(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)
(8)
(9)
(10)(11)(12)(13)(14)
(15)
(16)(17)(18)(19)
(20)(21)
(22)
(23)
Profesor Andr´es D´ıaz Jim´enez andres.diaz@educa.madrid.org
IES ALPAJ ´ES
12 de enero de 2015
2
Estudiar si el vector ~c = (3, 3, 0) depende linealmente de los vectores~u, ~v, ~ w para el caso a = 2.
Justificar la respuesta.
3
Justificar razonadamente si para a = 0 la igualdad
~ u · (~v ∧ ~x) = 0 Soluci´on:
Si los vectores ~u, ~v, ~ w son linealmente dependientes entonces rg(~u, ~v, ~ w) < 3 por tanto
A =
a a + 1 2 a
a 1 a
1 a 1
= a(a 2 − 1) = 0 =⇒ a = 0 a = 1 a = −1
a = 0, a = 1, a = −1 =⇒ los vectores ~u, ~v, ~ w son linealmente dependientes Para el apartado b) para a = 2 =⇒ |A| 6= 0 por tanto rg(A) = 3 =⇒ ~u, ~v, ~ w linealmente independientes por tanto ~u, ~v, ~ w forman una base de V 3 y el vector ~c se podr´a poner como combinaci´on lineal de ~u, ~v, ~ w
~c = α~u + β~v + γ ~ w =⇒ (3, 3, 0) = α(2, 3, 4) + β(2, 1, 2) + γ(1, 2, 1)
2α + 2β + γ = 3
Para a = 0 obtenemos ~u = (0, 1, 0) ~v = (0, 1, 0) ~x = (a, b, c)
~
u · (~v ∧ ~x) = [~u, ~v, ~x] =
0 1 0 0 1 0 a b c
= 0
~
x ∧ (2, 1, −1) = (1, 3, 5) Donde |~x| = √
6 d´onde ∧ significa producto vectorial.
Sea ~x = (a, b, c)
~
x ∧ (2, 1, −1) =
~i ~j ~k a b c 2 1 −1
= (−b − c)~i − (−a − 2c)~j + (a − 2b)~k
Por tanto
−b − c = 1 a + 2c = 3 a − 2b = 5 a 2 + b 2 + c 2 = 6
=⇒ ~x = (1, −2, 1) ~ x = 5 3 , − 5
3 , 2 3
b = −1 − c a = 3 − 2c a 2 + b 2 + c 2 = 6
=⇒ (−1 − c) 2 + (3 − 2c) 2 + c 2 = 6 =⇒ 1 + 2c + c 2 + 9 − 12c + c 2 + 4c 2 + c 2 = 6
6c 2 − 10c + 4 = 0 =⇒ 3c 2 − 5c + 2 = 0 =⇒ c = 1 c = 2
3
Demostrar que si tres vectores ~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 son perpendiculares entre s´ı entonces
|~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 | 2 = |~ v 1 | 2 + |~ v 2 | 2 + |~ v 3 | 2
1
Dados los vectores ~ v 1 = (1, 1, −1), ~v 2 = (1, 0, 1) hallar un vector ~ v 3 tal que:
|~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 | 2 = |~ v 1 | 2 + |~ v 2 | 2 + |~ v 3 | 2
2
Dado el vector ~v = (1, 2, 3) hallar los vectores ~ v 1 y ~ v 2 que cumplan las tres condiciones siguientes:
a) v ~ 1 tiene las tres coordenadas iguales y no nulas.
b) v ~ 1 es perpendicular a ~ v 2 . c) ~v = ~ v 1 + ~ v 2
~
v 1 ⊥ ~ v 2 =⇒ ~ v 1 · ~ v 2 = 0
~
v 1 ⊥ ~ v 3 =⇒ ~ v 1 · ~ v 3 = 0
~
v 3 ⊥ ~ v 2 =⇒ ~ v 3 · ~ v 2 = 0
|~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 | 2 = ( ~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 ) · (~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 ) =
~
v 1 · ~ v 1 + ~ v 1 · ~ v 2 + ~ v 1 · ~ v 3 + ~ v 2 · ~ v 1 + ~ v 2 · ~ v 2 + ~ v 2 · ~ v 3 + ~ v 3 · ~ v 1 + ~ v 3 · ~ v 2 + ~ v 3 · ~ v 3 =
~
v 1 · ~ v 1 + ~ v 2 · ~ v 2 + ~ v 3 · ~ v 3 = |~ v 1 | 2 + |~ v 2 | 2 + |~ v 3 | 2
Dados los vectores ~ v 1 = (1, 1, −1), ~v 2 = (1, 0, 1) hallar un vector ~ v 3 tal que:
|~ v 1 + ~ v 2 + ~ v 3 | 2 = |~ v 1 | 2 + |~ v 2 | 2 + |~ v 3 | 2
Para hallar el vector ~ v 3 debemos tener en cuenta ~ v 1 y ~ v 2 son perpendiculares por tanto ~ v 3 debe ser perpendicular a ambos:
~
v 3 = ~ v 1 × ~ v 2 =
i j k 1 1 −1 1 0 1
= ~i − 2~j − ~k =⇒ ~ v 3 = (1, −2, −1)
Para el ´ ultimo apartado ~ v 2 = (x, y, z), ~ v 1 = (a, a, a)
~
v 1 ⊥ ~ v 2 =⇒ (a, a, a) · (x, y, z) = 0 =⇒ ax + ay + az = 0 =⇒ a(x + y + z) = 0 =⇒ x + y + z = 0
~v = ~ v 1 + ~ v 2 =⇒ (1, 2, 3) = (a + x, a + y, a + z)
a + x = 1 a + y = 2 a + z = 3
=⇒ 3a + x + y + z = 6 =⇒ 3a = 6 =⇒ a = 2
~
v 1 = (2, 2, 2) v ~ 2 = (−1, 0, 1)
Halla un plano que contenga la recta r y corte al plano π en una recta s paralela al plano OXY . r ≡ x = 1
y = 3 π ≡ x + y + z = 1 Escribimos la recta en param´etricas
r ≡
x = 1 y = 3 z = λ
−
→ u r = (0, 0, 1) P r (1, 3, 0)
El plano π ′ soluci´on es un plano que contiene a r por tanto P r ∈ π ′ y es paralelo a − → u r nos hace falta otro vector paralelo que lo obtendremos de la condici´on
s = π ∩ π ′ =⇒ s ⊂ π =⇒ s ⊥ ~ n π = (1, 1, 1) s k OXY =⇒ s ⊥ OXY =⇒ s ⊥ (0, 0, 1) por tanto un vector director de s y ~ u s es paralelo a π ′
~ u s =
i j k 0 0 1 1 1 1
= −~i + ~j = (−1, 1, 0)
Por tanto
π ≡
x − 1 y − 3 z
0 0 1
−1 1 0
= −x − y + 4 = 0
Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P (1, 1, 2) y se apoya en las rectas:
r ≡ x − 1 3 = y
2 = z − 1
−1 ; s ≡ x 2 = y
1 = z + 1 2 Escribimos los vectores directores y los puntos de las rectas
~
u r = (3, 2, −1) P r (1, 0, 1) u ~ s = (2, 1, 2) P s (0, 0, −1) Comprobamos la posici´on relativa de las rectas:
rg( ~ u r , ~ u s ) = rg 3 2 −1 2 1 2
= 2
3 2 2 1
= −1 6= 0
−−→ P r P s (0, 0, −1) − (1, 0, 1) = (−1, 0, −2) Las rectas se cruzan o se cortan
rg( ~ u r , ~ u s , −−→
P r P s ) = rg
3 2 −1
2 1 2
−1 0 −2
= 3
3 2 −1
2 1 2
−1 0 −2
= −3 6= 0
Las rectas se cruzan.
Para hallar la recta la obtendremos como intersecci´on de dos planos t = π ∩ π ′ de tal forma
1
π contiene a r y P . Hallamos −−→ P r P = (1, 1, 2) − (1, 0, 1) = (0, 1, 1) π ≡
x − 1 y − 1 z − 2
3 2 −1
0 1 1
= 3x − 3y + 3z − 6 = 0 π ≡ x − y + z − 2 = 0
2
π ′ contiene a s y P . Hallamos −−→
P s P = (1, 1, 2) − (0, 0, −1) = (1, 1, 3)
π ′ ≡
x − 1 y − 1 z − 2
2 1 2
1 1 3
= x − 4y + z + 1 = 0
Por tanto la recta t que se apoya en r y s y pasa por P es igual t ≡ x − y + z − 2 = 0
x − 4y + z + 1 = 0
Prueba que los planos π ≡ −x + 2ay − 2az = 0 y π ′ ≡ x + ay − az = 0 se cortan en una recta r que pasa por el origen, cualquiera que sea el valor de a. Halla la posici´on relativa de r con el plano
12x − (a + 3)y + 2z = 0 para los diferentes valores de a 6= 0 r ≡ −x + 2ay − 2az = 0
x + ay − az = 0 Pasamos las ecuaciones a param´etricas
r ≡ −x + 2ay − 2az = 0
−3x = 0 =⇒ 2ay − 2az = 0 =⇒ y = z =⇒ r ≡
x = 0 y = λ z = λ
λ ∈ R
Vemos que las ecuaciones param´etricas de r no dependen de a y P r (0, 0, 0)
Para estudiar la posici´on relativa de r con respecto a π tomemos un punto gen´erico R ∈ r y lo sustituimos en la ecuaci´on del plano π 1 ≡ 12x − (a + 3)y + 2z = 0
−(a + 3)λ + 2λ = 0 =⇒ −λ(a + 1) = 0 De lo que deducimos que
1
a = −1 =⇒ 0 = 0 por tanto r ⊂ π 1 .
2
a 6= −1 =⇒ λ = 0 por tanto π 1 ∩ r = P r (0, 0, 0)
r ≡
x = −1 − λ y = −λ z = 2λ Hallar:
1
La proyecci´on ortogonal del punto P sobre el plano π.
2
El sim´etrico de P con respecto a π.
3
