Estudio de algunas estructuras algebraicas construidas a partir de ultra productos

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(1)Estudio de algunas estructuras algebraicas construidas a partir de ultra-productos. presentado por. Roger Alexander Mayorga Quevedo Código 2009240031 1022943601 Camilo Andres Rodríguez Jimenez Código 2009240047 1070964372. trabajo de grado asociado al estudio de un tema específico presentado al departamento de licenciatura en Matemáticas como parte de los requisitos para el grado de Matemáticas. Asesor: Yeison Alexander Sanchez Rubio. Universidad Pedagogica Nacional Facultad de Ciencia y Tecnología Departamento de Matemáticas Bogotá, Colombia Enero, 2015.

(2) i. A nuestras familias por su apoyo incondicional.

(3) 0.0. 1. Agradecimientos Queremos agradecer a nuestros padres por brindarnos la posibilidad de estudiar aquello que nos apasiona, y darnos así la oportunidad de conocer y experimentar satisfacciones que se escapan de la inmediatez. Gracias por todo. Agradecemos a nuestros asesores Leonado Ángel y Yeison Sánchez por sus grandes aportes. Al profesor Ángel, que con su capacidad de incentivarnos a estimar cada vez más las matemáticas, nos ha motivado a realizar este trabajo y a continuar con nuestros estudios, acercándonos así a nuevos campos de la matemática. Al profesor Yeison, por su paciencia y detenimiento a realizar una revisión minuciosa, lo cual ha enriquecido en gran medida el contenido del presente trabajo. Siempre estaremos agradecidos con ustedes, por ser parte de nuestra formación académica..

(4) 0.0. 2. FORMATO. RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN - RAE. Código: FOR020GIB. Versión: 01. Fecha de Aprobación: 10-10-2012. Página 1 de 3. 1. Información General Tipo de documento. Trabajo de grado. Acceso al documento. Universidad Pedagógica Nacional. Biblioteca Central. Titulo del documento. Estudio de algunas estructura algebraicas construidas a partir de ultra-productos. Autor(es). Mayorga Quevedo, Roger Alexander; Rodríguez Jimenez, Camilo Andres. Director. Sanchez Rubio, Yeison Alexander. Publicación. Bogotá. Universidad Pedagógica Nacional, 2015. 114 p.. Unidad Patrocinante. Universidad Pedagógica Nacional. Palabras Claves. Filtros, productos reducidos, estructuras algebraicas, números no estándar. 2. Descripción. Trabajo de grado que se propone con el n de estudiar estructuras algebraicas en productos reducidos. Con este n se ha expuesto minuciosamente su mecanismo de construcción, la cual consiste en debilitar la noción de igual en los productos cartesianos arbitrarios, estableciendo así la relación que existe entre las familias de estructuras que denen el producto cartesiano con el producto reducido. Luego de esto, se caracterizan a los elementos del producto reducido entre números estándar y no estándar, basándonos en las ideas encontradas principalmente en Robinson y Takeuchi. Por último, se hace un estudio de los números cuadrados y la relación de divisibilidad, llegando al estudio de ecuaciones de primer y segundo orden.. 3. Fuentes. Abraham, R. (1966).. Non-standard analysis.. (Princeton Landmarks in Mathematics, Ed.). (2nd ed.). Los Angeles: Princeton University Press.. Análisis no estándar. Elemér, R. (n.d.). Short introduction to nonstandard analysis. (Department of Mathematics, Carlos, I. (n.d.).. Ed.). South Africa: University of Pretoria. Gutiérrez, víctor diego. (2012). de Cantabria, santander. Takeuchi, Y. (1988).. z-ultraltros y compacticación de Stone-Cech.. Metodos analiticos del analisis no standar.. Universidad.

(5) 0.0. 3. FORMATO. RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN - RAE. Código: FOR020GIB. Versión: 01. Fecha de Aprobación: 10-10-2012. Página 2 de 3 4. Contenidos. El capítulo 1 el cual se titula Filtros y productos reducidos surgió en la etapa de indagación la cual se propone exponer los conceptos previos para el estudio de los productos reducidos. El segundo capítulo surge en la etapa de contextualización, el cual se titula estructuras algebraicas en productos reducidos y en ultraproductos , proponiéndose así como objetivo, dotar tal construcción de una estructura algebraica y estudiar la relación que tienen cada estructura de la familia que denen al producto cartesiano con la estructura del producto reducido. En el tercer capítulo se titula La familia de los. Zn y sus productos reducidos. el cual. pretende copiar en esta estructura algunos conceptos como el de números no estándar y otros encontrados en las anteriores etapas; esta etapa se caracteriza por clasicar los números del producto reducido. Por último, se realiza un estudio aritmético en la estructura obtenida en el capítulo cuarto se considera como una aplicación de lo obtenido en los anteriores capítulos.. 5. Metodología. No aplica. 6. Conclusiones. Sobre el desarrollo del trabajo Al indagar y estudiar acerca de la construcción y análisis de los números reales no estándar, encontramos que las fuentes bibliográcas consultadas en general, hacen un fuerte énfasis desde el campo de la teoría de modelos, y no desde una construcción de productos reducidos.. Sobre ltros Los ltros sobre un conjunto dado, pueden ser clasicados al considerar la intersección de todos los elementos que pertenece al ltro; si esta intersección pertenece al ltro, llegamos a lo que se denomina ltro principal, si esta intersección es vacía, se obtienen ltros libres, de lo contrario se obtiene un ltro no libre y no principal..

(6) 0.0. 4. FORMATO. RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN - RAE. Código: FOR020GIB. Versión: 01. Fecha de Aprobación: 10-10-2012. Página 3 de 3. Es posible identicar el tipo de ltro por medio de la cardinalidad del conjunto del cual se genera el ltro y por medio de la cardinalidad de sus elementos, así, si el conjunto base es nito o alguno de sus elementos es nito, el ltro necesariamente es principal. En consecuencia, si se quiere obtener ltros no principales, se debe partir de un conjunto innito y además se debe tener que todo elemento del ltro contenga a otro propiamente. Por medio del ltro maximal de una cadena ordenada de ltros, se llega al concepto de ultraltro. Este orden se dene por medio de la contenencia entre ltros.. Sobre productos reducidos La relación que guarda las propiedades algebraicas de la familia de estructuras base con el producto reducido se puede enunciar de la siguiente manera: Si una propiedad algebraica que cumple ser formulada con un enunciado simple que se puede expresar sin variables libres, que tiene solo cuanticadores, símbolos de operación válidos en las estructuras y la igualdad para casi todas las estructuras de la familia base entonces esta propiedad es transferida al producto reducido. En este sentido, la expresión para casi todo lo determina el ltro que genera al producto reducido. las propiedades que cumplen casi todas las estructuras de la familia base, tienen una excepción y esta excepción se quiere transferir o por otra parte se quiere obtener una relación de orden total en el producto reducido, este debe ser generado a partir de un ultraltro, en otras palabras un ultraproducto.. Elaborado por. Roger Alexander Mayorga, Camilo Andrés Rodríguez. Revisado por. Yeison Alexander Sánchez Rubio. Fecha de elaboración del resumen. 26. 01. 2015.

(7) 0.0. 5.

(8) INTRODUCCIÓN Nuestra formación como licenciados en matemáticas se ha visto inuenciada por dos componentes principales, uno de carácter pedagógico y el otro disciplinar, siendo este ultimo el que nos motiva a la realización de este trabajo. El objetivo principal es realizar un estudio algebraico de los productos reducidos, los cuales se pueden denir como particiones sobre un producto de conjuntos arbitrarios, en otras palabras, por medio de la noción de ltro se debilita la relación de igualdad en los producto cartesianos arbitrarios. Esto con el n de buscar una estructura que cumpla algunas de las propiedades de los número estudiados en la licenciatura como lo son los naturales, enteros etc, como también encaminándonos en la búsqueda de nuevas propiedades.. En el primer capitulo se expone el mecanismo de construcción para obtener tal partición. Este consiste en construir mediante el concepto de ltro una relación de equivalencia, la cual dene en ultimas nuestra partición. Por tal motivo este capitulo se ha destinado en primera instancia, al estudio de ltros obteniendo una clasicación que nos permitirán caracterizar a los productos reducidos. Luego, basados en lo anterior, se denen los productos reducidos obteniendo algunos resultados sobre equipoténcia.. Como el interés es de tipo algebraico, en el segundo capitulo se dene la operación canónica de los productos arbitrarios a los productos reducidos, estudiando así, en qué condiciones las propiedades algebraicas son transferidas. Ademas se brinda un resumen de algunos productos reducidos clásicos que han sido estudiados por otros autores, tales como los naturales y reales no estándar. Por ultimo, se hacen algunas observaciones sobre la relación de orden inducida en estos productos. Con los insumos del primer y segundo capitulo se toma el producto reducido generado a partir de la familia de estructuras de los. Zp .. Aprovechando la clasicación de números estándar y no estándar,. los cuales ha sido denidos en los ejemplos clásicos estudiados en el capitulo dos, se han obtenido algunos resultados tales como en qué condiciones los números estándar de estos producto reducido resultan ser cerrados bajo la operación inducida. Luego, se obtienen en este contexto una representación de lo que habitualmente conocemos como números naturales, números negativos, números enteros y a partir de esto se termina de clasicar a todo el producto reducido por medio de lo que se denominará como Ramas", la cual nos generará una nueva partición. Por ultimo se harán algunas observaciones sobre la relación de orden inducida..

(9) 0.0. 7. En el cuarto y ultimo capitulo se hará un estudio aritmético de la estructura que se estudio en el tercer capitulo, copiandonos de lo realizado en los cursos de aritmética. Este estudio empieza por caracterizar en este contexto a los números cuadrados y realizar un estudio de la divisibilidad, como los conceptos de divisores de cero, unidades, asociados numero irreductibles y números primos. Todo lo anterior nos servirá de base para estudiar la solución de ecuaciones.. Se ha dejado claro desde el principio que no es de nuestro interés reexionar sobre la parte pedagógica, sin embargo se debe tener presente que estamos totalmente convencidos que el profundizar en el estudio de las matemáticas aporta en gran medida, a la forma en que enseñaremos matemáticas a nuestros estudiantes. Por ejemplo, el concepto de numero primo ha sido ampliado por medio de este trabajo, el cual es primordial cuando se enseña el conjunto de los números naturales..

(10) Capítulo 1. FILTROS Y PRODUCTOS REDUCIDOS Desde el punto de vista topológico es de interés el estudio de estructuras formadas por colecciones de conjuntos que son cerradas bajo algunas operaciones como la unión, la intersección entre otras, y que cumplen condiciones de existencia; por ejemplo, un espacio topológico se dene como una colección de conjuntos cerrada bajo la intersección nitas y las uniones arbitrarias, una sigma-álgebra como una familia no vacía de subconjuntos, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. De manera análoga a estas estructuras, aparece la noción de ltro que se describe como una colección de conjuntos, la cual cumple ser cerrada bajo las intersecciones nitas y tiene a los súperconjuntos de cada uno de sus elementos. Este concepto, es utilizado en diferentes ramas de la matemática como la teoría de modelos, topología, álgebra combinatoria, teoría de conjuntos, lógica entre otras. Por ejemplo, en topología los ltros aparecieron por el interés de algunos matemáticos, como Henri Cartan de ampliar y formalizar ideas como la de convergencia dado que las sucesiones solo son de utilidad para la convergencia de algunos espacios. Además, han sido ampliamente utilizados como un mecanismo para establecer nuevas relaciones de equivalencia como sucede en este documento. Por otro lado, los ltros han sido utilizados desde la lógica para la construcción de modelos no estándar de estructuras conocidas, en las cuales se pueden observar nuevas propiedades o dejar de tener algunas de las usuales. El primero en crear un universo no estándar que sirviera de base para la aritmética fue Skolem, basando su estudio de la aritmética a partir de la operación multiplicación. Los innitesimales de Leibniz fueron inspiración para el matemático estadounidense Abraham Robbinson (1966) el cual a partir de los ultraproductos generados por ultraltros obtiene un universo no estándar, y de esta forma da una fundamentación lógica rigurosa a este nuevo universo. Ahora bien, ya que los autores no están familiarizados con el conocimiento necesario para hacer un estudio formal desde la teoría de modelos, se ha decidido realizar una descripción más intuitiva del asunto,mostrando el fundamento de las herramientas empleadas y tratando de ejemplicar los resultados encontrados esta alternativa se ha encontrado en la Teoría de sucesiones [12]..

(11) 1.1. 9. 1.1 Generalidades y ejemplos de ltros Denición 1.1.1.. Se dice que. F ⊆ P (X). es un ltro sobre un conjunto. X. si cumple las siguientes. condiciones:. ∅∈ /F. (i). (ii) Si (iii) Si. y. F 6= ∅. A, B ∈ F A∈F. y. entonces. A⊆B. A∩B ∈F. entonces. B∈F. Debe observase que por la condición permite que. ∅∈F. i de la denición de ltros si X = ∅ entonces no hay ltros , si se. el ltro resulta ser. P (X),. denominado el ltro impropio [10]. Sin embargo, para. los objetivos del presente trabajo no se toma como posible ltro. Además, nótese la gran similitud que esta denición tiene con la dada para una topología, y aún más, si un ltro dado es unido con el conjunto vacío, obtenemos una topología llamada ltrosa. En cuanto a la condición. ii y iii se tienen,. respectivamente, las siguientes propiedades para todo ltro:. Teorema 1.1.1. Si F es un ltro sobre X , entonces (i) Dado A1 , A2 , ..., An ∈ F entonces. Tn. i=1 Ai. ∈ F.. (ii) X ∈ F . Demostración. (i) Por la propiedad para. k=n. ii. de ltros se tiene. y se demostrara para. A1 ∩ A2 ∈ F. k = n + 1,. ii. luego. A⊆X. i. Tn. i=1 Ai ). y. Tn. i=1 Ai. ∩ An+1 ∈ F. es decir. Tn+1 i=1. ∈F. Ai ∈ F. de la denición de ltros se tiene que existe. por la propiedad. iii. de la denición de ltro. A ∈ F,. Si. X = {1, 2}. los únicos ltros sobre. X. esto implica que. X ∈ F.. A continuación se muestran ejemplos de ltros sobre un conjunto. Ejemplo 1.1.1.. se supone cierto. de ltro se tiene que. ( (ii) Por la condición. k = 2,. como:. A1 , A2 , ..., An , An+1 ∈ F por la propiedad. luego es cierto para. X. nito:. son los siguientes:. F1 = {{1}, {1, 2}}, F2 = {{2}, {1, 2}}, F1,2 = {{1, 2}}. A ∈ P (x).

(12) 1.1. 10. La notación utilizada para nombrar los ltros, consiste en escribir un subíndice en el que deben aparecer los elementos que pertenecen a la intersección de todos los elementos del ltro, por ejemplo, como se puede observar los elementos de la intersección de todos los elementos del ltro. F1,2. es. 1, 2.. Ademas, se aprovecha y se miran los cardinales de estos ltros:. |F1 | = |F2 | = 2 Puede observarse que. F1,2 ⊂ F1. y. y. |F1,2 | = 1. F1,2 ⊂ F2 , la siguiente gráca representa estas contenencias donde. la echas indican la relación de contenencia entre dos ltros .. Graca 1. Ejemplo 1.1.2.. Si. X = {1, 2, 3}. los únicos ltros sobre. X. son los siguientes:. F1 = {{1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}}, F2 = {{2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, F3 = {{3}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, F1,2 = {{1, 2}, {1, 2, 3}}, F1,3 = {{1, 3}, {1, 2, 3}},. F2,3 = {{2, 3}, {1, 2, 3}}. y. |F1,2 | = |F1,3 | = |F2,3 | = 2. y. F1,2,3 = {{1, 2, 3}}. Con. |F1 | = |F2 | = |F3 | = 4,. |F1,2,3 | = 1. Representación geométrica. Graca 2. Ejemplo 1.1.3.. Si. X = {1, 2, 3, 4}. los únicos ltros sobre. X. son los siguientes:.

(13) 1.1. 11. F1 = {{1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} F2 = {{2}, {1, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} F3 = {{3}, {3, 2}, {1, 3}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {3, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} F4 = {{4}, {4, 2}, {4, 3}, {1, 4}, {4, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} F1,2 = {{1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}} F1,3 = {{1, 3}, {1, 2, 3}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} F1,4 = {{1, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} F2,3 = {{2, 3}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} F2,4 = {{1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} F3,4 = {{1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} F1,2,3 = {{1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} F1,2,4 = {{1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}} F1,3,4 = {{1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} F2,3,4 = {{2, 4, 3}, {1, 2, 3, 4}} F1,2,3,4 = {{1, 2, 3, 4}} Con. |F1 | = |F2 | = |F3 | = |F4 | = 8 |F1,2 | = |F1,3 | = |F1 , 4| = |F2,3 | = |F2,4 | = |F3,4 | = 4 |F1,2,3 | = |F1,2,4 | = |F2,3,4 | = |F1,3,4 | = 2 |F1,2,3,4 | = 1 Representación geométrica. Graca 3 De manera natural puede continuarse el proceso, construyendo los posibles ltros sobre conjuntos nitos, por ejemplo si el conjunto X tiene 5 elementos tendrá 31 ltros asociados, con 6 tendrá 63,.

(14) 1.2. 12. ¾ podrá determinarse una fórmula para la cantidad de ltros ?. Ejemplo 1.1.4.. si. X. es un conjunto innito, se denomina ltro de Fréchet al ltro determinado. por:. F r = {A∅ | Ac. es nito}. Se puede crear una topología a partir de este ltro y se denomina topología de complementos nitos. se Probará que es un ltro: (i). ∅∈ / Fr. y. F r 6= ∅. Se Supondrá que. ∅ ∈ F r entonces su complemento es nito pero su complemento es X. no es nito por lo tanto. (ii) Si. Si. A, B ∈ F r. (Ac. ∪. B c )c. (iii) Si. Si. A, B ∈ F r. A ∈ Fr. A ∈ Fr. Por. i, ii. y. Ac. y. A⊆B Ac. dado que. X ∈ F r.. A ∩ B ∈ Fr. y. Bc. son nitos por lo tanto. que es lo mismo que. entonces. iii. entonces. entonces. ∈ Fr. ∅∈ / F r, F r 6= ∅. y por hipótesis. entonces. Fr. es nito por denición de ltro. A ∩ B ∈ Fr. B ∈ Fr. es nito, como. se concluye que. Ac ∪ B c. A⊆B. entonces. es un ltro sobre. B c ⊆ Ac. luego. Bc. es nito, es decir. B ∈ Fr. X. lo permite hacer algunas consideraciones acerca de los ltros en general, los cuales serán base para continuar el estudio de ltros:. . En los ejemplos de ltros sobre conjunto nitos, se ha observado que existe un elemento del ltro que esta contenido en los demás elementos de este. ??¾ Sera que esto siempre sucede en ltros sobre conjuntos nitos y de ser así se cumplirá para conjuntos innitos ?. . Del teorema 1.1.1 se concluye que las intersecciones nitas de elementos de un ltro siempre pertenecen a este. Pero esta se tendrá en intersecciones arbitrarias?.. . Dado que los ltros son conjuntos, ¾ serán las operaciones conjuntistas cerradas?.. . Ademas al parecer los ltros se pueden ordenar mediante la contenencia.. 1.2 Filtros principales Observando los ltros construidos en los ejemplos 1.1.1 al 1.1.3 se puede notar que una forma para generar un ltro consiste en tomar un conjunto no vacío y todos los conjuntos que lo contienen..

(15) 1.2. 13. Denición 1.2.1. generado por. A. Dado. X. A ⊆ X. y. A 6= ∅. donde. se llama ltro principal (denotando por. FA ). al conjunto que contiene a todos los subconjuntos de X que contienen a A, es decir:. FA = {B ⊆ X | A ⊆ B}. Teorema 1.2.1. Demostración.. FA es un ltro sobre X .. se probara que. ∅∈ / FA. y. FA 6= ∅. Como. A 6= ∅. y. A ∈ FA ,. ∅∈ /F. y. (i). (ii) Si. Si. Si. C, B ∈ FA. por construcción. y. y. A⊆C. C⊆B. C ⊆ B. y. y. iii FA. A⊆B. entonces. es subconjunto de todos los elementos de. luego. A ⊆ C ∩ B,. FA. es ltro sobre. es decir. C ∩ B ∈ FA .. A ⊆ C. entonces se tiene que. A ⊆ B. es. A,. por. B ∈ FA . X.. Dada la denición de ltro principal se obtiene que la intersección de todos los elemento de. X. entonces. B ∈ FA. por denición de ltro principal. denición del ltro se tiene que. i, ii. A. C ∩ B ∈ FA. entonces. entonces. C ∈ FA. C ∈ FA. Por. cumple las tres condiciones para ser ltro.. F 6= ∅.. C, B ∈ FA. (iii) Si. FA. FA. sobre. es decir que. Si. A⊆X. y. A 6= ∅. entonces. T. B∈FA. B = A.. Las siguientes propiedades se tienen como consecuencia de la denición:. Teorema 1.2.2. Sea A y B subconjuntos de X no vacíos entonces: (i) A ⊆ B si y solo si FB ⊆ FA |p(X)| 2|A|. (ii) Si X es nito entonces |FA | = Demostración. (i). ⇒). Sea. C ∈ FA ⇐). C ∈ FB ,. entonces. y por consiguiente. Como. B ∈ FB. y dado. B ⊆ C,. dado que. A⊆B. , se tiene que. A ⊆ C,. por denición de. FB ⊆ FA . FB ⊆ FA. entonces. B ∈ FA ,. por denición de. FA , A ⊆ B. FA ,.

(16) 1.2. 14. B ∈ FA ,. (ii) Para todo. se denota. D = B − A,. FA. correspondencia biunívoca entre los elementos de. B−A. P (X − A). esta en. |FA | = |P (X − A)|.. y para todo. D ∈ P (X − A),. donde y. C ∈ P (X − A). P (X − A),. se tiene que. se puede establecer una. para todo. C∪A. B ∈ FA. se tiene que. FA ;. Por lo tanto. esta en. Ahora, se tiene que:. |P (X − A)| = 2|X−A| = 2|X|−|A| =. |p(X)| 2|X| = |A| |A| 2 2. por lo tanto. |FA | =. |p(X)| 2|A|. El siguiente teorema garantiza que sobre todo conjunto nito solo existen ltros principales.. Teorema 1.2.3. Sea X nito y F un ltro sobre X entonces existe un A ⊆ X tal que F Demostración.. Como. X. es nito entonces. P (X) es nito y por lo tanto todo ltro F. = FA. es nito, por el. teorema 1.2.1 se puede deducir que la intersección de todos los elementos de un ltro nito pertenece a este, sea. Como. F. A=. A∈F. entonces. FA. T. B∈F. .. por la tercera propiedad de los ltros todo conjunto que contenga a. FA ⊆ F .. se concluye que. Como. B. FA ⊆ F. Dado que. B ∈ FA ,. F ⊆ FA. y. A=. T. B∈F. por lo tanto. entonces. B. como. B∈F. se cumple que. A⊆B. A. debe estar en. y por denición de. F ⊆ FA .. F = FA ,. es decir que todo ltro sobre un conjunto nito es. principal. Ahora se estudiara el comportamiento de los ltros con respecto a las operaciones conjuntistas:. Ejemplo 1.2.1. ( F1 ∪ F2 =. Si. F1. {1},. y. F2. son los ltros de ejemplo 1.1.3 entonces se puede observar que:. {2},. {1, 2},. {1, 3},. {1, 4},. {2, 3},. ). {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. No es un ltro pues los ltros, pues. {1} ∈ F1 ∪ F2. {1} ∩ {2} = ∅. y. y. {2} ∈ F1 ∪ F2 ,. ∅∈ / F1 ∪ F2 .. no cumpliéndose la segunda condición de. Sin embargo, se puede obtener una nueva forma de. construcción con la unión de la siguiente manera:. Dado un ltro. F0. F1. sobre. = {C ∪ B | C ∈ F1 },. X = {1, 2, 3, 4},. se toma un subconjunto. B = {2, 3}. y se genera el conjunto. obsérvese que:. F 0 = {{1}∪{2, 3}, {1, 2}∪{2, 3}, {1, 3}∪{2, 3}, {1, 4}∪{2, 3}, {1, 2, 3}∪{2, 3}, {1, 2, 4}∪{2, 3}, {1, 3, 4}∪ {2, 3}, {1, 2, 3, 4} ∪ {2, 3}}, un ltro.. Simplicando. F 0 = {{1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} = F1,2,3 ,. resultando de nuevo.

(17) 1.2. 15. Teorema 1.2.4. Sea. Y y D subconjuntos no vacíos de X si F es ltro sobre Y y F 0 = {C ∪ D |. C ∈ F } entonces:. (i) Si Y = X entonces F 0 es un ltro sobre X . (ii) Si Y = X y F = FE entonces F 0 = FE∪D . (iii) Si D = Y c entonces F 0 es un ltro sobre X . Demostración. (i) Si. Y =X. (a). ∅∈ / F0. Si. C∈F. (b) Si. Si. entonces. F0. F 0 6= ∅. y. se cumple. A, B ∈ F 0. A, B ∈ F 0. ∅= 6 C ∪ D ∈ F0. A ∩ B ∈ F0. entonces. entonces existe. Por. A ∈ F0. i, ii. (ii) Si. Si. A ∈ F0. C⊆B. tanto. y. A ∈ F0. (iii) Si. C1 , C2 ∈ F. por la propiedad. se concluye que. F = FE. y. E ∪ D ⊆ A,. tal que. A = D ∪ C1. por la propiedad. iii. B = D ∪ C2. y. de ltros. luego. (C1 ∩ C2 ) ∈ F. A∩B =. y por lo tanto. D =Yc. y. iii F0. B ∈ F,. es un ltro sobre. luego. como. A⊆B. D∪B =B ∈. entonces. D∪C ⊆ B. por lo. F0. X.. F 0 = FE∪D .. E∪D ⊆A E∈F. tal que. A = C ∪ D,. por la propiedad entonces. luego. iii A ∈. E∪D ∈. C⊆A. es decir. A ∈ FE. lo que implica. FE∪D es decir F 0. ⊆ FE∪D , Si A ∈ FE∪D 0 F por la propiedad tres de ltros se tiene que. F 0.. FE∪D ⊆ F 0. entonces. A = D ∪ C,. tal que. de ltros. C ∈ FE. como. B ∈ F0. C∈F. entonces. FE∪D ⊆. F 0 ⊆ FE∪D. F0 y. entonces. entonces existe. La propiedad. A∈. A⊆B. entonces existe. F 0 es decir. Como. y. y por lo tanto. entonces. A∈. iii. Y =X. E⊆A. F 0 6= ∅. y. F 0.. A∩B ∈. Como. ∅∈ / F0. y por lo tanto. (D ∪ C1 ) ∩ (D ∪ C2 ) = D ∪ (C1 ∩ C2 ). (c) Si. X. es un ltro sobre. F0. entonces. F 0 = FD∪B. es un ltro sobre. X.. i y ii son análogas al primer item de este teorema. Probemos la tercera propiedad. Sea. A ⊆ B;. como. A ∈ F0. entonces existe. C∈F. tal que. A = Y c ∪ C,. como. A⊆B. entonces.

(18) 1.2. 16. Yc∪C ⊆ B tiene que. Por. i, ii. por lo tanto. C⊆B. c. Y ∪ (B ∩ Y ) = B ∈. y. iii. iii. es un ltro sobre. X.. de los ltros. B∩Y ∈F. A diferencia de la unión, se puede ver que la intersección de dos ltros sobre. X. dado que. Yc ⊆ B. se. F0. F0. se concluye que. por la propiedad. X. es un ltro sobre. puesto que si tienen un elemento en común contendrán a sus superconjuntos y además nunca es. vacío puesto que contienen a. Ejemplo 1.2.2.. X,. por ejemplo:. X = {1, 2, 3, 4},. Sea. obsérvese que. F1 ∩ F2,3 = {{1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} es de nuevo un ltro, el cual es. F1,2,3 .. De forma general se obtiene el siguiente teorema:. Teorema 1.2.5. Sea F y F 0 un ltro sobre X y ∅ = 6 Y. ⊆ X entonces. (i) F ∩ F 0 es un ltro sobre el conjunto X . (ii) Si F = FC F 0 = FD entonces FC ∩ FD = FC∪D (iii) La colección F 00 = {A ∩ Y | A ∈ F y A ∩ Y 6= ∅} es un ltro sobre Y . Demostración. (i) Se probará que. (a). ∅∈ / F ∩ F0. Como y. F. y. F0. F ∩ F0. y. es un ltro sobre el conjunto. X.. F ∩ F 0 6= ∅. son ltros sobre. X. entonces. ∅∈ / F, ∅ ∈ / F 0, X ∈ F. y. X ∈ F0. por lo tanto. ∅∈ / F ∩ F0. F ∩ F 0 6= ∅. (b) Si. Dado. A, B ∈ F ∩ F 0. A, B ∈ F ∩ F 0. A∩B ∈ (c) Si. entonces. entonces. F 0 , es decir que A ∈ F ∩ F0. y. A, B ∈ F. A∩B ∈F ∩. A⊆B. Por. i, ii. y. iii. B∈F. y. B∈. se concluye que. y. A, B ∈ F 0. A∈F. ii. de los ltros. A∩B ∈ F. y. B ∈ F ∩ F0 y. A ∈ F 0,. F 0 , por lo tanto. F ∩ F0. por la propiedad. F0. entonces. Por la denición de intersección ltros se tiene que. A ∩ B ∈ F ∩ F0. además como. B∈F ∩. es un ltro sobre. X.. F 0.. A ⊆ B,. por la propiedad. iii. de los.

(19) 1.2. 17. (ii) Se probara que si. Si. A ∈ FC ∩ FD. F = FC. FC∪D ⊆ FC ∩ FD. y. A ∈ FD. y. ∅∈ / F 00. y. Si. y. D ⊆ A,. A ∈ FC∪D. entonces. por consiguiente. entonces. A ∈ FC ∩ FD. C ∪D ⊆ A. es decir que. C ∪ D ⊆ A,. luego. D⊆A. y. FC∪D ⊆ FC ∩ FD .. FC ∩ FD = FC∪D. F 00 = {A ∩ Y | A ∈ F y A ∩ Y 6= ∅}. es un ltro sobre. Y.. A ∩ Y 6= ∅. entonces. ∅∈ / F 00 .. Por lo otro lado como. X ∈F. Y ∈ F 00. es. A = C∩Y. y. entonces. F 00 6= ∅.. (b) Si. A, B ∈ F 00. A, B ∈ F 00. Dado. entonces. A ∩ B ∈ F 00 .. entonces por la denición del conjunto existe. B =D∩Y.. Ahora,. se tiene que. A ∩ B = (C ∩ D) ∩ Y ,. lo tanto. (c) Si. Si. C ⊆A. F 00 6= ∅. Por construcción decir. FC ∩ FD = FC∪D .. lo que implica que. FC ∩ FD ⊆ FC∪D. (iii) Se probara que la colección (a). entonces. FC ∩ FD ⊆ FC∪D .. luego. C ⊆ A por lo tanto A ∈ FC Como. F 0 = FD. por denición de ltro principal. A ∈ FC∪D. por lo tanto. y. A∩B ∈ A ∈ F 00. A ∈ F 00. A ∩ B = (C ∩ Y ) ∩ (D ∩ Y ). C, D ∈ F. tal que. por propiedades de la intersección entre conjuntos. por la propiedad ii de los ltros se tiene que. (C ∩ D) ∈ F. y por. F 00 .. y. A⊆B. entonces. entonces existe un. ltros se tiene que. B ∈ F 00 .. C∈F. tal que. C ∪ B ∈ F , como A ⊆ B. A = C ∩Y.. se tiene que. como. A∅B ∪ C ,. Por la propiedad iii de los. B = (C ∪ B)∩ Y y por lo tanto B ∈ F 00 .. Se puede observar que la unión y la intersección de ltros brindan mecanismos para obtener nuevo ltros a partir de los ya obtenidos, por lo tanto es natural preguntarse si ademas los productos cartesianos usuales permiten crear nuevos ltros. Si se tiene un conjunto. X. se puede notar que. C = {Ai × Bj | Ai ∈ FA. y. Bj ∈ FB }. X , FA. es un ltro sobre. y. FB. ltros sobre. X×X. y además. C = FA×B .. Teorema 1.2.6. Dado un conjunto X , FA y FB ltros sobre X entonces F. = {Ai × Bi | Ai ∈ FA y. Bi ∈ FB } es un ltro sobre X × X .. Demostración. (i). ∅∈ /F. Como. FB. y. se probara las tres condiciones para que F sea ltro. F 6= ∅. F = {Ai × Bi | Ai ∈ FA. tienen elementos entonces. (ii) Si. Ci , Cj ∈ F. entonces. y. Bi ∈ FB }. F 6= ∅.. Ci ∩ Cj ∈ F. y dado que. Ai 6= ∅. y. Bi 6= ∅. entonces. ∅∈ / F,. como. FA. y.

(20) 1.2. 18. Dado. Ci , Cj ∈ F. como. Ai ∩Aj ∈ FA y Bi ∩Bj ∈ FB. ((Ai × Bi ) ∩ (Aj × Bj )) (iii) Si. Ci ∈ F. Dado que existe que. y. D ∈ FA. Nótese que. y. y. entonces. entonces. E ∈ FB. talque. tales que. ((Ai ∩Aj )×(Bi ∩Bj )) ∈ F. D, E ∈ X. Ci = Ai × Bi. Por lo tanto. F = F(A×B). Bi , Bj ∈ FB. C i = Ai × B i , C j = Aj × B j. como. ((Ai ∩Aj )×(Bi ∩Bj )) =. Cj ∈ F. entonces existe. Bi ∈ FB. y. Ci ∩ Cj ∈ F. entonces. Ci ⊆ Cj. Cj ∈ X × X. Ai ∈ FA. Ai , Aj ∈ FA. entonces existe. talque como. Cj = D × E. Ci ⊆ Cj. y además como. entonces. Bi ⊆ E. y. Ci ∈ F. entonces. Ai ⊆ D. es decir. Cj ∈ F .. este teorema se puede ampliar y hablar de ltro sobre. Xn. para. n∈N. y su. demostración es análoga.. Para caracterizar mejor los ltros principales se mostrara ltros principales sobre conjuntos innitos:. Ejemplo 1.2.3.. Si. X=N. por el teorema 1.1.1 el único ltro con un elemento será. el teorema 1.2.1, para cada subconjunto. A. se analizan ltros principales cuando (i) Si Si. A. A = {1}. es nito ,. FA. A. Por. A no vacío de N se puede construir un ltro, a continuación es nito ó innito.. tendrá que ser innito, por ejemplo:. el ltro generado por. se puede ver que si. FN = {N}.. A. es. F1 = {{1}, {1, 2}, {1, 3}, ..., {1, 2, 3}, ..., N} = {{1} ⊆ A ⊆ N},. es nito tendrá innitos conjuntos que lo contengan, por lo tanto el ltro será. innito. (ii) Si. A. es innito, el cardinal de. Se puede notar que para innitos, sucede cuando. FA. FN = {N} , A A=. puede ser nito o innito. es innito y ltro es nito. Un ejemplo en donde. A. y. FA. son. 2N, pues se observa que el ltro es2 :. F2N = {2N, 2N ∪ {1}, 2N ∪ {1, 3}, ...} = {A ⊆ N | 2N ⊆ A} En la siguiente tabla se muestran colecciones de ltros principales sobre. N. teniendo en cuenta que. ai ∈ N Forma del ltros Cardinalidad del ltro Cardinalidad de los elementos del ltro. FN. 1. ℵ0. FN−{a1 }. 2. ℵ0. FN−{a1 ,a2 }. 4. ℵ0. FN−{a1 ,a2 ,a3 ,...an }. 2n. ℵ0. Fa1 N. 2. 1,. ó. ℵ1. ℵ0. ó. 1, 2, ..., ℵ0. Fa1 ,a2 ,...an. ℵ1. n, n + 1, ..., ℵ0. Fa1 ,a2. ℵ1. 2, 3, ..., ℵ0. Fa1. ℵ1. 1, 2, ..., ℵ0. 2N simboliza los números pares. En general se denota nN, al conjunto de los múltiplos de n..

(21) 1.3. 19. Tabla 1. el siguiente teorema garantiza cuando un ltro es principal:. Teorema 1.2.7. Sea F un ltro sobre X y D =. T. Ai ∈F. Ai se tiene que. D ∈ F si y solo si F = FD. Demostración. ⇒) concluir que. Se probara que. D ⊆ A. F ⊆ FD ,. ⇐). F ⊆ FD. Dado que. y. A ∈ F. por denición de ltro principal. denición de ltro principal se tiene que Como. sea. FD ⊆ F. F = FD. entonces. D ⊆ A,. como. por denición de intersección se puede. A ∈ FD D ∈ F,. luego. F ⊆ FD .. por propiedad. iii. sea. A ∈ FD. de ltros. por. A ∈ F.. F = FD .. por denición de ltro principal. D ∈ F.. Una pregunta natural que surge es si todos los ltros cumplen las condiciones del anterior teorema, y de ser asi todos los ltros serian principales, sin embargo el ejemplo 1.1.4 (el ltro de Fréchet) no cumple esta propiedad, es decir es el primer ejemplo que se tiene de un ltro no principal. Para. Fr T. probar que forma que. C = {Ai ∈ F r} de tal T i ∈ X , i∈N X − {i} = ∅ por. no es principal basta comprobar que existe una colección. Ai ∈C. Ai = ∅.. lo tanto no existe un. Obsérvese que para. A⊆X. tal que. X − {i} = Ai ∈ F. para. FA = F r.. Observece que los elementos del ltro de Fréchet son innitos, una pregunta que surge es si un ltro no principal tienen elementos nitos la respuesta es no, el siguiente teorema garantiza que todo ltro que tenga un elemento nito sera principal. Teorema 1.2.8. Dado. F un ltro sobre X y A un subconjunto nito de X , si A ∈ F entonces F. es principal.. Demostración.. Sea. C = {B | B = A ∩ D. donde. D ∈ F },. La colección. C. es nita, dado que. nito. Nótese que por la propiedad dos de los ltros todos los elementos de la colección al ltro. Además por el teorema 1.1.1 se tiene que. T. B∈C. B∈F. es decir que. T. D∈F. C. A. es. pertenecen. D ∈ F,. por el. Teorema 1.2.7 F es principal.. 1.3 Filtros libres En la anterior sección se ha comprobado que el ltro de Fréchet es no principal, puesto que la intelección de todos sus elementos no pertenece al ltro, esto se debe a que su intersección es vacía.. Denición 1.3.1. es vacía.. Se denomina ltro libre a aquellos en donde la intersección de todos sus elementos.

(22) 1.3. 20. es decir que el ltro de Fréchet es libre, y claramente todo principal es no libre, la pregunta que surge es si todo no principal es libre, el siguiente ejemplo muestra que esto no es cierto.. Ejemplo 1.3.1. X. conjunto. A. y. En este ejemplo se intersecará un ltro principal y el ltro de Fréchet. Dado un un subconjunto entonces:. FA ∩ F r = {B ⊆ X | B c. es nito y. A ⊆ B}. es un ltro.. Analizando este ejemplo se concluye que si:. A. (i). es nito, sea. T. lo tanto. C = {X − {i} | i ∈ Ac }. Ai ∈(FA ∩F r) Ai. = A.. observece que todo elelemnto de. Sin embargo. A∈ / FA ∩ F r,. C. esta en. FA ∩ F r =. por. por lo tanto este ltro no es principal ni. libre. (ii). A. es innito ya se sabe que. T. Ai ∈(FA ∩F r) Ai. c en el anterior caso. Pero si A es nito entonces. C. A continuación, se muestra una colección. = A.. Ahora si. Ac. FA ∩ F r = FA ,. es innito, pasaría lo mismo que. pues. A ∈ FA ∩ F r.. en la cual a partir de esta se puede obtener diferentes. tipos de ltros, utilizando únicamente ltros principal.. Teorema 1.3.1. Dada una colección. C = {Ai ⊆ X | i ∈ L} no vacía, donde L es un conjunto de. indices. Si la colección cumple:. Si Ai , Aj ∈ C entonces Ai ∩ Aj 6= ∅ y Ai ∩ Aj ∈ C Entonces. FAi es un ltro sobre X . S Demostración. Sea F = Ai ∈C FAi se demostrará (i). S. Ai ∈C. ∅∈ /F. Como. F 6= ∅. y. Ai ∩ Aj 6= ∅. entonces (ii) Si. A, B ∈ F. E, D ∈ F. que. Ai ⊆ E. Ai ∩ Aj ∈ F. dado. entonces. Ai 6= ∅. de lo cual se concluye que. ∅∈ / F,. ahora como. C. es no vacía. F 6= ∅. Sea. (iii) Si. que F es un ltro. y. existe. propiedad. A∩B ∈F. Ai , Aj ∈ C. Aj ⊆ D. y. tal que. es decir que. por la propiedad. A∈F. A∈F. entonces. A⊆B. iii. Ai. y. D ∈ FAj. Ai ∩ Aj ⊆ E ∩ D ,. de ltros. entonces. entonces existe. E ∈ FAi. como. por denición de los ltros se tiene. Ai , Aj ∈ C. entonces. Ai ∩ Aj ∈ C. luego. E∩D ∈F. B∈F. tal que. A ∈ FAi ,. por la denición del ltro,. Ai ⊆ A ⊆ B. por la. iii B ∈ F .. El siguiente ejemplo muestra un ltro no principal construido a partir del anterior teorema, con la condición adicional de ser un ltro libre:.

(23) 1.3. 21. Ejemplo 1.3.2.. C = {2iN} donde 2iN son los múltiplos de 2i sin el 0. Entonces por el teorema S F = i∈N−{0} F2iN es un ltro. Es inmediato comprobar que es un ltro libre,. Dada. anterior se tiene que. puesto que la intersección de todos sus elementos es vació. El siguiente ejemplo muestra un ltro no principal construido a partir del anterior teorema, con la condición adicional de ser un ltro no libre:. Ejemplo 1.3.3.. C = {2iN} donde 2iN son los múltiplos de 2i con el 0. Entonces por el S tiene que F = i∈N−{0} F2iN es un ltro. Obsérvese que la intersección de todo. Dada. teorema anterior se. los elementos del ltro es. {0}. y este no pertenece a ningún ltro de la unión. por lo tanto es no. principal y no libre. Un teorema que se deduce de los ejemplos anteriores teniendo en cuenta las características de los ltro es el siguiente:. Teorema 1.3.2. Sea. F =. Se tiene que: (i). T. Ai ∈C. (ii) Si. T. (iii) Si. T. S. Ai ∈C. FAi un ltro sobre X , donde C es la colección del teorema 1.3.1. Ai ∈ F si y solo si F es principal.. Ai ∈C. Ai = ∅ si y solo si F es libre.. Ai ∈C. Ai 6= ∅ y. T. Ai ∈C. Ai ∈ / F si y solo si F no es libre ni principal.. Teniendo en cuenta las deniciones de los diferentes tipos de ltros. Este teorema, permite aplicar la noción de ltro principal, ltro libre y ltro no libre y no principal a una colección. C. la cual no. necesariamente es ltro, y a partir de ella obtener los respectivos ltros.. Existe otra característica de los ltros no principales, la cual se correspondería con el teorema 1.2.8 pues a partir de los elementos del ltro se puede caracterizar si este es o no principal.. Teorema 1.3.3. Dado un ltro F sobre X . Todo elemento del ltro, contiene propiamente un nuevo elemento de este, si y solo si F es no principal.. Demostración. ⇒) Supongamos que F. es principal por denición de ltros principales, existe un. tal que todo elemento del ltro contiene a. A.. A. Como A pertenece al ltro, y además no existe un. elemento del ltro que este contenido propiamente en. A,. se genera una contradicción dado que por. hipótesis todo elemento del ltro esta contenida propiamente en otro, por lo tanto. F. es no principal.. ⇐) Supongamos que existe un elemento A del ltro tal que no contiene un nuevo elemento del ltro. Tómese un elemento B del ltro, dado que entonces. T. B∈F. A∩B. B = A. Por el teorema 1.2.7 F. debe pertenecer al ltro, y además. A ∩ B ⊆ A,. es principal, lo cual es una contradicción. Por lo tanto. todo elemento del ltro, contiene propiamente un nuevo elemento de este.. El siguiente teorema se deduce del teorema anterior y del teorema 1.1.1.

(24) 1.4. 22. Teorema 1.3.4. Si F es un ltro libre sobre X entonces Fr ⊆ F Demostración. C∩. Ac. =∅. dado. A ∈ Fr. es decir que. como. C ⊆ A,. Ac. es nito y. T. B∈F. B = ∅. por la propiedad tres de ltros. entonces existe. A∈F. luego. C ∈ F. tal que. Fr ⊆ F. Como se ha observado anteriormente los ltros se puede relacionar entre si, por medio de la contenencia, estableciendo así una relación de orden parcial. Como lo muestran los ejemplos 1.1.1, 1.1.2 y 1.1.3 se puede observar que existe un ltro mínimo a todos los ltros sobre un conjunto importar si es nito o innito, este es. X,. sin. FX . Esto no sucede con el máximo, pero si existe un maximal,. pues en los ltros generados a partir de un conjunto nito, toda cadena ordenada tiene un maximal, el cual es de la forma. Fa ,. donde. a. es un elemento del conjunto. X.. A continuación se demuestra que. para los ltros generados a partir de un conjunto innito, también existen ltros máximos, claro está, para toda cadena ordenada. A estos ltros máximos se les denomina ultraltros.. 1.4 Ultraltros Se ha dicho que un ultraltro sobre un conjunto es si dado subconjunto de. X. X. es un ltro maximal, otra forma de caracterizarlos. este o su complemento pertenecen al ltro pero esta ultima se enunciara. como un teorema.. Denición 1.4.1. dice que. F. Si. F. es un ltro sobre un conjunto. X. y no existe un ltro. F0. tal que. F0 ⊇ F,. se. es un ultraltro.. Ejemplo 1.4.1. un conjunto. X. Los ltros principales generados por. A. tal que contiene un solo elemento sobre. son ultraltros. Esto es consecuencia del teorema 1.1.1. y la denición de ltro. principal. Además, cuando. X. es nito se tiene que. |FA | =. |p(X)| , 2. estos ultra ltros son llamados. en la topología discreta la colección de las vencidas de un elemento [9]. Teorema 1.4.1. Dada una cadena de ltros sobre un conjunto X siempre existe un ultraltro que contiene los ltros de la cadena. Demostración. A ∈ F}. donde. Sea una cadena de ltros ordenados y. F ∈B. cota superior de. B.. por el teorema 1.3.1. S. A∈C. FA. B. la colección de estos ltros.Sea. C = {A |. es un ltro y ademas por construcción es una. Utilizando el lema de Zorn [15] existe un elemento máximo en. B,. por lo tanto. existe un ultraltro que contiene a los ltros de la cadena.. Una denición equivalente de ultraltro, la cual es de gran importancia y se encuentra en la mayoría de la bibliografía es:. Teorema 1.4.2. Dado un ultraltro F sobre un conjunto X y A un subconjunto de X si y solo si A ∈ F ó Ac ∈ F ..

(25) 1.5. 23. Demostración. ⇒) Se supondrá que A, Ac ∈/ F c y A que. ∩ B 6=. F. ∅. Sea F 0. = {C | A ∩ B ⊆ C. donde. B ∈ F}. 0 luego F. ⊃. B⊂X. tal que. c implica que B. ∈. no es ultra ltro por lo tanto existe. B∈. F0 y. B∈ /F. F 0 y por lo tanto. F0. se cumple que. A∈F. Ac ∈ F .. o bien. un ltro tal que. F ⊂ F0. es decir existe. y por lo tanto por la hipótesis se debe tener que. B∩. Bc. ∈. A ∩ B 6= ∅. F , como F 0 es un ltro se tiene. no es un ultraltro lo que contradice la hipótesis por lo tanto. ⇐) se supondrá que F un. B∈F. entonces para todo. F 0 lo cual contradice la condición. i. Bc ∈ F. esto. de ltro y por lo. tanto F es un ultraltro. Teniendo en cuenta el teorema anterior y el teorema 1.2.8 se puede concluir que todo ultraltro no principal contiene al ltro de Frechet. A partir de este resultado, se deduce el siguiente teorema:. Teorema 1.4.3. Todo ultraltro no principal es libre Demostración. que. A∈F. ó. Dado. F. un ultraltro no principal sea. Ac ∈ F ,. si. A∈F. c hipótesis por lo tanto A. ∈ F,. A=. T. Ai ∈F. Ai ,. F será principal por lo T ( Ai ∈F Ai ) ∩ Ac = ∅, es decir F. por el teorema 1.2.7 esto implica. por el teorema 1.4.2 se tiene cual contradice nuestra es libre.. Para dar por terminado esta sección, se enuncia el siguiente teorema el cual permite obtener ultraltros sobre subconjuntos de un conjunto a partir de ultraltros sobre el conjunto dado.. Teorema 1.4.4. Si. F es un ultraltro sobre X , entonces el ltro F 00 obtenido en el teorema 1.2.5. es un ultraltro sobre Y . Demostración.. Por el teorema teorema 1.2.5 se sabe que. F 00. es un ltro, ahora solo basta con probar. 00 que F es un ultraltro, para esto se utilizará el teorema 1.4.2. Tómese un conjunto en. Y. pertenece a. Y ⊂X. A⊆Y. F 00 .. de tal forma que. Como. A∈ / F 00. en particular se tiene que. c ultraltro entonces A en c como A. ∩Y =. Ac en. Y. X. A∈ / F 00. entonces demostremos que necesariamente. entonces para ningún. A∈ / F. pertenece a. c entonces A en. C ∈F. se tiene que. pues de lo contrario se tendría que. A = C ∩Y,. A∈. F 00 . Como. F. 00 y utilizando la denición F se tiene que. Y. 00 pertenece a F .. Ac. ∩Y ∈. Ac. como. F. es. F 00 y. 1.5 Productos reducidos Con el objetivo de construir algunas estructuras algebraicas, y además utilizar el concepto de ltro como herramienta de construcción, se retoma los productos cartesianos en los cuales la noción de igualad entre elementos del producto es debilitada por medio de los ltros. Esta discusión se ha observado en el libro Métodos analíticos del análisis no estándar del profesor Yutakeuchi, en los cuales de una manera lógica intuitiva, dene lo que entiende por para casi todo. Aunque este para casi todo no se va profundizar explícitamente, se explicara lo que se entiende cuando se habla de dos elementos de un producto son iguales. A partir de ello, se pueden obtener productos arbitrarios reducidos..

(26) 1.5. 24. Denición 1.5.1.. Sea. familia se denota como. {Ai }i∈L una familia de conjuntos. El producto cartesiano Q i∈L Ai y es el conjunto de todas las funciones S. f : L −→ Tal que. f (i) ∈ Ai. Si todos los. Ai. para cada. arbitrario de esta. i∈L Ai. i∈L. son iguales este producto cartesiano se llama potencia. A continuación se muestran. algunos ejemplos de productos cartesianos:. Ejemplo 1.5.1.. Si. Ejemplo 1.5.2.. Sea. Ai = ∅. entonces la potencia. Ai = N. para. L = {1, 2}. Q. = ∅.. i∈L Ai. entonces. Q. i∈L Ai. = {f | f (1), f (2) ∈ N}. Por ejemplo, una de estas funciones es cuando. f (1) = 2. y. f (2) = 3. Otra forma para denotar la anterior función es por medio de n-duplas resultando Sin embargo esta notación solo es posible cuando. L. (f (1), f (2)) = (2, 3).. es numerable.. Solamente se han dado ejemplos de potencia, pero como se ha dicho en la denición, se pueden dar ejemplos de productos que no son potencias, por ejemplo.. Ejemplo 1.5.3. donde. A partir de. L = {2, 3, 4}.. no lo es pues. Z2 , Z3. y. Z4 ,. se puede obtener el producto. Obsérvese que un elemento de este producto es. f (2) ∈ / Z2. téngase en cuenta que. f (2) =. √. 2. Q i∈L Zi √ (1, 2, 3). Z2 × Z3 × Z4 =. (0, 2, 3).. En cambio. .. Habitualmente se dice que dos elementos de un producto son iguales si son iguales componente a componente. Es evidente que si se dene de esta manera esta resulta ser una relación de equivalencia, pues la partición resulta ser el producto original. Sin embargo esta equivalencia puede ser debilitada, pues se puede decir que dos elementos de un producto son iguales si y solamente si tienen algunos componentes iguales. Es aquí donde el concepto de ltro se introduce.. Ejemplo 1.5.4.. Sea. A = {Z2 , Z2 , Z3 }, se construye la potencia, es decir Z2 × Z2 × Z3. obsérvese que. la denición de igualdad esta denida como:. f = g si y solo si f (1) = g(1), f (2) = g(2) y f (3) = g(3) Como la idea es debilitar esta noción entonces se dene la igualdad como:. f ∼ g si y solo si f (1) = g(1), f (2) 6= g(2) y f (3) 6= (3) Utilizando representación cartesiana las funciones que son iguales en el producto cartesiano a partir de la nueva denición son:. (1, 0, 0) ∼ (1, 1, 0) ∼ (1, 0, 1) ∼ (1, 1, 1) ∼ (1, 0, 2) ∼ (1, 1, 2).

(27) 1.5. 25. (0, 0, 0) ∼ (0, 1, 0) ∼ (0, 0, 1) ∼ (0, 1, 1) ∼ (0, 0, 2) ∼ (0, 1, 2) obsérvese que esta no es una relación de equivalencia puesto que no se cumple la propiedad reexiva. Esta relación se puede re-denir por medio de los ltros sobre. {1, 2, 3}. para que resulte una relación. de equivalencia de la siguiente manera:. R1. esta denida como. f ∼g. si y solo si. {i ∈ L | f (i) = g(i)} ∈ F1. Esta es una relación de equivalencia, por lo tanto generando la partición respectiva se obtiene las siguientes clases de equivalencias.. h(1, 1, 1)i = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 2), (1, 1, 1), (1, 1, 2)}. h(0, 0, 0)i = {(0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0), (0, 0, 2), (0, 1, 1), (0, 1, 2)} Nótese que. R2. y. R3. son casos análogos a. f ∼g. R1 . R1,2. esta denida como:. {i ∈ L | f (i) = g(i)} ∈ F1,2. si y solo si. Sus clases son:. h(1, 1, 1)i = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 2), }. h(0, 0, 0)i = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 0, 2), (0, 1, 1), (0, 1, 2)}. h(0, 1, 0)i = {(0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2)}. h(1, 0, 0)i = {(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2)} Nótese que. R1,3. y. R2,3 ,. son casos análogos a. f ∼g. si y solo si. R1,2 . R1,2,3. esta denida como:. {i ∈ L | f (i) = g(i)} ∈ F1,2,3. Esta es la relación de equivalencia usual. El anterior ejemplo muestra que el ltro adecuado, que dene una relación de equivalencia debe ser sobre el conjunto de índices que determina la familia que genera el producto cartesiano, pues si esto no se llega a tener en cuenta el ltro no genera una relación.. Teorema 1.5.1. Sea. Q. i∈L Ai. y F un ltro sobre L, para f ,g ∈. Q. i∈L Ai. se tiene:.

(28) 1.6. 26. f ∼ g si y solo si {i ∈ L | f (i) = g(i)} ∈ F. Es una relación de equivalencia Demostración.. Para demostrar que es una relación de equivalencia se debe probar que la relación es. reexiva, simétrica y transitiva.. (i) Reexiva: se debe probar que. Como. F. es un ltro sobre. L. f ∼f. entonces Por el teorema 1.1.1. f ∼g. (ii) Simétrica: se debe probar que si. Como. f ∼g. entonces. {i ∈ L | f (i) = g(i)} ∈ F. {i ∈ L | g(i) = f (i)} ∈ F. por lo tanto. f ∼g. y. g∼h. por la propiedad. Esto implica que. f ∼ f.. g∼f. por la propiedad simétrica de la igualdad entonces. g ∼ f.. (iii) Transitiva: se debe probar que si. Como. entonces. L ∈ F.. f ∼g ii. y. iii. y. g∼h. entonces. de los ltros. f ∼ h.. f ∼h. Como la relación es reexiva, simétrica y transitiva entonces es una relación de equivalencia.. El teorema anterior muestra las condiciones para obtener una relación de equivalencia por medio de un ltro sobre un conjunto adecuado (conjunto de índices). Ahora, a partir de esta relación equivalencia, se obtiene la correspondiente partición.. Denición 1.5.2.. Dado el producto. Q. i∈L Ai y. F. un ltro sobre. L. la partición generada por la. relación de equivalencia dada en el Teorema 1.16. se llama un producto reducido y se denota como. Q. i∈L Ai /F .. Las clases generadas por la relación se denotaran como y. F. hf iF. donde. f. pertenece al producto cartesiano. es el ltro que genera la relación, si no se entra en confusiones al hablar de las clases generadas. por la relación de equivalencia simplemente se denotara a la clase como. hf i.. 1.6 Productos reducidos sobre ltros principales En el siguiente ejemplo se toma una potencia nita, y por ende el conjunto índices será también nito. Utilizando el teorema 1.2.3 se deduce que si se parte de una potencia nita el ltro debe ser principal.. Ejemplo 1.6.1.. Sea. X. un conjunto, se tomara el producto. reducidos a partir de los ltro generados sobre. X4. L = {1, 2, 3, 4}. en donde se obtiene los productos. dado que la potencia es 4 observese. que no se puede generar las clase pero se puede comprobar que:.

(29) 1.6. 27. X 4 /F1. X. es equipotente a. X 4 /F1,2 es equipotente a X 2 X 4 /F1,2,3 es equipotente a X 3 X 4 /F1,2,3,4 es equipotente a X 4 Se concluye que si se hace la partición sobre una potencia nita, se obtiene un conjunto equipotente a una potencia de igual o menor grado, sin embargo este resultado se puede generalizar, por medio del siguiente teorema, pues no necesariamente la potencia debe ser nita, además, se pueden tomar productos cartesianos arbitrarios.No obstante, el ltro si debe ser principal.. Teorema 1.6.1. Sea Demostración.. Q. y FB un ltro sobre L entonces. i∈L Ai. Q. i∈L Ai /FB. es equipotente a. Q. i∈B. Ai. La demostración se reduce a construir una función biyectiva entre estos dos conjuntos,. Sea la función. H:. Q. i∈B. Ai −→. Q. i∈L Ai /FB. f 7−→ hf 0 i Donde. f 0 (i) = f (i). para toda. i∈B. para probar que es biyectiva se probara que es inyectiva y sobreyectiva. Se probara que H es inyectiva.. Sea. f, g ∈. Q. i∈B. f 0 (i). {i ∈ L |. =. tanto para todo. Ai. tal que. g 0 (i)} i∈B. H(f ) = H(g). ∈ FB ,. es decir que. hf 0 i = hg 0 i. por lo tanto. FB es un ltro principal B ⊆ {i 0 0 0 sucede que f (i) = g (i) y como f (i) = f (i) y. por propiedad transitiva. Como. f (i) = g(i). para toda. i∈B. por lo tanto. ∈ L | g 0 (i). f =g. f 0 ∼ g0. f 0 (i). = g(i). =. entonces. g 0 (i)} por lo. para los. i∈B. concluyéndose que. H. es. inyectiva.. Ahora se probará que H es sobreyectiva.. Sea. H. hgi ∈. Q. i∈L Ai /FB , se dene. se tiene que. como. H. H(f ) = hgi. f∈. es decir. es biyectiva entonces. Q. Q. H. i∈B. Ai. tal que. f (i) = g(i). dado que. B⊆L. por denición de. es sobreyectiva.. Q. i∈L Ai /FB es equipotente a. i∈B. Ai. Por el anterior teorema se sabe la cardinalidad del producto reducido, puesto que es equipotente a un producto cartesiano. El siguiente corolario muestra que la cardinalidad del producto reducido será igual a un. Ai ,. cuando se hace a partir de un ultraltro.. Corolario 1.6.1. Sea. B = {b} donde b ∈ L, entones. es equipotente Ab . En otras palabras si FB es un ultraltro principal la partición será equipotente a uno de los Ai . Q. i∈L Ai /FB.

(30) 1.7. 28. En los ejemplos anteriores se trabajó con productos cartesianos nitos, a continuación se muestra ejemplos con productos cartesianos innitos. Ejemplo 1.6.2. la. Q B. X=N. y la potencia. i∈N N/FB es equipotente a. Por ejemplo si Si. Sea. B = {3, 4}. equipolente a. N Q. i∈B. entonces. es innito por ejemplo. Q. Q. Q. i∈N N utilizando el teorema 1,16 entonces si. y este a su vez es equipotente a. B. es nito. N.. 2 i∈N N/FB es equipotente N que a su ves es equipotente a. B = 2N. se sabe que éste es equipotente a. i∈N N/FN que a su vez es equipotente a. Corolario 1.6.2. Dado A un conjunto, se tiene que. Q. Q. N. entonces. Q. i∈N. N.. N/F2N. es. i∈N N. i∈L A/FB. es equipotente a. FB. |B| = |L|. Q. i∈L A/FC. donde. |B| = |C|.. En consecuencia al anterior corolario si se tiene un ltro es equipotente a. Q. donde. entonces. Q. i∈L A/FB. i∈L A. En conclusión, los productos reducidos generados a partir de los ltros. principales son equipotente a un producto cartesiano de algunos conjuntos de la colección.. 1.7 Productos reducidos sobre ltros no principales De partida, por el teorema 1.2.3 se debe trabajar con productos innitos, pues de lo contrario, si partimos de un conjunto nito de índices L, todo ltro generado a partir de L es principal. Como anteriormente se ha mencionado.. Ejemplo 1.7.1. .. (no libres). Recuérdese el ltro del ejemplo 1.3.3 el cual es. F = ∪i∈N−{0} F2iN ,. que. es no principal y además no libre. Analizando el producto reducido. Q. i∈N N/F. Se observa que todos los elementos del ltro contienen al elemento cero. Por esta razón, si dos elementos del producto tienen diferente esta componente, de entrada ya resultan ser clases de equivalencia diferentes. Como existen por lo menos existen. ℵ0. ℵ0. combinaciones para esta componente, entonces se concluye que. clases de equivalencia. Sin embargo este ejemplo no permite identicar la. cardinalidad con exactitud.. Se construye un producto reducido, en el cual se observa que su cardinalidad es partir del ltro. ℵ1 .. Este se hace a. F2N ∩ F r: Q. i∈N N/F2N. ∩ Fr. Obsérvese que todos los elementos del ltro contienen al conjunto de los números pares. Por esta razón, si dos elementos del producto son diferentes en este conjunto, de entrada ya resultan ser clases de equivalencia diferentes. Dado que la cardinalidad del conjunto de los números pares es pueden realizar. ℵ0. combinaciones en cada competente, por lo tanto hay. Además de entrada se sabe que esta cardinalidad no puede ser mayor a del producto es esta. Por consecuencia la cardinalidad de. Q. i∈N N/F2N. ℵ1. ℵ0 ,. y se. combinaciones en total.. ℵ1 , dado que la cardinalidad ∩ Fr. es. ℵ1 ..

(31) 1.7. 29. Ejemplo 1.7.2. (libres). .. Sea el ltro del ejemplo 1.3.4, es decir el ltro llamado de frechet. la potencia innita del conjunto de los números. Q. N,. (F r). y. se genera la siguiente partición:. i∈N N/F r. Para esclarecer mejor el resultado de esta partición se miran algunas clases de equivalencia:. Por ejemplo, se analiza la clase de equivalencia del. n∈N. tal que para todo. pertenece. hf i,. i≥n. se tiene que. hf i si g ∈. f (i) = g(i).. Q. i∈N N y está en la clase del. hf i existe. En otras palabras, para todo elemento que. sus términos se corresponderán en una cola a derecha. No se debe entender que se. puede sustituir el ltro de frechet por la colección a colas a derecha, pues esta colección no cumple ser ltro por la propiedad. iii. de los ltros. Además, si para dos elementos de la misma clase, sus. términos se corresponden a partir de una cola a derecha, no quiere decir que antes no se hayan correspondido.. Se hará algunas observaciones respecto a la cardinalidad: Se sabe que. ℵ1 .Se. Q. obtiene que la cardinalidad de cada clase de equivalencia de. y además se sabe que cada elemento del ltro de. Fr. dene. ℵ1. Q. i∈N N tiene cardinalidad. i∈N N/F r es menor o igual. ℵ1 ,. clases.. El siguiente teorema hace referencia a la cardinalidad de un producto reducido generado a partir de un ltro no principal. Este teorema es deducido a partir del teorema 1.6.1, pues este permite determinar la cardinalidad de productos reducidos a partir de ltros principales.. Teorema 1.7.1. Sea. F un ltro no principal y C el conjunto de los cardinales de las Q clases de equivalencia generadas por cada elemento del ltro3 , entonces el cardinal i∈L Xi /F será Q. i∈L Xi /F ,. menor o igual al mínimo del conjunto C . Demostración.. Primero hay que demostrar que. C. tiene un elemento mínimo. Pero como. C. es un. conjunto de cardinales, se sabe que este conjunto es acotado inferiormente por cero, por lo tanto el conjunto. C. tiene un mínimo. Ahora se toma un elemento. del conjunto B de las clases de equivalencia generadas por. A∈F FA. de tal forma que la cardinalidad. sea el elemento mínimo del conjunto. C. La cardinalidad. Q. i∈L Xi /F no es mayor que la cardinalidad de. elementos que están relacionados por. A∈F. FA. B. puesto que implica que dos. no están relacionado en el. Q. i∈L Xi /F pero dado que. esto es imposible y por lo tanto la cardinalidad del producto reducido es igual o menor al. mínimo del conjunto. C.. La anterior caracterización solamente permite acotar superiormente el cardinal de los productos reducido, sin embargo cuando se trata de ultraproductos se tiene el siguiente resultado:. 3. Obsérvese que cuando se habla, que cada elemento B del ltro F dene clases de equivalencia, están resultan de hacer el producto reducido a parir del ltro FB ..

(32) 1.7. 30. Ejemplo 1.7.3 F. (cardinalidad de ultraproductos). .. si se toma. X = {a, b}. y. hf i ∈. Q. i∈L X/F donde. un ultraltro se estudiara cual es la cardinalidad del producto reducido si se toma ha. L | f (i) = a f 0 (i). =a. i ∈ L,. donde. ai ∈ X} i∈ Q. para toda. por lo tanto. A∈F. Por el teorema 1.4.2. L, Por el contrario si Ac. i∈L X/F. =. ∈F. c o A. ∈ F.. entonces. Si. f ∼. A∈F. entonces. f 00 donde. f 00 (i). A = {i ∈. f ∼ f0. =b. donde. para toda. {f 0 , f 00 }.. Teorema 1.7.2. Si X es un conjunto nito y F un ultraltro entonces. Q. i∈L X/F. es equipotente a. X.. Demostración.. Sea. f∈. Q. i∈L X/F , se dene ha. Aa. como:. Aa = {i ∈ L | f (i) = a Por el teorema 1.4.2. f 0 (i). = a. para toda. Aa ∈ F i ∈ L,. o. Aca ∈ F ,. si. por el contrario si. Aa ∈ F Aa ∈ / F. y. a ∈ X}. para un. a ∈ X. para toda. entonces. a ∈ X. f ∼ f0. c entonces Aa. donde. ∈ F. para. a ∈ X , como X es nito entonces a∈X Aca ∈ F sin embargo, nótese que a∈X Aa = L por lo S T c c tanto ( a∈X Aa ) = a∈X Aa = ∅ lo que es una contradicción, de lo cual se concluye que para todo Q Q f ∈ i∈L X/F existe a ∈ X tal que f ∼ f 0 por ende i∈L X/F es equipotente a X . toda. T. S.

(33) Capítulo 2. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS EN PRODUCTOS REDUCIDOS Y EN ULTRAPRODUCTOS En el capítulo anterior se utilizaron ltros como herramientas para denir relaciones de equivalencia y por ende particiones sobre productos cartesianos arbitrarios, obteniendo así los llamados productos reducidos, y cambiando el ltro por un ultraltro se obtiene un ultraproducto. En este capítulo nos interesa dotar a tales productos reducidos (o ultraproductos) de una estructura algebraica o de orden, entre otras cosas, para identicar las relaciones que se dan entre la estructura que tiene cada elemento de la familia y la estructura que tiene el producto reducido. Para ello trabajaremos familias de estructuras algebraicas con una operación.. 2.1 Propiedades algebraicas en los productos reducidos Para comenzar este estudio, se empieza por denir las operaciones en el producto cartesiano para luego extenderlas a los productos reducidos.. Denición 2.1.1. +. Dada la familia. {(Ai , +i )}i∈L. de grupoides, se dene en. como:. Y i∈L. Ai ×. Y. Ai −→. i∈L. Y. Ai. i∈L. (f, g) 7−→ f + g donde. f + g : L −→. [. Ai. i∈L. (f + g)(i) = f (i) +i g(i), ∀i ∈ L. Q. i∈F. Ai. la operación.

(34) 2.1. 32. Teorema 2.1.1. La operaciòn dada en la denición 2.1.1 está bien denida. Demostración. g(i) ∈ Ai. Veamos que. y como. (Ai , +i ). f +g ∈. Q. i∈L Ai . Como. f∈. Q. i∈L Ai entonces. es un grupoide entonces para todo. i. f (i) ∈ Ai. se tienen que. de igual manera. f (i) +i g(i) ∈ Ai. es. decir que. f +g ∈. Y. Ai. i∈L. Denición 2.1.2. elementos de. Q. Sea. F. un ltro sobre. L. y. Q. i∈L Ai /F el producto reducido. Si. hf i. y. hgi. son. i∈L Ai /F entonces:. hf i + hgi = hf + gi. Teorema 2.1.2. La operaciòn dada en la denición 2.1.2 está bien denida. Demostración. hf + gi ∈. Q. Si. hf i y hgi ∈. Q. i∈L Ai /F es decir. i∈L Ai /F entonces. hf i + hgi ∈. Q. f. y. g∈. Q. i∈L Ai luego. f +g ∈. Q. i∈L Ai /F. Ahora, como la operación se denió sobre una partición, se debe comprobar que si. hei. entonces. i∈L Ai , por tanto. hf i ∼ hgi y hhi ∼. hf + gi ∼ hg + ei. Por denición. A = {i ∈ L/f (i) = g(i)} ∈ F B = {i ∈ L/h(i) = e(i)} ∈ F Sea. C = {i ∈ L/f (i) +i h(i) = g(i) +i e(i)} ∈ F Por la propiedad los ltros. C ∈ F.. ii. de los ltros se tiene que. A ∪ B ∈ F .Además A ∪ B ⊆ C ,. por la propiedad. Por lo tanto:. hf + gi ∼ hg + ei. Ejemplo 2.1.1.. Sea el conjunto. A = {0, 1, 2},. se dene las siguientes operaciones como:. +1 0 1 2. ∗1 0 1 2. 0. 1 0 0. 0. 2 1 0. 1. 0 0 0. 1. 1 0 2. 2. 0 0 2. 2. 0 2 1. iii. de.

(35) 2.1. 33. Sea la estructura. f (i) ∈ (A, ∗1 ).. Q ( i∈N Ai /F, +),. i. denida como: si. es par entonces. f (i) ∈ (A, +1 ). de lo contrario. Observese como se operan dos elementos de este producto reducido:. (0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2...) ∗ (0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2...) = (1, 2, 0, 2, 0, 0, 1...) Nótese que los números que están en negrilla pertenecen a. (A, ∗1 ),. por lo tanto:. 2 ∗1 0 = 0 Aprovechando el ejemplo, se puede ver que los elementos de la familia son homomorfos dos a dos, pues una estructura es homomorfa consigo misma, y además existe un homomorsmo de. (A, +1 ). (A, ∗1 ). a. denido por la siguiente función:. G : (A, ∗1 ) −→ (A, +1 ) a 7−→ 2 Se comprueba que es un homomorsmo, puesto que. G(a) +1 G(b) = 2. y. G(a ∗1 b) = 2. y por lo tanto. G(a ∗1 b) = G(a) +1 G(b). Ahora, obervese que existe un homormo de Se dene la función. H : Ak −→. Q. (Ak , ∗1 ). H(a)(i) =. •. Si. i. es par, entonces. •. Si. i. no es par, entonces. (. i∈N. i∈N. Ai , +):. Sea. Ak. donde. a si. (. i∈N. no es par.. i es par. para mostrar que es un homomorsmo.. H(a ∗1 b)(i) = 2 = H(a)(i) +1 H(b)(i) H(a)(i) ∗1 H(b)(i) = a ∗1 b = H(a ∗1 b)(i). H(a +K b) = H(a) + H(b). comprobando así el homomorsmo de. (Ak , ∗1 ). Ai , +).. Además, por medio del homomorsmo canónico se obtiene el homomorsmo de. Q. k. 2 si i no es par. H(a ∗1 b) = H(a) + H(b). Por lo tanto se tiene que en. Q. 1 −→ (2, 1, 2, 1, 2, 1...).. Falta comprobar que. Q. (. i∈L Ai , donde. (. Por ejemplo. en. Ai /F, +). (. Q. i∈N. Ai , +). en. y por medio de la composición de funciones se obtiene nalmente que existe un. homomorsmo de. (Ak , ∗1 ). en. Q ( i∈N Ai /F, +).. El anterior ejemplo da pie al siguiente teorema:. Teorema 2.1.3. Si {(Ai , +i )}(i∈L) es una familia de estructuras algebraicas homomorfas dos a dos entonces cada elemento de la familia es homomorfa a (. Q. i∈L Ai /F, +)..

(36) 2.1. 34. Demostración.. Se probará que existe un homomorsmo entre cada elemento de la familia con el. producto cartesiano. Luego, por medio del homomorsmo canónico, se relaciona la estructura del producto cartesiano con la del producto reducido. Por composición de funciones se naliza la demostración.. •. Cada elemento. Sea. (Ak , +k ). mo entre. {(Ai , +i )}(i∈L). es homomorfo al producto:. un elemento de la familia y. (Ak , +k ). y. (Ai , +i ).. {(fi )i∈L }. la familia de funciones de homomors-. Denamos la función:. H : Ak −→. Y. Ai dondeH(a)(i) = fi (a). i∈L Debemos comprobar que. H(a +K b) = H(a) + H(b).. Se tiene que. fi (a) +i fi (b) = H(a)(i) +i H(b)(i) = (H(a) + H(b))(i). H(a +K b)(i) = fi (a +K b) =. y por lo tanto. H(a +K b) = H(a) + H(b) Por lo tanto cada elemento de la familia es homomorfa a. •. Se tiene que existe un homomorsmo canónico de. H0 :. Y. Ai −→. i∈L Por la denición de. Y. Q. Q ( i∈L Ai , +). i∈L Ai en. Q. i∈L Ai /F denido como:. Ai /F tal que H 0 (f ) = hf i. i∈L. H0 H 0 (f + g) = hf + gi. Por la denición 2.1.2. hf + gi = hf i + hgi como. f, g ∈. Q. i∈L Ai . Por denición de. H. se tiene que:. H 0 (f ) = hf i H 0 (g) = hgi Por lo tanto. H 0 (f + g) = H 0 (f ) + H 0 (g) •. Por último, por medio de la composición de funciones se tiene que cada elemento de la familia es homomorfo a. Q ( i∈L Ai /F, +).. El siguiente gráco muestra el camino que se uso para la demostración..

(37) 2.1. 35. Observemos que en la demostración anterior se probó que el producto y el producto reducido siempre son homomorfos, gracias al homomorsmo canónico. Sin embargo, debe tenerse presente que dos estructuras algebraicas con propiedades en común, no necesariamente son homomorfas, y aun así estas propiedades pueden ser trasferidas al producto reducido:. Ejemplo 2.1.2.. Sea el conjunto. Se puede comprobar que homomorsmo de se tiene que si. (A, +). a=0. o. (A, +) en. b=0. A = {0, 1, 2},. y. (A, ∗).. se dene las siguientes operaciones como:. +1 0 1 2. ∗1 0 1 2. 0. 1 0 0. 0. 2 1 0. 1. 0 0 0. 1. 1 0 2. 2. 0 0 0. 2. 0 2 1. (A, ∗). son conmutativas. Primero se probará que no existe un. Supongamos que existe un homomorsmo dado por. f,. entonces. entonces. f (0) = f (a) ∗ f (b) En particular. f (0) = f (1) ∗ f (0), f (0) = f (1) ∗ f (1) y f (0) = f (1) ∗ f (2) Luego. f (1) ∗ f (0) = f (1) ∗ f (1) = f (1) ∗ f (2) Como. (A, ∗). es cancelativo entonces. f (0) = f (1) = f (2) Luego. f. es una función constante, supongamos que. f (x) = k. f (0 + 0) = f (0) ∗ f (0) k =k∗k Por lo tanto. k. es un elemento idempotente de. (A, ∗). pero en esta estructura no hay elementos. idempotentes, lo cual es una contradicción y por la tanto. f. no es una función de homomorsmo..

(38) 2.1. 36. Ahora se probará que no existe un homomorsmo de homomorsmo dado por. f,. entonces se tiene que si. (A, ∗). f (a) 6= 0. en o. (A, +).. f (b) 6= 0. Supongamos que existe un entonces. f (a) + f (b) = f (a ∗ b) = 0 En particular. f (1) + f (1) = f (1 ∗ 1) = f (0) = 0 f (2) + f (2) = f (2 ∗ 2) = f (1) = 0 f (3) + f (3) = f (3 ∗ 3) = f (2) = 0 Luego. f (0) = f (1) = f (2) Como. f (0 ∗ 0) = f (0) + f (0) f (1) = f (0) + f (0) Pero como. f (1) = f (0). entonces. f (0) = f (0) + f (0) Lo cual es una contradicción y por la tanto. f. no es una función de homomorsmo. Sin embargo si. se mira el producto reducido con su estructura, éste resulta conmutativo sin importar el ltro. Es decir, que la transferencia de la propiedad conmutativa no depende la función de homomorsmo, lo que da lugar al siguiente teorema:. Ejemplo 2.1.3. Q ( i∈L Ai /F, +) Sean. hf i, hgi. Si los elementos de. {(Ai , +i )}i∈L. cumplen la propiedad conmutativa, entonces. también es conmutativo sin importar el ltro.. elementos del producto reducido. Primero que todo se comprobará que. f + g = g + f,. es decir que el producto es conmutativo, para ello basta probar que sus imágenes son las mismas:. (f + g)(i) = f (i) +i g(i) = g(i) +i f (i) = (g + f )(i) Y por lo tanto. f +g =g+f. ahora:. hf i + hgi = hf + gi = hg + f i = hgi + hf i Q. Es decir. (. Ahora si. (. i∈L Ai /F, +) es conmutativo sin importar el ltro.. Q. i∈L Ai /F, +) es conmutativo para un ltro ¾cada elemento de la familia lo es? La respues-. ta es no (ver ejemplo 2.1.4). Sin embargo, si el producto es conmutativo para todo ltro entonces, se puede probar que los Para. k∈L. se supondrá. {(Ai , +i )}i∈L (Ak , +k ). también son conmutativos. La prueba de tal hecho seria así:. no es conmutativo por lo tanto existen. a + b 6= b + a. a, b ∈ Ak. tal que.

(39) 2.1. Sea. 37. Fk. un ultraltro principal. Por lo anterior existen:. hf i y hgi ∈ (. Y. Ai /Fk , +). i∈L Tal que. f (k) = a. y. g(k) = b. obteniéndose que:. hf i + hgi = 6 hgi + hf i Puesto que son diferentes en la componente. Q k , lo que es una contradicción puesto que ( i∈L Ai /Fk , +). por hipótesis es conmutativo para todo ltro. Por lo tanto. {(Ai , +i )}i∈L. son conmutativos.. En el ejemplo anterior se trabajó con una propiedad, la conmutatividad, que se describe formalmente de una forma especial en la que solo se utiliza el cuanticador para todo pues ella se escribe como: Se dice que una operación. +. cumple la propiedad conmutativa en A si. (∀x, y, z ∈ A)(x + y = y + x) Una rápida mirada a la forma lógica de tal enunciado nos lleva a preguntarnos si la trasferencia de propiedades de los elementos de la familia al producto reducido o viceversa depende de la forma lógica de enunciarla. Veamos otro ejemplo en el que se aborda una propiedad que se describe también con cuanticadores universales.. Ejemplo 2.1.4. en. A. (Identidad de Tarski) Se dice que una operación. +. cumple la propiedad de Tarski. si. (∀x, y, z ∈ A)(x + (y + (z + x)) = z + y) Si los elementos de. {(Ai , +i )}i∈L cumplen la identidad de Tarski se puede observar que (. Q. i∈L Ai /F, +). también cumple la identidad de Tarski sin importar el ltro. Sea. hf i hgi y hhi ∈ {(Ai , +i )}i∈L Como todo. (Ai , +i ). cumple la identidad de Tarski entonces para. i∈L. se tiene que. f (i) + (g(i) + (h(i) + f (i))) = h(i) + g(i) Y por lo tanto. f + (g + (h + f )) = h + g Luego. (hf i + (hgi + (hhi + hf i))) = (hf + (g + (h + f ))i = hh + gi = hhi + hgi De los anteriores ejemplos se puede conjeturar que si. (Ai , +i ). cumple una propiedad algebraica que. cumple ser formulada con un enunciado simple que se puede expresar sin variables libres, que tiene solo cuanticadores, símbolos de operación válidos en las estructuras y la igualdad para cada entonces. Q ( i∈L Ai /F, +). cumple la propiedad.. i ∈ L,.