Parte I: Cálculo diferencial. Análisis.

(1)

Análisis.

Parte I:

Cálculo diferencial.

©PCRdeG v.3

(2)

1.- Conjuntos acotados.

Definición.- Sea A un conjunto de números reales. A está acotado superiormente si existe s R tal que aAas. A los números s que cumplen esa propiedad respecto a A se les llama cotas superiores de A.

Ejemplo 1.1.- Consideremos ^A^



^a^^R^|^a³ ^⁷⁴



. A está acotado superiormente. Por ejemplo 5, 6’7, 10 son cotas superiores. En cambio, 2 no es cota superior porque existe un elemento de A, el 4, tal 4A pero 4>2

Ejemplo 1.2.- El conjunto Z {0,1,1,2,2,....} no está acotado superiormente.

Análogamente podemos definir conjunto acotado inferiormente:

Definición.- Sea A un conjunto de números reales. A está acotado inferiormente si existe i R tal que aAai. A los números que cumplen esa propiedad respecto a A se les llama cotas inferiores de A.

Ejemplo 1.3.- Ni el conjunto A del ejemplo 1 ni el conjunto Z del ejemplo 2 están acotados inferiormente. En cambio, los números naturales N={l ,2, 3, …} sí están acotados inferiormente: cotas inferiores de N son, por ejemplo, -4, 0, 0’74, 1.

Definición.- Un conjunto es acotado si a la vez está acotado superior e inferiormente Ninguno de los conjuntos de los ejemplos anteriores son acotados pero, por ejemplo,



^ ^| ^⁷



 x R x

B es un conjunto acotado. Son cotas superiores de B:8, 7’3, 7. Son cotas inferiores de B, por ejemplo, -20, -7, -7’000001.

Un conjunto acotado superiormente tiene infinitas cotas superiores pues si s es cota superior también será cota superior cualquier número mayor que s. De todas esas cotas superiores nos interesa especialmente la menor de todas ellas:

Definición.- Un número s es supremo del conjunto acotado superiormente A si es la menor de sus cotas superiores. El supremo de un conjunto se denota por sup A Ejemplo 1.4.- Consideremos el conjunto ^L^



⁴^'⁹^,⁴^'⁹⁹^,⁴^'⁹⁹⁹^,....



El conjunto L está acotado superiormente por el 6 pero no es su supremo. Es fácil comprobar que 5=sup L La definición de ínfimo es análoga:

Definición.- Un número i es ínfimo del conjunto acotado inferiormente A si es la mayor de sus cotas inferiores. El ínfimo de un conjunto se denota por inf A.

Ejemplo 1.5.- Consideremos el conjunto H de las fracciones positivas cuyo numerador es una unidad mayor que el numerador. Claramente todas esas fracciones son mayores que 1 por lo que 1 es cota inferior y es fácil comprobar que 1 es inf H.

(3)

Es obvio que si un conjunto tiene supremo este es único (pues es la menor de las todas superiores). Idénticamente, si un conjunto tiene ínfimo, este es único.

Consideremos los conjuntos A[3,7) y ^B ^

 

³^,⁷ . En ambos se cumple que su supremo es el 7 pero en cambio 7A,7B. Para distinguir estos dos casos, definimos máximo:

Definición.- Un número es el máximo de un conjunto si es su supremo y si pertenece al conjunto. Un número es el mínimo de un conjunto si es su ínfimo y si pertenece al conjunto.

El máximo de un conjunto A se denota max A y su mínimo por min A.

Ejemplo 1.6.- Consideremos los conjuntos A



7,10



,B 



7,10



. Tenemos que supA=supB=10. maxB=10 pero A no tiene máximo. Inf A=inf B=7. minA=7 pero B no tiene mínimo.

Hasta ahora hemos comprobado que dado un conjunto A acotado superiormente siempre tiene supremo. Pero cabría preguntarse si existe algún conjunto,

presumiblemente extraordinariamente complicado, tal que a pesar de tener cotas superiores no exista la cota más pequeña, es decir, no tenga supremo.

La respuesta es NO y eso es lo que se llama Axioma de continuidad de los números reales.

Axioma de continuidad de los números reales.- Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene supremo.

Hay que hacer varios comentarios sobre este axioma:

Existen otros enunciados (al menos tres muy conocidos) equivalentes a este axioma; de hecho, más adelante veremos uno de ellos: el Principio de los intervalos encajados.

Por supuesto, podemos sustituir este axioma por su equivalente para ínfimos. Se deja como ejercicio la redacción del axioma equivalente.

El axioma es no es constructivo: nos dice que un conjunto acotado

superiormente tiene supremo pero no nos da la menor pista sobre cómo hallar dicho supremo.

Este axioma es el que diferencia las propiedades de los números racionales de la de los números reales. Dentro de los números racionales es perfectamente posible encontrar un conjunto de número racionales acotado superiormente que no tenga un supremo racional.

Definición.- Una sucesión de intervalos I tal que _n I₁  I₂ I₃ .... se llama sucesión de intervalos encajados.

Ejemplo 1.7.- Consideremos los intervalos In 



0,n¹



. Es una sucesión de intervalos encajados. Obsérvese que no hay ningún número que pertenezca a todos los intervalos, es decir, que la intersección de los intervalos es vacía.

(4)

No obstante, si los intervalos son cerrados, seguro que algún número pertenece a todos ellos:

Principio de los intervalos encajados.- Toda sucesión de intervalos cerrados encajados tiene intersección no vacía.

Demostración.- Sean I_n 



a_n,b_n



tales que I₁ I₂ I₃ .... Tenemos entonces que

1 2 1

1 2

1 a ... a a ....b b ... b b

a    _n  _n_  _m_  _m    .

Consideremos el conjunto A 



a1^.a2^,...an^...



El conjunto A está acotado superiormente por cualquier b así que, según el axioma de continuidad, existe c=supA. _m

Demostraremos que c pertenece a todos los intervalos.

Supongamos que existe un intervalo I tal que _n c I_n. Como c=supA, c es cota superior de A luego a_n  . Así que si c c I_n necesariamente es porque b_n c. Pero

b es cota superior de A por lo que es imposible que sea menor que supA así que n

hemos llegado a una contradicción al suponer que c I_n por lo que c pertenece a todos los intervalos.

(5)

2.- Funciones continuas.

Recordamos las definiciones de límite y de continuidad de una función en un punto.

Para ello, recordamos también que llamábamos entorno de un número a a los intervalos de la forma



^a^{ ,}^r ^a^^r



Definición (topológica).- Sea una función f :D Ry sea a D,  un número.





 f

a x

lim si para todo entorno E de  existe un entorno I de a tal que E

x f a x I

x ,   ( )

Definición (topológica).- Sea una función f :D Ry sea a D. La función f es continua en a si para todo entorno E de f(a) existe un entorno I de a tal que

E x f I

x  ( )

Obviamente, a partir de las definiciones, se tiene que f es continua en a si y sólo si limf f(a)

a

x 



Traduciendo los entornos a intervalos y recordando que x



ar,ar



 xa r tenemos las definiciones más corrientemente usadas:

Definición (Cauchy).- Sea una función f :DRy sea a D. 

 f

a

limx si para todo

0

 existe un  0 tal que 0 xa   f(x) 

Definición (Cauchy).- Sea una función f :DRy sea a D. La función f es continua en a si para todo  0 existe un  0 tal que xa   f(x) f(a)  Ejemplo 2.1.- Vamos a demostrar que la función f(x)=3x+5 es continua en a=4.

Consideremos un  0cualesquiera. Hagamos  /3 Tenemos entonces que si



 4 

x entonces f(x) f(4)  (3x5)17  3x12 3·x4 3· 

Independientemente de la complicación de las definiciones, lo que conviene recordar es que una función continua en un punto a hace que valores cercanos a ese punto tomen, mediante la función, valores cercanos a f(a).

Listamos las principales propiedades de los límites:

a. f g f g

a x a x a

x (  )lim lim

lim

b. f g f g

a x a x a

x ( · )lim ·lim

lim .

(6)

c. Si lim 0

 g

a

x entonces f g f g

a x a x a

x ( / )lim /lim

lim

Recordamos las principales propiedades de las funciones continuas:

a. Si f y g son continuas en x=a entonces f+g, f-g y f·g son funciones continuas en x=a.

b. Si f y g son continuas en x=a y g(a)0entonces f/g es continua en x=a c. Si f es continua en a y g es continua en f(a) la función compuesta g  f es

continua en x=a.

d. Las funciones constantes son continuas.

e. Por tanto, si f :D R, g:D R son funciones continuas en todos los puntos de D tenemos que f+g, f-g, f·g son continuas. Además f/g es continua en los puntos donde g no se anula. Y, por último, si c es un número, f(x)+c, c·f(x) son funciones continuas y c/g(x) es continua donde no se anula g.

De estas propiedades, tan sólo demostraremos las dos más sencillas, pues se hará uso explícito de ellas en algunos teoremas :

Proposición 2.1.- Sea f :D R continua en x=a. Sea c R.Sea g:DR tal que D

x c x f x

g( ) ( )   . Entonces g es continua en x=a.

Por tanto, si f es continua en D también lo es g.

Demostración.- Sea  0. La función f es continua en a, luego existe un  0 tal que xa   f(x) f(a) . Por tanto,



         



a g(x) g(a) (f(x) c) (f(a) c) f(x) f(a) x

Proposición 2.2.- .- Sea f :DR continua en x=a. Sea c R. Sea g:DR tal que g(x)c·f(x)xD. Entonces g es continua en x=a.

Por tanto, si f es continua en D también lo es g.

Demostración.-Podemos suponer que c0 pues si c=0 la función g es nula y

obviamente continua. Sea  0. La función f es continua en a, luego existe un  0 tal que xa   f(x) f(a) /c . Por tanto,



        

^A ^ ¹⁸^,³⁸



f

(7)

Definición.- Una función f está acotada en A si f[A] es un conjunto acotado.

es un entorno de a, un enunciado equivalente de lema de acotación nos diría que si f es continua en a, existe un entorno de a en la que f está acotada. O, dicho más llanamente, en los alrededores de un punto donde la función es continua, la función está acotada (es decir no puede tomar valores muy grandes).

´

Antes de enfrentarnos a los grandes teoremas acerca de la continuidad necesitaremos otro lema. En este caso, también el enunciado puede resultar más confuso que lo que quiere decir. La idea es muy simple: si una función es positiva y continua en un punto, en valores próximos a ese punto también será positiva. En lenguaje coloquial, se puede traducir a una apreciación muy cotidiana: si un punto de la sopa está muy caliente, sus alrededores también lo estarán.

Lema del signo.-

a) Si f es continua en a y f(a)0 entonces existe  0 tal que



^ ^, ^



^ ⁽ ⁾^⁰

 a a f x

x  

b) Si f es continua en a y f(a)q entonces existe  0 tal que



^a ^a



^f ^x ^q

x ,   ( ) Demostración.-

a) Puesto que f(a)0 podemos hacer

2 ) (a

 f

 siendo entonces  0. En virtud de la continuidad x=a existe un  0 tal que



   



a f(x) f(a)

x .

Pero ^f⁽^x⁾^ ^f⁽^a⁾ ^ ^ ^f⁽^x⁾^



^f⁽^a⁾^^, ^f⁽^a⁾^



^ ^f⁽^a⁾^ ^ ^f⁽^x⁾

Como 0

2 ) ) (

(   f a  a

f  concluimos que0 f(x) siempre que x a 

(8)

b) Hagamos g(x)=f(x)-q. g es continua en x=a, por la proposición 2.1 y ademásg(a) f(a)q0 . Luego por el apartado a) existe  0 tal que



^a ^a



^g ^x ^f ^x ^q ^f ^x ^q

x ,   ( )0 ( ) 0 ( )

3.- Teorema de Bolzano.

El teorema de Bolzano enuncia una propiedad muy intuitiva: una función continua que toma valores positivos y negativos se anula para algún punto.

Por ejemplo, puesto que la función f(x)2^x 3^x 10 es continua y cumple que 3

) 2 ( , 5 ) 1

(  f 

f podemos asegurar que entre 1 y 2, f se anula o, dicho de otra forma, que la ecuación 2^x 3^x 10 tiene una solución (por lo menos).

La necesidad de que la función f sea continua es esencial. Por ejemplo, si consideramos









 

2 3

2 ) 23

( si x

x x si

f tenemos una función que toma valores positivos y negativos pero no se anula.

Antes de demostrar el teorema usaremos la misma técnica de la demostración para encontrar con una buena aproximación una raíz del polinomio f(x)x⁴ x23. En primer lugar, consideramos a₁ 2,b₁ 3 de forma que f(a₁)0 f(b₁)

Hallamos 2'5

2

1 1

1  

 a b

c . Como f(c₁)0 reemplazamos b por ₁ c , es decir, ₁ hacemos a₂ a₁,b₂ c₁. El procedimiento prosigue así hasta que lo consideremos oportuno. Cada vez la distancia entre los b y los c se hace más pequeña. Si

observamos la siguiente tabla podemos afirmar que c2'13178 dista de una de las raíces de f(x) menos que 0’00001. Y todo esto en 17 iteraciones, lo que no es mucho si se usa una hoja de cálculo y se afinan algo los valores iniciales.

n a b c f( c ) b-c

1 2,00000 3,00000 2,50000 18,56250 0,50000 2 2,00000 2,50000 2,25000 4,87891 0,25000 3 2,00000 2,25000 2,12500 -0,48413 0,12500 4 2,12500 2,25000 2,18750 2,08522 0,06250 5 2,12500 2,18750 2,15625 0,77330 0,03125 6 2,12500 2,15625 2,14063 0,13787 0,01563 7 2,12500 2,14063 2,13281 -0,17479 0,00781 8 2,13281 2,14063 2,13672 -0,01888 0,00391 9 2,13672 2,14063 2,13867 0,05939 0,00195 10 2,13672 2,13867 2,13770 0,02023 0,00098 11 2,13672 2,13770 2,13721 0,00067 0,00049 12 2,13672 2,13721 2,13696 -0,00911 0,00024 13 2,13696 2,13721 2,13708 -0,00422 0,00012 14 2,13708 2,13721 2,13715 -0,00178 0,00006 15 2,13715 2,13721 2,13718 -0,00055 0,00003 16 2,13718 2,13721 2,13719 0,00006 0,00002 17 2,13718 2,13719 2,13718 -0,00025 0,00001

(9)

Debe advertirse, no obstante, que existen métodos más eficientes para calcular ceros de una función aunque no tan sencillos como este.

Teorema de Bolzano.- Sea f :



a,b



Runa función continua tales que f(a) y f(b) sean de distinto signo. Entonces existe ^c^



^a^,^b



tal que f(c)=0.

Demostración.- Podemos suponer que f(a)0 f(b) pues el caso f(a)0 f(b) se demuestra de forma análoga.

Hagamos

, 2

, ₁ ₁

1

b c a

b b a

a 



 . A continuación, si f(c₁)0 hagamos

, 2

, ₂ ₁ ₂ ² ²

1 2

b c a

c b a

a 



 y en caso contrario hagamos

, 2

, ₂ ₁ ₂ ² ²

1 2

b c a

b b c

a 



Proseguimos así construyendo las sucesiones a_n,b_n,c_n de forma que siempre se tenga )

( 0 )

(a_n f b_n

f   y haciendo

2

n n n

b

c a 

 de forma que si f(c_n)0 hacemos

, 2

, ₁ ₁

1

n n n n n n n

b c a

c b a

a 



 _ _

 y en caso contrario

, 2

, ₁ ₁

1

n n n n n n n

b c a

b b c

a 



 _ _



Si hacemos I_n 



a_n,b_n



tenemos una sucesión de intervalos cerrados encajados. Por el Principio de los intervalos encajados, existe un número que pertenece a todos estos intervalos. Sea c ese número y demostremos que f(c )=0.

Probemos en primer lugar que no es posible que f(c)0.

Supongamos que f(c)0. Entonces, aplicando el lema del signo, existe  0 tal que



^ ^, ^



^ ⁽ ⁾^⁰

 c c f x

x   . Ahora bien, la longitud de los intervalos In 



an,bn



tiende a cero pues cada intervalo tiene la mitad de la longitud del intervalo anterior.

Podemos elegir, pues, un intervalo de longitud tan pequeña como deseemos. En particular, si I tiene una longitud menor que  se tiene que _n cI_n 



 , `



 ( )0





































n n

n n n

n

n c a b c a c c f a

c b c

b

a c

a

c    



 ,

absurdo. Así, no es posible que f(c)0.

Un razonamiento análogo prueba que no es posible que f(c)0 con lo que f(c)0

Si la temperatura de una habitación a las 13 horas es de 18º y a las 15 horas es de 21º, ¿es posible afirmar que en algún momento la habitación tenía una temperatura de 20º?

El teorema de los valores intermedios responde afirmativamente a esta cuestión (supuesta la función de temperatura continua).

Teorema de los valores intermedios.- Sea f :



a,b



R una función continua. Sea  un número entre f(a) y f(b). Existe ^c^



^a^,^b



^{tal que} f(c)

(10)

Demostración.- Podemos suponer f(a)  f(b). El caso f(b)  f(a) es similar.

Consideremos la función h:



a,b



R tal que h(x) f(x). La función h es continua puesto que f lo es. Además h(a) f(a) 0,h(b) f(b) 0.

Aplicando el teorema de Bolzano a h deducimos que existe ^c^



^a^,^b



tal que h(c)=0, o, lo que es lo mismo, f(c) 0, es decir, f(c)

4.- Teorema de Weierstrass.

La función ^f ^:



⁰^,^



^^R^{tal que} f(x)1/xes continua y acotada en el intervalo (2,5). Sin embargo, no está acotada superiormente en el intervalo (0,5). Es decir, aunque el intervalo sea acotado, no podemos asegurar que la función lo sea.

También puede suceder lo contrario: la función g:R R tal que

1 ) 1

( ₂

  x x

g está

acotada, elijamos el intervalo que elijamos. La función h(x)= senx es otro ejemplo claro de función acotada independientemente del intervalo elegido pues 1senx1

Por otra parte, el lema de acotación nos asegura que en los alrededores donde una función es continua, esta función está acotada.

Es interesante, pues, encontrar condiciones sencillas con las que asegurar cuándo una función continua está acotada. El lema de Weiertrass nos da esta condición, pero antes necesitaremos un pequeño e intuitivo lema sobre conjuntos acotados y sus supremos.

El lema 4.1, traducido a lenguaje coloquial viene a decir que si en la clase de física nadie sobrepasa el 1’90 de altura y en la clase de latín nadie sobrepasa una altura de 1’95, podemos asegurar que si juntamos a los alumnos de física y latín ninguno sobrepasará el 1’95 de altura.

Lema 4.1.- Sean A y B conjuntos acotados superiormente. Entonces se cumple que B

A  es un conjunto acotado superiormente y además ^sup^AUB^^max



^sup^A^,^sup^B



Demostración.- Llamemos a=supA, b=supB. Sea c=max{a,b}

Probemos en primer lugar que A B está acotado superiormente:

































c x b x B x

bien o

c x a x A x B A

x Así pues, c es cota superior de A B, con lo

queA B está acotado superiormente. Si probamos, además, que c es la menor de las cotas superiores de A B tendremos que c supAB

Sea d otra cota superior de A B. Como A AB, necesariamente d es también cota superior de A luego, por ser a=supA se tiene que a d. De la misma forma probamos que b d y, por tanto, cmax{a,b}d

Corolario 4.2.- Si f está acotada en A y B lo está en A B

(11)

Demostración.- Decir que f está acotada en A y en B quiere decir que los conjuntos f[A] y f[B] son conjuntos acotaos. Pero, como es fácil de ver, f



AB



 f

 

A  f

 

B luego ^f



^A^^B



es un conjunto acotado por ser unión de dos conjuntos acotados.

c b b a

a   



Si f está acotada en J y en ₂ K se tendría, por el corolario 4.2, que f está acotada en ₂



a,b



 J2K2 lo que no es posible. Por tanto, o bien f no está acotada en J (y en ₂ tal caso hacemos I ₂ J₂) , o bien f no está acotada en K (y en tal caso hacemos ₂

2

2 K

I  )

Proseguimos por recurrencia. Suponemos que f no está acotada en In 



an,bn



.

Hacemos n



n n



n



n n



n n

n a b J a c K c b

c , , , ,

2 ¹ ¹ ¹ ¹

1    

   

 . O bien f no está acotada en

1



Jn (y en tal caso hacemos I_n_₁ J_n_₁) , o bien f no está acotada en K_n_₁(y en tal caso hacemos I_n_₁ K_n_₁).

Hemos construido una sucesión I₁ I₂ I₃ ....de intervalos cerrados encajados por lo que según el principio de los intervalos encajados existirá un número c que

pertenecerá a todos ellos.

Aplicándole a este número el lema de acotación obtenemos que existe  0 tal que f está acotada en



c,c



. Ahora bien, la longitud de los intervalos I_n 



a_n,b_n



tiende a cero pues cada intervalo tiene la mitad de la longitud del intervalo anterior.

Podemos elegir, pues, un intervalo de longitud tan pequeña como deseemos. En particular, si I tiene una longitud menor que  se tiene que _n



^ ^





 



          























 

 c a b c I c , c`

c b c

b

a c

a I c

c _n _n _n

n n

n

Ahora la contradicción está clara: por un lado f está acotada en



a,a



y por otro, f no está acotada en In 



an,bn



con lo que concluimos que nuestra hipótesis de partida, a saber, que f no está acotada en [a,b], es falsa.

Hemos visto que aunque todo conjunto acotado tiene supremo o ínfimo no es cierto que tenga máximo o mínimo. Si f es continua, el lema de Weierstrass nos asegura que f([a,b]) está acotado, y, por tanto que existen supremos e ínfimos de ese conjunto.

El Teorema de Weierstrass va algo más lejos: afirma que, además, existen el máximo y el mínimo de ese conjunto.

^f⁽^p⁾ ^f⁽^x⁾ ^f⁽^q⁾

x   

(12)

Demostración.- Antes de comenzar la demostración recordemos que por el lema de Weierstrass, si L es un intervalo cerrado contenido en [a,b] la función f está acotada el L luego existen sup f[L], inf f[L]

Hagamos ₁ ₁ ₂ ¹ ¹, ₂



₁, ₂



, ₂



₂, ₁



, 2

, a b J a c K c b

c b b a

K₂ . Hagamos

_n



_n _n



n n n

n a b J a c K c b

c , , , ,

2 ¹ ¹ ¹ ¹

1    

   

 y, por último, hacemos I_n_₁  J_n_₁ si

 

inf



₁



inf f I_n  f J_n_ o bien hacemos I_n_₁ K_n_₁ si inf f

 

I_n inf f



K_n_₁



.

Hemos construido una sucesión I₁ I₂ I₃ ....de intervalos cerrados encajados por lo que, según el principio de los intervalos encajado, existirá un número p que

pertenecerá a todos ellos. Vamos a demostrar que f(p)inf f

 

a,b

 

Llamemos yinf f

 

a,b

 

Supongamos que f(p) y. Entonces f(p) y. Sea

2 ) ( p f z y

 . Se tiene, naturalmente, que y z f( p) y, por el lema del signo, existe  0 tal que



p p



f x z

x ,   ( ) . Pero, repitiendo el razonamiento del lema anterior, podemos elegir un intervalo I tal que _n I_n 



p,p



. Veamos ahora que todo este razonamiento de suponer f(p) y nos lleva a una contradicción. Por un lado

 

I y f _n 

inf , es decir, xI_n  f(x) y.

Por otro lado, como ^In ^



^p^^,^p^^



se tiene xI_n  f(x)z luego z sería una cota inferior de f

 

I_n mayor queyinf f

 

I_n . Absurdo. Así, necesariamente f(p)=y.

f(x) f(p)

x   . Análogamente obraríamos para obtener q tal que

 



a b



f q

f( )sup ,

5.- Derivadas.

Recordaremos la definición de derivada. Las propiedades de las derivadas así como su operatividad, se dan por aprendidas durante el curso de Bachillerato I y, en cualquier caso, pueden consultarse los apuntes que se dieron en su momento.

Definición.- Sea f :D R. La función f es derivable en a D si existe el límite a

x a f x a f

f x a 

 



) ( ) lim ( ) (

' .

5.1.- Regla de L’Hôpital

(13)

La regla de L’Hôpital es un poderoso método de cálculo de límites.

El enunciado, algo engorroso pero que aclararemos inmediatamente es el siguiente:

Proposición 5.1.1 (Regla de L’Hôpital).- Sea RR{,}

Sean f y g funciones derivables cumpliendo, para ^{a }^R que ^lim_x__a ^f ^^lim_x__a^g ^⁰

o bien











 f g

a x a

x ,lim

lim

. Entonces, si existe ^' lim '

g f

a

x entonces ^'

lim '

lim g

f g

f

a x a

x  

.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 5.1.1.-

12 7

7 1 12

1

7 2

3 7 2

1 8 3· 1

1 3 2

3 5

2 1

) 6 3( 1 lim 1 3 5

2 lim 6

3 / 2 3

/ 2

2

´ 3

2

´ 































x x

Ejemplo 5.1.2.- ³

2 21 3

144 lim 2

72 3

7 2 ) lim

72 ln(

) 7

lim ln( ₄ ₂

4

´ 3

2 2

3 ´ 2

´ 



 



 













 x x

x x

x x x

x

x x

x

Ejemplo 5.1.3.-



 

 

  ^

 

 2 ·ln2 ln2

1 1 lim

2 lim ln

0

´ 0

´ x x x

x

x x

Los siguientes ejemplos muestran como, mediante transformaciones algebraicas, también podemos resolver otros tipos de límites:

Ejemplo 5.1.4.- El límite

x x

x

·ln lim

0

´^



es de la forma 0 ·( ) pero se puede transformar en

x x x

x

x 1

lim ln

·ln lim

0

´ 0

´ ^  ^



 que, por ser de la forma







 es adecuado para

aplicar la regla. Por tanto, lim 0

1 1 1 lim

lim ln

·ln lim

0

´ 2 0

´ 0

´





 



   

   

 x

x x

x x x

x

x x

Ejemplo 5.1.5.- Calculemos

 

^ctgx

x

x cos lim

0

´ ^



. Podemos transformar el límite en

 

^ctgx ^ctgx ^x

x

ex

x

cos

·ln lim

0

´

0

cos ´

lim ^ ^

 



. Para calcular ctgx x

x

cos

·ln lim

0

´^



lo transformamos en un cociente al que se le puede aplicar la regla:

(14)

1 0 1 lim

lim cos cos

lim ln 1

cos lim ln cos

·ln

lim ₂

0 2 ´

0

´ 0

´

 

 







    

    

 tg x

tgx x

tg x senx tgx

x ctgx

x x ctgx

x x

x

luego



^cos



¹

lim ⁰

cos

·ln lim

0

´

0

´  

 ^ ^

 

e e

x

x ctgx ctgx

x

Por último, veamos un ejemplo de un límite resuelto tras aplicaciones sucesivas de la regla:

Ejemplo 5.1.6.- 









 













 ·3

4 2 4 0

2 5 3

0 120 120 20

5 60 120 cos

lim120 5

60 120 cos

120

20 120 lim 120

x x senx

x x x

x x x senx

x x











 









 









 



 ·2

3 2 0

· 3 3 0

· 4 2

0 6cos 6 3

6 lim 6

12 24 cos 24

4 24 lim 24

4 24 24

12 24 cos lim24

x x

x x senx x

x

x x senx x

x senx

x x x

x x

x

 

 



 



 





 





 



 senx

x x

x senx x

senx x x

x senx

x x

x

1 limcos

2 cos 2

2 lim 2

2 2

2 cos lim 2

6 6

3 6 cos lim 6

0 0

0 2 0

2 0

cos 0 1 lim

limcos

0

0 



 



 



 x

senx senx

x

x x

5.1.-Puntos singulares.

Una consecuencia sencilla del lema del signo nos será de gran utilidad en los capítulos siguientes:

Proposición 5.1.- Sea f :D R derivable en x=a con f'(a)0. Existe un  0 tal

que

 

( ) ( ) 0

,

, 



 







 x a

a f x a f

x a a

x  

Demostración.- Consideremos la función g:DR tal que









 





a x si )

( '

a x ) si ( ) ( ) (

a f

a x

a f x f x

g . Puesto que ( ) ( ) '( ) ( )

lim

lim f a g a

a x

a f x g f

a x a

x  



 



 se

tiene que g es continua en a por lo que podemos aplicar el lema del signo y se cumple que existe un  0 tal que x



a,a



g(x)0. Luego

 

( ) ( ) 0

0 ) ( ,

, 



 











 x a

a f x x f

g a x a a

x  

Definición.- a es un punto singular de f si f’(a)=0.

Definición.-

a es un máximo local de f si existe un  0 tal que ^x^



^a^^,^a^



^ ^f⁽^x⁾^ ^f⁽^a⁾. Análogamente, a es un mínimo local de f si existe un  0 tal que



^a ^,^a



^f⁽^x⁾ ^f⁽^a⁾

x     .

En Primero de Bachillerato se enunció la siguiente proposición que ahora podemos demostrar:

(15)

Proposición 5.2.- Si a es un máximo o un mínimo local de f y f es derivable en a entonces a es un punto singular.

Demostración.- Supongamos que a es un máximo local. Veamos que no es posible que f'(a)0

Si f'(a)0, por la proposición 5.1 tendríamos que existe un  0 tal que

 

( ) ( ) 0

,

, 



 







 x a

a f x a f

x a a

x   . Por otro lado, por ser a máximo local

existe un  0 tal que ^x^



^a^^^,^a^^



^ ^f⁽^x⁾^ ^f⁽^a⁾^{. Sea}^ ^^min



^^,^



^{. Sea}







 a a

x , . Se llega a la siguiente contradicción:

 

^









 

















 











) ( ) (

) 0 ( ) ( ,

a f x f

a x

a f x f a

x a

a x a a

x a a

a

x 

 



) . ( ) (

a) x que (ya 0 ) ( )

( Absurdo

a f x f

a f x

f 









 

Análogamente vamos a razonar que no es posible que f’(a)<0.

Si f'(a)0, por la proposición 5.1 tendríamos que existe un  0 tal que

 

( ) ( ) 0

,

, 



 







 x a

a f x a f

x a a

x   . Por otro lado, por ser a máximo local

existe un  0 tal que x



a,a



 f(x) f(a). Sea  min



,



. Sea







 a a

x , . Se llega a la siguiente contradicción:

 

^









 















 











) ( ) (

) 0 ( ) ( .,

a f x fx a

a f x f a x a

a x a a

x a

a a

x 

 



) . ( ) (

a) x que (ya 0 ) ( )

( Absurdo

a f x f

a f x

f 











 

Lo anterior prueba que todo máximo local es punto singular. La demostración de que todo mínimo local es punto singular es análoga.

6.- Teoremas de Rolle y del valor medio.

Teorema de Rolle.- Sea f :



a,b



R, continua en [a,b] y derivable en (a,b) tal que f(a)=f(b). Entonces, existe c ( ba, )tal que f’(c)=0.

Demostración.- Puesto que f es continua en [a,b], el teorema de Weiertrass nos asegura que existen p, q



a,b



tales que x



a,b



 f(p) f(x) f(q). Distinguimos dos casos:

Caso 1: f(p)=f(q)

En tal caso la función f es constante y su derivada en todo punto de (a,b) es nula luego, efectivamente existe c ( ba, )tal que f’(c)=0.

Caso 2: f(p)<f(q)

En tal caso no es posible que p y q sean a la vez los extremos del intervalo [a,b] puesto que f(a)=f(b). Por tanto, o bien p o bien q (y quizá ambos) están en (a,b). Suponiendo

(16)

que p (a,b)tenemos que p es un mínimo absoluto de f y, por tanto, mínimo local.

Como f es derivable en (a,b) se tiene, por la proposición 5.2, que f’(p)=0.

Análogamente, se razona si q (a,b).

El Teorema del valor medio es una consecuencia sencilla y tremendamente importante del Teorema de Rolle. Este teorema, también conocido como Teorema de Lagrange o Teorema de los incrementos finitos tiene una par de interpretaciones muy intuitivas que daremos a conocer antes que el enunciado de dicho teorema:

Interpretación física del Teorema del valor medio: Supongamos que un automóvil ha recorrido en dos horas 180 km. Su velocidad media es, pues, 90 km/h. ¿Podemos asegurar que en algún momento el velocímetro del automóvil ha marcado los 90 km/h?

Más general: ¿Bajo que condiciones podemos asegurar que en algún momento un móvil ha tenido la misma velocidad instantánea que su

velocidad media?

Interpretación geométrica del Teorema del valor medio: Trazamos una curva que pasa por A y B.

¿Bajo qué condiciones podemos asegurar la

existencia de un punto de la curva, C, tal que la recta tangente a la curva que pasa por C es paralela a la recta AB?

Teorema del valor medio.- Sea f :



a,b



R, continua en [a,b] y derivable en (a,b) . Entonces, existe c ( ba, )tal que

a b

a f b c f

f 

 ( ) ( ) )

( '

Demostración.- Sea g:



a,b



R tal que

)) ( ) ( )·(

( ) ))·(

( ) ( ( )

(x f b f a x a b a f x f a

g       . La función g es continua en [a, b] y

derivable en (a, b) ya que f lo es.

Además g(a)=0, g(b)=0 con lo que g(a)=g(b). Podemos, pues, aplicar el Teorema de Rolle a g con lo que existirá c ( ba, )tal que g’(c)=0. Pero

) ( ' )·

( )) ( ) ( ( ) (

' x f b f a b a f x

g     luego

a b

a f b c f

f c f a b a f b f c

g 

 









 ( ) ( )

) ( ' ) ( ' )·

( )) ( ) ( ( 0 0 ) ( '

La verdadera utilidad del Teorema del valor medio es que nos sirve para demostrar otros teoremas. Valga como muestra la siguiente proposición y su corolario que serán

utilizados más adelante:

Proposición 6.1.- Sea I intervalo abierto y sea f derivable en I. Entonces f es constante sí y sólo si f’=0.

Demostración.-

 Si f es constante se tiene que 0 0

) lim ( ) lim ( ) (

' 

 



 



 x a x a

a f x a f

f x a x a

(17)

 Para probar que f es constante en I nos basta con demostrar que si a,b ,I ab entonces necesariamente f(a)=f(b).

Aplicando el Teorema del valor medio al intervalo [a,b] , existe c ( ba, )tal que a

b a f b c f

f 

 ( ) ( ) )

(

' . Pero f’(c)=0 con lo que f(a)=f(b) por lo que f es constante.

Colorario 6.2.- Sea I intervalo abierto y sean f y g derivables en I.

Entonces, si f’=g’ se cumple que existe un número K tal que K

x f x g A

x  ( ) ( ) .

Demostración.- Puesto que f’=g’ se cumple que (g-f)’=0 por lo que, según la proposición anterior, g-f es constante luego g(x)-f(x)=K, es decir, g(x)=f(x)+K, .

7.- Funciones crecientes y decrecientes. Cálculo de máximos y mínimos locales.

Definición.- Sea f :DR una función. Sea I D un intervalo abierto.

 f es creciente en I si x,yI,x y f(x) f(y)

 f es decreciente en I si x,yI,x y f(x) f(y)

 Diremos que f es creciente si D es un intervalo abierto y f es creciente en él.

 Diremos que f es decreciente si D es un intervalo abierto y f es decreciente en él.

 Diremos que f es monótona si es creciente o decreciente.

►Nótese que, según esta definición, una función constante no es ni creciente ni decreciente en ningún intervalo.

Ejemplo 7.1.- La función f :R R tal que f(x) x³ es monótona creciente en R.

Ejemplo 7.2.- La función f :RR tal que f(x)x² es decreciente en



,0



y creciente en



⁰^,^^



^.