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10. PROBLEMAS RESUELTOS 10. PROBLEMAS RESUELTOS
Con el propósito de lograr una mejor comprensión de los conceptos tratados en los Con el propósito de lograr una mejor comprensión de los conceptos tratados en los capítulos anteriores, y de promover el hábil manejo de toda una serie de formulaciones capítulos anteriores, y de promover el hábil manejo de toda una serie de formulaciones deducidas a lo largo de este libro, se han seleccionado y resuelto los siguientes problemas deducidas a lo largo de este libro, se han seleccionado y resuelto los siguientes problemas ilustrativos.
ilustrativos.
Problema No. 1 Problema No. 1
Una bomba centrífuga para agua, que gira a 1000 rpm, tiene las siguientes especificaciones: Una bomba centrífuga para agua, que gira a 1000 rpm, tiene las siguientes especificaciones: D D11 = 180 mm; = 180 mm; 1 1 2 2 D D D D = 2; b
= 2; b11 = 30 mm; b = 30 mm; b22 = 20 mm; = 20 mm; 11= 20°;= 20°; 22 = = 30°. 30°. La entrada La entrada en losen los
álabes es radial;
álabes es radial; hh = 81%, = 81%, mm = 95%; = 95%; motor motor eléctrico eléctrico = 0.85. = 0.85. Las bridas de Las bridas de entrada y entrada y dede
salida se encuentran a
salida se encuentran a la misma cota. la misma cota. Diámetro de la Diámetro de la tubería de entrada y tubería de entrada y de la tubería dede la tubería de salida: 220 mm
salida: 220 mm y 200 y 200 mm, respectivamente. mm, respectivamente. El desnivel entre El desnivel entre el depósito de el depósito de aspiración,aspiración, abierto a la
abierto a la atmósfera, y la brida de atmósfera, y la brida de aspiración, es de 1.2 m. aspiración, es de 1.2 m. Las pérdidas en la Las pérdidas en la tubería detubería de succión ascienden a 4.0 m.
succión ascienden a 4.0 m. Calcular:
Calcular:
Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete.Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete. El caudal de la bomba (supóngaseEl caudal de la bomba (supóngase vv = 1.0). = 1.0).
La altura de Euler.La altura de Euler.
Las alturas de presión a la entrada y a la salida de la bomba.Las alturas de presión a la entrada y a la salida de la bomba.
_____________________________________
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Solución. Solución. 1.
1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades.Cálculo de los Triángulos de Velocidades.
ºº 20 20 1 1 ºº 90 90 1 1
(entrada radial) (entrada radial)
Luego, Luego, 1 1 1 1 1 1 m m 1 1 cc sensenαα cc cc yy 0 0 α α co coss cc cc11uu 11 11
Por tanto, los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe se Por tanto, los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe se representan de la siguiente manera:
representan de la siguiente manera:
ss rev rev 60 60 1000 1000 mi minn re revv 1000 1000 n n ss rad rad 104.720 104.720 ss ra radd 60 60 1000 1000 π π 2 2 n n π π 2 2 ω ω mm mm 360 360 m mmm)) (180 (180 2 2 D D 2 2 D D22 11
ss m m 9.425 9.425 m m 2 2 0.18 0.18 ss ra radd 104.720 104.720 2 2 D D ω ω r r ω ω u u 11 1 1 1 1
ss m m 18.850 18.850 m m 2 2 0.36 0.36 ss ra radd 104.720 104.720 2 2 D D ω ω r r ω ω u u 22 2 2 2 2 _____________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Solución. Solución. 1.
1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades.Cálculo de los Triángulos de Velocidades.
ºº 20 20 1 1 ºº 90 90 1 1
(entrada radial) (entrada radial)
Luego, Luego, 1 1 1 1 1 1 m m 1 1 cc sensenαα cc cc yy 0 0 α α co coss cc cc11uu 11 11
Por tanto, los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe se Por tanto, los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe se representan de la siguiente manera:
representan de la siguiente manera:
ss rev rev 60 60 1000 1000 mi minn re revv 1000 1000 n n ss rad rad 104.720 104.720 ss ra radd 60 60 1000 1000 π π 2 2 n n π π 2 2 ω ω mm mm 360 360 m mmm)) (180 (180 2 2 D D 2 2 D D22 11
ss m m 9.425 9.425 m m 2 2 0.18 0.18 ss ra radd 104.720 104.720 2 2 D D ω ω r r ω ω u u 11 1 1 1 1
ss m m 18.850 18.850 m m 2 2 0.36 0.36 ss ra radd 104.720 104.720 2 2 D D ω ω r r ω ω u u 22 2 2 2 2 _______________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ En el triángulo a la entrada: En el triángulo a la entrada: 1 1 m m 1 1 1 1 u u cc β β tan tan
ss m m 3.430 3.430 20º 20º tan tan ss m m 9.425 9.425 β β tan tan u u cc cc11mm 11 11 11
ss m m 10.030 10.030 ss m m 9.425 9.425 3.430 3.430 u u cc w w 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 m m 1 1 1 1 Por continuidad: Por continuidad: 2 2 2 2 1 1 1 1 vv AA vv A A Q Q m m 2 2 2 2 2 2 m m 1 1 1 1 1 1 b b cc ππ DD b b cc D D π π Q Q m m 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 m m 2 2 cc b b D D b b D D cc
ss m m 573 573 .. 2 2 ss m m 430 430 .. 3 3 mm mm 20 20 mm mm 360 360 mm mm 30 30 mm mm 180 180 cc22mm En el triángulo a la salida: En el triángulo a la salida: 2 2 2 2 m m 2 2 ww sensenββ cc ss m m 5.146 5.146 30º 30º sen sen ss m m 2.573 2.573 β β sen sen cc w w 2 2 m m 2 2 2 2 2 2 u u 2 2 2 2 2 2 w w cc u u β β cos cos 2 2 2 2 2 2 u u 2 2 uu ww cocossββ cc m m 14.393 14.393 30º 30º co coss m m 5.146 5.146 m m 0 0 18.85 18.85 cc22uu __________________________________________________________________________________________________
s m 14.621 s m 2.573 14.393 c c c 2 2 2 2 2 m 2 2 u 2 2 10.136º 14.393 2.573 tan c c tan α 1 u 2 m 2 1 2 2. Cálculo del Caudal de la Bomba, Q
m 1 1 1 b c D π Q
s l 58.19 s m 0.05819 s m 3.430 m 0.03 m 0.18 π Q 3 3. Cálculo de la Altura de Euler, Ht
g c u g c u c u H 2 2u 0 u 1 1 u 2 2 t ; dado que: c1u 0 m 27.656 s m 9.81 s m 14.393 s m 18.850 H 2 t
4. Cálculo de la Altura de Presión a la entrada de la Bomba,
e
p
Aplicando Bernoulli entre el tanque de aspiración y la entrada de la bomba, se tiene:
g 2 v γ p z h g 2 v γ p z 2 e e e e A 0 2 A 0 A A (1) dado que: 0 g 2 v2A
y suponiendo presiones relativas, γ 0
pA
__________________________________________________________________________________________________
A e 2 e A e e h g 2 v z z γ p (2) e A 4 e 2 2 s e h D g π Q 8 H γ p (3) Suponieenedo ηv 1.0, y qe qi 0
m 5.319 m 4.0 m 0.22 s m 9.81 π s m 0.05819 8 m 1.2 γ p 4 4 2 2 2 6 2 e 5. Cálculo de la Altura de Presión a la salida de la bomba,
s
p
Planteando la Ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s) de la bomba, se tiene: g 2 v γ p z H g 2 v γ p z 2 s s s u 2 e e e (4) Luego, g 2 v v γ p H γ p e 2e 2s u s (5) 4 s 4 e 2 2 e u s D 1 D 1 g π Q 8 γ p H γ p (6)
Por otra parte,
t u h H H η
__________________________________________________________________________________________________ m 22.424 m) (27.684 0.81 H η Hu h t
Sustituyendo éste y demás valores en (6), resulta:
4 4 4 4 2 2 2 6 2 s m 0.20 1 m 0.22 1 s m 9.81 π s m 0.05819 8 m 5.319 m 22.424 γ p m 17.105 γ ps 6. Cálculo de la energía eléctrica consumida, Eeléct consumida
Eeléct. consumida= Pred. tfuncionamiento (7)
eléctrico motor red a P η P (8) de (8), motor a red η P P (9)
Por otra parte,
a u v m h total P P η η η η de donde v m h u a η η η P P (10)
Sustituyendo (10) en (9) y el resultado en (7), se tiene:
motor v m h u red η η η η P P motor v m h func. u consu. eléct. η η η η t P E
__________________________________________________________________________________________________
Finalmente, reemplazando la Pu, queda
motor v m h func. u consu. eléct. η η η η t H Q γ E (11)
0.81 0.95 1.0 0.85
6horas
m 22.424 s m 0.05819 m kgf 1000 E 3 3 consu. eléct.
h s m N 9.81 11969.752 h s m kgf 11969.752 Eeléct.consu. h W 117423.267 h s J 117423.267 Eeléct.consu. h kW 117.423 Eeléct.consu. Problema No. 2Una bomba centrífuga tiene las siguientes características: D1 = 100 mm;
1 2
D D
= 2; b1 = 20
mm; b2 = 10 mm; 1 = 15°; 2 = 30°; n = 1500 rpm. Las tuberías de succión e impulsión
tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración registra una altura de presión relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65 %; m = 96%; v = 0.9 y la
entrada en los álabes es radial. Calcular:
Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete. El caudal (supóngase rendimiento volumétrico igual a 1).
La potencia en el eje de la bomba. Pa. La lectura del manómetro de impulsión.
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1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades.
60 D n π 2 D n π 2 r ω u1 1 1 1 ; n (rpm)
s m 854 . 7 s 60 m 0.1 1500 π u1
s m 708 . 15 s 60 m 0.2 1500 π 60 D n π u 2 2 90º α1 (entrada radial)Del triángulo a la entrada:
m 1 1 1 1 c s m 2.104 15º tan s m 7.854 β tan u c
s m 131 . 8 s m 7.854 2.104 u c w 2 2 2 2 2 1 2 m 1 1 Por continuidad, m 2 2 2 m 1 1 1 b c π D b c D π Q m 1 2 2 1 1 m 2 c b D b D c
s m 104 . 2 s m 2.104 10 200 20 100 c2m __________________________________________________________________________________________________
Del triángulo a la salida, se tiene:
s m 064 . 12 30º tan s m 2.104 s m 15.708 β tan c u c 2 m 2 2 u 2
s m 12.246 s m 2.104 12.064 c c c 2 2 2 2 2 m 2 2 u 2 2 º 893 . 9 12.064 2.104 tan c c tan α 1 u 2 m 2 1 2 s m 208 . 4 30º sen s m 2.104 β sen c w 2 m 2 2 2. Cálculo del Caudal, Q
m 1 1 1 b c D π Q
s l 22 . 13 s m 01322 . 0 s m 2.104 m 0.02 m 0.1 π Q 3 3. Cálculo de la Potencia en el Eje, Pa
g c u η η Q γ η η η H η Q γ η η η H Q γ η P P 2 2u m v m v h t h m v h u total u a (1)
s m 12.604 s m 15.708 s m 9.81 0.96 0.9 s m 0.01322 m kgf 1000 P 2 3 3 a kW 3.029 W 3029.3328 s m kgf 308.800 Pa 4. Cálculo de la Lectura Manométrica a la salida, Ps
__________________________________________________________________________________________________ g 2 v γ p z H g 2 v γ p z 2 i i 1 u 2 s s s de donde,
u s 2 i 2 s i s i H γ p g 2 v v z z γ p (2)Suponiendo que las bridas están al mismo nivel, es decir, z1 = zs y considerando el
hecho de que la diferencia de velocidades es muy pequeña, resulta:
γ p H η γ p H γ p s t h s u i (3) Además, ηtotal ηh ηmηv v m total h η η η η (4) y g c u H 2 2u t (5) Llevando (4) y (5) a (3), γ p g c u η η η γ p 2 2u s v m total i (6)
m 4 s m 9.81 0.9 0.96 s m 12.064 s m 15.708 0.65 γ p 2 i c.a. m 10.532 γ pi __________________________________________________________________________________________________
Problema No. 3
Una bomba centrífuga, en la cual se despreciarán las pérdidas, produce un caudal de agua de 300 m3/h y tiene las siguientes características: D1 = 150 mm;
1 2 D D = 3; b1 = 40 mm; 2 1 b b 1 2 ; ß 1 = 60°; ß2 = 40°; entrada radial. Calcular:
El número de revoluciones por minuto del rodete. Altura efectiva de la bomba.
El par suministrado por la bomba. La potencia de la bomba.
El incremento de presión que se produce en el rodete. Altura dinámica generada por el rodete.
Solución.
No hay pérdidas ηh ηm ηv ηtotal 1
s l 83.33 s m 0.08333 h m 300 Q 3 3
1. Cálculo del Número de Revoluciones, n.
m 2 2 2 m 1 1 1 b c π D b c D π Q
s m 4.421 m 0.04 m 0.15 π s m 0.08333 b D π Q c 3 1 1 m 1 __________________________________________________________________________________________________
s m 2.947 m 0.02 m 0.45 π s m 0.08333 b D π Q c 3 2 2 m 2 Del triángulo a la entrada, se tiene:
s m 2.552 60º tan s m 4.421 β tan c u 1 m 1 1
s m 5.105 s m 4.421 2.552 c u w 2 2 2 2 2 m 1 2 1 1 Por otro lado,
60 n D π u 1 1 (con n en rpm) de donde,
0.15m
324.93 rpm π s m 2.552 s 60 D π u 60 n 1 1 2. Cálculo de la Altura Efectiva, Hu.
s m 7.656 s 60 324.93 m 0.45 π 60 n D π u 2 2 __________________________________________________________________________________________________ 2 m 2 2 u 2 β tan c u c s m 4.144 40º tan s m 2.947 s m 7.656 c2u
s m 5.085 s m 4.144 2.947 c c c 2 2 2 2 2 u 2 2 m 2 2 35.418º s m 4.144 s m 2.947 tan c c tan α 1 u 2 m 2 1 2
2
2
2
22 u 2 2 2 m 2 2 s m 4.144 7.656 2.947 c u c w s m 4.585 w2 m 3.234 s m 9.81 s m 4.144 s m 7.656 g c u g c u c u H 2 u 2 2 0 u 1 1 u 2 2 t 1 H H η t u h m 3.234 H Hu t 3. Cálculo de la Potencia, P 1 P P η a u total t u a u P γ Q H γ Q H P __________________________________________________________________________________________________
s m kgf 269.392 m 3.234 s m 0.0833 m kgf 1000 P P 3 3 a u h.p. 3.54 c.v. 3.6 kW 2.64 W 2642.74 P Pu a 4. Cálculo del Par de la bomba, M
60 n π 2 M M.ω Pa
324.93
7.917kgf m π 2 s m kgf 269.392 s 60 n π 2 P 60 M a 5. Cálculo del Incremento de Presión, H p
g 2 w w g 2 u u H 2 2 2 1 2 1 2 2 p
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p s m 9.81 2 s m 4.585 5.105 s m 9.81 2 s m 2.552 7.656 H m 2.912 H p 6. Cálculo de la Altura Dinámica, Hd
2 2 2 2 2 2 1 2 2 d s m 9.81 2 s m 4.421 5.085 g 2 c c H m 0.322 Hd __________________________________________________________________________________________________
Problema No. 4
Una bomba centrífuga para agua suministra un caudal de 50 m3/h. La presión a la salida de la bomba es de 2.6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. La diferencia de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas manométricas, es de 0.6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son iguales. El rendimiento total de la bomba es de 62%.
Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba. Solución:
Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s), de la bomba, se tiene:
g 2 v γ p z H g 2 v γ p z 2 s s s u 2 e e e (1) de donde
γ p p z z Hu s e s e (2)
4 2 2 2 s m kgf 26520 m kgf 10 1.02 2.6 cm kgf 1.02 2.6 bar 2.6 p 2 3 e m kgf 3400 m kgf 13600 m 0.25 Hg mm 250 Torr 250 p e s vv (por ser tuberías de igual diámetro).
Sustituyendo valores numéricos en (2), resulta:
m 30.520 m kgf 1000 m kgf 3400 26520 m 0.6 H 3 2 u De otra parte:__________________________________________________________________________________________________ a u total P P η
0.62 m 30.520 s m 3600 50 m kgf 1000 η H Q γ η P P 3 3 total u total u a kW 6.7 W 6700 s m . N 81 . 9 69 . 683 s m kgf 683.69 Pa Problema No. 5Una bomba centrífuga, cuya entrada en los álabes del rodete es radial, proporciona una altura útil de 22 m, a una velocidad de 1200 rpm. D1 = 180 mm; D2 = 300 mm. cm es
constante en todo el rodete;
s m 25
c2u . Las pérdidas hidráulicas en la bomba son iguales
a 0.027c22 m (c2 en m/s).
Calcular.
El rendimiento hidráulico de la bomba,h.
Los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida, ß1 y ß2.
Solución: Entrada radial: α1 90º; c1u 0; c1m c1 c2m, s m 25 c2u ; Hint 0.027c22 (en metros); Hu 22m.
1. Cálculo de la Eficiencia Hidráulica,h
s m 11.31 s 60 1200 m 0.18 π 60 n D π u 1 1 __________________________________________________________________________________________________
s m 18.85 s 60 1200 m 0.30 π 60 n D π u2 2 t u h H H η (1) m 48.038 s m 9.81 s m 25 s m 18.85 g c u H 2 u 2 2 t 45.80% 0.4580 m 48.038 m 22 ηh 2. Cálculo de los Ángulos ß1 y ß2
int t u H H H (2) Hint Ht Hu (3)
48.038 22
m 26.038m Hint m 26.038 c 0.027 Hint 22 luego, s m 31.054 s m 0.027 26.038 c2 __________________________________________________________________________________________________ 1 2 u 2 2 2 1 1 m 2 1 1 m 1 1 1 u c c tan u c tan u c tan β
º 519 . 58 11.31 42 . 18 tan s m 11.31 s m 25 31.054 tan β 1 2 2 1 1
71.5844º s m 25 18.85 s m 18.47 tan c u c tan β 1 u 2 2 m 2 1 2 ' º 108.4156 71.5844º 180º β 180º β2 2' En consecuencia, el triángulo de velocidades a la salida del álabe queda de la siguiente manera:
Problema No. 6
Una bomba centrífuga proporciona una altura útil de 40 m, con rendimiento hidráulico de 80%. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm de diámetro. D2 = 350 mm;
b2 = 25 mm; ß2 = 25°; n = 1400 rpm. La pérdida de carga en las tuberías de aspiración e
__________________________________________________________________________________________________
Calcular:
El caudal de la bomba.
La diferencia de cotas entre los niveles de agua en los depósitos de succión e impulsión,
si ambos están abiertos a la atmósfera. Solución:
1. Cálculo del Desnivel entre los Tanques, H.
Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C, sobre la superficie libre del agua, en sendos tanques, se tiene:
g 2 v γ p z H h h g 2 v γ p z 0 2 C C 0 C u imp asp 0 2 A A 0 A imp asp u A C z H h h z Luego, m 30 m 10 m 40 h H H u totales
2. Cálculo del Caudal Bombeado, Q.
s m 25.656 s 60 1400 m 0.35 π 60 n D π u 2 2 __________________________________________________________________________________________________
Del triángulo de velocidades a la salida, se tiene:
u 2 2 m 2 2 c u c β tan (1)
2 2u
2 m 2 u c tanβ c (2) Además, u 1 1 u 2 2 u t u h c u c u H g H H η (3)Suponiendo entrada radial
α1 90º
, c1u = 0, entoncesu 2 2 u h c u H g η (4) de donde,
s m 1 . 19 s m 25.656 8 . 0 m 40 s m 81 . 9 u η H g c 2 2 h u u 2 Reemplazando éste y demás valores numéricos en (2), resulta:
s m 3.057 25º tan s m 19.1 25.656 c2m __________________________________________________________________________________________________ Finalmente, m 2 2 2 b c D π Q
s l 84 s m 0.084 s m 3.057 m 0.025 m 0.35 π Q 3 Problema No. 7Entre las bridas de entrada y de salida de una bomba, se coloca un manómetro en U, de mercurio. La bomba da un caudal de agua de 300 m3/h. Las tuberías de aspiración y de impulsión son de 250 mm y 200 mm de diámetro, respectivamente. El eje de la bomba es horizontal y entre los ejes de las tuberías, en las tomas manométricas de aspiración e impulsión, hay un desnivel de 35 cm. El manómetro indica un incremento de altura de mercurio de 20 cm (más elevada en la rama unida al tubo de aspiración).
Calcular la potencia útil que da la bomba. Solución:
__________________________________________________________________________________________________
Aplicando Bernoulli entre las bridas de aspiración (a) y de impulsión (i), resulta:
g 2 v γ p z H g 2 v γ p z 2 i i i u 2 a a a (1) de donde, g 2 v v γ p z γ p z H 2 a 2 i a a i i u (2) 4 a 4 i 2 2 a a i i u D 1 D 1 g π Q 8 γ p z γ p z H (3)
Además, aplicando manometría entre (a) e (i), resulta:
i a
m i a γ z z l Δh γ Δh γ l p p (4) γ p l Δh γ γ Δh l z z γ p m i a i a Agrupando términos correspondientes y reduciendo términos comunes, se tiene:
1 γ γ Δh γ p z γ p zi i a a m (5)
Llevando el resultado de (5) en (3), queda:
4 a 4 i 2 2 m u D 1 D 1 g π Q 8 1 γ γ Δh H (6)
Sustituyendo valores numéricos en (6), se tiene:
4 4 4 2 2 2 6 2 u m 1 0.25 1 0.2 1 s m 9.81 π s m 3600 300 8 1 1000 13600 m 0.2 H m 2.732 m 0.212 m 2.520 Hu
__________________________________________________________________________________________________ Finalmente, u u γ Q H P
2.732m
s m 3600 300 m kgf 1000 P 3 3 u s m kgf 227.67 Pu W 2231.17 W 9.8 227.67 Pu kW 2.23 Pu Problema No. 8Una bomba centrífuga para alimentación de una caldera de vapor, que desarrolla una altura efectiva de 80 m, bombea agua a 90°C, desde un depósito de aspiración, abierto a la atmósfera, hasta la caldera. La pérdida de carga en la tubería de succión es de 0.5 m. La presión barométrica es de 725 Torr. El caudal de la bomba es 0.25 m3/s: El diámetro de la
tubería de aspiración es de 400 mm y el coeficiente de cavitación de la bomba, = 0.1. Esquematice la instalación, indicando la cota del eje de la bomba con respecto al nivel
superficial en el pozo de succión.
¿A qué altura geodésica máxima se podrá colocar la bomba?.
Si la presión de la caldera es 8,2 bar. y el eje de la bomba se encuentra 6 m por debajo
del nivel del agua en la caldera, ¿cuáles son las pérdidas totales en la impulsión de la bomba?.
Solución:
__________________________________________________________________________________________________
A la temperatura T = 90°C, de tablas, se obtiene:
3 agua m kgf 965 γ 2 vapor m kgf 7154 kPa 70.11 p (absoluta). 3 a atmosferic m kgf 13600 m 0.725 Hg mm 725 Torr 725 p 2 a atmosferic m kgf 9860 p
2. Cálculo de la Altura de Succión Máxima, Hs máx.
Δh h γ p p Hsmax A V Ae (1) u e A V a atmosferic max s h σ H γ p p H (2)
__________________________________________________________________________________________________
80m
0.1 m 0.5 m kgf 965 m kgf 7154 9860 H 3 2 max s m 5.7 Hsmax La bomba operará en carga, es decir, con su eje situado a 5.7 m, máximo, por debajo de la superficie libre de agua en el tanque de succión.
3. Cálculo de las Pérdidas Totales en la Tubería de Impulsión, hTimp..
Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre A y C, puntos situados sobre la superficie libre de agua, en sendos depósitos, se tiene:
g 2 v γ p z H H H g 2 v γ p z 0 2 C C C imp T u asp. T 0 2 A A A (3)
en donde se han considerado presiones absolutas. Y despreciando las diferencias de velocidades. Luego,
C A
C A asp T u imp. T z z γ p p h H H (4)__________________________________________________________________________________________________ 2 2 2 4 2 A m kgf 83640 cm kgf m kgf 10 bar cm kgf 1.02 bar 8.2 p
Reemplazando valores numéricos en (4), resulta:
6 5.7
m 2.744m m kgf 965 m kgf 83640 9860 m 0.5 m 80 H 3 2 imp. T Problema No. 9Una bomba centrífuga opera a 150
s
rad y necesita 294 h.p. Determine la descarga a través
de la bomba, si la velocidad absoluta del agua a la entrada no tiene componente tangencial. D2= 16", b2 = 1" y ß2 = 45°. Además, ηtotal 1
¿Por qué existen dos posibles soluciones y por qué la bomba no operaría eficientemente en una de ellas?.
Solución:
Sean los siguientes, los triángulos de velocidades correspondientes a la entrada y a la salida de los álabes del rodete:
__________________________________________________________________________________________________ s m 30.48 2 m 0254 . 0 16 s rad 150 2 D ω r ω u2 2 2 (1) m 2 2 2 b c D π Q (2) 2 2 m 2 b D π Q c u 2 2 m 2 2 c u c β tan m 2 m 2 2 m 2 u 2 2 c 45º tan c β tan c c u m 2 2 u 2 u c c (3) Reemplazando (2) en (3), se tiene: 2 2 2 u 2 b D π Q u c (4)
Por otro lado,
u u γ Q H P (5) Además, ηtotal ηh ηV ηm 1 de donde, 1 H H η t u h Luego, g c u H H 2 2u t u (6) Llevando (6) a (5),
__________________________________________________________________________________________________ g c u Q γ P 2 2u u u 2 2 u Q c γ u P g (7) Trayendo (4) a (7), se obtiene: 2 2 2 2 u b D π Q u Q γ u P g 2 2 2 2 2 u b D π Q u Q γ u P g o mejor, 0 u γ P g Q u Q b D π 1 2 u 2 2 2 2 (8)
que es una ecuación cuadrática para Q, con dos raíces o soluciones para el caudal, la cual se resolverá sustituyendo en ella los valores numéricos, así:
0 s m 30.48 m kgf 1000 s m kgf 76 294 s m 9.81 Q s m 30.48 m 0.0254 1 m 0.0254 16 π Q 3 2 2 0 7.1841 Q 30.48 Q 30.8363 2 (9) ó 0 0.232975 Q 0.98445 Q2 (10)cuyas soluciones son:
s l 600.43 s m 0.60043 Q 3 1 y
__________________________________________________________________________________________________ s l 388.01 s m 0.38801 Q 3 2
Existen dos valores posibles para Q, puesto que, dada la forma de la curva H vs. Q, se pueden obtener dos valores de H correspondientes a sendos valores de Q, para un único
valor de P, que satisfacen la ecuación
constante H Q γ H Q γ Pu 1 u1 2 u2
de donde se deduce que, para el mayor valor de Q, corresponde el menor valor de Hu, y
viceversa. Ello se puede observar en el siguiente esquema:
Además, para la curva vs. Q, de la misma bomba, se puede observar que existe un valor
de Q2 , cuya eficiencia es menor que la correspondiente a Q1. La conclusión es que, para el
mayor de los dos caudales posibles (Q = 600.42
s l
__________________________________________________________________________________________________
Problema No. 10
Una bomba centrífuga que aspira directamente de la atmósfera (patm = 740 mm Hg) da un
caudal de 555
s l
, a una altura efectiva de 13.5 m, cuando gira a 730 rpm. El NPSHneces es
3.33 m; la temperatura del agua es 20°C y las pérdidas de carga en el tubo de aspiración ascienden a 0.54 m.
Calcular:
La altura máxima de aspiración de esta bomba. El número específico de revoluciones.
Solución:
1. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx.
necesario asp v a atmosféric máx s h NPSH γ p p H (1) A T = 20°C, pv = 2337 Pa = 238.47 2 m kgf (abs.) y 3 m kgf 998 γ
Reemplazando valores numéricos en (1), resulta:
3.33m 0.54m m kgf 998 m kgf 238.47 m kgf 13600 0.74m H 3 2 3 máx s m 5.975 Hsmáx 2. Cálculo del Número Específico de Revoluciones, ns
3/4 1/2 s 3.65 n Q H n
13.5m
281.85 s m 0.555 rpm 730 3.65 n 3/4 1/2 3 s __________________________________________________________________________________________________
Problema No. 11
Una bomba centrífuga cuyo coeficiente de cavitación = 0.11, desarrolla una altura útil de
90 m. La presión barométrica del lugar es 1.0 bar. La presión de saturación del vapor de líquido bombeado ( = 1.4), para la temperatura de funcionamiento, es 0.03 bar (abs.). Las
pérdidas de carga en la tubería de aspiración ascienden a 1.5 m.
Calcular la altura máxima permisible a la cual puede colocarse el eje de la bomba, con respecto al nivel del agua en el depósito de aspiración.
Solución: Δh h γ p p Hsmáx atm v asp u asp v atm máx s h σ H γ p p H
90m
0.11 m 1.5 m kgf 1400 m kgf 10 x 1.02 0.03 1.0 H 3 2 4 máx s m 4.33 Hsmáx La bomba operará en carga, es decir, su eje estará 4.33m, como máximo, por debajo de la superficie libre de agua en el tanque de succión.
Problema No. 12
Una bomba centrífuga de 0.5 m de diámetro de impulsor, eleva 20
s l
de agua a una altura de 18 m, con una potencia absorbida de 4 kW, cuando opera a 1170 rpm, en su máximo rendimiento. Si las relaciones de alturas de elevación y de diámetros de rodetes, con una
__________________________________________________________________________________________________
bomba modelo, son 4/1 y 5/1, respectivamente, a iguales rendimientos, ¿cuál es el número específico de revoluciones del modelo?.
Solución.
Para que exista semejanza dinámica entre bombas rotodinámicas, debe cumplirse que:
ns p = ns m (1)
En general, 1/2 5/4
s n P H
n (2)
Con n (rpm); P (c.v.) y H (m)
Además, se conocen los siguientes datos:
m 0.5 D p ; s l 20 Q p ; H p 18m ; Pa p 4 kW 4000W; n p 1170 rpm 1 5 D D ; 1 4 H H ; η η m p m p m p
Existen dos maneras de resolver este problema, una más rápida que la otra, y se desarrollan a continuación:
Primera Solución:
Hallando ns p, con los datos correspondientes al prototipo, mediante la ecuación (1) se
obtiene indirectamente ns m. 5/4 p 1/2 p p m s p s n n P H n c.v. 10 359157322 . 1 75 9.81 c.v. 1 1W -3 c.v. 43662929 . 5 1W c.v 10 2 1.35915732 W 4000 P -3 p a
1/2
-5/4 m s p s n 1170rpm 5.43662929c.v. 18m n 73.58 n ns p sm __________________________________________________________________________________________________
Segunda Solución:
Se obtendrá ns m reemplazando en (2) los parámetros correspondientes al modelo, así:
De la relación de cabezas se obtiene nm:
2 m p 2 m p m p D D n n H H (3) p m p m m p H H D D n n p p m m p s n H H D D n (4)
1170rpm
2925 rpm 1/4 5 nm (5)Ahora, de la relación de potencias, se calcula Pm:
5 m p 3 m p m p D D n n P P p 5 p m 3 p m m P D D n n P
5.43662929c.v.
5 1 1170 2925 P 5 3 m c.v. 10 718314644 . 2 Pm 2De la relación de alturas, se obtiene Hm: 4 H H m p m 4.5 4 m 18 4 H Hm p
__________________________________________________________________________________________________
Finalmente, se obtiene ns m reemplazando los parámetros correspondientes al modelo,
en la ecuación (2): 5/4 m 1/2 m m m s n P H n -2 -5/4 m s 2925rpm 2.71831464 10 c.v. 4.5m n 58 . 73 nsm
con lo cual se comprueba que ns p nsm
Problema No. 13
Una bomba de proceso, de succión única e impulsor de 8” de diámetro, bombea 35 0 US
gpm a 200 pie de cabeza, rotando a 3500 rpm, en su punto de mejor eficiencia. La potencia necesaria es de 26 h.p. El trabajo cambia ligeramente y se sugiere cambiar el diámetro del rotor a 7".
Determinar las nuevas cabezas, descarga y potencia necesaria, en el punto de mejor eficiencia.
Solución:
Se trata de un caso de similitud en bombas geométricamente semejantes, de diámetro de rotor diferentes y girando a igual número de revoluciones.
Prototipo Modelo D1 = 8" Q1 = 350 US gpm H1 = 200 pie P1 = 26 h.p. n1 = 3500 rpm D2 = 7" n2 = n1= 3500 rpm Q2 = ? H2 = ? P2 = ?
__________________________________________________________________________________________________
De la primera ley de semejanza, se conoce lo siguiente:
3 2 1 2 1 D D Q Q 350US gpm 234.47 US gpm 8 7 Q D D Q 3 1 3 1 2 2
De la segunda ley, se tiene:
2 2 1 2 1 D D H H 200 pie 153.13 pie 8 7 H D D H 2 1 2 1 2 2
Y de la tercera ley, se tiene:
5 2 1 2 1 D D P P 26 h.p. 13.34 h.p. 8 7 P D D P 5 1 5 1 2 2 Problema No. 14
Debe bombearse agua a 55°C, desde un recipiente elevado, conectado a la atmósfera, en un lugar ubicado a 1048 m sobre el nivel del mar (patm = 9103.85 kgf/m2). Las pérdidas de
carga en la tubería de succión se han estimado en 0.55 m. Si el eje de la bomba se encuentra 3.75 m por debajo de la superficie de agua en el tanque de alimentación, ¿cuál es el NPSH disponible?
__________________________________________________________________________________________________ Para (abs) m kgf 1560 p C, 55º T vapor 2 y 3 m kgf 986 γ
succión s v A disp H h γ p p NPSH (succión negativa, Hs < 0)
0.55m 3.75m m kgf 986 m kgf 1560.66 9103.85 NPSH 3 2 disp m 10.85 NPSHdisp Problema No. 15Una bomba situada a nivel del mar debe elevar agua a 15°C, desde un tanque subterráneo conectado a la atmósfera. La superficie de agua en el tanque de succión está localizada 2.15 m por debajo del eje de la bomba. Las pérdidas totales de carga en la tubería de succión son equivalentes a 0.55 m de columna de agua. ¿Cuál es el NPSH disponible?. Solución:
__________________________________________________________________________________________________ Para (abs) m kgf 183 p C, 15º T vapor 2 . 3 m kgf 999.2 γ
A nivel del mar, atmosférica 2
m kgf 10336 p
succión s v A disp H h γ p p NPSH
m 0.55 m 2.15 m kgf 999.2 m kgf 183 10336 NPSH 3 2 disp m 7.46 NPSHdisp Problema No. 16Se emplea una bomba para elevar agua desde un tanque que recibe una mezcla de agua y vapor de una caldera, a una temperatura de 115°C. El nivel de líquido en dicho tanque está 7 m por encima del eje de la bomba, y las pérdidas de carga en la tubería de succión son
__________________________________________________________________________________________________
equivalentes a 0.46 m de agua caliente. ¿Cuál es el NPSHdisponible de la instalación de
bombeo, si ésta se encuentra a 578 m sobre el nivel del mar ( atmosféric 2
m kgf 9659 p ). Presión de vapor, a T = 115°C, m kgf 17675 pvapor 2 (abs.) Solución:
succión s v A disp H h γ p p NPSH ( succión negativa, Hs < 0)
succión s v v disp H h γ p p NPSH succión s disp H h NPSH m 6.54 m 0.46 m 7.0 NPSHdisp __________________________________________________________________________________________________
Problema No. 17
Se necesita una bomba para elevar 10000 gpm de agua a una cabeza de 25 pie. Una bomba similar, con un impulsor de 36" de diámetro, descarga 2500 gpm a una cabeza de 120 pie, cuando gira a 800 rpm.
Determinar el diámetro necesario del impulsor y la velocidad de rotación para la bomba, a la misma eficiencia. Solución. total 2 total 1 η η BOMBA No. 1 Prototipo BOMBA No. 2 Modelo D1 = ? n1 = ? Q1 = 10000 gpm H1 = 25 pie D2 = 36" n2 = 800 rpm Q2 = 2500 gpm H2 = 120 pie
De las leyes de similitud de bombas, se tiene:
3 2 1 2 1 2 1 D D n n Q Q (1) 3 1 2 2 1 2 1 D D Q Q n n (2) Además, 2 2 1 2 2 1 2 1 D D n n H H (3) Llevando (2) a (3), resulta:
__________________________________________________________________________________________________ 2 2 1 6 1 2 2 2 1 2 1 D D D D Q Q H H 4 1 2 2 2 1 2 1 D D Q Q H H 4 2 1 2 2 1 1 2 Q Q H H D D Luego, 2 4 2 2 1 1 2 1 D Q Q H H D Entonces,
36 pulg.
2500 10000 25 120 D 4 2 1 pie 9.0 pie 8.88 pulg. 106.57 D1 (4)Finalmente, reemplazando (4) en (2), resulta:
2 3 1 2 2 1 1 n D D Q Q n Luego,
800rpm
106.57 36 2500 10000 n1 rpm 123.35 n1 __________________________________________________________________________________________________
Problema No. 18
Para abastecer de agua a una comunidad rural, situada a 1500 m sobre el nivel del mar, se ha construido un pozo cuyo nivel medio de agua se encuentra a 40 m por debajo del correspondiente a un tanque de almacenamiento, como se muestra en la figura. Se instalará un sistema de bombeo que, dada las necesidades de consumo, eleve 50.5
s l
y opere 6 horas diariamente. Las tuberías de succión e impulsión serán de hierro galvanizado (C =100 ), y los accesorios requeridos en la instalación se indican en la figura. Se instalará una bomba centrifuga con motor de velocidad variable, cuyas especificaciones se desean conocer, para lo cual se pide seleccionar una bomba apropiada, y calcular:
Altura dinámica de la bomba, HB. Potencia útil de la bomba, Pu.
Potencia requerida (potencia absorbida) por la bomba, Pa, si se sabe que la eficiencia de
la bomba es del 68%.
El NPSHdisonible de la bomba. El NPSHrequerido de la bomba.
__________________________________________________________________________________________________
Solución:
1. Cálculo de la altura Dinámica de la bomba, HB.
Aplicando Bernoulli entre los puntos A y B, situados en la superficie libre del agua en sendos tanques, se tiene:
g 2 v γ p z H h h g 2 v γ p z 0 2 B B B B i T s T 0 2 A A A (1) de donde,
B A
Ts Ti
B z z h h H (2)En la cual
zB zA
es la altura estática a vencer por parte de la bomba. hT s y hT i sonlas pérdidas de carga totales, por fricción y por accesorios, en las tuberías de succión y de impulsión, respectivamente.
__________________________________________________________________________________________________
1. Cálculo de las Pérdidas de Carga Totales, hT
1.1.1. Pérdidas en la Tubería de Succión, hT s
Se empleará la formula de Hazen-Williams, que expresa:
0.54 0.63 J D C 0.355 V (3) Por continuidad, 4 D π L h D C 0.355 A V Q 2 0.54 f 0.63 de donde, 1.851 1.851 2.63 f L Q D C 3.5866 h (4)
Para considerar las pérdidas locales, debidas a válvulas y accesorios, se empleará el método de las longitudes equivalentes:
VÁLVULAS/ACCESORIO LONGITUD VIRTUAL EQUIVALENTE (m) Válvula de pie con rejilla (D =6”)
Codo 90º (radio medio) (D =6”)
Válvula de compuerta abierta (D =6”)
39.0 6.7 1.7 Longitud virtual equivalente, Lequivalente
Longitud real de la tubería de succión, L
47.4 3.0 Longitud total, LT= Lequivalente + L 50.4
__________________________________________________________________________________________________
6 0.0254
50.4 0.0505
m 100 3.5866 h 1.851 1.851 2.63 s T m .02 4 hTs 1.1.2. Pérdidas en la Tubería de Impulsión, hT i
VÁLVULAS/ACCESORIO LONGITUD VIRTUAL EQUIVALENTE (m) Válvula de compuerta abierta (D = 5”)
2 Codos de 45º (D = 5”) (*1.9 m)
1 Válvula de retención (tipo pesada) (D = 5”) 1 Salida de la tubería (D = 5”)
0.9 3.8 16.1
4.0 Longitud virtual equivalente, Lequivalente
Longitud real de la tubería de impulsión, L
24.8 127.0 Longitud total, LT= Lequivalente + L 151.8
5 0.0254
151.8 0.0505
m 100 3.5866 h 1.851 1.851 2.63 i T m 42 . 29 hTi Reemplazando en la ecuación (2), se tiene:
m 29.42 m 4.02 m 40 HB m 73.44 HB
__________________________________________________________________________________________________
2. Cálculo de la Potencia Útil de la bomba. Pu
B u u γ Q H γ Q H P
73.44m
s m 0.0505 m kgf 1000 P 3 3 u h.p. 76 3708.72 s m kgf 3708.72 Pu h.p. 48.8 Pu 3. Cálculo de la Potencia Requerida por la bomba, Prequerida
A la potencia requerida se le llama también potencia absorbida en el eje, y se le denota por Pa.
De la expresión para la eficiencia total se tiene:
a u bomba P P η (5) h.p. 71.76 0.68 h.p. 48.8 η P P bomba u a 4. Selección de la Bomba
Para elegir la bomba más apropiada a las condiciones dadas del problema, se utilizará la siguiente gráfica suministrada por el fabricante de las bombas centrifugas. Para ello, se entrará a dicha figura con los valores de
min l 3030 s l 50.5 Q y HB 73.44m.
__________________________________________________________________________________________________
En dicha figura se observa que la bomba que cumple con estas exigencias quedaría en una situación intermedia entre las bombas comerciales No. 1 (n 1750rpm,
h.p. 75
Pa1 ) y la No. 2 (n = 2000 rpm, P2= 100 h.p.).
Por tanto, se seleccionará la Bomba No. 2, por tener una potencia mayor que la requerida y por suministrar una cabeza, H, y un caudal, Q, mayores que los exigidos por la situación real. Luego, la bomba seleccionada tiene las siguientes especificaciones: Bomba: 5 x 6 x 15
Diámetro del rotor: D = 381 mm
Velocidad Variable: 1150 n 2000 rpm Potencia nominal: P = 75 h.p.
__________________________________________________________________________________________________
Conexión a la succión: Ds = 6”
Conexión a la impulsión: Di = 5”
5. Cálculo del NPSH disponible, NPSHdisponible
s T s v A disponible H h γ p p NPSH (6) s T s v a Atmosféric disponible H h γ p p NPSH (7)
A 1500 m sobre el nivel del mar, patm = 8.4 2 cm N = 0.8571 2 cm kgf = 8571 2 m kgf
Para una temperatura del agua, T = 20ºC, v 2 2 2
m kgf 239 cm kgf 0.0239 cm N 0.234 p
Además, la altura de succión ,Hs = 1.8 m.
Reemplazando valores numéricos en la ecuación (7):
m 4.02 m 1.8 m kgf 1000 m kgf 239 8571 NPSH 3 2 disponible m 2.512 NPSHdisponible6. Cálculo del NPSHrequerido
De la misma gráfica del fabricante, para la bomba seleccionada (n = 2000 rpm), se encuentra que, para
min l 3030 s l 50.5 Q , NPSHrequerido 2.0m De esta manera, m 2.0 NPSH m 2.51 NPSHdisponible requerido
__________________________________________________________________________________________________
7. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx
s T v A máx s Δh h γ p p H (8) s T requerido v a Atmosferic máx s NPSH h γ p p H (9)
Reemplazando valores numéricos en la ecuación (9), se tiene:
m 4.02 m 2.0 m kgf 1000 m kgf 239 8571 H 3 2 máx s m .31 2 Hsmáx Chequeo: Hsmáx 2.31mHs 1.8m Problema No. 19Para el sistema de bombeo mostrado en la figura, calcule la presión en el nodo C, las presiones de succión y descarga de la bomba, el caudal de la línea 3 y la potencia útil de la bomba. Solución. 5 . 1 Q 66 . 639 58 . 68 HB
s m Q ; m H 3 B Línea 1: L= 67.1 m D = 406 mm C = 120 Línea 2: L = 670.6 m D = 105 mm C = 120 Línea 3: L = 304.8 m D = 305 mm C = 120__________________________________________________________________________________________________ Potencia útil: u H Q u P B 1.852 852 . 1 63 . 2 L Q D C 5866 . 3 f h Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y D, se tiene:
g 2 v p z h h H h g 2 v p z 2 D D D 3 f 2 f B 1 f 2 A A A
Considerando presiones relativas y despreciando las cabezas de velocidades, y reemplazando los valores numéricos, se tiene:
D 852 . 1 3 3 852 . 1 63 . 2 3 3 852 . 1 2 2 63 . 2 2 2 5 . 1 1 852 . 1 1 1 852 . 1 63 . 2 1 1 A z Q L D C 5866 . 3 Q L D C 5866 . 3 Q 66 . 639 58 . 68 Q L D C 5866 . 3 z Por la ecuación de continuidad:
q Q Q
__________________________________________________________________________________________________
1.852 3 3 85 2 . 1 63 . 2 3 3 852 . 1 3 2 63 . 2 2 2 5 . 1 3 852 . 1 3 1 852 . 1 63 . 2 1 1 A D Q L D C 5866 . 3 q Q L D C 5866 . 3 q Q 66 . 639 58 . 68 q Q L D C 5866 . 3 z z Agrupando términos y reemplazando valores numéricos, resulta:
87 . 4 852 . 1 3 87 . 4 87 . 4 852 . 1 3 852 . 1 5 . 1 3 305 . 0 Q 8 . 304 305 . 0 6 . 670 405 . 0 1 . 67 0212 . 0 Q 120 5866 . 3 0212 . 0 Q 66 . 639 58 . 68 1 . 38 4 . 91 Organizando se tiene:
Q 0.0212
335.226848
Q 0.0212
148.6291144 Q 15.28 0 66 . 639 3 1.5 3 1.852 13.852 s m 0501046 . 0 Q 3 3 s l 1 . 50 Q3
s m 0212 . 0 0501046 . 0 s m 0212 . 0 Q Q Q Q 3 3 3 B 2 1 s m 0713046 . 0 Q Q Q 3 B 2 1 Cálculo de la altura útil, Hu = HB
1.5 B u H 68.58 639.66 0.0713046 H m 4 . 56 Hu __________________________________________________________________________________________________
Cálculo de la potencia útil de la bomba, Pu
u B u Q H P
56.4m
s m 0713046 . 0 m kgf 1000 P 3 3 u s m kgf 58 . 4021 Pu . v . c 62 . 53 . v . c 75 58 . 4021 Pu h.p. 92 . 52 h.p. 76 58 . 4021 Pu kW 41 . 39 W 48 . 39411 s J 48 . 39411 s m N 8 . 9 58 . 4021 Pu Cálculo de la presión en C, pc. Bernoulli entre A y C: g 2 v p z h H h 0 0 z 2 C C C 2 f B 1 f A
4 2 2 2 2 2 f 1 f A C B C D g Q 8 h h z z H p 4 2 2 2 2 1.852 2 2 1.852 2.63 2 2 1.852 1 1 2.63 1 1 1 C 1.5 B C D g π Q 1 8 Q L D C 3.5866 Q L D C 3.5866 z z Q 639.66 68.58 γ p Reemplazando valores:
68.58 12.179
m 7.6m 0.0611m 2.46m 0.0486m pC . a . c m 2313 . 46 m 0486 . 0 m 46 . 2 m 0611 . 0 m 6 . 7 m 401 . 56 pC __________________________________________________________________________________________________ 2 2 3 C cm kgf 6231 . 4 m kgf 3 . 46231 m kgf 1000 m 2313 . 46 p
Cálculo de la presión de succión o presión a la entrada de la bomba, pa
Bernoulli entre A y e: g 2 v p z h g 2 v p z 2 e e e 1 f 2 A A A
Despreciando la velocidad en A y tomando presiones relativas, se tiene
g 2 v z h z p e2 e 1 f A e
4 1 2 2 1 f e A e D g Q 8 h z z p Remplazando valores numéricos, se tiene:
9.8 0.406
m 0713046 . 0 1 8 m 0611 . 0 m 05 . 35 1 . 38 p 4 2 2 e m 9734 . 2 m 0155 . 0 m 0611 . 0 m 05 . 3 pe Cálculo de la presión dinámica de descarga o presión a la salida de la bomba, ps
Ecuación de Bernoulli entre e y s:
g 2 v p z H g 2 v p z 2 s s s B 2 e e e
g 2 v v H p p e2 2s B e s 2 2 s 2 B 2 2 e B B e s D Q 4 D Q 4 g 2 H p p__________________________________________________________________________________________________ 2 4 s 2 4 e 2 2 B B e s D 1 D 1 g Q 8 H p p
4 2 4 2 4 2 2 2 2 s m 1 305 . 0 1 406 . 0 1 s m 8 . 9 s m 0713046 . 0 1 8 m 401 . 56 m 9734 . 2 p m 0331 . 0 m 401 . 56 m 9734 . 2 ps m 341 . 59 ps Problema No. 20Los resultados de un ensayo elemental de una bomba rotodinámica, girando a 1450 rpm, se presentan en la siguiente tabla:
Q (l/s) 40 80 120 160 200
H (m) 32.0 30.5 28.0 24.5 20.0
Pa(kW) 34.2 39.2 45.0 52.5 64.5
Aplicando las ecuaciones de regresión lineal por mínimos cuadrados, ajuste una expresión de la forma HacQ2, y otra de la forma dQ e Q2
η , para dicha bomba.
Además, calcule su eficiencia máxima, sus características nominales (Q N, H N y PaN) y su
__________________________________________________________________________________________________
N 1 i 2 i N 1 i i a N c Q H
N 1 i 3 i N 1 i 2 i N 1 i i i Q d Q e Q η
N 1 i 4 i N 1 i 2 i N 1 i 2 i i Q a Q c Q H
N 1 i 4 i N 1 i 3 i N 1 i 2 i i Q d Q e Q ηN: Número de puntos (Hi, Qi) N: Número de puntos (i, Qi)
1. Ajuste de la curva H vs. Q
Se trata de determinar una ecuación de la forma HacQ2, y otra, de la forma 2
Q e dQ
η , para la bomba, aplicando los siguientes sistemas de ecuaciones
N 1 i 2 i N 1 i i a N c Q H (1)
N 1 i 4 i N 1 i 2 i N 1 i 2 i i Q a Q c Q H (2)
N 1 i 3 i N 1 i 2 i N 1 i i i Q d Q e Q η (3)
N 1 i 4 i N 1 i 3 i N 1 i 2 i i Q d Q e Q η (4)Donde N es el número de puntos (Hi, Qi) ó (i, Qi) de las respectivas curvas
características.
En este problema, se trabajará con caudales en m3/s.
135 H N 1 i i
; Q 0.088 N 1 i 2 i
; H Q 2.0768 N 1 i 2 i i
; Q 0.00250624 N 1 i 4 i
De (1):
2 i i c Q H N 1 a (5) (5) en (2):
4 i 2 i 2 i i 2 i i H c Q Q c Q N 1 Q H
2 i 2 i 4 i 2 i i 2 i i Q Q N c Q c Q H N 1 Q H__________________________________________________________________________________________________
2 2 i 4 i 2 i i 2 i i Q N 1 Q c Q H N 1 Q H
2
2 i 4 i 2 i i 2 i i Q N 1 Q Q H N 1 Q H c
(6)Reemplazando las respectivas sumatorias en la ecuación (6), se tiene:
312.5 5 088 . 0 00250624 . 0 5 088 . 0 135 0768 . 2 c 2 (7)Ahora, se sustituye el valor de c en la ecuación (5), para determinar el valor del coeficiente a, así:
135 312.5 0.088
32.5 5 1 a (8)Ecuación de regresión para H:
2 Q 312.5 -32.5 H ; H (m), Q (m3/s) (9)
2. Cálculo de los valores de la potencia útil, Pu
m H s m Q m kgf γ H Q γ P 3 3 u (10)
s m N H Q 81 . 9 1000 s m kgf H Q 1000 m H s m Q m kgf 1000 P 3 3 u kW H Q 1000 81 . 9 1000 W H Q 81 . 9 1000 s J H Q 81 . 9 1000 Pu
m kW H s m Q 81 . 9 P 3 u (11)__________________________________________________________________________________________________
Sustituyendo los valores de Q (m3/s) y de H (m) de la Tabla de Datos en la ecuación (11), se obtienen los correspondientes valores Pu.
Por ejemplo, para Q = 40 l/s = 0.040 m3/s, y H = 32.0 m, se tiene:
kW 12.5568 kW 32 04 . 0 81 . 9 Pu (11’)
3. Cálculo de los valores de eficiencia, 100 P P η a u (12)
Con ayuda de la ecuación (12) se calculan los respectivos valores de la eficiencia de la bomba,, completando la Tabla de Datos.
Por ejemplo, para Q = 40 l/s = 0.040 m3/s, y H = 32.0 m, Pu = 12.5568 kW y
Pa = 34.2 kW, se tiene: % 7958 . 36 100 kW 34.2 kW 12.5568 η (13) 4. Ajuste de la curva vs. Q
Ahora, se determinará la expresión que relaciona la eficiencia, , con el caudal, Q, que
impulsa la bomba, de la forma ηdQeQ2.
De la ecuación (2),
