Estudio del efecto de la propagación de ondas de esfuerzo unidimensional producidas por impacto en paneles multicapas

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ESTUDIO DEL EFECTO DE LA PROPAGACION DE ONDAS DE ESFUERZO

UNIDIMENSIONAL PRODUCIDAS POR IMPACTO EN PANELES

MULTICAPAS

JULIAN FELIPE PEÑUELA OLARTE Código (201013623)

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA

BOGOTA DC

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ESTUDIO DEL EFECTO DE LA PROPAGACION DE ONDAS DE ESFUERZO

UNIDIMENSIONAL PRODUCIDAS POR IMPACTO EN PANELES

MULTICAPAS

JULIAN FELIPE PEÑUELA OLARTE Código (201013623)

Trabajo para optar por el título de Ingeniero Mecánico

Profesor Asesor Alejandro Marañón PhD

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA

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AGRADECIMIENTOS

Le agradezco a mi madre y hermanos por su gran apoyo durante todo mi proceso de formación, por su paciencia y sus consejos en los momentos que mas los necesité.

A mi profesor asesor, por sus consejos prácticos para culminar este proyecto de grado satisfactoriamente y por su paciencia en el desarrollo del mismo.

A Jorge Mayorga por estar presente en el desarrollo del proyecto y a su gran asesoría respecto al uso de Matlab.

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LISTA DE FIGURAS

1. Configuración de un paquete balístico multicapas, adaptado de [1]…...15

2. Configuración de pruebas de un paquete balístico, adaptado de [2].….17 3. Configuración geométrica del problema en simulación, adoptado de [3]………....20

4. Paquete laminar de tres capas………..21

5. Comportamiento de la onda elástica en un paquete laminado, adaptado de [4]………..………25

6. Configuración de paquete laminar de cuatro capas………...26

7. Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo para un paquete multicapas(capa 1 es el proyectil, capas 2 y 4 son los vidrios, capa 3 es el adhesivo) ………..……….28

8. Montaje para pruebas experimentales de impacto, adaptado de [5]…..29

9. Geometría del proyectil empleado……….32

10. Geometría de los paneles fabricados, donde x es el espesor del adhesivo……….34

11. Fabricación de panel con poliuretano, adición del adhesivo……….35

12. Panel con Poliuretano sometido a compresión………...36

13. Paneles de Poliuretano terminados………..37

14. Montaje experimental………..49

15. Panel de Poliuretano con 0.5 mm de espesor impactado……….49

16. Panel de Poliuretano con 0.7 mm de espesor impactado……….50

17. Panel de Poliuretano con 1 mm de espesor impactado………....50

18. Panel de Nolax con 0.5 mm de espesor impactado………...51

19. Panel de Nolax con 0.7 mm de espesor impactado………...51

20. Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Poliuretano de 0.5 mm de espesor y velocidad de impacto 40 m/s……52

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24. Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Poliuretano de 1 mm de espesor y velocidad de impacto 40 m/s………54

25. Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Poliuretano de 1 mm de espesor y velocidad de impacto 60 m/s………54

26. Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Nolax de 0.5 mm de espesor y velocidad de impacto 40 m/s………..55

29. Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Nolax de 0.7. mm de espesor y velocidad de impacto 60 m/s……….56

30. Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Nolax de 1 mm de espesor y velocidad de impacto 40 m/s……….57

31. Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Nolax de 1 mm de espesor y velocidad de impacto 60 m/s……….57

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LISTA DE TABLAS

1. Propiedades del poliuretano, adaptado de [6]. ………….……….15 2. Propiedades de la resina epóxica, adaptado de [6]………….…………..15 3. Cantidad requerida de Poliuretano según espesor deseado………35 4. Cantidad requerida de Nolax según espesor deseado………..37 5. Resultados experimentales para paneles fabricados con Poliuretano…39 6. Resultados experimentales para paneles fabricados con Nolax………..40

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LISTA DE GRAFICAS

1. Daño permisible en la capa cerámica en función del tiempo de impacto, adaptado de [2]………...18

2. Relación entre la velocidad residual y el espesor del paquete balístico en función del espesor del adhesivo, adaptado de [2]……….18

3. Gráfica de la Velocidad de disparo en función de la presión…………..33 4. Interacción de ondas de esfuerzo en la primera capa de vidrio en

función del tiempo con paneles de Poliuretano……….41

5. Interacción de ondas de esfuerzo en la segunda capa de vidrio en función del tiempo con paneles de Poliuretano……….41

6. Interacción de ondas de esfuerzo en la primera capa de vidrio en función del tiempo con paneles de Nolax………..……….42

7. Interacción de ondas de esfuerzo en la segunda capa de vidrio en función del tiempo con paneles de Nolax………...42

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TABLA DE CONTENIDO

Agradecimientos………...3

Lista de Figuras……….4

Lista de Tablas………..6

Lista de Gráficas………...7

1. Introducción………..10

2. Objetivos………13

2.1 Objetivo General………13

2.2 Objetivos específicos………13

3. Marco Teórico………...…14

3.1 Contexto de la Problemática………14

3.2 Alternativas para abarcar la problemática……….16

3.2.1 Alternativa Experimental………17

3.2.2 Alternativa Computacional………19

3.2.3 Alternativa Analítica-Teórica……….20

3.2.4 Selección Alternativa……….24

4. Modelo Analítico………...25

4.1 Configuración del modelo planteado………..25

4.2 Suposiciones y condiciones del modelo………27

4.3 Desarrollo del Modelo………...28

5. Procedimiento Experimental………..….29

5.1 Caracterización de los materiales………...29

5.1.1 Acero AISI SAE 4140……….30

5.1.2 Vidrio Flotado………..30

5.1.3 Adhesivo a base de Poliuretano………..31

5.1.4 Adhesivo Nolax………...31

5.2 Caracterización del Cañón de Aire……….32

5.3 Fabricación de los Paneles………..33

5.3.1 Paneles de Poliuretano……….35

5.3.2 Paneles de Nolax………37

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6.2 Resultados Analíticos………40

7. Análisis de Resultados………44

7.1 Análisis de resultados en paneles con Poliuretano……….44

7.2 Análisis de resultados en paneles con Nolax………...45

8. Conclusiones……….……46

9. Bibliografía……….……47

10. Anexos………...49

10.1 Representaciones experimentales………49

10.2 Representaciones analíticas………..52

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1. INTRODUCCIÓN

El desarrollo de armamento y nuevos dispositivos de guerra ha llevado como consecuencia a la investigación de nuevos equipos para protección de los mismos, por lo que en la actualidad se han desarrollado diferentes paquetes balísticos con el fin de proteger al usuario del impacto de proyectiles determinados. Investigadores han desarrollado nuevos materiales para ser implementados en paquetes balísticos y puedan reducir el daño causado por un impacto. Dichos materiales han ido evolucionando a través de los últimos siglos a causa del mejoramiento de armas de fuego y su equipo.

Los paquetes balísticos se han construido dependiendo de los proyectiles que van a impactarlos. Algunos de los paquetes comprenden el uso de fibras de materiales poliméricos capaces de absorber la onda de esfuerzo generada por el impacto. Otros, comprenden materiales compuestos que se han ido desarrollando en las últimas décadas del siglo XX, con el fin de obtener un paquete liviano y que pueda soportar impactos por proyectiles más dañinos. En este caso, los componentes balísticos se conforman de una capa de cerámico, seguido por un material compuesto, usualmente fibra de vidrio reforzado, lo cual permite un bajo peso en el componente y la resistencia requerida. Para unir el componente cerámico con el material compuesto se necesita implementar un adhesivo capaz de unirlos sin que comprometa la integridad del paquete balístico. Dicho adhesivo tiene gran importancia, pues éste es una capa extra en el cual se puede o no transmitir la onda de esfuerzo.

Los estudios realizados en paquetes balísticos de éste estilo comprenden procedimientos experimentales, simulaciones computacionales, y modelos de ingeniería aplicados al fenómeno de la propagación de ondas de esfuerzo en las capas del paquete. En el caso de las pruebas experimentales, se pueden realizar pruebas destructivas y no destructivas. Como se expresa en el libro compilado por Bhatnagar [7], las pruebas destructivas tienen como fin el revisar el comportamiento del equipo a impacto por un proyectil. Las pruebas no

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en las cuales se revisa las propiedades de los materiales y su efectiva manufactura.

Por otro lado, las simulaciones computacionales pueden generar respuestas del comportamiento de los materiales sujetos a impacto. Para el caso de un paquete balístico, las ecuaciones que describen el fenómeno usualmente no son lineales y por lo tanto se requiere un análisis numérico para determinar su comportamiento [7]. En el estudio de la propagación de ondas de esfuerzo a causa del proyectil se utilizan paquetes de elementes finitos, específicamente Ansys AutoDyn 2D. Como se puede apreciar en el trabajo por los autores en [8], se usa dichas simulaciones para poder predecir la energía total que se transmite y se refleja por la capa del cerámico, el adhesivo y el compuesto, y determinar el comportamiento del paquete balístico.

Por último, existe otro tipo de acercamiento para poder estudiar a detalle el fenómeno dado por la propagación de ondas de esfuerzo en el paquete balístico. En los últimos años se han propuestos modelos de ingeniería con el fin de determinar la respuesta de los materiales usados en dichos equipos con respecto a el grosor de los mismos [4]. Como se había mencionado anteriormente, el adhesivo comprende una gran importancia para el estudio de la propagación de dichas ondas producidas por un impacto, pues el grosor del mismo puede determinar si la el esfuerzo transmitido es lo suficiente para generar un daño critico al usuario, ó si el esfuerzo reflejado es suficiente para comprometer la integridad estructural de la capa cerámica que se ha implementado.

En éste caso, se desea estudiar el efecto del adhesivo sobre la propagación de ondas de esfuerzo impulsivas dentro del paquete balístico mediante un modelo de ingeniería, pues varios estudios han demostrado una gran importancia en el adhesivo que se utiliza, como los autores citados a continuación [1], quienes desarrollaron una solución analítica para determinar la interacción de las ondas de esfuerzo en las diferentes capas del componente balístico.

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Con lo establecido anteriormente, el propósito del proyecto se basa en desarrollar un modelo de ingeniería basado en la teoría clásica de propagación de ondas de esfuerzo unidimensional estudiada por Raw Mines [4], con el fin de determinar una relación entre el espesor del adhesivo y el comportamiento de la propagación de esfuerzo en un material compuesto laminado. Adicionalmente se desea verificar la validez del modelo planteado mediante un procedimiento experimental de impacto.

La estructura del proyecto comienza con una revisión bibliográfica referente a estudios realizados anteriormente acerca del efecto del espesor del adhesivo en paquetes balísticos livianos. Posteriormente, se desarrolla de manera más detallada un modelo que permita relacionar la propagación de esfuerzos unidimensional con el espesor de la capa de adhesivo. Después, se plantea un experimento con el fin de corroborar la validez del modelo planteado. Finalmente se comparan los resultados y se plantea el trabajo futuro a realizar.

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2. OBJETIVOS

2.1 Objetivo general

Desarrollar un modelo de ingeniería basado en la propagación de ondas de esfuerzo en 1D para impacto en materiales compuestos laminados, y verificar su validez con experimentación.

2.2 Objetivos específicos

 Desarrollar una solución analítica a la respuesta de impacto a materiales compuestos laminados.

 Determinar una relación entre el espesor del adhesivo con el esfuerzo

transmitido y reflejado.

 Caracterizar los materiales a utilizar, con el fin de conocer sus propiedades e implementarlas en el modelo.

 Desarrollar un experimento capaz de validar los resultados obtenidos mediante el modelo planteado.

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3. MARCO TEORICO

3.1 Contexto de la problemática

El desarrollo de equipos de protección balística ha sido muy vasto en las últimas décadas. Dicho se ha propiciado principalmente por el uso de proyectiles a grandes velocidades en la guerra, los cuales han sido modificados a través del tiempo con el fin de generar un daño mortal. Como se puede apreciar en la introducción del libro compilado por Bhatnagar [7], los materiales en chalecos antibalas son de gran diversidad, pues cada paquete balístico se ha creado para soportar impactos por diferentes tipos de proyectiles.

Para éste proyecto, se va a estudiar el efecto de propagación de la onda de esfuerzo en un paquete de materiales compuestos laminados, el cual comprende una capa cerámica, seguida por una capa de un adhesivo en particular, y posteriormente un material balístico determinado. Los anteriores componentes han sido mejorados desde la segunda guerra mundial, pues antes se utilizaba capas de acero que podían soportar impactos a grandes velocidades. El acero fue reemplazado por los componentes mencionados previamente debido a que se buscaba que el chaleco fuera liviano y fuera de menor costo de fabricación.

El comportamiento de los materiales compuestos laminados usados en pruebas de impacto a grandes velocidades depende de diferentes factores. Chen y Chandra muestran en su trabajo [9] que los principales factores asociados al comportamiento del material compuesto son la cantidad de láminas presentes, su geometría, las propiedades mecánicas de los materiales utilizados y la interacción entre las interfaces dadas. En la Figura 1, se puede apreciar la configuración de éste tipo de materiales compuestos multicapas propuesto por Boteler en 1999 [1], en donde se presenta un paquete con una cantidad determinada de capas de materiales laminados que se someten a

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Figura 1 Configuración de un paquete balístico multicapas, adaptado de [1].

La cantidad de capas depende de los materiales utilizados, por lo general y como se ha mencionado antes, las configuraciones balísticas comprenden una capa de un cerámico, un adhesivo, y un material balístico.

Existe una gran diversidad de adhesivos que se han desarrollado y empleado en éste tipo de blindajes ligeros. Estudios realizados por los autores [9] [6] [10] muestran el comportamiento de los adhesivos y su espesor en configuraciones dadas.

Poliuretano

Tasa de deformación unitaria (s-1) Módulo de elasticidad (MPa)

4200 108

6200 230

7000 280

Tabla 1 Propiedades del poliuretano, adaptado de [6].

Resina Epóxica

Tasa de deformación unitaria (s-1)

Esfuerzo de fluencia (MPa)

Pendiente de rango plástico (MPa)

2600 59 14

3500 75 32

4000 72 40

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En las Tabla 1 y 2, se puede detallar los diferentes adhesivos usados en dichos estudios y sus propiedades. Los adhesivos usados generalmente fueron resinas epóxicas y poliuretano. Se ha podido observar en dichos estudios que el adhesivo que se use, cualquiera que sea, incide en la respuesta de la propagación de ondas de esfuerzo en toda la configuración. Por ejemplo, en el estudio realizado en [6] los autores expresan que el daño sufrido por la capa cerámica no solo depende de la onda propagada por el impacto inicial del proyectil, sino que también recibe un gran esfuerzo a tensión por parte de la onda que se refleja cuando esta se encuentra entre el adhesivo.

3.2 Alternativas para abarcar la problemática

Existen principalmente tres alternativas de ingeniería para conocer una relación entre la onda de esfuerzo y el espesor del adhesivo. La primera alternativa a mencionar está basada en procedimientos experimentales, en los cuáles se realizan pruebas de impacto para luego medir la fragmentación de la capa cerámica y la deformación que obtuvo el material compuesto. La segunda alternativa se basa en simulaciones computacionales en donde se predice el comportamiento del conjunto de materiales a impacto en un software de elementos finitos, generalmente Ansys AutoDyn 2D. La tercera alternativa abarca el problema desde el punto analítico- teórico, en el que se desarrollan modelos de ingeniería capaces de predecir el comportamiento de la configuración multicapas a partir de ciertas variables de entrada, para luego corroborar los resultados obtenidos con dichos modelos a través de experimentos de impacto.

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3.2.1 Alternativa experimental

Se han realizado bastantes estudios y pruebas para determinar el comportamiento de los materiales en un paquete balístico. Dichas pruebas que se desarrollan normalmente se comparan con simulaciones computacionales para determinar su validez. Algunos autores [11] [2] [12] han desarrollado protocolos de pruebas de impacto a ciertas condiciones dadas. En la Figura 2 se puede ver que los impactos se realizan de forma ortogonal al cuerpo balístico, con el fin de simplificar el problema.

Figura 2 Configuración de pruebas de un paquete balístico, adaptado de [2]

En los trabajos citados anteriormente, se realizaron pruebas con un proyectil 7.62 mm AP, con una masa que vería entre 8.9 y 9.5 g. El proyectil es disparado a una velocidad promedio de 940 m/s y se utiliza una cámara de alta velocidad para poder observar lo que sucede antes y después del impacto. Las pruebas se realizan con configuraciones que tienen diferentes espesores. Por ejemplo, en el caso de [2] se completaron pruebas para configuraciones con un espesor de adhesivo de 0.1, 0.5 y 1.1 mm.

Se formularon 4 pruebas para cada espesor para poder tener resultados confiables. Dichos resultados se pueden detallar en la Gráfica 1, la cual muestra que el daño permisible en la capa cerámica es muy bajo para

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espesores menores. Sin embargo, el daño recibido por la capa trasera y por el usuario es mayor y puede ser perjudicial.

Grafica 1 Daño permisible en la capa cerámica en función del tiempo de impacto, adaptado de [2]

Grafica 2 Relación entre la velocidad residual y el espesor del paquete balístico en función del espesor del adhesivo, adaptado de [2]

En la Gráfica 2 se puede detallar la relación entre la velocidad residual y el espesor del paquete balístico después del impacto. En dicha se ve reflejada que el espesor del adhesivo adecuado es 0.3 mm, pues el daño permisible por

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el cerámico no es tan grande y también la velocidad residual del proyectil es nula.

Lo anterior es uno de la gran cantidad de procedimientos experimentales que se han desarrollado con resina epóxica, con el fin de resolver el problema de ingeniería planteado.

3.2.2 Alternativa computacional

Como se ha mencionado anteriormente, se pueden desarrollar análisis numéricos para determinar el fenómeno que ocurre en los materiales sometidos a un impacto de proyectil, por medio de simulaciones computacionales. Actualmente, se han realizado varios estudios y se han desarrollado diferentes rutinas para simular dicho efecto. Autores como [8] [2] [3] han formulado rutinas en un paquete de elementos finitos llamado Ansys AutoDyn 2D, en el cual simulan numéricamente el impacto de un proyectil a una velocidad promedio de 840 m/s y se estudian diferentes tipos de adhesivos en un rango de espesores de 0.1 a 1.5 mm. Este tipo de software es el más utilizado en casos de impacto, pues dicho es capaz de modelar fenómenos no lineales como los producidos por impactos de alta velocidad [3].

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Figura 3 Configuración geométrica del problema en simulación, adaptado de [3]

En la Figura 3 se observa la configuración geométrica del problema estudiado mediante una simulación de elementos finitos. El proyectil se considera de acero, la capa cerámica de alúmina, y el adhesivo es una resina epóxica. El propósito de la alternativa por medio de simulaciones computacionales consiste en discretizar el problema para poder encontrar resultados permisibles en problemas no lineales de este tipo. Adicionalmente, ésta alternativa permite calcular los esfuerzos cortantes que se dan en cada interface y los cambios de energía presentados en las mismas.

3.2.3 Alternativa Analítica-Teórica

La alternativa analítica-teórica requiere del desarrollo de un modelo de ingeniería que sea capaz de predecir el comportamiento de los materiales estudiados y que pueda ser validado mediante pruebas experimentales. En primera instancia, es necesario conocer la definición y cómo se desarrolla un modelo de ingeniería.

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Un modelo de ingeniería es un acercamiento matemático que se plantea con el fin de simplificar el fenómeno que se esté estudiando. De acuerdo con Thomas Wright [13], el desarrollo de un modelo de ingeniería se basa en reducir el problema de estudio a una forma matemática sencilla sin que comprometa la física del mismo. En este caso, se plantea un modelo que represente el fenómeno de la propagación de ondas de esfuerzo a través de materiales compuestos de forma unidimensional.

Bajo la definición dada anteriormente, investigadores han desarrollado diferentes modelos que representan el fenómeno de una manera acorde. Investigadores [4] [9] han desarrollado modelos matemáticos, los cuales dan partida al entendimiento de la propagación de esfuerzos presentados en impacto balístico.

Los modelos planteados principalmente comprenden los siguientes fenómenos a tener en cuenta:

Figura 4 Paquete laminar de tres capas

 Cambio de impedancia acústica:

La impedancia acústica es la resistencia que un material presenta a la propagación de onda sobre el mismo, en la ecuación 1 se representa el cambio de impedancias [9]:

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𝐼 = 1 − 4𝑍1𝑍2

(𝑍1+ 𝑍2)2 (1)

Donde Z son las impedancias dadas por cada uno de los materiales dados en el paquete balístico. Cuando el valor I resulta ser igual a 1, se da un desacople de impedancias máximo, por lo que la onda de esfuerzo se refleja totalmente. Cuando el valor I es cero, no hay desacople y por lo tanto, no la onda se transmite completamente por medio del material incidente. La ecuación se puede reescribir para poder conocer la razón de reflexión que se da entre dos interfaces [9]:

𝐼 = (𝜌1𝐶1− 𝜌2𝐶2 𝜌1𝐶1+ 𝜌2𝐶2)

2

= 𝑟2 ₍₂₎

Donde r es la razón de reflexión y C es la velocidad de propagación de onda de esfuerzo a través de una capa, la cual se calcula de la siguiente manera para el caso unidimensional:

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 𝐶 = √ 𝐸 𝜌 (3)

En la ecuación presentada anteriormente, el valor de x es el espesor de la capa en la cual la onda se está propagando.

 Densidad de interface

En la densidad de interface se da por el número de capas que se presentan en el paquete balístico por unidad de espesor [9]. Dicha densidad representa que a mayor cantidad de interfaces, mayor es la interacción de ondas de esfuerzo y se dan trenes de éstas. La siguiente ecuación permite ilustrar la magnitud del

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𝜎0 =

𝜌3𝐶3𝜌1𝐶1𝑣0 𝜌1𝐶1+ 𝜌3𝐶3 (4)

El segundo tren de esfuerzo se da por:

∆𝜎₁ = 𝑟_𝐴−𝐵(1 + 𝑟_𝐴−𝐶)𝜎₀ (5)

Dónde:

𝑟_𝐴−𝐵 = 𝜌1𝐶1− 𝜌2𝐶2 𝜌₁𝐶₁+ 𝜌₂𝐶₂ (6)

𝑟_𝐴−𝐶 = 𝜌3𝐶3− 𝜌1𝐶1 𝜌₁𝐶₁+ 𝜌₃𝐶₃ (7)

Las anteriores ecuaciones fueron formuladas por Chen [1] en donde se presenta una formulación analítica del problema de impacto en un compuesto multicapas.

Para fines del proyecto realizado se emplea el modelo propuesto en el trabajo de Raw Mines [4], el cual comprende el mismo fenómeno mostrado previamente. Se tiene una onda incidente que se propaga a través de la capa y se divide en dos ondas (una de reflexión y una de transmisión) las cuales se representan de la siguiente manera:

𝜎𝑇 =

2𝜌2𝐶2

𝜌1𝐶1+ 𝜌2𝐶2𝜎𝐼 (8)

𝜎_𝑅 = 𝜌2𝐶2 − 𝜌1𝐶1

𝜌₁𝐶₁+ 𝜌₂𝐶₂𝜎𝐼 (9)

𝜎_𝐼 = ₁𝑉2− 𝑉1 𝜌₁𝐶₁+𝜌₂1𝐶₂

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Donde V1 y V2 son las velocidades iniciales de las capas que se están analizando, y la relación entre el incremento del esfuerzo y el incremento de la velocidad de las capas se da por la siguiente relación [4]:

∆𝜎 = 𝜌𝑐∆𝑉 (11)

Las anteriores ecuaciones son las que se van a emplear en el modelo analítico que se va a ilustrar posteriormente. Adicionalmente, solo se tendrá en cuenta el comportamiento elástico de los materiales, por lo que no se requerirá implementar modelos constitutivos en la solución planteada.

3.2.4 Selección alternativa

Se desea abarcar el problema de ingeniería planteado mediante un modelo analítico, pues diversos estudios que se han propuesto pueden ser usados para el desarrollo del mismo, variando los parámetros del tipo y espesor del adhesivo a emplear. La solución analítica fue seleccionada debido a que el fenómeno se puede simplificar a un problema unidimensional y se pueden obtener resultados pertinentes.

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4. MODELO ANALITICO

El modelo que se plantea en este proyecto de investigación tiene como objetivo mostrar el comportamiento de la propagación de ondas de esfuerzo generadas por impacto en paneles multicapa (ver figura 5).

Figura 5 Comportamiento de la onda elástica en un paquete laminado, adaptado de [4]

El modelo será capaz de ilustrar el fenómeno dado unas condiciones iniciales y también presentará los esfuerzos dados en las interfaces de las capas que se requieran analizar. Cabe resaltar que éste modelo solo es aplicable para los primeros micro segundos del evento, ya que solamente comprende el comportamiento elástico de los materiales sometidos a impacto.

4.1 Configuración del modelo planteado

En este trabajo de investigación se va a emplear un paquete multicapas como el que se encuentra ilustrado en la figura 6, donde, la capa número 1 es el proyectil de que se va a utilizar, las capas 2 y 4 son fabricadas con vidrio

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flotado, y la capa 3 es el adhesivo a emplear. En este caso, los adhesivos a utilizar son el Nolax y el Poliuretano, de los cuales se hablará posteriormente.

Figura 6 Configuración de paquete laminar de cuatro capas

Para la solución del modelo planteado se utilizan las ecuaciones 3, 8, 9, y 10 para reescribirlas de la siguiente manera:

𝜎_𝑇 = 2𝜌𝑛+1𝐶𝑛+1

𝜌1𝐶𝑛+ 𝜌2𝐶𝑛+1𝜎𝐼 (12)

𝜎_𝑅 = 𝜌𝑛+1𝐶𝑛+1− 𝜌𝑛𝐶𝑛

𝜌_𝑛𝐶_𝑛+ 𝜌_𝑛+1𝐶_𝑛+1𝜎𝐼 (13)

𝜎_𝐼 = ₁𝑉𝑛+1− 𝑉𝑛 𝜌𝑛𝐶𝑛 +

1 𝜌𝑛+1𝐶𝑛+1

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𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡 = 𝐶𝑛 = √ 𝐸𝑛

𝜌𝑛 (15)

En donde n es cada interface y el esfuerzo transmitido en n es igual el esfuerzo incidente en n+1. Con ese sistema de ecuaciones se puede determinar los esfuerzos incidentes en cada capa a un tiempo t determinado.

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4.2 Suposiciones y condiciones del modelo

A continuación se presentan las condiciones y suposiciones que se tuvieron en cuenta con el fin de simplificar el modelo planteado:

• La onda se propaga unidimensionalmente por un impulso.

• Las ondas reflejadas y transmitidas en cada capa interactúan entre sí

dando como resultado una nueva onda incidente.

• Se modela sólo los primeros micro segundos del evento, ya que el

modelo solo considera el comportamiento elástico de los materiales que se están empleando.

• La velocidad de propagación de onda es constante en cada capa y

depende de las propiedades de la misma.

• Los materiales utilizados son incompresibles, por lo que no existe un

cambio de volumen y la densidad permanece constante.

• El proyectil se toma como una capa adicional, por lo que sus

propiedades son conocidas.

• La onda de esfuerzo reflejada cambia de sentido con respecto la onda

incidente (si la onda incidente es de tensión, entonces la onda reflejada es de comprensión).

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4.3 Desarrollo del modelo

El modelo analítico planteado en este trabajo de investigación se realizó utilizando el software Matlab, en el cual se simuló la propagación de ondas de esfuerzo y la interacción entre estas en cada una de las capas presentes.

Figura 7Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo para un paquete multicapas (capa 1 es el proyectil, capas 2 y 4 son los vidrios, capa 3 es el adhesivo)

La Figura 7 representa la propagación e interacción de ondas de esfuerzo en un panel con cuatro capas y las líneas que se ven entre estas son las ondas de esfuerzo presentes. Adicionalmente, se puede presenciar que cada onda que llega a una interface se divide en una onda de transmisión y una onda de reflexión, cuyos valores se dan por las ecuaciones 12 y 13 respectivamente.

Las propiedades de los materiales que se utilizan son constantes durante el evento, al igual que los espesores del proyectil y las capas de vidrio. En el caso del adhesivo, la variable resulta ser su espesor, pues dicho se va a variar entre 0.5 y 1 mm de espesor.

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5. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Con el fin de verificar el modelo analítico que se planteó previamente, se procede a realizar un experimento utilizando cuatro capas incluyendo el proyectil. En éste se utiliza dos capas de vidrio flotado, una capa de adhesivo (Nolax o Poliuretano), y un proyectil hecho de acero AISI SAE 4140 que es impulsado por un cañón de aire como el que se ilustra en le Figura 8.

Figura 8 Montaje para pruebas experimentales de impacto, adptado de [5]

En la experimentación se mide la pérdida de masa que obtenga cada uno de los paneles que se impacten y finalmente se compara con los esfuerzos presentados en el modelo analítico.

5.1 Caracterización de los materiales

Se requiere conocer la densidad y el módulo de elasticidad de los materiales que se implementan en la experimentación con el fin de utilizar dichas propiedades en el modelo teórico y poder tener un mejor punto de comparación.

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5.1.1 Acero AISI SAE 4140

Los proyectiles fueron fabricados en acero AISI SAE 4140 ya que este material posee una dureza promedio de 28 Rockwell C de acuerdo con el fabricante [14]. Es de gran importancia que el proyectil sea de un material duro para que no absorba energía en el momento del impacto y se pueda propagar las ondas de esfuerzo sin inconveniente. Se realizó una prueba de densidad de acuerdo a la norma ASTM D792 [15] y adicionalmente, se realizó un protocolo de pruebas de flexión a tres puntos con el fin de medir la deflexión del material y posteriormente calcular el módulo de elasticidad.

• Densidad de 7813 ± 16 kg/m3 .

• Módulo de elasticidad de 228.1 ± 4.2 GPa • Velocidad de propagación de onda c = 5402 m/s

5.1.2 Vidrio flotado

Se utilizó este tipo de material para la primera y última capa de los paneles que se fabricaron ya que normalmente los paquetes balísticos tienen una capa cerámica que los cubre; y además, este material presenta fragmentación cuando es impactado, por lo que ayuda a la medición de pérdida de masa en la experimentación. Se realizó una prueba de densidad de acuerdo a la norma ASTM D792 [15] y adicionalmente se realizó un ensayo a flexión a tres puntos de acuerdo a la norma ASTM C158 [16] en donde se probaron 35 vidrios con sus respectivas dimensiones.

• Densidad de 2481 ± 6 kg/m3

• Módulo de elasticidad de 71.3 ± 3.7 GPa.

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5.1.3 Adhesivo a base de Poliuretano

El adhesivo implementado fue el Sikaflex 252, el cual es un adhesivo estructural capaz de fluir cuando es sometido a compresión cuando se aplica en la zona de trabajo; además es un adhesivo mono componente que cura con la exposición de la humedad atmosférica para formar un elastómero durable en la adhesión [17]. Se escogió este tipo de adhesivo ya que tiene buenas propiedades de adhesión con cerámicos, como el vidrio flotado empleado, y también su método de aplicación solo requiere limpiar la superficie con alcohol. Adicionalmente, el tiempo de curado del Sikaflex 252 es relativamente corto a los espesores que se implementó, por lo que hace que su uso no tome mayor tiempo.

Se realizó una prueba de densidad de acuerdo a la norma ASTM D792 [15] y adicionalmente se realizó un ensayo de tensión para materiales poliméricos utilizando la norma ASTM D638 [18] en donde se probaron 35 vidrios con sus respectivas dimensiones.

• Densidad de 1042 ± 39 kg/m3 .

• Módulo de elasticidad de 0.674± 0.064 MPa. • Velocidad de propagación de onda C = 25.43 m/s

5.1.4 Adhesivo Nolax

El Nolax es un polímero termoplástico que tiene etileno vinyl acetato al 67,84% y polietileno al 58,01% en su composición. Además, es un adhesivo que viene presentado en películas translucidas de 0,02 milímetros de espesor y su punto de fusión es aproximadamente 90 °C [19]. Este adhesivo se implementó en este proyecto de investigación, ya que en estudios anteriores realizados en la Universidad de los Andes [8] [19] muestran que el comportamiento de este

(32)

material es adecuado para cargas dinámicas y también sus propiedades de adhesión con cerámicos, como el vidrio flotado, son óptimas.

La universidad de los Andes hizo un informe de laboratorio en donde se presentan los valores de las propiedades requeridas en este trabajo de investigación [20], por lo que se tiene la siguiente información:

 Densidad de 915 ± 10 kg/m3.

 Módulo de elasticidad de 31.18 ± 5 MPa.

 Velocidad de propagación de onda C = 184.1 m/s.

5.2 Caracterización del cañón de aire

El proyectil es impulsado por un cañón de aire a una velocidad de impacto determinada por la presión que se utilice. En este proyecto de investigación se utilizaron proyectiles cilíndricos que tienen una masa aproximada de 19.4 gramos, y sus dimensiones son de 30 mm de largo y 10.3 mm de diámetro. En la Figura 9 se puede detallar la geometría de los proyectiles implementados.

Figura 9 Geometría del proyectil empleado

Con el fin de controlar la velocidad a la cual el proyectil es impulsado en el cañón de aire, se realizaron disparos a diferentes presiones y se midió la

30 mm

10.3 mm

(33)

velocidad a la que impacta el proyectil diseñado con un tiempo de apertura de válvula de 100 ms.

En la gráfica 3 se puede evidenciar la curva de velocidad de impacto en función de la presión asociada al proyectil implementado en la experimentación.

Grafica 3. Gráfica de la Velocidad de disparo en función de la presión

Usando la gráfica anterior se puede conocer la presión que se requiere para poder alcanzar la velocidad de impacto deseada; en este caso, se necesita obtener una velocidad aproximada de 50 m/s ya que los paneles que se impactan no se pueden analizar posteriormente si se utiliza una velocidad mayor a esta. La presión que se utiliza en la experimentación es 0.35 MPa para poder alcanzar la velocidad deseada.

5.3 Fabricación de paneles

En el proceso de manufactura de los paneles se requiere gran precisión para poder garantizar el espesor del adhesivo que se utiliza, ya que ésta es la variable a estudiar en los resultados obtenidos mediante el modelo analítico y la experimentación. Se utilizaron calzas de acero previamente calibradas de

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

Ve loc ida d ( m/ s)

(34)

0.5, 0.7, y 1 mm de espesor con el fin de garantizar el grosor deseado en la capa del adhesivo presente en cada uno de los paneles.

Figura 10 Geometría de los paneles fabricados, donde x es el espesor del adhesivo

En la Figura 10 se presentan las dimensiones asociadas a los paneles fabricados, en donde se da una capa de vidrio, seguido por una capa del adhesivo utilizado (su espesor varía), y posteriormente una capa de vidrio que sirve como soporte.

Para cada uno de los espesores utilizados se fabricaron tres paneles, con el fin de tener mayor cantidad de datos en la experimentación. Adicionalmente, se hicieron los paneles con adhesivo a base de Poliuretano y con Nolax, por lo que se obtuvieron en total 18 paneles fabricados; a continuación, se explica a detalle el proceso de manufactura de dichos paneles.

(35)

5.3.1 Paneles de Poliuretano

Como se comentó previamente, se fabricaron tres paneles por cada espesor para tener una mayor cantidad de resultados en el procedimiento experimental. En el caso del poliuretano, se requirió limpiar las superficies de los vidrios adecuadamente con alcohol para que las propiedades de adhesión del poliuretano no se vean comprometidas.

Figura 11 Fabricación de panel con poliuretano, adición del adhesivo

En la Figura 11 se puede apreciar una capa de vidrio con las calzas que aseguran el espesor, y una cubierta del Poliuretano.

Espesor deseado (mm) Cantidad de Poliuretano (g)

0.5 8.4

0.7 11.7

1.0 16.7

Tabla 3 Cantidad requerida de Poliuretano según espesor deseado

Como se tienen tres diferentes espesores, se aplicó una cantidad diferente del adhesivo con el fin de no mal gastar el mismo cuando se prensa contra la otra

(36)

capa de vidrio. En la Tabla 3 se muestra la cantidad en masa que se utilizó de Poliuretano para cada uno de los espesores implementados. Dichos valores fueron hallados por tanteo en la fabricación de los paneles, pues se encontró que la cantidad de Poliuretano que sobró fue mínimo; además, no se malgastó el material; y finalmente, toda la superficie fue cubierta en su totalidad.

Figura 12 Panel con Poliuretano sometido a compresión

Después de haber aplicado el Poliuretano, se procedió a prensar uniformemente el panel con una prensa DAKE, con el fin de que el adhesivo cubriera en su totalidad la superficie. En la Figura 12 se puede apreciar el prensado de un panel con Poliuretano, los cuales se sometieron a una carga inferior de 4500 N durante 5 min. Finalmente, se dejaron curar los paneles con Poliuretano por un día completo a una temperatura controlada de 23°C, de acuerdo a las especificaciones del fabricante del Sikaflex 252 [17].

(37)

Figura 13 Paneles de Poliuretano terminados

En la Figura 13 se puede apreciar la culminación de los paneles fabricados con una capa de Poliuretano.

5.3.2 Paneles de Nolax

También se realizaron la misma cantidad de paneles con Nolax y con las mismas especificaciones geométricas que se aprecian en la Figura 10. Su manufactura es similar a la de los paneles con Poliuretano, ya que la preparación del vidrio es la misma; la diferencia radica en que los paneles con Nolax requieren un incremento de temperatura. El Nolax se emplea usando capas con un área transversal constante y la cantidad de éstas depende del espesor requerido, la cual se determinó a partir del grosor de las láminas de Nolax (0.02 mm).

Espesor deseado (mm) Cantidad de Nolax (número de capas)

0.5 30

0.7 40

1.0 60

(38)

En la Tabla 4 se puede apreciar la cantidad de capas de Nolax que se utilizaron para poder conseguir el espesor requerido, adicionalmente, se emplearon las calzas previamente calibradas con el fin de garantizar el grosor de las capas del adhesivo.

De acuerdo con las especificaciones del fabricante [21], se requiere incrementar la temperatura del Nolax; por lo que se utiliza una prensa DAKE, la cual tiene la capacidad de efectuar este cambio. La temperatura se eleva hasta los 100°C, con el fin de asegurar la fundición del Nolax sin afectar el vidrio y sin llegar a la temperatura de degradación del adhesivo. Finalmente, se deja prensado el panel a dicha temperatura por 20 min, y luego se deja enfriar a condiciones estándar.

(39)

6. RESULTADOS

Los resultados obtenidos por medio de la experimentación y por medio del modelo analítico planteado se presentan a continuación.

6.1 Resultados experimentales

La experimentación de este trabajo de investigación fue realizada en la Universidad de los Andes en el laboratorio de caracterización dinámica de materiales, en donde se cuenta con un cañón de aire alimentado por una línea de aire que impulsa los proyectiles diseñados previamente. En dicho experimento se midió la cantidad de pérdida de masa de los paneles, para lo cual se requirió la masa inicial de los mismos.

En la Tablas 5 y 6 se muestran los resultados experimentales obtenidos para cada uno de los paneles impactados. En las Figuras 14 a 19, encontradas en los anexos de este trabajo, se puede observar la evidencia fotográfica del procedimiento experimental.

Poliuretano (0.5mm)

Panel Masa antes (g) Masa después (g) Velocidad (m/s) Pérdida Masa (%)

1 518.6 455.2 40 12.23

Poliuretano (0.7mm)

1 521.6 365.4 49 29.95

2 522.8 403.8 41 22.76

3 523.2 323.2 59 38.23

Poliuretano (1mm)

1 525.2 312 60 40.59

2 522.6 293.6 60 43.82

3 523.8 302.8 60 42.19

(40)

Nolax (0.5mm)

1 518.6 400.2 60 22.83

2 522.4 435.4 60 16.65

3 514.2 340.4 60 33.80

Nolax (0.7mm)

1 521.2 472.6 40 9.32

2 523.4 478.2 40 8.64

3 523.2 432.6 60 17.32

Nolax (1mm)

1 527.2 278.8 60 47.12

2 526.4 349.2 45 33.66

3 523 227.8 60 56.44

Tabla 6 Resultados experimentales para paneles fabricados con Nolax

Cabe notar que las velocidades no siempre fueron las mismas, ya que la electroválvula que hace parte del cañón no funcionó correctamente y el tiempo de apertura no fue siempre de 100μs. Adicionalmente, para dos paneles de

Poliuretano con espesores de 0.5 mm no se pudo registrar la velocidad de impacto porque el sensor implementado no funcionó adecuadamente en ese momento. Sin embargo, se tuvieron datos suficientes para poder comparar con los resultados proporcionados por el modelo analítico a unas velocidades de impacto de 40 y 60 m/s.

6.2 Resultados analíticos

Se realizaron simulaciones en el modelo desarrollado en Matlab, en donde se establecieron las propiedades de cada uno de los materiales utilizados, las respectivas dimensiones de cada capa, y la velocidad de impacto asociada (40 y 60 m/s). En estos resultados se obtuvieron los esfuerzos presentes en las interfaces de las dos capas de vidrio en contacto con el adhesivo, en función del tiempo de muestreo.

(41)

Grafica 4 Interacción de ondas de esfuerzo en la primera capa de vidrio en función del tiempo con paneles de Poliuretano

Grafica 5 Interacción de ondas de esfuerzo en la segunda capa de vidrio en función del tiempo con

paneles de Poliuretano

-800 -600 -400 -200 0 200 400

0 10 20 30 40 50 60

Es fue rzo (M Pa ) Tiempo (ms) -3 -2 -1 0 1 2 3

0 10 20 30 40 50 60

Es fue rzo (M Pa ) Tiempo (ms)

(42)

Grafica 6 Interacción de ondas de esfuerzo en la primera capa de vidrio en función del tiempo con paneles de Nolax

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400

0 10 20 30 40 50 60

Es fue rzo (M Pa ) Tiempo (ms) -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 10 20 30 40 50 60

Es fue rzo (M Pa ) Tiempo (ms)

(43)

En las Gráficas 4 y 5 se puede observar que la interacción de ondas de esfuerzo no es evidente sino hasta después de cierto tiempo de muestreo, pues la velocidad de propagación de onda del Poliuretano es muy baja. Lo anterior quiere decir que la onda de esfuerzo que se propaga por la capa de Poliuretano toma mucho tiempo en éste evento dinámico y la interacción de ondas en las capas no es tan claro para espesores más grandes.

En la Gráfica 4, el esfuerzo presentado para el Poliuretano de 1 mm de espesor no es oscilante, pues la onda se demora en moverse a través del adhesivo al tener una mayor longitud de recorrido y una velocidad muy baja a comparación de los otros materiales como el vidrio y el acero del proyectil. Esto se puede evidenciar mejor en las Figuras 24 y 25, encontradas en los anexos de éste trabajo de investigación.

En las Gráficas 6 y 7 se puede evidenciar mejor las oscilaciones presentadas en los esfuerzos dados en las interfaces de las capas de vidrio con el Nolax. Esto se debe a que la velocidad de propagación de onda es mucho mayor al del Nolax, por lo que los esfuerzos interactúan más rápido en estas configuraciones.

En la Gráfica 6 se puede presenciar que la capa de vidrio soporta mayores esfuerzos de compresión, del orden de los 800 MPa, para un panel con Nolax de 1 mm de espesor. Lo anterior quiere decir, que según el modelo desarrollado, los paneles que tienen mayor daño son los paneles con Nolax de 1 mm, pues los esfuerzos presentados son los más grandes.

La interacción de ondas en paneles con Nolax se puede evidenciar mejor en las Figuras 26 a 31, las cuales encontrada en los anexos.

(44)

7. ANALISIS DE RESULTADOS

Se obtuvo gran variedad entre los resultados, por lo que se analizan los paneles de Poliuretano a parte de los paneles con Nolax.

7.1 Análisis de resultados en paneles con Poliuretano

• A medida que el espesor del poliuretano aumenta, es más difícil

observar la interacción de ondas de esfuerzo porque la velocidad de propagación de onda es muy baja para éste adhesivo.

• Por esa misma ausencia de interacción de ondas de esfuerzo, el daño

provocado en los paneles de 1 mm son mayores en el experimento.

• La pérdida de masa presentado en el panel con 0.5 mm de espesor

resultó ser el menor en éste caso, lo cual se puede deber a una mayor variación de esfuerzos en las capas de los vidrios.

• El comportamiento de ondas de esfuerzo en espesores de 0.7 y 1 mm

son muy similares, salvo que las ondas se demoran un poco más en llegar hasta la última capa en espesores mayores.

• La mayoría de paneles de poliuretano fueron perforados completamente,

(45)

7.2 Análisis de resultados en paneles con Nolax

• Los paneles fabricados con Nolax presentan un mejor comportamiento

con un espesor de 0.7 mm, pues la pérdida de masa fue menor en dichos.

• Se puede apreciar que la interacción de ondas de esfuerzo en los

paquetes con Nolax es más contundente. Se puede observar que existe una variación significativa en los esfuerzos dados en los vidrios como función del tiempo.

• Los paneles con 1 mm de espesor presentan mayores pérdidas de masa

con respecto a los otros en el experimento.

• Los esfuerzos generados en la primera capa de vidrio son mayores

dicho espesor que en los otros de acuerdo a los resultados del modelo planteado.

• Estos paneles no fueron penetrados completamente, por lo que el Nolax

(46)

8. CONCLUSIONES

• El modelo analítico presenta una solución a la respuesta de impacto a

paneles multicapas, presentando la variación de esfuerzos en cada capa y la interacción de ondas que se tiene en cada una de éstas.

• Se pudo determinar una relación entre los esfuerzos reflejados y

transmitidos en los vidrios en función del espesor del adhesivo.

• La solución analítica planteada presenta resultados coherentes con la

experimentación en paneles con Nolax y muestra que el espesor ideal para este adhesivo es 0.7mm.

• El poliuretano no es recomendable para este tipo de estudios, pues la

pérdida de masa de los paneles se debe más a la penetración de dichos y no a la interacción de ondas de esfuerzo. Esto se debe a la pequeña velocidad de propagación de onda que posee este adhesivo.

• Los materiales utilizados fueron adecuadamente caracterizados (Calculo

de densidad y Módulo de elasticidad), por lo que sus propiedades se pudieron implementar en el modelo de ingeniería.

• El Nolax presenta un mejor comportamiento que el Poliuretano para

aplicaciones de impacto, por lo que el uso de este adhesivo en paquetes balísticos es recomendado.

(47)

9. BIBLIOGRAFIA

[1] X Chen, N Chandra, and A.M Rajendran, "Analytical solution to the plate impact problem of layered heterogeneous material systems," 2004.

[2] J López-Puente, A Arias, R Zaera, and C Navarro, "The effect of the thickness of the adhesive layer on the ballistic limit of ceramic/metal armours. An experimental and numerical study," International Journal of Impact Engineering, no. 32, pp. 321-336, 2005.

[3] Amar Prakash, J Rajasankar, N Anandavalli, Mohit Verma, and N Iyer, "Influence of adhesive thickness on high velocity impact performance of ceramic/metal composite targets," International Journal of Adhesion & Adhesives, no. 41, pp. 186-197, 2013.

[4] R.A.W. Mines, "A one-dimensional stress wave analysis of a lightweight composite armour ," 2004.

[5] Camilo Hernandez, Laboratorio ML-005 Materiales Compuestos, 2015. [6] R Zaera, S Sánchez-Sáez, J L Pérez-Castellanos, and C Navarro,

"Modelling of the adhesive layer in mixed ceramic/metal armours subjected to impact," Composites part A: Applied science and manufacturing, pp. 823-833, 2000.

[7] Ashok Bhatnagar, Lightweight ballistic composites: Military and law-enforcement applications. Cambridge: Woodhead Publishing Limited, 2006. [8] J.D. Acuna A. Maranon M.F. Buchely, "Effect of the bonding layer on

ballistic performance of personal protective plate armor," Venice, 2012. [9] X Chen and N Chandra, "The effect of heterogeneity on plane wave

propagation through layered composites," Composites Science and Technology, pp. 1477-1493, 2004.

[10] A Tasdemirci, G Tunusoglu, and M Güden, "The effect of the interlayer on the ballistic performance of ceramic/composite armors: Experimental and numerical study," International Journal of Impact Engineering, no. 44, pp. 1-9, 2012.

[11] R Zaera, S Sánchez-Sáez, M Sánchez-de la Sierra, J L Pérez-Castellanos, and C Navarro, "Influence of the adhesive in the ballistic performance of ceramic faced plate armours," Departamento de Ingeniería Mecánica, Escuela Politécnica Superior. Universidad Carlos III de Madrid., Madrid, 2000.

[12] N Nayak, A Banerjee, and P Sivaraman, "Ballistic Impact response of Ceramic-faced Aramid Laminated Composites Against 7.62 mm Armour Piercing Projectiles," Defense Science Journal, vol. 63, no. 4, pp. 369-375, 2013.

[13] Thomas Wright and Konrad Frank, "Approaches to penetration problems (No. BRL-TR-2957)," ARMY BALLISTIC RESEARCH LAB ABERDEEN PROVING GROUND MD, 1988.

[14] Dimetales. (2010) Dimetales. [Online].

http://dimetales.com/joomla/index.php?option=com_content&view=article&id =68&Itemid=75

(48)

[15] ASTM, "ASTM D792 - 13 Standard Test Methods for Density and Specific Gravity (Relative Density) of Plastics by Displacement," ASTM, 2013.

[16] ASTM, "C 158-95 Standard Test Methods for Strength of Glass by Flexure (Determination of Modulus of Rupture)," ASTM, 1995.

[17] Sika Colombia, "Hoja Técnica de producto Sikaflex®-252 Adhesivo estructural ," Sika Colombia, Bogotá, 2012.

[18] ASTM, "D638-14 Standard Test Method for Tensile Properties of Plastics," ASTM, 2014.

[19] RICARDO ZAMORA BETANCUR, "EFECTO DEL TIPO Y ESPESOR DE LA INTERFACE SOBRE LA RESPUESTA BALÍSTICA DE PLACAS PLANAS HÍBRIDAS ," Universidad de los Andes, Bogotá, Proyecto de grado 2012.

[20] Diego Gomez, "Informe de prueba de tensión en películas plásticas," Univeridad de los Andes, Bogotá, IM-B-80-01, 2010.

(49)

10. ANEXOS

10.1 Representaciones experimentales

Figura 14 Montaje experimental

(50)

Figura 16 Panel de Poliuretano con 0.7 mm de espesor impactado

(51)

Figura 18 Panel de Nolax con 0.5 mm de espesor impactado

(52)

10.2 Representaciones analíticas

Figura 20 Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Poliuretano de 0.5mm de espesor y velocidad de impacto 40 m/s

(53)

(54)

Figura 24 Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Poliuretano de 1mm de espesor y velocidad de impacto 40 m/s

Figura 25 Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Poliuretano de 1mm de espesor y velocidad de impacto 60 m/s

(55)

Figura 26 Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Nolax de 0.5mm de espesor y velocidad de impacto 40 m/s

(56)

(57)

Figura 30 Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Nolax de 1mm de espesor y velocidad de impacto 40 m/s

Figura 31 Presentación analítica de propagación de ondas de esfuerzo con Nolax de 1mm de espesor y velocidad de impacto 60 m/s

(58)

10.3 Código del modelo implementado en Matlab

clc

clear all

%% Condiciones iniciales del proyectil en acero % Velocidad inicial (m/s)

V1 = 60;

% Densidad (kg/m^3)

Rho1 = 7813;

% Modulo de elasticidad (Pa)

E1 = 228E9;

% Velocidad C del material(m/s)

C1 = sqrt(E1/Rho1);

% Impedancia (kg/m^2s)

Z1 = Rho1*C1;

%% Condiciones iniciales primera capa % Velocidad inicial (m/s)

V2 = 0;

% Densidad (kg/m^3)

Rho2 = 2481;

E2 = 70E9;

C2 = sqrt(E2/Rho2);

Z2 = Rho2*C2;

%% Condiciones iniciales segunda capa (adhesivo) % Velocidad inicial (m/s)

V3 = 0;

% Densidad (kg/m^3) 1042 %Rho3 = 915;

Rho3 = 1042;

% Modulo de elasticidad (Pa) 0.674 %E3 = 31E6;

E3 = 0.674E6;

C3 = sqrt(E3/Rho3);

Z3 = Rho3*C3;

%% Condiciones iniciales tercera capa % Velocidad inicial (m/s)

V4 = 0;

% Densidad (kg/m^3)

Rho4 = 2481;

E4 = 70E9;

C4 = sqrt(E4/Rho4);

Z4 = Rho4*C4;

%Se calculan los coeficientes de los esfuerzos transmitidos y reflejados en cada interface

(59)

Tx1=2*Rho2*C2/(Rho1*C1+Rho2*C2); Rx1=(Rho2*C2-Rho1*C1)/(Rho1*C1+Rho2*C2); Tx2=2*Rho3*C3/(Rho2*C2+Rho3*C3); Rx2=(Rho3*C3-Rho2*C2)/(Rho2*C2+Rho3*C3); Tx3=2*Rho4*C4/(Rho3*C3+Rho4*C4); Rx3=(Rho4*C4-Rho3*C3)/(Rho3*C3+Rho4*C4); Tx4=0; Rx4=1;

%% Main Loop

%Tiempo de muestreo y cantidad de datos a tomar

dt=8000; h=50E-6/dt; t=0:h:50E-6;

%Espesores de cada capa

x0=0;

%Capa 1

x1=30E-3;

%Capa 2

x2=x1+10E-3;

%Capa 3 (adhesivo)

x3=x2+(0.5)*1E-3;

%Capa 4

xf=x3+10E-3;

%Error permisible en la toma de datos

e=0.001*x3;

%Vector con los valores de los espesores de las interfaces

xGap=[x0 x1 x2 x3 xf];

%Valores de coeficientes de velocidad de propagación de onda

dx=[-C1 +C2]'; C=[C1 C2 C3 C4];

%Inicialización vector velocidad

V=zeros(1,length(xGap)-1);

%Vector impedancias acústicas

Z=[Z1 Z2 Z3 Z4];

%Velocidades iniciales de las capas uno y dos

V(1)=V1; V(2)=V2;

%Esfuerzo Incidente en el primer instante

In(1)=(V(2)-V(1))/(((1/Z(1))+(1/Z(2))))

%% Calculo de esfuerzos transmitidos, reflejados, e incidentes en cada interface %Interface 1 ST(1)=Tx1*In(1); SR(1)=Rx1*In(1); In(2)=-ST(1); dSigma=ST(1)-SR(1); V1 = V1 + dSigma / (Z1); %Interface 2

ST(2)=Tx2*In(2); SR(2)=Rx2*In(2); In(3)=ST(2);

dSigma=ST(2)-SR(2); V2 = V2 + dSigma / (Z2); %Interface 3

(60)

dSigma=ST(3)-SR(3); V3 = V3 + dSigma / (Z3); %Capa final, todo se refleja

ST(4)=0*In(4); SR(4)=1*In(4); dSigma=ST(4)-SR(4); V4 = V4 + dSigma / (Z4);

%% Calculo de Esfuerzos cuando interactúan entre ellos

x=[x1-2*e x1+2*e]'; s=x-x;

for i=1:length(t)

dxTemp =dx;

%Iteración para emplear la velocidad de propagación de onda adecuada en

%cada capa

if(length(find(dx==0))>0)

I = find(dx==0);

for k=1:length(I)

if(x(I(k))<xGap(2))

dx(I(k))=C(1);

end

if(x(I(k))<xGap(2) && x(I(k))>xGap(3))

dx(I(k))=C(2);

end

if(x(I(k))<xGap(3) && x(I(k))>xGap(4))

dx(I(k))=C(3); end if(x(I(k))>xGap(4)) dx(I(k))=C(4); end end end [x,dx,s]=updatevector(x,dx,s,2*e); x=dx*h+x; n=length(x);

% Cálculo de esfuerzos en el tiempo de muestreo

for j=1:n

%Capa Inicial if(abs(x(j)-xGap(1))<e) dx(j)=-dx(j); s(j)=-s(j); end %Capa Final if(abs(x(j)-xGap(end))<e) dx(j)=-dx(j); s(j)=-s(j); end

% Interface 1

if(abs(x(j)-xGap(2))<e)

(61)

In(2)=ST(1);

dSigma(1)=ST(1)-SR(1); V1 = V1 + dSigma(1) / (Z1);

ln=length(x); dx(ln+1) = - C(1); dx(j) = C(2);

x(j)=xGap(2)+sign(dx(j))*1.1*e; s(j)= sign(dx(j))*ST(1); x(ln+1)=xGap(2)-sign(dx(j))*1.1*e; s(ln+1)=-sign(dx(j))*SR(1); end

% Interface 2

dSigma(2)=ST(2)-SR(2); V2 = V2 + dSigma(2) / (Z2);

x(j)=xGap(3)+sign(dx(j))*1.1*e; s(j)=sign(dx(j))*ST(2); x(ln+1)=xGap(3)-sign(dx(j))*1.1*e; s(ln+1)=-sign(dx(j))*SR(2); end

% Interface 3

ST(3)=Tx3*In(3); SR(3)=-Rx3*In(3); In(4)=-ST(3);

dSigma(3)=ST(3)-SR(3);

V3 = V3 + dSigma(3) / (Z3);

x(j)=xGap(4)+sign(dx(j))*1.1*e; s(j)= sign(dx(j))*ST(3); x(ln+1)=xGap(4)-sign(dx(j))*1.1*e; s(ln+1)=-sign(dx(j))*SR(3); end end

% Suma de esfuerzos incidentes que se encuentran en cada interface

sSum=0;

%Interacción de esfuerzos en capa 1

for j=1:length(x)

if(x(j)>xGap(1) && x(j)<xGap(2))

sSum=(sSum+s(j));

end

sRot1(i)=sSum; sSum=0;

(62)

for j=1:length(x)

sSum=(sSum+s(j));

end

sRot2(i)=sSum; sSum=0;

for j=1:length(x)

sSum=(sSum+s(j)); end end sRot3(i)=sSum; sSum=0; n=length(x);

for j=1:length(x)

if(x(j)>xGap(4)) sSum=(sSum+s(j)); end end sRot4(i)=sSum; sT=s; xT=x; dxT=dx; Vp(i)=V1;

%Muestra el número de iteraciones que se realizan

disp(num2str(i));

xt{i,:}=x'; st{i,:}=s';

end

%% Se convierten los datos obtenidos para procesarlos y graficar el fenomeno

for i=1:length(xt)

xTemp=cell2mat(xt(i)); n(i)=length(xTemp);

end

N=max(n);

disp('CONVIRTIENDO!');

for i=1:length(xt)

xTemp=cell2mat(xt(i)); ni=length(xTemp);

for j=1:ni

y(i,j)=xTemp(j);

end

for j=ni+1:N

y(i,j)=0;

end

%% Plot del fenómeno de interacción de ondas en cada capa

figure(1);

disp('Plotting Ok!');

rectangle('Position',[x0,t(1),x1-x0,t(end)],'FaceColor',[235 225

164]/256);

hold on

(63)

hold on

rectangle('Position',[x2,t(1),x3-x2,t(end)],'FaceColor',[100 200

240]/256);

hold on

rectangle('Position',[x3,t(1),xf-x3,t(end)],'FaceColor',[163 120

212]/256);

hold on

for i=1:length(y(1,:))

scatter(y(:,i),t,1),xlabel('Espacio [m]'),ylabel('Tiempo [s]');

axis([x0 xf t(1) t(end)]);

grid on;

hold on;

end

set(gca,'YDir','reverse');

%%Función para actualizar los valores de los esfuerzos en la iteración

function [y,dy,sy]=updatevector(x,dx,s,h)

f = 1; i = 1; j=1;

while (f==1)

while (j<i)

try (x(i));

f=1; if(abs(x(i)-x(j))<=h) x(i)=[]; dx(i)=[]; dx(j)=abs(dx(j))*sign(s(i)+s(j)); s(j)=(s(i)+s(j)); s(i)=[]; end catch f=0; end j=j+1; end j=0; i=i+1; end y=x; dy=dx; sy=s; end