matematica ii apunte 3

(1)

Parte I

Clase 3

´Indice

I

Clase 3

1

1. Operaciones con matrices 1

1.1. Producto de matrices . . . 1 1.2. Inversi´on de matrices . . . 4 1.3. Transpuesta de una matriz . . . 6

2. M´etodo de Gauss-Jordan 7

2.1. FactorizaciónLU . . . 7 2.2. Resolución de sistemas por Gauss-Jordan . . . 8 2.3. Inversión de matrices por Gauss-Jordan . . . 9

1. Operaciones con matrices

1.1. Producto de matrices

Producto de matrices ¿Pueden multiplicarse dos matrices?

Dadas matricesAdem×nyBdep×q, pueden sumarse comoA+B sola-mentesim=pyn=q(igual tama˜no)

A=

0 1 0

1 0 1

B=

1 0 1

0 1 0

A+B=

1 1 1

Dada una matrizAdem×ny un vector columna vde dimensi´onp, pueden multiplicarse comoAvsolamentesin=p(# de columnas deA=# de filas de v)

A=

0 1 0

1 0 1

v=   1 2 3 

 Av= 1

0 1

+ 2

1 0

+ 3

0 1

=

2 4

Dadas matricesAde m×n y B dep×q, pueden multiplicarse como AB solamentesin=p(# de columnas deA=# de filas dev)

A=

0 1 0

1 0 1

B=  

(2)

Multiplicaci´on de matrices (utilizando productos punto)

(ab)_ij = (filaideA)·(columnaj deB)



  

∗

ai1 ai2 · · · ai5

∗ ∗



  



   

∗ ∗ b1j ∗ ∗ ∗

b2j

. . . b5j



   

=



   

∗

∗ ∗ (ab)ij ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗



   

Ade4×5 Bde5×6 ABde4×6

(ab)ij =ai1b1j+ai2b2j+· · ·+ai5b5j= 5 X

k=1

aikbkj

Producto de matrices Multiplicaci´on de matrices cuadradas

Ejemplo 1. Matrices cuadradas pueden multiplicarse solamente si tienen el mismo tama˜no

1 1

2 −1 2 2 3 4

=

5 6 1 0

El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tres productos punto dan 6, 1 y 0.

SiAyBson den×n, tambi´enABes den×n.

ABcontienen2_{productos punto, y cada producto punto requiere}_n multiplica-ciones.

El c´omputo deABrequieren3multiplicaciones.

Sin= 100hay que multiplicar 1000000 de veces. Sin= 2, solo 8 veces.

Producto de matrices Producto de matrices fila con matrices columna

Ejemplo2. SeaAun vector fila (1×3) y seaBun vector columna (3×1). Entonces ABes de1×1, mientras queBAes de3×3.

A=1 2 3

B=   0 1 2  

AB=

1 2 3   0 1 2 

 BA=

  0 1 2  

1 2 3

= 8

=  

0 0 0

1 2 3

2 4 6

(3)

Producto de matrices Matrices ´utiles: las matrices identidad

Definici´on 3. Las matricesidentidadtienen la formaI=    1 0 . ._. 0 1   

IA=A BI=B

1 0 0 1 2 3 5 7 =

(1; 0)·(2; 5) (1; 0)·(3; 7) (0; 1)·(2; 5) (0; 1)·(3,7) = 2 3 5 7

2 3 5

7 11 13

 

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 =

2 3 5

7 11 13

Producto de matrices Matrices ´utiles: las matrices multiplicadoras

Definici´on 4. Las matricesmultiplicadorastienen la formaM3=

 

1 0 0

0 1 0

0 0 c

 , donde

el3indica la fila multiplicada por el n´umeroc.

M2 z }| { 1 0 0 3 2 3 5 7 =

(1; 0)·(2; 5) (1; 0)·(3; 7) (0; 3)·(2; 5) (0; 3)·(3,7) = 2 3 15 21  

π 0 0

0 1 0

0 0 1

 

| {z } M1

 

1 2 3

 =

 

π 2π 3π

1 2 3

 

Producto de matrices Matrices ´utiles: las matrices permutaci´on

Definici´on 5. Las matricespermutaci´ontienen la formaP21 =

 

0 1 0

1 0 0

0 0 1



, donde2

y1indican las filas que se intercambian.

P21

z }| { 0 1 1 0 2 3 5 7 =

(0; 1)·(2; 5) (0; 1)·(3; 7) (1; 0)·(2; 5) (1; 0)·(3,7) = 5 7 2 3  

0 1 0

1 0 0

0 0 1

 

| {z } P21   1 2 3  =   2 1 3    

0 0 1

0 1 0

1 0 0

 

(4)

Producto de matrices Matrices ´utiles: las matrices eliminaci´on

Definici´on 6. Las matriceseliminaci´ontienen la formaE21=  

1 0 0

−l 1 0

0 0 1

 , donde

2y1indican la posici´on del n´umero−l.

E21 z }| {

1 0

−5 2 1

2 3 5 7

=

(1; 0)·(2; 5) (1; 0)·(3; 7) (−5

2; 1)·(2; 5) (− 5

2; 1)·(3,7)

2 3

0 −1 2

 

1 0 0

0 1 0

−3 1 0 1

 

| {z }

E31

  1 2 3  =

  1 2 0  

 

1 0 0

0 1 0

0 −3 2 1

 

| {z }

E32

  1 2 3  =

  1 2 0  

Producto de matrices Propiedades de la suma y de la multiplicaci´on de matrices Propiedades de la suma de matrices

A+B=B+A ley conmutativa

c(A+B) =cA+cB ley distributiva

A+ (B+C) = (A+B) +C ley asociativa

Propiedades de la multiplicaci´on de matrices

AB6=BA ley conmutativa no funciona

C(A+B) =CA+CB ley distributiva a izquierda (A+B)C=AC+BC ley distributiva a derecha

A(BC) = (AB)C ley asociativa

1.2. Inversi´on de matrices

Inversi´on de matrices Comentarios preliminares

Dada una matrizcuadrada A, buscamos una matriz inversa A−1 _{del mismo} tama˜no.

Queremos queA−1_A₌_I

Sea lo que sea queAhace,A−1lodeshace.

(5)

Inversi´on de matrices Definici´on de matriz invertible

Definici´on 7. La matriz cuadradaAesinvertiblesi existe una matrizA−1_{tal que} A−1A=I y AA−1=I

¡No todas las matrices cuadras tienen inversa!

Dada una matriz cuadradaAlo primero que hay que preguntarse es: ¿Aes in-vertible?

Pero en muchos problemas no hace falta calcularA−1_{, con saber que existe es} suficiente.

Inversi´on de matrices Seis observaciones acerca de la matriz inversa 1. SiAes invertible, la soluci´on deAx=besx=A−1b

multiplicandoAx=bporA−1 =⇒ x=A−1Ax=A−1b 2. La inversa existe si y solo si la eliminaci´on produce npivotes no nulos. Por

eliminaci´on podemos resolverAx=bsin calcular expl´ıcitamenteA−1_. 3. La matrizAno puede tener dos inversas diferentes. Supongamos queBA=Iy

que tambi´enAC=I. EntoncesB=C:

B(AC) = (BA)C =⇒ BI=IC =⇒ B=C

4. Supongamos que existe un vector x6=0tal que Ax=0. Entonces A no es invertible. Ninguna matriz puede convertir0enx.SiAes invertible,Ax=0 solo puede tener la soluci´onx=A−1₀₌₀_.

5. Una matriz de2×2es invertible si y solo siad−bc6= 0

a b c d

−1

= 1

ad−bc

d −b

−c a

El n´umeroad−bces llamadodeterminantedeA. Una matrizAes invertible si su determinante es distinto de cero.

6. Unamatriz diagonales invertible si ninguno de los coeficientes diagonales es 0.

SiA=   

d1 . ._.

dn

 

 =⇒ A

−1₌    1 d1

. ._. 1 dn

  

Inversi´on de matrices Matriz con filas o columnas duplicadas Ejemplo8. La matrizA=

1 2 1 2

no es invertible.

Se comprueba quead−bces igual a2−2 = 0.

Dadox=

2

−1

se comprueba queAx=0.

(6)

Inversi´on de matrices La inversa del producto Inversa del productoAB

SiAyBson invertibles, tambi´en lo esAB. La inversa del productoABes

(AB)−1=B−1A−1

Inversa deAB

(AB)(B−1A−1) =ABB−1A−1=AIA−1=AA−1=I

Inversa deABC(orden revertido)

(ABC)−1=C−1B−1A−1

Inversi´on de matrices Inversa de una matriz eliminaci´on

Ejemplo9. SiE21resta 5 veces la fila 1 a la fila 2,E−211suma 5 veces la fila 1 a la fila 2.

E21=  

1 0 0

−5 1 0

0 0 1



 E

−1 21 =

 

1 0 0

+5 1 0

0 0 1

 

Se comprueba queE21E−211=Iy tambi´en queE −1

21E21=I.

Ya sea que primero restamos y luego sumamos (E−₂₁1E21), o que sumamos y luego restamos (E21E−211), igual volvemos al principio.

1.3. Transpuesta de una matriz

Transpuesta de una matriz Convirtiendo las columnas en filas y viceversa Definimos una matrizAT llamadatranspuestadeA.

Las columnas deAson las filas deAT_. SiAes dem×n, la transpuesta es den×m. Traspuesta de una matriz

A=

1 2 3

0 0 0

AT =  

1 0 2 0 3 0  

El coeficiente de la filaiy la columnajdeAT corresponde al de la filajy la columnaideA

aT

(7)

Transpuesta de una matriz Transponiendo vectores columna y vectores fila Un vector columnavsetransponeen uno filavT_.

Un vector filawse transpone en uno columnawT_. Transpuesta de un vector

v=     1 0 2 0    

vT =

1 0 2 0

w=π π₂ wT =

π

π 2

Transpuesta de una matriz Propiedades de la transposici´on Propiedades

Suma: la transpuesta deA+BesAT ₊_BT_.

Producto: la transpuesta deABes(AB)T =BTAT. Inversa: la transpuesta deA−1es(A−1)T = (AT)−1.

Transpuesta de una matriz Transpuesta e inversa de una matriz eliminaci´on Ejemplo10. La inversa deA=

1 0 6 1

esA−1=

1 0

−6 1

.

La transpuesta esAT ₌

1 6 0 1

.

Y se comprueba que tanto(A−1₎T _como₍_AT₎−1_{son iguales a}

1 −6

0 1

.

Repaso de ideas clave

1. El(ab)ijdeABes (filaideA)·(columnajdeB). 2. La inversa cumple queAA−1=Iy queA−1A=I. 3. Aes invertible si y solo si tienenpivotes.

(8)

2. M´etodo de Gauss-Jordan

2.1. Factorizaci´on

LU

Factorizaci´onLUCalculando la matriz triangular superiorU Volvamos al sistema que ya resolvimos

x1−2x2= 1 x1−2x2= 1

3x1+ 2x2= 11 8x2= 8

represent´andolo con su matriz aumentada.

1 −2 1

3 2 11

= [A b]

1 0

−3 1 1

1 −2 1

3 2 11

=E21[A b]

1 −2 1

0 8 8

= [(E21A) (E21b)] =[U c]

Factorizaci´onLUCalculando la matriz triangular inferiorL Si nos concentramos en la matrizAresulta que

E21A=

1 0

−3 1 1

1 −2

3 2

=

1 −2

0 8

=U

Y entonces paraUresulta que

E−₂₁1U=

1 0 +3

1 1

1 −2

0 8

=

1 −2

3 2

=A

Si definimos la matrizL=E−₂₁1tenemos la factorización más utilizada en álge-bra lineal

LU=A

FactorizaciónLUComentarios acerca de la factorizaciónLUen aplicaciones in-formáticas

La mayoria de las aplicaciones inform´aticas utilizaLUpara resolver sistemas linealesAx=b:

1. calculan las matricesLyU(como hicimos antes) 2. resuelven el sistemaLc=bpara convertirbenc

3. resuelven el sistemaUx=cpara encontrar la soluci´onxbuscada. Se cambia un problema dif´ıcil Ax=bpor dos problemas f´aciles Lc=by Ux=c(porqueLyUson triangulares).

Si luego hay que resolver otro sistema linealAx=d(Ano cambi´o): 1. ¡No hay que recalcular niLniU! ¡Ya se conocen!

2. se resuelve el sistemaLc=dpara convertirdenc

(9)

2.2. Resoluci´on de sistemas por Gauss-Jordan

Resoluci´on de sistemas por Gauss-Jordan El m´etodo de Gauss-Jordan

2x1+ 4x2−2x3= 2 2x1+ 4x2−2x3= 2

4x1+ 9x2−3x3= 8 1x2+ 1x3= 4

−2x1−3x2+ 7x3= 10 4x3= 8

[A b] = 



2 4 −2 2

4 9 −3 8

−2 −3 7 10



 f2−2f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

−2 −3 7 10



 ;

f3+f1; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 1 5 12 



f3−f2; 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 0 4 8



=[U z]

Hasta aqu´ı fue Gauss.Ahora cont´ınua Gauss-Jordan. . .

2x1+ 4x2−2x3= 2 x1=−1 1x2+ 1x3= 4 x2= 2

4x3= 8 x3= 2

[U c]= 



2 4 −2 2

0 1 1 4

0 0 4 8





f1−4f2; 



2 0 −6 −14

0 1 1 4

0 0 4 8



 ;

f1+6₄f3 ; 



2 0 0 −2

0 1 1 4

0 0 4 8



 f2−1₄f3; 



2 0 0 −2

0 1 0 2

0 0 4 8



 ;

;

1 2f1;

1 4f3;





1 0 0 −1

0 1 0 2

0 0 1 2



=[R d]

2.3. Inversi´on de matrices por Gauss-Jordan

Inversi´on de matrices por Gauss-Jordan Invertir Ade3×3 implica resolver 3 sistemas de ecuaciones lineales

A=





2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2



 A −1₌

  ? ? ? ? ? ? ? ? ?    

2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2

    ? ? ? ? ? ? ? ? ?  =  

1 0 0

0 1 0

0 0 1









2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2

    ? ? ?  =   1 0 0    

2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2

    ? ? ?  =   0 1 0    

2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2

(10)

Inversi´on de matrices por Gauss-Jordan Aplicando operaciones elementales de fila a la matriz aumentada





2 −1 0 1 0 0

−1 2 −1 0 1 0

0 −1 2 0 0 1



 f2+1₂f1; 



2 −1 0 1 0 0

0 3

2 −1 1 2 1 0

0 −1 2 0 0 1





;

f3+2₃f2; 



2 −1 0 1 0 0

0 3

2 −1 1 2 1 0

0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1



 f2+3₄f3;

;





2 −1 0 1 0 0

0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1





f1+2₃f2;  

2 0 0 3₂ 1 1₂

0 3₂ 0 3₄ 3₂ 3₄ 0 0 4₃ 1₃ 2₃ 1





; ; ;

1 2f1; 2 3f2; 3 4f3;





1 0 0 3

4 1 2

1 4

0 1 0 1₂ 1 1₂ 0 0 1 1₄ 1₂ 3₄





[A I] ; [I A−1]

Inversi´on de matrices por Gauss-Jordan Finalmente conocemos todos los 9 coefi-cientes deA−1

A

z }| {

 

2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2

 

A−1

z }| {

 

3 4

1 2

1 4 1 2 1

1 2 1 4

1 2

3 4

 =

I

z }| {

 

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

Repaso de ideas clave

1. El m´etodo de eliminaci´on de Gauss factorizaAcomoLU.

2. El método de eliminación de Gauss-Jordan continúa eliminando hasta convertir Aen una matriz más simpleR.

3. Para calcularA−1 hay que aplicar el m´etodo de Gauss-Jordan a [A I] hasta obtener[I A−1].

Problema 9

Ejemplo11. EncontrarA−1por Gauss-Jordan empezando conA=

2 3 4 7

.

[A I] =

2 3 1 0

4 7 0 1

; 2₀ ₁3 ₋₂1 0₁ (esto es[U L−1_]₎

; ₀2 0₁ ₋₂7 −3₁ ; 1 0 72 − 3 2

0 1 −2 1