Movimiento Curvilíneo General INFORME

UNIVERSIDAD ALAS

PERUANAS

Página 1 DINAMIC A

APLICACIÓN DEL MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN

UN PROTOTIPO DE MONTAÑA RUSA

OBJETIVOS:

Realizar un proyecto en el cual podamos demostrar los hechos que ocurren de movimiento curvilíneo y demostrar con fórmulas lo que hemos aprendido hasta ahora para poder aplicarlo a nuestro proyecto.

Mostrar a nuestros compañeros mediante unos ejercicios aplicados a nuestro proyecto final en el cual mencionamos su velocidad; aceleración y demás componentes aplicados siempre al proyecto.

PROBLEMA:

¿Cómo determinar la magnitud y dirección de su aceleración en este instante y el ángulo que la dirección de la aceleración forma con el eje x cuando el auto en la montaña rusa pasa por el punto B ; su rapidez es de 25 m/s; la cual se incrementa a at= 3 m/s2

HIPÓTESIS:

Utilizando las componentes normales y tangenciales de la aceleración se podrá determinar la magnitud y la dirección de la aceleración formada con el eje x.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

El movimiento curvilíneo ocurre cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva .Como esta trayectoria a menudo se describe en tres dimensiones , utilizaremos análisis vectorial para formular la posición , velocidad y aceleración de una partícula. En esta sección se analizan los aspectos generales del movimiento curvilíneo y en secciones subsiguientes consideraremos tres tipos de sistemas coordenadas que se usan con frecuencia para analizar este movimiento .

POSICION : Considere una partícula situada en un punto de una curva espacial definida por la función de la trayectoria . El vector posición designara la posición de la partícula, medida con respecto a un punto fijo. Se observa que la magnitud como la dirección de este vector cambiaran a medida que la partícula se mueve a lo largo de la curva .

⃗r = x î + y ĵ + z ^K

--- (1)

DESPLAZAMIENTO : Suponga que durante un breve intervalo la partícula se mueve una distancia a lo largo de la curva a una nueva posición , el desplazamiento representa el cambio de posición de la partícula y se determina mediante una resta vectorial.

⃗r0 ₌ x0î ₊ y0ĵ ₊ z0 ⃗r = xfî ₊ yf ĵ ₊ zf Δ ⃗r ₌ ⃗r_f−⃗r₀=

₍

x_f−x₀

₎

î +

₍

y_f−y₀

₎

ĵ+

₍

z_f−z₀

₎

Δ ⃗r ₌ f =¿ ⃗ r¿ Δ x î +Δ y ĵ + Δ z FIGURA 1.- TRAYECTORIA Y POSICION

DE UNA PARTICULA.

FIGURA 2.-DEZPLAZAMIENTO DE UNA PARTICULA.

Δ ⃗r=Δ x î+ Δ y ĵ +Δ z ^K _{--- (2)}

VELOCIDAD :Durante el tiempo la velocidad de la partícula es igual a la velocidad promedio y la velocidad promedio es igual a la variación del desplazamiento sobre la variación del tiempo.

⃗ V _{prom =} Δ⃗r Δ t = Δ x î + Δ y ĵ +Δ z Δ t ⃗V prom = Δ x_Δt î + Δ y_Δt ĵ + Δ z Δt ^K --- (3)

Velocidad instantánea: La velocidad instantánea se determina con una

ecuación cuando variación del tiempo tiende hasta 0.

⃗

V _{= Δt→ 0}lim ¿ ⃗_{V prom =} lim

Δt → 0¿

(

Δx Δt î + Δ y Δt ĵ + Δ z Δt

)

⃗ V _{= Δt → 0}lim ¿ Δ x Δt î + lim Δ t → 0Δy Δt ĵ + lim Δ t → 0Δz Δt Ó ⃗V = d x_{d t} î + d y_{d t} ĵ + d z_{d t} ⃗V = V x î + V x ĵ + V z --- (4)

FIGURA 3.-VELOCIDAD DE UNA PARTICULA.

ACELERACION: Si la velocidad de la partícula es “v” en el instante “t”

Entonces la aceleración promedio de la partícula durante el intervalo “t” es

Aceleración Promedio:

a

prom = Δ. ⃗V Δt = ⃗ V −⃗Vo Δt Vo ₌ Vox î ₊ V o ĵ ₊ Vo z Vt = Vtx î + V t ĵ + Vt z ⃗ V t−⃗V o ₌ (Vtx−V o x ) î ₊ (Vty−V o y ) ĵ ₊ (Vtz−V o z) Δ ⃗r ₌ ΔVx î+ ΔVy ĵ +ΔVz Δ ⃗r ⃗ Vo ⃗ Vt o ⃗ Vo ⃗ ro ⃗ rt

FIGURA 4.-ACELERACION CON RESPECTO AL TIEMPO.

a

prom = ΔVx Δt î +¿ ΔVy Δt ĵ+ ΔVz Δt ---(5) Aceleración Instantánea: ⃗ a = limΔt → 0 ¿ (⃗a prom) ⃗ a _{= Δt → 0}lim ¿

(

ΔVx Δt î + ΔVy Δt ĵ + ΔVz Δt

)

⃗ a = limΔt → 0 ¿

= ΔVx_Δt î + _{Δt → 0}lim .Δy_Δt ĵ + _{Δt → 0}lim .Δz_Δt

⃗ a

₌

dv dt î + dvy dt ĵ + dvz d t

Ó

⃗ a ₌ ax î ₊ ay ĵ ₊ az _{--- (6)}

Si sustituimos la ecuación también se puede escribir:

a=d2r d t2

MOVIMIE N TO C URVILINE O

COMPONENTES RECTANGULARES:

De vez en cuando el movimiento de una partícula puede describirse mejor a lo largo de una trayectoria que pueda expresarse en función de sus coordenadas x , y, z .

POSICION:

Si la partícula está en el punto ( x , y , z ) de la trayectoria curva mostrada en la figura , entonces el vector posición define su posición .

FIGURA 5.-POSICION DE UNA PARTICULA EN C.R

r=x i+ y j+z k

_{--- (7)}

Cuando la partícula se mueve los componentes x , y , z de “r” serán funciones del tiempo , es decir , x =x(t) , y = y(t) , z = z(t) , de modo que r = r (t)

r=√x2

+y2+z2 _{--- (8)}

Y la dirección de r se especifica por el vector unitario

VELOCIDAD:

La primera derivada con respecto al tiempo de “r” proporciona la velocidad de la partícula . Por consiguiente

FIGURA 6.-VELOCIDAD DE UNA PARTICULA EN C.R

--- (9)

“k”. Cuando se toma esta derivada , es necesario tener en cuenta tanto la magnitud como la dirección de cada uno de los componentes vectoriales . Por ejemplo, la derivada del componente “i” de “r” es:

El segundo término del lado derecho es cero , siempre que el marco de referencia x , y , z este fijo y por consiguiente la dirección (y la magnitud ) de “i” no cambie el tiempo . La diferenciación de los componentes j y k se realiza de la misma manera, la cual proporciona el resultado final,

--- (11)

Dónde:

--- (12)

La notación “de punto “, x, y, z representa las primeras derivadas de x = x(t) , y =y(t) , z = z(t) , respectivamente .

La magnitud de la velocidad se determina como

v =

√

v_x2

+v2_y

+v_z2

--- (13)

Y el vector unitario especifica su dirección, esta dirección siempre es

FIGURA 7.-VELOCIDAD DE UNA PARTICULA EXPRESADA VECTORIALMENTE.

ACELERACION:

La aceleración de la partícula se obtiene de la primera derivada con respecto al tiempo de la ecuación tenemos:

--- (14)

Dónde:

Aquí , representa respectivamente las primeras derivadas con

respecto al tiempo de o las segundas

derivadas con respecto al tiempo de las funciones x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) La aceleración tiene una magnitud de:

a=

√

a_x2+a2_y+a2_{z --- (16)}

Y una dirección especificada por el vector unitario Como “a” representa

el cambio tanto de la magnitud como de la dirección de la velocidad , en general “a” no será tangente a la trayectoria.

PUNTOS IMPORTANTES:

 El movimiento curvilíneo hace que cambie tanto la magnitud como la

dirección de los vectores de posición, velocidad y aceleración.

 El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria.

 En general , el vector de aceleración no es tangente a la trayectoria , sino

que más bien es tangente a la hológrafa.

 Si el movimiento se describe mediante coordenadas rectangulares ,

entonces los componentes a lo largo de cada uno de los ejes no cambia de dirección , solo su magnitud y sentido ( signo algebraico ) cambiaran .

 Al considerar los movimientos de los componentes , el cambio de magnitud y dirección de la posición y velocidad de la partícula se toman automáticamente en cuenta .

VELOCIDAD:

La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa un desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo . Se representa por o Su unidad en el sistema internacional es el metro por segundo (m/s).

En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, el cual se denomina celeridad o rapidez

De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo, la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

VELOCIDAD MEDIA:

La 'velocidad media' o velocidad promedio es la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Δr) entre el tiempo (Δt) empleado en efectuarlo:

Esta es la definición de la velocidad media entendida como vector (ya que es el resultado de dividir un vector entre un escalar).

Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la velocidad media sobre la trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad escalar. La expresión anterior se escribe en la forma:

La velocidad media sobre la trayectoria también se suele denominar «velocidad media numérica» aunque esta última forma de llamarla no está exenta de ambigüedades.

El módulo de la velocidad media (entendida como vector), en general, es diferente al valor de la velocidad media sobre la trayectoria.

Solo serán iguales si la trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno u otro sentido) sin retroceder.

VELOCIDAD INSTANTANEA:

La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria, corresponde a la derivada del vector posición (R) respecto al tiempo.

Permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.

En forma vectorial, la velocidad es la derivada de la vector posición respecto al tiempo:

Donde es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

VELOCIDAD RELATIVA:

La velocidad relativa entre dos observadores A y B es el valor de la velocidad de un observador medida por el otro. Las velocidades relativas medias por A y B serán iguales en valor absoluto pero de signo contrario. Denotaremos al valor la velocidad relativa de un observador B respecto a otro observador A como. Dadas dos partículas A y B, cuyas velocidades medidas por un cierto observador son y , la velocidad relativa de B con respecto a “A” se denota como y viene dada por:

Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como y viene dada por:

De modo que las velocidades relativas y tienen el mismo módulo pero dirección contraria.

VECTORES:

Requieren de una magnitud (numero) una dirección, un sentido y su unidad para quedar bien definidos.

REPRESENTACION DE UN VECTOR:

1) Forma polar

2) Por sus componentes respecto a un sistema de coordenadas.

OBJETIVO:

1) Aprender la descomposición y composición rectangular de los vectores.

2) Aprender a efectuar las principales operaciones con los vectores adición, sustracción y producto escalar y vectorial.

Escalar = numero

VECTOR UNITARIO:

Es aquel vector cuyo tamaño o magnitud es igual a la unidad. = vector unitario = magnitud

COMPONENTES DE UN VECTOR:

EN EL PLANO:

P1 (x1,y1) P2 (x2,y2)

EN EL ESPACIO:

P1 (x1, y1, z1) P2 (x2, y2, z2)

La distancia de entre los puntos P1 Y P2 se calcula a partir de las coordenadas de ambos puntos de la forma:

VECTORES FUNDAMENTALES O UNITARIO:

En el plano i (1,0) j (0,1)

En el espacio i (1, 0,0) j (0, 1,0) k (0, 0,1)

Todo vector en el plano (ax, ay) puede escribirse de la forma

A =axi + ayj

Todo vector en el espacio (ax, ay, az) puede escribirse de la forma

MOVIMIENTO CURVILINEO:

COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA

ACELERACION

De donde: ´ r _{: Vector posición.} C: centro de curvatura. P: Radio de curvatura. T: Recta tangente en A. T': Recta tangente en A'.

ds: Longitud de arco que describe la partícula en el intervalo ∆ t .

dø: Angulo que describe la partícula en el intervalo ∆ t .

y: Eje de las ordenadas.

Ux: vector unitario del eje x. Uy: vector unitario del eje y.

UN: vector unitario Normal.

UT: vector unitario Tangencial.

Ø: Angulo que hace la recta tangente en T con el eje +x. O: origen de coordenadas.

Primero vamos a determinar que la velocidad es tangente a la curva, la tangente de una curva es la pendiente.

VELOCIDAD TANGENCIAL ⃗ v _{= ∆ t → 0}lim ⃗v ⃗ v = lim_{∆ t → 0}

(

∆ ⃗r_{∆ t}

)

∆ ⃗r = ∆ s ∆ s A A B B T ⃗ V

D

⃗ V

V

D A _´r

V

C ⃗ V

B

C

´ r ⃗ V ´ r

V

B

ARTIFICIO:

⃗ v = lim_{∆ t → 0}

(

∆ ⃗r_{∆ s}.∆ s ∆ t

)

⃗ v ₌

(

lim ⁡ ∆ t → 0 ∆ ⃗r ∆ s

)

.

(

lim ⁡ ∆ t → 0 ∆ s ∆ t

)

⏟

ds_dt ⃗ v =

(

lim ⁡ ∆ t → 0 ∆ ⃗r ∆ s

)

. ds dt

⏟

⃗v =

(

lim ⁡∆ t → 0 ∆ ⃗r ∆ s)

⏟

. V ⃗v = UTV * ⃗v = VUT La aceleración se define: ⃗ a ₌ d ⃗v dt = d dt

[

v U T

]

= dv dt UT+ r du dt ⃗ a ₌ dv dt UT+v dut dt C

V

d s A ´ π 2 d ∅ UT UN UT ∅ UTy

=

|u t| sin ∅ UTy

=

sin ∅

UT= cos∅ Ux+ sin ∅ Uy--- (1)

dut dt = - sin ∅ d ∅ dt Ux+ cos ∅ d ∅ dt Uy dut dt = - sin ∅ ´∅ Ux +cos ∅ ´∅ Uy dut dt = ¿

´∅¿ - sin ∅ Ux +cos ∅ Uy) --- (2)

¿≫ _UN= cos

(

π

2+∅

)

Ux + sin

(

π

2+∅

)

Uy

= 0 = 1  cos

(

π₂+∅

)

=cosπ₂cos ∅ - sinπ₂ sin∅

cos

(

π

2+∅

)

=−sin∅

= 1 = 0  sin

(

π₂+∅

)

=sinπ₂cos ∅ + sin ∅ cosπ₂

∅

UTx

=

sin

(

π 2+∅

)

=cos ∅ Por lo tanto UN = −sin∅ Ux + cos∅Uy --- (3) Reemplazando (3) en (2) dut dt =´∅ UN --- (4) Por lo tanto: ´∅ = d ∅_dt --- (5) tenemos A´ C s: longitud Arco ρ A ds= d ∅ ρ 1 ρ = d ∅ ds --- (6)

En (5) hacemos el siguiente artificio:

d ∅

R

∅ ds

´∅ = d ∅_ds . ds_dt

´∅= 1

ρv= v

ρ --- (7)

Reemplazando (7) en (4) y luego en la expresión

⃗ a ₌ dv dt UT + v dut dt ¿≫ Nota: d U T dt

=

v ρ

U

N

MODULO DE LA ACELERACION

a =

√

(

dv dt

)

2 +

(

V 2 ρ

)

2 ⃗ a = dv_{dt U}T +

BIBLIOGRAFIA Y LINKOGRAFIA:

LIBRO DE DINAMICA .R.C.HIBBLER

h

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0

C A Y Q _AU o A Q#fac r c= _ & i m gd ii= _ &i m g r c = C m 0 - R Xi D 2 VGU- M % 2 5 3 A %

3 B4 N 7 G O qb Y M - m y 1 M % 3 B h t t p % 2 5 3 A % 2 52 F% 2 5 2 F w w w .sc . e h u .es %

2 5 2 Fs b w e b % 2 52 F f isic a _ % 2 52 F% 2 5 2 Fc in e m atic a % 2 5 2 Fc u r v ili n e o % 2 5 2 Fc u r v ili n e o % 2 5 2 F c om p o n ente s . g if % 3 B h t t p % 2 53 A % 2 52 F % 2 5 2 Fw w w .sc.e hu .e s % 2 5 2 Fs b w e b % 2 52 F f isic a _ % 2 5 2 F % 2 5 2 F c i n e m at i ca % 2 5 2 Fc u r v ili n e o % 2 52 Fc u r v ilin e o % 2 52 Fc u r v ili n e o 1 . h t m l % 3 B 2 8 6 % 3 B 2 6 7 h t t p s : // w w w. g oo g l e.c o m . p e / s earch?

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