ApuntesJoaquinOndas

(1)

OSCILACIONES Y ONDAS

Luis Joaquin Mendoza Herrera

(2)

´

_{INDICE GENERAL}

1 Movimiento Oscilatorio 1

1.1 Introducci´on . . . 1

1.2 Ecuaci´on del movimiento de una part´ıcula oscilante . . . 1

1.3 Analog´ıa con el movimiento circular . . . 2

1.4 Cinem´atica del movimiento arm´onico simple . . . 4

1.5 Ejemplos de movimientos arm´onicos simples . . . 7

1.5.1 P´endulo simple . . . 7

1.5.1.1 Expresi´on general del periodo de un p´endulo simple . . 11

1.5.2 P´endulo compuesto . . . 13

1.5.3 P´endulo de torsi´on . . . 15

1.5.4 P´endulo cicloidal . . . 16

1.6 Combinaci´on de movimientos arm´onicos . . . 18

1.6.1 Combinaci´on de dos movimientos perpendiculares . . . 21

1.7 Movimiento Amortiguado . . . 24

1.8 Oscilaciones Forzadas . . . 27

1.8.1 Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie . . . 32

2 Movimiento Ondulatorio 35 2.1 Introducci´on . . . 35

2.2 Descripción matemática de la propagación . . . 36

2.3 Ondas de presi´on en una columna de gas . . . 37

2.4 Ondas longitudinales en una barra . . . 40

2.5 Ondas transversales en una barra . . . 43

2.6 Ondas longitudinales en un resorte . . . 46

2.7 Ondas transversales en una cuerda . . . 47

2.8 Ondas Superficiales en un liquido . . . 48

2.9 Potencia de una onda . . . 57

2.10 Ondas en dos y tres dimensiones . . . 59

2.11 Ondas en una membrana tensa . . . 60

2.12 Ondas esf´ericas en un fluido . . . 61

(3)

3 Ondas Electromagn´eticas 64

3.2 Ecuaciones de Maxwell . . . 64

3.3 Condiciones de Frontera . . . 65

3.3.1 Condiciones de frontera para el campo el´ectrico . . . 65

3.3.2 Condiciones de frontera para el campo magn´etico . . . 66

3.4 Ecuaciones de Ondas Electromagn´eticas . . . 67

3.5 Energ´ıa y momentum de una onda electromagn´etica . . . 69

3.6 Presi´on de Radiaci´on . . . 70

3.7 Ecuaci´on de onda con fuentes . . . 71

3.8 Radiaci´on de un dipolo el´ectrico oscilante . . . 74

3.9 Radiaci´on de un dipolo magn´etico oscilante . . . 76

4 Reflexión Refracción 77 4.1 Introducción . . . 77

4.2 Principio de Huygens . . . 77

4.3 Teorema de malus . . . 78

4.4 Principio de Fermat . . . 78

4.5 Reflexi´on y transmisi´on de ondas planas . . . 79

4.5.1 Reflexi´on y transmisi´on de ondas planas utilizando el teorema de Malus . . . 79

4.5.2 Reflexi´on y transmisi´on de ondas planas utilizando el teorema de Fermat . . . 80

4.5.3 Refracci´on atmosf´erica . . . 84

4.6 Coeficientes de reflexion y transmisi´on para ondas en cuerdas . . . 84

4.7 Coeficientes de reflexion y transmisi´on para ondas electromagn´eticas . . 87

4.7.1 Polarizaci´on paralela . . . 87

4.7.2 Polarizaci´on perpendicular . . . 89

4.7.3 Angulo de Brewster . . . 89

4.8 Reflexion y transmisi´on en superficies met´alicas . . . 92

5 Optica Geom´´ etrica 95 5.1 Formación de imágenes por reflexión en una superficie plana (espejo plano) 95 5.2 Formación de imágenes por transmisión en una superficie plana . . . . 96

5.3 Formación de imágenes por reflexión en una superfice esférica (espejo esférico) . . . 97

5.4 Formación de imágenes por transmisión en una superfice esférica . . . . 99

5.5 Lentes . . . 100

5.6 Aumento ´o Amplificaci´on . . . 101

5.7 Distancia focal y trazado de rayos . . . 102

5.7.1 Distancia focal . . . 102

5.7.2 Trazado de rayos . . . 102

5.7.2.1 Espejos . . . 102

(4)

´_{INDICE GENERAL} ´_{INDICE GENERAL}

6 Espectro visible, ondas de Sonido y efecto Doppler 104

6.2 Espectro electromagn´etico . . . 104

6.2.1 Ondas de radio . . . 104

6.2.2 Microondas . . . 105

6.2.3 Infrarrojo . . . 105

6.2.4 Espectro visible . . . 106

6.2.5 Rayos ultravioleta . . . 106

6.2.6 Rayos X . . . 107

6.2.7 Rayos Gamma . . . 107

6.3 Ondas de Sonido . . . 108

6.3.1 Cualidades del sonido . . . 108

6.4 Efecto Doppler . . . 110

6.5 Ultrasonido . . . 111

6.5.1 Aplicaciones del ultrasonido . . . 111

6.5.1.1 Guiado y sondeo . . . 112

6.5.1.2 Medicina y biolog´ıa . . . 112

6.5.1.3 Aplicaciones f´ısicas . . . 112

6.6 Infrasonido . . . 112

6.7 Ondas de Choque y n´umero de Mach . . . 113

6.8 La audici´on . . . 113

6.9 Ondas de luz . . . 114

6.10 El ojo humano . . . 114

6.11 Instrumentos ´opticos . . . 117

6.11.1 Microscopio simple o lupa . . . 117

6.11.2 Microscopio compuesto . . . 118

6.11.3 Telescopio . . . 120

6.11.3.1 Telescopios de reflexi´on . . . 120

6.11.4 El proyector . . . 122

6.11.5 El prisma . . . 123

6.12 Dispersi´on . . . 125

6.13 Efecto Doppler de las ondas electromagn´eticas . . . 126

6.13.1 Transformaci´on de Lorentz . . . 127

6.13.2 Transformaci´on de las frecuencias . . . 130

7 Interferencia 131 7.1 Introducci´on . . . 131

7.2 Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . 131

7.3 Experimento de la doble rendija de Young . . . 133

7.4 Biprisma de Fresnel . . . 135

7.5 Interferencia por reflexi´on en laminas delgadas . . . 136

7.6 Anillos de Newton . . . 138

7.7 Interferencia de ondas producidas por varias fuentes sincronicas . . . . 139

(5)

7.8.1 Ondas estacionarias en una cuerda . . . 144

7.8.2 Ondas estacionarias en una columna de aire . . . 146

7.8.3 Ondas estacionarias electromagn´eticas . . . 147

7.9 Ondas estacionarias en dos dimensiones . . . 149

7.10 Ondas estacionarias en tres dimensiones . . . 151

7.11 Gu´ıas de Onda . . . 152

7.11.1 Ondas electromagn´eticas en gu´ıas de ondas . . . 154

8 Difracción y Polarización 156 8.1 Difracción de Fraunhofer por una abertura rectangular . . . 156

8.2 Doble rendija de Young . . . 159

8.3 Redes de difracci´on . . . 160

8.4 Difracci´on en una abertura circular . . . 161

8.5 Polarizaci´on . . . 162

8.5.1 La elipse de polarizaci´on . . . 162

8.5.2 Polarizadores . . . 162

8.5.2.1 Polarizaci´on por reflexi´on . . . 163

8.5.2.2 Polarizaci´on por transmisi´on . . . 163

8.5.2.3 Polarizaci´on por doble transmisi´on . . . 164

8.5.2.4 Polarizaci´on por absorci´on selectiva o dicro´ısmo . . . . 164

8.5.2.5 Actividad ´optica . . . 165

(6)

´

_{INDICE DE FIGURAS}

1.1 Part´ıcula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios 2 1.2 Analog´ıa entre el movimiento de una part´ıcula en un resorte y el

movimiento circular . . . 3

1.3 Representación geométrica del ángulo φ . . . 5

1.4 Movimiento arm´onico producido por una part´ıcula que se mueve en un plano inclinado 6 1.5 Esquema de un pendulo simple . . . 8

1.6 Esquema de un pendulo simple . . . 9

1.7 Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes . . . 12

1.8 Esquema de un pendulo compuesto . . . 13

1.9 Esquema de un p´endulo de torsi´on . . . 15

1.10 Esquema del p´endulo de torsi´on con un bloque rectangular . . . 16

1.11 Construcci´on de una curva cicloide positiva . . . 16

1.12 Esquema de un p´endulo cicloidal . . . 17

1.13 Diagrama de fasores para la combinación de movimientos armónicos de igual dirección . . . 19

1.14 Combinaci´on de movimientos arm´onicos de frecuencias diferentes cuan-do: ω2 > ω1 y (a)A1 > A2, (b) A2 > A1 y (c)A1 =A2. . . 20

1.15 Diagrama de fasores para la combinaci´on de dos movimientos arm´onicos de igual frecuancia . . . 21

1.16 Trayectoria del movimiento resultante de la combinaci´on de dos movimientos perpendiculares . . . 22

1.17 Construcci´on de una figura de Lissajous cuando ω1 = 3₄ω2, φ1 = 0, φ2 =π/6,A= 1 y B = 2 . . . 23

1.18 Trayectorias de los movimientos para diferentes valores deα . . . 24

1.19 Amplitud de una oscilaci´on subamortiguada en funci´on del tiempo . . . 25

1.20 Representación geométrica del ángulo α. . . 29

1.21 Movimiento de una pesa por un ni˜no . . . 30

1.22 Circuito RLC en serie con fuente de tensi´on de alterna . . . 32

2.1 Ondas de presi´on en una columna de gas . . . 38

2.2 Ondas longitudinales en una barra . . . 41

2.3 Ondas Transversales en una barra . . . 43

2.4 Ondas de torsi´on en una barra . . . 44

(7)

2.6 Momentos polares de inercia para una secci´on circular . . . 46

2.7 Ondas Transversales en una cuerda . . . 48

2.8 Ondas superficiales en un liquido . . . 49

2.9 Elemento diferencial de volumen entre dos superficies . . . 52

2.10 Interface entre los dos fluidos . . . 53

2.11 Fuerzas que act´uan sobre el elemento diferencial de superficie . . . 55

2.12 En la figura (a) se muestra una onda propagándose en la dirección X y en la figura (b) se muestra una onda propagándose en una dirección arbitraria . . . 60

2.13 Membrana tensa . . . 61

4.1 Construcci´on de la propagaci´on de una onda . . . 78

4.2 Reflexion y transmisi´on de ondas entre dos medios, donde la lineaABen azul representa el frente de ondas incidente, la linea verdeA0B0representa el frente de ondas reflejado y la linea roja A00B00 representa el frente de ondas transmitido . . . 79

4.3 Reflexion y transmisi´on de ondas entre dos medios . . . 81

4.4 Transmisi´on por una bloque de anchoa . . . 82

4.5 Tiempo transcurrido para pasar por la esquina de un bloque . . . 82

4.6 Esquema del ejemplo3 . . . 83

4.7 Refracci´on en la atmosfera . . . 84

4.8 Espejismo . . . 84

4.9 Configuración para la reflexión y transmisión de una onda electromagnética 87 4.10 Configuración de polarización paralela para la reflexión y transmisión de una onda electromagnética . . . 88

4.11 Configuración de polarización perpendicular para la reflexión y trans-misión de una onda electromagnética . . . 90

4.12 Angulo Brewster . . . 90

4.13 Incidencia de una onda electromagn´etica sobre una l´amina . . . 91

5.1 Imegenes formadas por reflexi´on en un espejo plano . . . 95

5.2 Configuración para la formación de una imagen por transmisión en una superficie plana . . . 96

5.3 Configuración para la formación de una imagen en una superficie esferica 97 5.4 Configuración para la formación de una imagen en una superficie esferica por transmisión . . . 99

5.5 Configuraci´on para la formaci´on de una imagen en una lente formada por dos superficies esfericas S1 y S2 . . . 100

6.1 Espectro electromagn´etico . . . 105

6.2 Efecto Doppler . . . 110

6.3 Estructura general del o´ıdo humano . . . 114

6.5 Corte lateral de la retina y sus componentes. . . 115

6.4 Estructura general del ojo humano . . . 115

(8)

´_{INDICE DE FIGURAS} ´_{INDICE DE FIGURAS}

6.7 Esquema general de un microscopio compuesto. . . 119

6.8 Esquema general de un telescopio astronomico. . . 120

6.9 Esquema general de un telescopio terrestre. . . 121

6.10 Esquema general de un telescopio Galileo. . . 121

6.11 Esquema general de un telescopio de Newton. . . 122

6.12 Esquema general de un telescopio de Cassegrain. . . 122

6.13 Esquema general de un proyector. . . 123

6.14 Configuraci´on de un prisma . . . 123

6.15 _{Angulo m´ınimo que en un prisma el rayo emerja del otro lado}´ _{. . . .} ₁₂₄

6.16 Transformaciones de Lorentz . . . 127

7.1 Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . 132

7.2 Gr´aficas fasoriales para la interferencia producida por dos fuentes sin-cronicas . . . 132

7.3 Esquema de la interferencia en la doble rendija de Young . . . 134

7.4 Esquema de interferencia producida por un biprisma de Fresnel . . . . 136

7.5 Esquema de interferencia producida por una l´amina delgada . . . 137

7.6 Esquema de interferencia para producir anillos de Newton . . . 138

7.7 Esquema de interferencia producido por N fuentes sincronicas . . . 140

7.8 Fasores correspondientes a cada una de las fuentes . . . 140

7.9 Esquema para la suma de los dos primeros fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas . . . 141

7.10 Esquema para la suma de los tres primeros fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas . . . 141

7.11 Esquema para la suma de losN fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas . . . 142

7.12 Esquema para la interferencia de dos ondas . . . 143

7.13 Modos de vibraci´on para las ondas estacionarias en una cuerda de longi-tud L y fija a ambos extremos . . . 145

7.14 Modos de vibraci´on para las ondas estacionarias en una columna de aire de longitud L y con un extremo cerrado y un extremo abierto . . . 147

7.15 Ondas estacionarias electromagn´eticas . . . 147

7.16 Ondas estacionarias electromagn´eticas . . . 148

7.17 Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa paran1 = 1 y n2 = 1 . . . 150

7.18 Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa paran1 = 1 y n2 = 2 . . . 151

7.19 Esquema de una gu´ıa de ondas rectangular, en la cual las ondas se pro-pagan en la direcci´onz . . . 153

8.1 Esquema para el estudio de la difracción en una abertura rectangular . 157 8.2 Esquema para el estudio de la difracción en una abertura rectangular . 157 8.3 Gráfica de la intensidad producida por una abertura rectangular . . . . 158

(9)

8.5 Gr´afica de la intensidad producida por dos aberturas considerando la

difracci´on . . . 160

8.6 Esquema para el estudio de la difracci´on en una red de difracci´on . . . 160

8.7 Polarización por reflexión en una superficie (ángulo de Brewster) . . . . 163

8.8 Polarizaci´on por transmisi´on . . . 163

8.9 Polarizaci´on por doble transmisi´on . . . 164

8.10 Dicro´ısmo . . . 164

(10)

Cap´ıtulo 1

Movimiento Oscilatorio

1.1. Introducci´

on

Cuando un objeto se desplaza a uno y otro lado de una posición fija siguiendo una ley cualquiera, se dice que está en movimiento vibratorio u oscilatorio. Por ejemplo el émbolo de una locomotora. Entre todos los movimientos oscilatorios que existen en la naturaleza el más importante es el movimiento armónico simple(M.A.S), en el cual es un movimiento periódico porque se reproduce exactamente cada vez que transcurre un tiempo determinado, llamado per´ıodo. Per´ıodo es el tiempo que tarda el objeto en dar una oscilación completa. El M.A.S describe con una buena aproximación la mayor parte de las oscilaciones de la naturaleza.

Los sistemas oscilatorios, como el péndulo de reloj, una lancha subiendo y bajando sobre las olas, o una part´ıcula en el extremo de un resorte, tienen una propiedad en común: cada sistema tiene un estado de equilibrio estable. En el equilibrio la fuerza y el torque netos que actúan sobre cada parte del sistema son iguales a cero. El equilibrio es estable si un pequeño desplazamiento origina una fuerza neta que tiende a regresar al sistema hacia el estado de equilibrio. Estás fuerzas de restauración constituyen una segunda caracter´ıstica de los sistemas oscilatorios.

1.2. Ecuaci´

on del movimiento de una part´ıcula

os-cilante

Para describir el movimiento de una part´ıcula oscilante, se expresa la posición de la part´ıcula como una función del tiempo. Iniciando con la segunda ley de Newton que relaciona la fuerza de restauración con la aceleración de la part´ıcula. como primer ejemplo consideremos el caso de una part´ıcula en el extremo de un resorte, en este caso la fuerza de restauración y el desplazamiento se ubican en una sola dirección que podemos definir comox. si tomamos el origen coincidente con la posición de equilibrio de la part´ıcula (Fig 1.2), la posición de la part´ıcula x(t) coincide con el estiramiento

(11)

del resorte, donde la fuerza de restauraci´on es −kx(t). En el caso del movimiento sin fricci´on, de acuerdo con la segunda ley de Newton:

max =Fx =−kx(t) (1.1)

La aceleración es la segunda derivada de la posición en función del tiempo, de este modo:

md

2_x

dt2 =−kx ´o

d2_x

dt2 +

k

mx= 0 (1.2)

En este caso lo que se desea es la posición de la part´ıcula como una función del tiempo, este es un problema matemático que puede ser resuelto utilizando la analog´ıa del M.A.S con el movimiento circular.

Figura 1.1: Part´ıcula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios

1.3. Analog´ıa con el movimiento circular

Las oscilaciones se relacionan de una manera muy estrecha con el movimiento circu-lar, cuando una part´ıcula se mueve en un movimiento circular con una velocidad lineal constantev, la cual se relaciona con la velocidad angularω =v/r, donder es el radio del circulo, el cambio de direcci´on es originado por una aceleraci´on hacia el centro del circulo:

a=−ω2r (1.3)

Donde las componentes en xde est´a ecuaci´on son:

ax=−ω2x o´

d2_x

dt2 +ω

2_x_{= 0}_, _(1.4)

ecuaci´on que es similar a la ecuaci´on 1.2 para las oscilaciones cuando se define la frecuencia angular

(12)

Oscilaciones y Ondas

ω=

s

k

m, (1.5)

donde el periodo de las oscilaciones se obtiene como:

P = 2π

r_m

k, (1.6)

Figura 1.2: Analog´ıa entre el movimiento de una part´ıcula en un resorte y el movimiento circular

La posición de la part´ıcula es definida por el ánguloθ, dondeAes la máxima ampli-tud de la part´ıcula, la ampliampli-tud de la part´ıcula en función del tiempo está determinada por la componente enx=Acosθ. La distancia angular φ0 define la posición inicial de

la part´ıcula y es conocida como fase inicial, es decir la posici´on inicial de la part´ıcula es Acosφ0, en este caso ωt es la distancia angular recorrida por la part´ıcula, luego

entonces la distancia angularθes igual a la distancia angular recorrida m´as la distancia angular inicial:

θ =ωt+φ0 (1.7)

Obteniendose la posici´on de la part´ıcula en funci´on del tiempo como

(13)

Es importante aclarar que la posición de la part´ıcula en función del tiempo también puede ser expresada en función del sen en este caso solo cambiaria la fase inicial, por ejemplo cos (ωt+π/3) = sen(ωt+ 5π/6), las funciones seno y cose se diferencian en

π/2, en este documento utilizaremos la funci´on seno para referirnos a la posici´on de la part´ıcula esto es:

x(t) =Asen(ωt+φ0) (1.9)

1.4. Cinem´

atica del movimiento arm´

onico simple

La velocidad y la aceleración de un movimiento armónico simple pueden ser expre-sadas a partir de la ecuación 1.9, como:

v(t) =Aωcos (ωt+φ0) = ω

√

A2 ₋_x2 _(1.10)

a(t) =−Aω2sen(ωt+φ0) =−ω2x (1.11)

La fuerza que debe actuar sobre un cuerpo de masam, para que oscile con movimien-to arm´onico simple es:

F =ma=−mω2x=−kx (1.12)

es decir, que para producir un M.A.S se requiere una fuerza proporcional a la elon-gación y dirigida siempre hacia la posición de equilibrio, como lo indica el signo menos. La energ´ıa cinética está definida por:

Ec= 1 2mv

2

= 1 2mA

2

cos2(ωt+φ0) =

1 2mω

2

A2−x2 (1.13) Para la energ´ıa potencial se utiliza la definici´on de la fuerza en t´erminos de la energ´ıa potencialF =−∂Ep

∂x:

Z Ep

0

dEp =−

Z x

0

−kxdx⇒Ep = 1 2kx

2 _(1.14)

Con las definiciones de energ´ıa cin´etica y potencial se puede obtener la energ´ıa total del sistema, en la forma

E =Ec+Ep = 1 2mω

2_A2₋_x2₊ 1

2kx

2 ₌ 1

2k

A2−x2+1 2kx

2 ₌ 1

2kA

2 _(1.15)

Ejemplo 1 Una part´ıcula cuya mas es de 1 Kg se mueve con movimiento armónico sim-ple. Su periodo es de 0.1s y la amplitud de su movimiento es de 10cm. Calcular la aceleración, la fuerza, la energ´ıa potencial y la energ´ıa cinética, cuando se encuentra a 4cm de la posición de equilibrio.

Soluci´on:Con la ayuda de la ecuaci´on (1.4)a=−ω2_x_y_ω_{= 2}_π/T _{= 2}_π/₀_,_{1 = 20}_π_{, tenemos que}

(14)

La fuerza se puede obtener deF =ma =−157,9N, la energ´ıa potencial esEp = 1₂kx2_{, que con}

la ecuaci´on (1.5) se convierte en Ep = 1₂mω2_x2 _{= 0}_,₅_·₁_·₄₀₀_π2₀_,₀₄2 _{= 3}_,_{16J, para el calculo de la}

energ´ıa cinetica se debe calcular la energ´ıa totalE= 1₂mω2_A2_{= 0}_,₅_·₁_·₄₀₀_π2₀_,₁2_{= 19}_,_{74J, luego la}

energ´ıa cin´etica esEc = (19,74−3,16)J = 16,58J.

Ejemplo 2 Una part´ıcula que se mueve con movimiento arm´onico simple, con una frecuencia

f, fue lanzada con una velocidad inicial v0, desde una posici´on que se encuentra a x0 de la posici´on

de equilibrio, determinar la posici´on de la part´ıcula como una funci´on del tiempo.

Solución:En este caso la posición debe presentarse en términos de la información suministrada por el proble las cuales son la frecuenciaf, que no debe confundirse con la frecuencia angular ω, la posición inicialx0y la velocidad inicialv0. La ecuación que determina la posición de la part´ıcula como

una funci´on del tiempo esx=Asen(ωt+φ), dondeω= 2πf. A continuaci´on se deben determinarA

yφ, de las condiciones iniciales.

x0=Asenφ v0=Aωcosφ (1.16)

Al dividir estas ecuaci´on se obtiene la fase del movimiento comotanφ=ωx0_v

0 y con la ayuda de la

representaci´on gr´afica deφ, se puede obtener la amplitud:

Figura 1.3: Representación geométrica del ánguloφ

luego entonces remplazandosenφo cosφ, se obtiene la amplitud A=

√

x2 0ω2+v02

ω =

√

x2

04π2f2+v02

2πf ,

con estos resultados la posici´on como una funci´on del tiempo se convierte en:

x(t) = p

x2

04π2f2+v20

2πf sen

2πf t+tan−1

_x

02πf

v0

(1.17)

Ejemplo 3 Un tronco cil´ındrico de longitudLy radioR, tiene un contrapeso de plomo, con la finalidad de mantenerlo en forma vertical. La masa del tronco y el plomo juntos esM. Si el tronco se empuja un poco hacia abajo demuestre que al soltarlo se produce un movimiento arm´onico simple y determine su frecuencia. Calcule su frecuencia paraM = 60Kg yR= 10cm

Solución:El tronco flota a causa de la fuerza que el agua ejerce hacia arriba por el principio de arqu´ımedes. Primero debe determinarse la posición de equilibrio, para esta posición el peso del tronco y el empuje del agua deben ser iguales.

M g=ρaguaπR2Dg (1.18)

dondeDes la longitud de la porci´on sumergida del tronco, de esta ecuaci´onD=_πR2M_ρ_agua. Cuando

el tronco se empuja hacia abajo una peque˜na distanciaz, la fuerza del empuje es mayor que el peso del tronco y lo impulsa hacia arriba, cuando el peso del tronco y el plomo superan la fuerza del empuje, el

(15)

tronco es impulsado hacia abajo, resultando con esto un movimiento arm´onico simple. para determinar la frecuencia de este movimiento, cuando se desplaza una peque˜na distanciaz hacia abajo la fuerza resultante esM g−πR2₍_D₊_z₎_ρaguag₌₋_πR2_ρaguagz_{, y la ecuaci´}_{on del movimiento para el tronco}

es:

Md

2_z

dt2 +πR

2_ρaguag_{= 0} _(1.19)

de donde la frecuencia de oscilaci´on esta dada porω= q

πR2_ρ_agua_g

M =

pg

D. En el casoM = 60Kg

yR= 10cm,D= 1,91m y ω= 2,27rad/s.

Ejemplo 4Una part´ıcula se desliza hacia adelante y hacia atrás entre dos planos inclinados sin fricción. Encontrar el periodo de oscilación del movimiento sihes la altura inicial.

Figura 1.4:Movimiento arm´onico producido por una part´ıcula que se mueve en un plano inclinado

Solución:Para calcular el periodo de oscilación en primera medida calculamos la aceleración del sistema, esta aceleración se obtiene de la segunda ley de newton

F =mgsenα=ma,

luego la aceleraci´on es

a=gsenα.

La distancia que debe bajar la part´ıcula es _senαh , el tiempo que tarda en bajar se puede calcular como:

h senα =

1 2gsenαt

2 _o_´ _t₌

s 2h

g

1

senα,

de donde el periodo de oscilaci´on es cuatro veces el tiempo calculado

P = 4 s

2h g

1

senα (1.20)

EjemploTomemos el caso en el cual una part´ıcula de masamse encuentra sobre una mesa, unida a un punto fijo de ´esta (que tomaremos como origen de coordenadas) mediante un resorte de constante

k. En el instantet= 0 se encuentra en la posición~r0=x0âx+y0aˆy y se le proporcio0na una velocidad ~v0=v0xâx+v0yây.

La ecuación que define un oscilador armónico, en general, es la ecuación de movimiento vectorial

md

2_~_r

dt2 =−k~r (1.21)

En este problema tenemos una part´ıcula situada en un plano. Su posición inicial está a una cierta distancia del punto fijo. Por tanto, necesariamente su movimiento será bidimensional. Para la part´ıcula situada sobre la mesa, su movimiento será bidimensional y podrá describirse un sistema de coordenadas cartesiano

~r=xaxˆ +yˆay

(16)

~ v= d~r

dt = dx

dt

ˆ_i₊dy

dt

ˆ

j, ~a= d~v

dt = d2x dt2ˆi+

d2y dt2ˆj

Sustituyendo en la ecuaci´on de movimiento y recordando que dos vectores son iguales si lo son cada una de sus componentes, la ecuaci´on vectorial se convierte en dos ecuaciones escalares

d2x

dt2 =−kx,

d2y dt2 =−ky

Cuyas soluciones son de la forma::

x=Axsen (ωt+φx), y=Aysen (ωt+φy)

que utilizando las condiciones iniciales llegamos a

x0=Axsen (φx), y0=Aysen (φy)

v0x=Axωcos (φx), v0y=Ayωcos (φy)

de donde

tanφx= x0ω

v0x

, tanφy =y0ω

v0y

y Ax= r x2 0+ v2 0x

ω2, Ay=

s y2 0+ v2 0y ω2

Con estos resultados las expresiones para las elongaciones enxyyson respectivamente

x= v0x

ω senωt+x0cosωt, y= v0y

ω senωt+y0cosωt

Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuaci´on de la trayectoria seguida por el cuerpo

x2+y2= ~ v0

ωsenωt+r~0cosωt

2 (1.22)

1.5. Ejemplos de movimientos arm´

onicos simples

1.5.1. P´

endulo simple

Un péndulo simple consiste en una part´ıcula de masam, colgada de un hilo de longi-tudl y masa despreciable. La part´ıcula oscila sin ficción entre un punto de suspensión. Cuando el hilo forma un ángulo θ, con la vertical la fuerza restauradora está determi-nada por:

FR=−mgsenθ =m

d2_s

dt2 =ml

d2_θ

dt2, (1.23)

o sea

d2θ dt2 =−

g

(17)

Figura 1.5: Esquema de un pendulo simple

Esta ecuación no tiene la forma normal 1.2 y no tiene soluciones sencillas. sin em-bargo cuando la amplitud es pequeña es decirθ es pequeño, podemos aplicar la aprox-imaciónsenθ≈θ. En este caso:

d2_θ

dt2 +

g

lθ= 0 (1.25)

que es la ecuación para el movimiento armónico simple, dondeθ es el desplazamiento y la frecuencia angular es ω = qg/l, es decir el periodo de oscilación es P = 2πql/g. Asi:

θ(t) =θmaxcos

q

g/lt+φ0

. (1.26)

Las expresiones para la velocidad y la aceleraci´on angular est´an dadas por:

Ω (t) = θmax

q

g/lsen

q

g/lt+φ0

. (1.27)

α(t) =−θmax

g l cos

q

g/lt+φ0

. (1.28)

La energ´ıa potencial en el p´endulo simple est´a determinada por:

(18)

Utilizando la identidad trigonometricasen2_A₌ 1

2(1−cos 2A), con 2A=θ

Ep = 2mglsen2

θ

2 (1.30)

Utilizando est´a definici´on la energ´ıa total e:

E = 2mglsen2θ0

2 (1.31)

Ejemplo 5 El movimiento de un p´endulo simple est´a dado porθ=Acos pg lt

. Encuentre la tensión en la cuerda de este péndulo paraθ pequeño. La masa de la part´ıcula suspendidam, en que tiempo la tensión es máxima y cual es el valor de la tensión máxima.

Solución:La energ´ıa en el punto de máxima amplitud es solo potencial y esmgH=mg(l−lcosA) y la energ´ıa en cualquier otro punto es la suma de la energ´ıa potencialmgh=mg(l−lcosθ) y la energ´ıa cinética 1₂mv2_{, de acuerdo con el principio de conservaci´}_{on de energ´ıa est´}_{as dos energias son iguales es}

decir

Figura 1.6: Esquema de un pendulo simple

mgl(1−cosA) =mgl(1−cosθ) +1 2mv

2 _v2_{= 2}_gl₍_cosθ₋_cosA₎ _(1.32)

La suma de las fuerzas normales es igual a

T =mgcosθ+mv

2

l =mgcosθ+ 2mg(cosθ−cosA) = 3mgcosθ−2mgcosA (1.33)

La serie para elcosB= 1−1 2B

2₊_{· · ·}_,

T = 3mg

1−1

2θ

2

−2mg

1−1

2A

2

=mg

1 +A2−3

2A

2_sen2

r

g lt

(1.34)

Para obtener el valor máximo de la tensión se debe derivar la tensión esto es

dT

dt =−mg

3 2A

2

r

g l2sen

r_g lt cos r_g lt

=−mg3

2A 2 r g lsen 2 r g lt

= 0 (1.35)

de donde 2pg

lt=πo t= π

2

q

l

(19)

T=mg

1−1

2A

2

(1.36)

Ejemplo 6 Un p´endulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g= 9,8m/s2_{, si la longitud}

aumenta en 1mm ¿Cuanto se habr´a atrasado el reloj en 24 horas?.

Soluci´on:Utilizando el periodo del p´endulo cuando la gravedad esg= 9,8m/s2_{, se puede calcular}

la longitud normal del p´endulo.

T = 2s= 2π

s

l

9,8 l= 0,9929m (1.37)

La nueva longitud esln= 0,9929m+1mm=0,9939m

Con esta nueva longitud el periodo para la nueva longitud es Tn = 2πp0,9939/9,8 = 2,001s, luego el p´endulo se retrasa 1,0068×10−3s, cada 2 segundos, debido a que en 24 horas existen 86400 segundos el reloj se retrasa 86400·1,0068×10−3= 87s.

Ejemplo 7 Un p´endulo cuya longitud es 2m se encuentra en un lugar dondeg = 9,8m/s2_{. El}

p´endulo oscila con una amplitud de 2o_{. Expresar en funci´}_{on del tiempo, su desplazamiento angular,}

su velocidad angular, su aceleración angular, su velocidad lineal, su aceleración centr´ıpeta y la tensión en la cuerda si la masa en su extremo es de 1Kg.

Soluci´on: El desplazamiento angular del p´endulo esta definido como θ = θ0sen

pg lt+φ

, la velocidad angular Ω = θ0

pg lcos

pg lt+φ

, la aceleraci´on angular α = −g

lθ, la velocidad lineal v = Ω·l, la aceleraci´on centripeta ac = mv

2

l y la tensi´on como T = mg(3cosθ−2cosθ0), donde se

deben determinar los valores deθ0 yφ, para esto se remplazan las condiciones iniciales para el ´angulo

y la velocidad

2o=θ0senφ 0 =θ0

r

9,8m/s2

2m cosφ (1.38)

de dondeφ= (π/2)rad,θ0= 2o, lo que produce

θ= 2sen(2,21t+π/2)o (1.39)

Ω = 4,42cos(2,21t+π/2)o/s (1.40)

α=−9,8sen(2,21t+π/2)o/s2 (1.41)

v= 0,3cos(2,21t+π/2)m/s (1.42)

No debe olvidar cambiar los grados a radianes para que las unidades de la velocidad se conviertan en m/s

ac= 0,047cos2(2,21t+π/2)m/s2 (1.43)

(20)

1.5.1.1. Expresi´on general del periodo de un p´endulo simple

La energ´ıa total es en este caso la suma de la energ´ıa cin´etica y la energ´ıa potencial, esto es:

E = 1 2mv

2₊_E

p = 1 2 dx dt !2

+Ep, (1.45)

despejando la velocidad obtenemos

dx dt =

₂

m(E−Ep)

1/2

(1.46) integrando sobre una oscilaci´on completa obtenemos

Z P

0

dt= 4

Z x

x0

ldθ

n₂

m(E−Ep)

o1/2 (1.47)

en t´erminos del ´anguloθ se tiene:

P = 4

Z θ0

0 ldθ n 2 m

2mglsen2θ0

2

−2mglsen2θ

2

o1/2 (1.48)

P = 2ql/g

Z θ0

0

dθ

r

sen2θ0

2

−sen2θ

2

(1.49)

Si tomamos el cambio de variables sen1₂θ =sen1₂θ0

senΨ, la ecuaci´on para el periodo del p´endulo se convierte en:

P = 4ql/g

Z π/2

0

1−sen2

₁

2θ0

sen2Ψ

−1/2

dΨ (1.50)

Utilizando la serie (1 +x)n = 1 +nx+ n(n−_2!1)x2 + n(n−1)(_3!n−2)x3 +· · ·, donde x =

−sen21 2θ0

sen2_{Ψ y}_n ₌₋1

2 e integrando llegamos a:

P = 2πql/g

1 + 1 4sen

21

2θ0

+ 9 64sen

41

2θ0

+· · ·

(1.51) Donde puede observarse que para θ peque˜no se obtiene nuevamente el peri-odo como P = 2πql/g, en el caso de 1₂θ peque˜no, se obtiene el periodo como

P = 2πql/g1 + ₁₆1θ2₀.

Ejemplo 8 Una part´ıcula de masam situada en una mesa horizontal lisa está sostenida por dos resortes de constante elástica k y longitud normall0, cuyos extremos están fijos en P1 y P2. Si

la part´ıcula se desplaza lateralmente una cantidadx0 peque˜na comparada con la longitud normal de

los resortes, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente. Encontrar su frecuencia de oscilaci´on y escribir la ecuaci´on de su movimiento.

(21)

Figura 1.7: Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes

Solución:Para calcular el periodo de oscilación utilizamos la ecuación (1.46), para lo cual nece-sitamos la energ´ıa potencialEp, la longitud del resorte estirado es px2₊_l2

0, la longitud que se estiro

el resorte espx2₊_l2

0−l0, la energ´ıa potencial es

Ep=1 2k

q

x2₊_l2 0−l0

2 =1 2kl 2 0 1 +x

2

l2 0

1/2

−1 !2

luego la energ´ıa total se presenta cuando est´a totalmente estirado es decirx=x0 es decir

E=1 2k

q

x2 0+l

2 0−l0

2 =1 2kl 2 0 1 +x

2 0

l2 0

1/2

−1 !2

Debido a que l0 >> x, x0/l0 y x/l0 son peque˜nos y valores peque˜nos utilizando el desarrollo

binomial, se puede realizar la aproximaci´on (1 +y)n∼= 1 +ny

convirtiendo estas energ´ıas en:

Ep=

1 2kl

2 0

1 + x

2

2l2 0 −1 2 = 1 2kl 2 0 x4

4l4 0

=kx

4

8l2 0

(1.52)

Ep= 1 2kl

2 0

1 + x

2 0

2l2 0 −1 2 = 1 2kl 2 0 x4 0

4l4 0

=kx

4 0

8l2 0

(1.53)

El periodo se calcula entonces como:

P∼= 4 Z x0

0 dx n 2 m

kx40

8l2 0

−kx4

8l2 0

o1/2 = 4 Z x0

0

dx

n

k

4ml2 0

(x4 0−x4)

o1/2 = 8l0 r

m k

Z x0

0

dx

p

x4 0−x4

Si tomamosu=x/x0, tenemos

P ∼=8l0

x0 r m k Z 1 0 dx √

1−u4 =

8l0

x0

r

m k

π

2√3 = 4πl0

√

3x0

r

m k

Luego debido a queω=2_Pπ tenemos

ω=

√

3x0

2l0

r

k

(22)

Para la ecuaci´on del movimiento la fuerza de cada uno de los resortes esF =−kpx2₊_l2 0−l0

, la

componente de esta fuerza que produce el movimiento oscilatorio esFR= 2F senφ=−2k √

x2₊_l2 0−l0

x

√

x2₊_l2 0

,

si factorizamosl0 en el numerador y en el denominador obtenemos.

FR=−2k

1 +x

2

l2₀

1/2! 1 +x

2

l₀2

−1/2

∼

=−2k

_x2

2l2₀ 1− x2

2l2₀

x=−kx

3

l2₀ + kx5

2l₀4

Finalmente la ecuaci´on del movimiento es

md

2_x

dt2 =−

kx3

l2 0

+kx

5

2l4 0

´

o d

2_x

dt2 +

kx3

ml2 0

− kx

5

2ml4 0

= 0 (1.55)

1.5.2. P´

endulo compuesto

Cuando un cuerpo r´ıgido(como una barra) se balancea, en torno de un punto por lo general el borde, se obtiene un péndulo conocido como péndulo f´ısico o compuesto; donde el periodo del mismo se relaciona con su tamaño y forma.

Figura 1.8: Esquema de un pendulo compuesto

En la figura 1.5.2 se muestra el diagrama de un péndulo compuesto. este péndulo compuesto posee un momento de inerciaI, con respecto al punto de giroO, y su centro de masa se encuentra a una distancia d del punto de balanceo O. El peso actúa en el centro de masa y ejerce un torque con respecto al punto de giro dado por:

τ =−mgdsenθ (1.56)

donde utilizando la ecuaci´on del movimiento de rotaci´on tenemos:

(23)

dondeα = 2 es la aceleraci´on angular del movimiento de rotaci´on. Con la

aproxi-mación de un ángulo pequeño senθθ, la ecuación del movimiento se convierte en:

d2_θ 2 +

mgd

I θ = 0 (1.58)

Ecuaci´on que muestra el comportamiento de un movimiento arm´onico simple con frecuencia angular:

ω =

s

mgd

I (1.59)

Es importante notar que un p´endulo simple es un caso particular de un p´endulo compuesto en el cual el momento de inercia es el de la masa colgando I = ml2 y el centro de masa se encuentra sobre la masa esto esd=l

Ejemplo 9Un disco solido de radioRpuede colgarse de un extremo horizontal a una distancia

hde su centro. Encontrar la longitud del p´endulo simple equivalente y la posici´on del eje para la cual el periodo es un m´ınimo.

Solución:Para determinar la longitud del péndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del péndulo e igualarlo al periodo de un péndulo simple para determinar la longitud de este péndulo simple que tiene el mismo periodo que el compuesto

Para determinar el period del p´endulo compuesto primero el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa el cual esIc = mR

2

2 , donde m es la masa del disco, pero debido a que

el disco no gira en su centro de masa si no a una distancia hdel mismo, se debe aplicar el teorema de steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste en sumarle al momento de inercia del centro de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro de masa al punto de giro, esto es

I=mR

2

2 +mh

2 _(1.60)

Luego se debe determinardque es la distancia del centro de masa al punto de giro, la cual en este caso esh, de donde el periodo del p´endulo compuesto es:

T = 2π

s

m R2

2 +h

2

mgh (1.61)

periodo que se debe igualar al periodo de un p´endulo simple

2π

s

R2

2 +h2

gh = 2π

s

l

g (1.62)

de dondel= R₂_h2 +h, para determinar el valor m´aximo del periodo, lo derivamos con respecto ah

dT dh =

2π

2 r

R2 2 +h2

gh

2gh2−gR2/2−gh2

g2_h2 = 0 (1.63)

(24)

1.5.3. P´

endulo de torsi´

on

Otro ejemplo de movimiento oscilatorio es el péndulo de torsión, el cual consiste en un objeto de momento de inercia I, con respecto a su centro de masa, este objeto esta colgado por su centro de masa por un alambre, al girar este cuerpo un ánguloθ, el sistema ejerce un torque que tiende a regresar el sistema a su estado de equilibrio, este torque es proporcional al ánguloθ τ =−ktorθ, dondektor es la constante de torsión del alambre que soporta el cuerpo. La ecuación del movimiento del cuerpo es entonces:

Figura 1.9: Esquema de un p´endulo de torsi´on

Id

2_θ

dt2 =−ktorθ ´o

d2θ dt2 +

ktor

I θ (1.64)

que es la ecuaci´on de un movimiento arm´onico simple con frecuencia angular

ω=qktor/I y periodo P = 2π

q

I/ktor

Ejemplo 10 Un péndulo de torsión consiste en bloque rectangular de madera de 8cm×12cm×3cm con una masa de 0,3Kg suspendido por medio de un alambre que pasa a través de su centro y de modo que el lado más corto es vertical. El periodo de oscilación es 2,4s . ¿Cual es la constante de torsiónktor del alambre?.

Soluci´on: El momento de inercial del bloque rectangular es I = 0,3Kg0,082₁₂+0,122m2 _{= 5}_,₂_×

10−4_{Kg m}2_{, por tanto el periodo de oscilaci´}_{on del p´}_{endulo es}

2,4s= 2π

s

5,2×10−4_Kgm2

ktor ktor= 3,56×10

(25)

Figura 1.10: Esquema del p´endulo de torsi´on con un bloque rectangular

1.5.4. P´

endulo cicloidal

Dentro de los modelos de péndulo existe un péndulo en el cual su periodo no depende de la amplitud, el cual es conocido como péndulo cicloidal, uno de los modelos de péndulo cicloidal consiste de dos curvas cicloides entre las cuales se coloca un péndulo simple, para construir una curva cicloidal se toma un punto en un borde de un circulo y se rueda la curva resultante es una cicloide figura

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figura 1.11: Construcci´on de una curva cicloide positiva

las ecuaciones de está curva son x = a(φ−senφ), y = a(1−cosφ), en el caso del péndulo cicloidal como el de la figura 1.5.4 está curva es hacia abajo por lo tanto estás ecuaciones se modifican en:

x = a(φ−senφ) (1.66)

y = a(cosφ−1)

Para obtener el periodo de oscilaci´on de este pendulo utilizaremos el enfoque de las energ´ıas el cual parte del hecho de que la energ´ıa total es constante. La energ´ıa total de la part´ıcula es la suma de su energ´ıa potencial y su energ´ıa cin´etica, esto es:

(26)

Figura 1.12: Esquema de un p´endulo cicloidal

E =Ec+Ep = 1 2m





dx dt

!2

+ dy

dt

!2

+mgy (1.67)

donde utilizando la definici´on de la curva cicloide 1.67, obtenemos la energ´ıa total como:

E =ma(1−cosφ)





dφ dt

!2

a−g



 (1.68)

pero en este caso la oscilación es armónica simple pero en la longitud, por lo tanto debemos expresar está ecuación en términos de la longitud s(φ) =

Rφ 0

r

dx dφ0

2

+_dφdy0 2

dφ0, llegando a:

s(φ) = 2asen(φ/2)dφ

dt (1.69)

al remplazar este valor en la energ´ıa obtenemos la energ´ıa como una funci´on de la longitud de la curva:

E = 1 2m

ds dt

!2

+mgs

2

8a (1.70)

Recordando que la energ´ıa es una constante, su derivada es igual a cero llegando a:

dE dt =m

ds dt

d2_s

dt2 +

mg

4a s ds

dt = 0 o´ d2_s

dt2 +

g

4as= 0 (1.71)

La cual es una ecuación que describe un movimiento armónico simple de frecuencia angularω =qg/4a, o periodo de oscilaciónP = 2πq4a/g

(27)

1.6. Combinaci´

on de movimientos arm´

onicos

A menudo se combinan movimientos armónicos simples en igual dirección como en dirección perpendicular. El movimiento resultante es la suma de las oscilaciones independientes, en primera medida consideremos el caso en el cual los dos movimientos tienen igual dirección, y denotaremos esta dirección como x, la ecuación 1.9 describe una oscilación armónica luego las ecuaciones

x1(t) = A1sen(w1t+φ1) (1.72)

x2(t) = A2sen(w2t+φ2),

describen dos movimientos armónicos simples en la misma dirección en este caso x, por lo tanto el movimiento resultante de la combinación de estos dos movimientos es la suma

x(t) =x1(t) +x2(t) = A1sen(w1t+φ1) +A2sen(w2t+φ2) (1.73)

para obtener la suma de estos dos movimientos, se pueden utilizar dos métodos el anal´ıtico y el gráfico, el anal´ıtico está basado en las identidades trigonométricas y el método gráfico está basado en la analog´ıa entre el movimiento oscilatorio y el movimiento circular, lo cual es conocido como técnica de fasores, en nuestro desarrollo utilizaremos el método gráfico

De la figura 1.6 y utilizando el teorema del coseno se obtienen la amplitud del movimiento resultante de los dos movimientos.

A=qA2

1+A22+ 2A1A2cos [(w2−w1)t+ (φ2−φ1)] (1.74)

Existe un caso especial en el cual φ1 =φ2, la amplitud se reduce a:

A=

q

A2

1+A22+ 2A1A2cos [(w2 −w1)t] (1.75)

En este caso la amplitud cambia entre los valoresA1+A2 yA2−A1, dependiendo de

los valores de las frecuencias, para el caso en el cual (w2−w1)t= 2nπ, las amplitudes

se suman, y en el caso en el cual (w2 −w1)t = (2n+ 1)π se restan, como la amplitud

cambia con la frecuencia se dice que la amplitud se encuentra modulada, estos cambios en la amplitud producen como consecuencia fluctuaciones en la intensidad de un sonido llamadas pulsaciones. La frecuencia con la cual cambia la amplitud esta dada por:

fp = (w2−w1)/2π (1.76)

y es la frecuencia es la frecuencia de pulsaci´on, para el caso especial en el cual las amplitudes de los movimientos son iguales esto esA1 =A2, llegamos a

(28)

Figura 1.13: Diagrama de fasores para la combinación de movimientos armónicos de igual dirección

A=q2A2

1+ 2A21cos [(w2−w1)t] =A1 q

2 (1 + cos [(w2−w1)t)] = 2A1cos ₁

2(w2−w1)t

(1.77) Sumando los movimientos arm´onicos de las ecuaciones 1.73, cuando tienen la misma frecuencia y utilizando la identidad trigonom´etrica sen(A) + sen(B) = 2 cos1₂(A−

B)sen1₂(A+B), llegamos a:

x= 2A1cos ₁

2(w2−w1)t

sen

₁

2(w2+w1)t

(1.78) La gr´afica de x en funci´on del tiempo para los casos en los cuales las amplitudes son diferentes siendo mayor la amplitud de la de x1, amplitudes iguales y amplitudes

diferentes siendo mayor la amplitud de x2, se muestran en la figura 1.6 , en la cual

se puede observar que cuando la amplitud de x2 es mayor que la amplitud de x1, se

produce un solapamiento. Es importante aclarar que se ha supuesto que la frecuencia dex2 es mayor que la frecuencia de x1

Cuando las frecuencias de los dos movimientos son iguales la amplitud del movimien-to resultante descrita por la ecuaci´on 1.75, se puede escribir como:

A=qA2

1 +A22+ 2A1A2cos (φ2−φ1) (1.79)

para obtener la fase del movimiento resultante se debe recordar que este es la suma de los movimientosx1 y x2, p`or lo tanto la suma de las componentes en x0 y y0 de estos

(29)

Figura 1.14: Combinaci´on de movimientos arm´onicos de frecuencias difer-entes cuando: ω2 > ω1 y (a)A1 > A2, (b) A2 > A1 y (c) A1 =A2.

dos movimientos debe ser igual a las componentes en x0 y y0 de movimiento resultante dondex0 y y0, se ilustran en la figura 1.6,de acuerdo con esto se tiene:

Asenφ = A1senφ1+A2senφ2 (1.80)

Acosφ = A1cosφ1 +A2cosφ2,

resultando con esto que:

tanφ= A1senφ1+A2senφ2

A1cosφ1+A2cosφ2

(1.81) La ecuaci´on que describe el comportamiento del movimiento resultante esta dada por:

x=Asen(ωt+φ), (1.82)

(30)

Figura 1.15: Diagrama de fasores para la combinaci´on de dos movimientos arm´onicos de igual frecuancia

1.6.1. Combinaci´

on de dos movimientos perpendiculares

Analizaremos a continuación el caso en el cual los dos movimientos implicados son perpendiculares entre, que un movimiento se encuentra en la dirección x y el otro se encuentra en la direccióny, en este caso lo interesante es determinar la trayectoria del movimiento resultante, en primera instancia analizaremos cuando los dos movimientos tienen la misma frecuencia, las ecuaciones que describen cada uno de los movimientos son:

x=Asen(ωt+φ1) y =Bsen(ωt+φ2) (1.83)

Si despejamos ωt de la primera ecuaci´on y la remplazamos en la segunda ecuaci´on obtenemos:

y=Bsen

sen−1

_x

A

+ (φ2−φ1)

(1.84) Desarrollando es con ayuda de la identidad trigonom´etrica sen(A + B) =

sen(A) cos(B) +sen(B) cos(A), se obtiene:

y B =

x

Acos(δ) + cos

sen−1

_x

A

(31)

donde δ=φ2−φ1, pero cos(M) = 1−sen (M), llegando finalmente a: _x

A

2

+

_y

B

2

− 2xycosδ

AB =sen

2_δ _(1.86)

lo cual corresponde a una elipse que hace un ´angulo con los ejes como la ilustrada en la figura 1.6.1

x2/9+y2/1-2 cos( /6) x y/3-(sin( /6))2 = 0

Figura 1.16: Trayectoria del movimiento resultante de la combinaci´on de dos movimientos perpendiculares

En el caso en el cual las amplitudes de los movimientos son igualesA=B, la trayec-toria de los movimientos es un circulo, cuando las fases iniciales de los dos movimientos son igualesφ1 =φ2, se obtiene una l´ınea recta dada pory = B_Ax, en el caso en el cual la

diferencia entre las fases iniciales esπ, la trayectoria resultante es una recta y=−B Ax, los dos casos correspondientes a l´ıneas rectas son movimientos arm´onicos simples, con frecuencia angularω y amplitud √A2₊_B2_{. para obtener la direcci´}_{on del movimiento}

se deben derivar las posiciones en x y y para obtener la componentes de la velocidad, con estas componentes de la velocidad se eval´ua en cualquier punto de la trayectoria para as´ı determinar la direcci´on del movimiento.

En el caso de tener frecuencias diferentes se obtienen unas figuras conocidas como figuras delLissajous, para ilustrar la construcción de las mismas utilizaremos la técnica de fasores, las ecuaciones para dos movimientos armónicos simples perpendiculares de diferentes frecuencias son:

x=Asen(ω1t+φ1) y =Bsen(ω2t+φ2) (1.87)

Tomemos como ejemplo el caso en el cual ω1 = 3₄ω2, φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1

y B = 2 la relaci´on entre las fases describe por ejemplo que cuando x recorre 3o_, _y

recorre 4o, donde la construcci´on se muestra en la figura 1.6.1

Ejemplo 11Encontrar la ecuaci´on de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimien-tos arm´onicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones sonx= 4senωtyy= 3sen(ωt+α), cuando

(32)

Figura 1.17: Construcci´on de una figura de Lissajous cuando ω1 = 3₄ω2,

φ1 = 0, φ2 =π/6,A= 1 y B = 2

α= 0, π/2 y π. Hacer un gr´afico de la trayectoria de la part´ıcula en cada caso y se˜nalar el sentido en el cual viaja la part´ıcula.

Soluci´on:despejando de la primera de estas ecuaciones tenemossenωt=x/4, que al remplazarlo en la segunda de las ecuaciones tenemos

y

3 =

x

4cosα+ r

1−x

2

16senα (1.88)

para α= 0 y = 3

4x, lo cual corresponde a una l´ınea recta de pendiente positiva, para α=π/2

x2

16 +

y2

9 = 1, que representa una elipse, y para α = π y = − 3

4x, que corresponde a una l´ınea de

pendiente negativa.

Para la direcci´on de la trayectoria de la combinaci´on de los movimientos, se deben obtener las componentes de las velocidades, es decirvx= 4ωcosωtyvy= 3ωcos(ωt+φ), parax= 0 se tiene que

ωt= 0, en este caso:

vx= 4ω (1.89)

vy = 3ωcosα

 



α= 0 vy = 3ω α=π/2 vy = 0 α=π vy =−3ω

(33)

Figura 1.18: Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de α

1.7. Movimiento Amortiguado

Todos los sistemas oscilantes descritos, poseen perdida de energ´ıa a causa de la fricción; por ejemplo un péndulo simple después de algunas oscilaciones disminuye la amplitud de sus oscilaciones, este tipo de movimiento en el cual se considera la disminución de la amplitud Fig. es el movimiento oscilatorio amortiguado. En los fluidos como el aire, la fuerza de amortiguamiento a bajas velocidades se considera proporcional a la velocidad del objeto −λv, donde λes una constante que depende de la viscosidad del medio y de la forma del objeto, por ejemplo para un objeto esferico de radio R, esta dada por

λ= 6πηR, dondeη es la viscosidad del medio. Para el caso de medias y altas velocidades, esta fuerza en el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Para ilustrar el movimiento oscilatorio amortiguado, consideremos un cuerpo unido a un resorte que se mueve en un fluido, en este caso las fuerzas que actuan sobre el cuerpo son la de restauraci´on del resorte y la de amortiguamiento; la ecuaci´on del movimiento del cuerpo es:

md

2_x

dt2 =−λv−kx, (1.91)

que puede ser escrita como:

d2_x

dt2 +

λ m

dx dt +

k

mx= 0 (1.92)

La energ´ıa que se disipa debido a la fuerza de amortiguamiento se puede calcular multiplicando la fuerza por la velocidad esto es dE_dt = −λvv = −λv2, lo cual quiere decir que está energ´ıa es máxima cuando la velocidad es máxima. La solución de esta ecuación resultante puede ser obtenida de dos formas una es notando la forma de exponencial decreciente en la amplitud de las oscilaciones amortiguadas, tomando en este caso la solución en la forma:

x(t) =Ae−γtsen(ωAt+φ) (1.93)

Donde se deben determinara la constante de amortiguamientoγy la frecuencia de oscilaci´on con amortiguamiento, calculando la primera y segunda derivadas de (1.93) y remplazando en (1.92), se obtiene:

dx

dt = −Aγe

(34)

Figura 1.19: Amplitud de una oscilaci´on subamortiguada en funci´on del tiempo

d2_x

dt2 = Aγ

2_e−γt_sen₍_ω

At+φ)−2AγωAe−γtcos(ωAt+φ)

−ω_A2Ae−γtsen(ωAt+φ)

γ2−ω2A− λγ

m +

k m

Ae−γtsen(ωAt+φ) +

−2γωA+ωAλ m

Ae−γtcos(ωAt+φ) = 0 (1.95)

Donde surgen las condiciones:

γ2−ω_A2 −λγ

m +

k

m = 0 (1.96)

−2γωA+ωAλ

m = 0

De donde se obtienen los valores deγ yωA:

γ = λ

2m (1.97)

ωA =

r

k m−

λ2

4m2 =

q

ω2 0−γ2

Otro método para la solución de la ecuación diferencial (1.92) es el método para la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, el cual consiste en tomar una solución de la formaest_{y remplazarla en la ecuaci´}_{on con sus respectivas derivadas, lo que convierte la}

ecuaci´on (1.92) en:

s2+ λ

ms+ k

m = 0 (1.98)

cuya soluci´on parases:

s=− λ

2m±

q

γ2₋_ω2

(35)

Con estos valores desse pueden obtener tres soluci´on, las cuales tienen significados f´ısicos difer-entes, para el caso en el cual ω0 > γ, el movimiento oscilatorio de denomina subamortiguado y en

este caso los valores dessons=−γ±ipω2

0−γ2, donde las soluciones complejas producen funciones

sinusoidales de la forma (1.95). Cuandoγ =ω0, las oscilaciones se llaman cr´ıticamente amortiguadas

y en este caso las soluciones parassons=−γ y la soluci´on de la amplitud de las oscilaciones es:

x(t) = (At+B)e−γt (1.100)

Para el caso en el cualγ > ω0, las soluciones son reales y no se producen oscilaciones, en este caso

cuando se pone a oscilar la amplitud decaerá rápidamente sin producir oscilaciones, los valores des, están dados por (1.99) yx(t) como:

x(t) =Ae −γ+

√

γ2₋_ω2 0

t

+Be −γ−

√

γ2₋_ω2 0

t

(1.101)

Ejemplo 12 Encontrar la ecuación del movimiento para una oscilación sub amortiguada cuyas posición y velocidad inicial sonx0 yv0.

Soluci´on:Las ecuaciones de la posici´on y velocidad en este caso son:

x=Ae−γtsen(ωt+φ)

v=−A−γtsen(ωt+φ) +A−γtcos(ωt+φ)

Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:

x0=Asenφ

v0=−Aγsenφ+Aωcosφ,

remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuaci´on obtenemos

v0=−γx0+

ωx0cosφ

senφ

tanφ= x0ω

v0+γx0

,

lo cual corresponde a un ´angulo con lados opuesto y adyacente x0ω y v0 +γx0 e hipotenusa

q

x2

0ω2+ (v0+γx0) 2

, de esta forma la amplitud se convierte en

A= x0

senφ =

q

x2

0ω2+ (v0+γx0)2

ω

Obteniendose finalmente la ecuaci´on del movimiento como:

x(t) = q

x2

0ω2+ (v0+γx0) 2

ω e

−γt_sen

ωt+tan−1

_x

0ω

v0+γx0

(1.102)

Ejemplo 13 Encontrar la ecuación del movimiento para una oscilación criticamente amor-tiguado cuyas posición y velocidad inicial son x0 yv0.

x= (At+B)e−γt

v=Ae−γt−γ(At+B)e−γt= (A−γB−γAt)e−γt

(36)

x0=B

v0= (A−γB),

A=γx0+v0

x(t) = ((γx0+v0)t+x0)e−γt

Ejemplo 14 Encontrar la ecuación del movimiento para una oscilación sobre amortiguado cuyas posición y velocidad inicial son x0 yv0.

x=Ae −γ+

√

γ2₊_ω2 0

t

+Be −γ−

√

γ2₊_ω2 0

t

v=A

−γ+ q

γ2₊_ω2 0

e −γ+

√

γ2+ω2 0

t

+B

−γ−qγ2₊_ω2 0

e −γ−

√

γ2+ω2 0

t

Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:

x0=A+B

v0=A

−γ+ q

γ2₊_ω2 0

+B

−γ−

q

γ2₊_ω2 0

,

A=v0−x0γ+x0 p

γ2₊_ω2 0

2pγ2₊_ω2 0

y

B= =v0+x0γ+x0 p

γ2₊_ω2 0

2pγ2₊_ω2 0

x(t) = v0−x0γ+x0 p

γ2₊_ω2 0

2pγ2₊_ω2 0

e −γ+

√

γ2₊_ω2 0

t

+v0+x0γ+x0 p

γ2₊_ω2 0

2pγ2₊_ω2 0

e −γ−

√

γ2₊_ω2 0

t

1.8. Oscilaciones Forzadas

Las oscilaciones forzadas son otro tipo de oscilaciones, en las cuales una fuerza externa, que genera las oscilaciones, supongamos nuevamente el caso de un resorte al cual se le aplica una fuerza externa Fe = F0cosωft, en este caso la ecuaci´on 1.92 se modifica en:

d2x dt2 +

λ m

dx dt +

k mx=

F0

(37)

En este caso las oscilaciones son producidas por la acci´on de la fuerza externa por tal motivo el movimiento arm´onico simple con frecuencia ωf, es decir:

x(t) =Asen(ωft+α), (1.108) donde en este caso se deben determinar la amplitud A y la fase α del movimiento, con esta soluci´on la ecuaci´on (1.108), se convierte en:

−Aω_f2sen(ωft+α) +

Aωfλ

m cos(ωft+α) + kA

m sen(ωft+α) = F0

mcos(ωft) (1.109)

Con la ayuda de las identidades trigonom´etricas sen(ωft+α) =sen(ωft)cos(α) +

cos(ωft)sen(α) y cos(ωft+α) = cos(ωft)cos(α) +sen(ωft)sen(α), esta ecuaci´on puede ser escrita como:

−Aω_f2cosα−Aωfλ

m senα+ kA

m cosα

!

senωft+ (1.110)

−Aω_f2senα+ Aωfλ

m cosα+ kA

m senα− F0

m

!

cosωft= 0,

de donde se obtienen las dos condiciones:

−Aω_f2cosα− Aωfλ

m senα+ kA

m cosα = 0 (1.111)

−Aω_f2senα+ Aωfλ

m cosα+ kA

m senα− F0

m = 0

De la primera de las ecuaciones (1.112), se tiene:

tanα = m

λωf

k m −ω

2

f

!

= ω

2 0 −ω2f 2γωf

(1.112) Esta expresi´on para la tanα, puede ser representada mediante un tri´angulo como el de la figura1.20, a partir de la cual se pueden obtener las expresiones para elsenα y el

cosα

La segunda expresi´on de (1.112), se convierte en:

ω2₀ −ω_f2

r

ω2 0 −ωf2

2

+ 4γ2_ω2

f

ω₀2−ω_f2A+ r 2γωf

ω2 0−ωf2

2

+ 4γ2_ω2

f

A2γωf =

F0

m (1.113)

de donde

A= r F0/m

ω2 0 −ω2f

2

+ 4γ2_ω2

f

(38)

Figura 1.20: Representación geométrica del ánguloα

De esta expresión, se puede observar que la amplitud tiene una dependencia deωf, además esta amplitud es máxima cuando el denominador de (1.114) es m´ınimo, lo cual ocurre cuandoω0 =ωf, es decir que la frecuencia forzada es igual a la frecuencia propia del sistema, en este caso se dice que el sistema se encuentra en resonancia y la frecuencia a la cual s presenta este fenómeno de denomina frecuencia de resonancia, un ejemplo simple de resonancia se presenta cuando se columpia un niño, el sistema puede ser considerado como un péndulo el cual posee una frecuencia propia del sistema, en este caso la fuerza externa es la proporcionada por la persona que impulsa el niño, cuando la frecuencia de la fuerza impulsadora coincide con la frecuencia propia del sistema la amplitud del niño es mayor.

La velocidad con la cual se mueve el objeto al cual se le aplica la fuerza externa es:

v =Aωfcos(ωft+α) (1.115)

La velocidad m´axima es:

v =Aωf =

F0ωf/m

r

ω2 0 −ω2f

2

+ 4γ2_ω2

f

= q F0

λ2_{+ (}_mω

f −k/ωf)2

(1.116)

El valor más alto de esta velocidad máxima, ocurre cuandoω0 =ωf, es decir cuando el sistema se encuentra en resonancia, en este caso la energ´ıa cinética presenta su m´ axi-mo valor, lo que demuestra que en resonancia la transferencia de energ´ıa es máxima. El cociente de la velocidad máxima es la impedanciaZ, es decir;

Z =

q

λ2_{+ (}_mω

f −k/ωf)2, (1.117)

impedancia que a su vez esta compuesta de la resistencia R = λ y la reactancia

X = mωf −k/ωf, por tanto tanα = X/R. En el caso en el cual se encuentra en resonancia X = 0, lo que implica que α = 0, en este caso el factor Q = cos2_α _{= 1,}

el cual se denomina factor de calidad y su valor es m´aximo cuando se encuentra en resonancia es decir se produce la mayor transferencia de energ´ıa. La velocidad puede ser escrita como:

v = F0

(39)

La potencia que es la energ´ıa transferida por unidad de tiempo, que también es máxima en resonancia está dada por:

P =F v = F

2 0

Z cos(ωft+α)cosωft= F2

0

Z

cos2ωftcosα−senωftcosωftsenα

(1.119)

La potencia promedio es entonces

¯

P = F

2 0

Z cosα (1.120)

Ejemplo 15 Un ni˜no juega con un resorte de constante k= 20 N/m, longitud naturall0= 5

cm y fricción despreciable del cual cuelga una masam= 200 g, sujetando el otro extremo del resorte entre sus dedos, con la mano extendida horizontalmente. El niño agita la mano arriba y abajo, con una amplitudA= 2 cm y una frecuenciaω. Determine la posición de la pesa, si esta oscila con la misma frecuencia que la mano. ¿En qué condiciones la pesa llegará a golpearle la mano?

Figura 1.21: Movimiento de una pesa por un ni˜no

El movimiento de la pesa es vertical, de forma que podemos usar una sola di-mensión. SeaY la dirección vertical y ha-cia abajo, medida desde la posición cen-tral de la mano, de forma que ésta ocupa la posición

y1=ccos(ωt),

Obsérvese queωes una frecuencia ar-bitraria (la que quiera darle el niño al mover su mano) y no tiene por qué co-incidir con la que tendr´ıa el resorte si os-cilara libremente (frecuencia natural)

ω6=ω0=

r

k m = 10

rad s

La pesa está sometida a la acción de dos fuerzas: su propio peso y la fuerza elástica ejercida por el resorte.

F =mg−k(y−y1−l0),

siendol0la longitud natural del resorte (que aqu´ı debemos tener en cuenta porque queremos ver en

qu´e caso el resorte se encoge del todo). La cantidady1 aparece porque la ley de Hooke es dependiente

del estiramiento total del resorte, y éste depende tanto de la posición inicial como de la final.La ecuación de movimiento para la pesa es entonces

md

2_y

dt2 =mg−k(y−y1−l0)

Sustituyendoy1 nos queda la ecuaci´on de movimiento

md

2_y

(40)

Sabemos que la pesa oscila con la misma frecuencia que la mano del niño. Estas oscilaciones las hará en torno a una cierta posición de equilibrio, as´ı que la solución la podemos escribir en la forma

y=y0+Asen(ωt+φ),

donde y0 (la posici´on central de las oscilaciones), A es la amplitud que hay que

determi-nar.Sustituyendo en la ecuaci´on de movimiento y nos queda

−Amω2senωtcosφ−Amω2cosωtsenφ+ky0+kAsenωtcosφ+kAcosωtsenφ−mg−kl0=kccos(ωt)

Si está ecuación debe cumplirse en todo instante, el coeficiente del coseno, el del seno, y el del término independiente deben ser iguales a un lado y a otro de la igualdad. Esto nos da tres ecuaciones:

ky0−mg−kl0= 0⇒y0=

mg k +l0,

−Amω2cosφ+kAcosφ= 0⇒ω= r

k m,

−Amω2senφ+kAsenφ=kc⇒A= cω

2 0

ω2 0−ω2

El desfaseφ, depende de si la frecuencia es menor o mayor que la frecuencia natura. Si ω < ω0

implica queφ =π/2, y la pesa oscila en fase con la mano, cuando la mano sube, la pesa sube, y si baja, la pesa baja. Siω > ω0implica queφ=−π/2, y la pesa oscila en contrafase con la mano: cuando

la mano sube, la pesa baja, y viceversa.

Con lo que la soluci´on para la posici´on de la pesa es

y0=

mg

k +l0

+ cω2 0 ω2 0−ω2

sen(ωt±π

2)

Resulta que la posici´on central es la misma que si no hubiera oscilaciones de la mano

y0=

mg

k +l0= 14,8cm

Esta amplitud tiene un máximo (teóricamente infinito), justo a la frecuencia natural.A muy bajas frecuencias la amplitud coincide con al de oscialción de la mano (ya que ésta se mueve tan despacio que la pesa simplemente la sigue arriba y abajo). A altas frecuencias, la vibración de la mano es tan rápida que la pesa no es capaz de seguirla y su amplitud de oscilación tiende a 0.

La pesa chocará con la mano cuando la posición de la pesa y la posición de la mano coincidan, esto es

y=y1⇒y0+

cω2 0 ω2 0−ω2

sen(ωt±π

2) =ccos(ωt)

Para que este choque se produzca, la amplitud de oscilación debe ser lo suficientemente grande, lo cual solo ocurre cerca de la frecuencia propia (o frecuencia de resonancia). Habrá entonces una frecuencia m´ınima a la cual se producirá este choque, y también una frecuencia máxima.

Si la frecuencia es menor que la frecuencia propia, la pesa oscila en fase con la mano, esto es, que si la mano sube la pesa también, y lo mismo si baja. Pero, dependiendo de la frecuencia, la amplitud de estas oscilaciones irá aumentando, y la frecuencia m´ınima se alcanzará cuando la pesa toque una sola vez a la mano.

Esta colisión, de producirse, ocurrirá cuando la mano esté en su punto más alto, momento en que la pesa también estará en su punto superior. Esto ocurre parat=nT +T /2.

y0−

kc