1.- Vectores en el espacio

(1)

1.- Vectores en el espacio

1) Halla a para que los siguientes vectores sean unitarios:

a) û^ ^⁽^¹^/³^,¹^/⁶^,â⁾ b) û^^⁽³^/⁵^,⁰^,â⁾

c) ^u ^⁽⁵^/¹³^,^a^,^⁵^/¹³⁾

2) Sean ^v ^⁽¹^,²^,^¹^),^w^⁽⁰^,¹^,^²⁾. a) Halla  para que wiv

b) Halla  para que wvvk

3) Sean ^v ^⁽^¹^,³^,¹^),^w^ ⁽¹^,⁰^,^¹⁾. Encuentra todos los ^^,^^,^^,^ tales que

} ,

,

{vvw jvw forma una base ortogonal.

4) Demuestra que ^v^^w^ ^v^^w ^ ^v^^w

5) Sean ^v,^w tales que v(1,0,1),vwk. Halla w. 6) Sea ^{^u^,^v^,^w^} una base ortonormal.

a) Sea ^p ^³^u^²^v^⁵^w. Halla ^p b) ¿Es cierto que ^u^^v ^w?

c) Halla ^u^^w

d) ¿Es cierto que uv w?

7) Sean ^v^⁽^¹^,⁰^,¹^),^w^⁽¹^,²^,¹^),^u ^^v^^w.

a) Comprueba que ^{^u^,^v^,^w^} es una base ortogonal.

b) ¿Qué relación hay entre v y ^v^⁽^v^^w⁾? Razónalo usando alguno de los teoremas del capítulo y compruébalo.

c) Calcula x para que ^x^u^^v^²^w ^¹⁰

8) Sea ^{^u^,^v^,^w^}una base ortonormal. ¿Qué valores puede tomar [u,v,w]?

2.- Espacio afín.

1) Sean ^P^⁽¹^,³^,²^),^Q ^⁽^¹^,⁰^,⁴^),^R⁽⁰^,⁰^,^z⁾. Halla todos los valores de z que hacen isósceles al triángulo PQR.

2) Sean ^A^⁽¹^,²^,²^),^B ^⁽³^,¹^,⁴^),^C⁽⁰^,^y^,¹⁾. Sea



la esfera de centro A y radio 3.

a) Razona si B

b) Halla todos los valores de y que hacen posible que C esté en el interior de



.

c) Halla dos puntos antípodas de



.

3) Los puntos ^A^⁽¹^,^³^,²^),^B^ ⁽³^,¹¹^,⁴⁾ son puntos antípodas de una esfera



_.

a) Halla el centro y el radio de la esfera.

b) Sea X  . Demuestra que los segmentos XA y XB son perpendiculares.

4) Sean ^A^⁽¹^,²^,²^),^B^⁽³^,¹^,⁴⁾. Halla seis puntos más tales que formen un cubo con vértices A, B y los seis puntos que has encontrado [Hay infinitas soluciones;

limítate a encontrar una de ellas]

5) Sea ABCD un tetraedro, A’ el baricentro del triángulo BCD, B’ el baricentro de ACD y así sucesivamente. Prueba que el baricentro del tetraedro ABCD coincide con el baricentro del tetraedro A’B’C’D’.

6) Sean ^A^⁽¹^,²^,²^),^B^⁽³^,^²^,⁰⁾y sea M el punto medio de AB.

a) Encuentra tres puntos distintos X cumpliendo que el triángulo ABX es rectángulo en X.

(2)

b) Para los tres puntos hallados, encuentra d(X,M).

c) ¿Te sugiere alguna idea los dos apartados anteriores? Trata de enunciar un teorema que resuma esa idea y, si es posible, demuéstralo.

7) Sea A(1,-2,3) Encuentra puntos B,C,D,E tales que ABCDE es una pirámide cuadrada de base ABCD y de altura 6.

3.- La recta.

1) Sean ^A^ ⁽¹^,^⁷^,²^),^B ^⁽⁴^,^¹^,²⁰^),^C⁽^a^,^b^,¹³^);^D⁽^¹^,²^,⁶⁾. a) Halla a,b para que C pertenezca a la recta AB.

b) Sea M el punto medio de AB. Halla cinco puntos que pertenezcan a la recta OM c) Divide el segmento AB en tres segmentos de idéntica longitud: AX, XY, YB.

Halla la ecuación paramétrica de las rectas DX y DY.

2) Encuentra todos los puntos de la recta

1 3 2

1 3

2



 

 



 x y z

r que están a distancia

201del punto ^A^^(²^,³^,²⁾

3) Sean A1 ⁽²^,¹^,²^),A2 ⁽²^,¹^,⁵⁾. Sea A3 el punto medio de A1 y A2; sea A4 el punto medio de A2 y A3; sea A5 el punto medio de A3 y A4….y así sucesivamente. Calcula limAn.

4) Prueba que si G es el baricentro del triángulo ABC se cumple que ^AG ^AM 2

 2 donde M es el punto medio de BC.

4.- El plano.

1) Sean ^A^⁽¹^,²^,⁶^),^B ^ ⁽⁴^,^¹^,⁸^),^C⁽³^,¹^,^,⁸^),^D⁽^a^,²^,⁶⁾ a) ¿Están los puntos A, B y C alineados?

b) Halla la ecuación del plano ABC.

c) Halla a para que A,B, C y D sean coplanarios.

d) Halla la ecuación del plano que contiene al eje Z y al punto A.

e) Calcula p para que





































6 4 2

2 1 z y

p x

sea un plano que contenga a la recta AB.

Halla la ecuación general del plano.

2) Halla la ecuación de tres rectas contenidas en el plano 2x+y-z+1=0

3) El plano ^ ^ ^x^ ^y^³^z^²^⁰ divide al espacio en dos semiespacios. Descubre algún método para responder a estas preguntas:

a) ¿Están los puntos ^A^⁽¹^,²^,⁶^),^B^⁽⁴^,^¹^,⁸⁾en el mismo semiespacio?

b) ¿Están los puntos ^C⁽⁰^,¹^,^¹⁰^),^D⁽¹^,¹^,⁶⁾ en el mismo semiespacio?

4) En el cubo del problema 2.4, halla la ecuación de los planos que contienen las caras.

(3)

5) Sea el plano ^^²^x^^y^^z^³^⁰y ^P⁽⁰^,⁰^,³⁾^^. En P colocamos una gota de agua que se desliza por el plano



formando una semirrecta. Halla la ecuación de la recta que contiene ala trayectoria de la gota de agua. [Nota: La dirección de a gravedad es el eje Z]

5.- Paralelismo e incidencia de rectas y planos.

1) Sean Â^ ⁽¹^,²^,³^),^B ^⁽^⁴^,²^,⁸^),^C⁽³^,¹^,²^),^D⁽⁴^,⁰^,^²^),Ê⁽â^,⁵^,⁶^),^F⁽^¹^,^b^,⁷⁾ a) Halla a para que la recta DE sea paralela al plano ABC.

b) Ecuación de la recta paralela a BC que pasa por F.

c) Ecuación general del plano paralelo al ACD que pasa por B.

d) Halla b para que el plano ABF sea paralelo al eje X.

2) Sean

) 1 , 1 , 1 ( ), 0 , , 1 ( ), 1 , 2 , ( ), 2 , 3 , 4 ( ), 2 , 6 , 3 ( ), 8 , 5 , 4 ( ), 3 , 5 , 1

(      

 B C D E a F b G

A

a) Halla a para que los puntos A, B, C, E sean coplanarios.

b) Halla a y b para que la recta EF sea paralela a la recta AB.

c) Ecuación de la recta que pasa por A y es paralela a los planos BCD y OBG.

d) Punto de corte de la recta DG con el plano ABC.

3) Sean el plano ^ ^²^x^^y^^z^²^⁰ y la recta

m y z

r x 6

2

5  



  .

a) Halla la posición relativa de la recta y el plano según los valores de m.

b) Para m=2 halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano



4) Sean el plano ^ ^ ^x^ ^y^^mz^³ y la recta

2 1 2





 z

y x r

a) Halla m para que la recta y el plano sean paralelos.

b) ¿Existe algún valor de m tal que la recta está contenida en el plano?

5) Sean el punto ^A⁽¹^,²^,^¹⁾, el plano ^ ^^x^^y^²^z^¹ y la recta 2

2 2 1

1 





 

  z

x y

r .

a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r.

b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a



y corta a r.

c) Halla el punto de corte de la recta del apartado anterior con la recta r.

6) Sean las rectas

4 1

2

1

y z

r  x   y

2 7 3

2 2

1

2

 

 

 x y z

r

a) Halla la ecuación general del plano que contiene a la recta r1 y es paralelo a r2

b) Halla la ecuación general del plano que contiene a la recta r2 y es paralelo a r1

7) Sean las rectas

4 7 3

2 1

2

1

 

 

 x y z

r y

b z y

a

r x 7

6 2

2 2

 

 

  . Determina la

posición relativa de las rectas según los valores de a y b.

8) Sean ^A^⁽¹^,³^,^²^),^B^⁽²^,¹^,^²^),^C⁽^²^,¹^,²⁾ y el plano ^ ^^ax^^by^²^z^^d a) ¿Para qué valores de a,b,d los planos ABC y



son coincidentes?

b) ¿Para qué valores de a,b,d los planos ABC y



son paralelos y distintos?

c) ¿Para qué valores de a,b,d la recta AB es paralela a



? d) ¿Para qué valores de a,b,d la recta BC está contenida en



?

(4)

9) Sea la recta

10 3 6

2 4

1   

x y z

r y el plano ^ ^²^x^^by^⁵^z^^d^⁰. Determina la posición relativa de la recta y el plano según los valores de b y d.

10) Sean las rectas

7 1 2

5 4

3

1

 

 

 x y z

r y

3 2 4

1

2

z b y

r  x    . Halla los valores de b que hacen que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano. Para esos valores, halla la ecuación general del plano.

11) Sean las rectas















 

0 2

0 3 2

1 x by cz d

z y

r x y

5 3 3

2 1 

 

 x y z

r . Halla los valores de

b,c,d que hacen que las dos rectas sean la misma.

12) Halla una ecuación paramétrica de la recta intersección del plano XY con el plano

0 12 3

2    

 x y z



13) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-3,0) y es paralela a la recta determinada por la intersección de los planos ^ ^²^x^³^y^^z^⁰ y



































2 2

1 '

z y x

14) Dadas las rectas













 

3 2

1 y z

kz

r x , ^r ^ ^x^ ^ ^y^¹^^z 2

1

2 , ¿existe algún valor de k que hace que las rectas sean secantes?

15) Sean la recta















 

8 5

7 2

z y x

z y

r x y el plano ^ ^^ax^²^y^^z^^d ^⁰

a) Calcula los valores de a y b para que la recta sea paralela al plano.

b) Calcula los valores de a y b para que la recta corte al plano.

c) Calcula los valores de a y b para que la recta esté contenida en el plano.

16) Escribe la relación que deben cumplir a,b,c para que los puntos )

1 , 1 , 1 ( ), 1 , 0 , ( ), 0 , , 1 ( ), , 0 , 1

( a B b C c D

A sean coplanarios.

17) Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los diferentes valores de m:

1 ''

1 '

1



















mz y x

z my x

z y mx



18) Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los diferentes valores de m y n:

n mz y

z y x

















 ' '

1 3 2 '

1



19) Halla una ecuación paramétrica de la recta que está contenida en todos los planos de la forma ^ ^^^x^⁽²^^⁾^y^³^z^⁵^⁴^

20) Halla la ecuación de la recta que se apoya en el eje Z y en la recta 3 2

2

1  

 x y z

r y que pasa por el punto ^A⁽¹^,³^,⁵⁾

21) Halla la recta que se apoya en el eje Z y en la recta ² 3

2

1  

 x y z

r y que es

paralela a la recta

2 2 3

21 3

' 1 

 

 

 x y z

r

6.- Ángulos entre rectas y planos.

(5)

1) Halla a,b sabiendo que la recta ^ ^²^ ^¹^^z^² b

y a

r x es perpendicular al plano

que contiene a los puntos ^A⁽²^,¹^,³^),^B⁽^⁵^,⁴^,³^),^C⁽⁰^,⁰^,¹⁾. 2) Halla los ángulos que forma la recta

1 1 3

2 1



 

 

 x y z

r con los ejes X, Y, Z.

3) Halla los ángulos que forma la recta

1 1 1

7 3

11



 

 

 x y z

r con los planos XY,

YZ y XZ.

4) Sean ^A⁽¹^,³^,^¹^),^B⁽²^,⁰^,¹^),^C⁽^c^,¹^,⁰^),^D⁽¹^,¹^,^¹^).

a) Halla los valores de c que hacen que la recta AB forme un ángulo de  /3 con la recta AC.

b) Halla los valores de c que hacen que la recta AC forme un ángulo de  /3 con el plano ABD.

5) Sean ^A⁽⁷^,¹^,⁰^),^B⁽^⁴^,²^,³^). Halla todos los puntos C del eje X tales que el triángulo ABC es rectángulo.

6) Sean ^A⁽¹^,³^,^¹^),^B⁽²^,⁰^,¹^),^C⁽^c^,¹^,⁰^),^D⁽⁶^,^³^,^³^). Halla los valores de c que hacen que la altura del tetraedro ABCD que pasa por C corte a la cara ABD en su baricentro.

7) Sean ^A⁽¹^,³^,^³^),^B⁽²^,^¹^,¹^),^C⁽^c^,^¹^,⁴^),^D⁽²^,^⁷^,⁷⁾.

a) ¿Qué valores de c hacen que el plano ABC sea perpendicular al plano

1 3  



 x y z

 ?

b) ¿Qué valores de c hacen que el plano ABC forme un ángulo de /3 con el plano ABD?

8) Sean ^A⁽¹^,³^,⁵^),^B⁽³^,^¹^,⁷^),^C⁽⁹^,^¹^,¹^). Calcula el ortocentro y el circuncentro del triángulo ABC.

(6)

6.- Proyecciones y simetrías.

1) Halla la proyección y el simétrico del punto P(10,5,9) sobre la recta 2

5 9 3

4 





 

 z

x y r

2) Halla c para que el punto ^B⁽²^,¹^,^c⁾ tenga la misma proyección que el punto )

5 , 6 , (2

A sobre la recta

1 1 1

7 3

11



 

 

 x y z

r

3) Halla la proyección y el simétrico del punto ^P⁽⁸^,⁶^,^⁸⁾ sobre el plano

0 2 





x y z



4) Halla la proyección de la recta















0 2

0 1

z y x

y

x en el plano ^ ^ ^x^²^y^⁰ 5) Sean ^A⁽²^,¹^,³^),^B⁽^¹^,⁵^,⁶⁾.

a) Halla la ecuación del plano tangente en B a la esfera de centro A que pasa por B.

b) Para la misma esfera, encuéntrese dos rectas tangentes a la esfera por el punto antípoda de B.

6) Halla la recta que pasa por A(2,-3,5) y corta perpendicularmente a la recta 1

1 1

7 3

2



 

 



 x y z

r

7) Sean los planos ^ ^^x^²^y^^z^³ y ^^'^^x^^y^³^z ^⁰. Encuentra el punto P sabiendo que P y que la proyección de P sobre ' es el punto ^P^'⁽¹^,^⁷^,²⁾ . 8) Halla la perpendicular común a las rectas rx yz, ^r^'^ ^x^ ^y ^³^z^¹

9) Halla la perpendicular común al eje Z y a la recta



















0 3 2

0 1 z y x

z y x

6.-Distancias, superficies y volúmenes.

1) Halla la distancia del punto ^A⁽^²^,¹^,^¹⁾ a la recta

1 1 2

7

3 

 

 

 x y z

r

2) Halla la distancia del punto ^A⁽²^,^³^,¹⁾ al plano ^ ^^x^²^y^⁵^z^⁰ 3) Halla la distancia entre las rectas

1 1 2

7

3 

 

 

 x y z

r y

1 2 1

' 2



 

 

 z

x y r 4) Halla la distancia entre las rectas

1 1 2

7

3 

 

 

 x y z

r y















 

7 0 5 ' 3

z y x

z r x

5) Considera los puntos ^A⁽¹^,⁰^,^²^),^B⁽^²^,³^,¹⁾.

a) Calcula la superficie del triángulo ABC donde C es un punto de la recta

z y x

r   1 .

b) ¿Por qué no depende el resultado de la elección de C?

6) Sean ^A⁽¹^,⁰^,^²^),^B⁽^²^,³^,¹⁾. Halla todos puntos C cumpliendo que el triángulo ABC tiene de superficie 6 y que C está en la recta ^r^^x^ ^y^¹^²^z^³.

7) ^A⁽¹^,³^,²^),^B⁽²^,³^,¹^),^C⁽⁵^,^¹^,²^),^D⁽²^,^b^,⁴⁾. Halla los valores de b que hacen que el tetraedro ABCD tenga superficie 1.

8) Sea la recta

4 1 1

7

3 

 

 

 x y z

r y el plano ^ ^^ax^^y^²^z^³.

Para el valor de a que hace que el plano sea paralelo a la recta, halla la distancia del plano a la recta.

(7)

9.- Lugares geométricos.

1) Sean ^A⁽^³^,⁴^,¹^),^B⁽¹^,⁶^,.⁹^),^C⁽³^,^¹⁰^,¹^),^D⁽²^,^b^,³⁾ a) Halla el plano mediatriz del segmento AB.

b) Halla b para que D esté en el plano mediatriz del segmento BC.

2) Halla los planos bisectores de los planos 1 ²xy²z¹¹⁰ y 0

1 5

2 12x z 



3) Halla los valores c que hacen que el punto C(2,7,c) pertenezca a la esfera que tiene como puntos antípodas A(2,5,-4) y B(0,7,2) .

4) Encuentra la ecuación del lugar geométrico (paraboloide de revolución) de los puntos que equidistan del punto P(2,3,-1) y el plano z=2.

5) Halla la ecuación de la esfera a la que pertenecen los puntos )

1 , 1 , 4 ( ), 1 , 3 , 2 ( ), 5 , 4 , 1 ( ), 6 , 1 , 1

( B C   D 

A

6) Sean 1 ²xy³z⁵⁰ y 2 ⁴xbycz¹¹⁰ a) Halla b y c para que los planos sean paralelos.

b) Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambos planos.

c) Halla la ecuación de una esfera tangente a ambos planos.

7) Sean los planos 1 ²xy²z⁰ y 2  x³⁰. Elige un punto cualesquiera de 2 y halla las ecuaciones de dos esferas rtangenytes a los dos planos que pasen por dicho punto.