ESTADISTICA.1

PÁGINA 33

PÁGINA 33

 – –

EJERCICIO 13

EJERCICIO 13

Las notas de un

Las notas de un examen parcias de matemática dieron la siguiente distribución de frecuencias:examen parcias de matemática dieron la siguiente distribución de frecuencias: a)

a) Completar la Completar la distribución.distribución. b)

b) Graficar la ojiva Graficar la ojiva de porcentajes.de porcentajes. c)

c) Que porcentajes de las notas se encuentran aproximadamente en el intervalo [8,14].Que porcentajes de las notas se encuentran aproximadamente en el intervalo [8,14]. Intervalo

Intervalo Marca Marca de de clase clase Frecuencia Frecuencia Relativa Relativa Frec. Frec. RelativaRelativa Acumulada Acumulada [ [ , , [ [ 0.150.15 [6 [6 , , [ [ 0.450.45 [ [ , , [ [ 0.700.70 [ [ , , [ [ 13.513.5 [ [ , , [ [ 0.100.10 Solución: Solución: a) a) 6 + 2A + 6 + 3A = 276 + 2A + 6 + 3A = 27 A = 3 A = 3 Intervalo

Intervalo Marca Marca de de claseclase

Frecuencia Frecuencia Relativa Relativa Frec. Relativa Frec. Relativa Acumulada Acumulada [ [ 3 3 , , 6 6 [ [ 4.5 4.5 0.15 0.15 0.15 0.15 [ [ 6-A 6-A , , 6 6 ]] [6 [6 , , 9 9 [ [ 7.5 7.5 0.30 0.30 0.45 0.45 [ [ 6 6 , , 6+A[6+A[ [

[ 9 9 , , 12 12 [ [ 10.5 10.5 0.25 0.25 0.70 0.70 [6+A [6+A , , 6+2A[6+2A[ [

[ 12 12 , , 15 15 [ [ 13.5 13.5 0.20 0.20 0.90 0.90 [6+2A , , 6+3A[[6+2A 6+3A[ [

b)

c)

% =   0.25 

%= 98

_{3 0.30  0.25  142}

_{3 0.20}

% = 0.483

EJERCICIO: 18

Los ingresos mensuales de una muestra de pequeños comerciantes se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 5 intervalos de igual amplitud resultando: Ingreso mínimo $ 125, marca de clase del cuarto intervalo m4 = $ 300. Si el 8% de los ingresos son menores que $ 165 y el 7 0% de los ingresos son

menores a $275. ¿Qué porcentajes de ingresos son superiores a $285? Solución: INTERVALOS

_x

_i

_h

_i

_H

_i h1 h1 [125 125+A[ h2 h1 + h2 [125+A 125+2A[ h3 h1+ h2 + h3 [125+2A 125+3A[ 300 h2 [125+3A 125+4A] h1





<165





=165=125(0.08

_

_

_{ }

_−

−

)

40=(0.08ℎ



)50

ℎ



=0.10





=275





=275=225(0.7ℎ

_ℎ

_



ℎ



)

50=(0.6ℎ

_ℎ





)50

ℎ



ℎ



=0.60

2ℎ



2ℎ



ℎ



=1

2ℎ



ℎ



=0.8

ℎ



ℎ



=0.6

ℎ



=0.20

ℎ



=0.40

INTERVALOS

_x

_i

_h

_i

_H

_i [125 175[ 150 0.10 0.10 [175 225[ 200 0.20 0.30 [225 275[ 250 0.40 0.70 [275 325[ 300 0.20 0.90 [325 375] 350 0.10 1

%

>

 =   0.10

%

>

=0.10  325285

50 0.20

Rpta.

%

>

 = 0.26

EJERCICIO: 22

El tiempo (en horas) de 120 familias que utilizan su computadora se tabularon en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales a 4, siendo el tiempo mínimo de uso 2 horas, la primera y segunda frecuencias son iguales al 10% y 15% del total de casas respectivamente. Si el 73.75% de las familias lo usaron menos de 17 horas, y el 85% menos de 19 horas, determinar las frecuencias.

Solución: INTERVALO

_X

_i

_f 

_i

_h

_i

_H

_i [ 2 6[ 4 12 0.10 0.10 [ 6 10[ 8 18 0.15 0.25 [10 14[ 12

ℎ



0.25 +

ℎ



[14 18[ 16

ℎ



0.25 +

ℎ



 +

 ℎ



[18 22[ 20

ℎ



1 120 1 A = 4

ℎ



=0.30

ℎ



=0.25

INTERVALO

_X

_i

_f 

_i

_h

_i

_H

_i [ 2 6[ 4 12 0.10 0.10 [ 6 10[ 8 18 0.15 0.25 [10 14[ 12 36

0.30

0.55 [14 18[ 16 30 0.25 0.80 [18 22[ 20 24

0.20

1 120 1





<19





=19=18(0.850.25ℎ

_{10.25ℎ}

_



_ℎ

ℎ

_



)4

0.25=(0.6ℎ

_0.75ℎ



ℎ





ℎ



)50

ℎ



ℎ



=0.55



.

<17



.

=17=14(0.73750.25ℎ

ℎ

_



)4

ℎ



0.75ℎ



=0.4875

PÁGINA 56

 –

EJERCICIO: 10

En tres grupos distintos de 100 000; 90 000 y 20 000 personas, el porcentaje de personas con educación superior es 21%, 42% y 40% respectivamente. Calcular el porcentaje promedio de personas con educación superior. Solución: Grupo de Personas 100 000 90 000 20 000 Porcentaje con educación superior 0.21 0.42 0.40 Total de personas = 210 000

 =100 0000.2190 0000.4220 0000.40

_{210 000}

=0.318

Respuesta: El porcentaje promedio de personas con educación superior es de 31.8%

EJERCICIO: 11

En un informe (que se supone es correcto) sobre sueldos en todo el país, una empresa de estudios de mercado publica la siguiente tabla:

CLASE“A”  CLASE“B”  CLASE“C”  CLASE“E”

% de Población

10% 25% 35% 30%

Sueldos $ 2500 $ 1500 $500 $200

Y concluye diciendo que “La media de los sueldos en todo el país es de $ 1175”

a) ¿Qué comentario le merece el informe? Si no está de acuerdo, ¿Cuál sería la corrección? b) ¿es la media en este caso el promedio representativo? Si no está de acuerdo ¿Cuánto es el

promedio adecuado? Solución:

a) = (0.1)2500+(0.25)1500+(0.35)500+(0.30)200

= 860

b)

Clase

A

B

C

E

h

i 0.10 0.25 0.35 0.30

Sueldos

2500 1500 500 200 = $ 500

EJERCICIO: 12

De una central telefónica salieron 70 llamadas de menos de 3 minutos promediando 2.3 minutos, 40 llamadas de menos de 10 minutos pero no menos de 3 minutos, promediando 6.4minutos, y 10 llamadas de al menos 10 minutos promediando 15 minutos. Calcule la dirección promedio de todas las llamadas.

INTERVALOS

_x

_i

_f 

_i [1.6 3[ 2.3 70 [3 9.8[ 6.4 40 [10 20[ 15 10 120 =

=

.+.+



=

4.725

EJERCICIO: 13

Cuatro fábricas A, B, C y D, producen un mismo objeto. La fábrica B produce el doble de C, la D 10% menos que la C y la A el 60% menos que la B. Los costos de producción (en dólares) por unidad de estas fábricas son respectivamente: 0.2, 0.3, 0.2 y 0.5. Calcular el precio medio de venta si se quiere ganar el 20% por unidad. PRODUCTO COSTOS A 0.8C 0.20 B 2C 0.30 C C 0.20 D 0.9C 0.50

=

[. . + .  + . + . .]

_.

=

=

..

=0.3

Costo el 20% de la ganancia: 1.2 (0.3) = 0.36 Rpta.

EJERCICIO: 15

En una empresa donde el sueldo medio es de $ 400 se incrementa un personal igual al 25% del ya existente con un sueldo medio anual al 60% de los antiguos. Si 3 meses más tarde se incrementan cada sueldo en 20%, más $30. ¿Cuánto es el nuevo salario medio?

Solución: 1

=400

2

=240

Personal: 125M





=1.2030 ^ 



=1.2030

1 = 1.2 1  + 30 ^ 2 = 1.2 2  + 30 = [1.2 (400)+ 30] +0.25 [1.2 (240)+30] Rpta. = 471.6

EJERCICIO: 18

Los sueldos en una empresa varían de $300 a $800 distribuidos en forma simétrica en 5 intervalos de igual amplitud, con el 15%, 20% y 30% de casos en el primer, segundo y tercer intervalo respectivamente.

a) Calcule los diferentes indicadores de tendencia central.

b) Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior, ¿a partir de que sueldo se paga el impuesto? Solución: INTERVALOS

_x

_i

_h

_i

_H

_i [300 400[ 3.5 0.15 0.15 [400 500[ 4.5 0.20 0.35 [500 600[ 5.5 0.30 0.65 [600 700[ 6.5 0.20 0.85 [700 800] 7.5 0.15 1

 =800300

_{5 =100}

a) = = = 500 entonces si es simétrica. b)





= 4



_



−

_−







=600(0.750.65

0.850.65)100

EJERCICIO: 20

En un estudio comparativo del porcentaje de rendimiento de ciertos bonos se elaboró una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales, siendo las marcas de clase primera y quinta 15 y 55 respectivamente. Si el 65% de los bonos rinden menos del 40%, el 25%menos del 30%, el 90% menos del 50% y el 95%al menos 20%.

a) Calcule los promedios de rendimiento.

b) Si el 50% de los bonos de mayor rendimiento deben pagar un impuesto, ¿a partir de que rendimiento corresponde pagar el impuesto?

c) ¿Es la mediana, el punto medio entre los cuartiles 1 y 3? Solución: INTERVALO Xi hi [10 20[ 15 h1 [ x x+A[ [20 30[ 25 H2 [X+A X+2A[ [30 40[ 35 H3 [X+2A X+3A[ [40 50[ 45 H4 [X+3A X+4A[ [50 60] 55 H5 [X+4A X+5A[ 1

X2A2=15

2=30……

29=110……

X4AX5A

2 =55

I EN II

308=110

 =10

X= 10





≤0.40





=0.40=0.30(.65ℎ

ℎ

_

−

ℎ



)0.10

ℎ



ℎ



ℎ



=0.65





≤0.30





=0.30=0.20(.25ℎ

ℎ

_



)0.10

ℎ

ℎ

=0.40 ℎ

=0.40





≤0.50





=0.50=0.40(.900.65

ℎ

_

)0.10

ℎ



=0.25

a)

=150.05250.20350.40450.25550.50

_=36.5%

b) Por lo tanto a partir de 36.25%

c)





=0.30 



=0.44





=0.300.44

2 =0.37

Por lo tanto no es





 en punto medio.





≤0.20





=0.20=0.10(.050

ℎ

_

0 )0.10

ℎ



=0.05

ℎ



=0.20

ℎ



=0.10

=(.50

_

−





−

)

=0.30(.500.25

_{0.650.25)0.10}

=36.25%

 =( ∆

_∆



+

∆



)

 =0.30( 0.20

_{0.200.15)0.10}

 =35.71%

PAGINA 82- EJERCICIO: 23

En una empresa donde trabajan hombres y mujeres la media general de los sueldos es $250. Si la

media y la desviación estándar de los sueldos en el grupo de varones es $270 y $15 y el grupo de

mujeres es $220 y $10.

a) Calcule el porcentaje de hombres y mujeres.

b) Calcule la desviación estándar de los sueldos de todos los trabajadores de la empresa.

Solución:

n: hombres

m: mujeres

a)









 .... 

_











 …



₌₂₅₀





=∑=270





=∑=220

̂= ∑







 =15

̂= ∑



_{ =10}





∑=270

∑=220

∑∑=250

270220=250250

_20=30

nm=32=6040

=60% =40% .

15



= ∑



(∑)

_



15



0.6=∑



270



0.6

∑



=43 875

∑



=220



0.41000.4

∑



=19 400





= ∑



∑



250







=27.83882181 .

EJERCICIO: 26

Los precios de un producto en las 50 tiendas del centro de una ciudad A varían entre 8 y 18 soles. Estos precios se han organizado en una distribución de frecuencias con 5 intervalos de amplitud iguales, resultando que en el 16, 56, 76 y 90 por ciento de estas tiendas los precios fueron inferiores a 10, 12, 14 y 16 soles, respectivamente. Un estudio similar mostro que en las tiendas del centro de otra cuidad B, la media de los precios del mismo producto resulto ser 13.5 soles con una desviación estándar con una desviación estándar de 3 soles. Una tienda, que tiene sucursales en los centros de las ciudades A y B, vende un producto en la cuidad B a 12 soles. Si esta tienda, tiende a fijar los precios de acuerdo al medio, estime el precio al que se vende este producto en la cuidad A.

Solución: Tienda A Intervalo Xi hi HI f i [8 10[ 9 0.16 0.16 8 [10 12[ 11 0.40 0.56 20 [12 14[ 13 0.20 0.76 10 [14 16[ 15 0.14 0.90 7 [16 18[ 17 0.10 1 5 1 60

 =1885=2 



=13.5  



=3





=90.16110.40130.20150.14170.10





=12.24





=∑ 







 =77785012.24





50



=5.7424



=√ 5.7424=2.39633

Valores estandarizados:

EJERCICIO: 32

La tabla que se presenta a continuación corresponde a un número de personas que se encontró

en una muestra tomada en 4 distritos y que son consumidores de un producto. La tabla muestra

la clasificación por distrito, edad y sexo.

Distrito

Edad Hombres Edad Mujeres

20 - 30 30 - 40 40 - 50 20 –30 30 - 40 40 - 50 Lince 15 45 32 22 18 60 Lima 50 32 28 35 44 22 Pueblo Libre 15 36 45 32 60 18 Surco 40 24 14 46 45 24

a) Compare la variabilidad de las edades de los hombres y mujeres de Lince. b) Compare la variabilidad de las edades en Lince y Pueblo Libre.

c) Compare la variabilidad de las edades de hombres y mujeres de la muestra. d) Halle la varianza de las edades de toda la muestra.





= 







_



=1213.5

3 =0.5





= 







_



=0.5

 



12.24

_{2.42 =0.5}

Solución: a)

Intervalo

X

i

f 

h

f 

M [20 30[ 25 15 22 [30 40[ 35 45 18 [40 50] 45 32 60 92 100 b)

Intervalo

X

i

F

Lince

F

P.Libre

[20 30[ 25 37 47 [30 40[ 35 63 96 [40 50] 45 92 63 192 206





=36.8478609





=6.94236





=0.188













=8.2608973

=38.8

=0.2129





=37.47395833





=6.94236





=0.20358







.

.

.

=7.2837

=35.776699

=0.20358





=251535454532

92

c)

Intervalo

X

i

f 

h

f 

M [20 30[ 25 120 135 [30 40[ 35 137 167 [40 50[ 45 119 124 376 426

d) Varianza de todas las muestras:

Intervalo

X

i

f 

M [20 30[ 25 255 [30 40[ 35 304 [40 50[ 45 243 802





=34.9734





=7.98329





=8.22826













=7.8822

=34.74178404

=8.2215768



=25



225



35

₈₀₂



304



45



243



=34.85037406





= 



.

_











_=

34.85037406

_

₂

=1214.548572

 



_{ =22525}

.

2



30435

₈₀₂



24345



 



_{ =1276.620648}

.

2





=62.072376

=7.878602414