Razonamiento Matematico Problemas

(1)

OPERADORES

RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO

RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO

SAN IGNACIO DE LOYOLA

R.D. Nº 02189 - 2000 UGEL - 09

Región Lima

SAN IGNACIO DE LOYOLA

HUACHO

¡ Del Colegio ... Directo a la Universidad !

01. Si: a * b = 4a + 5b. Calcular: 2 * 3 a) 21 b) 23 c) 19 d) 25 e) 26 02. Si: a D b = 5a - 3b. hallar: 5 D 3 a) 6 b) 10 c) 14 d) 16 e) 28 2 2 03. Si: m # n = m + n . Calcular: 1 # 5 a) 21 b) 18 c) 12 d) 26 e) 15 2

04. Si: x % y = x + 5y. Hallar: 2 % 5

a) 21 b) 29 c) 27 d) 20 e) 17 05. Si: x = 5x + 1. Calcular: 2 a) 17 b) 11 c) 8 d) 3 e) 15 06. Si: m = 2m + 3. Calcular: 5 a) 15 b) 19 c) 11 d) 16 e) 13 07. Si: a = 5a + 1. Hallar: 1 a) 62 b) 18 c) 17 d) 31 e) 16

08. Sabiendo que: z = 2z + 7. Calcular: 1

a) 57 b) 25 c) 37 d) 55 e) 47 3 3 09. Si: m@ n =3m + 2n . Hallar: E = (2 @ 1) @ (1 @ 0) a) 542 b) 480 c) 417 d) 510 e) 642 10. Si: x ? y = 5x - y. hallar: (2 ? 1) ? (-2) a) 47 b) 45 c) 94 d) 100 e) 104 2 2 2 11. Si: a # b = (a + b) - a -b . Hallar: 9 # (3 # 2) a) 108 b) 144 c) 288 d) 208 e) 216 12. Si: p q = 2p + 3q. hallar: (1 2) (3 1) a) 43 b) 52 c) 38 d) 27 e) 48 13. Si se cumple: a % b = ab + 1 ... (a > b) a % b = a + b - 1 ... (a < b) Hallar: (8 % 2) % (3 % 5) a) 120 b) 150 c) 160 d) 180 e) 210 14. Si: m D n = (m + 1) (n - 1) ... (m > n) m D n = 10 - mn ... (m < n) Calcular: (4 D 2) D (2 D 3) a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 15. Si: a = 7a - 25 ... a ³ 4 a = 25 - 7a ... a < 4 Calcular: 2 + 5 - 1 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 16. Si: x = 2x ... si x es par. x = x ... si x es impar. Hallar el valor de:

a) 12 b) 5 c) 9 d) 10 e) 6

17. Dado la siguiente tabla, hallar E. E = [(8 * 7) * 5] * 2 a) 4

b) 7 c) 1 d) 5 e) 3

18. Dado la siguiente tabla, hallar E: E = (1 @ 2) @ (3 @ 2) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3 + 7 - 5 - 3 - 7 *7 5 2 3 -1 -7 4 8 8 3 -5 9 -3 3 7 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2 @ a b c a a b c b b c d c c d a b Ñ d d a b c d d a *a b c d a c d b a b d b a c c b a d b d a c b a Da b c d a b d a c b d a c b c a c c d d c b d a

(2)

19. Sabiendo que; hallar E: E = [(a Ñ c) Ñ d] Ñ [b Ñ (d Ñ d)] a) a b) b c) c d) d e) e 20. Siendo: Hallar: [ (a * b) D (c * d)] * [(cDb) * (dDa)] a) a b) b c) c d) d e) ab 2 21. Si: P(x) = x + x - 2. Hallar P(3) a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 3 22. Si P(y) = y - 5. Hallar P(-4) a) 59 b) -69 c) -60 d) 70 e) 69 23. Sabiendo que: f(x) = 3x - 7 2 2 g(x) = x + 2x - 1 y h(x) = -x Calcula: a) -1 b) 1 c) 5 d) -5 e) 4 2 24. Si: f(x) = x + 2x y g(x) = x - x + 2 Hallar: f[g(2)] + f[g(-1)] a) 48 b) 16 c) 12 d) 24 e) 36 25. Se define: y g(x) = 3x - 1

entonces el valor de: E = g[f(2)] - f[g(-1)] a) 10 b) 12 c) 9 d) 11 e) 8 26. f(x + 2) = 2x - 1. Hallar: f(5) a) 5 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 2 27. f(x + 1) = x + 2x + 1. Hallar: f(-2) a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7 2 28. g(x + 2) = x + 5x + 6. Hallar: g(-1) a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2 29. g(x - 3) = 4x + 7. hallar: g(5) a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40 2 30. f(2x - 5) = x + 3x - 1. hallar f(7) a) 43 b) 53 c) -60 d) 28 e) 38 31. Si: x = 2x + 3; x = 4x - 3 Calcular: 7 a) 19 b) 11 c) 7 d) 23 e) 31 2 32. Si: x = 2x + 22; 2x - 11 = 5x + 8 Calcular: 6 + 12 a) 40 b) 48 c) 41 d) 38 e) 45 33. Si: x - 1 = 9x; x + 2 = 3x Calcular: 3 a) 8 b) 27 c) 14 d) 11 e) 21 2 34. Si: f(x + 4) = 2x + 6 Calcular: f(3x + 2) 2 2 a) 18x - 24x + 14 b) 18x - 24x + 8 2 2 c) 18x + 24x + 14 d) 18x + 24x + 8 2 e) 18x + 24x - 8 35. Si: 2x - 1 = 4x + 1 y ademá s: 2x + 1 = 16x + 9. Calcular: E = 3 + 4 a) 81 b) 64 c) 225 d) 188 e) 125 36. Si: x = x(x + 1) ; x = 56. Calcular: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e)10 2

37. Calcular “a”, si se sabe que: x = x + 1 y a = 101

a) 1 b) 2 c) Ö2 d) Ö3 e) 3

3

38. Se define el operador de la siguiente forma: m = (m + 1)

Hallar: “x” en: x = 8 a) 2 b) 1 c) 3 d) -1 e) 0 39. Si x = 64x - 63. Hallar: -2 a) 2 b) 8 c) -10 d) -11 e) 11 40. Si: x = 4x + 5, ademá s: x = 16x - 15. Calcular: E = x - x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 # 41. Si: x = x - x + x - x + ... Hallar el valor de:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 42. Si se sabe que: 32 # 10 = 26 50 # 33 = 58 18 # 17 = 26 Calcular “x” en: 30 # x = x # 30 a) 19 b) 21 c) 30 d) 45 e) 50 43. Definimos: n = 1 + 2 + 3 + ... + n ; " n Î N Si: x = 231. hallar “x” a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

(

)

E h g f = -+ 3 2 ( ) (3) f x( ) =x+6 2 7 R = +6#8# 6# +2# *1 2 3 1 2 S 10 2 5 8 I 3 L 13 18 a b b a b a b ++ + 1 x x 2 9 3 -+ ; x¹-3 b a +2

OPERACIONES BINARIAS

PROPIEDADES DE UNA OPERACIÓ N MATEMÁTICA

Se define en el conjunto “A” una operació n, representada mediante el operador “*” estudiaremos las siguientes propiedades.

I.- CLAUSURA

Se toma un par de elementos del conjunto “A” y se realiza con ellos la operació n definida, si el resultado de dicha operació n pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operació n cumple la propiedad de clausura o que la operació n es cerrada en el conjunto A.

Ejemplos:

1. Se define en N la siguiente operació n:

2

a * b = 2a - b ¿Cumple con la propiedad de clausura?

2. Se define en el conjunto: A = {a ; b ; c ; d} " a ; b Î A ® a * b Î A * a b c a d a b b a b c c b c d d c d a

¿Cumple con la propiedad de clausura?

II. CONMUTATIVA

El orden de los elementos en la operació n no altera el resultado. Ejemplos:

1. En R se define: a * b = a + b - ab ¿Es conmutativa?

2. ¿La siguiente tabla es conmutativa?

" a ; b Î A ® a * b = b * a * 2 4 6 8 2 2 4 6 8 4 4 6 8 2 6 6 8 4 4 8 8 2 2 6

(3)

19. Sabiendo que; hallar E: E = [(a Ñ c) Ñ d] Ñ [b Ñ (d Ñ d)] a) a b) b c) c d) d e) e 20. Siendo: Hallar: [ (a * b) D (c * d)] * [(cDb) * (dDa)] a) a b) b c) c d) d e) ab 2 21. Si: P(x) = x + x - 2. Hallar P(3) a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 3 22. Si P(y) = y - 5. Hallar P(-4) a) 59 b) -69 c) -60 d) 70 e) 69 23. Sabiendo que: f(x) = 3x - 7 2 2 g(x) = x + 2x - 1 y h(x) = -x Calcula: a) -1 b) 1 c) 5 d) -5 e) 4 2 24. Si: f(x) = x + 2x y g(x) = x - x + 2 Hallar: f[g(2)] + f[g(-1)] a) 48 b) 16 c) 12 d) 24 e) 36 25. Se define: y g(x) = 3x - 1

entonces el valor de: E = g[f(2)] - f[g(-1)] a) 10 b) 12 c) 9 d) 11 e) 8 26. f(x + 2) = 2x - 1. Hallar: f(5) a) 5 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 2 27. f(x + 1) = x + 2x + 1. Hallar: f(-2) a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7 2 28. g(x + 2) = x + 5x + 6. Hallar: g(-1) a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2 29. g(x - 3) = 4x + 7. hallar: g(5) a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40 2 30. f(2x - 5) = x + 3x - 1. hallar f(7) a) 43 b) 53 c) -60 d) 28 e) 38 31. Si: x = 2x + 3; x = 4x - 3 Calcular: 7 a) 19 b) 11 c) 7 d) 23 e) 31 2 32. Si: x = 2x + 22; 2x - 11 = 5x + 8 Calcular: 6 + 12 a) 40 b) 48 c) 41 d) 38 e) 45 33. Si: x - 1 = 9x; x + 2 = 3x Calcular: 3 a) 8 b) 27 c) 14 d) 11 e) 21 2 34. Si: f(x + 4) = 2x + 6 Calcular: f(3x + 2) 2 2 a) 18x - 24x + 14 b) 18x - 24x + 8 2 2 c) 18x + 24x + 14 d) 18x + 24x + 8 2 e) 18x + 24x - 8 35. Si: 2x - 1 = 4x + 1 y ademá s: 2x + 1 = 16x + 9. Calcular: E = 3 + 4 a) 81 b) 64 c) 225 d) 188 e) 125 36. Si: x = x(x + 1) ; x = 56. Calcular: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e)10 2

37. Calcular “a”, si se sabe que: x = x + 1 y a = 101

a) 1 b) 2 c) Ö2 d) Ö3 e) 3

3

38. Se define el operador de la siguiente forma: m = (m + 1)

Hallar: “x” en: x = 8 a) 2 b) 1 c) 3 d) -1 e) 0 39. Si x = 64x - 63. Hallar: -2 a) 2 b) 8 c) -10 d) -11 e) 11 40. Si: x = 4x + 5, ademá s: x = 16x - 15. Calcular: E = x - x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 # 41. Si: x = x - x + x - x + ... Hallar el valor de:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 42. Si se sabe que: 32 # 10 = 26 50 # 33 = 58 18 # 17 = 26 Calcular “x” en: 30 # x = x # 30 a) 19 b) 21 c) 30 d) 45 e) 50 43. Definimos: n = 1 + 2 + 3 + ... + n ; " n Î N Si: x = 231. hallar “x” a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

(

)

E h g f = -+ 3 2 ( ) (3) f x( ) =x+6 2 7 R = +6#8# 6# +2# *1 2 3 1 2 S 10 2 5 8 I 3 L 13 18 a b b a b a b ++ + 1 x x 2 9 3 -+ ; x¹-3 b a +2

OPERACIONES BINARIAS

PROPIEDADES DE UNA OPERACIÓ N MATEMÁTICA

Se define en el conjunto “A” una operació n, representada mediante el operador “*” estudiaremos las siguientes propiedades.

I.- CLAUSURA

Se toma un par de elementos del conjunto “A” y se realiza con ellos la operació n definida, si el resultado de dicha operació n pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operació n cumple la propiedad de clausura o que la operació n es cerrada en el conjunto A.

Ejemplos:

1. Se define en N la siguiente operació n:

2

a * b = 2a - b ¿Cumple con la propiedad de clausura?

2. Se define en el conjunto: A = {a ; b ; c ; d} " a ; b Î A ® a * b Î A * a b c d a d a b c b a b c d c b c d a d c d a b

¿Cumple con la propiedad de clausura?

II. CONMUTATIVA

El orden de los elementos en la operació n no altera el resultado. Ejemplos:

1. En R se define: a * b = a + b - ab ¿Es conmutativa?

" a ; b Î A ® a * b = b * a * 2 4 6 8 2 2 4 6 8 4 4 6 8 2 6 6 8 4 4 8 8 2 2 6

(4)

DETERMINACIÓ N DE LA PROPIEDAD CONMUTATIVA EN TABLAS

Criterio de la Diagonal

1. Se ordena la fila y la columna de entrada en el mismo orden y a partir del vé rtice del operador.

2. Se traza la diagonal principal (desde el vé rtice del operador). 3. Se verifica que a ambos lados de la diagonal y en forma simé trica

queden elementos iguales.

4. Si en todos los casos los elementos son iguales, la operació n es conmutativa.

5. Si en al menos un caso uno de los elementos es diferente, la operació n no es conmutativa.

Ejemplos:

Resolució n: III. ASOCIATIVA Ejemplos: + b 1. Se define en Z : a * b = a ¿Es asociativa?

IV. ELEMENTO NEUTRO (e)

Ejemplos:

1. Se define: a * b = a + b + 3 Hallar el elemento neutro. Resolució n:

2. En la siguiente tabla hallar el elemento neutro.

® e = ... Criterio

1. Se verifica que la operació n sea conmutativa. 2. En el cuerpo de la tabla se buscan:

Una fila igual a la fila de entrada y una columna igual a la columna de entrada.

Donde se intersectan, se encontrará el elemento neutro “e”.

-1 V. ELEMENTO INVERSO (a ) Ejemplos: 1. Se define: a * b = a + b - 2 -1 -1 -1 Calcular: 3 ; 4 ; 6 Resolució n: " a; b; c Î A ®(a *b) *c = a * (b * c) $ " e Î A / a Î A ® a * e = e * a = a " a Î A, a Î$-1 A / a * a = a * a = e-1 -1 * 2 4 1 3 1 3 1 2 4 2 4 2 3 1 3 1 3 4 2 4 2 4 1 3 * 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 0 1 3 4 3 2 1 2 2 3 4 3 2 3 1 2 3 4 3 4 0 1 2 3 4 * 1 2 3 4 1 3 4 1 2 2 4 1 2 3 3 1 2 3 4 4 2 3 4 1 * 2. En la siguiente tabla: -1 -1 -1 Calcular: 3 + 5 + 7 Resolució n: Criterio:

1. Se verifica que la operació n sea conmutativa. 2. Se busca el elemento neutro “e”.

3. Aplicamos teorí a del elemento inverso.

01. Definamos en el conjunto de los nú meros enteros la operació n “D” mediante:

a Db = (a+b)-4

¿Cuá les de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Es conmutativa.

II. Es asociativa.

III. Tiene elemento neutro.

a) Só lo I. b) I y II. c) Todas. d) II y III. e) N. A.

02. Dado el conjunto A = {a; b; c; d} y la operació n * definida por la tabla.

Se afirma que:

I. La operació n es conmutativa. II. La operació n es asociativa. III. El elemento neutro es “a”. De estas afirmaciones son verdaderas: a) Só lo I. b) Só lo II y III. c) I y II. d) Ninguna. e) Todas. 03. Se define la operació n * en R. a * b = a + b - 1 ; a ; b Î R -1 -1 Hallar: 5 * 2 -1

Donde a es el inverso de “a”

a) -8 b) -4 c) 4 d) 0 e) 1 04. Si: a * b = a + b + 5 Calcular: -1 -1 -1 (3 * 5 ) * 6 -1

a) 32 b) -34 c) 36 d) -35 e) 33 05. Se define la operació n D en Z: m D n = m + n - 31 -1 -1 -1 Calcular: (3 D 2) D(4 D 5 ) a) 73 b) 80 c) 83 d) 42 e) 16 06. Si: -1 Donde m es el inverso de “m”. Calcular: a) 120 b) 200 c) 12 d) 180 e) 10 07. Se define la operació n * en el conjunto:

A = {-1 ; 0 ; 1 ; -2}

-1 -1 -1 -1

Hallar “x” en: (x * 1) * (-2 * 0 ) = (-1) a) -1 b) 0 c) 1 d) -2 e) 7 08. Se define la operació n * en el conjunto:

M = {a ; b ; c ; d} mediante la siguiente tabla de doble entrada.

Hallar el valor de “x” en la siguiente igualdad:

-1 -1 a * b = x * c a) a b) b c) c d) d e) Otro valor 09. Si: " * 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 *b c a d a d a b c c b c a d b c b d a d a d c b a bD=5ab 2

Problemas Propuestos

1 25 1 50 4 25 1 1 1 æ è çö ø ÷æ è çö ø ÷ é ë ê ê ù û ú ú æ è çö ø ÷ - - -D -D * -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 # a b c d a c d a b b d a b c c a b c d d b c d a a bD=a b+-4 3 D1 2 3 4 2 2 4 1 3 1 1 2 3 4 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1

(5)

DETERMINACIÓ N DE LA PROPIEDAD CONMUTATIVA EN TABLAS

Criterio de la Diagonal

1. Se ordena la fila y la columna de entrada en el mismo orden y a partir del vé rtice del operador.

2. Se traza la diagonal principal (desde el vé rtice del operador). 3. Se verifica que a ambos lados de la diagonal y en forma simé trica

queden elementos iguales.

4. Si en todos los casos los elementos son iguales, la operació n es conmutativa.

5. Si en al menos un caso uno de los elementos es diferente, la operació n no es conmutativa.

Ejemplos:

Resolució n: III. ASOCIATIVA Ejemplos: + b 1. Se define en Z : a * b = a ¿Es asociativa?

IV. ELEMENTO NEUTRO (e)

Ejemplos:

1. Se define: a * b = a + b + 3 Hallar el elemento neutro. Resolució n:

2. En la siguiente tabla hallar el elemento neutro.

® e = ... Criterio

1. Se verifica que la operació n sea conmutativa. 2. En el cuerpo de la tabla se buscan:

Una fila igual a la fila de entrada y una columna igual a la columna de entrada.

Donde se intersectan, se encontrará el elemento neutro “e”.

-1 V. ELEMENTO INVERSO (a ) Ejemplos: 1. Se define: a * b = a + b - 2 -1 -1 -1 Calcular: 3 ; 4 ; 6 Resolució n: " a; b; c Î A ®(a *b) *c = a * (b * c) $ " e Î A / a Î A ® a * e = e * a = a " a Î A, a Î$-1 A / a * a = a * a = e-1 -1 * 2 4 1 3 1 3 1 2 4 2 4 2 3 1 3 1 3 4 2 4 2 4 1 3 * 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 0 1 3 4 3 2 1 2 2 3 4 3 2 3 1 2 3 4 3 4 0 1 2 3 4 * 1 2 3 4 1 3 4 1 2 2 4 1 2 3 3 1 2 3 4 4 2 3 4 1 * 2. En la siguiente tabla: -1 -1 -1 Calcular: 3 + 5 + 7 Resolució n: Criterio:

1. Se verifica que la operació n sea conmutativa. 2. Se busca el elemento neutro “e”.

3. Aplicamos teorí a del elemento inverso.

01. Definamos en el conjunto de los nú meros enteros la operació n “D” mediante:

a Db = (a+b)-4

¿Cuá les de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Es conmutativa.

II. Es asociativa.

III. Tiene elemento neutro.

a) Só lo I. b) I y II. c) Todas. d) II y III. e) N. A.

02. Dado el conjunto A = {a; b; c; d} y la operació n * definida por la tabla.

Se afirma que:

I. La operació n es conmutativa. II. La operació n es asociativa. III. El elemento neutro es “a”. De estas afirmaciones son verdaderas: a) Só lo I. b) Só lo II y III. c) I y II. d) Ninguna. e) Todas. 03. Se define la operació n * en R. a * b = a + b - 1 ; a ; b Î R -1 -1 Hallar: 5 * 2 -1

a) -8 b) -4 c) 4 d) 0 e) 1 04. Si: a * b = a + b + 5 Calcular: -1 -1 -1 (3 * 5 ) * 6 -1

a) 32 b) -34 c) 36 d) -35 e) 33 05. Se define la operació n D en Z: m D n = m + n - 31 -1 -1 -1 Calcular: (3 D 2) D (4 D 5 ) a) 73 b) 80 c) 83 d) 42 e) 16 06. Si: -1 Donde m es el inverso de “m”. Calcular: a) 120 b) 200 c) 12 d) 180 e) 10 07. Se define la operació n * en el conjunto:

A = {-1 ; 0 ; 1 ; -2}

-1 -1 -1 -1

Hallar “x” en: (x * 1) * (-2 * 0 ) = (-1) a) -1 b) 0 c) 1 d) -2 e) 7 08. Se define la operació n * en el conjunto:

M = {a ; b ; c ; d} mediante la siguiente tabla de doble entrada.

Hallar el valor de “x” en la siguiente igualdad:

-1 -1 a * b = x * c a) a b) b c) c d) d e) Otro valor 09. Si: " * 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 *b c a d a d a b c c b c a d b c b d a d a d c b a bD=5ab 2

Problemas Propuestos

1 25 1 50 4 25 1 1 1 æ è çö ø ÷æ è çö ø ÷ é ë ê ê ù û ú ú æ è çö ø ÷ - - -D -D * -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 # a b c d a c d a b b d a b c c a b c d d b c d a a bD=a b+-4 3 D1 2 3 4 2 2 4 1 3 1 1 2 3 4 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1

(6)

-1 -1

III. 8 + 5 = -57

-1 -1 -1 -1

IV. 4 Ä [3 Ä (-13) ] = 14

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

13. La operació n “*” está definida mediante la tabla adjunta.

-1

Considerando que x significa el inverso de x. Hallar el valor de “y” en la siguiente ecuació n:

-1 -1 -1 -1 [(2 * 3) * y] * [(4 * 2) * 3] = 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) F. D. 01. Sabiendo que: a * b = a + b - 2 -1 -1 Calcular: (4 * 2 ) * (3 *1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) Cero -1 -1 02. Si: m $ n = m + n - 5 ; efectuar: 6 $ 5 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9 La inversa de 2 para dicha operació n es de forma m/n. Calcular

“m.n”

a) 4 b) 5 c) 1 d) 6 e) 10 10. Dada la tabla y la operació n “D”. Ademá s:

-1

(x indica el inverso de un elemento “x”).

-1 -1 -1 -1 Hallar “n” en: [(2 D 3) n] D [(4 D 2) D 3] =1 a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) No existe 11. Se define * en R: a * b = 2a + 2b + 3ab.

¿Cuá ntas de las siguientes expresiones son falsas? I. La operació n es conmutativa.

II. La operació n es asociativa.

III. 0 es el elemento neutro de la operació n.

2

IV. a * (-a) = 3a

a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 12. Se define la operació n “Ä” en los enteros mediante:

a Ä b = a + b + 11 ; a ; b Î Z ¿Cuá ntas de las afirmaciones son correctas? I. Es conmutativa.

II. El elemento neutro es -11.

" * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1

Desafiando tu Habilidad

* 4 1 2 3 3 3 2 1 4 1 1 4 3 2 4 4 1 2 3 2 2 3 4 1 * 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2 # 1 2 3 4 1 3 4 1 2 2 4 1 2 3 3 1 2 3 4 4 2 3 4 1

PLANTEO DE ECUACIONES

INTRODUCCIÓ N

“Para resolver un problema referente a nú meros o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, al lenguaje matemá tico.

Veamos el siguiente ejemplo:

“Un padre deja una herencia para que sea repartida entre sus hijos de la siguiente manera: Al primero 100 soles y la quinta parte del resto, al segundo 200 soles y la quinta parte, al tercero 300 soles y la quinta parte del nuevo resto y así sucesivamente con todos los hijos. Si al final todos recibieron la misma cantidad de dinero, ¿Cuá nto es la herencia y cuá ntos son los hijos?

Resolució n:

“Al primero 100 soles y la quinta parte del resto” 100 x 4x 5x

}

Herencia er 1 Hijo Queda

}

100 x 200 4x 200 5 +=+ -1600 400 =4 4x-200

}

_do 2 Hijo

}

4x-200 5 200 4 5

(

4x-2005

(

Queda =4x

Del grá fico: herencia = 5x+100

“Al segundo 200 soles y la quinta parte de lo que va quedando”

“Y así sucesivamente con todos los hijos”

“Al final todos reciben la misma cantidad de dinero”

Entonces de acuerdo a este dato, planteamos que lo recibido por el primero es igual a lo recibido por el segundo. Es decir:

Resolviendo: x = 300

\ Herencia = 5(300) + 100 = S/. 1600

Lo que le tocó al primero es: 100+300 =S/. 400, y es lo mismo que le

Lo que aquí se ha mostrado son ejemplos de có mo se puede representar simbó licamente una frase determinada (no necesariamente es la ú nica). Una frase puede ser representada simbó licamente de una o varias maneras, el estudiante deberá actuar de acuerdo a los requerimientos de cada problema en particular.

Sugerencias

ØLeer detenidamente el texto del problema hasta comprender de qué se trata. ØUbicar los datos y la pregunta.

ØElegir la(s) variable(s) con las cuales se va a trabajar.

ØRelacionar los datos con las variables para plantear una o má s ecuaciones que al resolver nos den la solució n al problema. LENGUAJE ALGEBRAICO

(SÍ MBOLOS) LENGUAJE CASTELLANO

(ENUNCIADO)

01. La suma de tres nú meros consecutivos es 153

02. La edad de Ángel es dos veces la edad de Beatriz.

03. La edad de Ángel es dos veces má s que la edad de Beatriz. 04. Yo tengo la mitad de lo que tú tienes y é l tiene el triple

de lo que tú tienes.

05. El triple de un nú mero, aumentado en 10. 06. El triple, de un nú mero aumentado en 10. 07. El exceso de A sobre B es 50

08. En una reunió n hay tantos hombres como el doble del nú mero de mujeres.

09. He comprado tantas camisas como soles cuesta cada una.

x + (x+1) + (x+2) = 153 Ángel Beatriz 2x añ os x añ os Ángel Beatriz 3x añ os x añ os Yo x Tú 2x É l 6x Sea “x” el nú mero: 3x + 10 Sea “x” el nú mero: 3(x + 10) A - B = 50 Mujeres x Hombres 2x

Compro: x camisas c/u cuesta : S/. x Jorge

S/. (x+50)

Javier S/. x

Problemas Propuestos

01. Toñ o en una de sus salidas, baja la escalera de su casa de 3 en 3 y los sube de 5 en 5, dando en total 160 pasos. ¿Cuá ntos peldañ os tiene la escalera?

a) 240 b)300 c)400 d)120 e) 150

02. Subiendo las escaleras de 2 en 2, doy 9 paos má s que subiendo de 5 en 5. ¿Cuá ntos peldañ os tiene la escalera?

a) 20 b) 24 c) 30 d) 60 e) 36 03. Pedro le dice a Juan: “Si tú me dieras 60 soles, tendrí amos la

misma cantidad”. Juan le responde: “Pero, si tú me dieras 20 soles, yo tendrí a el triple de lo que a ti te quedarí a. ¿Cuá ntos soles tienen entre ambos?

a) 400 b) 320 c) 220 d) 360 e) 100 04. Jimena tiene dos veces má s de lo que tiene Isabel. Si Jimena le

diera 20 soles a Isabel tendrí a el doble de lo que le quedarí a a Jimena. ¿Cuá nto tiene Jimena?

a) S/ 50 b) S/ 12 c) S/ 30 d) S/ 25 e) S/ 36

05. Se tiene una sala de forma rectangular cuyo perí metro es 72 metros. Si el largo fuese 8 metros menos y el ancho 6 metros má s, la sala serí a cuadrada. Hallar el á rea de la sala.

2 2 2

a) 275 m b) 320 m c) 215 m

2 2

d) 300 m e) 270 m

06. El largo de un campo rectangular es el triple del ancho. Si el largo fuese 4 metros menos y el ancho 6 metros má s, el á rea del campo aumentarí a 60 m2. Hallar el perí metro del campo rectangular.

(7)

-1 -1

III. 8 + 5 = -57

-1 -1 -1 -1

IV. 4 Ä [3 Ä (-13) ] = 14

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

13. La operació n “*” está definida mediante la tabla adjunta.

-1

Considerando que x significa el inverso de x. Hallar el valor de “y” en la siguiente ecuació n:

-1 -1 -1 -1 [(2 * 3) * y] * [(4 * 2) * 3] = 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) F. D. 01. Sabiendo que: a * b = a + b - 2 -1 -1 Calcular: (4 * 2 ) * (3 *1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) Cero -1 -1 02. Si: m $ n = m + n - 5 ; efectuar: 6 $ 5 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9 La inversa de 2 para dicha operació n es de forma m/n. Calcular

“m.n”

a) 4 b) 5 c) 1 d) 6 e) 10 10. Dada la tabla y la operació n “D”. Ademá s:

-1

(x indica el inverso de un elemento “x”).

-1 -1 -1 -1 Hallar “n” en: [(2 D 3) n] D [(4 D 2) D 3] =1 a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) No existe 11. Se define * en R: a * b = 2a + 2b + 3ab.

¿Cuá ntas de las siguientes expresiones son falsas? I. La operació n es conmutativa.

II. La operació n es asociativa.

III. 0 es el elemento neutro de la operació n.

2

IV. a * (-a) = 3a

a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 12. Se define la operació n “Ä” en los enteros mediante:

a Ä b = a + b + 11 ; a ; b Î Z ¿Cuá ntas de las afirmaciones son correctas? I. Es conmutativa.

II. El elemento neutro es -11.

" * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1

Desafiando tu Habilidad

* 4 1 2 3 3 3 2 1 4 1 1 4 3 2 4 4 1 2 3 2 2 3 4 1 * 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2 # 1 2 3 4 1 3 4 1 2 2 4 1 2 3 3 1 2 3 4 4 2 3 4 1

PLANTEO DE ECUACIONES

INTRODUCCIÓ N

“Para resolver un problema referente a nú meros o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, al lenguaje matemá tico.

Veamos el siguiente ejemplo:

“Un padre deja una herencia para que sea repartida entre sus hijos de la siguiente manera: Al primero 100 soles y la quinta parte del resto, al segundo 200 soles y la quinta parte, al tercero 300 soles y la quinta parte del nuevo resto y así sucesivamente con todos los hijos. Si al final todos recibieron la misma cantidad de dinero, ¿Cuá nto es la herencia y cuá ntos son los hijos?

Resolució n:

“Al primero 100 soles y la quinta parte del resto” 100 x 4x 5x

}

Herencia er 1 Hijo Queda

}

100 x 200 4x 200 5 +=+ -1600 400 =4 4x-200

}

_do 2 Hijo

}

4x-200 5 200 4 5

(

4x-2005

(

Queda =4x

Del grá fico: herencia = 5x+100

“Al segundo 200 soles y la quinta parte de lo que va quedando”

“Y así sucesivamente con todos los hijos”

“Al final todos reciben la misma cantidad de dinero”

Entonces de acuerdo a este dato, planteamos que lo recibido por el primero es igual a lo recibido por el segundo. Es decir:

Resolviendo: x = 300

\ Herencia = 5(300) + 100 = S/. 1600

Lo que le tocó al primero es: 100+300 =S/. 400, y es lo mismo que le

Lo que aquí se ha mostrado son ejemplos de có mo se puede representar simbó licamente una frase determinada (no necesariamente es la ú nica). Una frase puede ser representada simbó licamente de una o varias maneras, el estudiante deberá actuar de acuerdo a los requerimientos de cada problema en particular.

Sugerencias

ØLeer detenidamente el texto del problema hasta comprender de qué se trata. ØUbicar los datos y la pregunta.

ØElegir la(s) variable(s) con las cuales se va a trabajar.

ØRelacionar los datos con las variables para plantear una o má s ecuaciones que al resolver nos den la solució n al problema. LENGUAJE ALGEBRAICO

(SÍ MBOLOS) LENGUAJE CASTELLANO

(ENUNCIADO)

01. La suma de tres nú meros consecutivos es 153

02. La edad de Ángel es dos veces la edad de Beatriz.

03. La edad de Ángel es dos veces má s que la edad de Beatriz. 04. Yo tengo la mitad de lo que tú tienes y é l tiene el triple

de lo que tú tienes.

05. El triple de un nú mero, aumentado en 10. 06. El triple, de un nú mero aumentado en 10. 07. El exceso de A sobre B es 50

08. En una reunió n hay tantos hombres como el doble del nú mero de mujeres.

09. He comprado tantas camisas como soles cuesta cada una.

x + (x+1) + (x+2) = 153 Ángel Beatriz 2x añ os x añ os Ángel Beatriz 3x añ os x añ os Yo x Tú 2x É l 6x Sea “x” el nú mero: 3x + 10 Sea “x” el nú mero: 3(x + 10) A - B = 50 Mujeres x Hombres 2x

Compro: x camisas c/u cuesta : S/. x Jorge

S/. (x+50)

Javier S/. x

Problemas Propuestos

01. Toñ o en una de sus salidas, baja la escalera de su casa de 3 en 3 y los sube de 5 en 5, dando en total 160 pasos. ¿Cuá ntos peldañ os tiene la escalera?

a) 240 b)300 c)400 d)120 e) 150

02. Subiendo las escaleras de 2 en 2, doy 9 paos má s que subiendo de 5 en 5. ¿Cuá ntos peldañ os tiene la escalera?

a) 20 b) 24 c) 30 d) 60 e) 36 03. Pedro le dice a Juan: “Si tú me dieras 60 soles, tendrí amos la

misma cantidad”. Juan le responde: “Pero, si tú me dieras 20 soles, yo tendrí a el triple de lo que a ti te quedarí a. ¿Cuá ntos soles tienen entre ambos?

a) 400 b) 320 c) 220 d) 360 e) 100 04. Jimena tiene dos veces má s de lo que tiene Isabel. Si Jimena le

diera 20 soles a Isabel tendrí a el doble de lo que le quedarí a a Jimena. ¿Cuá nto tiene Jimena?

a) S/ 50 b) S/ 12 c) S/ 30 d) S/ 25 e) S/ 36

05. Se tiene una sala de forma rectangular cuyo perí metro es 72 metros. Si el largo fuese 8 metros menos y el ancho 6 metros má s, la sala serí a cuadrada. Hallar el á rea de la sala.

2 2 2

a) 275 m b) 320 m c) 215 m

2 2

d) 300 m e) 270 m

06. El largo de un campo rectangular es el triple del ancho. Si el largo fuese 4 metros menos y el ancho 6 metros má s, el á rea del campo aumentarí a 60 m2. Hallar el perí metro del campo rectangular.

(8)

07. Si la quinta parte de las horas transcurridas en este dí a es igual a la sé ptima parte de lo que falta transcurrir. ¿Qué hora es? a) 8 am b) 11 am c) 12 m d) 10 am e) 9 am

08. ¿Qué hora es? Si la mitad del tiempo transcurrido desde la 8 horas es igual a la quinta parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 22 horas

a) 10 am b) 12 m c) 1 pm d) 2 pm e) 12: 30 pm 09. En una familia, el nú mero de hijos varones es al de mujeres como

3 a 4. Si se considera a papá y mamá , el nú mero de varones es al de mujeres como 7 es a 9. ¿Cuá ntos hijos hay?

a) 8 b) 12 c) 10 d) 15 e) 14

10. Dos nú meros son entre sí como 9 es a 10. Si al mayor se le aumenta 20 y al menor se le disminuye 15, el menor será al mayor como 3 es a 7. Hallar los nú meros.

a) 35 y 48 b) 60 y 54 c) 55 y 46 d) 45 y 50 e) 38 y 56

11. Se tiene un nú mero par y se le añ ade los dos pares que le siguen y los dos nú meros impares que le preceden, dando como resultado 102. Hallar la suma de las cifras del mayor de estos nú meros. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10 12. ¿Cuá l es el nú mero impar que añ adido a los tres nú meros pares que

le anteceden, má s el par de nú meros impares que le continú an, da un resultado de 987 unidades?

a) 165 b) 115 c) 135 d) 127 e) 197

13. Un capataz contrata un obrero ofrecié ndole un sueldo anual de S/ 3 000 y una sortija. Al cabo de 7 meses, el obrero es despedido y recibe S/ 1 500 y la sortija. ¿Cuá l es el valor de la sortija? a) S/ 450 b) S/ 600 c) S/ 320 d) S/ 520 e) S/ 480 14. Un comerciante ofrece a un empleado un sueldo anual de S/ 60

000, un televisor y un juego de comedor. A los diez meses, el empleado es despedido y recibe S/ 44 000 má s las dos cosas que le prometieron. Si se hubiera retirado a los 7 meses, hubiera recibido S/ 36 000 y el juego de comedor. ¿Cuá l es el precio del juego de comedor?

a) S/ 40 000 b) S/ 25 000 c) S/ 12 000 d) S/ 20 000 e) S/ 12 350

15. En una granja se tienen pavos, gallinas y patos. Sin contar las gallinas tenemos 5 aves, sin contar los patos tenemos 4 aves y sin contar los pavos tenemos 7 aves.¿Cuá l es el nú mero de gallinas? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

16. Un matrimonio que tiene dos hijos decidieron pesarse y lo

hicieron de la siguiente manera: Se pesaron los padres y resultó 126 kg ; despué s el papá con el mayor de sus hijos y resultó 106 kg y, por ú ltimo, la mamá con el hijo menor y resultó 83 kg. Si se sabe que el mayor pesa 9 kg má s que el menor. ¿Cuá nto pesa el mayor? a) 30 kg b) 46 kg c) 38 kg d) 36 kg e) 50 kg 17. En un estacionamiento se cuentan 48 vehí culos, entre autos y

bicicletas. Si en total se han contado 142 llantas. ¿Cuá ntas bicicletas hay?

a) 25 b) 30 c) 18 d) 22 e) 23

18. En un examen de admisió n, un postulante ha respondido 60 preguntas, obteniendo 170 puntos. Por cada respuesta correcta gana 4 puntos y por cada repuesta errada pierde un punto. ¿Cuá ntas repuestas equivocadas tuvo?

a) 12 b) 14 c) 16 d) 10 e) 8

19. La leche contenida en un tonel cuya capacidad es de 65 litros, pesa 66,71 kilogramos. Sabiendo que un litro de leche pura pesa 1,03 kg. ¿Cuá nta agua contiene?

a) 50 l b) 46 l c) 8 l d) 10 l e) 25 l 20. Con 430 litros de vino se pueden llenar 540 botellas cuyas

capacidades son de ¾ de litro y 5/6 de litro. ¿Cuá ntas botellas de 3/4 de litro hay?

a) 120 b) 240 c) 150 d) 245 e) 380 21. Un padre le da a su hijo “a” soles por cada pregunta buena y por

cada pregunta mala, el hijo devuelve “a 500” soles. ¿Cuá ntas repuestas malas tuvo, si contestando “h” preguntas, el hijo ganó “15a “ soles?

a) a ( h + 15 ) / 500 b) a ( h 15 ) / 500 c) h(a 15) / (a 500) d) a( h 15) / 2a 500 e) h(a 15) / 2a 500

22. Un estanque cada hora desagua la mitad de lo que tiene má s 50 litros. ¿Cuá l es la capacidad del estanque, si se desocupó al cabo de 3 horas?

a) 600 b) 460 c) 750 d) 700 e) 150 23. Fernando compra cierta cantidad de naranjas. A su hermana le

regala la mitad de las que compra má s 4 naranjas; a su prima le regala la mitad de lo que le queda má s 2 naranjas, y a su enamorada, la mitad de lo que aú n le queda má s 1 naranja. ¿Cuá ntas compró si al final sobran 5 naranjas?

a) 36 b) 60 c) 54 d) 64 e) 70 24. En la panaderí a “JIMENA”, se vende en cada hora los 4/5 de los

panes que tení a en esa hora má s un pan. Si se le acaban luego de 4 horas. ¿Cuá ntos panes tení a al inicio?

a) 700 b) 1 250 c) 780 c) 100 d) 1 780

25. ¿Qué cantidad tendré que agregar al dinero que tengo, para regalarle a Ana Lucí a 40 soles; sabiendo que elevando al cuadrado al nú mero de soles que tengo, luego multiplicarlo por 6, despué s restarle 32 soles, posteriormente dividirlo entre 2, extraerle la raí z quinta y por ú ltimo agregarle 7 soles, se obtiene el tercer nú mero impar consecutivo despué s del 3? a) S/ 40 b) S/ 36 c) S/ 25 d) S/ 32 e) S/ 50 26. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pavos; por 4 pavos dan 3

cabritos; por 12 cabritos dan 8 vaquitas y 5 vaquitas cuestan 150 soles. ¿Cuá nto tengo que gastar para adquirir 5 patos?

a) S/ 50 b) S/ 46 c) S/ 68 d) S/ 70 e) S/ 26 27. En un restaurant el precio de 4 lomos equivale al precio de 10

cau cau ; 9 cau cau equivalen a 3 bisteck, 8 bisteck a 6 cebiches. Si por 15 soles te dan 4 cebiches. ¿Cuá ntos lomos dará n por 15 soles?

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

28. El contenido de 3 envase tipo A equivale al contenido de 2 envases tipo B; 4 envases tipo B equivalen a 3 envases tipo C, 10 de C a 8 del tipo D. 40 litros de agua entran en 4 envases tipo D ¿Cuá ntos envases A se necesitará n para envasar 60 litros?

a) 18 b) 16 c) 15 d) 14 e) 20

29. Un profesor razonaba: “Si a mis alumnos los hago sentar de 2 en 2, me faltan 3 carpetas; pero si los hago sentar de 4 en 4, me faltarí an 14 alumnos para que en todas las carpetas tengan el mismo nú mero. ¿En cuá nto exceden los alumnos al nú mero de carpetas?

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

30. Si a cada sobrino de los que tengo, le entrego tantos caramelos como sobrino hay, me faltarí an 12 caramelos; pero, si le entrego a cada uno 2 caramelos menos, entonces me sobrarí an 2 menos de lo que me faltaba. ¿Cuá ntos sobrinos tengo?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 14

31. Se desea rifar un televisor vendié ndose cierto nú mero de boletos. Si se vende cada boleto a S/ 1, se pierde 35 soles y si se vende cada boleto a S/ 1,5 ; se gana S/ 165. ¿Cuá l es el precio del televisor? a) S/ 500 b) S/ 340 c) S/ 600 d) S/ 435 e) S/ 800

32. Sobre un estante se pueden colocar 15 libros de ciencias y 3 libros de letras ó 9 libros de letras y 5 libros de ciencias. ¿Cuá ntos libros de ciencias ú nicamente, entran en el estante?

a) 16 b) 14 c) 18 d) 20 e) 22

33. Una persona quiere comprar 450 cabritos o por el mismo dinero 50 vacas y 50 mulas. Si al final compró el mismo nú mero de animales de cada especie.¿Cuá ntos animales se compraron al final? a) 135 b) 120 c) 160 d) 176 e) 150

34. Se han comprado cierto nú mero de revistas por 100 soles. Si el precio por el ejemplar hubiera sido 1 sol menos, se tendrá 5 ejemplares má s, por el mismo precio. ¿Cuá ntas revistas se compró ? a) 12 b) 23 c) 18 d) 20 e) 34

35. Compré cierto nú mero de minicomponentes por 6 000 soles. Si cada artefacto me hubiera costado 100 soles menos, habrí a comprado dos lapiceros má s por el mismo importe. ¿Cuá ntos minicomponentes compré ?

a)50 b) 45 c) 38 d) 10 e) 18

36. Un terreno tiene forma rectangular. Si tuiviera 5 metros má s de largo y 5 metros má s de ancho, su á rea se duplicarí a. Si tuviera 3 metros menos de largo y ancho, el á rea disminuirá en 66 m2 . Hallar el á rea del terreno

2 2 2

a) 120 m b) 150 m c) 135 m

2

d) 175 m e) N.A.

37. Compré cieto nú mero de libros por S/ 72 y cierto nú mero de plumas por S/ 80. Cada pluma me costó S/ 2 má s que cada libro. ¿Cuá ntos libros y a que precio los compré ; si el nú mero de libros excede al de plumas en 2?

a) 18 ; S/ 4 b) 12; S/ 6 c) 18 ; S/ 6 d) 12 ; S/ 4 e) 24 ; S/ 3

38. Erase una vez una muchacha que se dirigí a por el bosque llevando consigo una canasta de manzanas, comprobando, al llegar a su destino que el producto del nú mero de sus manzanas por el nú mero de su manzanas menos 1, es igual a quince má s el producto de su edad por el nú mero de sus manzanas menos dos. ¿Cuá ntos añ os tiene la muchacha?

(9)