SUCESOS Y PROBABILIDAD
Notas
Indice
1. OBJETIVOS 1
2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS 1
3. ESPACIO MUESTRAL. ÁLGEBRA DE SUCESOS 4
4. PROBABILIDAD 8
5. INDEPENDENCIA DE SUCESOS 14
BIBLIOGRAFÍA 14
APÉNDICE. NOTACIÓN MATEMÁTICA 16
1. Objetivos
• Revisar los principales aspectos de la Teoría de Conjuntos
• Conocer y manejar los conceptos básicos de un espacio probabilístico y relacionarlos con los fundamentos de la teoría de probabilidades
• Conocer y manejar los conceptos y fórmulas de los distintos tipos de probabilidades
• Ubicar la teoría de la probabilidad como una rama de las matemáticas aplicable a la solución de problemas reales.
• Aplicar los modelos probabilísticos • Conocer la axiomática de la probabilidad
• Examinar el uso de la teoría de la probabilidad en la toma de decisiones • Explicar las distinta maneras en que surge la probabilidad
• Utilizar las probabilidades para incorporar nueva información
• Comprender los enfoques de la probabilidad más usuales así como sus peculiaridades, ventajas e inconvenientes
• Manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlas a problemas concretos • Relacionar y distinguir los conceptos de probabilidad y frecuencia de un suceso
• Aplicar la definición de independencia
2. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos
George Cantor (1845-1918). Creó la teoría de conjuntos. La consideró como una extensión de la teoría de números, e introdujo los números cardinales y ordinales transfinitos.
Giuseppe Peano (1858-1932). Introdujo la terminología simbólica que todavía se utiliza actualmente.
2.1. Conjunto potencia
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto
M
se llama conjunto potencia deM
. Se le denota como2
M.Ejemplos:
(a)
M
=
{ }
1, 2
El conjuntoM
tiene 2 elementos{ } { } { }
{
}
2
M=
1 , 2 , 1, 2 ,
∅
entonces
2
2=
4
(b)
M
=
{
1, 2,3
}
El conjuntoM
tiene 3 elementos{ } { } { } { } { } { } {
}
{
}
2
M=
1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1,3 , 2,3 , 1, 2,3 ,
∅
entonces
2
3=
8
elementosSi un conjunto
M
es finito conn
elementos, entonces su conjunto potencia2
M tendrá2
n elementos.2.2. Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos
A
yB
no tienen ningún elemento común entoncesA
yB
son disjuntos.Ejemplo 1
conjuntos disjuntos
conjuntos no disjuntos
{
2, 4,6
}
A
=
M
=
{
o p q r s
, , , ,
}
{
1,3,5
}
B
=
N
=
{
s t u v
, , ,
}
A
yB
son disjuntosM
yN
no son disjuntos2.3. Subconjuntos
Se dice que un conjunto
B
es un subconjunto deA
si todo elemento deB
es elemento deA
. También puede decirse queB
está incluido enA
. La notaciónque se utiliza para representarlo es:B
⊆
A
o:B
⊂
A
Ejemplo 2
{
1,3,5
}
B
=
es subconjunto deA
=
{
1, 2,3, 4,5
}
. Formalmente se definiría así:si
B
⊆
A
∀ ∈
x B
⇒
x A
∈
El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto:
A
∅ ⊆
2.4. Reunión de dos conjuntos
La reunión de dos conjuntos
A
yB
es el conjuntoA
∪
B
, que tiene por elementos todos los elementos deA
y todos los deB
. Formalmente se expresa de la forma siguiente:{
}
o
x
∈
A B
∪
⇔
x
∈
A
x
∈
B
∀
x
Ejemplo 3 SiA
=
{
1,3,5,7,9,10
}
yB
=
{
2, 4,6,8,10
}
entonces:{
1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10
}
A B
∪ =
2.5. Intersección de dos conjuntos
La intersección de dos conjuntos
A
yB
es el conjuntoA
∩
B
, que tiene por elementos aquellos que pertenecen simultáneamente aA
y aB
. Formalmente lo indicamos así:{
}
y
x
∈
A B
∩
⇔
x
∈
A
x
∈
B
∀
x
Ejemplo 4 SiA
=
{
1,3,5,7,9,10
}
yB
=
{
2, 4,6,8,10
}
entonces:{ }
10
A B
∩ =
2.6. Producto de dos conjuntos
El producto cartesiano de dos conjuntos
A
yB
es el conjunto que tiene por elementos todos los pares ordenados( )
a b
,
cona A
∈
yb B
∈
:( )
{
,
,
}
A B
× =
a b
: ∈
a A b B
∈
Ejemplo 5 SiA
=
{
1, 2,3
}
yB
=
{ }
a b
,
entonces:{ } { } { } { } { } { }
{
1,
, 1, , 2,
, 2, , 3,
, 3,
}
A B
× =
a
b
a
b
a
b
Gráficamente:2.7. Correspondencia de dos conjuntos
Una correspondencia entre dos conjuntos
A
yB
consta de los conjuntosA
yB
y de un subconjuntoG
⊆ ×
A B
del producto cartesianoA B
×
.Ejemplo 6
{
1, 2,3, 4,5
}
A
=
; espacio muestralB
=
{
a e i o u
, , , ,
}
:{ } { } { } { }
{
1,
, 1,
, 4,
, 5,
}
G
=
a
o
o
u
Gráficamente:2.8. Propiedades de la teoría de conjuntos
1.4.5. Propiedades de la teoría de conjuntos
(a) Conmutativa:
A B
B A
A B
B A
∪ = ∪
∩ = ∩
(b) Asociativa:(
) (
)
(
) (
)
A
B C
A B
C
A
B C
A B
C
∪
∪
=
∪
∪
∩
∩
=
∩
∩
(c) Leyes de Morgan:A B
A B
A B
A B
∪ = ∩
∩ = ∪
(d) Distributivas:(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
A
B C
A B
A C
A
B C
A B
A C
∪
∩
=
∪
∩
∪
∩
∪
=
∩
∪
∩
(e) Además:A A
A A
A B
A B
∩ = ∅
∪ = Ω
− = ∩
Ejemplo: sea el experimento aleatorio “lanzar un dado”, y sean: suceso
A
= “sacar un número par” = {2, 4, 6}suceso
B
= “sacar un número mayor o igual a “4” = {4, 5, 6} Se tiene:{
}
{
}
{
}
{ }
{ }
{ }
1,3,5
1, 2,3
2, 4,5,6
4,6
2
5
A
B
A B
A B
A B
B A
=
=
∪ =
∩ =
− =
− =
3. Espacio muestral. Álgebra de sucesos
3.1. Espacio muestral. Álgebra de sucesos
3.1.1. Fenómenos aleatorios
Sus características más notables son:
(a) es posible repetir el experimento indefinidamente, sin cambiar las condiciones iniciales; (b) una pequeña modificación en las condiciones iniciales altera el resultado final;
(c) no se puede predecir un resultado particular, pero se puede dar el conjunto de todos los resultados posibles;
(d) si el experimento se repite un gran número de veces aparece un modelo de regularidad.
Definición: Se dice que un experimento es aleatorio, estocástico o estadístico, si, pudiéndose repetir indefinidamente en análogas condiciones, es imposible predecir el resultado, aún conociendo las condiciones iniciales. En un experimento aleatorio no conocemos el resultado hasta que se ha realizado la prueba.
Ejemplos:
• sacar una carta de la baraja; • lanzar un dado;
• lanzar una moneda;
• sacar una bola de un bombo de la lotería.
No son experimentos aleatorios:
• el resultado de una reacción química;
• la velocidad de llegada de un cuerpo a tierra al dejarlo caer desde una torre.
Nota: Llamaremos prueba a cada realización de un experimento.
3.1.2. Espacio muestral
Definición: el conjunto de todos los resultados posibles a que puede dar lugar un experimento aleatorio se llama espacio muestral. Suele representarse por
E
óΩ
; y diremos que es finito si el número de resultados posibles es finito.3.1.3. Sucesos
Definición: dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es
E
, se llama suceso a cada uno de los subconjuntos deE
.Distinguimos los siguientes tipos de sucesos:
• suceso simple o elemental: es el que sólo consta de un elemento; • suceso compuesto: es el que consta de dos o más elementos;
• suceso imposible: es el que nunca puede realizarse (viene determinado por el conjunto vacío,
∅
); • suceso seguro: es el que siempre se cumple (viene determinado por el conjunto total,E
);• sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes: son aquellos sucesos
A
yB
que no pueden realizarse a la vez:A B
∩ = ∅
Ejemplo: en el experimento aleatorio “lanzar un dado”: • espacio muestral:
E = 1, 2,3, 4,5,6
{
}
;• suceso simple: sacar un 2
E = 2
{ }
;• suceso compuesto: sacar un número impar
E = 1,3,5
{
}
;• suceso imposible: sacar un 7
E =
∅
;• suceso seguro: sacar un número menor que 7
E = 1, 2,3, 4,5,6
{
}
; • sucesos disjuntos:A
: sacar un número parE = 2, 4,6
{
}
;B
: sacar un número imparE = 1,3,5
{
}
3.1.4. Algebra de sucesos
Definición: Llamaremos álgebra de sucesos al conjunto de las partes del espacio muestral Ω o sea, al conjunto de todos los sucesos.
Nota: Teniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos de
E
(deΩ
), es aplicable la teoría general de conjuntos. Interesarán las operaciones de unión, intersección, diferencia y complementaria entre conjuntos.3.1.5 Operaciones con sucesos
Suceso contenido en otro
Con los sucesos se opera de manera similar a como se hace en los conjuntos y sus operaciones se definen de manera análoga. Los sucesos a considerar serán los correspondientes a un experimento aleatorio y por tanto serán subconjuntos del espacio muestral
E
.Dados dos sucesos
A
yB
de un experimento aleatorio: Diremos queA
está incluido enB
si cada suceso elemental deA
pertenece también aB
, es decir, siempre que ocurre el sucesoA
, también ocurre el sucesoB
, pero no al revés. Diremos también queA
implicaB
:o
A B
⊂
A
⇒
B
Igualdad de sucesos
Dados dos sucesos
A
yB
de un experimento aleatorio: Diremos queA
yB
son iguales si: Siempre que ocurre el sucesoA
también ocurreB
y al revés:A B
A
B
B A
⊂
=
⇔
⊂
Unión de sucesosDados dos sucesos
A
yB
de un experimento aleatorio, la unión de ambos sucesos,A B
∪
, es otro suceso compuesto por los resultados o sucesos elementales pertenecientes aA
, aB
, o a los dos a la vez (intersección).En general, dados
n
sucesos{
A A
1,
2, ,
A
n}
, su unión es otro suceso formado por los resultados o sucesos elementales que pertenecen al menos a uno de los sucesosA
iIntersección de sucesos
Dados dos sucesos
A
yB
de un experimento aleatorio, la intersección de ambos sucesos,A B
∩
, es otro suceso compuesto por los resultado o sucesos elementales que pertenecen simultáneamente aA
yB
:Sucesos disjuntos, incompatibles o excluyentes
Dados dos sucesos
A
yB
de un experimento aleatorio, diremos que estos sucesosA
yB
son disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún suceso elemental en común. Dicho de otra forma, si al verificarseA
no se verificaB
, ni al revés. Su intersección es el conjunto vacío:A B
∩ = ∅
.Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos
Dados
n
sucesos{
A A
1,
2, ,
A
n}
de un experimento aleatorio, diremos que estos forman una colección o sistema exhaustivo de sucesos si la unión de todos ellos es igual al espacio muestralE
.Diremos que estos forman un sistema completo de sucesos, o sistema exhaustivo y excluyente o una partición de
E
si, además de la anterior condición, se cumple que son disjuntos dos a dos, es decir, son mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles:1 2 1
,
,
E
,
n n i i i jA
A
A
A
A
A
i j
=∪
∪ ∪
=
=
∩
= ∅
∀ ≠
∪
El conjunto de todos los sucesos elementales que constituyen un espacio muestral forman una colección de sucesos mutuamente excluyente y exhaustivo ya que, de todos ellos, sólo uno debe ocurrir y no pueden ocurrir dos simultáneamente.
Suceso complementario o contrario
Dado un suceso
A
de un experimento aleatorio, se define como sucesoA
oA
c complementario o contrario deA
a otro suceso que ocurre cuando no ocurre el sucesoA
, o bien, es el suceso constituido por todos los sucesos elementales del espacio muestralE
que no pertenecen aA
. Se suele representar como:Diferencia de sucesos
Dados dos sucesos
A
yB
de un experimento aleatorio, se define como la diferencia de ambos sucesos a otro suceso constituido por los sucesos elementales que pertenecen aA
pero no aB
:A B
− = ∩
A
B
3.2. Frecuencia
3.2.1. Definiciones
Se llama frecuencia de un suceso aleatorio al número de veces que ocurre dicho suceso al realizar un experimento. Se denota
F
.Se llama frecuencia relativa de un suceso aleatorio al cociente entre la frecuencia y el número de veces que se ha realizado el experimento. Se denota
f
.3.2.2. Acotaciones de las frecuencias
Consideremos un resultado elemental del experimento aleatorio y observemos en
n
realizaciones la frecuencia con que se ha presentado este suceso, que llamaremosr
. Evidentemente:(
)
0
≤
F x r
n=
≤
n
Si dividimos entre
n
:0
F
nx r
1
n
=
≤
≤
Por lo tanto,(
)
0
≤
f x r
n=
≤
1
4. Probabilidad
4.1 Introducción
El término probabilidad viene del latín: probabilitas (En inglés: probability; francés: probabilité; alemán:
Wahrscheinlichkeit). Designa el grado de posibilidad de la aparición de un evento, pero también denomina el grado de certidumbre o credibilidad de una proposición. El término latino deriva de verbo probo, con el sentido de examinar, comprobar. Así, algo es probabilis (probable, comprobable en mayor o menor grado) si es posible comprobar –normalmente con argumentos– su validez aunque no se llegue a una certidumbre absoluta.
Al estudiar la realidad se describen dos tipos de experimentos: los determinísticos y los probabilísticos. Los determinísticos son aquellos que tienen un solo resultado posible de tal modo que son totalmente predecibles. Por ejemplo, al observar el mar se puede predecir la dirección de la próxima ola, al lanzar un objeto se predice el sentido de la caída.
Los experimentos probabilísticos tienen más de un resultado posible por lo cual cada resultado tiene una mayor o menor probabilidad de ocurrir pero no es totalmente predecible. Sólo después de la experiencia se puede alcanzar la certeza de la respuesta, ejemplo: lanzar una moneda y obtener cara, seguir un tratamiento y obtener la mejoría, extraer una muestra aleatoria de 15 personas del curso y obtener sólo mujeres, etc.
4.2. Definición clásica de probabilidad (regla de Laplace)
Sea
(
E,
A
)
un espacio probabilizable. Suponiendo que el espacio muestralE
es finito y que todos los sucesos elementales que lo componen son equiprobables(tienen la misma oportunidad de ocurrir) se define la probabilidad del sucesoA∈
A
como:( )
Pr
A
número de casos favorables a A
número de casos posibles
=
4.3. Definición frecuentista de probabilidad (Von Mises)
Sea
A
un suceso asociado a un experimento aleatorio que repetimosn
veces. Llamaremos frecuencia absoluta deA
al número de veces que ocurreA
:n A
( )
y frecuencia relativa deA
a la proporción de veces que ocurreA
:fr A
( )
n A
( )
n
=
Basándose en el principio de regularidad estadística (la frecuencia relativa tiende a estabilizarse en torno a un valor fijo cuando
n
aumenta) la aceptación de la objetividad de la probabilidad se define la probabilidad del sucesoA∈
A
como:( )
( )
( )
Pr
lim
lim
n nn A
A
fr A
n
→∞ →∞=
=
4.4. Definición subjetiva de probabilidad
Hay determinados experimentos aleatorios que no son susceptibles de realizarse y sus resultados no son equiprobables. Imaginemos que se quiere determinar la probabilidad: de que la economía de España crezca
en el próximo año un 3 %; que las acciones de una empresa se revaloricen en un 10 % en un mes; que una empresa presente suspensión de pagos; que un nuevo producto sea bien acogido en el mercado; que ocurra un accidente nuclear; etc.
En estas circunstancias, donde los experimentos solo se pueden realizar una vez o ninguna o que se puedan repetir pero en condiciones distintas, no son aplicables ninguna de las dos definiciones dadas anteriormente, por lo que no es posible asignar probabilidades mediante un procedimiento objetivo, debiendo recurrir a procedimientos de tipo subjetivo, a opiniones de expertos. En estos casos la probabilidad expresa un grado de creencia o confianza individual en relación con la ocurrencia o no de un determinado suceso. Se trata de un juicio personal sobre el resultado de un experimento aleatorio. Además debemos admitir la posibilidad de que distintos sujetos asignen probabilidades diferentes al mismo suceso. No obstante esta definición de probabilidad también satisface las tres propiedades vistas antes.
La interpretación subjetivista de la probabilidad, también denominada personal, personalista o bayesiana (según la concepción de T. Bayes), atribuye la presencia de cualidad “probable” en cualquier evento sólo a la incapacidad del observador, a su “ignorancia” para aprehender todo lo que realmente sucede.
4.5. Definición axiomática de probabilidad (Kolmogorov, 1933)
Sea Ω el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad es una función que transforma sucesos del espacio muestral en números reales que están entre 0 y 1, que verifica:
1. Cualquiera que sea el suceso
A
,Pr
( )
A
≥
0
;2. La probabilidad total es 1:
Pr
( )
Ω =
1
;3. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades: si
A B
∪ = ∅
, entoncesPr
(
A B
∪
)
=
Pr
( )
A
+
Pr
( )
B
Esta definición no dice cómo asignar las probabilidades ni siquiera a los sucesos elementales. Solo dice que cualquier asignación que hagamos debe verificar estos tres axiomas para que pueda llamarse probabilidad.
Propiedades:
1.
Pr
( )
∅ =
0
;2. La probabilidad de todo suceso
A
es un número comprendido entre 0 y 1:0 Pr
≤
( )
A
≤
1
; 3. La probabilidad del complementario de un sucesoA
esPr
( )
A
= −
1 Pr
( )
A
;4. Si dos sucesos son tales que
A B
⊂
, entoncesPr
( )
A
≤
Pr
( )
B
;5. Regla de la adición: si dos sucesos no son incompatibles, la probabilidad de su unión debe calcularse según la siguiente regla:
Pr
(
A B
∪
)
=
Pr
( )
A
+
Pr
( )
B
−
Pr
(
A B
∩
)
6. Partición finita:
A i
i,
=
1, ,
n
( )
( )
1 1 1Pr
Pr
Pr
1
n n n i i i i i i i jA
A
A
A
A
i
j
= = =
= Ω
Ω =
=
∩
= ∅
≠
∑
∪
∪
4.6. Espacios muestrales finitos
Definición: Llamaremos espacios muestrales finitos a los espacios muestrales que provengan de experimentos para los cuales sólo existe un número finito de resultados posibles, así
Ω =
{
w w
1,
2, ,
w
n}
En un experimento aleatorio con un espacio muestral finito, una distribución de probabilidad se especifica asignando una probabilidadp
i a cada resultadow
i∈Ω
:p
i=
Pr
(
{ }
w
i)
. Debe cumplirse:(a)
p
i≥
0
(b)
Pr
( )
Ω =
1
⇒
∑
p
i=
1
En estas condiciones, si
A
=
{
w w
i1,
i2, ,
w
i n}
, se tiene:Pr
( )
A
=
∑
p
i j.4.7. Espacios muestrales simples
Definición: Llamaremos espacios muestrales simples a los espacios muestrales finitos en los que todos los resultados son equiprobables (tienen la misma probabilidad). Si
Ω =
{
w w
1,
2, ,
w
n}
, entonces:{ }
(
)
1
Pr
w
ii
1, ,
n
n
=
∀ =
En estos espacios muestrales simples, dado un suceso
A
=
{
w w
i1,
i2, ,
w
i k}
conk n
<
se tiene:( )
Pr
A
casos favorables
k
casos posibles
n
=
=
expresión que está estrechamente relacionada con la fórmula de Laplace:
( )
Pr
S
número de elementos de S
casos favorables
número de elementos de
casos posibles
=
=
Ω
siendoS
un suceso cualquiera.Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara? El espacio muestral correspondiente es
Ω =
{
(
. .
,
) (
,
. ?
,
) (
, ,
? .
) (
, ,
? ?
)
}
y el sucesoA
= “al menos una cara” ={
(
. .
,
) (
,
. ?
,
) (
, ,
? .
)
}
. Así, la probabilidad pedida es:( )
3
Pr
4
casos favorables
A
casos posibles
=
=
4.8. Probabilidad condicionada
Dados dos sucesos
A
yB
∈Ω, se llama probabilidad deA
condicionada aB
y se escribePr
(
A B
|
)
a la probabilidad que existe de que ocurra el sucesoA
considerando que antes ha ocurrido el sucesoB
. Veamos cómo calcularPr
(
A B
|
)
:(
)
(
)
( )
Pr
|
Pr
Pr
números de casos favorables en A B
A B
números de casos posibles en B
números de casos favorables en A B
números de casos posibles en
números de casos posibles en B
números de casos posibles en
A B
B
∩
=
∩
Ω
=
Ω
∩
=
por lo tanto:(
)
Pr
(
( )
)
Pr
|
Pr
A B
A B
B
∩
=
Ejemplo: en un juego de dados, hemos apostado por el 2. Se tira el dado, y antes de ver el resultado, nos dicen que ha salido par. Hallar la probabilidad de ganar.
Sea
A
= {obtener un 2 al lanzar un dado}B
= {obtener un número al lanzar un dado} entonces:( )
( )
1
Pr
6
3
Pr
6
A
B
=
=
Por la expresión de la probabilidad condicionada,(
)
Pr
(
( )
)
Pr
|
Pr
A B
A B
B
∩
=
en este ejemplo,
A B
∩ =
{
obtener un
2
} {
∩
obtener un número par
} {
=
obtener un
2
}
, por lo que:(
)
1
Pr
6
A B
∩
=
y(
)
Pr
(
( )
)
1
6
1
Pr
|
3
Pr
3
6
A B
A B
B
∩
=
=
=
4.9. Probabilidad compuesta (teorema del producto)
Sea un espacio muestral
Ω
, dados dos sucesosA
yB
∈℘ Ω
( )
, tal quePr
( )
A
>
0
yPr
( )
B
>
0
, se cumple:(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
Pr
Pr
|
Pr
Pr
Pr
|
Pr
A B
A B
B
A B
A B
A
∩
=
×
∩
=
×
Esto es así porque por la definición de la probabilidad condicional,
(
)
Pr
(
( )
)
(
)
(
)
( )
Pr
|
Pr
Pr
|
Pr
Pr
B
A
A B
B
A
A B
B
B
∩
=
⇒
∩
=
×
Análogamente,(
)
Pr
(
( )
)
(
)
(
)
( )
Pr
|
Pr
Pr
|
Pr
Pr
B
A
A B
B
A
A B
A
A
∩
=
⇒
∩
=
×
Si en vez de 2 tenemos
n
sucesosA A
1,
2, ,
A
n∈℘ Ω
( )
entonces:(
)
( )
2 3 4 1 1 1 2 1 2 3Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
n iA
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
∩
=
×
×
×
× ×
∩
∩
∩
Ejemplo: supongamos que se extraen 4 bolas sin reemplazamiento de una urna que contiene 8 rojas y 10 azules. Calcular la probabilidad de obtener la secuencia “azul, rojo, rojo, azul“:
(
)
( )
2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 2 1 2 3Pr
,
,
,
Pr
Pr
Pr
Pr
10
8
7
9
18
17
16
15
0,0686
Ro
Ro
Az
Az Ro Ro Az
Az
Az
Az
Ro
Az
Ro
Ro
=
×
×
×
=
∩
∩
∩
=
×
×
×
=
=
4.10. Probabilidad total
Dado un espacio muestral
Ω
, y siendo{ }
A
i∈℘ Ω
( )
|
∪
A
i= Ω
, yA
i∩
A
j= ∅
∀ ≠
i j
y siendoB
un suceso del que se conocePr
(
B A
|
i)
,
∀
i
, se tiene que:( )
( )
Pr
Pr
Pr
i iB
B
A
A
=
×
∑
Demostración: sea(
1) (
2)
(
i)
(
n)
B
=
B
∩
A
∪
B
∩
A
∪ ∪
B
∩
A
∪ ∪
B
∩
A
Como son todos disjuntos:
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 1 2Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
n n i iB
B
B
B
A
A
A
A
A
A
B
A
A
=
×
+
×
+ +
×
=
=
×
∑
Ejemplo: Dos cajas contienen cerrojos grandes y pequeños. Supongamos que una caja contiene 30 grandes y 10 pequeños, que la otra contiene 30 grandes y 20 pequeños. Seleccionamos una caja al azar y extraemos un cerrojo. ¿Cuál es la probabilidad de que el cerrojo sea pequeño?
Sea:
A
1 = “seleccionar caja 1”2
A
= “seleccionar caja 2”B
= “seleccionar cerrojo pequeño”B
entonces:( )
( )
1( )
2 1 2Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
1 10
1 20
2 40
2 50
0,325
B
B
B
A
A
A
A
=
×
+
×
= ×
+ ×
=
4.11. Teorema de Bayes
Dado un espacio muestral
Ω
, y siendo{ }
A
i∈℘ Ω
( )
|
∪
A
i= Ω
, yA
i∩
A
j= ∅
∀ ≠
i j
, conociéndosePr
( )
A
i∀
i
, Pr
( )
A
i>
0
. SeaB
un suceso tal quePr
(
B
>
0
)
y del que se conocen(
)
Pr
B A
|
i∀
i
, entonces:(
)
(
)
( )
(
(
)
)
( )
( )
(
)
( )
1 1 2 2Pr
|
Pr
Pr
|
Pr
|
Pr
Pr
|
Pr
Pr
|
Pr
i i i n nB A
A
A B
B A
A
B A
A
B A
A
×
=
×
+
×
+ +
×
es decir:(
)
Pr
(
(
|
)
)
Pr
( )
( )
Pr
|
Pr
|
Pr
i i i k kB A
A
A B
B A
A
×
=
×
∑
Demostración: por la probabilidad condicionada tenemos
(
)
Pr
(
( )
)
Pr
|
Pr
i iA
B
A B
B
∩
=
si en el numerador aplicamos el teorema del producto, y en el denominador la probabilidad total, queda:
(
)
Pr
(
( )
)
Pr
(
(
|
)
)
Pr
( )
( )
Pr
|
Pr
Pr
|
Pr
i i i i k kA
B
B A
A
A B
B
B A
A
∩
×
=
=
×
∑
Ejemplo: Para la fabricación de un gran lote de artículos similares se utilizan 3 máquinas :
M
1,M
2 yM
3. La máquina 1 fabrica el 20 %, la máquina 2 el 30 %, y la máquina 3 el 50 % restante. La máquina 1 produce un 1 % de defectuosos, la máquina 2 un 2 % de defectuosos y la máquina 3 un 3 %. Se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. Calcular la probabilidad de que haya sido producido por la máquina 3.Sea:
D
= “ser defectuoso” iM
= “ser fabricado porM
i” Así:( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
1 1 2 2 3 3Pr
0, 2
Pr
|
0,01
Pr
0,3
Pr
|
0,02
Pr
0,5
Pr
|
0,03
M
D M
M
D M
M
D M
=
=
=
=
=
=
Nos piden la probabilidad del suceso
M D
3|
. Se cumple queM
1,M
2 yM
3. forman una partición, por lo que:(
)
(
(
3)
)
( )
( )
3 3Pr
|
Pr
Pr
|
Pr
|
Pr
0,03 0,5
0,01 0, 2 0,02 0,3 0,033 0,5
0,015
0,023
0,6522
i iD M
M
M D
D M
M
×
=
×
×
=
×
+
×
+
×
=
=
∑
5. Independencia de sucesos
Dos sucesos
A
yB
son estocásticamente independientes cuandoPr
(
A B
|
)
=
Pr
( )
A
, o sea, que el hecho de que ocurra el sucesoB
no influye para nada en la probabilidad del sucesoA
.5.1. Teorema de caracterización
Dos sucesos
A
yB
son independientes siPr
(
A B
∩
)
=
Pr
( )
A
×
Pr
( )
B
Tomando
Pr
(
A B
∩
)
=
Pr
(
A B
|
)
×
Pr
( )
B
, si son independientes , se tiene quePr
(
A B
|
)
=
Pr
( )
B
. Uniendo ambas cosas,Pr
(
A B
∩
)
=
Pr
( )
A
×
Pr
( )
B
.Alternativamente, si se tiene que
Pr
(
A B
∩
)
=
Pr
( )
A
×
Pr
( )
B
, comoPr
(
A B
∩
)
=
Pr
(
A B
|
)
×
Pr
( )
B
, sustituyendo:Pr
( )
A
×
Pr
( )
B
=
Pr
(
A B
|
)
×
Pr
( )
B
. Por lo tanto,Pr
( )
A
=
Pr
(
A B
|
)
, de modo que los sucesosA
yB
son independientes. Como consecuencia:(
)
( )
(
)
( )
Pr
|
Pr
Pr
|
Pr
A B
A
B A
B
=
=
5.2. Propiedades de la independencia estocástica
(a) SiA
yB
son independientes ⇒A
yB
también lo son; (b) SiA
yB
son independientes ⇒A
yB
también lo son; (c) SiA
yB
son independientes ⇒A
yB
también lo son;(d) Si existe implicación entre
A
yB
⇒ no existe independencia (salvo queA
= Ω
óB
= Ω
);(e) Si dos sucesos son incompatibles ⇒ no existe independencia (salvo que
Pr
( )
A
=
0
óPr
( )
B
=
0
). Nota:Diremos que tres sucesosA
1,A
2 yA
3 son independientes si, y sólo si, verifican las relaciones:(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
∩
=
×
∩
=
×
∩
=
×
∩
∩
=
×
×
Esta definición se puede generalizar a
n
sucesos.Bibliografía
En Internet
http://www.unavarra.es/estadistica/LE/Estadistica/ www.uhu.es/45110/Ficheros%20de%20datos/Tema%2006.ppt http://www.campusvirtual.uma.es/est_fisio/apuntes/ www.eumed.net/cursecon/libreria/2004/jsf/6.pdf http://facultad.sagrado.edu/ConceptosBasicos.pdf http://csic1.csic.edu.uy/~ecabana/licest/probabilidad2/prob2-2005.pdf http://www.eumed.net/cursecon/libreria/drm/drm-estad.pdf http://www.eui.upm.es/~acorral/material/index.html http://www.ciberconta.unizar.es/docencia/estadisticaftp.medprev.uma.es/libro/html.htm www.hrc.es/bioest/M_docente.html idea.uab.es/fklijn/bio/indexold.htm www.um.es/estadempresa/estapli2/conver.pdf www.chups.fr/polys/biostats/poly/stats.pdf www.anu.edu.au/nceph/surfstat/surfstat-home/contents.html www.uvp5.univ-paris5.fr/staticmed/E-STAT/PlantStatPCEM1.htm www.eumed.net/libros/2006a/rmss/index.htm halweb.uc3m.es/omar/taller/TALLER.html C:\DOCUMENTS\CURS_ESTADISTICA\MODULO_1\MATERIAL_1_MP\PROBABILIDAD\PROBABILIDAD_ Notas_7.doc
Libros
Martínez González MA, De Irala Estévez J, Faulín Fajardo FJ. Bioestadística amigable. Madrid: Díaz de Santos, 2001
Spiegel, MR. Estadística, 2ª Edición. México: McGraw-Hill, 2000.
Horra Navarro, J. Estadística aplicada, 3ª Edición. Madrid: Díaz de Santos, 2003
A.Martín Andres, J.de D. Luana del Castillo. Bioestadística para las Ciencias de la Salud, 5ª Edición. Madrid: Norma, 2004
Apéndice. Notación matemática
operación
notación
se lee
pertenencia
x A
∈
x
pertenece aA
A B
⊂
A
está incluido enB
/A
está parcialmente incluido enB
A B
⊆
A
está incluido o es igual aB
/A
está incluido enB
A B
⊃
A
incluye aB
inclusión
A B
⊇
A
incluye o es igual aB
Nota: Una barra cruzada sobre el símbolo invierte el enunciado, por ejemplo
x A
∉
: "x
no pertenece aA
";notación
se lee
cuantificador universal
∀
x
para todox
...cuantificador existencial
∃
x
existex
... / existe por lo menos (un)x
tal que
x y
|
x
, tal quey
por lo tanto
x
⇒
y
x
por lo tantoy
operación
notación
se lee
negación
¬
p
nop
conjunción