COMPETENCIA(S) EJES TEMÁTICOS. 1. Expresiones algebraicas Lenguaje algebraico Términos algebraicos.

(1)

INSTITUCION EDUCATIVA ALTOS DE LA SABANA Aprobada Mediante Resolución N° 0474 de 2017

NIT: 901051309-7. DANE: 170001800003 Sincelejo - Sucre

GUÍA DIDACTICA I- IDENTIFICACIÓN

Área: Matemáticas Grado: 8º

Docente: Oswaldo Hernández Fecha: 12-04-2021 II- COMPETENCIA(S)

● Conoce qué es un término algebraico y cuáles son sus elementos.

● Clasifica polinomios según su número de términos.

● Representa mediante una expresión algebraica un enunciado

● Calcula el valor numérico de un polinomio

III- EJES TEMÁTICOS 1. Expresiones algebraicas.

1.1. Lenguaje algebraico.

1.2. Términos algebraicos.

1.3. Valor numérico de una expresión algebraica.

IV- CONCEPTUALIZACIÓN

¿Cómo representar cantidades con lenguaje algebraico?

Exploro Un grupo de estudiantes participa en un trekking organizado por los profesores y profesoras de Educación Física.

El trekking es una caminata que consiste en recorrer largas distancias en un entorno natural, generalmente poco frecuentado por el turismo convencional.

(2)

Observa la imagen y marca con un ✔ si la afirmación es correcta. De lo contrario, marca con una ✗ y corrígela.

Si participaran 25 personas, en total deberían llevar 50 L de agua.

Corrección: ________________________________________________________________________________

Para calcular la capacidad de la botella de hay que dividir por 2 la capacidad de la botella que usó la vez anterior.

Corrección: ________________________________________________________________________________

Si x representa el precio original de los bastones de , entonces 2 • x corresponde al precio que los consiguió su primo.

Corrección: ________________________________________________________________________________

Aprendo

Para representar información escrita en lenguaje natural con lenguaje algebraico puedes relacionar palabras de uso común con operaciones matemáticas. El álgebra permite representar simbólicamente los enunciados de algunos problemas para resolverlos.

En una expresión algebraica se indican números conocidos y desconocidos. A los números conocidos se les denomina constantes y a los números desconocidos, cuyo valor puede variar, se les denomina variables.Por ejemplo, el enunciado “el doble de un número aumentado en 12” se representa con la expresión algebraica 2𝑥 + 12, en la que 2 y 12 son constantes y x es la variable. En los enunciados, hay palabas que se pueden relacionar con operaciones, por Ejemplo, “más” y “aumentado” se relacionan con la adición (+); “diferencia” y

“disminuido” se asocian con la sustracción (–); “doble”, “triple” se relacionan con la multiplicación (x) Ejemplo 1

Representa con lenguaje algebraico cada enunciado.

• La mitad de un número más once.

• La diferencia entre el triple de un número y nueve equivale a tres.

¿Cómo lo hago?

1. Representa el número desconocido con una letra, en este caso con x.

2. Escribe con lenguaje algebraico las partes de cada enunciado.

• La mitad de un número más once.

^𝒙

𝟐 + 11

• La diferencia entre el triple de un número y nueve equivale a tres.

3 • x – 9 = 3 Ejemplo 2

Escribe en lenguaje natural las siguientes expresiones.

a. 2y – 15 b. ^{𝑦 + 1}

4 = 𝑦 − 8

1. Considera y como un número cualquiera.

2. Escribe en lenguaje natural las partes que involucren a y e identifica los símbolos matemáticos de cada expresión. Luego, anota una posible traducción para cada expresión.

a. 2y – 15 La diferencia entre el doble de un número y quince.

b. ^{𝑦 + 1}

4 = 𝑦 − 8 La cuarta parte de la suma entre un número y uno equivale a la diferencia entre el número y ocho.

Ejemplo 3

El profesor de Matemática les pidió a los estudiantes que escribieran un problema que pudiera relacionarse con la expresión 5000 + 1500𝑎 = 𝑏. ¿Cuál podría ser el problema?

1. Piensa en un contexto para el problema.

(3)

En este caso se escribirá un problema relacionado con un camping y el valor a pagar. Considera que el problema podría vincularse con distintos contextos.

2. Escribe un problema basado en el contexto.

En un camping se cobran $ 5000 diarios por el uso del sitio más $ 1500 por cada persona (a). ¿Cuál es la expresión que representa el monto total (b) que se debe pagar por un día en el camping?

Conclusión

Para escribir un enunciado que está en lenguaje natural en lenguaje algebraico, se utiliza una expresión algebraica, que es un conjunto de números y letras relacionados entre sí por los signos de las operaciones básicas (adición y sustracción).

ACTIVIDAD 1

1. Remarca el recuadro que contiene la expresión escrita en lenguaje algebraico que representa el siguiente enunciado.

La diferencia entre el triple de un número y diez equivale al mismo número.

3𝑥 − 10 = 𝑥 3𝑥 + 𝑥 = 10 𝑥 − 3 = 10 𝑥 − 10 = 3𝑥 2. Une cada enunciado escrito en lenguaje natural con su representación en lenguaje algebraico

3. Representa con una expresión cada una de las siguientes situaciones. Considera x como los valores desconocidos.

a. A una reunión asistieron 150 personas, y la cantidad de mujeres fue el doble que la de hombres.

b. Si a un número se le restan dieciséis unidades, se obtiene catorce.

c. Las edades de Camilo y su hermana suman 29 años. Si Camilo tiene 13 años, ¿cuántos tiene su hermana?

d. ¿Cuál es el número que aumentado en 16 unidades es igual a 30?

e. La raíz cuadrada del triple de un número.

f. La cuarta parte del cuadrado de un número.

g. La mitad de la diferencia entre dos números distintos.

h. La raíz cúbica de la suma de los cuadrados de dos números.

Tema 2 Expresiones algebraicas Exploro

En la clase de Educación Física, el profesor va turnando la actividad del día entre trotar y jugar fútbol, de manera que todos puedan practicar ambas. ¿Cuál preferirías tú?

• Completa el siguiente párrafo.

El producto entre la mitad de un número y veinticinco.

𝟐𝒃 𝟏𝟑= 𝟐 El cociente entre el doble de un

número y trece es igual a dos.

4x – 30 = x + 15

El triple de la suma entre un número y el doble de él.

3(x + 2 • x) El cuádruple de un número

disminuido en treinta equivale al mismo

número más quince.

^𝒚_𝟐• 𝟐𝟓

• Si un niño da una vuelta completa a la cancha recorre ______m.

• ¿Cómo puedes calcular el área de la cancha?

_______________________________

(4)

Después de turnar las actividades, una niña dio 3 vueltas a la cancha, por lo que Recorrió_____ m. Luego, descansó un rato y dio 2 vueltas más, en las que recorrió _____m. Entonces en total recorrió _____m.

• ¿Cómo expresarías la cantidad de metros que se recorren al completar x vueltas a la cancha?

_____________________________________________________________________________________________

Aprendo

Una expresión algebraica está formada por letras, números y operaciones y las puedes usar para generalizar relaciones entre números. Las expresiones algebraicas están formadas por términos algebraicos y cada término está compuesto por sus elementos así:

Los términos algebraicos son expresiones algebraicas que no involucran sumas y restas entre las variables y las constantes, pero sí multiplicaciones. Por ejemplo, las expresiones −5𝑥²𝑦 y 12𝑎𝑏³ son términos algebraicos.

Un término algebraico tiene los siguientes elementos:

Signo: es el símbolo que indica si el término es positivo o negativo. Por ejemplo, el término −3𝑥𝑦 es negativo porque está precedido por el símbolo -. En cambio, los términos 7𝑚 y +3𝑎𝑏 son positivos. En este caso, el término puede ir precedido por el símbolo + o sin este símbolo.

Coeficiente: es el número real que aparece en cada término. Por ejemplo, en el término 2𝑥𝑦 el coeficiente es 2.

Exponente: es el número que indica la cantidad de veces que se multiplica una variable. Por ejemplo, en el término 5𝑎³ el exponente es 3 e indica que a se multiplica tres veces por sí misma, es decir, 𝑎³= 𝑎. 𝑎, 𝑎

Parte literal: es el producto de las variables de un término con sus respectivos exponentes. Por ejemplo, en el término 2𝑥𝑦², la parte literal es 𝑥𝑦².

EJEMPLOS

1.Describe la relación que se da entre los valores de las columnas de la tabla.

Analiza los valores de a y de b de la tabla y determina una regularidad entre ellos.

Luego, escribe una expresión que los relacione.

2. Determinar el signo, el coeficiente, los exponentes y la parte literal de cada término.

a. −7𝑥²𝑚⁴

Signo: negativo (-) Coeficiente: -7 Exponentes: 2 y 4 Parte literal: 𝑥²𝑚⁴

b. 3𝑚³𝑦² Signo: positivo Coeficiente: 3 Exponentes: 3 y 2 Parte literal: 𝑚³𝑦² ACTIVIDAD 2

1. Lee la siguiente información y luego desarrolla la actividad.

Clasifica cada expresión como algebraica o numérica.

a. t • 11 b. 7 + 2 • x c. x • 2 d. 46 • 18

e. 956 • s f. 100 • 53 g. 3 • m h. 32 • 7 + 8

• ¿Qué diferencia(s) hay entre una expresión algebraica y una expresión numérica?

2. Representa con una expresión algebraica lo pedido.

Considera n como un número natural.

a. El antecesor de un número n.

b. El sucesor de un número n.

c. Una secuencia de números pares.

d. Una secuencia de números impares.

6 • 1 = 6 6 • 2 = 12 6 • 3 = 18 6 • 4 = 24

Al multiplicar 6 por cada valor de a se obtiene el valor de b, por lo que una expresión es

6 • a = b.

Una expresión numérica está formada solo por números y operaciones matemáticas.

Ejemplos: 6 + 10; 15– 8 + 3; 12 • 3; 10 ÷ 2 + 1

(5)

3. identifica cada uno de los elementos de los siguientes términos.

a. 5𝑎²𝑏³ b. -7𝑥⁴𝑦²𝑧 c. √5𝑝⁷𝑞⁴ d. −𝜋𝑥⁻²𝑦⁴ e. 𝑒𝑎¹²𝑏⁷𝑐 f. −²

3𝜋𝑟³ g. 𝑙³

4. escribe un término que cumpla con la condición dada:

a. Parte numérica: -9; exponentes 2,7 y 5 b. Valor absoluto de la parte numérica 12; signo -;

letras de parte literal a, b, p y q; exponentes 2,7,3 y 1

¿Cómo Calcular el valor numérico de un polinomio?

Exploro

Andrés y Milena están ahorrando desde la semana pasada para comprar algunos implementos necesarios para la próxima excursión que están organizando. Para poder juntar el dinero, venden colaciones saludables durante las tardes.

• Si la semana pasada vendieron 55 colaciones, ¿cómo utilizarías la expresión seleccionada para calcular la cantidad que vendieron esta semana? ___________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________

• Observa el desarrollo que hizo un estudiante.

¿Es correcto su análisis? Explica.

_____________________________________

Aprendo

Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica remplazas las letras por valores numéricos. Luego, si corresponde, realizas las operaciones.

Ejemplo 1

Calcula el valor numérico de la expresión 6a – 7b + 8c si a = 4, b = 3 y c = 8.

1. Remplaza las letras por su valor numérico correspondiente y realiza las operaciones.

6a – 7b + 8c

6 • 4 – 7 • 3 + 8 • 8 = 24 – 21 + 64 = 67

2. Por lo tanto, el valor numérico de la expresión es 67.

Ejemplo 2

Dibuja un rectángulo de ancho 2x cm y largo 3x cm y determina el perímetro cuando x = 1 y x = 6.

1. Dibuja un rectángulo que represente la información.

• Remarca el recuadro con la expresión que representa la cantidad de colaciones que

vendieron y esta semana. Considera que c corresponde a la cantidad de colaciones vendidas la semana pasada.

c – 11 c + 11 11 – c

(6)

𝑃 = (2𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥) 𝑐𝑚

Luego, remplaza los valores dados de x.

Para x = 1 𝑃 = (2𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥) 𝑐𝑚 = (2.1 + 2.1 + 3.1 + 3.1) 𝑐𝑚

= 10 𝑐𝑚

Para x = 6 𝑃 = (2𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥) 𝑐𝑚 = (2.6 + 2. 6 + 3.6 + 3.6) 𝑐𝑚

= 60 𝑐𝑚 ACTIVIDAD 3

1. Completa la siguiente tabla.

a b c a+b-c 2b+c 2a-b+3c

3 2 7

1 4 -1

5 6 4

7 8 2

2. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones y completa la tabla. Luego, responde.

a. ¿Observas alguna regularidad entre los números que obtuviste para cada expresión?

b. ¿Qué representan los números que obtuviste en la expresión 2 • n?

c. ¿Qué representan los números que obtuviste en la expresión 2 • n – 1? ¿Es posible que, al sustituir por algún número, la expresión resulte un número par?

Justifica

3. Analiza la siguiente situación y luego responde.

a. ¿Estás de acuerdo con la afirmación de ? ¿Por qué?

b. Establece una expresión para determinar los múltiplos de 4 y los de 5. Verifica dando aloes a cada una.

4. Nicolás tiene 15 años y Gabriela tiene el triple de la edad de Nicolás, más 3 años.

a. Escribe una expresión algebraica que represente la edad de Gabriela. Considera n como la edad de Nicolás y g como la de Gabriela.

b. ¿Cuál es la edad de Gabriela? Explica tu procedimiento.

Tema 2 Clasificación de polinomios

¿Cómo clasificamos los polinomios?

Exploro

Observa las dimensiones de las siguientes figuras geométricas.

Fig1 Fig2

¿Cuál es el volumen del paralelepípedo (Fig1) y el área de la circunferencia máxima de la esfera (Fig2)?

Monomios

Para el paralelepípedo y la esfera de la Figura 1 y 2, se tiene lo siguiente:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑎𝑏𝑐 Á𝑟𝑒𝑎 = 4𝜋𝑟²

Las fórmulas abc y 4πr² forman parte de las expresiones algebraicas más sencillas, llamadas monomios.

¿Hay valores que no puede tomar x en el contexto del problema?

¿Por qué?

2. Determina la expresión que corresponde al perímetro de estos rectángulos y remplaza los valores.

Como el perímetro (P) de un rectángulo se calcula sumando la medida de todos sus lados, obtienes lo siguiente:

Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo termino, formado por el producto de números reales y las potencias de exponente natural de una o más variables.

(7)

Elementos de un monomio Un monomio está formado por:

• Un coeficiente, que es la parte numérica.

• Una parte literal, constituida por variables y sus exponentes naturales

El grado absoluto de un monomio corresponde a la suma de todos los exponentes de las variables.

Si dos o más monomios tienen el mismo grado absoluto, son homogéneos. Por el contrario, si los monomios tienen diferente grado absoluto, se denominan heterogéneos.

El grado de un monomio con respecto a una variable o grado relativo es el exponente de la variable.

Ejemplo1:

Al analizar si las expresiones −³

5𝑥³𝑦², √5𝑎⁻³𝑏² y −2^𝑝⁵

𝑞⁴ son monomios se puede verificar que:

−³

5𝑥³𝑦² es un monomio porque tiene dos variables, x, y, el coeficiente −³

5 es un número real y los exponentes, 3 y 2, son números positivos.

√5𝑎⁻³𝑏² no es un monomio, ya que el exponente de la variable a es un entero negativo.

−2𝑝⁵𝑞⁻³ no es un monomio, ya que −2^𝑝⁵

𝑞⁴= −2𝑝⁵𝑞⁻³ por consiguiente el exponente de la variable q es un entero negativo.

Ejemplo2:

El grado absoluto de −7𝑎²𝑏³ es 5 y el de 8𝑥²𝑦³ es 5. Luego, se concluye que los monomios −7𝑎²𝑏³y 8𝑥²𝑦³son homogéneos, ya que los grados absolutos de ambos monomios son iguales.

También, el gado relativo del monomio −7𝑎²𝑏³ con respecto a la variable a es 2 y con respecto a la variable b es 3.

Monomios semejantes

Si dos monomios tienen la misma parte literal, se dice que son semejantes. Por lo tanto, dos monomios semejantes solo se diferencian en el coeficiente.

Ejemplo 3:

3𝑎𝑥⁴𝑦⁵, 2𝑎𝑥⁴𝑦⁵, −⁷

5𝑎𝑥⁴𝑦⁵ y 𝑎𝑥⁴𝑦⁵ son monomios semejantes. Por su parte, 𝑎𝑥𝑦³, 3𝑎²𝑥⁴𝑦⁵, −2𝑏𝑥⁴ no son semejantes a los anteriores.

Polinomios

Los monomios que

conforman un polinomio se denominan términos del polinomio.

3𝑥²𝑦 − 9𝑥𝑦²− 2𝑦²+ 7 Polinomio Términos

El grado absoluto de un polinomio es el mayor de los grados de los términos que contiene el polinomio.

Grado del monomio 3+1=4 1+2=3 2 0

3𝑥²𝑦 - 9𝑥𝑦² - 2𝑦² + 7 el grado es 4

√3ℎ

³

𝑟

²

Coeficiente

Pate literal

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma entre varios monomiosno semejantes

Para tener en cuenta:

El termino

independiente de un polinomio es el termino de grado 0 en el polinomio, es decir, la constante.

(8)

Un polinomio recibe un nombre según la cantidad de términos que tiene. Así, si el polinomio tiene dos o tres términos, se le denomina binomio o trinomio, respectivamente. Cuando un polinomio tiene más de tres términos, se le denomina simplemente polinomio.

Ejemplo 4

Estos son ejemplos de binomios, trinomios y polinomios: binomios: 𝑥 ²+ 9 y 162 − 2𝑥; trinomios: 8𝑚²+ 26𝑚 − 24 y 3𝑎²+ 8𝑎 + 5; polinomios: 2𝑥⁵𝑦²+ 3𝑥⁴𝑦 ² 2𝑥³− 2 y 𝑥³+ 3𝑥² − 13𝑥² + 5

ACTIVIDAD 4

1- Completa la Tabla

2- Determina cuantos términos tiene cada polinomio.

Luego, establece si es binomio, trinomio o polinomio.

a. 5𝑚²𝑛 − 3𝑚𝑛 + 8 b. 26𝑥³𝑦 ²− 7𝑥²𝑦

c. 𝑎⁶𝑏 + 𝑎⁵𝑏²− 2𝑎⁴𝑏³+ 4𝑎³𝑏⁴− 𝑎²𝑏⁵ d. 𝑝²𝑞 − 𝑝𝑞²− 1

3- Determina si los siguientes monomios son homogéneos o heterogéneos.

a. 7𝑎²𝑏³ 𝑦 − 2𝑥²𝑦³ b. -3𝑚⁶𝑛⁴𝑝 𝑦 3𝑥⁷𝑦⁵ c. 11𝑝²𝑞²𝑟 y 11𝑝𝑞²𝑟⁴ d. ℎ³𝑟² y 𝑟ℎ⁴

4- Determina cuantas y cuales variables diferentes tiene cada polinomio.

a. 5𝑥³− 2𝑥²+ 𝑥 − 7

b. 3𝑥⁴𝑦 + 6𝑥³𝑦²− 8𝑥²𝑦²+ 5𝑥𝑦⁴ c. 5𝑝𝑞⁴+ 3𝑝²𝑞³− 7𝑝³𝑞²+ 𝑟

5- Dado el polinomio 7𝑦⁴− 3𝑦³− 𝑦²+ 𝑦 − 8, indica lo siguiente.

a. El coeficiente del segundo término.

b. El coeficiente del tercer término.

c. El exponente de la variable en el cuarto termino.

d. El termino independiente.

V- ACTIVIDADES EVALUATIVAS

Para la evaluación de esta guía debes desarrollar todas las actividades propuestas y enviar todo en la fecha indicada por el docente al correo electrónico [email protected] , al WhatsApp del profeso titular o a través de la página del colegio.

Criterios de evaluación:

- Presentación a tiempo 10%

- Buena presentación 10%

- Buena resolución de las actividades 80%

VI- BIBLIOGAFÍA

- Matemáticas 8 _ Los caminos del saber – Santillana

- Matemática 8 Básico. Edición especial para el Ministerio de educación del Gobierno Chileno. Año 2017 - Matemática 8° Básico. Texto del estudiante. SM Ediciones Ecuador. Año 2018

- Matemática 9° Básico. Texto del estudiante. SM Ediciones Ecuador. Año 2016 - Vamos a Aprender Matemáticas 8. Libro del estudiante

- https://www.youtube.com/watch?v=IN_CIbJF0-s&t=288s - https://www.youtube.com/watch?v=DV3C_RawfBg&t=83s - https://www.youtube.com/watch?v=_NS3U2nwk0g - https://www.youtube.com/watch?v=lEvQD-_gyHg - https://www.youtube.com/watch?v=bTfqiCA5K90&t=61s