SUCESOS Y PROBABILIDAD

(1)

SUCESOS Y PROBABILIDAD

Notas

Indice

1. OBJETIVOS 1

2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS 1

3. ESPACIO MUESTRAL. ÁLGEBRA DE SUCESOS 4

4. PROBABILIDAD 8

5. INDEPENDENCIA DE SUCESOS 14

BIBLIOGRAFÍA 14

APÉNDICE. NOTACIÓN MATEMÁTICA 16

1. Objetivos

• Revisar los principales aspectos de la Teoría de Conjuntos

• Conocer y manejar los conceptos básicos de un espacio probabilístico y relacionarlos con los fundamentos de la teoría de probabilidades

• Conocer y manejar los conceptos y fórmulas de los distintos tipos de probabilidades

• Ubicar la teoría de la probabilidad como una rama de las matemáticas aplicable a la solución de problemas reales.

• Aplicar los modelos probabilísticos • Conocer la axiomática de la probabilidad

• Examinar el uso de la teoría de la probabilidad en la toma de decisiones • Explicar las distinta maneras en que surge la probabilidad

• Utilizar las probabilidades para incorporar nueva información

• Comprender los enfoques de la probabilidad más usuales así como sus peculiaridades, ventajas e inconvenientes

• Manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlas a problemas concretos • Relacionar y distinguir los conceptos de probabilidad y frecuencia de un suceso

• Aplicar la definición de independencia

2. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

George Cantor (1845-1918). Creó la teoría de conjuntos. La consideró como una extensión de la teoría de números, e introdujo los números cardinales y ordinales transfinitos.

(2)

Giuseppe Peano (1858-1932). Introdujo la terminología simbólica que todavía se utiliza actualmente.

2.1. Conjunto potencia

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto

M

se llama conjunto potencia de

M

. Se le denota como

2

M.

Ejemplos:

(a)

M

=

{ }

1, 2

El conjunto

M

tiene 2 elementos

{ } { } { }

{

}

2

M

₌

1 , 2 , 1, 2 ,

_∅

entonces

2

=

4

(b)

M

=

{

1, 2,3

}

El conjunto

M

tiene 3 elementos

{ } { } { } { } { } { } {

}

{

}

2

M

₌

1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1,3 , 2,3 , 1, 2,3 ,

_∅

entonces

2

3

=

8

elementos

Si un conjunto

M

es finito con

n

elementos, entonces su conjunto potencia

2

M_tendrá

₂

n elementos.

2.2. Conjuntos disjuntos

Si dos conjuntos

A

y

B

no tienen ningún elemento común entonces

A

y

B

son disjuntos.

Ejemplo 1

conjuntos disjuntos

conjuntos no disjuntos

{

2, 4,6

}

A

=

M

=

{

o p q r s

, , , ,

}

{

1,3,5

}

B

=

N

=

{

s t u v

, , ,

}

A

y

B

son disjuntos

M

y

N

no son disjuntos

2.3. Subconjuntos

Se dice que un conjunto

B

es un subconjunto de

A

si todo elemento de

B

es elemento de

A

. También puede decirse que

B

está incluido en

A

. La notaciónque se utiliza para representarlo es:

B

⊆

A

o:

B

⊂

A

Ejemplo 2

{

1,3,5

}

B

=

es subconjunto de

A

=

{

1, 2,3, 4,5

}

. Formalmente se definiría así:

si

B

⊆

A

∀ ∈

x B

⇒

x A

∈

El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto:

A

∅ ⊆

(3)

2.4. Reunión de dos conjuntos

La reunión de dos conjuntos

A

y

B

es el conjunto

A

∪

B

, que tiene por elementos todos los elementos de

A

y todos los de

B

. Formalmente se expresa de la forma siguiente:

{

}

o

x

∈

A B

∪

⇔

x

∈

A

x

∈

B

∀

x

Ejemplo 3 Si

A

=

{

1,3,5,7,9,10

}

y

B

=

{

2, 4,6,8,10

}

entonces:

{

1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10

}

A B

∪ =

2.5. Intersección de dos conjuntos

La intersección de dos conjuntos

A

y

B

es el conjunto

A

∩

B

, que tiene por elementos aquellos que pertenecen simultáneamente a

A

y a

B

. Formalmente lo indicamos así:

{

}

y

x

∈

A B

∩

⇔

x

∈

A

x

∈

B

∀

x

Ejemplo 4 Si

A

=

{

1,3,5,7,9,10

}

y

B

=

{

2, 4,6,8,10

}

entonces:

{ }

10 A B

∩ =

2.6. Producto de dos conjuntos

El producto cartesiano de dos conjuntos

A

y

B

es el conjunto que tiene por elementos todos los pares ordenados

( )

a b

,

con

a A

∈

y

b B

∈

:

( )

{

,

}

A B

× =

a b

: ∈

a A b B

∈

Ejemplo 5 Si

A

=

{

1, 2,3

}

y

B

=

{ }

a b

,

entonces:

{ } { } { } { } { } { }

{

1,

, 1, , 2,

, 2, , 3,

, 3,

}

A B

× =

a

b

a

b

a

b

Gráficamente:

2.7. Correspondencia de dos conjuntos

Una correspondencia entre dos conjuntos

A

y

B

consta de los conjuntos

A

y

B

y de un subconjunto

G

⊆ ×

A B

del producto cartesiano

A B

×

.

Ejemplo 6

{

1, 2,3, 4,5

}

A

=

; espacio muestral

B

=

{

a e i o u

, , , ,

}

:

{ } { } { } { }

{

1,

, 1,

, 4,

, 5,

}

G

=

a

o

u

Gráficamente:

(4)

2.8. Propiedades de la teoría de conjuntos

1.4.5. Propiedades de la teoría de conjuntos

(a) Conmutativa:

A B

B A

A B

B A

∪ = ∪

∩ = ∩

(b) Asociativa:

(

) (

)

(

) (

)

A

B C

A B

C

A

B C

A B

C

∪

=

∪

∩

=

∩

(c) Leyes de Morgan:

A B

∪ = ∩

∩ = ∪

(d) Distributivas:

(

) (

)

(

) (

)

A

B C

A B

A C

A

B C

A B

A C

∪

∩

=

∪

∩

∪

∩

∪

=

∩

∪

∩

(e) Además:

A A

A B

∩ = ∅

∪ = Ω

− = ∩

Ejemplo: sea el experimento aleatorio “lanzar un dado”, y sean: suceso

A

= “sacar un número par” = {2, 4, 6}

suceso

B

= “sacar un número mayor o igual a “4” = {4, 5, 6} Se tiene:

{

}

{

}

{

}

{ }

1,3,5

1, 2,3

2, 4,5,6

4,6

2

5 A

B

A B

B A

=

∪ =

∩ =

− =

3. Espacio muestral. Álgebra de sucesos

3.1. Espacio muestral. Álgebra de sucesos

3.1.1. Fenómenos aleatorios

Sus características más notables son:

(a) es posible repetir el experimento indefinidamente, sin cambiar las condiciones iniciales; (b) una pequeña modificación en las condiciones iniciales altera el resultado final;

(5)

(c) no se puede predecir un resultado particular, pero se puede dar el conjunto de todos los resultados posibles;

(d) si el experimento se repite un gran número de veces aparece un modelo de regularidad.

Definición: Se dice que un experimento es aleatorio, estocástico o estadístico, si, pudiéndose repetir indefinidamente en análogas condiciones, es imposible predecir el resultado, aún conociendo las condiciones iniciales. En un experimento aleatorio no conocemos el resultado hasta que se ha realizado la prueba.

Ejemplos:

• sacar una carta de la baraja; • lanzar un dado;

• lanzar una moneda;

• sacar una bola de un bombo de la lotería.

No son experimentos aleatorios:

• el resultado de una reacción química;

• la velocidad de llegada de un cuerpo a tierra al dejarlo caer desde una torre.

Nota: Llamaremos prueba a cada realización de un experimento.

3.1.2. Espacio muestral

Definición: el conjunto de todos los resultados posibles a que puede dar lugar un experimento aleatorio se llama espacio muestral. Suele representarse por

E

ó

Ω

; y diremos que es finito si el número de resultados posibles es finito.

3.1.3. Sucesos

Definición: dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es

E

, se llama suceso a cada uno de los subconjuntos de

E

.

Distinguimos los siguientes tipos de sucesos:

• suceso simple o elemental: es el que sólo consta de un elemento; • suceso compuesto: es el que consta de dos o más elementos;

• suceso imposible: es el que nunca puede realizarse (viene determinado por el conjunto vacío,

∅

); • suceso seguro: es el que siempre se cumple (viene determinado por el conjunto total,

E

);

• sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes: son aquellos sucesos

A

y

B

que no pueden realizarse a la vez:

A B

∩ = ∅

Ejemplo: en el experimento aleatorio “lanzar un dado”: • espacio muestral:

E = 1, 2,3, 4,5,6

{

}

;

• suceso simple: sacar un 2

E = 2

{ }

;

• suceso compuesto: sacar un número impar

E = 1,3,5

{

}

;

• suceso imposible: sacar un 7

E =

∅

;

• suceso seguro: sacar un número menor que 7

E = 1, 2,3, 4,5,6

{

}

; • sucesos disjuntos:

A

: sacar un número par

E = 2, 4,6

{

}

;

B

: sacar un número impar

E = 1,3,5

{

}

3.1.4. Algebra de sucesos

Definición: Llamaremos álgebra de sucesos al conjunto de las partes del espacio muestral Ω o sea, al conjunto de todos los sucesos.

(6)

Nota: Teniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos de

E

(de

Ω

), es aplicable la teoría general de conjuntos. Interesarán las operaciones de unión, intersección, diferencia y complementaria entre conjuntos.

3.1.5 Operaciones con sucesos

Suceso contenido en otro

Con los sucesos se opera de manera similar a como se hace en los conjuntos y sus operaciones se definen de manera análoga. Los sucesos a considerar serán los correspondientes a un experimento aleatorio y por tanto serán subconjuntos del espacio muestral

E

.

Dados dos sucesos

A

y

B

de un experimento aleatorio: Diremos que

A

está incluido en

B

si cada suceso elemental de

A

pertenece también a

B

, es decir, siempre que ocurre el suceso

A

, también ocurre el suceso

B

, pero no al revés. Diremos también que

A

implica

B

:

o

A B

⊂

A

⇒

B

Igualdad de sucesos

Dados dos sucesos

A

y

B

de un experimento aleatorio: Diremos que

A

y

B

son iguales si: Siempre que ocurre el suceso

A

también ocurre

B

y al revés:

A B

A

B

B A

⊂



=

_{⇔ }

⊂



Unión de sucesos

Dados dos sucesos

A

y

B

de un experimento aleatorio, la unión de ambos sucesos,

A B

∪

, es otro suceso compuesto por los resultados o sucesos elementales pertenecientes a

A

, a

B

, o a los dos a la vez (intersección).

En general, dados

n

sucesos

{

A A

₁

,

₂

, ,

A

_n

}

, su unión es otro suceso formado por los resultados o sucesos elementales que pertenecen al menos a uno de los sucesos

A

_i

Intersección de sucesos

Dados dos sucesos

A

y

B

de un experimento aleatorio, la intersección de ambos sucesos,

A B

∩

, es otro suceso compuesto por los resultado o sucesos elementales que pertenecen simultáneamente a

A

y

B

:

Sucesos disjuntos, incompatibles o excluyentes

Dados dos sucesos

A

y

B

de un experimento aleatorio, diremos que estos sucesos

A

y

B

son disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún suceso elemental en común. Dicho de otra forma, si al verificarse

A

no se verifica

B

, ni al revés. Su intersección es el conjunto vacío:

A B

∩ = ∅

.

(7)

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

Dados

n

sucesos

{

A A

₁

,

₂

, ,

A

_n

}

de un experimento aleatorio, diremos que estos forman una colección o sistema exhaustivo de sucesos si la unión de todos ellos es igual al espacio muestral

E

.

Diremos que estos forman un sistema completo de sucesos, o sistema exhaustivo y excluyente o una partición de

E

si, además de la anterior condición, se cumple que son disjuntos dos a dos, es decir, son mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles:

1 2 1

,

E

,

n n i i i j

A

i j

=

∪

∪ ∪

=

∩

= ∅

∀ ≠

∪

El conjunto de todos los sucesos elementales que constituyen un espacio muestral forman una colección de sucesos mutuamente excluyente y exhaustivo ya que, de todos ellos, sólo uno debe ocurrir y no pueden ocurrir dos simultáneamente.

Suceso complementario o contrario

Dado un suceso

A

de un experimento aleatorio, se define como suceso

A

o

A

c complementario o contrario de

A

a otro suceso que ocurre cuando no ocurre el suceso

A

, o bien, es el suceso constituido por todos los sucesos elementales del espacio muestral

E

que no pertenecen a

A

. Se suele representar como:

Diferencia de sucesos

Dados dos sucesos

A

y

B

de un experimento aleatorio, se define como la diferencia de ambos sucesos a otro suceso constituido por los sucesos elementales que pertenecen a

A

pero no a

B

:

A B

− = ∩

A

B

3.2. Frecuencia

3.2.1. Definiciones

Se llama frecuencia de un suceso aleatorio al número de veces que ocurre dicho suceso al realizar un experimento. Se denota

F

.

Se llama frecuencia relativa de un suceso aleatorio al cociente entre la frecuencia y el número de veces que se ha realizado el experimento. Se denota

f

.

3.2.2. Acotaciones de las frecuencias

Consideremos un resultado elemental del experimento aleatorio y observemos en

n

realizaciones la frecuencia con que se ha presentado este suceso, que llamaremos

r

. Evidentemente:

(

)

0 ≤

F x r

_n

=

≤

n

(8)

Si dividimos entre

n

:

0 F

_n

x r

1 n

=





≤

_

_

≤





Por lo tanto,

(

)

0 ≤

f x r

_n

=

≤

1 4. Probabilidad

4.1 Introducción

El término probabilidad viene del latín: probabilitas (En inglés: probability; francés: probabilité; alemán:

Wahrscheinlichkeit). Designa el grado de posibilidad de la aparición de un evento, pero también denomina el grado de certidumbre o credibilidad de una proposición. El término latino deriva de verbo probo, con el sentido de examinar, comprobar. Así, algo es probabilis (probable, comprobable en mayor o menor grado) si es posible comprobar –normalmente con argumentos– su validez aunque no se llegue a una certidumbre absoluta.

Al estudiar la realidad se describen dos tipos de experimentos: los determinísticos y los probabilísticos. Los determinísticos son aquellos que tienen un solo resultado posible de tal modo que son totalmente predecibles. Por ejemplo, al observar el mar se puede predecir la dirección de la próxima ola, al lanzar un objeto se predice el sentido de la caída.

Los experimentos probabilísticos tienen más de un resultado posible por lo cual cada resultado tiene una mayor o menor probabilidad de ocurrir pero no es totalmente predecible. Sólo después de la experiencia se puede alcanzar la certeza de la respuesta, ejemplo: lanzar una moneda y obtener cara, seguir un tratamiento y obtener la mejoría, extraer una muestra aleatoria de 15 personas del curso y obtener sólo mujeres, etc.

4.2. Definición clásica de probabilidad (regla de Laplace)

Sea

(

E,

_A

)

un espacio probabilizable. Suponiendo que el espacio muestral

E

es finito y que todos los sucesos elementales que lo componen son equiprobables(tienen la misma oportunidad de ocurrir) se define la probabilidad del suceso

A∈

_A

como:

( )

Pr

A

número de casos favorables a A

número de casos posibles

=

4.3. Definición frecuentista de probabilidad (Von Mises)

Sea

A

un suceso asociado a un experimento aleatorio que repetimos

n

veces. Llamaremos frecuencia absoluta de

A

al número de veces que ocurre

A

:

n A

( )

y frecuencia relativa de

A

a la proporción de veces que ocurre

A

:

fr A

( )

n A

( )

n

=

Basándose en el principio de regularidad estadística (la frecuencia relativa tiende a estabilizarse en torno a un valor fijo cuando

n

aumenta) la aceptación de la objetividad de la probabilidad se define la probabilidad del suceso

A∈

_A

como:

( )

Pr

lim

n n

n A

A

fr A

n

→∞ →∞

=

4.4. Definición subjetiva de probabilidad

Hay determinados experimentos aleatorios que no son susceptibles de realizarse y sus resultados no son equiprobables. Imaginemos que se quiere determinar la probabilidad: de que la economía de España crezca

(9)

en el próximo año un 3 %; que las acciones de una empresa se revaloricen en un 10 % en un mes; que una empresa presente suspensión de pagos; que un nuevo producto sea bien acogido en el mercado; que ocurra un accidente nuclear; etc.

En estas circunstancias, donde los experimentos solo se pueden realizar una vez o ninguna o que se puedan repetir pero en condiciones distintas, no son aplicables ninguna de las dos definiciones dadas anteriormente, por lo que no es posible asignar probabilidades mediante un procedimiento objetivo, debiendo recurrir a procedimientos de tipo subjetivo, a opiniones de expertos. En estos casos la probabilidad expresa un grado de creencia o confianza individual en relación con la ocurrencia o no de un determinado suceso. Se trata de un juicio personal sobre el resultado de un experimento aleatorio. Además debemos admitir la posibilidad de que distintos sujetos asignen probabilidades diferentes al mismo suceso. No obstante esta definición de probabilidad también satisface las tres propiedades vistas antes.

La interpretación subjetivista de la probabilidad, también denominada personal, personalista o bayesiana (según la concepción de T. Bayes), atribuye la presencia de cualidad “probable” en cualquier evento sólo a la incapacidad del observador, a su “ignorancia” para aprehender todo lo que realmente sucede.

4.5. Definición axiomática de probabilidad (Kolmogorov, 1933)

Sea Ω el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad es una función que transforma sucesos del espacio muestral en números reales que están entre 0 y 1, que verifica:

1. Cualquiera que sea el suceso

A

,

Pr

( )

A

≥

0

;

2. La probabilidad total es 1:

Pr

( )

Ω =

1

;

3. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades: si

A B

∪ = ∅

, entonces

Pr

(

A B

∪

)

=

Pr

( )

A

+

Pr

( )

B

Esta definición no dice cómo asignar las probabilidades ni siquiera a los sucesos elementales. Solo dice que cualquier asignación que hagamos debe verificar estos tres axiomas para que pueda llamarse probabilidad.

Propiedades:

1.

Pr

( )

∅ =

0

;

2. La probabilidad de todo suceso

A

es un número comprendido entre 0 y 1:

0 Pr

≤

( )

A

≤

1

; 3. La probabilidad del complementario de un suceso

A

es

Pr

( )

A

= −

1 Pr

( )

A

;

4. Si dos sucesos son tales que

A B

⊂

, entonces

Pr

( )

A

≤

Pr

( )

B

;

5. Regla de la adición: si dos sucesos no son incompatibles, la probabilidad de su unión debe calcularse según la siguiente regla:

Pr

(

A B

∪

)

=

Pr

( )

A

+

Pr

( )

B

−

Pr

(

A B

∩

)

6. Partición finita:

A i

_i

,

=

1, ,

n

( )

1 1 1

Pr

1

n n n i i i i i i i j

A

i

j

= = =



= Ω

_

_

_

Ω =

=













∩

= ∅

_{≠ }

∑

∪

_∪

(10)

4.6. Espacios muestrales finitos

Definición: Llamaremos espacios muestrales finitos a los espacios muestrales que provengan de experimentos para los cuales sólo existe un número finito de resultados posibles, así

Ω =

{

w w

₁

,

₂

, ,

w

_n

}

En un experimento aleatorio con un espacio muestral finito, una distribución de probabilidad se especifica asignando una probabilidad

p

_i a cada resultado

w

_i

∈Ω

:

p

_i

=

Pr

(

{ }

w

_i

)

. Debe cumplirse:

(a)

p

_i

≥

0

(b)

Pr

( )

Ω =

1 ⇒

∑

p

_i

=

1

En estas condiciones, si

A

=

{

w w

_i₁

,

_i₂

, ,

w

_{i n}

}

, se tiene:

Pr

( )

A

=

∑

p

_{i j}.

4.7. Espacios muestrales simples

Definición: Llamaremos espacios muestrales simples a los espacios muestrales finitos en los que todos los resultados son equiprobables (tienen la misma probabilidad). Si

Ω =

{

w w

₁

,

₂

, ,

w

_n

}

, entonces:

{ }

(

)

1 Pr

w

_i

i

1, ,

n

=

∀ =

En estos espacios muestrales simples, dado un suceso

A

=

{

w w

_i₁

,

_i₂

, ,

w

_{i k}

}

con

k n

<

se tiene:

( )

Pr

A

casos favorables

k

casos posibles

n

=

expresión que está estrechamente relacionada con la fórmula de Laplace:

( )

Pr

S

número de elementos de S

casos favorables

número de elementos de

casos posibles

=

Ω

siendo

S

un suceso cualquiera.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara? El espacio muestral correspondiente es

Ω =

{

(

. .

,

) (

,

. ?

,

) (

, ,

? .

) (

, ,

? ?

)

}

y el suceso

A

= “al menos una cara” =

{

(

. .

,

) (

,

. ?

,

) (

, ,

? .

)

}

. Así, la probabilidad pedida es:

( )

3 Pr

4 casos favorables

A

casos posibles

=

4.8. Probabilidad condicionada

Dados dos sucesos

A

y

B

∈Ω, se llama probabilidad de

A

condicionada a

B

y se escribe

Pr

(

A B

|

)

a la probabilidad que existe de que ocurra el suceso

A

considerando que antes ha ocurrido el suceso

B

. Veamos cómo calcular

Pr

(

A B

|

)

:

(11)

(

)

(

)

( )

Pr

|

Pr

números de casos favorables en A B

A B

números de casos posibles en B

números de casos favorables en A B

números de casos posibles en

números de casos posibles en B

números de casos posibles en

A B

B

∩

=

∩

Ω

=

Ω

∩

=

por lo tanto:

(

)

Pr

(

_{( )}

)

Pr

|

Pr

A B

B

∩

=

Ejemplo: en un juego de dados, hemos apostado por el 2. Se tira el dado, y antes de ver el resultado, nos dicen que ha salido par. Hallar la probabilidad de ganar.

Sea

A

= {obtener un 2 al lanzar un dado}

B

= {obtener un número al lanzar un dado} entonces:

( )

1 Pr

6

3 Pr

6 A

B

=

Por la expresión de la probabilidad condicionada,

(

)

Pr

(

_{( )}

)

Pr

|

Pr

A B

B

∩

=

en este ejemplo,

A B

∩ =

{

obtener un

2 } {

∩

obtener un número par

} {

=

obtener un

2 }

, por lo que:

(

)

1 Pr

6 A B

∩

=

y

(

)

Pr

(

_{( )}

)

1

6

1 Pr

|

3 Pr

3

6 A B

A B

B

∩

=

4.9. Probabilidad compuesta (teorema del producto)

Sea un espacio muestral

Ω

, dados dos sucesos

A

y

B

∈℘ Ω

( )

, tal que

Pr

( )

A

>

0

y

Pr

( )

B

>

0

, se cumple:

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

Pr

|

Pr

|

Pr

A B

B

A B

A

∩

=

×

∩

=

×

Esto es así porque por la definición de la probabilidad condicional,

(

)

Pr

(

_{( )}

)

(

)

(

)

( )

Pr

|

Pr

|

Pr

B

A

A B

B

A

A B

B

∩

=

⇒

∩

=

×

Análogamente,

(12)

(

)

Pr

(

_{( )}

)

(

)

(

)

( )

Pr

|

Pr

|

Pr

B

A

A B

B

A

A B

A

∩

=

⇒

∩

=

×

Si en vez de 2 tenemos

n

sucesos

A A

₁

,

₂

, ,

A

_n

∈℘ Ω

( )

entonces:

(

)

( )

2 3 4 1 1 1 2 1 2 3

Pr

n i

A

















∩

=

×

_

_

×

_

_

×

_

_

× ×

_

_

∩

















Ejemplo: supongamos que se extraen 4 bolas sin reemplazamiento de una urna que contiene 8 rojas y 10 azules. Calcular la probabilidad de obtener la secuencia “azul, rojo, rojo, azul“:

(

)

( )

2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 2 1 2 3

Pr

,

Pr

10

8

7

9

18

17

16

15 0,0686

Ro

Az

Az Ro Ro Az

Az

Ro

Az

Ro













=

×

_

_

×

_

_

×

_

_

=

∩













=

×

=

4.10. Probabilidad total

Dado un espacio muestral

Ω

, y siendo

{ }

A

_i

∈℘ Ω

( )

|

∪

A

_i

= Ω

, y

A

_i

∩

A

_j

= ∅

∀ ≠

i j

y siendo

B

un suceso del que se conoce

Pr

(

B A

|

_i

)

,

∀

i

, se tiene que:

( )

Pr

_i i

B

A





=

_

_

×





∑

Demostración: sea

(

1

) (

2

)

(

i

)

(

n

)

B

=

B

∩

A

∪

B

∩

A

∪ ∪

B

∩

A

∪ ∪

B

∩

A

Como son todos disjuntos:

( )

1 2 1 2

Pr

n n i i

B

A

B

A













=

_

_

×

+

_

_

×

+ +

_

_

×

=

















=

_

_

×





∑

Ejemplo: Dos cajas contienen cerrojos grandes y pequeños. Supongamos que una caja contiene 30 grandes y 10 pequeños, que la otra contiene 30 grandes y 20 pequeños. Seleccionamos una caja al azar y extraemos un cerrojo. ¿Cuál es la probabilidad de que el cerrojo sea pequeño?

Sea:

A

₁ = “seleccionar caja 1”

2

A

= “seleccionar caja 2”

B

= “seleccionar cerrojo pequeño”

B

entonces:

( )

1

( )

2 1 2

Pr

1 10

1 20

2 40

2 50

0,325

B

A









=

×

_

_

+

×

_

_









= ×

+ ×

=

(13)

4.11. Teorema de Bayes

Dado un espacio muestral

Ω

, y siendo

{ }

A

_i

∈℘ Ω

( )

|

_∪

A

_i

= Ω

, y

A

_i

∩

A

_j

= ∅

∀ ≠

i j

, conociéndose

Pr

( )

A

_i

∀

i

, Pr

( )

A

_i

>

0

. Sea

B

un suceso tal que

Pr

(

B

>

0 )

y del que se conocen

(

)

Pr

B A

|

_i

∀

i

, entonces:

(

)

₍

₎

_{( )}

₍

(

₎

)

_{( )}

( )

₍

₎

_{( )}

1 1 2 2

Pr

|

Pr

|

Pr

|

Pr

|

Pr

|

Pr

i i i n n

B A

A

A B

B A

A

B A

A

B A

A

×

=

×

+

×

+ +

×

es decir:

(

)

Pr

(

₍

|

)

₎

Pr

( )

_{( )}

Pr

|

Pr

|

Pr

i i i k k

B A

A

A B

B A

A

×

=

×

∑

Demostración: por la probabilidad condicionada tenemos

(

)

Pr

(

_{( )}

)

Pr

|

Pr

i i

A

B

A B

B

∩

=

si en el numerador aplicamos el teorema del producto, y en el denominador la probabilidad total, queda:

(

)

Pr

(

_{( )}

)

Pr

(

₍

|

)

₎

Pr

( )

_{( )}

Pr

|

Pr

|

Pr

i i i i k k

A

B

B A

A

A B

B

B A

A

∩

×

=

×

∑

Ejemplo: Para la fabricación de un gran lote de artículos similares se utilizan 3 máquinas :

M

₁,

M

₂ y

M

₃. La máquina 1 fabrica el 20 %, la máquina 2 el 30 %, y la máquina 3 el 50 % restante. La máquina 1 produce un 1 % de defectuosos, la máquina 2 un 2 % de defectuosos y la máquina 3 un 3 %. Se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. Calcular la probabilidad de que haya sido producido por la máquina 3.

Sea:

D

= “ser defectuoso” i

M

= “ser fabricado por

M

_i” Así:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

1 1 2 2 3 3

Pr

0, 2

Pr

|

0,01

Pr

0,3

Pr

|

0,02

Pr

0,5

Pr

|

0,03

M

D M

M

D M

M

D M

=

Nos piden la probabilidad del suceso

M D

₃

|

. Se cumple que

M

₁,

M

₂ y

M

₃. forman una partición, por lo que:

(

)

(

₍

3

)

₎

( )

_{( )}

3 3

Pr

|

Pr

|

Pr

|

Pr

0,03 0,5

0,01 0, 2 0,02 0,3 0,033 0,5

0,015

0,023

0,6522

i i

D M

M

M D

D M

M

×

=

×

=

×

+

×

+

×

=

∑

(14)

5. Independencia de sucesos

Dos sucesos

A

y

B

son estocásticamente independientes cuando

Pr

(

A B

|

)

=

Pr

( )

A

, o sea, que el hecho de que ocurra el suceso

B

no influye para nada en la probabilidad del suceso

A

.

5.1. Teorema de caracterización

Dos sucesos

A

y

B

son independientes si

Pr

(

A B

∩

)

=

Pr

( )

A

×

Pr

( )

B

Tomando

Pr

(

A B

∩

)

=

Pr

(

A B

|

)

×

Pr

( )

B

, si son independientes , se tiene que

Pr

(

A B

|

)

=

Pr

( )

B

. Uniendo ambas cosas,

Pr

(

A B

∩

)

=

Pr

( )

A

×

Pr

( )

B

.

Alternativamente, si se tiene que

Pr

(

A B

∩

)

=

Pr

( )

A

×

Pr

( )

B

, como

Pr

(

A B

∩

)

=

Pr

(

A B

|

)

×

Pr

( )

B

, sustituyendo:

Pr

( )

A

×

Pr

( )

B

=

Pr

(

A B

|

)

×

Pr

( )

B

. Por lo tanto,

Pr

( )

A

=

Pr

(

A B

|

)

, de modo que los sucesos

A

y

B

son independientes. Como consecuencia:

(

)

( )

(

)

( )

Pr

|

Pr

|

Pr

A B

A

B A

B

=

5.2. Propiedades de la independencia estocástica

(a) Si

A

y

B

son independientes ⇒

A

y

B

también lo son; (b) Si

A

y

B

A

y

B

también lo son; (c) Si

A

y

B

A

y

B

también lo son;

(d) Si existe implicación entre

A

y

B

⇒ no existe independencia (salvo que

A

= Ω

ó

B

= Ω

);

(e) Si dos sucesos son incompatibles ⇒ no existe independencia (salvo que

Pr

( )

A

=

0

ó

Pr

( )

B

=

0

). Nota:Diremos que tres sucesos

A

₁,

A

₂ y

A

₃ son independientes si, y sólo si, verifican las relaciones:

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3

Pr

A

∩

=

×

∩

=

×

∩

=

×

∩

=

×

Esta definición se puede generalizar a

n

sucesos.

Bibliografía

En Internet

http://www.unavarra.es/estadistica/LE/Estadistica/ www.uhu.es/45110/Ficheros%20de%20datos/Tema%2006.ppt http://www.campusvirtual.uma.es/est_fisio/apuntes/ www.eumed.net/cursecon/libreria/2004/jsf/6.pdf http://facultad.sagrado.edu/ConceptosBasicos.pdf http://csic1.csic.edu.uy/~ecabana/licest/probabilidad2/prob2-2005.pdf http://www.eumed.net/cursecon/libreria/drm/drm-estad.pdf http://www.eui.upm.es/~acorral/material/index.html http://www.ciberconta.unizar.es/docencia/estadistica

(15)

ftp.medprev.uma.es/libro/html.htm www.hrc.es/bioest/M_docente.html idea.uab.es/fklijn/bio/indexold.htm www.um.es/estadempresa/estapli2/conver.pdf www.chups.fr/polys/biostats/poly/stats.pdf www.anu.edu.au/nceph/surfstat/surfstat-home/contents.html www.uvp5.univ-paris5.fr/staticmed/E-STAT/PlantStatPCEM1.htm www.eumed.net/libros/2006a/rmss/index.htm halweb.uc3m.es/omar/taller/TALLER.html C:\DOCUMENTS\CURS_ESTADISTICA\MODULO_1\MATERIAL_1_MP\PROBABILIDAD\PROBABILIDAD_ Notas_7.doc

Libros

Martínez González MA, De Irala Estévez J, Faulín Fajardo FJ. Bioestadística amigable. Madrid: Díaz de Santos, 2001

Spiegel, MR. Estadística, 2ª Edición. México: McGraw-Hill, 2000.

Horra Navarro, J. Estadística aplicada, 3ª Edición. Madrid: Díaz de Santos, 2003

A.Martín Andres, J.de D. Luana del Castillo. Bioestadística para las Ciencias de la Salud, 5ª Edición. Madrid: Norma, 2004