Soluciones Ejercicios Geometr´ıa Navidad

Profesor Andr´es D´ıaz Jim´enez [email protected]

IES ALPAJ ´ES

12 de enero de 2015

2

Estudiar si el vector ~c = (3, 3, 0) depende linealmente de los vectores~u, ~v, ~ w para el caso a = 2.

Justificar la respuesta.

3

Justificar razonadamente si para a = 0 la igualdad

~ u · (~v ∧ ~x) = 0 Soluci´on:

Si los vectores ~u, ~v, ~ w son linealmente dependientes entonces rg(~u, ~v, ~ w) < 3 por tanto

A =      

a a + 1 2 a

a 1 a

1 a 1

= a(a ² − 1) = 0 =⇒ a = 0 a = 1 a = −1

a = 0, a = 1, a = −1 =⇒ los vectores ~u, ~v, ~ w son linealmente dependientes Para el apartado b) para a = 2 =⇒ |A| 6= 0 por tanto rg(A) = 3 =⇒ ~u, ~v, ~ w linealmente independientes por tanto ~u, ~v, ~ w forman una base de V ³ y el vector ~c se podr´a poner como combinaci´on lineal de ~u, ~v, ~ w

~c = α~u + β~v + γ ~ w =⇒ (3, 3, 0) = α(2, 3, 4) + β(2, 1, 2) + γ(1, 2, 1)

 2α + 2β + γ = 3

Para a = 0 obtenemos ~u = (0, 1, 0) ~v = (0, 1, 0) ~x = (a, b, c)

~

u · (~v ∧ ~x) = [~u, ~v, ~x] =      

0 1 0 0 1 0 a b c      

= 0

~

x ∧ (2, 1, −1) = (1, 3, 5) Donde |~x| = √

6 d´onde ∧ significa producto vectorial.

Sea ~x = (a, b, c)

~

x ∧ (2, 1, −1) =      

~i ~j ~k a b c 2 1 −1

= (−b − c)~i − (−a − 2c)~j + (a − 2b)~k

Por tanto



 



 



−b − c = 1 a + 2c = 3 a − 2b = 5 a ² + b ² + c ² = 6

=⇒ ~x = (1, −2, 1) ~ x =  5 3 , − 5

3 , 2 3









b = −1 − c a = 3 − 2c a ² + b ² + c ² = 6

=⇒ (−1 − c) ² + (3 − 2c) ² + c ² = 6 =⇒ 1 + 2c + c ² + 9 − 12c + c ² + 4c ² + c ² = 6

6c ² − 10c + 4 = 0 =⇒ 3c ² − 5c + 2 = 0 =⇒ c = 1 c = 2

3

Demostrar que si tres vectores ~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 son perpendiculares entre s´ı entonces

|~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 | ² = |~ v 1 | ² + |~ v 2 | ² + |~ v 3 | ²

1

Dados los vectores ~ v 1 = (1, 1, −1), ~v ² = (1, 0, 1) hallar un vector ~ v 3 tal que:

|~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 | ² = |~ v 1 | ² + |~ v 2 | ² + |~ v 3 | ²

2

Dado el vector ~v = (1, 2, 3) hallar los vectores ~ v 1 y ~ v 2 que cumplan las tres condiciones siguientes:

a) v ~ 1 tiene las tres coordenadas iguales y no nulas.

b) v ~ 1 es perpendicular a ~ v 2 . c) ~v = ~ v 1 + ~ v 2

~

v 1 ⊥ ~ v 2 =⇒ ~ v 1 · ~ v 2 = 0

~

v 1 ⊥ ~ v 3 =⇒ ~ v 1 · ~ v 3 = 0

~

v 3 ⊥ ~ v 2 =⇒ ~ v 3 · ~ v 2 = 0

|~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 | ² = ( ~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 ) · (~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 ) =

~

v 1 · ~ v 1 + ~ v 1 · ~ v 2 + ~ v 1 · ~ v 3 + ~ v 2 · ~ v 1 + ~ v 2 · ~ v 2 + ~ v 2 · ~ v 3 + ~ v 3 · ~ v 1 + ~ v 3 · ~ v 2 + ~ v 3 · ~ v 3 =

~

v 1 · ~ v 1 + ~ v 2 · ~ v 2 + ~ v 3 · ~ v 3 = |~ v 1 | ² + |~ v 2 | ² + |~ v 3 | ²

Dados los vectores ~ v 1 = (1, 1, −1), ~v ² = (1, 0, 1) hallar un vector ~ v 3 tal que:

|~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 | ² = |~ v 1 | ² + |~ v 2 | ² + |~ v 3 | ²

Para hallar el vector ~ v 3 debemos tener en cuenta ~ v 1 y ~ v 2 son perpendiculares por tanto ~ v 3 debe ser perpendicular a ambos:

~

v 3 = ~ v 1 × ~ v 2 =      

i j k 1 1 −1 1 0 1

= ~i − 2~j − ~k =⇒ ~ v 3 = (1, −2, −1)

Para el ´ ultimo apartado ~ v 2 = (x, y, z), ~ v 1 = (a, a, a)

~

v 1 ⊥ ~ v 2 =⇒ (a, a, a) · (x, y, z) = 0 =⇒ ax + ay + az = 0 =⇒ a(x + y + z) = 0 =⇒ x + y + z = 0

~v = ~ v 1 + ~ v 2 =⇒ (1, 2, 3) = (a + x, a + y, a + z)







a + x = 1 a + y = 2 a + z = 3

=⇒ 3a + x + y + z = 6 =⇒ 3a = 6 =⇒ a = 2

~

v 1 = (2, 2, 2) v ~ 2 = (−1, 0, 1)

Halla un plano que contenga la recta r y corte al plano π en una recta s paralela al plano OXY . r ≡  x = 1

y = 3 π ≡ x + y + z = 1 Escribimos la recta en param´etricas

r ≡







x = 1 y = 3 z = λ

−

→ u r = (0, 0, 1) P r (1, 3, 0)

El plano π ^′ soluci´on es un plano que contiene a r por tanto P ^r ∈ π ^′ y es paralelo a − → u r nos hace falta otro vector paralelo que lo obtendremos de la condici´on

s = π ∩ π ^′ =⇒ s ⊂ π =⇒ s ⊥ ~ n π = (1, 1, 1) s k OXY =⇒ s ⊥ OXY =⇒ s ⊥ (0, 0, 1) por tanto un vector director de s y ~ u s es paralelo a π ^′

~ u s =

i j k 0 0 1 1 1 1      

= −~i + ~j = (−1, 1, 0)

Por tanto

π ≡      

x − 1 y − 3 z

0 0 1

−1 1 0

= −x − y + 4 = 0

Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P (1, 1, 2) y se apoya en las rectas:

r ≡ x − 1 3 = y

2 = z − 1

−1 ; s ≡ x 2 = y

1 = z + 1 2 Escribimos los vectores directores y los puntos de las rectas

~

u r = (3, 2, −1) P r (1, 0, 1) u ~ s = (2, 1, 2) P s (0, 0, −1) Comprobamos la posici´on relativa de las rectas:

rg( ~ u r , ~ u s ) = rg 3 2 −1 2 1 2



= 2

3 2 2 1   

 = −1 6= 0

−−→ P r P s (0, 0, −1) − (1, 0, 1) = (−1, 0, −2) Las rectas se cruzan o se cortan

rg( ~ u r , ~ u s , −−→

P r P s ) = rg





3 2 −1

2 1 2

−1 0 −2



 = 3

3 2 −1

2 1 2

−1 0 −2      

= −3 6= 0

Las rectas se cruzan.

Para hallar la recta la obtendremos como intersecci´on de dos planos t = π ∩ π ^′ de tal forma

1

π contiene a r y P . Hallamos −−→ P r P = (1, 1, 2) − (1, 0, 1) = (0, 1, 1) π ≡

x − 1 y − 1 z − 2

3 2 −1

0 1 1

= 3x − 3y + 3z − 6 = 0 π ≡ x − y + z − 2 = 0

2

π ^′ contiene a s y P . Hallamos −−→

P s P = (1, 1, 2) − (0, 0, −1) = (1, 1, 3)

π ^′ ≡      

x − 1 y − 1 z − 2

2 1 2

1 1 3

= x − 4y + z + 1 = 0

Por tanto la recta t que se apoya en r y s y pasa por P es igual t ≡  x − y + z − 2 = 0

x − 4y + z + 1 = 0

Prueba que los planos π ≡ −x + 2ay − 2az = 0 y π ^′ ≡ x + ay − az = 0 se cortan en una recta r que pasa por el origen, cualquiera que sea el valor de a. Halla la posici´on relativa de r con el plano

12x − (a + 3)y + 2z = 0 para los diferentes valores de a 6= 0 r ≡  −x + 2ay − 2az = 0

x + ay − az = 0 Pasamos las ecuaciones a param´etricas

r ≡  −x + 2ay − 2az = 0

−3x = 0 =⇒ 2ay − 2az = 0 =⇒ y = z =⇒ r ≡







x = 0 y = λ z = λ

λ ∈ R

Vemos que las ecuaciones param´etricas de r no dependen de a y P ^r (0, 0, 0)

Para estudiar la posici´on relativa de r con respecto a π tomemos un punto gen´erico R ∈ r y lo sustituimos en la ecuaci´on del plano π ¹ ≡ 12x − (a + 3)y + 2z = 0

−(a + 3)λ + 2λ = 0 =⇒ −λ(a + 1) = 0 De lo que deducimos que

1

a = −1 =⇒ 0 = 0 por tanto r ⊂ π ¹ .

2

a 6= −1 =⇒ λ = 0 por tanto π ¹ ∩ r = P ^r (0, 0, 0)

r ≡







x = −1 − λ y = −λ z = 2λ Hallar:

1

La proyecci´on ortogonal del punto P sobre el plano π.

2

El sim´etrico de P con respecto a π.

3

La proyecci´on ortogonal de la recta r sobre el plano π.

Para hallar la proyecci´on ortogonal de P sobre π debemos hallar la recta s perpendicular a π y que pase por P de tal forma M = π ∩ s siendo M dicha proyecci´on.

~

n π = (2, −3, 1) = ~ u s =⇒ s ≡







x = 1 + 2λ y = −3λ z = −1 + λ 2(2λ + 1) − 3(−3λ) + λ − 1 + 1 = 0 =⇒ λ = − 1

7 M =

 1 − 2

7 . 3

7 , −1 − 1 7



=  5 7 , 3

7 , − 8 7



Sea P ^′ (x, y, z) el sim´etico de P (1, 0, −1) con respecto al plano π por tanto M = P + P ^′

2 =⇒  5

7 , 3 7 , − 8

7



= (x, y, z) + (1, 0, −1) 2



 

 

 

 



 

 

 

 

 5

7 = 1 + x 2 3

7 = 0 + y 2

− 8

7 = −1 + z 2

=⇒ P ^′  3 7 , 6

7 , − 9 7



Para hallar la proyecci´on r ^′ de la recta r sobre el plano π debemos hallar un plano π ^′ que contenga a r y perpendicular a π y r ^′ = π ∩ π ^′ .

r ⊂ π ^′ =⇒ P ^r (−1, 0, 0) ∈ π ^′ u ~ r k π ^′ Adem´as

π ⊥ π ^′ =⇒ ~ n π k π ^′

Por tanto π ^′ queda determinado por P ^r (−1, 0, 0), ~ u r = (−1, −1, 2) y ~ n π = (2, −3, 1)

π ^′ ≡      

x + 1 y z

−1 −1 2

2 −3 1

= x + y + z + 1 = 0

r ^′ ≡  2x − 3y + z + 1 = 0

x + y + z + 1 = 0

Dadas las rectas: r ≡ x 1 = y

2 = z

a y s ≡ x − 3 b = y

1 = z − 3

−1 , determinar los valores de los par´ametros a y b para los cuales las rectas r y s se cortan perpendicularmente.

Si r y s son perpendiculares implica ~ u r · ~ u s = 0 por tanto

(1, 2, a) · (b, 1, −1) = 0 =⇒ b + 3 − a = 0 Por otro lado las recta deben ser secantes por tanto

rg( ~ u r , ~ u s ) = 2 y rg( ~ u r , ~ u s , −−→

P r P s ) = 3 por tanto

P r (0, 0, 0) P ^s (3, 0, 3) =⇒ −−→

P r P s = (3, 0, 3) − (0, 0, 0) = (3, 0, 3) Vemos el rg( ~ u r , ~ u s , −−→

P r P s )

rg





1 2 a b 1 −1 3 0 3





Para ello calculamos el siguiente determinante y vemos los valores de a y b que lo anulan 

1 2 a b 1 −1 3 0 3

= −6b − 3a − 3 = 0

por tanto

 −6b − 3a − 3 = 0

b + 3 − a = 0 =⇒ a = 1 b = −1

Por tanto para a = 1 y b = −1 los vectores ~ u r y ~ u s son perpendiculares y adem´as rg( ~ u r , ~ u s ) =  1 2 1

−1 1 −1



= 2 por    

1 2

−1 1   

 = 3 6= 0

Dada la recta r ≡ x − 1

1 = y

−1 = z

1 y el plano π ≡ x + y − 2z + 1 = 0 , hallar la ecuaci´on de la recta s sim´etrica de la recta r respecto del plano π.

r ≡







x = 1 + λ y = −λ z = λ

P r (1, 0, 0) u ~ r = (1, −1, 1) Hallamos la intersecci´on de r con el plano π es decir

M = π ∩ r =⇒ 1 + λ − λ − 2λ + 1 = 0 =⇒ λ = 1 =⇒ M = (2, −1, 1)

Para hallar la recta sim´etrica hallaremos el sim´etrico P ^s , de P ^r con respecto a π para ello hallamos una recta r ^′ perpendicular a π y que pase por P ^r

r ^′ ≡







x = 1 + λ y = λ z = −2λ Hallamos la intersecci´on de r ^′ con π, Q = π ∩ r ^′ por tanto

1 + λ + λ − 2(−2λ) + 1 = 0 =⇒ 6λ + 2 = 0 =⇒ λ = − 1 3 Q =

 1 − 1

3 , − 1 3 , 2

3



=  2 3 , − 1

3 , 2 3



Q = P r + P ^s

2 =⇒  2

3 , − 1 3 , 2

3



= (x, y, z) + (1, 0, 0) 2



 

 

 

 



 

 

 

 



x + 1 2 = 2

3 y

2 = − 1 3 z

2 = 2 3

=⇒ P ^s  1 3 , − 2

3 , 4 3



Por tanto el vector −−→ M P s es un vector director de la recta s

−−→ M P s =  1 3 , − 2

3 , 4 3



− (2, −1, 1) =



− 5 3 , 1

3 , 1 3



Tomamos como ~ u s = (−5, 1, 1)

s ≡







x = 2 − 5λ y = −1 + λ z = 1 + λ

λ ∈ R

Hallar la ecuaci´on del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planos:

π 1 ≡ 5x − y − 7z = 1 y π ² ≡ 2x + 3y + z = 5 El plano soluci´on π contiene al O(0, 0, 0) y paralelo a los vectores normales de los planos ~ n π

, ~ n π

π =  O(0, 0, 0) ∈ π π k ~ n π

π k ~ n π

π ≡      

x y z

5 −1 −7

2 3 1

= 0

π ≡ 20x − 19y + 17z = 0

Dadas las rectas

r ≡







x = 1 − λ y = λ

z = 0

s ≡ x − 1

1 = y − 1

2 = z − 1 1 P r (1, 0, 0) − → u r (−1, 1, 0) P ^s (1, 1, 1) − → u s (1, 2, 1) Estudia la posici´on relativa de las rectas.

rg(− → u r , − → u s ) = −1 1 0 1 2 1



= 2 ⇔    

1 2

−1 1   

 = 3 6= 0 rg(− → u r , − → u s , −−→

P r P s ) =





−1 1 0 1 2 1 0 1 1



 = 3 ⇔      

−1 1 0 1 2 1 0 1 1      

= −2 6= 0

Se cruzan

Halla la recta t que las corta perpendicularmente. Para ello hallamos dos planos:

π que contiene a r y paralelo a − → u r × − → u s

π ^′ que contiene a s y paralelo a − → u r × − → u s

t = π ∩ π ^′

−

→ u r × − → u s =      

−

→ i − → j − → k

−1 1 0

1 2 1

= − → i + − → j − 3 − → k

π ≡      

x − 1 y z

−1 1 0

1 1 −3

= 0 π ≡ −3 x − 3 y − 2 z + 3 = 0

π ^′ ≡      

x − 1 y − 1 z − 1

1 2 1

1 1 −3

= 0 π ^′ ≡ −7 x + 4 y − z + 4 = 0

t ≡  −3 x − 3 y − 2 z + 3 = 0

−7 x + 4 y − z + 4 = 0

Halla la recta t ^′ que se apoya en r, s y pasa por el punto P (1, 2, 3). Para ello hallamos dos planos:

π que contiene a r y P . π ^′ que contiene a s y P .

t ^′ = π ∩ π ^′ Para ello hallamos

−−→ P r P = (1, 2, 3) − (1, 0, 0) = (0, 2, 3)

π ≡      

x − 1 y − 2 z − 3

−1 1 0

0 2 3

= 0 3 x + 3 y − 2 z − 3 = 0

−−→ P s P = (1, 2, 3) − (1, 1, 1) = (0, 1, 2)

π ^′ ≡      

x − 1 y − 2 z − 3

1 2 1

0 1 2

= 0 3x − 2y + z − 2 = 0

t ^′ ≡  3 x + 3 y − 2 z − 3 = 0

3x − 2y + z − 2 = 0

Halla la recta r ^′ que es paralela a la recta x = y 3 = z

3 y se apoya en r y s.

π que contiene a r y paralelo al vector director de x = y 3 = z

3 u (1, 3, 3) . π ^′ que contiene a s paralelo al vector director de x = y

3 = z

3 u(1, 2, 3) . r ^′ = π ∩ π ^′

π ≡      

x − 1 y z

−1 1 0

1 3 3

= 0 3 x + 3 y − 4 z − 3 = 0

π ^′ ≡      

x − 1 y − 1 z − 1

1 2 1

1 3 3

= 0 3 x − 2 y + z − 2 = 0

r ^′ ≡  3 x + 3 y − 4 z − 3 = 0

3 x − 2 y + z − 2 = 0