Mat 021
Primer Semestre 2014
Temas a desarrollar: T´opicos relativos al certamen I
Ejercicios:
1. Sean a, b, c ∈ R y f(x) = ax2
+ 3bx −c (x ∈ R) una funci´on. Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas.
i) Si b= 0, entonces f(x) es una funci´on par, para todos a, c∈R
ii) Si a= 3, b = 1
3 y c= 4, entonces f(x) es decreciente en el intervalo [−1,0] iii) Si a=b = 0, entonces f(x) es una funci´on creciente en [5,10]
Soluci´on. La afirmaci´oni) es verdadera. De hecho, sib = 0, entoncesf(x) =ax2
−c. As´ı, dado x∈R, tenemos que
f(−x) = a(−x)2
−c = ax2
−c = f(x),
de donde f es par. La afirmaci´on ii) es falsa. En efecto, para dichos valores de a, b y c, se tiene f(x) = 3x2
+x−4. Ahora bien, el v´ertice de esta par´abola es V =
−16,−49 12
, y como el coefi-ciente de x2
es positivo, es claro que para puntos cercanos a −1
6 esta funci´on pasa de ser decreciente a creciente. En particular, f no es ni creciente ni decreciente en [−1,0]. Finalmente, la afirmaci´on iii) es verdadera, ya que si a=b = 0, entonces f(x) =−c es una recta horizontal, y por lo tanto es creciente y decreciente en R. En particular, ella es creciente en [5,10].
2. Dados los conjuntos A=
x∈R: |x| |2−x| >1
y B ={x∈ R:|x|>|1−x|}, determine si existen, el supremo, ´ınfimo, m´aximo y m´ınimo del conjunto B−A.
Soluci´on. Resolviendo las inecuaciones, se tiene A = [1,+∞[−{2} y B =]1/2,+∞[. Luego, B−A = ]1/2,1[. As´ı, sup(A) = 1, m´ın(A) = 1/2, mientras que no existen el m´aximo y m´ınimo.
a) Encuentre una funci´on A(x) que represente el ´area del terreno cercado. b) ¿Cu´al es el dominio de A(x)?
c) Determine las dimensiones del terreno cercado de ´area m´axima.
Soluci´on. Sean x, y los lados del rect´angulo. Luego, el ´area es A = xy y x, y > 0. Por otra parte, 4(2x+ 2y) = 1600 de donde y = 200−x (es decir, x < 200). De esta forma A(x) = (200 −x)x y dom(A) =]0,200[. Dado queA(x) es una par´abola, su punto m´aximo est´a en su v´erticeV = (100,10000), es decir, el ´area m´axima se obtiene con x=y= 100 y este ´area es 10000 metros cuadrados.
4. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) [(∀x∈R)(|x|>0⇒x >0)]⇒[(∃y∈R)(y2
≥0∨y=−1)] b) [(∀x∈R)(|x| ≤0)]⇒ [(∃x∈R)(x3
=x)] Soluci´on.
a) Notemos que la proposici´on (∀x∈R)(|x|>0⇒x >0) es falsa, puesto que existe x=−1∈R tal que
|x|>0⇒x >0 ⇔ | −1|>0⇒ −1>0 ⇔ 1>0⇒ −1>0 ⇔ V ⇒ F
⇔ F.
Ahora bien, como la proposici´on F ⇒p es verdadera, para toda proposici´on p, resulta que [(∀x∈R)(|x|>0⇒x >0)]⇒[(∃y∈R)(y2
≥0∨y=−1)] es una proposici´on verdadera. b) Notemos primero que la negaci´on de la proposici´on (∀x∈R)(|x| ≤0) est´a dada por
(∀x∈R)(|x| ≤0) ⇔ (∃x∈R)(|x|>0).
Ahora bien, est´a ´ultima proposici´on es claramente verdadera (tomar por ejemplo x = 1), conclu-yendo as´ı que la proposici´on (∀x ∈R)(|x| ≤0) es falsa. Como la proposici´on F ⇒p es verdadera, para toda proposici´on p, resulta que [(∀x∈ R)(|x| ≤ 0)]⇒ [(∃x∈ R)(x3
=x)] es una proposici´on verdadera.
5. SeanA, B, C tres conjuntos y U el conjunto universo. Demuestre que [(A−(Bc
−Ac
))∪Bc
Soluci´on. Tenemos que [(A−(Bc
−Ac
))∪Bc
]∩A = [(A−(Bc ∩(Ac
)c
))∪Bc ]∩A = [(A−(Bc
∩A))∪Bc ]∩A = [(A∩(Bc
∩A)c )∪Bc
]∩A = [(A∩((Bc
)c ∪Ac
))∪Bc ]∩A = [(A∩(B∪Ac
))∪Bc ]∩A = [((A∩B)∪(A∩Ac
))∪Bc ]∩A = [((A∩B)∪φ)∪Bc
]∩A = [(A∩B)∪Bc
]∩A = [(Bc
∪A)∩(Bc
∪B)]∩A = [(Bc
∪A)∩U]∩A = (Bc
∪A)∩A
= A
6. Resuelva, en el intervalo [0,2π], la ecuaci´on trigonom´etrica
sin(x) cos2
(x) = cos(2x) cos(x)√
3 + sin
3
(x)
Soluci´on. Tenemos que: sin(x) cos2
(x) = cos(2x) cos(x)√
3 + sin
3
(x) ⇔ √3(sin(x) cos2
(x)−sin3
(x)) = cos(2x) cos(x) ⇔ √3 sin(x)(cos2
(x)−sin2
(x)) = cos(2x) cos(x) ⇔ √3 sin(x) cos(2x) = cos(2x) cos(x)
⇔ √3 sin(x) cos(2x)−cos(2x) cos(x) = 0 ⇔ cos(2x)(√3 sin(x)−cos(x)) = 0
⇔ cos(2x) = 0 ∨ √3 sin(x)−cos(x) = 0 ⇔ cos(2x) = 0 ∨ sinx− π
6
= 0 ⇔ x∈
π 4, 3π 4 , 5π 4 , 7π 4 , π 6, 7π 6
7. En el tri´angulo CBA, rect´angulo en C, BD bisecta a < CBA . Adem´as, tan(2a) = 6
x y tan(2a) = 2 tan(a)
1−tan2
(a). Determine el valor de x:
Soluci´on. Seg´un los datos del problema, tenemos que tan(2a) = 6
x y tan(2a) =
2 tan(a) 1−tan2
B
x
C 2 D 4 A a a
es decir,
6 x =
2 tan(a) 1−tan2
(a). (1)
Ahora bien, fij´andose en el tri´angulo CBD, resulta que tan(a) = 2
x. As´ı, reemplazando esto ´ultimo en la ecuaci´on (1), obtenemos que
6 x =
2 tan(a) 1−tan2
(a) =
2· 2 x
1−
2 x
2 = 4x x2
−4,
de donde
6 x =
4x x2
−4 ⇔ 6(x2
−4) = 4x2
⇔ 6x2
−24 = 4x2
⇔ x2
= 12 ⇔ x=√12 ⇔ x= 2√3
8. Sea α∈R tal que cos(α) = 1 3 y cos
π 2 −α
>0. Calcule el valor de
A= sin2
α−π 2
+ tan
α−3π 2
Soluci´on. Dado que cos(α) = 1
3 >0 y cos π
2 −α
= sin(α)>0, entonces α ∈h0,π 2 i
. Ahora bien, sin2
(α) + cos2
(α) = 1 ⇒ sin2
(α) = 1−cos2
(α) ⇒ sin2
(α) = 1−
1 3
2
⇒ |sin(α)|= r
1− 1 9 ⇒ sin(α) =
√ 8 3 Por otra parte, dado que sinα− π
2
=−cos(α) = −1
3, entonces se tiene que sin
2
α− π 2
= 1
9. Fi-nalmente, tan
α−3π 2
=−cot(α) =−√1
8, y csc(α) = 3 √
8. De esta manera,
A = 1 9−
1 √ 8 1−√3
8 =
1 9−
1 √ 8 √
8−3 √
8 =
