TEMA 1 MATRICES. Si se trata de una matriz rectangular con cuatro filas y una columna.

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TEMA 1 MATRICES

1.1 Concepto de matriz.Tablas y grafos.

Es un ejemplo de matriz 1 2 3 4 1 2 9 5 1 2 9 6 1 2 9 7 1 2 8 8 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a51 a52 a53 a54 A

Se trata de una matriz rectangular de cinco filas y cuatro columnas por lo que se dice que tiene dimensión

5x4

Con la notaciónaij la "i" indica la fila y la "j" indica la columna. En nuestro caso, la i puede tomar valores

entre 1 y 5; mientras que la j toma valores entre 1 y 4.

Ejemplos de matrices

Dados los siguientes elementos matemáticos, determina si son matrices:

1. 3x3 5x2 11x 10

Esto no es una matriz dado que no tengo números reales ordenados en filas y columnas. Es un polinomio de tercer grado.

2 2, 3, 5, 6Esto no es una matriz dado que no tengo números reales ordenados en filas y columnas. 3 A 2 3 3 2

Si se trata de una matriz rectangular con cuatro filas y una columna.

Su dimensión sería4x1. Se trata de una matriz columna.

4 B

2 3

5 4

6 7

Si se trata de una matriz rectangular con tres filas y dos columnas.

Su dimensión sería3x2

A partir de esta matriz, vamos a calcular algunos de sus elementos:

b11 2 b12 3 b21 5 b22 4 b31 6 b32 7 Es decir;B bij donde 1 i 3 1 j 2 4 C 1 2 3 2 4 3 2 6 6

Si se trata de una matriz con tres filas y tres columnas.

Su dimensión sería3x3. Pero en este caso se habla de una matriz cuadrada de orden 3. Los elementos de la diagonal principal serían 1, 4, 6 c11, c22, c33 .

Los elementos de la diagonal secundaria serían 3, 4, 2 c31, c22, c13

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números reales en matrices.

6 Determina el valor de x e y para que estas dos matrices sean iguales:

C 1 2 3 2 4 3 2 6 6 yD 1 1 0 0 0 y 1 1 x 0 1 0

Imposible pues no tienen la misma dimensión. C es una matriz cuadrada de orden 3 mientras que D es una matriz rectangular de dimensión 4x3.

7 Determina el valor de x e y para que estas dos matrices sean iguales:

C 1 2 3 2 4 3 2 6 6 yE 1 2 x 2 4 3 2 y 6

Ya estamos en condiciones de compararlas pues las dos son matrices cuadradas de orden 3.

Tendríamos que: x 3

y 6

8 Calcular las traspuestas de las siguientes matrices:

A 2 3 3 2 At 2 3 3 2

La traspuesta de una matriz rectangular de dimension4x1es una matriz rectangular de dimensión

1x4 B 2 3 5 4 6 7 Bt 2 5 6 3 4 7

La traspuesta de una matriz rectangular de dimension3x2es una matriz rectangular de dimensión

2x3 C 1 2 3 2 4 3 2 6 6 Ct 1 2 2 2 4 6 3 3 6

La matriz traspuesta de una matriz cuadrada sigue siendo una matriz cuadrada.

D 1 1 0 0 0 y 1 1 x 0 1 0 Dt 1 0 1 0 1 0 1 1 0 y x 0 Dt t 1 1 0 0 0 y 1 1 x 0 1 0 D

Es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz del principio. Tareas 18-09-2013: ejercicio 2 de la página 11

1.2 Tipos de matrices

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a)A1 1 2 3 4 5

es una matriz columna

b)A2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

es una matriz identidad de orden 5; es decir,A2 I I5

c)A3 1 2 3 4 5 0 1 8 7 6 0 0 1 9 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1

es una matriz triangular superior.

d)A4 1 2 3 4 5 es una matriz fila

e)A5 0 2 3 4 5 2 0 8 7 6 3 8 0 9 1 4 7 9 0 2 5 6 1 2 0

es una matriz antisimétrica o hemisimétrica

f)A6

0 0

0 0 es una matriz nula.

g)A7

2 0 0 0 2 0 0 0 2

es una matriz escalar.

h)A7

2 0 0

0 2 0

0 0 12

es una matriz diagonal.

i)A7

2 2 4

2 2 6

4 6 2

es una matriz simétrica.

1.3 Operaciones con matrices

1. Realiza las siguientes operaciones con matrices: a)A Bdonde tenemos que:

A 1 1 2 4 3 2 4 5 5 B 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12

No se pueden sumar pues no tienen la misma dimensión;Aes una matriz cuadrada de orden 3 yBes una matriz rectangular de dimensión3x4.

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b)A Cdonde tenemos que: C 2 3 4 1 9 3 8 0 7 A C 1 2 1 3 2 4 4 1 3 9 2 3 4 8 5 0 5 7 1 2 2 5 12 1 4 5 2 c) B 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12

d)A Ddonde tenemos que:

D 2 3 4 1 9 3 8 0 7 A D 1 1 2 4 3 2 4 5 5 2 3 4 1 9 3 8 0 7 3 4 6 3 6 5 12 5 12 e) Calcula3B 3 B 3 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 3 1 3 2 3 3 3 4 3 2 3 4 3 6 3 8 3 3 3 6 3 9 3 12 3 6 9 12 6 12 18 24 9 18 27 36

Tareas 18-09-12: Ejercicios de la página 13

1.4 Producto de matrices

1. Realiza los siguientes productos de matrices.

A 1 1 2 2 3 3 B 1 3 7 5

Se pideAB. La primera cuestión es ver si el producto se puede realizar. Para ello vemos cuáles son las dimensiones de las matrices:

La matriz A es rectangular de dimensión3x2

La matriz B es cuadrada de orden2( rectangular de dimensión2x2

Como el número de columnas de A es igual al número de filas de B se puede hacer el productoAB. Pero no se podría hacer el productoBApues no se cumple que el número de columnas de B (2) sea igual al número de filas de A (3).

Vamos a calcular el productoAB A B

1 1 2 2 3 3 1 3 7 5 1 1 1 7 1 3 1 5 2 1 2 7 2 3 2 5 3 1 3 7 3 3 3 5 8 2 16 4 24 6

La matriz producto tiene dimensión3x2

A 1 1 2 2 3 3 C 1 3 1 5 7 5 4 6

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Sin embargo, no se puede hacer CA pues el número de columnas de C (4) es distinto del número de filas de A (3). CalculamosAC 1 1 2 2 3 3 1 3 1 5 7 5 4 6 8 2 5 1 16 4 10 2 24 6 15 3

La matriz producto tiene dimensión3x4

Tareas del 20-09-12: página 15, ejercicios 5, 6 y 7.

1.5 Matriz inversa

1. Calcula la matriz inversa deA

1 1

2 2

3 3

Imposible!!!! A no es una matriz cuadrada.

2 Calcula la matriz inversa deB 1 3 7 5

Si se puede hacer pues B es una matriz cuadrada de orden 2.

Supongamos que la matriz inversa esB 1 x y

z t donde son variables desconocidasx, y, t, z.

Pero sabemos que se ha de cumplir que:

B B 1 I 2 1 3 7 5 x y z t 1 0 0 1 x 3z 3t y 5z 7x 5t 7y 1 0 0 1 x 3z 1 3t y 0 5z 7x 0 5t 7y 1

Es decir, sacamos dos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

x 3z 1

5z 7x 0

En la segunda ecuación desdejo x en función de z:x 5z 7

Sustituimos este valor de x en la otra ecuación:

5z 7 3z 1 5z 7 21z 7 1 26z 7 1 z 7 26

Sustituimos este valor de z para hallar x:

x 5 7 267 265 Concluimos que: x, z 5 26, 726 3t y 0 5t 7y 1

De igual manera se llega a que: t 261 , y 263

Finalmente:B 1 5 26 3 26 7 26 1 26

Tareas 23-09-12: ejercicio 8 de la página 16

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9 Calcula X de forma queAX B C, siendo: A 1 3 2 5 B 2 4 2 3 C 0 2 4 6 1 3 2 5 X 2 4 2 3 0 2 4 6 1 3 2 5 X 0 2 4 6 2 4 2 3 1 3 2 5 X 2 6 2 3 1 3 2 5 1 1 3 2 5 X 1 3 2 5 1 2 6 2 3 I X 1 3 2 5 1 2 6 2 3 X 1 3 2 5 1 2 6 2 3

Se calcula la matriz inversa igual que en el ejemplo anterior y nos da:

1 3 2 5 1 5 3 2 1 Para terminarX 5 3 2 1 2 6 2 3 16 39 6 15

1.6 Dependencia lineal de filas y columnas. Rango de una matriz.

Ejemplo

Estudia la relación de depencia en las siguiente matrices:

A 1 2 3 2 4 6 3 2 5 2 0 2 1 2 1

La segunda fila depende linealmente de la primera, pues la primera fila multiplicada por 2 me da la segunda.

Es decir: 2 4 6 2 1 2 3

La cuarta fila depende linealmente de la primera y la tercera, pues la suma de las dos me da la cuarta. Es decir: 2 0 2 1 2 3 3 2 5

La quinta fila depende linealmente de la primera y la tercera, pues es la suma de la primera por 2 con la tercera.

Es decir: 1 2 1 2 1 2 3 3 2 5

Si quitamos las filas que son linealmente dependientes de las demás nos quedamos con la matriz

1 2 3

3 2 5 que es rectangular de dimensión2x3. De los dos números nos quedamos con el menor

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Hemos descubierto que hay tres filas que dependen linealmente de las otras dos, que son linealmente independientes. Si mirasemos por columnas, también veríamos que hay dos de ellas que hacen que la tercera dependa linealmente de ellas (la tercera es suma de las dos primeras)

Tareas 23-09-12: todos los ejercicios de la página 17

1.7 Método de Gauss. Aplicación al cálculo del rango

Ejemplo

Vamos a aplicar el método de Gauss para calcular el rango de la matriz A del apartado anterior:

A 1 2 3 2 4 6 3 2 5 2 0 2 1 2 1

Se ve claramente que la segunda fila es el doble de la primera por lo que la suprimo:

A

1 2 3

3 2 5

2 0 2

1 2 1

El segundo paso es sumar la primera fila a la cuarta, para poner el resultado en la cuarta fila:

1 2 3 1 2 1 0 4 4 Me queda la matrizA 1 2 3 3 2 5 2 0 2 0 4 4

Puedo conseguir más ceros en la primera columna haciendo las siguientes operaciones:

3 1 2 3 3 2 5 0 4 4

Es decir, la primera fila multiplicada por tres se la sumo a la segunda.

2 1 2 3 2 0 2 0 4 4

Es decir, la primera fila multiplicada por dos se la sumo a la tercera.

La matriz que me queda esA

1 2 3 0 4 4 0 4 4 0 4 4

Ahora suprimimos dos de las tres filas que son iguales para darnos:

A 1 2 3

0 4 4

Es una matriz de dimensión2x3, por lo que surg A 2

Tareas 24-09-13 todos los ejercicios de la página 18

1.8 Cálculo de la matriz inversa por el Método de Gauss-Jordan

Ejemplo

Calcula la inversa de la matrizB 1 3 7 5

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Ya sabemos queB 1 5 26 3 26 7 26 1 26 Comprobación; 5 26 3 26 7 26 1 26 1 3 7 5 1 0 0 1 Partimos de 1 3 7 5 1 0

0 1 que por comodidad expreso

1 3 1 0

7 5 0 1 .

En un primer momento, multiplico la primera fila por 7 y se la sumo a la segunda:

7 1 3 1 0 7 5 0 1 0 26 7 1

Por lo que ahora nos queda la matriz 1 3 1 0

0 26 7 1

Por necesidad, dividimos toda la segunda fila entre 26, para obtener:

1 3 1 0 0 26 26 267 261 1 3 1 0 0 1 7 26 1 26

Ahora a la primera fila le restamos el triple de la segunda:

1 3 1 0 3 0 1 7 26 1 26 1 0 5 26 3 26

Por lo que nos queda la matriz

1 0 5 26 3 26 0 1 7 26 1 26 La matriz inversa esB 1 5 26 3 26 7 26 1 26

Tareas 24-09-13: todos los ejercicios de la página19

1.9 Aplicaciones a las Ciencias Sociales

Leer los ejemplos de las páginas 20 y 21.

Tareas 25-09-2013: todos los ejercicios de la página 21

Ejercicios finales de la unidad

19 Dada la matriz A 1 5 2 4 2 2 5 1 1 3 5 0 4 1 3 3 2 3 a) Indica su dimensión: Su dimensión es3x6

b) Indica los elementos que forman su cuarta columna:

4 3 3

c) Indica los elementos que forman su tercera fila

4 1 3 3 2 3

d) Indica el valor de los siguientes elementos:

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a32 1

a23 1

a45 no existe

e) ¿Cómo designas la ubicación de los elementos cuyo valor es -5 y 0?

a12 5

a26 0

20 Escribe una matriz cuadrada B de orden 3 tal que todos sus elementos verifiquen que

bij 2i 3j 1 B b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 2 1 3 1 1 2 1 3 2 1 2 1 3 3 1 2 2 3 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 1 2 3 3 2 1 2 3 3 3 1 0 3 6 2 1 4 4 1 2

Basta ir dandole a la i y la j los valores del 1 al 3 Tareas 25-09-2013: 21

23 Calcula el valor de las letras a, b y c para que las matrices A y B sean iguales.

A a b 2a 3b 4a 5b a2 a c b 2c c2 2a b a b c 2a 3c b2 c2 a B 0 0 0 1 2 1 1 3 1

Como tenemos dos matrices cuadradas de orden 3, serán iguales si los elementos que ocupan las mismas posiciones son iguales:

a b 2a 3b 4a 5b a2 a c b 2c c2 2a b a b c 2a 3c b2 c2 a 0 0 0 1 2 1 1 3 1 a b 0 2a 3b 0 4a 5b 0 a2 a c 1 b 2c 2 c2 2a b 1 a b c 1 2a 3c 3 b2 c2 a 1 Tenemos que a b 0 a b c 1 c 1 Tenemos que b 2c 2 c 1 b 2 1 2 c 1 b 2 2 b 2 2 0 Tenemos que a b 0 b 0 a 0

Repasando las condiciones para a, b y c vemos que se cumplen todas por lo tanto la solución es:

a b c 0 0 1

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a) Primero creo la siguiente tabla A B C

A 1 1 1 B 1 0 0 C 0 1 1

Por lo tanto la matriz de adyacencia será:

A

1 1 1 1 0 0 0 1 1

Tareas 25-09-12: todos los ejercicios que faltan del 24 Tareas 25-09-12: 25, 26, 27, 28

29 Dadas las matrices:

A 1 3 2 4 0

2 3 1 1 4 B 1 2 1 0 4

Calcula ABt t BAt

Vamos a ir a paso a paso:

ABt t Bt tAt BAt At 1 2 3 3 2 1 4 1 0 4 BAt 1 2 1 0 4 1 2 3 3 2 1 4 1 0 4 9 19

La matriz B tiene dimensión1x5, mientras que la matrizAt tiene dimensión5x2entonces la

dimensión del producto será1x2 BAt

9 19

Finalmente ABt t BAt BAt BAt 2BAt 2

9 19 18 38

Otra forma de hacerlo sería:

Primero calculamosBt 1 2 1 0 4 ABt 1 3 2 4 0 2 3 1 1 4 1 2 1 0 4 9 19

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ABt t 9 19 At 1 2 3 3 2 1 4 1 0 4 BAt 1 2 1 0 4 1 2 3 3 2 1 4 1 0 4 9 19 ABt t BAt 9 19 9 19 18 38

30 Dadas las matrices

A 1 0 1 1 1 1 1 2 1 B 1 0 0 0 0 0 0 0 1 C 1 2 1 0 2 2 1 2 1 Calcula: a) ABC AB 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 AB C 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 0 2 2 1 2 1 0 4 2 2 0 0 2 0 0

Tareas 27-09-2013: todos los ejercicios que faltan del 30 31 Dadas las matrices siguientes:

A 0 0 0 1 0 0 1 2 0 I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Calcula: a) A I 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 b) A I 2 A I A I 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 0 0 2 1 0 0 4 1

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c) A I 3 A I 2 A I 1 0 0 2 1 0 0 4 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 0 0 3 1 0 3 6 1 d) A I 4 A I 3 A I 1 0 0 3 1 0 3 6 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 0 0 4 1 0 8 8 1

Otra forma de hacerlo sería: A I 4 A I 2 A I 2

1 0 0 2 1 0 0 4 1 1 0 0 2 1 0 0 4 1 1 0 0 4 1 0 8 8 1

32 Dadas las matrices:

A 2 1 0

3 2 3 B

1 1 0 2

2 1 2 1

0 2 2 0

Calcula, si es posible, la expresión de la matriz AB. ¿Se puede calcular BA?

Si se puede hacer AB pues el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

No se puede realizar BA pues el número de columnas de B es 4 mientras que el número de filas de A es 2.

Tareas 27-09-13; 34, 35

36 Calcula la matriz X para que verifique la ecuación matricial:

2X 3 2 1 2 3 3 1 0 3 1 2 5 1 0 3 4 0 2 3 6 1 2

Vamos a ir operando paso a paso:

3 1 0 3 1 3 0 9 3 2 5 1 0 3 4 0 2 3 6 1 2 16 32 5 26 2X 3 2 1 2 3 3 0 9 3 16 32 5 26 2 1 2 3 3 0 9 3 1 1 11 6 2X 3 1 1 11 6 16 32 5 26

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2X 3 1 1 11 6 16 32 5 26 3 1 1 11 6 16 32 5 26 3 3 33 18 16 32 5 26 13 29 38 44 2X 13 29 38 44 X 1 2 13 29 38 44 13 2 29 2 19 22 Tareas 30-09-2013:37,39 38 Resuelve el sistema 3X 2Y A X 3Y B , siendo A 5 4 6 2 10 12 B 2 5 9 3 4 4

A fin de cuentas tenemos un sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, por lo que podemos resolverlo de cuatro formas posibles. En este, indudablemente no tiene sentido resolverlo gráficamente. Usaremos el método de reducción.

Multiplicamos la segunda ecuación por tres:

3X 2Y A

3 X 3Y B

3X 2Y A

3X 9Y 3B

Sumando en columna me queda:11Y A 3B Y 1

11 A 3B 1 11 5 4 6 2 10 12 3 2 5 9 3 4 4 1 11 11 11 33 11 22 0 1 1 3 1 2 0

Sustituimos este valor de Y en una de las dos ecuaciones para hallar X:

X 3Y B 3Y B X X 3 1 1 3 1 2 0 2 5 9 3 4 4 1 2 0 0 2 4 Tareas 30-09-2013: 40,41

42 Aplicando directamente la definición, calcula la matriz inversa de

A

1 0 1

2 1 0

2 0 1

Como la matriz de partida es cuadrada de orden 3, su inversa también será cuadrada de orden 3.

Tenemos que encontrar A 1

x y z t u v p r s

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Sabemos que: A A 1 I 3 1 0 1 2 1 0 2 0 1 x y z t u v p r s 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x p y r z s 2x t 2y u 2z v 2x p 2y r 2z s 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Dos matrices son iguales cuando los mismos números ocupan las mismas posiciones:

x p 1 y r 0 z s 0 2x t 0 2y u 1 2z v 0 2x p 0 2y r 0 2z s 1 , Solution is: p 2, r 0, s 1, t 2, u 1, v 2, x 1, y 0, z 1 Tenemos que: x p 1 2x p 0

Restando en columna nos queda:x 2x p p 1 0 x 1 x 1

Sustituimos este valor de x para hallar p: 1 p 1 p 1 1 p 2

p 2

Tenemos que: y r 0

2y r 0 , Solution is: r 0, y 0

Procediendo de manera análoga se obtendría que:

p 2, r 0, s 1, t 2, u 1, v 2, x 1, y 0, z 1 Concluimos que: A 1 1 0 1 2 1 2 2 0 1

43 Aplicando el método de Gauss, calcula las inversas de:

b) B 1 2

1 3

Vamos a trabajar con la siguiente matriz: 1 2 1 0

1 3 0 1 1

En esta matriz, vamos a cambiar la posición de 1 0

0 1 para situarla delante, operando con

las filas.

A la segunda fila le sumo la primera, y lo pongo donde la segunda fila:

1 3 0 1 1 2 1 0 0 1 1 1

1 1 2 1 0

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Dividimos la segunda fila entera por -1, y la ponemos en la segunda fila.

2 1 2 1 0

0 1 1 1 3

A la primera fila le quito el doble de la segunda para colocarlo en la primera fila:

1 2 1 0 2 0 1 1 1 1 0 3 2

3 1 0 3 2

0 1 1 1 4

Multiplicamos la primera fila por 1, y la ponemos en su lugar.

4 1 0 3 2 0 1 1 1 EntoncesB 1 3 2 1 1 Comprobación:B 1B 3 2 1 1 1 2 1 3 1 0 0 1

Tareas 30-09-2013: todos los ejercicios que faltan del 43; 44, 45

46 Aplicando el método de Gauss, calcula el rango de las siguientes matrices:

b) B

1 2 4

0 1 5

1 0 1

1

Vamos a permutar las filas segunda y tercera:

1

1 2 4

1 0 1

0 1 5

2

En la segunda fila vamos a poner la diferencia entre ella y la primera fila:

1 0 1 1 2 4 0 2 5 2 1 2 4 0 2 5 0 1 5 3

En la tercera fila vamos a poner la suma del doble de la tercera más la segunda:

2 0 1 5 0 2 5 0 0 15

3

1 2 4

0 2 5

0 0 15

Nos queda una matriz cuadrada de orden 3 donde no podemos hacer más ceros. Entonces

rg B 3

Otra forma de hacerlo:

A la tercera fila le quito la primera:

1 2 4 0 1 5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 4 1 2 4 0 1 5 0 2 5

(16)

1 2 4 0 1 5 0 2 5 2 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 4 0 1 5 0 0 15 Entoncesrg B 3

Tareas 01-10-12: todos los ejercicios que faltan del 46, 48, 49, 50, 51, 53 52 Halla la matriz X tal que A2X BX C, siendo:

A 1 2 1 1 B 1 2 0 1 C 0 12 2 4 A2X BX C A2 B X C A2 B 1 A2 B X A2 B 1C I X A2 B 1C X A2 B 1C Nota: a 1 1 a

Vamos a ir paso a paso, haciendo cálculos.

A2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 4 2 1 A2 B 1 4 2 1 1 2 0 1 0 6 2 0 A2 B 1 ?

Aplicamos el método de Gauss para calcular A2 B 1

0 6 1 0

2 0 0 1 1

Cambiamos las filas de orden:

1 2 0 0 1

0 6 1 0 2

Dividimos toda la primera fila entre -2; y dividimos toda la segunda fila entre 6.

2 1 0 0 1 2 0 1 1 6 0 Entonces A2 B 1 0 1 2 1 6 0 Comprobación: A2 B 1 A2 B 0 1 2 1 6 0 0 6 2 0 1 0 0 1 Para terminar: X 0 1 2 1 6 0 0 12 2 4 1 2 0 2

55 Se consideran las matrices:

A 1 1

2 2 B

a b 0 a

¿Qué condiciones deben verificar los números reales a y b para que A y B sean conmutables, es decir, para queAB BA?

AB BA 1 1 2 2 a b 0 a a b 0 a 1 1 2 2

(17)

a b a

2a 2a 2b

a 2b 2b a

2a 2a

Serán iguales cuando los elementos que ocupan la misma posición son iguales:

a a 2b

b a 2b a

2a 2a

2a 2b 2a

De la última ecuación tenemos:2a 2b 2a 2b 0 b 0

Basta sustituir este valor para hallar a: por lo tanto nos queda lo siguiente;

a a

a a

2a 2a

2a 2a

Esto todo se resume en quea a. Lo cual es cierto de siempre, por lo tanto a puede tomar cualquier valor.

La solución esB a 0

0 a donde a puede tomar cualquier valor. Es decir, B sería una matriz

escalar.

58 Estudia el rango de la matriz A según los diferentes valores de .

A

2 4 1 2

3 6 1 1

5 10 1 4

1

Aplicamos el método de Gauss para calcular el rango.

En la tercera fila vamos a poner el resultado de quitarle la primera y la segunda.

5 10 1 4 3 6 1 1 2 4 1 2 0 0 1 1 1 2 4 1 2 3 6 1 1 0 0 1 1 2

En la primera voy a colocar la diferencia entre la segunda y la primera:

3 6 1 1 2 4 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 3 6 1 1 0 0 1 1 3

A la segunda le voy a restar tres veces la primera y lo voy a colocar en la segunda.

3 6 1 1 3 1 2 0 1 0 0 1 4

3

1 2 0 1

0 0 1 4

0 0 1 1

Es una matriz rectangular de dimensión3 4, por lo que su rango varía entre 1 y 3. Las filas primera y segunda son linealmente independientes luego elrg A 2.

(18)

si 1 1 2 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 4

Que es una matriz rectangular de dimensión2 4cuyorg A 2

si 1

1 2 0 1

0 0 1 4

0 0 1 1

Ahorarg A 3, pues por la forma que tienen las filas de la matriz (las dos últimas filas tienen dos ceros al principio y sus dos últimas columnas no son proporcionales) nunca podré expresar la última fila como combinación lineal de las dos primeras.

Otra forma de hacerlo:

Como la segunda columna es proporcional a la primera (es el doble), la podemos eliminar:

A

2 1 2

3 1 1

5 1 4

A la tercera fila le quitamos la suma de las otras dos:

A 2 1 2 3 1 1 5 1 4 0 0 0 0 0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0 3 1 1 2 1 2 3 1 1 0 1 1

A la segunda columna le quitamos la tercera:

A 2 1 2 3 1 1 0 1 1 0 2 0 0 1 0 0 1 0 2 3 2 3 2 1 0 0 1

A la segunda fila le restamos la primera multiplicada por 3

2 : A 2 3 2 3 2 1 0 0 1 3 2 0 0 0 2 3 2 0 0 0 2 3 2 0 5 2 2 0 0 1

Hemos de distinguir en función de los valores de :

Si 1 0 1 Nos queda: A 2 3 2 0 5 2 2 0 0 0 rg A 2 Si 1 0 1 Nos queda: A 2 3 2 0 52 2 0 0 1 rg A 3

(19)

Tareas 02-10-12:54,56,57,60,63,65

64 Una partícula puede tomar una de las cuatro posiciones A, B, C o D.

A B C D

En cada instante cambia de posición con las siguientes condiciones: Si esta en A, se queda fija en ese lugar.

Si esta en D, se queda fija en ese lugar.

Si esta en B, pasa a A con una probabilidad 0.25, a C con una probabilidad 0.25 y se queda en B con probabilidad 0.5.

Si esta en C, pasa a B con una probabilidad 0.25, a D con una probabilidad 0.25 y se queda en C con probabilidad 0.5.

Escribe la matriz de transición del proceso estocástico y estudia el valor de sus potencias sucesivas. Interpreta el resultado.

La matriz de transición estará basada en la siguiente tabla:

A B C D

A 1 0 0 0

B 0.25 0.5 0.25 0 C 0 0.25 0.5 0.25

D 0 0 0 1

Esto se traduce en la siguiente matriz:

A

1 0 0 0

0. 25 0. 5 0. 25 0 0 0. 25 0. 5 0. 25

0 0 0 1

matriz de transición del proceso estocástico.

Hemos de calcular algunas potencias sucesivas para ver que es lo que va pasando:

A2 1 0 0 0 0. 25 0. 5 0. 25 0 0 0. 25 0. 5 0. 25 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0. 375 0. 312 5 0. 25 0. 062 5 0. 062 5 0. 25 0. 312 5 0. 375 0 0 0 1 A3 1 0 0 0 0. 25 0. 5 0. 25 0 0 0. 25 0. 5 0. 25 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0. 453 13 0. 218 75 0. 203 13 0. 125 0. 125 0. 203 13 0. 218 75 0. 453 13 0 0 0 1 A4 1 0 0 0 0. 25 0. 5 0. 25 0 0 0. 25 0. 5 0. 25 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0. 507 81 0. 160 16 0. 156 25 0. 175 78 0. 175 78 0. 156 25 0. 160 16 0. 507 81 0 0 0 1 A5 1 0 0 0 0. 25 0. 5 0. 25 0 0 0. 25 0. 5 0. 25 0 0 0 1 5 1 0 0 0 0. 547 85 0. 119 14 0. 118 16 0. 214 84 0. 214 84 0. 118 16 0. 119 14 0. 547 85 0 0 0 1

Se observa que la primera fila y la cuarta se mantiene constante; lo que nos dice, respectivamente, que si la partícula está en A (D) se queda en A(D).

Por otro lado, mirando la segunda fila, vemos que va aumentando progresivamente su primer valor. Esto se traduce en que si la partícula esta en B tiende cada vez más a quedar en A,

(20)

según pasa el tiempo.

Por último, si miramos la tercera fila, se ve que aumentan los valores primero y último. Esto se interpreta como que con el paso del tiempo la partícula si estaba en C se va a ir a A o D. El fin será que la partícula estará en A o D.

Figure

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