CONOCIMIENTOS TEÓRICOS. 1 Características del sistema axonométrico

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Axonometría

ortogonal

y oblicua

UNIDAD

CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

1 Características del sistema axonométrico 2 Proyección de los elementos fundamentales

2.1 Representación del punto 2.2 Representación de la recta 2.3 Representación del plano

3 Trazas de un plano

3.1 Con las caras del triedro de referencia 3.2 Traza ordinaria de un plano

4 Determinación de intersecciones

4.1 De dos planos cualesquiera 4.2 Entre recta y plano

4.3 Entre dos superficies o sólidos

5 Determinación de verdaderas magnitudes

5.1 Determinación de la cota de un punto 5.2 Abatimiento de un plano

6 Formas de definir un sistema axonométrico

APLICACIONES PRÁCTICAS 1 Paso de diédrico a axonométrico

1.1 Abatimiento de las caras del triedro

1.2 Perspectiva por intersección de proyecciones

2 Representación de sólidos

2.1 Cuerpos poliédricos 2.2 Cuerpos de revolución

3 El dibujo en perspectiva como parte del proyecto

En el sistema diédrico, como hemos estudiado en las unidades anteriores, los objetos a representar se proyectan mediante proyección cilíndrica orto-gonal sobre dos planos perpendiculares que, junto a un plano de perfil perpendicular a ambos, forman un triedro trirrectángulo (planos horizon-tal, vertical y de perfil de proyección). De la representación tridimensional anterior, pasamos a un único plano, el del papel, mediante abatimientos respecto a las intersecciones entre los tres planos anteriores.

En el sistema axonométrico, inicialmente, usamos un triedro trirrectángulo de referencia sobre el que proyectamos también con proyección cilíndrica ortogonal. La diferencia entre ambos sistemas se halla en el momento de pasar del triedro trirrectángulo al plano del papel, que ahora denominamos plano del cuadro. En la axonometría realizamos una proyección ortogonal u oblicua sobre el plano del dibujo de las caras, aristas y vértice del triedro y una cuarta proyección, la directa, del propio objeto (Fig. 1).

En los próximos apartados, profundizaremos en algunos aspectos del sis-tema axonométrico en relación a lo ya expuesto en la unidad 12 de

Dibujo técnico 1.

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1 CARACTERÍSTICAS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO

Recordamos resumidamente las principales características de un sistema axonométrico:

• El plano de proyección o del cuadro puede ser cualquier plano, con tal de que no contenga un eje o de que no sea una de las caras del trie-dro trirrectángulo de referencia. Sobre este plano, las aristas ortogo-nales del triedro se proyectan según tres rectas,X,Y,Z, concurrentes en un vértice comúnO, que representan las proyecciones de los ejes axonométricos.

• De cada puntoPdel espacio, realizamos cuatro proyecciones: tres de ellas,P’,P’’yP’’’, sobre cada uno de los planos del triedro y una cuar-ta proyección, la direccuar-ta del puntoP, sobre el plano del cuadro (Fig. 1). • De cada punto del espacio disponemos, en el sistema axonométrico, de cuatro proyecciones; las rectas que unen la proyección directa de un punto con cada una de las otras proyecciones son paralelas a ca-da uno de los ejes, siendo ésta la condición que caracteriza a las pro-yecciones de un punto.

• La intersección del triedro trirrectángulo de referencia con el plano del cuadro es un triángulo ABC, denominado triángulo de las trazas, (Fig. 2), cuyos vértices son las intersecciones de los ejes con el plano del dibujo. En aplicación del teorema de las tres perpendiculares, las proyecciones de los ejes coinciden siempre con las alturas del triángu-lo de las trazas.

Los planos paralelos al del cuadro producen, como sección con el trie-dro trirrectángulo, triángulos semejantes al de las trazas.

UNIDAD

CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

Axonometría ortogonal y oblicua CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD

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Fig. 2

• Del valor y de la relación entre los ángulos de pendiente,α,β yγ, depende el tipo de axonometría (Fig. 3):

Isométrica.Con los tres ángulos de pendiente iguales; el triángulo de las trazas es equilátero y las proyecciones de los ejes forman ángulos iguales de 120º.

Dimétrica.Cuando sean iguales dos de los ángulos de pendiente; el triángulo de las trazas es isósceles y las proyecciones de los ejes for-man entre sí dos ángulos iguales y uno desigual.

Trimétrica.Con los tres ángulos distintos; el triángulo de las trazas es escaleno y los ejes se proyectan formando tres ángulos desiguales.

2 PROYECCIÓN DE LOS ELEMENTOS FUNDAMENTALES

Conocidas las características de los sistemas axonométricos, en el presente apartado nos centraremos en la representación axonométrica del punto, de la recta y del plano. Trabajaremos sobre una terna isométrica por la facili-dad de los trazados, aunque las representaciones que utilizaremos sean generalizables a cualquier otro sistema axonométrico.

2.1 Representación del punto

De cualquier punto del espacio obtenemos cuatro proyecciones, una direc-ta o perspectiva, la proyecciónPde la figura 4, y otras tres laterales,P’,P’’

yP’’’, estas últimas sobre las proyecciones de cada una de las caras del trie-dro trirrectángulo de referencia. A la proyección sobre el planoXYla llama-moshorizontaly a las otras dos,primeraysegundavertical. A partir de dos cualesquiera de estas cuatro proyecciones, podemos determinar las otras dos y definir la posición del punto.

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Fig. 3

Si la posición del punto coincide con uno de los planos proyectantes o con alguno de los ejes, las proyecciones anteriores presentan coincidencias, tal como podemos ver en los ejemplos de la figura 5.

2.2 Representación de la recta

Del mismo modo que en los sistemas diédrico y acotado, las proyecciones de una recta vienen definidas al unir las proyecciones homónimas de dos de sus puntos. Así, en la figura 6, a partir de los puntosAyBde la recta

r, determinamos sus proyeccionesr’,r’’yr’’’.

A los puntos de intersección de una recta con los planos coordenados los llamamos trazas de la recta. Excepto en los casos de paralelismo o perpen-dicularidad respecto a las caras del triedro de referencia, una recta tendrá

tres trazas: a la intersección con el plano horizontal la denominamosHy a las intersecciones con los dos planos verticales, V₁ yV₂. Cada una de estas trazas se halla, como podemos ver en la figura anterior, en la inter-sección de la rectarcon su proyección sobre ese plano coordenado; así, por ejemplo, la trazaHestá en la intersección deryr’. Las tres trazas se hallan alineadas sobre la proyección directarde la recta.

Axonometría ortogonal y oblicua CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD

Fig. 5

Fig. 6

196

En la figura 7, representamos otras rectas que cumplen condiciones parti-culares de paralelismo o perpendicularidad en relación a los planos de pro-yección; es aplicable el principio expuesto en el párrafo anterior, con las par-ticularidades derivadas de cada posición espacial.

2.3 Representación del plano

En los sistemas axonométricos, el plano queda determinado a través de sus intersecciones o trazas con las caras del triedro de referencia; cuando estas trazas son propias, se cortan dos a dos sobre las proyecciones de los ejes, definiendo un triángulo al que llamamos triángulo de trazas (Fig. 8). En la figura 9, determinamos la trazas de un plano del que conocemos dos de sus rectas que se cortan en un puntoI: la rectar, de la que conocemos su proyecciónr’, y la rectas - s’. Las trazas del planoα, definido por las dos rectas, unirán las trazas homónimas de éstas. Con los datos de las dos

rec-Fig. 7

Fig. 8

tas, determinamos sus trazasHryV2r, yHsyV2s; la unión de las dos trazas

horizontales nos define la traza horizontalH_αdel plano y, del mismo modo, la unión de las dos verticales nos define la trazaV2α. Conocidas dos de las

trazas, la tercera,V_1α, viene determinada por la unión de los puntos donde las otras dos cortan los ejes.

De la figura anterior deducimos la condición que ha de cumplir una recta para pertenecer a un plano: sus trazas han de estar situadas sobre las tra-zas del plano. De forma similar, un punto pertenecerá a un plano cuando esté situado sobre una de las rectas del plano y tendrá, por tanto, sus pro-yecciones sobre las homónimas de la recta (puntoIde la figura 9).

3 TRAZAS DE UN PLANO

En las figuras anteriores, 8 y 9, hemos representado las trazas de un plano

αcon las caras del triedro de referencia en dos posiciones particulares de dicho plano. Veamos otras trazas importantes de un plano cualquiera o del plano del cuadro.

3.1 Con las caras del triedro de referencia

Si el plano del cuadro pasa por el vértice del triedro trirrectángulo, su inter-sección con las caras de éste son tres rectas que pasan por dicho vérticeO

(Fig. 10). El ejeZes perpendicular a la cara XOYy, por tanto, a todas las rectas de dicho plano, incluida su intersección3con el plano del cuadro.

Por el teorema de las tres perpendiculares, el ejeZy la traza₃serán per-pendiculares en sus proyecciones sobre el plano del cuadro. Aplicando simi-lar razonamiento, determinamos las trazas₁y₂.

3.2 Traza ordinaria de un plano

En un plano cualquiera, además de sus trazas con las caras del triedro, podemos considerar una cuarta traza: su intersección con el plano del cua-dro o de proyección. Esta traza recibe el nombre de traza ordinaria del planoy se utiliza como charnela al realizar el abatimiento de un plano cual-quiera sobre el del cuadro.

La traza₁(Fig. 11), es la intersección del planoYOZcon un plano del cua-dro que pasa por el origen.V1αes la intersección de un planoαcon la cara

YOZdel triedro de referencia; las rectas₁yV_1αson coplanarias (ambas se hallan en la caraYOZ) y su punto común2de intersección es un punto que pertenece simultáneamente al planoαy al del cuadro, por lo que per-tenece a la traza ordinaria de dicho plano. Un segundo punto1, determi-nado de forma similar a la utilizada para hallar el punto 2, nos permite representar la traza ordinariaα0del plano.

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Fig. 10

En un caso más general en que el plano del cuadro no pase por el origen, además de las trazas del plano tendremos, sobre la misma representación (Fig. 12), el triángulo ABC de las trazas; las intersecciones entre trazas coplanarias nos determinan puntos de la traza ordinaria del planoα. Así,

AByH_αse cortan en el punto1 perteneciente a la traza buscada.

4 DETERMINACIÓN DE INTERSECCIONES

Uno de los problemas más habituales planteados en cualquier sistema de representación es la determinación de intersecciones. Mediante procedi-mientos muy similares a los utilizados en el sistema diédrico, veamos cómo determinar algunas de las intersecciones más frecuentes en el sistema axo-nométrico.

4.1 De dos planos cualesquiera

Para encontrar las proyecciones axonométricas de la recta intersección de dos planos cualesquiera, nos basta con determinar dos de sus puntos. Las trazas de los planosαyβ(Fig. 13), se cortan en los puntosAyB, que per-tenecen a la rectaicomún a ambos planos; estos puntos son las intersec-ciones entre las trazas homónimas de ambos planos,V1αconV1βyV2α con

V_2β. Obtenida la proyección directaide la recta intersección, referimos las proyecciones de los puntosA yB a los ejes para determinar las restantes proyeccionesi',i''e i'''de la recta buscada.

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Fig. 12

En la figura 14 hemos resuelto la intersección entre dos planos, uno obli-cuo y el otro paralelo a la caraXOZ; este último es perpendicular a las otras dos caras, por lo que será proyectante respecto a ellas y sus trazasH_βyV1β

contendrán a las proyeccionesi'ei''de la recta de intersección. La proyec-ción directa de la rectaila determinamos como en el caso anterior.

4.2 Entre recta y plano

Para encontrar el punto de intersección entre una rectar – r'y un plano dado por sus trazas con las caras del triedro (Fig. 15), trazamos un plano auxiliar que contenga a la recta; en el ejemplo de la figura se ha utilizado uno de los planos proyectantes de la recta. La intersección entre las trazas de ambos planos nos permite determinar la proyección directaide su recta de intersección; la intersección entrereies el puntoIbuscado, en que la rectarincide con el planoαy que, considerando opaco al plano, separa las partes vista y oculta de la recta.

4.3 Entre dos superficies o sólidos

Como en el sistema diédrico, suele resolverse utilizando planos auxiliares secantes que pasan por los vértices de uno de los cuerpos; estos planos cor-tan a ambos en intersecciones que, finalmente, determinan puntos de la intersección buscada.

Busquemos la intersección entre el paralelepípedo y la pirámide de la figu-ra 16; ambos cuerpos tienen sus bases apoyadas en el planoXOY. Por la proyecciónV' del vértice de la pirámide, hacemos pasar planos auxiliares verticales que, pasando por cada uno de los vértices de su base, cortarán al paralelepípedo según generatrices verticales. Los

pla-nos auxiliares H_α y H_β nos permiten encontrar los puntosAyBcomunes a ambos cuerpos; cada uno de ellos, unido con los puntos directos de intersección entre sus bases, C, D y E, F, definen las secciones comunesACDyBEF.

El tercer plano auxiliar,Hγ, corta la base del paralele-pípedo en dos puntos que, referidos a la cara superior, nos ayudan a encontrar el puntoG, perteneciente a la intersección de la pirámide con la cara superior del otro poliedro. Para completar la secciónGHI, tenemos en cuenta que las secciones de dos planos paralelos sobre un mismo cuerpo son paralelas; por tanto, cada uno de los lados del triángulo GHI será paralelo al correspondiente de la base de la pirámide.

Axonometría ortogonal y oblicua CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD

Fig. 14

Fig. 15

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5 DETERMINACIÓN DE VERDADERAS MAGNITUDES

El abatimiento de un plano, respecto a su intersección con el plano del cua-dro, es la forma habitual de tener a éste y a los elementos que contiene en verdadera magnitud.

5.1 Determinación de la cota de un punto

Antes de realizar el abatimiento de un plano, y para utilizar el procedimien-to habitual que conocemos del sistema diédrico, determinamos la cota o altura de un puntoPrespecto a un plano del cuadro que suponemos pasa por el origenO(Fig. 17).

Por las proyecciones del puntoP – P', trazamos la horizontalh – h'y por sus trazas V1yV2, trazamos las trazas de un planoα paralelo al del

cua-dro que, lógicamente, contiene el puntoP; cada una de las trazas de este plano α es perpendicular a la correspondiente proyección de los ejes. El segmento MONes un triángulo rectángulo visto de perfil, de hipotenusa

MN en verdadera magnitud y catetosMOyNO. Respecto aMN, pode-mos abatir el anterior triángulo sobre el planoα, obteniendo el triángulo rectánguloMO0N. El segmentoOO0es la altura de este triángulo en

rela-ción a su hipotenusa, valor que coincide con la distancia entre el plano del cuadro y el planoαy, además, con la alturazdel puntoPrespecto al plano del cuadro.

5.2 Abatimiento de un plano

El abatimiento de un plano respecto al plano del cuadro toma como char-nela la traza ordinaria,α0, de dicho plano. Así, el proceso seguido para

aba-tir el planoαde la figura 18 ha sido el siguiente:

200

Fig. 17

• Determinamos la traza ordinariaα₀del plano, tal como realizamos en 3.2.

• Consideramos el puntoA – A'en que el plano corta al ejeXy deter-minamos su alturazrespecto al plano del cuadro que pasa por el ori-gen y, en relación al cual, realizaremos el abatimiento; procedimiento que acabamos de aplicar en 5.1

• PorA – A' trazamos la paralela y la perpendicular a la charnela del abatimiento, trazaα0, llevando la alturazdel puntoAsobre la

prime-ra de ellas.

• El punto de corte de la perpendicular anterior con la charnela del aba-timiento es el centro de un arco, que nos sitúa sobre dicha perpendi-cular la posición abatida,A0, del puntoA.

• ProlongamosV_α2hasta cortar aα₀en un punto doble del abatimien-to que, unido conA0, nos permite determinar la traza(Vα2)0y sobre

ella,B₀.

• La posición abatida de las otras dos trazas del plano pasa porA0yB0,

y por los puntos dobles en que dichas trazas inciden en la charnelaα₀. Como ocurría en el sistema diédrico, existe también una relación de afini-dad entre la proyección directa de una figura y su correspondiente abati-miento. El eje de esta afinidad es la charnela del abatimiento y su dirección, la perpendicular a la charnela. Conocidos una pareja de puntos afines, la relación de afinidad facilita la determinación de una figura abatida y en ver-dadera magnitud.

6 FORMAS DE DEFINIR UN SISTEMA AXONOMÉTRICO

Utilizar un sistema de perspectiva axonométrica significa hacer dibujos en tres dimensiones según tres direcciones fijas, las de los tres ejes, midiendo sobre ellas según escalas distintas dependiendo del tipo de axonometría, lógicamente. Las direcciones o longitudes no paralelas a los tres ejes se determinan por coordenadas.

Veamos las formas más habituales de presentar los datos necesarios para poder realizar un dibujo tridimensional en alguno de los tipos de perspec-tiva axonométrica:

• Conocidas las proyecciones axonométricas de los tres ejes de coordenadas sobre el plano del cuadro

Cuando se trata de ternas normalizadas (isométrica, Din5 o alguna de las ternas de perspectiva caballera), junto a las proyecciones de los ejes suele indicarse el coeficiente de reducción a utilizar en la dirección de cada uno de ellos. En el caso de una terna trimétrica, a partir de las proyecciones de los ejes, deberemos determinar las escalas axonométricas o coeficientes de reducción a utilizar para cada uno de ellos.

A partir de la ternaXYZde la figura 19, construimos uno de los triángulos de las trazas correspondiente a dicha terna, trazando cada uno de sus lados perpendicular a la proyección del eje opuesto: así, ABes perpendicular al ejeZy el ladoBC, a la dirección del ejeX, etc.

Para encontrar las escalas axonométricas, buscamos primero los ángulos de pendienteα,βyγ, para lo cual realizamos el abatimiento de los triángulos rectángulosAO'D,BO''EyCO'''F respecto a sus respectivas hipotenusas, que coinciden con las alturasAD,BEyCFdel triángulo de las trazas. En la figura 20, hemos determinado la escala axonométrica correspondien-te al ejeX. Sobre la semirrectaMN, llevamos la escala natural y las magni-tudes reales. Una segunda semirrecta, con origen común en el puntoMy formando con la anterior el ángulo de pendiente α, nos permite obtener magnitudes reducidas trazando perpendiculares desde los puntos corres-pondientes de la primera semirrecta MN. De forma similar, obtendríamos escalas gráficas para medir magnitudes con la reducción correspondiente a cada uno de los otros dos ejes.

• Dada la posición del plano del cuadro a través del triángulo de las trazas

A partir del triángulo de las trazasABCde la figura 21, podemos determi-nar las proyecciones de los ejes; para ello basta trazar las alturas de dicho triángulo. Conocidas las proyecciones de los ejes, determinaremos las esca-las axonométricas como en el caso anterior.

202

Fig. 19

Fig. 20

UNIDAD APLICACIONES PRÁCTICAS

Axonometría ortogonal y oblicua

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1 PASO DE DIÉDRICO A AXONOMÉTRICO

La información para representar un sólido en perspectiva axonométrica suele provenir de las proyecciones diédricas de dicho cuerpo, planta y alzado, normalmente. En los próximos subapartados veremos la forma de construir esta perspectiva, en cualquiera de las modalidades de axonome-tría, como intersección de las proyecciones dadas del sólido.

1.1 Abatimiento de las caras del triedro

En un sistema trimétrico, conocidos los ejes, habremos de determinar los ángulos de pendiente para poder construir las escalas axonométricas; éstas nos permitirán aplicar las reducciones correspondientes a las me-didas en la dirección de cada uno de los ejes, tal como hemos visto en el apartado 6.

Representamos los ejes y uno de los triángulos de trazasABC correspon-dientes (Fig. 22). Al abatir sobre el plano del cuadro la caraAOBdel trie-dro, ésta quedará en verdadera magnitud y, en ella, las proyecciones aba-tidas de los ejesX₀eY₀. Sobre este abatimiento, dibujamos la planta del sólido en verdadera magnitud y, al desabatir, la obtendremos en perspec-tiva, con sus magnitudes afectadas de la reducción correspondiente. Entre ambas plantas existe una relación de afinidad que tiene por eje la charne-laAB del abatimiento, pero que nos produce una planta en perspectiva invertida respecto a la de en verdadera magnitud.

204

El inconveniente de la planta invertida se soluciona realizando el abati-miento en sentido contrario; para evitar que coincidan ambas proyeccio-nes, desplazamos el abatimiento tal como hemos realizado en la figura 23, mediante las siguientes operaciones:

• Trazamos el eje del abatimiento, perpendicular al ejeZ y por cual-quier punto de éste.

• Sobre el eje, situamos los puntosAy B de intersección de los ejes axonométricos con el del abatimiento.

• El vértice abatido O0’ es el punto de intersección del ejeZ con la

semicircunferencia de diámetroAB(arco capaz de 90º).

• La unión deO0’conAyBnos define la posición de los dos ejes

aba-tidos y, lógicamente, ortogonales entre sí.

De forma similar a la que acabamos de describir, en la figura 24 reali-zamos el abatimiento de la cara verticalXOZrespecto a un ejeAC perpen-dicular al ejeY.

Con el abatimiento de dos caras,XOYyXOZ, sobre una misma figura, la 25, debemos comprobar que ambos abatimientos se corresponden. Para ello tomamos un puntoPdel eje común y lo situamos, en cada uno de los abatimientos, a igual distancia deO₀’y deO₀’’. Con paralelas a los otros ejes, realizamos el desabatimiento, que debe coincidir en un único punto del ejeX; de no ser así, alguno de los abatimientos está mal realizado o los errores de precisión en el trazado son excesivos.

Fig. 23

1.2 Perspectiva por intersección de proyecciones

En esta aplicación práctica, situaremos en perspectiva axonométrica el sóli-do, dado por sus proyecciones diédricas, de la figura 26. Para ello realiza-mos el abatimiento de las caras correspondientes a las vistas dadas (plano

XOYpara la planta yXOZpara el alzado), desplazando ambos abatimien-tos para poder controlar, espacialmente, la posición en que nos quedará el sólido en perspectiva.

Sobre las caras abatidas (Fig. 27), representamos las vistas dadas en verda-dera magnitud, orientadas en correspondencia diédrica y a la misma dis-tanciadrespecto al tercer plano de proyección. Mediante paralelas al eje

Z, para los vértices de la planta, y al ejeY, para los vértices de la caraXOZ, proyectamos los diferentes vértices del sólido: sus intersecciones respecti-vas serán puntos de su representación en perspectiva. Las aristas ocultas, o la parte oculta de las mismas, no se representan para obtener una pers-pectiva en la que la pieza se aprecie con mayor claridad.

UNIDAD APLICACIONES PRÁCTICAS

Axonometría ortogonal y oblicua

Fig. 26

Fig. 27

2 REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS

2.1 Cuerpos poliédricos

Representamos en perspectiva isométrica el sólido poliédrico de la figu-ra 28. Está formado por dos cuerpos, prismático el de la base y pifigu-rami- pirami-dal el superior, cuya intersección deberemos determinar. El conjunto pre-senta simetría respecto al eje vertical.

Volvemos al procedimiento ya utilizado en Dibujo técnico 1, al resolver perspectivas axonométricas, de representar primero la planta de acuerdo a la terna propuesta y con la reducción correspondiente a la misma. Así lo hemos realizado en la figura 29, sin aplicar reducciones por tratarse de una isometría y con las medidas tomadas directamente de las vistas diédricas. A la proyección horizontal de la pirámide superior, le hemos circunscrito un cuadrilátero para situar más fácilmente sus diferentes vértices.

Con la base del sólido ya en perspectiva, levantamos paralelas al ejeZpor sus diferentes vértices, sobre las que mediremos las alturas tomadas de la proyección vertical. La unión de los diferentes vértices, únicamente en las aristas vistas, completa el trazado de la perspectiva (Fig. 30).

206

Fig. 30 Fig. 28

Por el mismo procedimiento, representamos otro sólido polié-drico en perspectiva dimétrica, según la terna normalizada

Din5 que acompaña a las vistas del sólido (Fig. 31). Sobre la terna indicamos el coeficiente de reducción a aplicar, en la dirección de cada uno de los ejes, respecto a las medidas toma-das directamente de las vistas; respecto a éstas, y para mayor claridad, la representación se ha hecho a escala 2:1.

Como en el sólido anterior, empezamos por representar la planta cuadrangular, con sus lados paralelos a las direcciones de los ejesXeY. Trasladando las alturas a los diferentes vérti-ces de la planta, resolvemos las intersecciones entre planos y entre los diferentes cuerpos de la pieza, hasta llegar, con repre-sentación de las aristas vistas únicamente, a la pieza represen-tada en la figura 32.

2.2 Cuerpos de revolución

En la figura 33 indicamos las vistas, planta y alzado, de un cilindro de revo-lución, que representamos a continuación en perspectiva isométrica. Por el centro de la base (Fig. 34), trazamos los ejes paralelos aXeY, llevando sobre ellos el radio de la base del cilindro; de esta forma determinamos el romboide circunscrito a la elipse que, en perspectiva axonométrica, corres-ponde a la proyección de la circunferencia. Para el trazado de la elipse, en relación a uno de los lados del romboide circunscrito, construimos una semicircunferencia auxiliar, cuyos puntos referimos a los de la elipse. La base superior del cilindro se traza trasladando los puntos de la inferior, paralelamente al ejeZ, una distancia igual a su altura. Conocidas ambas bases, las tangentes comunes paralelas al ejeZcompletan el contorno apa-rente del cilindro.

UNIDAD APLICACIONES PRÁCTICAS

Axonometría ortogonal y oblicua

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Fig. 32

Fig. 33

Fig. 34 Fig. 31

3 EL DIBUJO EN PERSPECTIVA COMO PARTE DEL PROYECTO

Las representaciones en perspectiva ofrecen, de forma inmediata, una descripción completa del volumen del objeto representado; por ello y por su fácil trazado, las perspectivas isométricas se utilizan para ilustrar catálogos o folletos destinados al público en general, que carece de una formación específica en dibujo técnico. Uno de estos campos es el dibu-jo arquitectónico en el que se utilizan estas representaciones para des-cribir mejor, por ejemplo, las diferentes plantas de una construcción, tal como vemos en las representaciones de la figura 35.

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UNIDAD

CUESTIONES Y EJERCICIOS

Axonometría ortogonal y oblicua

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Elementos simples en axonometria 1.Determinar, en perspectiva isométrica, las

trazas del plano que definen los puntos

A(5, 7, 9),B(8, 3, 5) yC(11, 7, 0).

2.Determinar la traza ordinaria del planoα representado en la figura 36.

3.Determinar la recta de intersección entre los planos de la figura 37.

4.Determinar la intersección entre la recta y el plano de la figura 38.

Representación de cuerpos 5.Representar el sólido poliédrico de la

figura 39, a escala doble de la indicada en las vistas y mediante la terna Din5 indicada.

6.Representar en perspectiva isométrica el conjunto indicado en el croquis de la figura 40, a escala doble respecto a las vistas dadas. Elegir la orientación del conjunto para que quede descrito de la forma más explícita posible.

7.Representar en perspectiva isométrica los sólidos indicados en las figuras 41 y 42, a escala doble de las magnitudes repre-sentadas. Fig. 36 Fig. 39 Fig. 40 Fig. 41 Fig. 37 Fig. 38 Fig. 42

8.Representar el cuerpo dado en proyeccio-nes diédricas en la figura 43, en un siste-ma axonométrico ortogonalZOX= 120º yZOY= 105º. Utilizar el procedimiento de intersección de proyecciones.

9.A escala doble respecto a las vistas dadas, figura 44, representar el sólido dado según la terna normalizada Din5.

10.Representar el sólido dado por sus proyecciones diédricas en la figura 45, mediante una perspectiva isométrica y a escala 2:1 respecto a los valores indica-dos en las vistas.

11.A escala doble respecto a las vistas dadas, figura 46, representar el sólido dado según la terna normalizada Din5.

210

Más actividades en el CD

Contenidos básicos de la unidad en formato hipermedia, en el CD.

Fig. 43

Fig. 44

Fig. 45

Fig. 46

La felicidad no está en la ciencia, sino en la adquisición

de la ciencia.