funciones de múltiples variables, cálculo
diferencial y cálculo integral
Cátedra de Matemática II
Clase 12
1 Cónicas y su representación
Cónicas
Índice
1 Cónicas y su representación
Cónicas
Cónicas: el círculo
La intersección de un cono con un planoperpendicular a su ejees uncírculo.
Cónicas: el círculo
Ecuación del círculo en el plano(x;y)
Ecuación del círculo
Dados uncentro(x0;y0)y unradior≥0 (x−x0)2+(y−y0)2=r2
es un círculo.
La ecuación cuadrática es
x2+y2+2ax+2by=c
Si elcentroes(0;0), ambas ecuaciones quedan
x2+y2=r2
x
0Cónicas: el círculo
Completando cuadrados para encontrar el centro y el radio
Ejemplo
Encontrar el centro y el radio del círculox2+y2−4x+6y=3.
Vemos quex2−4x son los dos primeros términos del binomio(x−2)2=x2−4x+4.
Y vemos quey2+6y son los dos primeros términos del binomio(y+3)2=y2+6y+9.
Podemos sumar4+9a ambos lados de la ecuación
x2+y2−4x+6y+4+9=3+4+9
(x−2)2+(y+3)2=16
Cónicas: el círculo
Completando cuadrados para encontrar el centro y el radio
Ejemplo
Encontrar el centro y el radio del círculox2+y2−4x+6y=3.
Vemos quex2−4x son los dos primeros términos del binomio(x−2)2=x2−4x+4.
Y vemos quey2+6y son los dos primeros términos del binomio(y+3)2=y2+6y+9.
Podemos sumar4+9a ambos lados de la ecuación
x2+y2−4x+6y+4+9=3+4+9
(x−2)2+(y+3)2=16
Cónicas: el círculo
Completando cuadrados para encontrar el centro y el radio
Ejemplo
Encontrar el centro y el radio del círculox2+y2−4x+6y=3.
Vemos quex2−4x son los dos primeros términos del binomio(x−2)2=x2−4x+4.
Y vemos quey2+6y son los dos primeros términos del binomio(y+3)2=y2+6y+9.
Podemos sumar4+9a ambos lados de la ecuación
x2+y2−4x+6y+4+9=3+4+9
(x−2)2+(y+3)2=16
Cónicas: el círculo
Completando cuadrados para encontrar el centro y el radio
Ejemplo
Encontrar el centro y el radio del círculox2+y2−4x+6y=3.
Vemos quex2−4x son los dos primeros términos del binomio(x−2)2=x2−4x+4.
Y vemos quey2+6y son los dos primeros términos del binomio(y+3)2=y2+6y+9.
Podemos sumar4+9a ambos lados de la ecuación
x2+y2−4x+6y+4+9=3+4+9
(x−2)2+(y+3)2=16
Cónicas: el círculo
Completando cuadrados para encontrar el centro y el radio
Ejemplo
Encontrar el centro y el radio del círculox2+y2−4x+6y=3.
Vemos quex2−4x son los dos primeros términos del binomio(x−2)2=x2−4x+4.
Y vemos quey2+6y son los dos primeros términos del binomio(y+3)2=y2+6y+9.
Podemos sumar4+9a ambos lados de la ecuación
x2+y2−4x+6y+4+9=3+4+9
(x−2)2+(y+3)2=16
Cónicas: la elipse
La intersección de un cono con un planono perpendicular a su ejepuede ser unaelipse.
Cónicas: la elipse
Ecuación de la elipse en el plano(x;y)
Ecuación de la elipse
Dados uncentro(x0;y0), unsemieje
mayora>0 y unsemieje menorb>0
(x−x0)2
a2 +
(y−y0)2
b2 =1
es una elipse.
Si elcentroes(0;0), la ecuación queda
x2
a2+
y2
b2=1
x
0y
0Cónicas: la elipse
Ecuación de la elipse en el plano(x;y)
Suexcentricidades
e=
s
a2−b2
a2
y se cumple que 0≤e≤1. Sic=ae, susfocosestán en
(x0−c;y0) y (x0+c;y0)
e=0 =⇒a=b, entonces la elipse es
un círculo ya=b=r.
x
0y
0 F FCónicas: la elipse
Encontrando los parámetros de la elipse
Ejemplo
Encontrar el semieje mayor, el semieje menor y la excentricidad de la elipse 4x2+9y2=36.
Si dividimos a ambos lados de la ecuación por36
4x2 36 + 9y2 36 = 36 36 x2 9 + y2
4 =1 Entoncesa=3 yb=2.
Y la excentricidad resulta
e= s
32−22
32 = s
9−4 9 =
s
5
Cónicas: la elipse
Encontrando los parámetros de la elipse
Ejemplo
Encontrar el semieje mayor, el semieje menor y la excentricidad de la elipse 4x2+9y2=36.
Si dividimos a ambos lados de la ecuación por36
4x2
36 +
9y2
36 = 36 36 x2 9 + y2
4 =1 Entoncesa=3 yb=2.
Y la excentricidad resulta
e= s
32−22
32 = s
9−4 9 =
s
5
Cónicas: la elipse
Encontrando los parámetros de la elipse
Ejemplo
Encontrar el semieje mayor, el semieje menor y la excentricidad de la elipse 4x2+9y2=36.
Si dividimos a ambos lados de la ecuación por36
4x2
36 +
9y2
36 = 36 36 x2 9 + y2
4 =1 Entoncesa=3 yb=2.
Y la excentricidad resulta
e= s
32−22
32 = s
9−4 9 =
s
5
Cónicas: la elipse
Encontrando los parámetros de la elipse
Ejemplo
Encontrar el semieje mayor, el semieje menor y la excentricidad de la elipse 4x2+9y2=36.
Si dividimos a ambos lados de la ecuación por36
4x2
36 +
9y2
36 = 36 36 x2 9 + y2
4 =1 Entoncesa=3 yb=2.
Y la excentricidad resulta
e=
s 32−22
32 =
s 9−4
9 = s
5
Cónicas: la parábola
La intersección de un cono con un planoparalelo auna generatrizes unaparábola.
Cónicas: la parábola
Ecuación de la parábola en el plano(x;y)
Ecuación de la parábola (1)
Dados unvértice(x0;y0)y un parámetrop
y−y0=
(x−x0)2
4p
es una parábola con ejex=x0.
Si elvérticees(0;0), la ecuación queda
y=x
2
4p
x
0y
0p
F
Cónicas: la parábola
Ecuación de la parábola en el plano(x;y)
Ecuación de la parábola (2)
Dados unvértice(x0;y0)y un parámetrop
x−x0=
(y−y0)2
4p
es una parábola con ejey=y0.
Si elvérticees(0;0), la ecuación queda
x=y
2
4p
x
0y
0p F
Cónicas: la parábola
Encontrando los parámetros de una parábola
Ejemplo
Describir el gráfico de la ecuacióny=x2−4x+3.
Podemos completar cuadrados
y=x2−4x+3+1−1
y=x2−4x+4−1
y=(x−2)2−1
y+1=(x−2)2
Entonces el parámetro esp=14 y el vértice está en(2;−1).
Cónicas: la parábola
Encontrando los parámetros de una parábola
Ejemplo
Describir el gráfico de la ecuacióny=x2−4x+3.
Podemos completar cuadrados
y=x2−4x+3+1−1
y=x2−4x+4−1
y=(x−2)2−1
y+1=(x−2)2
Entonces el parámetro esp=14 y el vértice está en(2;−1).
Cónicas: la parábola
Encontrando los parámetros de una parábola
Ejemplo
Describir el gráfico de la ecuacióny=x2−4x+3.
Podemos completar cuadrados
y=x2−4x+3+1−1
y=x2−4x+4−1
y=(x−2)2−1
y+1=(x−2)2
Cónicas: la parábola
Encontrando los parámetros de una parábola
Ejemplo
Describir el gráfico de la ecuacióny=x2−4x+3.
Podemos completar cuadrados
y=x2−4x+3+1−1
y=x2−4x+4−1
y=(x−2)2−1
y+1=(x−2)2
Cónicas: la hipérbola
La intersección de un cono con un planoparalelo al ejees unahipérbola.
Cónicas: la hipérbola
Ecuación de la hipérbola en el plano(x;y)
Ecuación de la hipérbola (1)
Dados dosparámetrosayb
x2
a2−
y2
b2 =1
es una hipérbola con ejex=0.
Susasíntotasson las rectas
y=b
ax e y= −
b
ax
y
=
b axCónicas: la hipérbola
Ecuación de la hipérbola en el plano(x;y)
Ecuación de la hipérbola (2)
Dados dosparámetrosayb
x2
a2−
y2
b2= −1
es una hipérbola con ejey=0.
Susasíntotasson también las rectas
y=b
ax e y= −
b
ax
y
=
b axCónicas: la hipérbola
Ecuación de la hipérbola en el plano(x;y)
Suexcentricidades
e=
p
a2+b2
a
y se cumple quee>1. Sic=ae, los focos están en
(−c;0) (c;0)
o en
(0;−c) (0;c)
y
=
b axÍndice
1 Cónicas y su representación
Cónicas
Ecuación paramétrica del círculo
Dados(x0;y0)yr
½ x
=x0+rcost
y=y0+rsint
cont∈[0;2π).
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.3
0.4 0.5 0.6 0.7
En Sage se escribe # x0=0,3, y0=0,5 y r=0,25 x_0=0.3; y_0=0.5; r=0.25
# t es variable...
t=var("t")
# las ecuaciones...
x=x_0+r*cos(t) y=y_0+r*sin(t)
# el grafico...
circulo=parametric_plot([x,y], (t,0,2*pi),color="green")
# lo mostramos
Ecuación paramétrica de la elipse
Dados(x0;y0),ayb
½ x
=x0+acost
y=y0+bsint
cont∈[0;2π).
0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.5 0 0.5 1 1.5
En Sage se escribe
# x0=1, y0=0,5, a=0,5 y b=1 x_0=1; y_0=0.5; a=0.5; b=1
# t es variable...
t=var("t")
# las ecuaciones...
x=x_0+a*cos(t) y=y_0+b*sin(t)
# el grafico...
elipse=parametric_plot([x,y], (t,0,2*pi),color="red")
# lo mostramos...
Ecuación paramétrica de la parábola
Dados(x0;y0)yp
(
x=x0+t
y=y0+t
2
4p
cont∈[−1;1].
0 0.5 1 1.5 2
0.5 1 1.5 2 2.5
En Sage se escribe # x0=1, y0=0,5, p=18 x_0=1; y_0=0.5; p=1/8
# t es variable...
t=var("t")
# las ecuaciones...
x=x_0+t
y=y_0+t^2/(4*p)
# el grafico...
parabola=parametric_plot([x,y], (-1,1),color="blue")
# lo mostramos
Ecuación paramétrica de la hipérbola
Dadosayb
(
x=t
y=
q a2t2
b2 +b2
cont∈[−1;1].
-1 -0.5 0 0.5 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
En Sage se escribe #a=14 y b=1
a=1/4; b=1
# t es variable...
t=var("t")
# las ecuaciones...
x=t
y=sqrt(b^2/a^2*t^2+b^2)
# el grafico...
hiperbola=parametric_plot([x,y], (-1,1),color="green")
# lo mostramos