Integrales de superficie

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES F

C

Integrales de superficie

Teorema de Stokes

Logros esperados

 Calcula integrales de superficie de campos escalares y vectoriales empleando diversas estrategias heurísticas en variados contextos intra-extra matemáticos.

 Resuelve ejercicios y problemas de aplicación a diversas ciencias y en diversos contextos que involucran la integral de línea de campos

escalares y vectoriales.

 Calcula integrales de línea de campos vectoriales haciendo uso del teorema de Stokes en diversos contextos.

 Analiza y discrimina el uso del teorema de Stokes

en diversas situaciones intra-extra matemáticas.

Definición

Sea 𝑆 una superficie regular en todos (excepto quizás en un número finito de) sus puntos, con parametrización 𝑟: 𝑅 ⊂

ℝ² → ℝ³ (donde 𝑅 ⊂ ℝ² es conexo, cerrado y acotado). Si 𝑓: 𝑆 → ℝ es continua en 𝑆, definimos la integral de

superficie de 𝑓 sobre 𝑆 como:

𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝑺

𝑺

= 𝒇 𝒓 𝒖; 𝒗 𝒓_𝒖 × 𝒓_𝒗 𝒅𝑨

𝑹

Observación

La integral de superficie de campos escalares no

Ejemplo

Integrales de superficie

1

En cada caso calcule las integrales de superficie:

a.- (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑆_𝑆 donde 𝑆 es el paralelogramo con parametrización

𝑟 𝑢; 𝑣 = 𝑢 + 𝑣; 𝑢 − 𝑣; 1 + 2𝑢 + 𝑣 ; 0 ≤ 𝑢 ≤ 2; 0 ≤ 𝑣 ≤ 1

b.- 𝑦𝑑𝑆_𝑆 donde 𝑆 es el helicoide cuya ecuación vectorial es 𝑟 𝑢; 𝑣 = 𝑢 cos 𝑣 ; 𝑢 sen 𝑣 ; 𝑣 , 0 ≤ 𝑢 ≤ 1; 0 ≤ 𝑣 ≤ 𝜋

Solución

Ejemplo

Integrales de superficie

2

En cada caso calcule las integrales de superficie:

a.- 𝑦𝑧 𝑑𝑆_𝑆 donde 𝑆 es la parte del plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 que está en el primer octante.

b.- 𝑧 𝑑𝑆_𝒮 donde 𝒮 es la superficie cilíndrica de ecuación 𝑥² + 𝑦² = 1, limitada inferiormente por el plano 𝑧 = 0 y superiormente por el plano 𝑧 = 𝑥 + 1

Solución

Integral sobre una superficie explícita

Sea una superficie 𝑆 descrita explícitamente por la ecuación 𝑧 = 𝑔(𝑥; 𝑦)

donde 𝑔: 𝑅 ⊂ ℝ² → ℝ es tal que 𝑔_𝑥 y 𝑔_𝑦 son continuas en un abierto 𝑈 ⊃ 𝑅 (𝑅 ⊂ ℝ² conexo, cerrado y acotado). Si

𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ³ → ℝ es un campo escalar continuo, entonces 𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝑺

𝑺

= 𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒈(𝒙; 𝒚) 𝟏 + 𝝏𝒈

𝝏𝒙

𝟐

+ 𝝏𝒈

𝝏𝒚

𝟐

𝒅𝑨

𝑹

𝒙

𝒚 𝒛

En este caso la parametrización es:

𝒙 = 𝒖; 𝒚 = 𝒗; 𝒛 = 𝒈(𝒖; 𝒗) y el vector normal es:

𝒓_𝒖 × 𝒓_𝒗 = −𝝏𝒈

𝝏𝒖; −𝝏𝒈

𝝏𝒗 ; 𝟏 ^{𝒓𝒖 𝒓𝒗}

𝒏

𝑹 : Proyección de 𝑺 sobre 𝑿𝒀

Ejemplo

Integrales sobre superficies explícitas

1

Calcule la integral

𝑦𝑑𝑆

𝑆

donde 𝑆 es la superficie que se describe a continuación:

𝑧 = 𝑥 + 𝑦², 0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2

Solución

Ejemplo

Integral sobre una superficie explícita

2

Calcule la integral de superficie

𝑦² + 2𝑦𝑧 𝑑𝑆

𝑆

donde 𝑆 es la porción en el primer octante del plano 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6

Solución

𝒙

𝒚 𝒛

Ejemplo

Integral sobre una superficie explícita

3

Sea 𝑆 la parte del plano 𝑧 = 1 + 2𝑥 + 3𝑦 que está por encima del rectángulo 0; 3 × 0; 2

a) Realice el bosquejo de 𝑆.

b) Calcule la integral 𝑥_𝑆 ²𝑦𝑧𝑑𝑆

Solución

Área de una superficie

Sea 𝑆 ⊂ ℝ³ una superficie regular en todos (excepto quizás en un número finito de) sus puntos. El área de 𝑆 esta dada por la integral

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝑺 = 𝒅𝑺

𝑺

Para una superficie explícita: 𝑧 = 𝑔 𝑥; 𝑦 ; 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝑺 = 𝟏 + 𝝏𝒈

𝝏𝒙

𝟐

+ 𝝏𝒈

𝝏𝒚

𝟐

𝒅𝑨

𝑹

Para una superficie con parametrización 𝑟: 𝑅 ⊂ ℝ → ℝ³ 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝑺 = 𝒓_𝒖 × 𝒓_𝒗 𝒅𝑨

𝑹

Observación

Ejemplo

Área de una superficie

1

Calcule el área de la superficie 𝒮 de ecuación 𝑧² = 𝑥² + 𝑦² limitada por los planos 𝑧 = 1 y 𝑧 = 2

Solución

Ejemplo

Área de una superficie

2

En un taller de pintura, el costo por metro cuadrado de

pintado es 12 soles. En esta ocasión se desea pintar una lata cilíndrica dada por 𝑆: 𝑥² + 𝑧² = 4, y cortada por los planos 𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 22; 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 0. Use una integral de

superficie para calcular el costo total por pintar exteriormente la lata (considere que las unidades en el sistema de

coordenadas están dadas en metros)

Solución

Masa de una lámina bidimensional

Considere una lámina que tiene la forma dada por una superficie 𝑆 y cuya densidad está dada por una función continua 𝜌: 𝐷 ⊂ ℝ³ → ℝ donde 𝑆 ⊂ 𝐷; entonces la masa 𝒎 de la lámina está dada por

𝒎 = 𝝆 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝑺

𝑺

Ejemplo

Masa de una lámina

1

Determine la masa total de la lamina bidimensional descrita por la ecuación 2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 12 (en el primer octante), si se sabe que su densidad es 𝜌 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥² + 𝑦²

𝒙

𝒚

Solución

Ejemplo

Masa de una lámina

2

Una empresa fabrica láminas metálicas. Cada una de ellas se puede representar como una porción del paraboloide

𝑥² + 𝑦² = 4𝑧 que se encuentra dentro del cilindro 4𝑥 = 𝑥² + 𝑦². El metal que se usará en su fabricación tiene un costo de

$50,5 por kilogramo. Determine el costo de la lámina metálica si la densidad, en kg/cm², en cada punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) de dicha lámina es igual a la distancia entre 𝑃 y el plano 𝑋𝑌 (considere que las unidades en el sistema de coordenadas están dadas en centímetros).

Solución

Definición

Sea 𝑆 una superficie regular en todos (excepto quizás en un número finito de) sus puntos, con parametrización 𝑟: 𝑅 ⊂

ℝ² → ℝ³ (donde 𝑅 ⊂ ℝ² es conexo, cerrado y acotado). Si 𝐹: 𝑆 ⊂ ℝ³ → ℝ³ es continua en 𝑆, definimos la integral de superficie de 𝐹 sobre 𝑆 como:

𝑭 ⋅ 𝑵𝒅𝑺

𝑺

= 𝑭 𝒓(𝒖; 𝒗) ⋅ (𝒓_𝒖× 𝒓_𝒗)𝒅𝑨

𝑹

A la integral de superficie anterior también se le llama flujo del campo vectorial a través de la superficie 𝑆

Observación

donde 𝑁 es la normal que define la orientación de la superfice 𝑆.

Ejemplo

Int. de superficie de campos vectoriales

1

En cada caso calcule la integral de superficie 𝐹 ⋅ 𝑁

𝑆

𝑑𝑆 a.- 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = (𝑦; 𝑥; 𝑧²) ,

𝑆: 𝑟 𝑢; 𝑣 = 𝑢 cos 𝑣 ; 𝑢 sen 𝑣 ; 𝑣 , con 0 ≤ 𝑢 ≤ 1 ; 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋 b.- 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = (𝑥𝑦; 𝑦𝑧; 𝑥𝑧) ,

𝑆: 𝑟 𝑢; 𝑣 = 𝑢; 𝑣; 4 − 𝑢² − 𝑣² ,con 0 ≤ 𝑢 ≤ 1 ; 0 ≤ 𝑣 ≤ 1

Solución

Orientación de una superficie

Una superficie 𝑆 ⊂ ℝ³ es orientable cuando existe una función 𝑁: 𝑆 ⊂ ℝ³ → ℝ³ tal que

1.- 𝑁 es continua en 𝑆

2.- Para todo 𝑝 ∈ 𝑆, el vector 𝑁(𝑝) es un vector unitario normal a 𝑆 en el punto 𝑃

• Superficies regulares y simples.

• Superficies implícitas 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 0 donde 𝐹: 𝑈 ⊂ ℝ³ → ℝ es una

función de clase 𝐶¹ en el abierto 𝑈.

• Superficies explicitas 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) donde 𝑓: 𝑅 ⊂ ℝ² → ℝ es de clase 𝐶¹ en un abierto 𝑈 ⊃ 𝑅

TODAS SON ORIENTABLES

Orientación de una superficie

Intuitivamente, una superficie orientable tiene dos caras, dadas por los vectores normales unitarios 𝑛 y −𝑛

Si 𝑆 es una superficie regular simple con parametrización 𝑟: 𝑅 ⊂ ℝ² → ℝ³ entonces solo existen dos

orientaciones posibles:

Orientación dada por: 𝒏 = 𝒓_𝒖 × 𝒓_𝒗 Orientación dada por: −𝒏 = −𝒓_𝒖 × 𝒓_𝒗

𝒏

−𝒏 𝒙

𝒚

𝒛

Orientación de una superficie

En el caso de superficies cerradas se conviene que si 𝑛 apunta hacia afuera , ésta es la orientación positiva; y si apunta hacia adentro, es la orientación negativa.

Orientación positiva Orientación negativa

Ejemplo

Orientación de una superficie

1

Halle una parametrización de la superficie 𝑥² + 𝑦² = 𝑅² (donde 𝑅 > 0) con dos orientaciones diferentes.

Solución

Ejemplo

Int. de superficie de campos vectoriales

2

En cada caso calcule la integral de superficie 𝐹 ⋅ 𝑁

𝑆

𝑑𝑆

a.- 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥𝑦; 4𝑥² ; 𝑦𝑧 , 𝑆: es la superficie 𝑧 = 𝑥𝑒^𝑦 con 0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 1. 𝑆 está orientada con el vector normal hacia arriba

b.- 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) , 𝑆: es la superficie cilíndrica

𝑥² + 𝑦² = 8𝑦 limitada por el plano 𝑧 = 0 y el paraboloide

𝑧 = 2 + ^𝑥2+𝑦₈ ². 𝑆 está orientada con el vector normal hacia el exterior del cilindro.

Solución

Orientación de una superficie explícita

Para el caso de una superficie explicita tenemos las dos orientaciones:

Si 𝑆 está descrita por 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) donde 𝑔: 𝑅 ⊂ ℝ² → ℝ las dos orientaciones posibles son Normal hacia «arriba»:

𝒏 = −𝒈_𝒙; −𝒈_𝒚; 𝟏

Normal hacia «abajo»:

−𝒏 = 𝒈_𝒙; 𝒈_𝒚; −𝟏 𝒏

−𝒏

𝒙

𝒚 𝒛

Integral sobre una superficie explícita

Sea una superficie 𝑆 descrita explícitamente por la ecuación 𝒛 = 𝒈(𝒙; 𝒚) donde 𝑔: 𝑅 ⊂ ℝ² → ℝ es tal que 𝑔_𝑥 y 𝑔_𝑦 son

continuas en un abierto 𝑈 ⊃ 𝑅 (𝑅 ⊂ ℝ² conexo, cerrado y acotado). Si 𝐹 = 𝑀; 𝑁; 𝑃 : 𝑆 ⊂ ℝ³ → ℝ³ es un campo

vectorial continuo, entonces

donde

𝑆_𝑋𝑌 es la proyección de la superficie 𝑆 sobre el plano 𝑋𝑌

𝒏

𝒙 𝒚

𝒛

𝑺_𝑿𝒀

𝑭 ⋅ 𝑵𝒅𝑺

𝑺

= 𝑭 𝒙; 𝒚; 𝒈(𝒙; 𝒚) ⋅ −𝒈_𝒙 ; −𝒈_𝒚; 𝟏 𝒅𝑨

𝒔_𝒙𝒚

Con la normal hacia arriba:

Integral sobre una superficie explícita

Con la normal hacia abajo:

donde

𝑆_𝑋𝑌 es la proyección de la superficie 𝑆 sobre el plano 𝑋𝑌

𝑭 ⋅ 𝑵𝒅𝑺

𝑺

= 𝑭 𝒙; 𝒚;𝒈(𝒙; 𝒚) ⋅ 𝒈_𝒙 ; 𝒈_𝒚; −𝟏 𝒅𝑨

𝒔_𝒙𝒚

−𝒏

𝒙 𝒚

𝒛

𝑺_𝑿𝒀

Integral sobre una superficie explícita

En el primer caso la parametrización utilizada es:

𝒙 = 𝒖; 𝒚 = 𝒗; 𝒛 = 𝒈 𝒖; 𝒗 y el vector normal es:

𝒏 = 𝒓_𝒖 × 𝒓_𝒗 = − 𝝏𝒈

𝝏𝒖 ; −𝝏𝒈

𝝏𝒗 ; 𝟏

𝒙

𝒚 𝒛

𝒓_𝒗 𝒓_𝒖

𝒏

𝑺_𝑿𝒀 : Proyección de 𝑺 sobre 𝑿𝒀

Ejemplo

Integral sobre una superficie explícita

1

Calcule la integral del campo vectorial 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 0; 0; 𝑧 + 1 sobre el plano de ecuación 𝑧 = 2 + 𝑦 en el interior del cilindro 𝑥² + 𝑦² = 1. Considere la normal orientada hacia abajo.

Solución

𝒙

𝒚 𝒛

Ejemplo

Integral sobre una superficie explícita

2

Sea la esfera 𝐸 descrita por la inecuación 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² ≤ 1 y la superficie cilíndrica 𝐶 de ecuación 𝑥² = 𝑦. Si 𝑆 es la

superficie obtenida al intersectar 𝐸 y 𝐶 en el primer octante Calcule la siguiente integral de superficie:

𝐹 ⋅ 𝑛

𝑆

𝑑𝑆

Solución

donde 𝐹: ℝ³ → ℝ³ es el campo vectorial definido por:

𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧

= 2𝑦 + 1 + 𝑥²; 2𝑥² 𝑦; 𝑥𝑦𝑧² + 𝑧

Sug. Considera 𝑆 como una superficie explicita 𝑥 = 𝑔(𝑦; 𝑧)

Rotacional de un campo vectorial

Dado un campo vectorial 𝐹 = 𝑀; 𝑁; 𝑃 , se defina

𝐫𝐨𝐭𝑭 = 𝛁 × 𝑭 =

𝒊 𝒋 ^𝒌

𝝏

𝝏𝒙

𝝏

𝝏𝒚

𝝏

𝝏𝒛

𝑴 𝑵 𝑷

donde 𝛻 (nabla) es el operador diferencial

𝛻 = 𝜕

𝜕𝑥 ; 𝜕

𝜕𝑦 ; 𝜕

𝜕𝑧

Esta es una forma cómoda de calcular el vector rot(𝐹) que toma la forma:

𝐫𝐨𝐭 𝑭 = 𝝏𝑷

𝝏𝒚 − 𝝏𝑵

𝝏𝒛 𝒊 − 𝝏𝑷

𝝏𝒙 − 𝝏𝑴

𝝏𝒛 𝒋 + 𝝏𝑵

𝝏𝒙 − 𝝏𝑴

𝝏𝒚 𝒌

Ejercicio 1

En cada caso, calcule el rotacional del campo vectorial 𝐹:

a) 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 2𝑦 − 𝑧 𝒊 + 𝑒^𝑧𝒊 + 𝑥𝑦𝑧 𝒌 b) 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦𝒊 − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝒊 + 𝑦𝑧² 𝒌

Solución

Teorema de Stokes

Sea 𝑆 una superficie con parametrización inyectiva

𝑟: 𝑅 ⊂ ℝ² → ℝ³ que induce una normal en 𝑆. Definimos la orientación positiva del «contorno» de 𝑆 como aquella contraria a las manecillas del reloj con respecto al vector normal inducido por 𝑟.

𝒏

𝒏

Teorema de Stokes

Sea 𝑆 una superficie regular con parametrización inyectiva 𝑟: 𝑅 ⊂ ℝ² → ℝ³ donde

• 𝑅 es simplemente conexo, cerrado y acotado.

• Las funciones componentes de 𝑟 tienen derivadas

parciales de orden dos continuas en un abierto 𝑈 ⊃ 𝑅 Si 𝐹: 𝑆 ⊂ ℝ³ → ℝ³ es un campo vectorial cuyas

componentes tienen derivadas parciales continuas en algún abierto que contenga a 𝑆, entonces

𝒓𝒐𝒕 𝑭 ⋅ 𝑵𝒅𝑺

𝑺

= 𝑭 ⋅ 𝒅𝜶

𝑪

donde 𝐶 es la curva «contorno» de 𝑆 con orientación positiva respecto a la normal.

Ejemplo

Teorema de Stokes

1

Calcule el flujo entrante del rotacional del campo vectorial 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 3𝑦𝒊 + 4𝑧𝒋 − 6𝑥𝒌

a través de la superficie que se obtiene al girar la curva mostrada alrededor del eje 𝑍.

Solución

Ejemplo

Teorema de Stokes

2

Sea el campo vectorial 𝐹: ℝ³ → ℝ³ definido por 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = arctan 𝑥² ; 3𝑥 ; 3𝑧 tan 𝑧

y la curva 𝐶 que la intersección de la superficie esférica 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 1 y el cilindro de ecuación

𝑟 = 0,5 + 0,3 cos(11 𝜃) (coordenadas polares en el plano 𝑋𝑌) donde 𝜃 ∈ 0; 2𝜋 . Calcule la integral de línea

𝐹 ⋅ 𝑑𝛼

𝐶

Solución

Lo que no debes olvidar

SUPERFICIES PARAMETRIZADAS 𝑺: 𝒙 = 𝜶 𝒖; 𝒗 ; 𝒖: 𝒗 ∈ 𝑫 CAMPOS ESCALARES CAMPOS VECTORIALES

𝒇𝒅𝑺

𝒔

= 𝒇(𝜶(𝒖; 𝒗)) 𝜶_𝒖 × 𝜶_𝒗 𝒅𝑨

𝑫

𝑭 ⋅ 𝒏𝒅𝑺

𝒔

= 𝑭 𝜶 𝒖; 𝒗 ⋅ 𝜶_𝒖 × 𝜶_𝒗𝒅𝑨

𝑫

No depende de la orientación de la superficie

Si depende de la orientación de la superficie (cambia el signo al

cambiar la orientación) SUPERFICIES EXPLICITAS 𝑺: 𝒛 = 𝒈(𝒙; 𝒚)

CAMPOS

ESCALARES 𝒇𝒅𝑺

𝒔

= 𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒈(𝒙; 𝒚) 𝟏 + 𝒈_𝒙 ^𝟐 + 𝒈_𝒚 ^𝟐𝒅𝑨

𝑺_𝑿𝒀

CAMPOS

VECTORIALES 𝑭 ⋅ 𝒏𝒅𝑺

𝒔

= 𝑭 𝒙; 𝒚; 𝒈(𝒙; 𝒚) ⋅ −𝒈_𝒙; −𝒈_𝒚; 𝟏 𝒅𝑨

𝑺_𝑿𝒀

Normal orientada hacia arriba

Responde las siguientes interrogantes:

Para reflexionar

 ¿Qué dificultades tuve al calcular integrales de superficies?

 ¿En qué situaciones relacionados con mi carrera puedo aplicar lo que aprendí?

 ¿El teorema de Stokes me fue útil para

simplificar algunos cálculos?

BIBLIOGRAFÍA

• [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)

Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

• [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México:

Limusa Wiley.

• [4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson