se parte de la fórmula de energía cinética la cual es desarrollada reemplazando sus parámetros y derivada con respecto al tiempo para obtener una fórmula que muestre la potencia que el viento entregará. Cabe destacar que el rotor de un aerogenerador está constituido por las aspas y el buje. Las aspas son las encargadas de captar la energía cinética del viento y al área barrida por estas se considera como el área para poder calcular la potencia entregada por el viento. (Abarzúa Martinez, 2012)
Las aspas al captar la energía cinética del viento la transfieren como energía mecánica que es transmitida al eje. Para calcular esta potencia mecánica se utiliza el coeficiente de potencia para el que se tiene distintas fórmulas que se pueden usar dependiendo del tipo de aspas del aerogenerador y la consideración que tome el diseñador.
El coeficiente de potencia también se rige a la ley de Betz la cual muestra que un aerogenerador puede transmitir un máximo de potencia de 57,29% de la potencia total del viento. En el cálculo del coeficiente de potencia influye la razón de velocidad de la punta o Teep Speed Ratio (TSR por sus siglas en inglés). Éste se calcula en función de la velocidad de giro del rotor, el radio del área barrida por las aspas y la velocidad del viento (Abarzúa Martinez, 2012), (Suau de Castro, 2014). Una vez obtenidos los parámetros descritos se procede a dimensionar el rotor que logre captar la mayor cantidad de potencia del viento.
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análisis de cargas máximas que afectan a los aerogeneradores se pueden enumerar 3:
- Análisis de las cargas estáticas sobre la estructura - Análisis de las cargas dinámicas sobre la estructura. - Análisis de la carga total sobre la estructura.
En conclusión, se puede decir que para el dimensionamiento de un rotor se usan varias fórmulas físicas para poder determinar las medidas más óptimas para el mejor aprovechamiento de la energía eólica. Algunas de las fórmulas más usadas son: Potencia del viento, Ecuación de Bernoulli, Ley de Betz, Coeficiente de potencia, Coeficiente de cantidad de movimiento y la Teoría del momento angular.
En el dimensionamiento de distintos elementos también se usa Software de dinámica de fluidos computacional o CFD (Computer Fluid Dynamics). Estos programas son basados en la técnica de volúmenes finitos. Y se los usa para simular el comportamiento de un fluido a través de un elemento de interés. (Acosta Rojas, Duque Daza, Mantilla Gonzáles, & Galeano Urueña, 2007). En el caso de los aerogeneradores para poder dimensionar el rotor se usan distintos programas CFD, entre estos se pueden destacar el programa llamado “GH Bladed” de la empresa Hassan Garrad, destinado a un completo cálculo del aerogenerador. Y el paquete “Workbench” de ANSYS, el cual también permite un completo cálculo y predicción de cargas tanto de oleaje como aéreas. (Gutierrez, Garcia, Peyrau, & Zamora, 2011).
Los métodos de dimensionamiento mediante software están basados en el mallado que es un método de análisis que ha ayudado a que se realice estudios de distintos problemas matemáticos y de ingeniería. Este método se basa en la división de un elemento en pequeños subdominios para poder estudiar el problema planteado, y la función incógnita es el resultado de la suma de las funciones de cada uno de los subdominios.
El mallado en el método de elementos finitos (MEF) es conocido como la discretización del dominio y a los subdominios se los llama elementos. Las características geométricas de estos dependen del número de divisiones que se quiere conseguir, así como de las características del problema. Para lograr un mallado óptimo para la resolución del problema se tienen técnicas generales que son capaces de generar mallas en geometrías muy complejas. (Díaz Morcillo, 2000)
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últimos años se ha realizado campañas de medición de la velocidad de viento en provincias como Loja, Imbabura y Bolívar. Estas mediciones ayudan a determinar el potencial eólico que tiene el país. Este tipo de campañas ayuda a que se pueda contar con datos adecuados para poder construir los parques eólicos y dimensionar los aerogeneradores de forma que estos puedan captar la mayor cantidad de energía. (Ministerio de Electricidad y Energía Renovable, 2013).
Para aprovechar este recurso disponible en el país se necesita un buen diseño de la turbina que esté acorde a la caracterización del comportamiento del viento en el lugar de interés. Sin embargo, debido a que las herramientas informáticas para el diseño de una turbina eólica no son de fácil acceso, por su costo, las exigencias de alta capacidad de procesamiento de imágenes, altas velocidad del procesador en las computadoras y la gran cantidad de tiempo para la compilación de los diseños, no se ha podido promover la producción de turbinas eólicas en el Ecuador como medio para generar energía eléctrica. La simulación del rotor de un aerogenerador, permite que los usuarios y fabricantes de turbinas eólicas puedan dimensionar y seleccionar el rotor de las turbinas eólicas de una manera amigable, además de dimensionar el generador eléctrico que podrá ser usado, así como su caja multiplicadora, con las cuales funcionará de forma óptima bajo condiciones de viento turbulentas y terrenos complejos, pues podrá contar con parámetros fundamentales para el aprovechamiento del recurso eólico real registrado por torres de medición instaladas en un lugar de interés.
Actualmente, en el Ecuador no se construyen aerogeneradores para la generación eléctrica, este trabajo de grado es un paso fundamental en el crecimiento de capacidades para lograr generar este tipo de tecnología, a través de Institutos de Investigación, Universidades y Empresas. Con este trabajo se pretende facilitar los estudios de pre-factibilidad y factibilidad al proporcionar a los usuarios del programa, los datos de velocidad angular y torque generado por un rotor a una velocidad de viento requerida.
Para lograr esto, el objetivo general es diseñar un sistema para el dimensionamiento del rotor de un aerogenerador de eje horizontal; y se lo dividió en 3 objetivos específicos
- Diseñar un rotor estándar de aerogeneradores que se ajusten a los modelos de las turbinas del Parque Eólico Villonaco.
7
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En este capítulo se muestra el desarrollo del algoritmo computacional usado en la simulación de un aerogenerador de eje horizontal de 3 aspas, así como la descripción del funcionamiento del software realizado.
Existen varias metodologías que se usan para el desarrollo de proyectos mecatrónicos. La más usada y la que se eligió para el desarrollo de esta tesis es la “Metodología en V” (Ingenieure, 2004). La metodología en V describe cada una de las actividades que son realizadas durante todo el proyecto para lograr obtener los resultados esperados. En la figura 1 se puede observar una breve descripción de los pasos de la metodología en V que se aplicó en el desarrollo del algoritmo computacional para la simulación y dimensionamiento del rotor de un aerogenerador de eje horizontal.
Figura 1. Modelo en V.
(Ingenieure, 2004).
El modelo en V tiene tres etapas:
- En la primera se define el sistema. - La segunda es el desarrollo del mismo.
- Y por último la integración en la que se busca validar y verificar el sistema a partir de los requerimientos planteados.
2.1 Definición del sistema
Para el diseño del sistema se necesitaron varios requerimientos específicos, en base a los cuales se establecen las funciones del programa con el que se dimensionó el rotor de un aerogenerador. Estos requerimientos fueron:
- Ser amigable con el usuario de tal forma que cualquier persona con conocimientos básicos de energía eólica sea capaz de usarlo.
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- Ser accesible para el mayor número de personas - Análisis en base a un mallado propuesto.
- Los resultados del análisis deben ser: el torque del rotor del aerogenerador de eje horizontal bajo diferentes velocidades de viento. Es necesario realizar la estimación de las diferentes velocidades angulares a las que gira el rotor.
- Como resultado de este trabajo se tiene un software con su respectivo manual de usuario para la instalación en un sistema operativo Microsoft Windows.
Una vez definido los requerimientos, se realizó un diseño conceptual del sistema. Fue fundamental en esta etapa elegir el software para el desarrollo de este trabajo. Cabe mencionar que se utilizaron distintos arreglos de matrices, así como de expresiones matemáticas para la resolución del problema y el análisis del comportamiento del rotor. La programación del sistema para dimensionar un rotor de un aerogenerador de eje horizontal fue desarrollada en el programa Matlab.
El programa se dividió en nueve funciones con tareas específicas que descomponen el problema general y retornan un valor, matriz o gráfica.
Las primeras dos funciones sirven para realizar el mallado y hacer el dibujo 3D de una de las aspas del aerogenerador.
Para la primera función se tomó en cuenta solo 2 ejes: el eje X y el eje Y. Estos ejes definen la forma del perfil que se utilizaría para el análisis del rotor (Figura 2.a). Las entradas para esta primera tarea son: el nombre del perfil a usar y la resolución que se desea. La resolución en esta primera función, es un valor adimensional por el cual se multiplica al tamaño de la cuerda para obtener separación de los puntos del perfil en el eje X. El resultado que retorna la primera función son 3 matrices que indican las coordenadas de cada uno de los puntos del perfil con respecto al eje X y Y dependiendo el tamaño de la cuerda del perfil, la cual disminuye mientras aumenta la distancia en Z.
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Z de cada uno de los puntos que componen los pixeles en los que se divide el aspa.
La tercera función emplea distintas fórmulas geométricas y físicas que permiten calcular: el área, las normales, los ángulos de Euler y la distancias con respecto al eje Z del rotor del aerogenerador donde se aplicarán las fuerzas en cada uno de los elementos del aspa. En esta función se llama a las funciones anteriores para obtener las coordenadas de los puntos a partir de los cuales se trabaja; por lo que las entradas utilizadas son las mismas que en la segunda función, esta función obtiene como resultado una matriz nueva que contiene tanto los puntos como todos los nuevos parámetros calculados (Figura 2.c).
La cuarta función recibe como entradas: la matriz generada en la tercera función, el ángulo de ataque al cual quiere colocar las aspas del aerogenerador, la densidad del viento con la que el usuario quiere calcular los parámetros y la velocidad del mismo. En esta se procedió a hacer el cálculo de la fuerza total y del torque total, sumando las pequeñas fuerzas y torques que hay en cada uno de los elementos en los cuales se dividió el aspa. También se hace una aproximación de la masa del aspa y de su momento de inercia con los cuales se puede conseguir otro parámetro importante que es la aceleración angular (Figura 2.d).
La quinta función sirve para saber lo que sucede cuando el rotor está girando pues debido al movimiento abra una fuerza que chocará con una parte del aspa lo cual obligará a que el movimiento se vuelva constante, pues las fuerzas, tanto la que suma como la que resta, tendrán un valor igual (Figura 2.e). Para ello las entradas que se necesitaron fueron: la velocidad y la densidad del viento antes ingresadas; la velocidad angular alcanzada por el rotor en un instante de tiempo, el ángulo de ataque que se eligió y la matriz generada en la tercera función. Esta función da como resultado el valor de la fuerza que se debe restar a la fuerza positiva calculada por la cuarta función.
La sexta función hace una comparación entre la cuarta y quinta para lograr obtener la velocidad angular y el momento final que alcanzara el rotor (Figura 2.f), optimizando de forma recursiva sus valores finales para simular el comportamiento del aerogenerador.
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La novena función es el desarrollo del código para realizar la interfaz que vera el usuario cada que ejecute el programa. En este código se incluye la simulación del aerogenerador de eje horizontal de 3 aspas, así como la forma en la se presentan los parámetros calculados que permiten que se escoja un generador eléctrico acorde a los datos ingresados, tanto de viento como de tamaño.
En la figura 2, se muestra el orden en el que se usa las funciones y los resultados que se obtienen en cada una de ellas:
Figura 2. Orden y resultados de las Sub-funciones
2.2 Diseño del Software
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Para realizar el análisis del comportamiento de la interacción del viento con el aspa es necesario generar un mallado, es decir, dividir el aspa en pequeñas áreas que varían su tamaño dependiendo de la resolución que se aplique.
En el análisis, fue importante saber el número de elementos de la malla y las coordenadas de los nodos o puntos de unión de estos. Con estos datos se procedió a realizar los cálculos para dimensionar el rotor de un aerogenerador de eje horizontal. A continuación, se explica cada una de las funciones que se desarrollaron.
2.2.1. Función naca_profile
El elemento principal en el rotor de un aerogenerador son las palas o aspas, cada una de estas tiene un perfil con forma aerodinámica. Los tipos de perfiles más utilizados en las máquinas eólicas son de la serie NACA. (Fernández, 2010).
En la función llamada naca_profile se requieren 2 entradas, el nombre y la numeración del perfil de 4 dígitos, y la resolución del perfil. Se usó como sistema de unidades el SI (Sistema Internacional de Unidades).
El nombre del perfil y la serie se escribe junto sin espacio para que el programa sea capaz de reconocerlo. Cabe mencionar que el perfil tiene que ser de la serie NACA de 4 dígitos.
La resolución, es un valor adimensional que mientras más pequeño sea, la cantidad de elementos aumenta. Este número debe estar entre 0 y 1.
En los cálculos de los puntos de los perfiles aerodinámicos hay 2 líneas principales que se debía tomar en cuenta: la cuerda y la línea de curvatura. (Figura 3).
Figura 3. Líneas de los perfiles
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Los cuatro números de la serie NACA representan tres valores que ayudan a obtener las coordenadas de los puntos del perfil a partir de la geometría del mismo (Figura 4). Los tres valores son porcentajes con respecto a la cuerda y se multiplican por c.
Figura 4. Números de la serie NACA
(Moran, 1984)
El primer valor es obtenido del primer número de la serie NACA dividido para 100 y representa la ordenada máxima o distancia máxima entre la línea de curvatura media y la cuerda del perfil; para las fórmulas se lo denominó con el símbolo ε.
El segundo número de la serie NACA es dividido para 10 y corresponde a la medida desde el borde o punto inicial del perfil, hasta la posición de la ordenada máxima en el eje X; se lo denominó con el símbolo ρ.
El tercer valor se obtiene de los dos últimos números de la serie NACA dividido para 100 e indica el espesor máximo del perfil en porcentaje respecto a la cuerda y se lo escribió con el símbolo es ζ.
Los valores que se obtendrían por ejemplo del perfil ‘NACA1220’ serian: ε=0.01, ρ=0.2 y ζ=0.20. Esto quiere decir que el perfil tendría un espesor máximo del 20% de la cuerda, una máxima curvatura de 0.01 que estaría ubicado a un 20% de la cuerda medido desde el punto inicial (Figura 4).
Las coordenadas de los puntos de los perfiles NACA de cuatro dígitos, están definidas por distintas ecuaciones que nos permiten dibujar la cuerda, la línea de curvatura y el perfil en sí. Estas fórmulas utilizan los valores antes explicados.
Los puntos de la línea de curvatura fueron dados por las ecuaciones (Moran, 1984):
𝑌̅(𝑥) = 𝜀𝑥 𝜌2(2𝜌 −
𝑥
14
𝑌̅(𝑥) = 𝜀(𝑐−𝑥) (1−𝜌)2(1 +
𝑥
𝑐− 2𝜌) desde x = c ∗ ρ hasta x = c [2] Donde:
Y: coordenada en el eje Y (m)
ε: ordenada máxima de la curvatura en porcentaje de la cuerda. c: tamaño de la cuerda (m)
x: coordenada del punto en el eje x (m)
ρ: porcentaje de la distancia con respecto al tamaño de la cuerda al que está la ordenada máxima de la curvatura.
Las ecuaciones 1 y 2 describen parábolas que se unen en el punto máximo de curvatura, para lograr obtener los puntos de esta línea se usó dos ciclos FOR o ciclos de iteraciones distintos donde los límites son: para el primer ciclo desde 0 hasta c x ρ y el segundo ciclo va desde c x ρ hasta c.
Se tuvo que definir también el valor del espesor del aspa el cual indica la distancia máxima que existe entre el punto superior e inferior del perfil como se ve en la Figura 4. La ecuación 3 (Moran, 1984) fue la que se utilizó para calcular esta distancia:
𝑇(𝑥) = 10 𝜁𝑐 [0.2969√𝑥𝑐− 0.126𝑥
𝑐− 0.3537 ( 𝑥 𝑐)
2
+ 0.2843 (𝑥 𝑐)
3
− 0.1015 (𝑥 𝑐)
4
] [3]
Donde:
T: espesor máximo del perfil (m)
ζ: porcentaje del espesor con respecto a la cuerda c: tamaño de la cuerda (m)
x: coordenada del punto en el eje x (m)
Los puntos superiores e inferiores del perfil se calculan con ciclos repetitivos FOR que usan los puntos de la línea de curvatura, que es la que divide el espesor del perfil, y se le sumo la mitad del espesor máximo calculado con la ecuación 3 para obtener el punto superior (ecuación 4) (Moran, 1984) o se le resta este mismo valor para obtener el punto inferior del perfil (ecuación 5) (Moran, 1984).
𝑇𝑢𝑝(𝑥) = 𝑌(𝑥) + 1
2𝑇(𝑥) [4]
𝑇𝑑(𝑥) = 𝑌(𝑥) − 1
2𝑇(𝑥) [5]
15 2.2.2. Función construccion_ala
Una vez que se definió el perfil, se construyó el aspa teniendo en cuenta que, a lo largo de toda el ala, el perfil sería el mismo pero la cuerda iría disminuyendo (Figura 5).
Figura 5. Perfil a lo largo del aspa.
La función construccion_ala permite obtener el grafico del ala en 3D. En el eje Z, se varia el tamaño de la cuerda o el valor máximo que toma x en la función naca_profile. Esta función tiene 4 entradas: las dos primeras son las mismas entradas que la función naca_profile (perfil naca y resolución en el eje x), más 2 entradas nuevas.
La primera entrada para esta función es la longitud en metros del aspa. Se pudo notar que a partir del tamaño del aspa, la relación de la velocidad punta o TSR (TIP Speed Ratio), coeficiente de arrastre, coeficiente de elevación y el ángulo de ataque se podía calcular la cuerda máxima y la mínima que iba a tener la pala. Para el cálculo de la cuerda en el programa se utilizó el Forma típica de planitud normalizada de una pala de turbina eólica usada por David A. Spera (2014) y que se muestra en la Figura 6.
Figura 6. Forma típica de planitud normalizada de una pala de turbina eólica.
16
Como se puede notar en la Figura 6, la cuerda toma un valor máximo igual al 9% y un valor mínimo igual al 2,5% de la longitud total del aspa.
La segunda entrada es la resolución del aspa, este valor es adimensional, toma valores entre 0 y 1 y se lo multiplica por la longitud del aspa; el resultado es la distancia que va a variar la coordenada en Z hasta llegar a tomar su valor máximo, el cual es igual a la longitud completa del aspa. Para saber el número de divisiones del aspa en el eje Z se tiene la siguiente ecuación:
𝑁 = 1
𝑝𝑎 [6]
Donde:
N: número de divisiones del aspa pa: resolución aspa.
El número de perfiles que se generaron es igual a:
𝑁𝑝 = 𝑁 + 1 [7]
Para generar los distintos perfiles (Figura 5) a lo largo del eje Z se definió la variación del tamaño de la cuerda que va a tener cada uno de ellos. La disminución del tamaño obedece a la siguiente ecuación de una recta:
𝐶(𝑠) = (𝑠
𝑅∗ (−0.73)) + 𝐶𝑚𝑎𝑥 [8]
Donde:
C(s): nuevo tamaño de la cuerda (m) R: longitud del aspa (m)
Cmax: tamaño de la cuerda máxima (m) s: coordenada del punto en el eje z (m)
La función construccion_ala obtuvo de manera secuencial los valores de la cuerda correspondientes a todos los perfiles calculados con la Ecuación 8. Este proceso se realizó con un ciclo FOR, el cual utilizó los vectores generados por la función naca_profile para los distintos tamaños de la cuerda a lo largo del aspa. Los vectores generados se almacenaron en un tensor o también conocido como matriz de matrices. En este primer paso también se dibujan los perfiles a lo largo del eje Z uniendo las coordenadas X y Y de cada perfil con líneas rectas en un orden sucesivo.
Cabe mencionar que los vectores generados por la función naca_profile deben tener el mismo tamaño sin importar la longitud de la cuerda. Para ello la variación que tienen las coordenadas en el eje X es el siguiente:
∆𝑥 = 𝑐 ∗ 𝑟 ∗ 𝑝 [9]
Donde:
17
c: tamaño de la cuerda enviado por la función construccion_ala r: resolución del perfil
p: porcentaje de la distancia con respecto al tamaño de la cuerda al que está la ordenada máxima de la línea de curvatura.
Al tener los vectores del mismo tamaño se logró obtener un mismo número de puntos en cada uno de los perfiles lo cual permitió unir en orden y con líneas rectas, cada uno de estos puntos desde el primer hasta el último perfil consiguiendo así el mallado completo del aspa. (Figura 7)
Figura 7. Mallado del aspa.
En la malla resultante lo más importante es el número de elementos y las coordenadas de los nodos generados en toda el aspa. Estos datos se obtuvieron al ordenar y agrupar las coordenadas de cada uno de estos nodos por cada elemento generado en la malla. El resultado fue una nueva matriz de matrices con 4 columnas, cada columna almacenó una matriz que muestra lo siguiente: la primera sirve para contar los elementos en los cuales se dividió el aspa, la segunda muestra las 4 coordenadas en X, la tercera las 4 coordenadas en Y y la última las 4 coordenadas en Z de cada uno de los 4 nodos que componen los elementos.
18 Figura 8. Rellenado de las áreas del mallado.
Finalmente, se tuvo que rellenar las áreas de los extremos del aspa (Figura 9) para conseguir el aspecto de sólido completo y presentar el gráfico en una vista 3D que permita apreciar la forma del aspa.
Figura 9. Aspa completa.
2.2.3. Función area_pixeles
19
Para poder ubicar el sentido en el cual está el aspa fue necesario dibujar tanto la “la línea de curvatura” como “la cuerda” (Figura 9). Teniendo estas dos líneas se pudo ubicar al gráfico del aspa en la posición correcta.
Esta función comienza con el cálculo de las áreas de cada uno de los elementos. Para ello se tomó en cuenta que los elementos del mallado eran cuadriláteros. Se organizó las coordenadas X, Y y Z de cada uno de los puntos o nodos (Figura 10) de los elementos en 4 vectores para poder utilizarlos en fórmulas de geometría analítica y física. A pesar que los elementos eran cuadriláteros no eran figuras conocidas como cuadrados, rombos, trapecios u otros, de los cuales se tiene formulas ya definidas para sacar el área de la figura.
Debido a esto se optó por seguir el método geométrico descrito por Wentwoth y Smith (1972) para el cálculo del área de un polígono cualquiera. Es decir, se descompuso el polígono en 2 triángulos (Figura 10), figuras que ya se tiene formula exacta para el cálculo del área. Se calculó el área de estos para después sumar y tener el área completa de cada elemento.
Figura 10. Método para el cálculo del área.
Al tener fijados los dos triángulos, se utilizó una de las aplicaciones que tiene el producto vectorial o producto cruz (Vallejo & Zambrano, 2010), que dice que el cálculo del área de un triángulo contenido entre 2 vectores es igual a:
Á𝑟𝑒𝑎 =1
2|𝑉1⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 𝑉2⃗⃗⃗⃗⃗ | [10]
Donde:
Área: área del triángulo contenido entre los 2 vectores (𝑚2) V1: primer vector que contiene al triángulo.
V2: segundo vector que contiene al triángulo.
20
𝑃21
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃2 − 𝑃1 [11]
𝑃41
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃4 − 𝑃1 [12]
𝑉⃗ = 𝑃3 − 𝑃1 [13]
Donde:
𝑃21
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : vector entre los puntos P2 y P1 𝑃41
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : vector entre los puntos P4 y P1 𝑉⃗ : vector entre los puntos P3 y P1
P1, P2, P3, P4: puntos o nodos de los elementos
Después de tener estos vectores se utilizó la ecuación 10 para sacar el área de los triángulos entre los vectores 𝑃21⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑉⃗ y los vectores 𝑃41⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑉⃗ . Estas áreas se sumaron y se obtuvo el área total de cada uno de los elementos del aspa.
Una vez calculada el área se sacó las normales a cada uno de los planos que forman los elementos. Para ello se utilizó el producto cruz entre dos vectores pues el resultado de esta operación es un vector perpendicular al plano formado por los vectores. (Vallejo & Zambrano, 2010). A este vector normal al plano se lo ubicó en el centro de la diagonal formada por los puntos P1 y P3 del elemento, a este punto se lo llamó PC, que es donde actúa la fuerza del viento (Figura 11).
Figura 11. Normal dibujada a los elementos
En esta función también se calcularon los ángulos de Euler para poder descomponer la fuerza incidente que genera el viento en las fuerzas que actúan en cada uno de los elementos.
21 Figura 12. Rotaciones para los ángulos de Euler.
Para calcular los dos ángulos como se ve en la Figura 12, se tomó en cuenta que el ángulo Φ es igual al ángulo que forma el eje x original con el x’, y que el ángulo θ es igual al ángulo formado entre el eje z original y el eje z’.
Para el cálculo del ángulo Φ que se tiene entre el eje x y el eje x,’ se tomaron las coordenadas de los puntos P1 y P4, que forman una línea paralela al plano XY. Se calculó el ángulo que forma esta línea con el eje x original. La fórmula que se uso fue la siguiente:
Φ̂ = tan−1(𝑃4𝑦 − 𝑃1𝑦
𝑃4𝑥 − 𝑃1𝑥) [14]
Para el ángulo θ se tuvo en cuanta la normal antes dibujada, y este tiene como valor 90° menos el coseno director con respecto al eje Z del vector normal como se puede ver en la Figura 13.
22
La fórmula obtenida fue:
θ̂ = 90 − cos−1(𝑉𝑁𝑧
𝑉𝑁) [15]
Donde:
θ̂: ángulo θ (grados)
VNz: Componente del vector normal en Z (m) VN: modulo del vector normal.
Todos los resultados obtenidos en esta función, las coordenadas, el área, los ángulos de Euler y la distancia en Z del punto PC de cada uno de los elementos; se almacenaron en una nueva matriz de matrices denominada elementos_area.
2.2.4. Función fuerzas_transformacion
Una vez obtenidos los resultados de la función area_pixeles, se realizó el cálculo de los parámetros para dimensionar el rotor de un aerogenerador de eje horizontal.
Las entradas necesarias para el cálculo de estos parámetros son: la densidad del aire ingresada por el usuario, la velocidad del viento que se ha medido en la zona de interés, la matriz que se obtuvo como resultado de la función area_pixeles y el ángulo de ataque al que se quiere colocar las palas del aerogenerador.
Lo primero que se calcula en esta función es la fuerza con la que el viento actúa en cada uno de los elementos. Se asumió una dirección del viento proveniente del eje Y positivo al eje Y negativo (Figura 14); y se utilizó la formula general para el cálculo de la fuerza del viento (Sajad, 2013) (National Association of Architectural Metal Manufacturers, 2007), que es igual a:
𝐹𝑣 =1
2∗ 𝛿 ∗ 𝑉
2∗ 𝐴
𝑟𝑒𝑓∗ 𝐶𝑑 [16]
Donde:
Fv: fuerza del viento δ: densidad del viento V: velocidad del viento
23 Figura 14. Dirección del viento asumida
Tomando en cuenta que la fuerza del viento va a ser negativa y que según Hoener el coeficiente de arrastre es igual a 1.98, para una superficie plana (Hoerner, 1992), la fórmula usada en el programa para calcular la fuerza que actúa en un elemento fue:
𝐹𝑣𝑦 = −1
2∗ 𝛿 ∗ 𝑉
2∗ 𝐴
𝑟𝑒𝑓∗ 1.98 [17]
Como el análisis que se realiza es en tres dimensiones el vector de la fuerza del viento quedo de la siguiente manera:
𝐹𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0𝑖 + 𝐹𝑣𝑦𝑗 + 0𝑘⃗ [18]
Donde
𝐹𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗ : vector fuerza del viento
Fvy: Fuerza del viento en Y calculado con la ecuación 17
Este vector es muy importante pues es el que se transforma del sistema de ejes original, al sistema de ejes con respecto al plano de cada elemento. En las figuras 15 a 17 se muestra los 2 sistemas de ejes y se puede observar los ángulos de Euler que se obtuvieron con la función area_pixeles.
24 Figura 16. Sistemas de ejes vistos de frente al plano XY original.
Figura 17. Sistemas de ejes vistos de frente al plano XZ original.
25
Con el nuevo vector de viento de cada uno de los elementos del aspa se procede a realizar la transformación del vector del sistema original al sistema de ejes con respecto al plano de cada elemento.
Antes de realizar esta transformación se tomó en cuenta que el ángulo de ataque es el ángulo que forma la cuerda del aspa con el eje X del sistema original (Fernández, 2010), (Mejia, y otros, 2005), lo que hace que varíe el ángulo Φ antes calculado, como se ve en la Figura 18.
Figura 18. Angulo de Ataque.
El nuevo ángulo Φ para cada uno de los elementos es igual a:
𝑁Φ̂ = Φ̂ − 𝜆̂ [19]
Donde:
NΦ̂: nuevo ángulo Φ
Φ̂: ángulo Φ calculado en la función area_pixel
𝜆̂: ángulo de ataque.
Una vez que se calculó el nuevo ángulo NΦ y los otros 2 ángulos de Euler calculados en la función area_pixeles, se realiza la transformación de ejes de coordenadas de la fuerza del viento, pues las matrices de rotación están en función de estos ángulos (Heinbockel, 1996), (Chaves, 2012). Estas matrices de transformación son las siguientes:
𝐴 = [
𝑐𝑜𝑠𝑁𝛷 𝑠𝑖𝑛𝑁𝛷 0
−𝑠𝑖𝑛𝑁𝛷 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛷 0
0 0 1
] [20]
𝐵 = [
𝑐𝑜𝑠𝜃 0 −𝑠𝑖𝑛𝜃
0 1 0
𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃
] [21]
𝐶 = [
𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜓 0
−𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜓 0
0 0 1
26
Para obtener la matriz de transformación completa se debe multiplicar las 3 anteriores entre sí (Chaves, 2012), (Heinbockel, 1996), (Jaramillo, 2005) de la siguiente manera:
𝑅𝑇 = 𝐶 ∗ 𝐵 ∗ 𝐴 [23]
Al a los valores en i, j, k del vector 𝐹𝑣⃗⃗⃗⃗⃗ se los almacena en una matriz 1x3 quedando de la siguiente manera:
𝑉𝑒𝑐𝑣 = [0 𝐹𝑣𝑦 0] [24]
Donde:
Vecv: matriz de la fuerza del viento Fvy: fuerza del viento calculada en Y.
Por último para obtener la fuerza del viento en el sistema de ejes X’Y’Z’ se debe multiplicar la matriz resultante de rotación con la matriz traspuesta de la fuerza del viento:
𝑣𝑒𝑐_𝑇 = 𝑅𝑇 ∗ 𝑉𝑒𝑐𝑣′ [25]
El resultado (vec_T) es una matriz 3x1 en donde cada valor es igual a la fuerza descompuesta en los tres nuevos ejes X’, Y’ y Z’ (Figura 19):
𝑣𝑒𝑐_𝑇 = [ 𝐹𝑥′ 𝐹𝑦′ 𝐹𝑧′
] [26]
27
Con la fuerza descompuesta se procedió a analizar cuál era el efecto de esta fuerza sobre el plano del elemento, principalmente en el eje X original, en este eje se producirá el movimiento del aspa. Las fuerzas Fy’ y Fx’ respecto al elemento actúan como se ve en la Figura 20.
Figura 20. Fuerzas respecto al elemento.
Para hacer el análisis del comportamiento del aspa se sacó las componentes en el eje X de las fuerzas Fy’ y Fx’. Para sacar la componente en el eje X de la fuerza Fx’ se consideró solamente en ángulo Φ que es el único que hay entre la fuerza Fx’ y el eje X original teniendo la siguiente ecuación:
𝐹𝑥′𝑥 = 𝐹𝑥′∗ 𝑐𝑜𝑠𝑁𝛷 [27]
Asimismo, en el caso de la fuerza Fy’ hay dos ángulos para obtener el valor de la componente en el eje X original. El primer ángulo es el que forma el vector con el plano XY que es el ángulo θ. El segundo ángulo es el que formaría la proyección del vector en el plano XY con el eje Y que es igual al ángulo Φ. Con estos dos ángulos la ecuación para sacar la componente en X de la fuerza Fy’ es igual a:
𝐹𝑦′𝑥 = 𝐹𝑦′∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∗ 𝑠𝑖𝑛NΦ [28]
Las componentes en X de las fuerzas Fx’ y Fy’ se suman y se consigue la fuerza en X total que afecta a cada uno de los elementos. Y para el cálculo de la fuerza total que actúa en toda el aspa se sumó cada una de las fuerzas resultantes que hubo en cada elemento.
28
punto PC de cada elemento, estos dos valores se multiplican teniendo como resultado el torque en uno de los elementos. Al igual que en la fuerza total del aspa, el torque total del aspa se obtiene de sumar los torques de todos los elementos.
Por último, se calculó la aceleración angular que tiene el aspa al iniciar el movimiento, la cual se hace cero cuando la fuerza negativa generada por el movimiento del aspa, calculada con la función fuerzas_movimiento, es igual a la fuerza positiva total calculada en esta función.
Para el cálculo de la aceleración angular primero fue necesario que calcular la masa del aspa con la formula general para el cálculo de la masa de un aspa típica en función de su longitud que es (Gonzáles, Gonzáles, & Burgos, 2007):
𝑀𝑎𝑠𝑝𝑎 = 𝑘𝑚∗ 𝐿𝛥 [29]
Donde
𝑘𝑚 y Δ: constantes calculadas para diferentes aspas. L: longitud del aspa.
Las constantes que se usaron son las que más se ajustan a los diferentes tipos de aspa, quedando la siguiente ecuación:
𝑀𝑎𝑠𝑝𝑎 = 2.95 ∗ 𝐿2.13 [30]
La inercia del aspa se calculó con la ecuación 31, la cual relaciona la masa, la longitud y una constante de inercia para aspas que tienen geometría similar en sus cuchillas. La ecuación es (Gonzáles, Gonzáles, & Burgos, 2007):
𝐽 = 0.212 ∗ 𝑀 ∗ 𝐿2 [31]
Donde:
J: inercia del aspa. M: masa del aspa.
Por ultimo sabiendo que el torque es igual a:
𝑇 = 𝐽 ∗ 𝛼 [32]
Despejando:
𝛼 =𝑇
𝐽 [33]
Donde:
α: aceleración angular.
T: torque generado por el aspa. J: inercia del aspa.
29 2.2.5. Función fuerzas_movimiento
Esta función permite hacer un análisis del aspa cuando está en movimiento. Al principio, cuando la aceleración angular es máxima y la velocidad angular es cero, habrá solamente una fuerza positiva, considerada positiva pues está en la dirección del movimiento del aspa, pero una vez que empieza el movimiento aparece una fuerza negativa que frena el movimiento hasta volverlo constante. La fuerza negativa aparece debido al viento que choca con el borde de ataque del aspa como se ve en la Figura 21.
Figura 21. Aspa en Movimiento.
En esta función se calculó primero la velocidad lineal (velocidad del viento en contra del movimiento) que tendrían cada uno de los elementos del aspa que componen el borde de ataque. Teniendo en cuenta que la velocidad lineal para un movimiento circular es igual a: (Vallejo & Zambrano, 2010):
𝑉𝐿 = 𝐿𝑟 ∗ 𝜔 [34]
Donde:
𝑉𝐿: Velocidad lineal
Lr: longitud del radio de la circunferencia descrita por la partícula. ω: velocidad angular.
Para el cálculo de la velocidad del viento se utilizó la distancia en Z a la que esta cada uno de los puntos PC de los elementos que conforman el borde de ataque calculado en la función area_pixeles. Con este dato, la ecuación para el cálculo de la velocidad con la que viento choca con cada elemento del borde de ataque quedo expresada como sigue:
𝑉𝑐 = 𝑃𝐶𝑧∗ 𝜔 [35]
Donde:
𝑉𝑐: velocidad de choque del viento contra el borde de ataque.
30
La velocidad angular que tendría el aspa se calculó con la función T_max, que realiza la comparación entre: la fuerza positiva que impulsa el movimiento de la turbina y la fuerza negativa generada por el choque del viento contra el borde de ataque cuando el aspa esta en movimiento. Esto se explica con más detalle en la función T_max.
Al igual que en la función fuerzas_transformacion, se tuvo que calcular la fuerza que ejercería el viento en el mismo punto PC de cada uno de los elementos que conforman el borde de ataque del aspa. Para el cálculo de esta fuerza es necesario considerar las ecuaciones 16 y 17, que muestra la fórmula general en el cálculo de la fuerza del viento, y la fórmula con el coeficiente de arrastre igual a 1.98 para una superficie plana. En esta ecuación se tomó en cuenta la velocidad con la que choca el viento contra el borde de ataque. Por lo tanto, la ecuación para calcular la fuerza que se genera por el movimiento queda expresada de la siguiente manera:
𝐹𝑣𝑐𝑥 = −1
2∗ 𝛿 ∗ 𝑉𝑐
2∗ 𝐴
𝑟𝑒𝑓∗ 1.98 [36]
El vector fuerza del viento que choca contra el borde de ataque solo tiene componente en X que es el eje en el cual se da el movimiento del aspa, este vector se describe de la siguiente forma:
𝐹𝑣𝑐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝑣𝑐𝑥𝑖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 0𝑗 + 0𝑘⃗ [37]
Para obtener la fuerza total en contra del movimiento del aspa se usó el vector obtenido en la ecuación 37 y se lo transformó al sistema X’Y’Z’ para obtener las componentes de Fvc con respecto al plano de cada elemento, usando el mismo procedimiento de transformación que se explicó en la función fuerza_transformacion. El resultado obtenido fue igual al que expresa la ecuación 26. A estos tres vectores (Fx’, Fy’ y Fz’) resultantes de la transformación se los analizó y se buscó cual sería el efecto que tendrían sobre el elemento en el eje X original. Con este análisis se determinó que las fuerzas Fx’ y Fy’ restarían fuerza en el eje X original por lo que usando las ecuaciones 27 y 28 se obtuvo los componentes en X de estas dos fuerzas. Para obtener la fuerza negativa en el elemento se sumó las componentes que se obtuvieron. Y para la fuerza total que se tendría por el efecto de todo el borde de ataque del aspa se sumó las fuerzas negativas calculadas de cada elemento del borde de ataque. Esta fuerza negativa total es el resultado final de esta función, la cual se usa en la función T_max.
2.2.6. Función T_max
31
22.b) lo que hace que las fuerzas que se oponen al movimiento también aumenten desde un valor igual a 0 hasta un valor igual al de las fuerzas positivas; en este momento la sumatoria de las fuerzas es igual a 0, por lo que la velocidad angular deja de aumentar y la aceleración angular será 0 teniendo un movimiento circular constante.
Figura 22. Rotor en Movimiento.
Para empezar con el análisis se llama a la función fuerzas_transformacion y se usa los datos de fuerza total y aceleración angular calculadas. El dato de fuerza total muestra el valor final al que debe de llegar la fuerza negativa que se opone al movimiento y que es calculada con la función fuerzas_movimiento. La aceleración angular en cambio es usada para calcular la velocidad angular que tendrá el rotor a lo largo del tiempo con la ecuación de un movimiento circular uniformemente variado (Vallejo & Zambrano, 2010):
𝜔 = 𝑡 ∗ 𝛼 [38]
Donde:
α: aceleración angular 𝑟𝑎𝑑 𝑠2
t: tiempo (segundos) ω: velocidad angular 𝑟𝑎𝑑
𝑠
Con estos dos valores se llama varias veces a la función fuerzas_movimiento para ir calculando la fuerza negativa con la velocidad angular hasta un tiempo tf, donde el movimiento se vuelve constante debido a que la sumatoria de fuerzas de la turbina y por la fricción de los álabes con el viento, se igualarán con una diferencia establecida del 2%. En ese momento la velocidad angular será la máxima que alcanza el rotor a una velocidad de viento ingresada por el usuario.
32
aerogenerador según la ley de Betz es 0.593 o 16
27 de la potencia máxima del viento (Fernández, 2010) (Spera, 2014) (Muyen, Tamura, & Murata, 2009). La ecuación para la potencia máxima del aerogenerador se expresa de la siguiente manera:
𝑃𝑚á𝑥 =1
2∗ 𝛿 ∗ 𝐴 ∗ 𝑉 3∗16
27 [39]
Donde:
Pmáx: potencia máxima del aerogenerador. δ: densidad del viento.
A: área de barrido del aerogenerador. V: velocidad del viento.
Con este dato de potencia y la velocidad angular final del aerogenerador, se calculó el torque máximo del rotor con la ecuación de momento de rotación que es igual a (Gieck & Gieck, 2005):
𝑇𝑚á𝑥 = 𝑃𝑚á𝑥
𝜔𝑚á𝑥 [40]
2.2.7. Funciones Turbine y Video
En la función turbine se usó varias fórmulas de geometría analítica para realizar una gráfica en 2d de una turbina la cual se movería en función de la velocidad angular y la aceleración. La primera ecuación que se usó sirve para hacer el buje y calcula los puntos de un circulo, esta ecuación es igual a:
𝑌𝑐 = 𝑟 sin 𝛽 ; 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝛽 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝛽 = 2𝜋 [41]
𝑋𝑐 = 𝑟 cos 𝛽 ; 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝛽 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝛽 = 2𝜋 [42]
Donde:
Yc y Xc: coordenadas del circulo r: radio del buje.
β: ángulo al que se encuentra el punto.
Después se tuvo que tomar en cuenta las fórmulas para el cálculo de la posición a la que se encontrarían las aspas del rotor en un tiempo t. Como inicialmente el movimiento es circular uniformemente variado las ecuaciones que se usó para el cálculo de la posición y la velocidad angular en rad es (Gieck & Gieck, 2005):
𝜃1𝑡 = 𝜔𝑖𝑛𝑖∗ 𝑡 + 𝛼 ∗ 𝑡2 [43]
𝜔𝑓𝑖𝑛= 𝜔𝑖𝑛𝑖+ 𝛼 ∗ 𝑡 [44]
Donde:
Θ1: posición del aspa 1.
𝜔𝑖𝑛𝑖: velocidad angular inicial. t: tiempo del movimiento. Α: aceleración angular.
33
Cuando las fuerzas negativa y positiva son iguales, el movimiento circular es uniforme y la velocidad angular es constante, por eso la ecuación para el cálculo de la posición desde un t2 (tiempo donde el movimiento se vuelve constante) hasta un t3 (tiempo total de la simulación escogido por el usuario) es (Gieck & Gieck, 2005):
𝜃1𝑡 = 𝑝𝑜𝑠 + 𝜔𝑓𝑖𝑛∗ 𝑡 [45]
Para el cálculo de la posición de las otras dos aspas, se sumó a la posición del aspa 1; 120° para el aspa 2 y 240° para el aspa 3.
Para graficar las aspas se utilizó las siguientes formulas geométricas a las cuales se despejó x y y para poder obtener las coordenadas de todos los puntos que conforman el aspa:
𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) + 𝑦1 [46]
𝑑 = √(𝑥 − 𝑥1)2+ (𝑦 − 𝑦1)2 [47]
La función turbine da como resultado la gráfica del aerogenerador, la velocidad angular a un tiempo t en segundos y las posiciones a las que están las aspas.
La función video se encarga de indicar con una señal binaria a la función turbine, a qué momento el movimiento cambia de circular uniformemente variado a uniforme. Las entradas para esta función son: la aceleración angular calculada con la función fuerzas_transformacion, la velocidad angular final de la función fuerzas_movimiento, las cuerdas máxima y mínima que se calculó en la función construccion_ala y los datos de tiempo de simulación y la longitud del aspa ingresados por el usuario.
34
Como resultado de estas dos funciones se obtiene la simulación que se presenta en el programa y un archivo gif que el usuario puede volver a abrir para visualizar la forma en que se moverá su aerogenerador.
2.3 Integración del sistema
Con todas las funciones descritas para calcular los parámetros para dimensionar el rotor de un aerogenerador de eje horizontal, se procedió a comprobar que se estén cumpliendo los requerimientos planteados para el programa. Una vez que se comprobó que el margen de error era mínimo se procedió a juntar todas las funciones en la última función llamada Sof_Naca_p1.
Para esta última función se utilizó otra herramienta de Matlab que se llama GUIDE que permite, aparte de llamar funciones de Matlab, realizar la interfaz gráfica del programa que vera el usuario. Esta última función consta de dos archivos. El primero es un archivo .m que es la extensión de cualquier función realizada en Matlab, en este archivo se programó como iban a ser llamadas cada una de las funciones antes descritas. El segundo archivo es un archivo. fig que nos permite de manera visual ir colocando ventanas, botones, gráficos, y otras herramientas para construir la interfaz de usuario.
La función Sof_Naca_p1 se fue programando usando los dos archivos antes descritos. La primera ventana que se diseñó presenta al usuario el nombre del programa y el botón para realizar un nuevo dimensionamiento del rotor de un aerogenerador de eje horizontal como se ve en la figura 23.
Figura 23. Ventana de apertura del programa.
35
uso de la función area_pixeles, la cual es llamada al presionar el botón Correr NACA. Cabe recalcar que la función area_pixeles usa las funciones naca_profile y construccion_ala para realizar el gráfico del aspa en 3D y obtener una primera matriz con los datos de los elementos que conforman el mallado del aspa. De estos dos resultados solo se presenta al usuario el grafico del aspa en 3D. Esta segunda ventana del programa se puede ver en la figura 24.
Figura 24. Segunda Ventana del programa.
36 Figura 25. Tercera Ventana del programa.
La última ventana que se utiliza en el programa sirve para mostrar la simulación. En esta se tiene un cuadro de texto en donde el usuario ingresa el tiempo en segundos que quiere que dure la simulación. Cuando presiona el botón Simular se llama a la función video que usa la función turbine para hacer la simulación y al lado derecho de la ventana aparece la simulación del aerogenerador. Cuando presione el botón Parar Simulación, aunque no se haya cumplido el tiempo ingresado, la simulación del aerogenerador se detiene. Esta ventana se puede ver en la figura 26.
Figura 26. Cuarta Ventana del programa.
37
En este capítulo se muestra los resultados obtenidos con el desarrollo del sistema para el dimensionamiento de un rotor para un aerogenerador de eje horizontal. Se realizaron varias pruebas del funcionamiento del software y se buscó comparar los resultados obtenidos con los datos proporcionados del funcionamiento de una turbina eólica real.
3.1 Lógica de funcionamiento del algoritmo desarrollado
38
3.2 Prueba de distintos perfiles Naca de 4 Dígitos.
Para las pruebas de los gráficos de los distintos perfiles Naca se utilizó las siguientes numeraciones de Naca:
- Naca 1220 (Figura 27) - Naca 2415 (Figura 28) - Naca 0015 (Figura 29) - Naca 4412 (Figura 30)
Figura 28. Naca 1220. Figura 29. Naca 2415.
Figura 30. Naca 0015. Figura 31. Naca 4412.
3.3 Prueba de convergencia de los resultados.
Según Alejandro Díaz (2000) los problemas resueltos con un método de mallado deben converger es decir el error entre resultados es más pequeño conforme aumenta el número de elementos. En este sentido, en el sistema desarrollado en esta tesis se realizó una prueba de convergencia, para ello se utilizó los mismos 4 perfiles Naca de las Figuras 27 a 30 y las variables de: velocidad de viento de 12 𝑚
𝑠, ángulo de ataque de 13°, densidad de viento de 1.225 𝑘𝑔
𝑚3 y radio del rotor de 35 m. Estos datos son utilizados, debido a que
39
En el caso del programa Aerodim tenemos 4 resultados principales, los cuales se analizó para saber el número de elementos necesarios en la malla para obtener una respuesta que converja satisfactoriamente. Primero se realizó graficas de la convergencia de los resultados en función de la fuerza total y el número de elementos. (Figuras 31, 32, 33, 34).
Figura 32. Naca0015 Elementos-Fuerza. Figura 33. Naca1220 Elementos-Fuerza.
Figura 34. Naca2415 Elementos-Fuerza. Figura 35. Naca4412 Elementos-Fuerza.
Como se puede ver en las figuras 31 a 34, a los 15000 elementos de la malla, los resultados de la fuerza empiezan a converger, es decir, a partir de este punto los valores resultantes de la fuerza son más cercanos entre sí. Es importante recalcar que los resultados de las fuerzas están alrededor de los 16500 N, la diferencia que existe entre 15000 y 20000 elementos es de máximo de 16 N.
40
Figura 36. Naca0015 Elementos-Torque. Figura 37. Naca1220 Elementos-Torque.
Figura 38. Naca2415 Elementos-Torque. Figura 39. Naca4412 Elementos-Torque.
En estas graficas se puede ver un comportamiento similar al de las gráficas de fuerza pues, a los 15000 elementos de la malla los resultados convergen. Cabe recalcar que los resultados de torque están en el orden de los 220000 Nm y la diferencia que hay entre 15000 y 20000 elementos es máximo de 140Nm.
El siguiente resultado que presenta el programa es la velocidad angular máxima que tendrá el aerogenerador. Las gráficas 39 a 42 muestran la convergencia de este parámetro.
41 Figura 42. Naca2415 Elementos-ω. Figura 43 Naca4412 Elementos-ω.
En el caso de la velocidad angular se tiene un comportamiento diferente debido a la comparación de la fuerza positiva y negativa. Como se observa en las gráficas se tiene picos hasta alrededor de los 15000 elementos momento en el cual la velocidad se mantiene casi constante con una variación de 0.001 𝑟𝑎𝑑
𝑠 entre los resultados.
Por último, se hizo la comparación del torque máximo obteniendo un resultado similar al de la velocidad angular con picos de torque máximo hasta alrededor de los 16000 elementos. Este resultado se puede ver en las figuras 43 a 46.
Figura 44. Naca0015 Elementos-Tmáx. Figura 45. Naca1220 Elementos-Tmáx.
