1
Vectores
. v u y v u , v u v
u→ → →−→ −→+→ −→+ →
2 1 2
dibuja vectores, siguientes
los son y
Si
a)
Ejercicio nº 1.-
(
)
, 2 Obténlascoordenadasde: 21 y 3 2, son vectores dos
de s coordenada Las
b) .
−
− →
→
b a
− +
− +
− →a →b →a →b →a b→ 3 1 ; 2 1 ;
2 3
: figura la muestra que
los y siendo ,
3 2 y 2 1 vectores
los Dibuja
a)
→ → →
→ → → → →
+ +
−
−v, u v u v u v u
Ejercicio nº 2.-
(
3, 2)
,obténlascoordenadasde:y 1 , 3 2 vectores los
Dados
b) −
− →
→
b a
→ → → → → →
− −
+
− a b; a b; a b
3 1 2
2 :
→ → →
→ → → →
→
− − + +
−u v, u v u v v
u
3 1 y 3 2 2 dibuja figura, la muestra que
vectores los
son y
Si a)
Ejercicio nº 3.-
(
)
→ → → → → →
→ →
− +
− +
−
−
b a ; b a ; b a
b a
2 1 2 5
1 5
: vectores los
de s coordenada las
obtén , 3 1, y 3 , 5 2 son y
de s coordenada las
Si b)
: 3 2 y 2 ,
dibuja ellos, de partir A figura. la muestra que
los son y vectores Los
a)
→ → → → → →
→ →
+ +
− −
−u v u v u v
v u Ejercicio nº 4.-
(
)
→ → → → → →
→ →
+ +
− +
−
− −
b a ; b a ; b a
b a
2 2 1 4
3 : de s coordenada
las obtén , 4 1 1, y 1 2, son y vectores los
de s coordenada las
Si b)
3 →
→ → → → →
− +
+
−u v; u v; u 2v 2
1 2
Ejercicio nº 5.-
a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:
(
2, 2)
, obténlascoordenadasde:y 2 , 4
3 vectores los
Dados
b) −
− →
→
b a
→ → →
→ →
→
+ − + −
− b; a b; a b
a 2 4
2 1
: v u z
, y , x
→ → →
→ →
y de lineal n combinació como
vectores los
Escribe
a)
Ejercicio nº 6.-
(
)
(
)
., 3 y 1, 2
5 1 de lineal n combinació com
17 0, vector el Escribe
b) −
→
→ →
c b
a
:
→ → →
→ →
v u c
b ,
a y comocombinaciónlinealdelosvectores y vectores
los Expresa a)
Ejercicio nº 7.-
(
)
(
)
.
−
− → →
→
2 , 2 1 y 2 1, de lineal n combinació como
2 5, vector el Expresa
4 :
a→, →b y c→ comocombinaciónlinealde x→ e y→ vectores
los Escribe a)
Ejercicio nº 8.-
(
)
(
3, 2)
y 1 , 2 1
por formada base
la a respecto con
0 1, vector del s coordenada las
Halla b)
−
− →
→
→
v u
w
(
2, 3)
conrespectoalabaseformadaporlosvectores vectordel s coordenada las
Halla
a) u − −
Ejercicio nº 9.-
(
1, 1)
y 3 1
2, −
−
w
v
: y vectores los
de lineal n combinació como
, , vectores los
Expresa
b) x y z a b
( )
(
)
,1 .2 1 y 3 2, vectores los
de lineal n combinació como
1 4, vector el Expresa
a)
− z
y
x
5
(
5, 4) ( )
, 3,2 y(
1,)
: Dados x→ − y→ z k Ejercicio nº 11.-. x z
x k
→ →
→
que sentido mismo
el y dirección misma
la con unitario vector
un Halla b)
. 90 ángulo un
formen y
que para de
valor el Halla
a)
(
1, 3)
y(
, 2)
:Si a b m
→ →
− Ejercicio nº 12.-
( )
.
2 4, siendo y
por formado ángulo
el Calcula b)
lares. perpendicu sean
y que para de
valor el Halla a)
→ →
→ → →
c
c a
b a m
(
1, 4) (
, 3,)
y(
2, 3)
: vectoreslos
Dados − −
→ →
→
w m v u
Ejercicio nº 13.-
.
→ → → →
w u u m
y forman que
ángulo el
Halla b)
lares. perpendicu sean
v y que para Calcula
a)
( )
,3 e(
1,)
. Hallalosvaloresde y paraque e vectoreslos
Considera →x a y→ − b a b →x y→
Ejercicio nº 14.-
5. x que y lares perpendicu
sean =
( )
1,1 y 54 , 5
3 →
→
−
b a
Ejercicio nº 15.-
a) Halla el ángulo que forman los vectores
( )
?5 4 , 5 3 a lar perpendicu fuera
1 vector el que para de valor el sería ¿Cuál
b)
−
→ →
a x
, u
6
Soluciones ejercicios de Vectores
. v u y v u , v u v
u→ → →−→ −→+→ −→+ →
2 1 2
dibuja vectores, siguientes
los son y
Si
a)
Ejercicio nº 1.-
(
)
, 2 Obténlascoordenadasde: 21 y 3 2, son vectores dos
de s coordenada Las
b) .
−
− →
→
b a
− +
− +
− →a →b →a →b →a b→ 3 1 ; 2 1 ;
2 3
Solución:
a)
(
)
, 2(
6, 9) (
1, 4) (
7,13)
2 1 2 3 , 2 3 2 3
b) = − + − = −
− + − − = + − →a →b
(
)
(
)
− = − + − = − + − − = +
−→ → , 4
4 9 1
, 4 1 3 , 2 2 , 2 1 2 1 3 , 2 2 1
b a
(
)
−
=
−
=
− − − =
−→ →
3 5 , 6 5 5 , 2 5 3 1 2 , 2 1 3 , 2 3 1 3
1
b a
: figura la muestra que
los y siendo ,
3 2 y 2 1 vectores
los Dibuja
a)
→ → →
→ → → → →
+ +
−
−v, u v u v u v u
7
(
3, 2)
,obténlascoordenadasde:y 1 , 3 2 vectores los
Dados
b) −
− →
→
b a
→ → → → → →
− −
+
− a b; a b; a b
3 1 2
2 3
Solución:
a)
(
3, 2) (
2,3) (
6, 4) (
4, 1)
2 1 , 3 2 3 2 3
b) + − = − + − = −
− − = + − →a →b
(
)
(
)
− = − −
−
= − −
−
= −→ →
0 , 3
5 2 , 3 2 , 3 4 2 , 3 1 , 3 2 2 2a b
(
)
− − =
− − − = − − − = − →
→
3 1 , 3
1 3
2 , 1 1 , 3 2 2 , 3 3 1 1 , 3 2 3 1
b a
:
→ → →
→ → → →
→
− − + +
−u v, u v u v v
u
3 1 y 3 2 2 dibuja figura, la muestra que
vectores los
son y
Si a)
8
(
)
→ → → → → →
→ →
− +
− +
−
−
b a ; b a ; b a
b a
2 1 2 5
1 5
: vectores los
de s coordenada las
obtén , 3 1, y 3 , 5 2 son y
de s coordenada las
Si b)
Solución:
a)
(
) (
)
− =
− + − = − +
− =
+ →
→
5 72 , 5 9 5 3 , 5
1 15 , 2 3 , 1 5 1 3 , 5 2 5 5 1 5 b) a b
(
)
(
)
− = − +
− = − +
− − = +
−→ → , 9
5 12 6
, 2 3 , 5 2 3 , 1 2 3 , 5 2 2b a
(
)
(
)
−
= − −
−
= − −
−
= −→ →
2 9 , 5 6 3 , 1 2
3 , 5 1 3 , 1 3 , 5 2 2 1 2
1
b a
: 3 2 y 2 ,
dibuja ellos, de partir A figura. la muestra que
los son y vectores Los
a)
→ → → → → →
→ →
+ +
− −
−u v u v u v
v u Ejercicio nº 4.-
(
)
→ → → → → →
→ →
+ +
− +
−
−
−
b a ; b a ; b a
b a
2 2 1 4
3 : de s coordenada
las obtén , 4 1 1, y 1 2, son y vectores los
de s coordenada las
Si b)
9 Solución:
a)
(
)
(
6, 3) (
4, 1) (
10, 4)
4 1 , 1 4 1 , 2 3 4 3
b) = − + − = −
− + − − = + − →a →b
(
)
(
)
− = − + − = − + − − = + −→ →
4 5 , 3 4
1 , 1 1 , 2 4
1 , 1 1 , 2
b a
(
)
( )
1, 02 1 , 2 2 1 , 1 4
1 , 1 2 1 , 2 2 1 2 2 1
= − + − = − + − = + →
→
b a
→ → → → → →
− +
+
−u v; u v; u 2v 2
1 2
Ejercicio nº 5.-
a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:
(
2, 2)
, obténlascoordenadasde:y 2 , 4
3 vectores los
Dados
b) −
− →
→
b a
→ → →
→ →
→
+ − + −
− b; a b; a b
a 2 4
10 Solución:
a)
(
)
(
)
− = − −
− = − −
− = − →
→
3 , 4
7 1 , 1 2 , 4
3 2 , 2 2 1 2 , 4
3 2
1 b)a b
(
)
(
)
− = − +
− = − +
− − = +
− → → , 6
2 7 2 , 2 4 , 2 3 2 , 2 2 , 4
3 2 2a b
(
2, 2) (
3, 8) (
2, 2) (
5, 10)
2 , 4
3 4
4 + − = − + − = −
− − = + − →a →b
: v u z
, y , x
→ → →
→ →
y de lineal n combinació como
vectores los
Escribe
a)
Ejercicio nº 6.-
(
)
(
)
., 3 y 1, 2
5 1 de lineal n combinació com
17 0, vector el Escribe
b) −
→
→ →
c b
a
Solución:
a)
b) Tenemos que encontrar dos números, m y n, tales que:
: decir es , → → →
⋅ + ⋅
11
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
− +
=
− +
=
− ⋅ + ⋅ =
n m n m
n n m m
n m
2 3 , 5 17 , 0
2 , 3
, 5 17 , 0
2 , 1 3
, 5 1 17
, 0
1 17
17 2
15 17 5 2 3 17
5 0
2 3 17
5 0
= → =
→ +
= = + = − =
+ =
− =
n n
n n m n
n m
n m
n m
n m
5 5 = = n m
Por tanto:
: decir es , 1 5
→ → →
⋅ + ⋅
= b c
a
(
)
, 3(
1, 2)
5 1 5 17 ,
0 + −
=
:
→ → →
→ →
v u c
b ,
a y comocombinaciónlinealdelosvectores y vectores
los Expresa a)
Ejercicio nº 7.-
(
)
(
)
.
−
− → →
→
2 , 2 1 y 2 1, de lineal n combinació como
2 5, vector el Expresa
b) x y z
Solución:
a)
b) Hemos de encontrar dos números, m y n, tales que:
: decir es , → → →
⋅ + ⋅
12
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
+ − +
= −
+ − = −
+ − = −
n m n m
n n m m
n m
2 2 , 2 2
, 5
2 , 2 2 , 2 , 5
2 , 2 1 2 , 1 2 , 5
+ −
= −
= + − =
−= −
+ − =
− = +
+ − = −
+ =
m n
m n
n m
m n
n m
n m
n m n m
1 2 10 1
2 10 2
2 2
2 10 2 2 2
2 5
3 8 3 11 1 1
; 3 11 11
3 10
1 2
1 2
10− m=− +m →− m−m=− − → − m=− →m= n=− +m=− + =
Por tanto:
: decir es , 3 8 3 11→ → →
+
= y z
x
(
)
(
)
+ − =
− , 2
2 1 3 8 2 , 1 3 11 2 , 5
:
→ → →
→ →
y x c
y b ,
a comocombinaciónlinealde e vectores
los Escribe a)
Ejercicio nº 8.-
(
)
(
3, 2)
y 1 , 2 1
por formada base
la a respecto con
0 1, vector del s coordenada las
Halla b)
−
− →
→
→
v u
w
Solución:
a)
b) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:
: decir es , → → →
13
( )
(
)
( )
(
)
( )
− − + = − + − = − + − = n m , n m , n , n m , m , , n , m , 2 3 2 0 1 2 3 2 0 1 2 3 1 2 1 0 1 2 1 4 2 4 2 6 2 2 2 6 2 2 0 3 2 1 − = − = → − = − = = −=− − + = − − = n n n n m n n m n m n mm = -2n = 1 Por tanto: : decir es , 2 1 1 → → → ⋅ − + ⋅
= u v
w
( )
(
3 2)
2 1 1 2 1 0
1, , − − ,
− = − → → → 2 1 , 1 : son y por formada base la a respecto de s coordenada
Las w u v
(
2, 3)
conrespectoalabaseformadaporlosvectores vector del s coordenada las Hallaa) u − −
Ejercicio nº 9.-
(
1, 1)
y 3 1
2, −
− w
v
: y vectores los de lineal n combinació como , , vectores los Expresa
b) x y z a b
Solución:
a) Hemos de hallar dos números, m y n, tales que:
: decir es , → → → ⋅ + ⋅
14
Por tanto:
: decir es , 4 3
→ → →
+ −
= v w
u
(
)
4(
1, 1)
3 1 , 2 3 3 ,
2 + −
− − = − −
(
3 4)
son y por formada base
la a respecto con
de s coordenada
Las u→ v→ w→ − ,
. b)
( )
(
)
,1 .2 1 y 3 2, vectores los
de lineal n combinació como
1 4, vector el Expresa
a)
− z
y
x
Ejercicio nº 10.-
Solución:
a) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:
: decir es , → → →
⋅ + ⋅ =m y n z x
( )
(
)
( ) (
)
( )
+ − +
=
+ − =
+ − =
n m n m
n n m m
n m
3 , 2 2 1 , 4
, 2 3 , 2 1 , 4
1 , 2 1 3 , 2 1 , 4
+ =
− = +
− = +− =
+ − == +
+ − =
+ =
m m
m m
n m
n m n
m n m
n m
n m
4 3 1 8
3 1 4 8 3
1 4 8 3
1 4 8 3
1
15 4
3 1 3 1
1 7
7
= + = + =
= → =
m n
m m
Por tanto:
: decir es ; 4 1
→ → →
⋅ + ⋅
= y z
x
( ) (
)
+ −
= 1
2 1 4 3 2 1
4, , ,
b)
(
5, 4) ( )
, 3,2 y(
1,)
: Dados x→ − y→ z k Ejercicio nº 11.-. x z
x k
→ →
→
que sentido mismo
el y dirección misma
la con unitario vector
un Halla b)
. 90 ángulo un
formen y
que para de
valor el Halla
a)
Solución:
de ha escalar producto
su lares), perpendicu (sean
90 de ángulo un formen y que Para
a) x z
: cero a igual ser
(
) ( )
4 5 0
4 5 , 1 4 ,
5 − ⋅ = − = → =
= ⋅→ →
k k
k z
x
→
x
de módulo el
Hallamos b)
( )
4 25 16 41 52 + − 2 = + = =→
x
: será que sentido y dirección misma
la con unitario vector
El
→
x
−
41 4 , 41 5
(
1, 3)
y(
, 2)
: Si a→ − b→ m Ejercicio nº 12.-( )
.
2 4, siendo y
por formado ángulo
el Calcula b)
lares. perpendicu sean
y que para de
valor el Halla a)
→ →
→ → →
c
c a
16 Solución: : cero ser debe escalar producto su lares, perpendicu sean y que Para
a) a b
(
1,−3) (
⋅ ,2)
= −6=0 → =6 = ⋅→ → m m m b a( ) ( )
( )
= − = ⋅ − = + ⋅ − + ⋅ = ⋅ ⋅ = ∧ → → → → → → 200 2 20 10 6 4 2 4 3 1 2 , 4 3 , 1 , b) 2 2 2 2 c a c a c a cos '' 48 ' 7 98 , 14 ,0 =
∧ → −
= →a →c
(
1, 4) (
, 3,)
y(
2, 3)
: vectoreslos
Dados u→ − v→ m w→ −
Ejercicio nº 13.-
. → → → → w u u m y forman que ángulo el Halla b) lares. perpendicu sean v y que para Calcula a) Solución: : decir es cero, ser de ha escalar producto su lares, perpendicu sean y que Para a) → → v u
(
) (
)
4 3 0 4 3 3 41 ⋅ =− + = → =
− = ⋅→ → m m m , , v u
( )
( )
221 0,9414 13 17 14 3 2 4 1 12 2 , b) 2 2 2
2 =−
− = ⋅ − = − + ⋅ + − − − = ⋅ ⋅ = ∧ → → → → → → w u w u w u cos '. ' 46 ' 20 160 ,
Así, =
∧→ → w u
( )
,3 e(
1,)
. Hallalosvaloresde y paraque e vectores los Considera → → → →− b a b x y
y a
x Ejercicio nº 14.-
5. x que y lares perpendicu
sean =
Solución: : decir es cero, ser de ha escalar producto su lares, perpendicu sean e que Para ) 1.º → → y x
( ) (
)
3 0 3 13 ,b a b b a
, a y
x⋅→= ⋅ − =− + = → =
→ : 5 a igualamos e de módulo el Hallamos ) 2.º → x 25 9 5 9
32 2 2
2+ = + = → + =
= a a a
17
− = → − =
= → = → ± = → =
− =
3 4 4
3 4 4
16 16
9 25
2
b a
b a
a a
Por tanto, hay dos posibilidades:
3 4 ,
4 ;
3 4 ,
4 1 2 2
1 = b = a =− b =−
a
( )
1,1 y 54 , 5
3 →
→
−
b a
Ejercicio nº 15.-
a) Halla el ángulo que forman los vectores
( )
?5 4 , 5 3 a lar perpendicu fuera
1 vector el que para de valor el sería ¿Cuál
b)
−
→ →
a x
, u
x
Solución:
→ −
= − = − = + ⋅ +
− =
⋅ ⋅ =
∧
→ →
→ → → →
14 , 0 2 5
1 2 5 1
1 1 25 16 25
9 5 4 5 3 ,
a)
b a
b a c a cos
' ' 48 ' 7 98
, =
∧ → →a →c
: cero ser debe escalar producto
su lares, perpendicu sean
y que Para b)
→ →
a u
( )
4 3 0
4 3 0
5 4 5 3 5
4 , 5 3 ,
1 = − = → − = → =
− ⋅ = ⋅→
→
x x
x x
