62. La derivada dtydxdel ejemplo 4 a. Demuestre que
es una función creciente de x. b. Pruebe que
es una función decreciente de x. c. Demuestre que
es una función creciente de x.
63. Sean f(x) y g(x) funciones derivables cuyas gráficas aparecen aquí. El punto ces el punto donde la distancia vertical entre las curvas es mayor. ¿Hay algo especial en las tangentes a las dos curvas en c? Justifique su respuesta.
64. Le han pedido determinar si la funciónf(x) 53 14 cos x1cos 2x es negativa en algún punto.
x ac b yf(x) yg(x) dt dx = x c12a2 + x2 - d -x c22b2 + sd -xd2 gsxd = d -x 2b2 +sd -xd2 ƒsxd = x 2a2 +x2
a. Explique por qué es suficiente considerar valores de xen el inter-valo [0, 2p].
b. ¿Esf negativa en algún punto? Explique.
65. a. La función tiene un valor máximo absoluto en el intervalo 0 ,x, p. Encuéntrelo.
b. Grafique la función y compare lo que ve con la respuesta que dio en el inciso (a).
66. a. La función y5tan x13 cot xtiene un valor mínimo absoluto en el intervalo 0 ,x, py2. Encuéntrelo.
b. Grafique la función y compare lo que ve con la respuesta que dio en el inciso (a).
67. a. ¿Qué tan cerca está la curva del punto (3y2, 0)? ( Suge-rencia:Si minimiza el cuadradode la distancia, puede evitar las raíces cuadradas).
b. Grafique juntas la función distancia D(x) y luego ajuste sus resultados con la respuesta que obtuvo en el inciso (a).
68. a. ¿Qué tan cerca está la semicircunferencia del punto
b. Grafique juntas la función distancia luego ajuste sus resultados con la respuesta que obtuvo en el inciso (a).
y= 216 -x2 A1, 23B? y= 216 -x2 (x, 兹x) 0 3 2, 0 y x y兹x ⎛ ⎝ ⎛⎝ y = 2x y= 2x y=cotx- 22cscx T T T T
4.6
Método de Newton
En esta sección estudiamos un método numérico, denominado método de Newtono método de
Newton-Raphson, el cual es una técnica para aproximar la solución de una ecuaciónf(x) 50.
En esencia, utiliza rectas tangentes en vez de la gráfica de y5f(x) cerca de los puntos donde
f es cero. (Un valor de xdonde f es cero es una raízde la función f y una soluciónde la
ecuaciónf(x) 50).
Procedimiento para el método de Newton
El objetivo del método de Newton para la estimación de una solución de la ecuación f(x) 50
es producir una sucesión de aproximaciones que tiendan a la solución. Seleccionamos el
pri-mer núpri-mero x0de la sucesión. Luego, en circunstancias favorables, el método hará el resto al
ir paso a paso hacia un punto donde la gráfica de f cruza al eje x(figura 4.41). En cada paso,
el método aproxima un cero de f con un cero de una de sus linealizaciones. A continuación
veremos cómo funciona.
La estimación inicial x0puede determinarse mediante graficación o con una simple
con-jetura. Entonces, el método utiliza la tangente a la curva y5f(x) en (x0,f(x0)) para aproximar
el punto x1es una mejor aproximación a la solución que x0. El punto x2, donde la tangente a
la curva en (x1,f(x1)) cruza al eje x, es la siguiente aproximación en la sucesión. Continuamos
así, usando cada aproximación para generar la siguiente, hasta que estemos suficientemente cerca de la raíz para detenernos.
Es posible deducir una fórmula para generar las sucesivas aproximaciones de la siguiente
manera. Dada la aproximación xn, la ecuación punto pendiente para la tangente a la curva en
(xn,f(xn)) es
Podemos determinar dónde cruza el eje xsi hacemos y50 (véase la figura 4.42):
Sif9(xn) Z0.
Este valor de x es la siguiente aproximación xn11. A continuación hacemos un resumen del
método de Newton. x = xn -ƒsxnd ƒ¿sxnd -ƒsxnd ƒ¿sxnd = x - xn 0 = ƒsxnd + ƒ¿sxndsx - xnd y = ƒsxnd + ƒ¿sxndsx - xnd.
Aplicación del método de Newton
Por lo general, las aplicaciones del método de Newton implican muchos cálculos numéricos, lo que las hace muy adecuadas para computadoras o calculadoras. No obstante, los cálculos, aun cuando se hagan manualmente (lo cual podría ser muy tedioso), constituyen una muy buena forma de determinar soluciones de ecuaciones.
En nuestro primer ejemplo determinamos aproximaciones decimales a estimando la
raíz positiva de la ecuación f(x) 5x222 50.
EJEMPLO 1 Determine la raíz positiva de la ecuación
Solución Conf(x) 5x222 y f9(x) 52x, la ecuación (1) se transforma en
= xn 2 + 1 xn. = xn -xn 2 + 1 xn xn+1 = xn -xn2 - 2 2xn ƒsxd = x2 - 2 = 0 . 22 Método de Newton
1. Conjeture una primera aproximación a la solución de la ecuación f(x) 50. Una
gráfica de y5f(x) será de utilidad.
2. Utilice la primera aproximación para obtener una segunda, con ésta obtenga una
tercera, y así sucesivamente, mediante la fórmula
. (1) xn+1 = xn -ƒsxnd ƒ¿sxnd , si ƒ¿sxnd Z 0 x y 0 Raíz buscada x0 x1 x2 x3
Cuarta Tercera Segunda Primera
APROXIMACIONES (x1, f(x1)) (x2, f(x2))
(x0, f(x0))
yf(x)
FIGURA 4.41 El método de Newton comienza con una aproximación inicial x0
y (en circunstancias favorables) en cada paso mejora la aproximación.
x y 0 Raíz buscada Recta tangente (gráfica de la linealización de f en xn) yf(x) (xn, f(xn)) xn Punto: (xn, f(xn)) Pendiente: f'(xn)
Ecuación de la recta tangente:
y f(xn) f'(xn)(xxn)
xn1 xn f'f((xxn) n)
FIGURA 4.42 La geometría de los pasos consecutivos del método de Newton. A partir de xnsubimos a la curva y seguimos la recta
La ecuación
nos permite ir de una aproximación a la siguiente con unos cuantos tecleos. Con el valor inicial
x051, obtenemos los resultados de la primera columna de la tabla que aparece a continuación.
(Con cinco cifras decimales, )
Número de Error dígitos correctos
1
0.08579 1
0.00246 3
0.00001 5
El método de Newton es el método utilizado por la mayoría de las calculadoras para calcu-lar raíces, ya que converge muy rápido (veremos más acerca de esto posteriormente). Si la arit-mética en la tabla del ejemplo 1 hubiera llevado 13 cifras decimales en vez de 5, entonces con
un paso más hubiéramos obtenido con más de 10 cifras decimales correctas.
EJEMPLO 2 Determine la coordenada xdel punto donde la curva y5x32xcruza a la recta
horizontal y51.
Solución La curva cruza a la recta cuando x32x51 o x32x21 50. ¿Cuándo esf(x) 5
x32x21 igual a cero? Comof(1) 5 21 yf(2) 55, sabemos, por el teorema del valor
in-termedio, que existe una raíz en el intervalo (1, 2) (figura 4.43).
Aplicamos el método de Newton af con el valor inicial x051. Los resultados se
presen-tan en la tabla 4.1 y la figura 4.44.
En n55, llegamos al resultado x65x551.3247 17957. Cuando xn115xn, la
ecua-ción (1) indica que f(xn) 5 0. Hemos encontrado una solución de f(x) 5 0 con nueve
decimales. 22 x3 = 1.41422 x2 = 1.41667 x1 = 1.5 -0.41421 x0 = 1 22 = 1.41421 . xn+1 = xn 2 + 1 xn x y 0 5 1 10 –1 2 3 15 20 yx3x 1 FIGURA 4.43 La gráfica def(x) 5 x32x21 cruza una vez al eje x; ésta es la
raíz que queremos encontrar (ejemplo 2).
En la figura 4.45 indicamos que el proceso en el ejemplo 2 podría haber iniciado en el
punto B0(3, 23) en la curva, con x053. El punto B0está muy lejos del eje x, pero la tangente
en B0cruza al eje xalrededor de (2.12, 0), así que x1sigue siendo mejor que x0. Si, como
an-tes, utilizamos la ecuación (1) de manera repetida con f(x) 5x32x21 y f9(x) 53x221,
obtendremos la solución con nueve decimales, x75x651.3247 17957 en siete pasos.
TABLA 4.1 El resultado de la aplicación del método de Newton af(x) 5x32x21
con x051 n xn ƒ(xn) ƒⴕ(xn) 0 1 2 1.5 1 1.5 0.875 5.75 1.3478 26087 2 1.3478 26087 0.1006 82173 4.4499 05482 1.3252 00399 3 1.3252 00399 0.0020 58362 4.2684 68292 1.3247 18174 4 1.3247 18174 0.0000 00924 4.2646 34722 1.3247 17957 5 1.3247 17957 -1.8672E-13 4.2646 32999 1.3247 17957 -1 xnⴙ1ⴝxn ⴚ ƒsxnd ƒ¿sxnd x 1 1.5 1.3478 Raíz buscada (1.5, 0.875) x1 x2 x0 yx3x 1 (1, –1)
FIGURA 4.44 Los primeros tres valores de xen la tabla 4.1 (con cuatro decimales).
x y 0 5 1 10 –1 2.12 3 15 20 25 Raíz buscada 1.6 yx3x 1 B0(3, 23) B1(2.12, 6.35) x1 x2 x0 –1兾兹31兾兹3
FIGURA 4.45 Cualquier valor inicial x0a la
Convergencia de las aproximaciones
En el capítulo 10 definiremos de manera precisa la idea de convergenciapara las
aproxima-ciones xnen el método de Newton. De manera intuitiva, queremos decir que cuando el número
nde aproximaciones aumenta, el valor xnse hace arbitrariamente cercano a la raíz deseada r.
[Esta noción es similar a la idea del límite de una función g(t) cuando ttiende a infinito, como
se definió en la sección 2.6].
En la práctica, el método de Newton por lo regular ofrece convergencia con una rapidez impresionante, pero ésta no se garantiza. Una forma de probar la convergencia es iniciar con la
gráfica de la función para estimar un adecuado valor inicial para x0. Se puede probar qué tan
cerca se está de un cero de la función evaluando uf(xn)u, y verificar que las aproximaciones
con-vergen al evaluar uxn2xn11u.
El método de Newton no siempre converge. Por ejemplo, si
la gráfica fuera como la de la figura 4.46. Si iniciamos con x05r2h, obtendremos x15r1h,
y las aproximaciones sucesivas van y regresan entre estos dos valores. Sin importar la cantidad de iteraciones, nunca estaremos más cerca de la raíz que lo que estuvimos con nuestra primera suposición.
Si el método de Newton converge, lo hace a una raíz. Sin embargo, sea cuidadoso. Existen situaciones en las que el método parece que converge, pero no hay una raíz allí. Por fortuna, tales situaciones son poco frecuentes.
Cuando el método de Newton converge a una raíz, podría no ser la raíz que se tenía en mente.La figura 4.47 muestra dos maneras en que esto puede suceder.
ƒsxd = e -2r - x, x 6 r 2x - r, x Ú r, x2 Raíz encontrada x1 Punto inicial Raíz buscada x x0 Raíz buscada x0 Punto inicial Raíz encontrada x x1 yf(x) yf(x)
FIGURA 4.47 Si inicia demasiado lejos, el método de Newton tal vez no se aproxime a la raíz que usted quiere.
Ejercicios 4.6
Determinación de raíces
1. Utilice el método de Newton para estimar las soluciones de la ecuación x21x21 50. Empiece con x
05 21 para la solución de
la izquierda y con x051 para la solución de la derecha. Después,
en cada caso, encuentre x2.
2. Use el método de Newton para estimar la solución real de x313x
11 50. Empiece con x050 y después encuentre x2.
3. Emplee el método de Newton para estimar los dos ceros de la función f(x) 5x41x23. Empiece con x
05 21 para el cero (raíz) de la
izquierda y con x051 para el cero de la derecha. Después, encuentre
en cada caso x2.
4. Use el método de Newton para estimar los dos ceros de la función f(x) 52x2x211. Empiece con x
050 para el cero de la izquierda
y con x052 para el cero de la derecha. Después, encuentre en cada
caso x2.
5. Use el método de Newton para encontrar la raíz cuarta positiva de 2 resolviendo la ecuación x4 22 50. Inicie con x
051 y
en-cuentre x2.
6. Use el método de Newton para encontrar la raíz cuarta negativa de 2; para ello, resuelva la ecuación x422 50. Empiece con x
05 21 y
encuentre x2.
7. Conjetura de una raíz Imagine que su primera suposición es afor-tunada, en el sentido de que x0es una raízf(x) 50. Suponiendo que
f9(x) está definida y no es cero, ¿qué pasa con x1 y las
aproxima-ciones subsiguientes?
8. Estimación de pi Se quiere estimar py2 con cinco cifras decimales usando el método de Newton para resolver la ecuación cos x50. ¿Importa con qué valor se empiece? Justifique su respuesta. Teoría y ejemplos
9. Oscilación Demuestre que si h .0, la aplicación del método de Newton a
lleva a x15 2hsi x05hy x15hsi x05 2h. Dibuje una figura para
mostrar qué pasa.
ƒsxd= • 2x, xÚ 0 2-x, x6 0 x y 0 r yf(x) x1 x0
FIGURA 4.46 El método de Newton no converge. Usted pasa de x0a x1y regresa
10. Aproximaciones que van de mal en peor Aplique el método de Newton a f(x) 5x1y3con x
051 y calcule x1, x2, x3y x4. Determine
una fórmula para uxnu. ¿Qué ocurre con uxnucuando n:2`?
Di-buje una figura que muestre qué ocurre.
11. Explique por qué los siguientes cuatro enunciados solicitan la misma información:
iii) Determine las raíces def(x) 5x323x21.
iii) Encuentre las coordenadas xde las intersecciones de la curva y5x3con la recta y53x11.
iii) Determine las coordenadas xde los puntos donde la curva y5x323xcruza la recta horizontal y51.
iv) Encuentre los valores de xdonde la derivada de g(x) 5 (1y4)x42(3y2)x22x15 es igual a cero.
12. Localización de un planeta Para calcular las coordenadas que ocupa un planeta en el espacio, tenemos que resolver ecuaciones como x51 10.5 sen x. Graficar la funciónf(x) 5x21 20.5 sen x sugiere que la función tiene una raíz cerca de x51.5. Use una ite-ración del método de Newton para mejorar dicha estimación. Esto es, empiece con x051.5 y encuentre x1. (Con cinco decimales, el valor
de la raíz es 1.49870). Recuerde utilizar radianes.
13. Intersección de curvas La curva y5tan xinterseca la recta y52x entre x50 y x5 py2. Utilice el método de Newton para encontrar dónde se encuentra esa intersección.
14. Soluciones reales de una ecuación de cuarto grado Use el méto-do de Newton para encontrar las méto-dos soluciones reales de la ecuación x422x32x222x12 50.
15. a. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación sen 3x50.99 2x2?
b.Utilice el método de Newton para encontrarlas. 16. Curvas que se intersecan
a. ¿Alguna vez cos 3xes igual a x? Justifique su respuesta. b. Use el método de Newton para determinar en dónde.
17. Encuentre los cuatro ceros reales de la funciónf(x) 52x424x211.
18. Estimación de pi Estime pcon tantos decimales como pueda des-plegar su calculadora; use el método de Newton para resolver la ecua-ción tan x50 con x053.
19. Intersección de curvas ¿En qué valor o valores de xcos x52x? 20. Intersección de curvas ¿En qué valores de xcos x5 2x? 21. Las gráficas de y5x2(x11) y y51yx(x.0) se intersecan en un
punto x5r. Utilice el método de Newton para estimar el valor de r con cuatro cifras decimales.
1 2 1 –1 0 3 2 x y yx1 yx2(x 1) r r, 1 ⎛ ⎝ ⎛⎝
22. Las gráficas de y se intersecan en un punto
x5r. Utilice el método de Newton para aproximar el valor de rcon cuatro cifras decimales.
23. Utilice el teorema del valor intermedio de la sección 2.5 para probar que f(x) 5x312x24 tiene una raíz entre x51 y x52. Después
encuentre la raíz con cinco cifras decimales.
24. Factorización de una ecuación de cuarto grado Encuentre los va-lores aproximados de r1a r4en la factorización
25. Convergencia a distintos ceros Utilice el método de Newton para encontrar los ceros de f(x) 54x4 24x2 con los valores iniciales
dados.
a. y que pertenece a
b. y que pertenece a
c. y que pertenece a
d. y
26. El problema de la boya de sonar Cuando se necesita localizar un submarino, con frecuencia es necesario encontrar el punto más cer-cano de la trayectoria (PCT) del submarino a una boya de sonar (un detector de sonido) en el agua. Suponga que el submarino viaja por la trayectoria de la parábola y5x2y que la boya está localizada en
el punto (2, 21y2).
a. Demuestre que el valor de xque minimiza la distancia entre el sub-marino y la boya es una solución de la ecuación x51y(x211).
b. Resuelva la ecuación x51y(x211) con el método de Newton.
27. Curvas casi planas en la raíz Algunas curvas son tan planas que, en la práctica, el método de Newton se detiene demasiado lejos de la raíz para dar una estimación útil. Intente usar el método de Newton en f(x) 5(x21)40con el valor inicial x
052 para ver qué tanto se
acer-ca su acer-calculadora a la raíz x51. Véase la figura a continuación. x y 0 2, – 1 12 Boya sónica PCT Trayectoria del submarino en dos dimensiones 1 2 ⎛ ⎝ ⎛⎝ y x2 x0 = 221>7 x0 = -221>7 A22>2, qB x0 =2 , x0 =0.8 A-221>7, 221>7B x0 =0.25 , x0 = -0.5 A- q, -22>2B x0 = -0.8 , x0 = -2 x y 2 1 –1 2 –4 –6 –2 –8 –10 –12 y 8x4 14x3 9x2 11x 1 8x4 -14x3-9x2 +11x-1=8sx-r1dsx-r2dsx-r3dsx-r4d. y=3 - x2 y = 2x T T T T T T
x y 0 (2, 1) 1 1 2 Casi plana Pendiente 40 Pendiente –40 y (x 1)40
28. La siguiente figura muestra un círculo de radio rcon una cuerda de longitud 2 y un arco sde longitud 3. Utilice el método de Newton para determinar ry u(en radianes) con cuatro cifras decimales. Su-ponga que 0 , u , p. u 2 r r s 3
4.7
Antiderivadas
Hemos estudiado cómo determinar la derivada de una función. Sin embargo, muchos proble-mas requieren que recuperemos una función a partir del conocimiento de su derivada (es decir, del conocimiento de su tasa de cambio). Por ejemplo, suponga que conocemos la función ve-locidad de un objeto que cae desde una altura inicial y que necesitamos conocer su altura en
cualquier instante. Con mayor generalidad, queremos conocer una función Fa partir de su
de-rivada f. Si tal función Fexiste, se denomina una antiderivadade f. En el siguiente capítulo
veremos que las antiderivadas son el enlace que relaciona los dos elementos principales del cálculo: las derivadas y las integrales definidas.
Determinación de antiderivadas
El proceso de recuperar una función F(x) a partir de su derivada f9(x) se denomina
anti-derivación. Utilizamos letras mayúsculas, como F, para representar una antiderivada de una
funciónf; Grepresenta la antiderivada de gy así sucesivamente.
EJEMPLO 1 Determine una antiderivada para cada una de las siguientes funciones.
(a) (b) (c)
Solución Aquí necesitamos pensar al revés: ¿Qué función que conozcamos tiene una
deri-vada igual a la función dada?
(a) (b) (c)
Cada respuesta puede verificarse mediante derivación. La derivada de F(x) 5x2es 2x.
La derivada de G(x) 5sen xes cos x, y la derivada de H(x) 5x21sen xes 2x1cos x.
H(x) = x2 + sen x Gsxd = sen x Fsxd = x2 h(x) = 2x + cos x gsxd = cos x ƒsxd = 2x
DEFINICIÓN Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si
