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matematica ii clase 12

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Academic year: 2020

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(1)

funciones de múltiples variables, cálculo

diferencial y cálculo integral

Cátedra de Matemática II

(2)

Clase 12

1 Cónicas y su representación

Cónicas

(3)

Índice

1 Cónicas y su representación

Cónicas

(4)

Cónicas: el círculo

La intersección de un cono con un planoperpendicular a su ejees uncírculo.

(5)

Cónicas: el círculo

Ecuación del círculo en el plano(x;y)

Ecuación del círculo

Dados uncentro(x0;y0)y unradior≥0 (xx0)2+(yy0)2=r2

es un círculo.

La ecuación cuadrática es

x2+y2+2ax+2by=c

Si elcentroes(0;0), ambas ecuaciones quedan

x2+y2=r2

x

0

(6)

Cónicas: el círculo

Completando cuadrados para encontrar el centro y el radio

Ejemplo

Encontrar el centro y el radio del círculox2+y2−4x+6y=3.

Vemos quex2−4x son los dos primeros términos del binomio(x−2)2=x2−4x+4.

Y vemos quey2+6y son los dos primeros términos del binomio(y+3)2=y2+6y+9.

Podemos sumar4+9a ambos lados de la ecuación

x2+y2−4x+6y+4+9=3+4+9

(x−2)2+(y+3)2=16

(7)

Cónicas: el círculo

Completando cuadrados para encontrar el centro y el radio

Ejemplo

Encontrar el centro y el radio del círculox2+y2−4x+6y=3.

Vemos quex2−4x son los dos primeros términos del binomio(x−2)2=x2−4x+4.

Y vemos quey2+6y son los dos primeros términos del binomio(y+3)2=y2+6y+9.

Podemos sumar4+9a ambos lados de la ecuación

x2+y2−4x+6y+4+9=3+4+9

(x−2)2+(y+3)2=16

(8)

Cónicas: el círculo

Completando cuadrados para encontrar el centro y el radio

Ejemplo

Encontrar el centro y el radio del círculox2+y2−4x+6y=3.

Vemos quex2−4x son los dos primeros términos del binomio(x−2)2=x2−4x+4.

Y vemos quey2+6y son los dos primeros términos del binomio(y+3)2=y2+6y+9.

Podemos sumar4+9a ambos lados de la ecuación

x2+y2−4x+6y+4+9=3+4+9

(x−2)2+(y+3)2=16

(9)

Cónicas: el círculo

Completando cuadrados para encontrar el centro y el radio

Ejemplo

Encontrar el centro y el radio del círculox2+y2−4x+6y=3.

Vemos quex2−4x son los dos primeros términos del binomio(x−2)2=x2−4x+4.

Y vemos quey2+6y son los dos primeros términos del binomio(y+3)2=y2+6y+9.

Podemos sumar4+9a ambos lados de la ecuación

x2+y2−4x+6y+4+9=3+4+9

(x−2)2+(y+3)2=16

(10)

Cónicas: el círculo

Completando cuadrados para encontrar el centro y el radio

Ejemplo

Encontrar el centro y el radio del círculox2+y2−4x+6y=3.

Vemos quex2−4x son los dos primeros términos del binomio(x−2)2=x2−4x+4.

Y vemos quey2+6y son los dos primeros términos del binomio(y+3)2=y2+6y+9.

Podemos sumar4+9a ambos lados de la ecuación

x2+y2−4x+6y+4+9=3+4+9

(x−2)2+(y+3)2=16

(11)

Cónicas: la elipse

La intersección de un cono con un planono perpendicular a su ejepuede ser unaelipse.

(12)

Cónicas: la elipse

Ecuación de la elipse en el plano(x;y)

Ecuación de la elipse

Dados uncentro(x0;y0), unsemieje

mayora>0 y unsemieje menorb>0

(x−x0)2

a2 +

(y−y0)2

b2 =1

es una elipse.

Si elcentroes(0;0), la ecuación queda

x2

a2+

y2

b2=1

x

0

y

0

(13)

Cónicas: la elipse

Ecuación de la elipse en el plano(x;y)

Suexcentricidades

e=

s

a2b2

a2

y se cumple que 0≤e≤1. Sic=ae, susfocosestán en

(x0−c;y0) y (x0+c;y0)

e=0 =⇒a=b, entonces la elipse es

un círculo ya=b=r.

x

0

y

0 F F

(14)

Cónicas: la elipse

Encontrando los parámetros de la elipse

Ejemplo

Encontrar el semieje mayor, el semieje menor y la excentricidad de la elipse 4x2+9y2=36.

Si dividimos a ambos lados de la ecuación por36

4x2 36 + 9y2 36 = 36 36 x2 9 + y2

4 =1 Entoncesa=3 yb=2.

Y la excentricidad resulta

e= s

3222

32 = s

9−4 9 =

s

5

(15)

Cónicas: la elipse

Encontrando los parámetros de la elipse

Ejemplo

Encontrar el semieje mayor, el semieje menor y la excentricidad de la elipse 4x2+9y2=36.

Si dividimos a ambos lados de la ecuación por36

4x2

36 +

9y2

36 = 36 36 x2 9 + y2

4 =1 Entoncesa=3 yb=2.

Y la excentricidad resulta

e= s

3222

32 = s

9−4 9 =

s

5

(16)

Cónicas: la elipse

Encontrando los parámetros de la elipse

Ejemplo

Encontrar el semieje mayor, el semieje menor y la excentricidad de la elipse 4x2+9y2=36.

Si dividimos a ambos lados de la ecuación por36

4x2

36 +

9y2

36 = 36 36 x2 9 + y2

4 =1 Entoncesa=3 yb=2.

Y la excentricidad resulta

e= s

3222

32 = s

9−4 9 =

s

5

(17)

Cónicas: la elipse

Encontrando los parámetros de la elipse

Ejemplo

Encontrar el semieje mayor, el semieje menor y la excentricidad de la elipse 4x2+9y2=36.

Si dividimos a ambos lados de la ecuación por36

4x2

36 +

9y2

36 = 36 36 x2 9 + y2

4 =1 Entoncesa=3 yb=2.

Y la excentricidad resulta

e=

s 3222

32 =

s 9−4

9 = s

5

(18)

Cónicas: la parábola

La intersección de un cono con un planoparalelo auna generatrizes unaparábola.

(19)

Cónicas: la parábola

Ecuación de la parábola en el plano(x;y)

Ecuación de la parábola (1)

Dados unvértice(x0;y0)y un parámetrop

y−y0=

(x−x0)2

4p

es una parábola con ejex=x0.

Si elvérticees(0;0), la ecuación queda

y=x

2

4p

x

0

y

0

p

F

(20)

Cónicas: la parábola

Ecuación de la parábola en el plano(x;y)

Ecuación de la parábola (2)

Dados unvértice(x0;y0)y un parámetrop

x−x0=

(y−y0)2

4p

es una parábola con ejey=y0.

Si elvérticees(0;0), la ecuación queda

x=y

2

4p

x

0

y

0

p F

(21)

Cónicas: la parábola

Encontrando los parámetros de una parábola

Ejemplo

Describir el gráfico de la ecuacióny=x2−4x+3.

Podemos completar cuadrados

y=x2−4x+3+1−1

y=x2−4x+4−1

y=(x−2)2−1

y+1=(x−2)2

Entonces el parámetro esp=14 y el vértice está en(2;−1).

(22)

Cónicas: la parábola

Encontrando los parámetros de una parábola

Ejemplo

Describir el gráfico de la ecuacióny=x2−4x+3.

Podemos completar cuadrados

y=x2−4x+3+1−1

y=x2−4x+4−1

y=(x−2)2−1

y+1=(x−2)2

Entonces el parámetro esp=14 y el vértice está en(2;−1).

(23)

Cónicas: la parábola

Encontrando los parámetros de una parábola

Ejemplo

Describir el gráfico de la ecuacióny=x2−4x+3.

Podemos completar cuadrados

y=x2−4x+3+1−1

y=x2−4x+4−1

y=(x−2)2−1

y+1=(x−2)2

(24)

Cónicas: la parábola

Encontrando los parámetros de una parábola

Ejemplo

Describir el gráfico de la ecuacióny=x2−4x+3.

Podemos completar cuadrados

y=x2−4x+3+1−1

y=x2−4x+4−1

y=(x−2)2−1

y+1=(x−2)2

(25)

Cónicas: la hipérbola

La intersección de un cono con un planoparalelo al ejees unahipérbola.

(26)

Cónicas: la hipérbola

Ecuación de la hipérbola en el plano(x;y)

Ecuación de la hipérbola (1)

Dados dosparámetrosayb

x2

a2−

y2

b2 =1

es una hipérbola con ejex=0.

Susasíntotasson las rectas

y=b

ax e y= −

b

ax

y

=

b ax

(27)

Cónicas: la hipérbola

Ecuación de la hipérbola en el plano(x;y)

Ecuación de la hipérbola (2)

Dados dosparámetrosayb

x2

a2−

y2

b2= −1

es una hipérbola con ejey=0.

Susasíntotasson también las rectas

y=b

ax e y= −

b

ax

y

=

b ax

(28)

Cónicas: la hipérbola

Ecuación de la hipérbola en el plano(x;y)

Suexcentricidades

e=

p

a2+b2

a

y se cumple quee>1. Sic=ae, los focos están en

(−c;0) (c;0)

o en

(0;−c) (0;c)

y

=

b ax

(29)

Índice

1 Cónicas y su representación

Cónicas

(30)

Ecuación paramétrica del círculo

Dados(x0;y0)yr

½ x

=x0+rcost

y=y0+rsint

cont∈[0;2π).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.3

0.4 0.5 0.6 0.7

En Sage se escribe # x0=0,3, y0=0,5 y r=0,25 x_0=0.3; y_0=0.5; r=0.25

# t es variable...

t=var("t")

# las ecuaciones...

x=x_0+r*cos(t) y=y_0+r*sin(t)

# el grafico...

circulo=parametric_plot([x,y], (t,0,2*pi),color="green")

# lo mostramos

(31)

Ecuación paramétrica de la elipse

Dados(x0;y0),ayb

½ x

=x0+acost

y=y0+bsint

cont∈[0;2π).

0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.5 0 0.5 1 1.5

En Sage se escribe

# x0=1, y0=0,5, a=0,5 y b=1 x_0=1; y_0=0.5; a=0.5; b=1

# t es variable...

t=var("t")

# las ecuaciones...

x=x_0+a*cos(t) y=y_0+b*sin(t)

# el grafico...

elipse=parametric_plot([x,y], (t,0,2*pi),color="red")

# lo mostramos...

(32)

Ecuación paramétrica de la parábola

Dados(x0;y0)yp

(

x=x0+t

y=y0+t

2

4p

cont∈[−1;1].

0 0.5 1 1.5 2

0.5 1 1.5 2 2.5

En Sage se escribe # x0=1, y0=0,5, p=18 x_0=1; y_0=0.5; p=1/8

# t es variable...

t=var("t")

# las ecuaciones...

x=x_0+t

y=y_0+t^2/(4*p)

# el grafico...

parabola=parametric_plot([x,y], (-1,1),color="blue")

# lo mostramos

(33)

Ecuación paramétrica de la hipérbola

Dadosayb

(

x=t

y=

q a2t2

b2 +b2

cont∈[−1;1].

-1 -0.5 0 0.5 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

En Sage se escribe #a=14 y b=1

a=1/4; b=1

# t es variable...

t=var("t")

# las ecuaciones...

x=t

y=sqrt(b^2/a^2*t^2+b^2)

# el grafico...

hiperbola=parametric_plot([x,y], (-1,1),color="green")

# lo mostramos

Referencias

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